3. Cálculo de Limites EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 3. FORMAS INDETERMINADAS 0 0 0 0 OPERAÇÕES COM OS SÍMBOLOS + = = ( ) = k = ; se k > 0 k = ; se k < 0 ( ) ( ) = k = ; se k > 0 = ; se > 0 = 0; se < 0 k = = ( ) = 0 FUNÇÕES RACIONAIS Ao calcular o te no in nito (quando! ) de uma função racional (quociente de dois olinômios), recomendamos colocar em evidência no numerador e no denominador o termo de maior grau h i A 0 + A + A 2 2 + A 3 3 + + A n n n A0! B 0 + B + B 2 2 + B 3 3 + + B k k = + A n + A n 2 + + A n n 2 + A n h i! k B0 + B k + B k 2 + + B k k 2 + B k Cada termo que contém uma otência de no denominador tem ite zero e, sendo assim, o valor do ite se reduz a A n n! B k k O valor nal deende dos coe cientes A n e B k e, naturalmente, de n e k que são os graus dos olinôminios. a) Se os olinômios têm mesmo grau, isto é, n = k, então o valor do ite é A n n! B n n = A n B n b) Se o grau do numerador (n) é maior do que o grau do denominador (k), então A n n! B k k = A n n k = (deende do sinal de A n =B! B k ; note que n k > 0) n
COMPLEMENTOS LIMITE & CONTINUDADE 2 c) Se o grau do numerador (n) é menor do que o grau do denominador (k), então A n n! B k k = (A n=b k ) = 0 (note que k n > 0)! k n PROPRIEDADES ALGÉBRICAS Suonhamos que f () = L e que g () = M Então. k = k; k constante. 2. [f () g ()] = L M 3. [kf ()] = kl; 4. [f () g ()] = L M k constante. 5. [f () =g ()] = L=M; (M 6= 0 e g () 6= 0; 8 6= a) OUTRAS PROPRIEDADES. Se f () = L, então jf ()j = jlj 2. Se g () = 0 e f () é uma função itada, então [f () g ()] = 0 3. Confronto se f () g () h () ; 8; e se f () = h () = L, então g () = L 3.. Escrevendo ara Arender. Em cada caso abaio calcule o ite de f (), quando! a (a) f () = 2 + 5; a = 7 3 (b) f () = ; a = 0 3 + + (c) f () = 2 + 3 0 ; a = 5 + 5 (d) f () = 2 4 3 + 2 2 ; a = 2 (e) f () = ; a = + 3 2 (f) f () = 2 + 8 3 ; a = + (g) f () = 4 3 ; a = Uma função f () é itada quando eistir uma constante C, tal que jf ()j C; 8
22 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS (h) f () = 3 9 ; a = 9 (i) f () = 2 + ; a = 0 (j) f () = 2 + 8 20 2 2 ; a = 2 (k) f () = + ; va = 3 (l) f () = 4 2 + 3 + 2 2 + ; a = (m) f () = 3 3 2 ; a = 2 2 (n) (n) f () = 3 3 4 3 6 ; a = (considere u = 3 3 ) (o) f () = () f () = s 2 + 3 2 2 ; a = 3 + 2 ; a = (considere u = 3 + 2) + f () 2. Se f é uma função de nida em R e =, mostre que!0 f (3) f 2 (a) = 3 (b)!0!0 = 0 f () f () 3. Sabendo que! 2 2 =, calcule f () e! 2! 2. f () 5 4. Sabendo-se que = 3, calcule f ()!2 2!2 5. Se ' é uma função tal que 2 4 2 ' () +, 8 6= 0, calcule 2 ' ()!0 6. Sabendo que f () = 0 e que g () é uma função itada, a roriedade do Confronto e mostre que [f () g ()] = 0 7. Considere a função g de nida or g () = g () e!0!0 2 g () (, se 0, se > 0. Investigue a eistência dos ites 8. Em cada caso abaio, calcule os ites laterais de f no onto a
COMPLEMENTOS LIMITE & CONTINUDADE 23 (a) f () = + 3 + 2 ; a = 2 (b) f () = ( 2) 2 ; a = 2 (c) f () = 2 ( ) 3 ; a = (d) f () = 2 4 j 2j ; a = 2 (e) f () = 2 + 4 + 5 5 ( + 3) j + 2j ; a = 0 (f) f () = ; a = 2 + 2 2 ( ) (g) f () = ; a = (h) f () = + 3 j j j 2 9j ; a = 3 (i) f () = 2 + 2 ; a = (j) f () = j j j 2 4j ; a = 2 9. Calcule 2 e veri que se eiste o ite 2!2 +!2 0. Calcule os ites laterais indicados. (a) (b)!0 +!0 5 5 (e) (f)!3 + 3!3 3 (i)!0 + 3 2 (m)!0 + 2 + 2 + (j)!0 (n) 3 2. Calcule os seguintes ites no in nito (a) (d) (c)!0 + 2 (g)!0 + 2 + (k)!3 + 2 3 2 6 + 9 3 2 4! + 2 (o)!0 + jj!+ 4 + 3 + 2 b)! 4 3 + 2 (c)!+ (d)!0 (h)!0 (l) ()! 2 3 2 j j 2 + 3! + 2 33 + 2 +! 33 + 2 + (e) 5 4 +!+ 2 5 (f) 5 4 +! 2 5 5 3 6 + (g)!+ 6 3 + 2 (j) + 3!+ (m)!+ 2 3 + 3 (h) (k) (n)!!+! 5 3 6 + 6 3 + 2 2 + 3 5 3 + 2 (i) (l)!+!+ (0)! + + 3 3 + 3 2 jj 3.2 LimiteContinuidade Uma função y = f () é contínua no onto 0 de seu domínio quando tiver ite no onto 0 e, além disso,! 0 f () = f ( 0 ) Quando f () não for contínua no onto 0, diremos que f é descontínua em 0 e isto ocorrerá quando ao menos uma das condições abaio se veri car ou f não estiver de nida no onto 0 ;
24 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS ou o ite de f () no onto 0 não eistir; ou f tiver ite em 0, mas, o valor do ite não coincidir com f ( 0 ) EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 3.2. Verdadeiro (V) ou Falso (F)? (a) f () = f () =) f é contínua em = a + (b) Se jf ()j eiste, então f () também eiste. (c) Se jf ()j = 0, então f () = 0 8 < 2. Calcule f (), onde a função f R! R é de nida or f () =! Esta função é contínua em =? 2, se 6= 3; se = 3. Seja f uma função real contínua, de nida em torno do onto a =, tal que f () = 2 3 + 2, ara 6=. Quanto vale f ()? Por quê? 4. Em cada caso, determine o valor de k, de modo que a função f () seja contínua no onto a indicado. 8 < 3 8, se 6= 2 (a) a = 2; f () = 2 k, se = 2 8 < 3, se > 0 e 6= 3 (b) a = 3; f () = 3 k, se = 3 5. Seja f a função de nida or f ( ) = 2 e f () = 2 +, ara 6= + no onto =? Por quê? E no onto = 0?. A função f é contínua 6. Dê eemlo de uma função f, de nida em R, descontínua no onto = 2, mas que satisfaça f () = f ()!2 +!2 7. Seja f uma função tal que jf ()j 2, 8 2 R. Mostre que f é continua em = 0 8. Esboce o grá co e encontre os ontos de descontinuidade da função f, de nida or 8 2 2 + 3 ><, se 5 f () = 6 5, se < < 3 > 3, se 3
COMPLEMENTOS LIMITE & CONTINUDADE 25 9. Em cada caso, esboce o grá co da função e diga se ela é contínua no onto a indicado. ( 8 2, se > < 2, se 6= 2 (a) a = 0; f () = (b) a = 0; f () = j 2j 2, se, se = 2 ( (c) a = ; f () = 2 2 3 0, se < 0 (d) a = ; f () = + [], se 0 NOTA No Eercício 9(d), [] reresenta o maior inteiro menor ou igual a e a função corresondente 7! [] é denominada função escada. 0. Seja f a função cujo grá co encontra-se esboçado abaio. (a) Calcule!0 f() (b) Calcule!3 f() (c) Calcule f(0) (d) Calculef(3) (e) f é contínua no onto = 0? (f) f é contínua no onto = 3? 3 2 + + + 3. Eiste um número real caaz de fazer com que! 2 2 + 2 eista? 2. Uma comanhia ferroviária cobra R$0 or km, ara transortar um vagão até uma distância de 200km, cobrando ainda R$8 or cada km que eceda a 200. Além disso, essa mesma comanhia cobra uma taa de serviço de R$.000 or vagão, indeendentemente da distância a ercorrer. Determine a função que reresenta o custo ara transortar um vagão a uma distância de km e esboce seu grá co. Essa função é contínua em = 200? 3. Uma fábrica é caaz de roduzir 5.000 unidades de um certo roduto, em um turno de 8 horas de trabalho. Para cada turno de trabalho, sabe-se que eiste um custo o de R$2.000,00, relativo ao consumo de energia elétrica. Suondo-se que, or unidade roduzida, o custo variável, dado o gasto com matéria rima e salários, é de R$2,00, determine a função que reresenta o custo total ara a fabricação de unidades e esboce seu grá co. A função encontrada é contínua ara 0 45000? 4. Um estacionamento cobra R$3 ela rimeira hora, ou arte dela, e R$2 or hora sucessiva, ou arte dela, até o máimo de R$0. Esboce o grá co do custo do estacionamento como uma função do temo decorrido e analise as descontinuidades dessa função. 5. Prove que a equação 5 + + = 0 tem ao menos uma raiz no intervalo [ ; 0]
26 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 6. Prove que a equação 3 4 + 2 = 0 admite três raízes reais e distintas. ( 2 + 2, se 2 < 0 7. Considere a função f de nida or f () = Mostre que não eiste um 2 2, se 0 2 número no intervalo [ Intermediário? 2; 2] tal que f () = 0. Isto contradiz o corolário do Teorema do valor 8. Quais das seguintes a rmações sobre a função y = f () ilustrada abaio são verdadeiras e quais são falsas? (a)!0 f() eiste. (b)!0 f() = 0 (c)!0 f() = (d)! f() = (e)! f() = 0 (f) f() eiste no onto a em ( ; ). 9. Elique or que os ites abaio não eistem. (a)!0 jj (b)! + 3 (c)! 2 ( ) ( + 2) 2 + 3 (d)! RESPOSTAS & SUGESTÕES 3. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES. (a) 9 (b) 3=2 (c) 7 (d) =2 (e) 4 (f) =3 (g) 4=3 (h) =6 (i) (j) 4 (k) =(3 2) (l) 0 (m) 3 3 4 (n) 32 (o) =2 () =3 f (3) f (u) (a) Com u = 3; tem-se = 3!0 u!0 u (b) Faça u = 2 f 2 uf (u) e encontre =!0 u!0 u 2. 4 e 2 3. 5 4. 5. Use a relação 0 jf () g ()j M jf ()j e a roriedade do Confronto.
COMPLEMENTOS LIMITE & CONTINUDADE 27 6. A função g () não tem ite em = 0 e!0 2 g () = 0 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) f () + + 4 2 5=5 2 =6 2 =4 f () + + 4 2 5=5 2 =6 2 =4 + 7. Quando! 2 + o ite eiste e vale 0. Quando! 2 o ite não eiste, orque a função não está de nida à esquerda de = 2 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) () (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 5=6 0 5=6 =2 3.2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES. (a) F (b) F (c) V 2.! f () = 2 e f () = 3 Logo, f é descontínua em a = 3. Como f é contínua em a =, devemos ter f () = 4. (a) k = 2 (b) k = 3=6 5. f é contínua em e descontínua em 0 6. Considere, or eemlo, a função f de nida assim f () =, ara 6= 2 e f (2) = 0 7. = 3 é a única descontinuidade de f 8. Use a Proriedade do Confronto. 9. (a) sim (b) sim (c) não (d) não. 0. (a) 3 (b) não eiste (c) 3 (d) 4 (e) sim (f) não.. Se = 5, o ite será 2. Se 200, o custo C () é determinado em reais or C () = 000 + 0. O custo ara uma distância de 200 km é, ortanto, C (200) = R$3000. Se a distância ecede 200 km, isto é, se > 200, então o custo total será dado or C () = 3000 + 8( 200). Resumindo, temos C () = 000 + 0, se 0 < 200; e C () = 400 + 8, ara > 200 Essa função é contínua em = 200
28 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 3. Se 0 5000, um único turno de trabalho será su cente e, assim, C () = 2000 + 2. Se 5000 < 45000, então a fábrica deverá oerar em 3 turnos e, nesse caso, C () = 6000 + 0 Nesse intervalo a função custo é descontínua. 4. As descontinuidades ocorrem nos instantes t = ; t = 2; t = 3 e t = 4 5. Basta observar que f ( ) < 0 e que f () > 0 A conclusão segue do Teorema do Valor Intermediário. 6. Use o Teorema do Valor Intermediário ara a função f (), nos intervalos [ 3; 0] ; [0; ] e [; 2] 7. Não. Como a função não é contínua em [ 2; 2], o fato não contradiz o resultado citado. 8. V, V, F, F, F, V. 9. Em cada caso, note que os ites laterais, quando eistem, são diferentes.