. Números reais, regras básicas de cálculo com fracções, expoentes e radicais Sumário: Número reais, regras básicas de cálculo com fracções, expoentes e radicais. Ler secções. e. do livro adoptado.. Pre-calculo 0/04 (a) Determine o mínimo múltiplo comum entre 6 e 0. (b) Simplifique: 5 6 + 7 0. (c) Calcule o valor da expressão numérica e apresente o resultado na forma de fracção irredutível: 5 + ( 5 0 6 + 7 ). 0.. Calcule o valor da seguinte expressão numérica ( 7 5 4 + )... Calcule o valor de cada expressão numérica e apresente o resultado na forma de fracção irredutível ( ) (a) /4 4 (d) + ) (b) /4 / / (e) ( ) ( ( 4 (c) 4 0, (f) /. ) ( ).4. Ordene cada par de números reais por ordem crescente: (a) 4 5 4 (d) (b) 4 4 5 (e) 8 4 9 (c) (f) 4 4 6..5. Considere os seguintes conjuntos de R. Determine: (a) A B (b) A B A =],+ [ B = { 5,}
(c) A\B (d) B\A..6. Considere os seguintes conjuntos de números naturais: S = {,,,9,0,} Pre-calculo 0/04 T = {4,5,6,7,8} V = {x N : x x }. Determine: S T, S T e S V..7. Represente na recta real: (a) {x R : < x < 6} (b) {x R : x < 6} {x R : x } (c) {x R : x < 4} {x R : x > 4 x 8}..8. Determine: (a) 5 (d) e (b) 5 (e) π. (c) x y, sabendo que x = 5 e que y = 7.9. Marque na recta real 5 (aproximadamente)..0. Calcule (a) 4 (e) ( ) 5 (b) 4 (f) ( ) 5 (c) ( ) 4 (g) ( ) 4 (d) 5 (h) 0... Simplifique as seguintes expressões, apresentanto o resultado sob a forma de potência ou produto de potências de base prima: (a) ( ) 4 (f) 5 6 (b) 99 7.99 (g) 6 6 4 (c) 4 + 5 (h) 6.6 4 (d) 4 + 5 (i) 6 : 6 4 (e) ( 4 + 5 ). (j) 6 5.
.. Sejam x,y R\{0}. Escreva uma expressão equivalente a cada expressão dada em que não existam expoentes negativos. 6xy 4 ( ) x a) x y b) y. Pre-calculo 0/04.. Determine: (a) (8) 4 (c) 4 + (b) ( 7) (d) ( + 4 + 5 )..4. Simplifique: (a) (b) 6 6 (e) 4 4 6 4 4 4 6 (f) 4 8 8 4 (c) 4 (d) (g) 4 ( 5 6) 0 6 5 6 (h) ( 5). 7.5. Simplifique, determinando o valor real correspondente sem radicais: (a) 6 (e) 5 5 96 (b) 4 6 (f) ( 5) (c) 8 (g) ( 6 ) 4 (d) 8 7 (h) ( 6 4. ).6. Simplifique: (a) 4 + 54 6 (e) ( ) (b) 75 + 5 7 (f) ( 5 + ) (c) 8 + 6 (g) ( )( + ) (d) 4 + (h) ( 6 7 ).
.7. Escreva cada um dos seguintes números reais na forma de uma fracção com denominador racional: (a) (e) 5 (b) (f) Pre-calculo 0/04 (c) (d) (g) 6 5 0. ( + )..8. Sabendo que = 44, deduza que 4 =..9. Ordene os seguintes números reais por ordem crescente. (a) 90 /0 00 /0 (b) 90 0 00 0 (c) 7 (d) 7.0. Encontre um valor n N tal que (a) n < 0,0 (b) n n! < 0,00.. Seja n N. Simplifique, apresentando o resultado na forma de fracção: (a) n n n+ n + (b) n! (n + )! : (n + )! (n + )!. Exercícios extra: exercícios das páginas 0 e do livro. 4
. Equações e inequações Sumário: Expressões algébricas, monómios, polinómios, soma e produto de polinómios, dominio de expressões algébricas, equações lineares, equações, inequações. Ler secções.,.5,.7 do livro adoptado... Simplifique: Pre-calculo 0/04 (a) (x 6x + x + 4) + (x + 5x 7x) (d) (x + x ) (g) (x + x) (b) (x 5x + ) (x x + ) (e) (x x ) (h) (x + x + )(x + x ) (c) (x + )(x 5x + ) (f) (x x )(x + x ) (i) (x + x + )... Simplifique: (a) x 4x + + x + 4x 4 (g) (x + ) (b) x(x x ) (h) x + x x + (c) ( + x)( + x) (i) (x )(x + ) (d) ( x)( + x) (j) x + x x + 8x + 6 4x + 4 x (e) ( x + + )( x + ) (l) ( + x) (f) (x / + a / )(x / a / ) (m) (x + /x)... Factorize (sem determinar raízes): (a) 9x 6x (e) x xy + y (b) 8x y + 6x y 6x 4 y (f) x 8x + 98 (c) (x 4) y x + 6x (g) x + 7x + (d) (x 4) y xy + 4y (h) 6x + 4x 54..4. Factorize: (a) x 4 y + x y + (b) x + x + x + (c) x + x + x +..5. Encontre o domínio de cada uma das seguintes expressões algébricas: (a) x + 4x 4 (c) x + (e) x + (b) x + x + 7x + (d) x 6x + 7x 5 (f) x /x x 4x + 4..6. Simplifique, eliminando factores comuns: 5
Pre-calculo 0/04 x 4 (a) x + x (f) x ( + x ) / ( + x ) / + x ( (b) x 4x + 4 4x x x (g) x + x ) (c) x + x 6 x + 6x + 9 : x x + 9 (d) x + x x + (h) ( + x x ) / + x ( x) (i) (x + ) x. (e) x/ + 4/x (j) +h. h.7. Resolva as seguintes equações lineares (a) 4x + = 9 (b) x + = (c) 8x = x + 8..8. Mostre que:.9. Resolva as seguintes equações: ax + bx + c = 0 x = b ± b 4ac. a (a) x 9 = 0 (e) 9x 6x = 0 (b) x = 4 (f) x + 7x + = 0 (c) (x + 9)(x + ) = 0 (g) 6x + 7x 5 = 0 (d) (x + 9)(x + ) = 8 (h) x + 4x + 4 = 8..0. Determine o conjunto solução das seguintes equações: (a) x 5x + = 0 (g) x = x (b) x x 6 = 0 (h) x = x (c) x + 5x = (i) x + 5 x + = (d) x + 8x = 8x (j) x x = (e) x 4 5x + = 0 (f) 5x + 0 = x + 5 5 (k) x x x 4 = 8. 6
.. Determine o conjunto dos números reais que verificam cada uma das seguintes condições: (a) x x = (d) x + = x + (g) x = x (b) x + x = 5 (e) x + x + = 9 (h) (x ) = 5 Pre-calculo 0/04 (c) x x = x (f) x = x (i).. Resolva as inequações seguintes: (x + ) x + (a) x + > 0 (f) < x + 4 < 5x (k) + x (b) x + 4 > 0 (g) (x + )(x ) > 0 (l) x < x (c) 4x + 7 > 9 (h) x + x > 0 (m) x 5 < =. (d) 4x + 7 > 9 (i) x + > 0 (n) 8 x 6 x (e) x + 4 < 5x (j) x > 0 (o) x +.. Determine o conjunto dos números reais que verificam cada uma das seguintes condições: (a) 4x + 4 < 5x + < 4x + (d) (x )(x ) (x ) 0 (g) x 4 x (b) x + 8x < 0 (e) + 5 x x > x + 5 (h) x x 6 0 x + (x ) (x + ) (c) x 6 0 (f) 4 x (i) x. + 6. Exercícios extra: exercícios das páginas 4,4,55,56,84 e 85. 7
. Funções e gráficos de funções. Sumário: função, domínio, imagem e gráfico de uma função. Parábolas e rectas. Soma composta, produto e quocientes de funões. Funções injectivas, bijectivas e inversas. Ler secções.,.,.,.4,.5,.7,.8. Nota: quando não explicitamente indicado, entende-se aqui que o domínio de uma função real de variável real é o maior subconjunto de R para o qual a expressão dada faz sentido. Pre-calculo 0/04.. Considere a função que a cada x faz corresponder x +. (a) Determine f() e f(0). (b) Determine o domínio e a imagem de f... Considere a função g que a cada x faz corresponder x +. (a) Determine g(4) e g(9). (b) Determine o domínio e a imagem de g... Determine o domínio das funções f, g, h, s, t e v cujo termo geral é dado respectivamente por: (a) f(x) = x (d) i(x) = x x x (g) k(x) = 4 x 6x (b) g(x) = x + x (e) j(x) = 9 x (h) m(x) = x 9 (c) h(x) = x (f) l(x) = x + x (i) n(x) = x + x..4. Indique o valor de cada uma das seguintes funções nos pontos indicados: (a) f tal que f(x) = x + x nos pontos, e 4 (b) g tal que g(x) = x 4x nos pontos 0, e (c) h tal que h(x) = x nos pontos,0,, e { x (d) i tal que i(x) = + x + se x < 0 nos pontos, e 0 se x 0 x se x (e) j tal que j(x) = x + se < x < 0 nos pontos,0, e. (x ) se x.5. Dada f função real de variável real tal que f(x) = x + 4, determine (a) f( x ) (c) f(x) (e) f(x ) (b) f(x) (d) f(x) (f) (f(x))..6. Esboce o gráfico das seguintes funções: 8
(a) f : R R x x (d) i : R R x 4 x (g) l : R R x x (b) g : R R x x + (e) j : R R x (x + 4) (h) m : R R x x + (c) h : R R x x (f) k : R R x (x ) (i) n : R R x x 8 Pre-calculo 0/04.7. Esboce o gráfico das funções cujo termo geral é dado, indicando o domínio: (a) f(x) = x (b) g(g) = x (c) h(x) = x + 4 (d) i(x) = x + 4 (e) j(x) = x +..8. Considere a função h que a cada x faz corresponder 4 x. (a) Determine o domínio de h (b) Determine a imagem de h..9. Esboce o gráfico de f : R { R x se x x x + se x >.0. Esboce o gráfico das funções f e de g que a cada x fazem corresponder f(x) = x e g(x) = x 4, respectivamente... Esboce o gráfico da função cujo termo geral é x.. Esboce o gráfico das funções cujo termo geral é dado por: (a)f(x) = x + + (b)g(x) = x (c)h(x) = e indique o seu domínio e imagem. { x se x 0 x + se x > 0.. Seja f : R R x x x + e g : R R x x + x + f e o de g.. Esboce o gráfico de.4. Seja f(x) = x e g(x) = x. (a) Caracterize as funções e indique os seus domínios. f + g,f g,fg,f/g (b) Indique (f + g)(9),(f g)(9),(fg)(9),f/g(9). (c) Caracterize f g e g f. 9
(d) Indique f g(9) e g f(9)..5. Se f : R+ R x x indicando o seu domínio: g :],] R e x x, descreva as seguintes funções (a) f g (b) g f (c) f f (d) g g. Pre-calculo 0/04.6. Considere as funções f e g e determine f g, f f e g f indicando os seus domńios: (a) f(x) = x, g(x) = x 4 (c) f(x) = x, g(x) = x + x (b) f(x) = x +, g(x) = x (d) f(x) = x, g(x) = x. x +.7. Quais das seguintes funções são injectivas? (a) (a) f : R R x x (c) f : R R x 4x + 5 (e) f : R R x x f : R + R x x (c) f : R R x x 4 + 6 (e) f : R + R x x..8. Caso exista, encontre as funções inversas de cada uma das funções dadas e esboce os gráficos das funções f, g e h: (a) (b) (c) (d) f : R R x 4x + 5 g : R R x x h : [,+ [ R + 0 x x i : R\{ } R x x x +..9. Mostre que a inversa da função f : R R é a função g : R R, se: x se x 0 f(x) = x se 0 < x x + x se x > + x se x < g(x) = x se x < 0 se x 0 Exercícios extra: exercícios das páginas 55, 56, 67, 68, 69, 8, 9, 0, 0,. 0
4. Operações com polinómios Sumário: Divisão de polinómios, zeros de polinómios, Regra de Ruffini. Ler secção.. 4.. Dados os polinómios p(x) e d(x), exprima p(x) na forma p(x) = d(x)q(x) + r(x). Pre-calculo 0/04 (a) p(x) = 6x 6x +, d(x) = x 4. Indique o valor de P(4). (b) p(x) = x 7x + 6x,d(x) = x 4x + 4. Indique o valor de P(). (c) p(x) = 8x 4 + 6x x +,d(x) = x x +. (d) p(x) = 4x + 7x + 9,d(x) = x +. Indique o valor de P( /). (e) p(x) = x 5 + 4x 4 4x x,d(x) = x. (f) p(x) = x 5 + x x,d(x) = x. 4.. Dados os polinómios p(x) e d(x), exprima p(x) na forma p(x) = d(x)q(x)+r(x) utilizando a regra de Ruffini. (a) p(x) = 6x + 6x 68x +,q(x) = x. Indique o valor de p(). (b) p(x) = x 7x + 6x,q(x) = x. Indique o valor de p(). (c) p(x) = x 5x + 4,q(x) = x. Indique o valor de p(). (d) p(x) = x + x + x +,q(x) = x +. Indique o valor de p( ). 4.. Construa polinómios de grau 4 com raizes,0,,5. 4.4. Construa polinómios de grau 4 divisiveis por x + x + e com raizes e. 4.5. Factorize os seguintes polinómios: (a) x x x (b) 4x 4 + 4x 8x (c) x + x 4 sabendo que admite a raiz (d) x + x x sabendo que admite a raiz (e) x x x + sabendo que admite a raiz / (f) x + 5x 4x 0 sabendo que admite a raiz (g) x x + (h) x x + x (i) x + x x + 6. Exercícios extra: exercícios das páginas 70,7.
5. Funções trignométricas. Sumário: Funções trignométricas de números reais o circulo unitário, as funções sen, cos, tg e cotg, gráficos das funções trignométricas, funções pares e impares, funções periodicas. Funções trignométricas de ângulos. cos e sen da soma e da diferença. Ler secções 5.,5.,5.,5.4,6.,6., 7.,7., 7.5 Pre-calculo 0/04 5.. Mostre que os pontos ( ( ), ) 6 (, 5, 4 ) ( 5, 5, ) (, 4, pertencem ao circulo de raio centrado na origem do plano xy. 5.. Sabe-se que o ponto P = a) ao primeiro quadrante b) ao quarto quadrante. ) 5 ( ( ),y ) do circulo unitário pertence: Indique em cada um dos casos a sua ordenada. 5.. Seja P um ponto do circulo unitário. Encontre as coordenadas de P = (x,y) em cada um dos casos: a) x = 4 5 e y 0 b) y = e x < 0 c) x = e P está abaixo do eixo dos xx s. 5.4. Para cada um dos seguintes valores reais t, determine as coordenadas do ponto P t do círculo unitário centrado na origem de tal modo que seja igual a t o comprimento do arco do círculo percorrido entre o ponto (,0) e o ponto P t, no sentido directo se t > 0 e no sentido retrógrado, se t < 0 (Ou seja, t é a medida em radianos do ângulo com vértice em (0,0) e determinado pelos pontos (,0) e P t, contada com sinal positivo ou negativo conforme seja percorrido no sentido directo ou retrógrado, respectivamente) a) t = π b) t = π 6 c) t = π d) t = 7π 6 5.5. Determine: 4 e) t = π 6 f) t = 5π. a) cos ( ) ( π e) sen π ) i) cos ( π b) tg ( π ) f) tg ( π ) j) cos ( π c) sen ( 9π 4 d) cotg ( π ) + sen ( ) π ) + sen ( ) π ) ( ) g) sen 9π 4 k) cos ( π ) + sen ( π ) ) h) cotg ( π ) l) cos ( ) π + sen ( π ). 5.6. Seja t no quarto quadrante. Sabe-se que cos(t) = 5. Determine sen(t),cos(t),tg(t) e cotg(t).
5.7. Sabendo que tg(α) = 5 e que π < α < 0. Determine sen(α/),sen(α),cos(α ). 5.8. Determine sen(t),cos(t),tg(t) e cotg(t) se: a) t = 5π 6 d) t = π 6 g) t = 7π 4 b) t = 5π e) t = 7π 6 h) t = π 4 Pre-calculo 0/04 c) t = π f) t = π 6 i) t = 0π 6. 5.9. Determine o sinal de cada uma das seguintes expressões: (a) t + sen(t), se t pertencer ao primeiro quadrante (b) sen(t) + cos(t), se t pertencer ao primeiro quadrante (c) sen(t)cos(t), se t pertencer ao segundo quadrante. 5.0. Esboce o gráfico das funções cujo termo geral é dado por: a) a(x) = + cos(x) h) h(x) = sen(x) b) b(x) = cos(x) i) k(x) = sen(x π/) c) c(x) = cos(x) j) i(x) = sen(x π/) d) d(x) = cos(x) k) j(x) = sen(/x) e) e(x) = cos(x) l) l(x) = sen(x) f) f(x) = cos(x) m) m(x) = cot(x) g) g(x) = sen(x) n) n(x) = tg(x). 5.. Exprima: (a) π/ radianos em graus (b) 0 o em radianos. 5.. Considere o seguinte triângulo: Determine sen(φ), cos(φ) e tg(φ).
5.. Simplifique as expressões trignométricas: Pre-calculo 0/04 a) cos(t) + tg(t)sen(t) f) cos(x) cos(x) tg(x) b) sen(θ) cos(θ) + cos(θ) + sen(θ) g) tg(θ) + cos( θ) + tg( θ) ( ) c) cos(θ) cos(θ) cos(θ) sen (θ) h) (sen(x) + cos(x)) d) tg(x) cos(x) sen(x) (sen(t) + cos(t)) i) + sen(x) sen(t) cos(t) e) cos (x) + sen (x)cos(x) 5.4. Escreva cos(x) em função de cos(x). 5.5. Mostre que: sen(x) sen(x)cos(x) = 4cos(x) cos(x). 5.6. Encontre o conjunto solução das seguintes equações: a) sen(x) = 0 d) + sen(x) = cos (x) b) sen(x) = cos(x) e) sen(x) cos(x) = 0 c) cos (x) 7cos(x) + = 0 f) cos(x) + = sen(x). 5.7. Sabendo que α e β são ângulos do e do 4 quadrante respectivamente e que 5 ( π ) sen(π + α) = 5 e sen + β =. Calcule sen(α + β) e sen(α β). 5.8. Resolva as equações: (a) sen(x) + sen(x) = 0. (b) sen(x) + sen(6x) = 0 (c) sen(5x) + cos(4x) = cos(x) + sen(x). 5.9. Transforme em somas: (a) sen(x) cos(x) (b) sen(x)sen(x) (c) cos(x) cos(5x). 5.0. Transforme em produtos: (a) sen(x) + 4
(b) sen(x). 5.. Considere a função g definida em [0,π] por (a) Determine os zeros da função g. g(x) = sen(x) + sen(x). Pre-calculo 0/04 (b) Mostre que, para qualquer x ]0,π/[, g(x) é a área de um triângulo ABC, em que: x é a amplitude do ângulo BCA BC = BH é a altura relativa ao vertice B AH =. 5.. Mostre que: cos(x) + cos(x + π ) + cos(x π ) = 0. Exercícios extra: Exercícios das páginas 406, 407, 46, 47, 49, 40, 44, 455, 456, 496, 5, 54, 548, 549, 568, 569 5
6. Funções exponencial e logarítmica. Sumário: Função exponencial e logaritmica de base a, a > 0 e a Ler 4., 4., 4., 4.4. 6.. Considere f e g as funções reais de variável real cujo termo geral é f(x) = 9 x e g(x) = (/9) x. Pre-calculo 0/04 (a) Determine: f(0) f(/) f( /) f() f( ) f( ). (b) Determine: g(0) g(/) g( /) g() g( ) g( ). (c) Esboce os gráficos de f e de g. (d) Determine o conjunto solução das seguintes inequações: (i) 9 x 8 9 > 0 (ii) 9 x 8 9 x x > 0 ( ) x ( ) x+ (iii) > 0. 9 6.. Use o gráfico da função cujo termo geral é f(x) = x para esboçar o gráfico das funções cujo termo geral é dado por: g(x) = + x h(x) = x k(x) = x l(x) = x. 6.. Considere as funções reais de variável real f e g cujo termo geral é respectivamente dado por: Mostre que: (a) f( x) = f(x) (b) g( x) = g(x) f(x) = ex + e x e g(x) = ex e x. (c) (f(x)) (g(x)) = (d) g(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x). (A função f é conhecida por cosseno hiperbólico e a função g por seno hiperbólico.) 6.4. Resolva em R a seguinte inequação: xe x + x + e x+4 + e 4 > 0. 6.5. Determine: (a) x tal que 0 x = 000 (c) x tal que 0 x = 0. (e) x tal que 4 x = 6 (g) x tal que 6 x = 4 (b) log 0 000 (d) log 0 0. (f) log 4 6 (h) log 6 4. 6
6.6. Determine: (a) log 5 (c) log 5 5 (e) log 5 5 8 (g) 5 log 5 (b) log e (d) log e e (f) log 5 5 (h) e log e 5. 6.7. Determine o domínio das funções f,g,h e i cuja expressão é dada por: Pre-calculo 0/04 f(x) = + log 5 x g(x) = log 0 (x ) h(x) = log e x i(x) = log e x. 6.8. Determine: (a) log 8 (f) log 8 (m) log 5 (r) 5 log 5 (b) log 8 (h) log 8 4 (f) log 4 (n) log 6 6 ( ) (c) log 7 (i) log 49 7 (o) e log e π ( (s) log 4 (d) log 6 (j) log0. 0 (p) log 8 0.5 (t) log e ( e (e) log 5 0. (l) log 7 (q) log e e 4 (u) log 4 8. 6.9. Determine o domínio das funções cujo termo geral é dado e, sempre que possível, a sua inversa: (a) f(x) = log 0 (x + ) (c) g(x) = log (x ) (e) h(x) = log e (x x ). (b) i(x) = log (log 0 (x))) 6.0. Transforme num só logaritmo: 6.. Determine (d) j(x) = log e (log e (x)) log e (x) + log e(x + ). ) ) (a) (log 0 8)(log 8 5) log 0 ( ) (b) log (80) log 5. 6.. Usando as propriedades dos logaritmos, transforme as seguintes expressões numa expressão da forma log a b: (a) log 0 () + log 0 7 log 0 (b) log 5 (x ) log 5 (x ) (c) log e (a + b) + log e (a b) log e c (d) (log 5 x + log 5 y log 5 z) (e) log a b + clog a d r log a s. 7
6.. Determine o conjunto dos x R para os quais a expressão faz sentido, log e (x x ) = log e (x + x ). 6.4. Resolva as seguintes equações: (a) e x = 4 Pre-calculo 0/04 (b) e x e x 6 = 0 (c) xe x + x e x = 0 (d) log (5 x) = (e) 4 + log e (x) = 6 (f) 4e log e x = x (g) log (x ) = 0 (h) log (x ) = (i) log x + log (x ) = (j) log 7 (x + ) log 7 (x 5) = 0 (k) log 5 (x 7 ) log 5 x = log 5 (x + ) (l) log e (x + ) + log e (x ) = 6.5. Caracterize a função inversa de cada uma das seguintes funções definidas em R pela expressão: (a) f(x) = ( ) x (b) g(x) = x (c) h(x) = 5 + log x (d) i(x) = 4 log 5 (x + ). 6.6. Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes inequações: (a) e x < (e) xlog (x ) < 0 (b) e x < (f) xlog (x + ) < x (c) log / (x 4) < (g) xlog (x + x) > 0 5 (d) log e (x 4) < (h) 5(log x) 4log x < 0. Exercícios extra: Exercícios das páginas 6, 7, 49, 50, 5, 56, 57, 66, 67, 8 e 85. 8
7. Sucessões e limites. Sumário: Sucessões, monotonia e limites. Ler.,.,.. 7.. Determine os 5 primeiros termos de cada uma das sucessões definidas abaixo. (a) a n = n (c) c n = n (e) e n = ( ) n Pre-calculo 0/04 (b) b n = n n+ (d) d n = ( )n n (f) f n = cos(nπ). 7.. Encontre os 5 primeiros termos da sucessão v n tal que v = e v n = (v n + ). 7.. Encontre os 5 primeiros termos da sucessão f n tal que f =, f = e f n = f n + f n. 7.4. Indique subsucessões das seguintes sucessões u n = ( ) n (n ) v n = cos(nπ) w n = [ + ( ) n ] 7.5. Mostre que as seguintes sucessões não são monótonas: (a) f n = n 5 { n + se n (b) g n = n n+ se n >. 7.6. Mostre que são monótonas as seguintes sucessões: (a) d n = n + n (b) e n = n + n +. 7.7. Determine os limites das sucessões seguintes: (a) a n = n + n + (e) d n = (n n ) (i) g n = (b) b n = n + n 4 n (c) c n = n + n + n (f) e n = ( )n 7 n n+ + n+ (j) h n = n+ 5 n n+ 5 n+ (g) f n = n (l) i n = n n + (d) d n = n + n + (h) h n = n n (m) m n = n n + + 8n n+. 9
Pre-calculo 0/04 7.8. Calcule os limites das sucessões cujo termo geral é: (a) a n = ( ) n + n (d) d n = n + ( ) n + n ( (g) g n = ) n+ n + n ( ) n + n+ ( ) n + n ( n ) n + (b) b n = (e) e n = (h) h n = n + n + 7 n + ( ) n + 5 n ( ) n + n (c) c n = (f) f n = (i) i n = ( n ) n n + 4n + 4. 7.9. Calcule p de modo que: lim 7.0. Determine se existir o limite da sucessão ( ) n + 6 pn+ = e 5. n + u n = 5( )n n + + ( )n. Exercícios extra: Exercícios das páginas 80, 8, 87. 0
8. Funções e limites. sen(h) Sumário: limite da soma, diferença, produto e quotiente de funções. lim h 0 h Ler secções. e.4 do livro adoptado. =. 8.. Determine, caso existam, os seguintes limites: Pre-calculo 0/04 (a) lim(x x + 4) x 5 ( x + x (b) lim x 5 x ( + h) 9 (c) lim h 0 h x (d) lim x 0 x x x (e) lim x x x x (f) lim x x (g) lim x x 8 x 5 x (h) lim x 0 (i) lim x 0 + x + x (s) lim x 6 ( x + 6 + x) ) (t)lim x 8 x 8 (u) lim x x x 4 (v) lim cotg(x) x 0 (w) lim x 5 x + 5 (x) lim x x 4 x + x 6 (y) lim x (z) lim x ( x ) x (za)lim xsen x 0 x sen(x) (j) lim x 0 sen(5x) tg( 6x) (k) lim x 0 tg( x) (l) lim x 0 tg(7x) tg(4x) (zb) lim x (zc) lim x (zd) lim x (m) lim x 0 cos(x) x (ze) lim x 0 x x + x x x + x x x x 5x x 7x + 6 x x (x ) x + x ( x ) x + x x cos(x) cos(x) (n) lim (zf) lim (π/ x)tg(x) x 0 cos(x) x π/ cos(x) x b a b (o) lim x π tg(x) (zg) lim x a x a (p) lim x π/4 cos(x) sen(x) (zh) lim cos(x) (q) lim x 0 cos(x) x (zi) lim x 0 tg(x) x 0 sen(x) ( sen(x) tg(x) cos(x) cos(x) (r) lim (zj) lim. x 0 + x x 0 x ) 8.. Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites (a) lim x + x 5 4x 5 + x 0
Pre-calculo 0/04 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) lim x lim x + lim x lim x x 5 4x 5 + x 0 x x + 5x + 4 7x x 4 + x x + x xcos(x) lim x + x 4 lim x + x x x + sen(x) lim x + (x x) lim x + x x + 8.. Determine os seguintes limites (i) lim x x 0 sen(x) sen(x 0 ) x x 0 (ii) lim x x 0 cos(x) cos(x 0 ) x x 0. Exercícios extra: Exercícios das páginas 897, 898, 95.