UIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CETRO DE TECOLOGIA CURSO DE EGEHARIA CIVIL IURI BARCELOS CAREIRO MOTEEGRO DA ROCHA AÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE TUBOS COMPÓSITOS LAMIADOS FORTALEZA
IURI BARCELOS CAREIRO MOTEEGRO DA ROCHA AÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE TUBOS COMPÓSITOS LAMIADOS Moogaa sbmetda à Coodeação do Cso de Egehaa Cvl da Uvesdade Fedeal do Ceaá, como eqsto pacal paa a obteção do ga de Egeheo Cvl. Oetado: Po. D. Sc. Evado Paete Jo FORTALEZA
R57a Rocha, I Bacelos Caeo Moteego da Aálse e otmzação de tbos compóstos lamados / I Bacelos Caeo Moteego da Rocha. Fotaleza,. 7. l.; colo. ec. Oetado: Po. D. Evado Paete Jo Moogaa (gadação) - Uvesdade Fedeal do Ceaá, Ceto de Tecologa. Depto. de Egehaa de Egehaa Esttal e Costção Cvl, Fotaleza,.. Tbos. Resas compostas. Método dos elemetos tos I. Paete Jo, Evado (oet.) II. Uvesdade Fedeal do Ceaá Gadação em Egehaa Cvl. III.Títlo CDD 6
v IURI BARCELOS CAREIRO MOTEEGRO DA ROCHA AÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE TUBOS COMPÓSITOS LAMIADOS Moogaa sbmetda à Coodeação do Cso de Egehaa Cvl da Uvesdade Fedeal do Ceaá, como eqsto pacal paa obteção do ga de Egeheo Cvl. Apovada em //
v Aos mes pas, Palo Moteego e Maa das Gaças Bacelos Obgado po todo o amo e também pela pacêca.
v AGRADECIMETOS A mes pas, Palo Agsto Moteego da Rocha e Maa das Gaças Bacelos Caeo, pelo amo, dedcação, estímlo e apoo essa loga camhada. À mha ta Áea Izabel da Slva, po te sdo tão mpotate qato mes pas em todas as etapas da mha omação. Ao me oetado, Evado Paete Jo, po se ão apeas m modelo de poesso, mas também m modelo de dedcação, esoço e hoestdade. Obgado po te ajdado a oma o qe e vm a se hoje. À mha amoada, Rebeca olêto Ates, po todos os mometos de elcdade ao logo desses aos e po me apoa em mometos díces. Ao me to Egêo Moteego, exemplo de egeheo cvl e de se hmao, o qal poco me espelha a cada da. Ao me pmo Adé Rocha Stdat qe, apesa de te covvdo comgo po apeas algs das, é ma das pessoas mas especas qe já cohec e m exemplo de scesso acadêmco o qal me spo. Ao me gade amgo Raael Feades, pelos mometos de descotação e po me ajda o desevolvmeto do tabalho. Po m, aos mes amgos, à mha mã Katcha Bacelos e à toda a mha amíla, pela boa covvêca qe me mplsoa a cada da a bsca de mes deas.
v RESUMO Mateas compóstos, ões de dos o mas mateas com o objetvo de obte m mateal cjas popedades mecâcas são speoes às de sas pates compoetes, são cescete oco de estdo cetíco. Com a bsca de esttas mas leves e esstetes paa atvdades dstas como a exploação de petóleo e a aeoátca, mateas compóstos têm elevada aplcabldade. Poém, estes mateas apesetam compotameto mecâco complexo e, potato, de dícl aálse. o caso de compóstos lamados, a maplação das vaáves de pojeto pemte adapta a estta ao estado de cagas a se spotado. a aálse de tas tbos, eametas mécas, como o Método dos Elemetos Ftos, são tlzadas. o qe dz espeto à etapa de pojeto, devdo ao elevado úmeo de vaáves, métodos de tetatva e eo são ádos e dspedosos. Assm, o so de métodos comptacoas de otmzação, como os de pogamação ão-lea, vem se poplazado. Tas métodos são capazes de oece omações sobe úmeo e âglo de eolameto das lâmas de m tbo, pocado m eqlíbo ete segaça e ecooma. Esta moogaa apeseta omlações de dos elemetos tos paa aálse de tas tbos, cosdeado se mateal ototópco e azedo cosdeações de axssmeta e Estado Plao Geealzado de Deomações. A mplemetação de ma das omlações em m pogama de elemetos tos de códgo-abeto é descta em detalhes. A omlação do poblema de otmzação de tbos lamados é descta e sa solção é obtda po algotmos de pogamação ão-lea. Exemplos mécos tato de aálse qato de otmzação são apesetados e dsctdos. Palavas-chave: Mateas Compóstos, Tbos, Otmzação, Elemetos Ftos.
v LISTA DE FIGURAS Fga. - Classcação de mateas compóstos (BELO, 6).... 7 Fga. Esqema geal de lamação (REDDY, 996).... 7 Fga. Coodeadas locas e globas em m lamado.... 9 Fga.4 Paâmetos de esstêca bdmesoas.... 4 Fga. Malha de elemetos tos axssmétcos bdmesoas.... 9 Fga. Seqêca de obteção de tesões e deomações.... Fga. Deção da oetação das lâmas.... 4 Fga.4 Deção da classe ElcSec.... 4 Fga.5 Elemeto dmesoal com tepolação qadátca.... 7 Fga.6 Resltados do modelo coss-ply.... Fga.7 Resltados do modelo agle-ply.... 4 Fga 4. Pocesso covecoal de pojeto.... 4 Fga 4. Pocesso otmzado de pojeto.... 4 Fga 4. Regões váves e váves.... 44 Fga 4.4 Esqema de lamação smétco.... 5 Fga 4.5 Evolção do pocesso de otmzação (p t = MPa, p ext = MPa).... 57 Fga 4.6 Evolção do pocesso de otmzação (p ext = 5 MPa, = M).... 57 Fga 4.7 Evolção do pocesso de otmzação (p ext = 5 MPa, T = 9M).... 58
x LISTA DE TABELAS Tabela. - Cosseos detoes.... Tabela. - Popedades mecâcas do aço.... Tabela. - Popedades mecâcas do Caboo-Epox (REDDY, 996).... Tabela. - Popedades mecâcas do Gate-Epox T.... Tabela.4 - Esqema de Lamação do modelo coss-ply.... Tabela.5 - Tesões o sstema global o modelo coss-ply.... Tabela.6 - Esqema de Lamação do modelo agle-ply.... Tabela.7 - Tesões o sstema global o modelo agle-ply.... Tabela.8 - Ceáos de caga o modelo de se.... 5 Tabela.9 - Esqema de lamação do modelo de se.... 5 Tabela. - Tesões máxmas o sstema local o modelo de se (MPa).... 6 Tabela. - Tesões máxmas o sstema global o modelo de se (MPa).... 6 Tabela. - Resltados da lamação [55/-55/55/-55] de Xa et al. ().... 6 Tabela. - Resltados da lamação [55/-55//-] de Xa et al. ().... 7 Tabela.4 - Resltados da lamação [55/-//-55] de Xa et al ().... 7 Tabela.5 - Resltados da lamação [55/-55/-55/55/Le] ( 5 kpa).... 8 Tabela.6 - Resltados da lamação [9///9] ( 5 kpa).... 8 Tabela.7 - Resltados da lamação [45/-45/-45/45] ( 5 kpa)... 8 Tabela 4. - Algs algotmos de otmzação.... 46 Tabela 4. - Paâmetos de esstêca tdmesoas do Gate-Epox T (GPa).... 5 Tabela 4. - Resltados paa casos de caga solados.... 54 Tabela 4.4 - Caso A: p ext = 5 MPa; Caso B: Foça axal vaável.... 54 Tabela 4.5 - Caso A: p ext = 5 MPa; Caso B: Pessão tea vaável.... 55 Tabela 4.6 - Caso A: p ext = 5 MPa; Caso B: Mometo toso vaável.... 55 Tabela 4.7 - Caso A: p t = MPa; Caso B: Pessão extea vaável... 56
x SUMÁRIO ITRODUÇÃO.... Objetvos.... Metodologa... 4. Estta da moogaa... 4 MATERIAIS COMPÓSITOS... 6. Deção e Classcação... 6. Modelo Mecâco... 8. Ctéos de Falha..... Ctéo da Máxma Tesão..... Ctéo da Máxma Deomação... 5.. Ctéo de Tsa-W... 6 AÁLISE ESTRUTURAL DE TUBOS LAMIADOS... 8. Método dos Elemetos Ftos... 8. Elemeto Bdmesoal... 9. Elemeto Bdmesoal - Implemetação Comptacoal....4 Elemeto Udmesoal... 5.5 Elemeto Udmesoal - Implemetação Comptacoal... 9.6 Exemplos mécos....6. Modelo coss-ply....6. Modelo agle-ply....6. Modelo de se compósto... 5.6.4 Modelos de Xa et al. ()... 6.6.5 Compaação com a Teoa Clássca da Lamação (TCL)... 7 4 OTIMIZAÇÃO DE TUBOS LAMIADOS... 4 4. Cocetos de Otmzação... 4 4.. Vaáves de Pojeto... 4 4.. Fção Objetvo... 4 4.. Restções... 4 4..4 Classcação de Poblemas de Otmzação... 45 4. Codções de Otmaldade... 46 4.. Veto Gadete e Matz Hessaa... 46 4.. Mímos Locas e Globas... 47 4.. Mímos Locas - Codções ecessáas... 47 4..4 Mímos Locas - Codções Scetes... 48 4. Pogamação ão-lea... 49 4.4 Fomlação do Poblema de Tbos Compóstos... 5 4.5 Exemplos... 5 5 COCLUSÕES... 59 5. Sgestões paa tos tabalhos... 6 REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 6
ITRODUÇÃO O so de mateas compóstos eoçados po bas está cada vez mas dddo os dvesos amos da Egehaa. Estes mateas apesetam como pcpas vatages as elevadas esstêca e gdez especícas, o qe pemte a abcação de compoetes esttas de alta esstêca e baxo peso. Estes mateas também apesetam alta esstêca à adga, bom solameto témco e elevado amotecmeto esttal. Os compóstos lamados são omados pela speposção de váas lâmas, ode cada lâma é omada po m cojto de bas decoas o mltdecoas embebdas em ma matz polméca (JOES, 999). este tabalho, seão cosdeadas apeas lâmas com bas decoas. Uma das aplcações de compóstos lamados, e o oco deste tabalho, são tbos lamados. Estes tbos são tlzados a dústa qímca e petoqímca, tedo cescdo os últmos aos o teesse a dústa do petóleo. Sabe-se qe, com o esgotameto das esevas de petóleo e gás specas, jtamete com o ameto da demada mdal po combstíves, hove m ameto da bsca po ovas esevas, cada vez mas podas e de mao dcldade de exploação. este cotexto, tbos compóstos, devdo a sa adaptabldade e altas elações esstêca/peso e gdez/peso, tem sdo alvo de extesas pesqsas com o objetvo de desevolve ovos pojetos de ses de peação e de podção, sto é, tbos tlzados tato paa a peação de poços qato paa o taspote de ldos em exploação maítmas (oshoe). Estdos compaatvos ete tbos de extação (ses) de aço e de compósto são mostadas em Beyle et al. (997). Além dsso, as omlações desctas também podem se tlzadas o pojeto de vasos de pessão paa taspote e amazeameto de ldos. Dadas as váas possbldades de aajo de lâmas, tato a sa seqêca, como a espessa e oetação das bas em cada camada, é possível pojeta esttas especícas paa as ações exteas (pessão, oça axal e mometo toso) atates (AZARAFZA et al., 996). Tas pojetos avoecem a ecooma de mateal e dmção o peso da estta. Poém, como váos paâmetos estão evolvdos o pojeto, ecota a cogação deal atavés do método da tetatva e eo é ma taea áda. este caso, a tlzação de téccas de otmzação é a alteatva mas adeqada (VADERPLAATS, ).
a aálse de tbos lamados, gealmete se exploa a smeta do poblema. Em modelos tdmesoas, gealmete apeas m otavo do tbo é modelado (SUDARAMA et al., 7). Po oto lado, se o caegameto exteo e as caacteístcas mecâcas são smétcas em elação ao exo do tbo, a epesetação do poblema em coodeadas clídcas pemte edz o poblema paa das dmesões. Utlzam-se, potato, modelos axssmétcos, os qas apeas a paede do tbo é modelada. Além dsso, se o tbo o tamete logo e sbmetdo apeas a cagas costates ao logo do se compmeto, etão as deomações seão também costates, caactezado m Estado Plao Geealzado de Deomações (EPGD). este caso, m modelo dmesoal pode se tlzado. Solções apoxmadas ada mas smplcadas podem se obtdas paa tbos de paede a tlzado a Teoa Clássca de Lamação (TCL), como mostado em Slva et al. (9) e Teólo (). Poém, as solções apesetadas o pesete tabalho pemtem a cosdeação também de tbos de paede espessa. Shee (967) desevolve ma solção aalítca paa tal poblema, levado em cosdeação as deomações costates advdas da cosdeação de m EPGD. Posteomete, tal solção o comptacoalmete mplemetada po Heakovch (998), pemtdo a modelagem de tbos com úmeo qalqe de camadas sjetos à pessão tea, extea, oça axal a mometo toso. Além dsso, Kess (99) tlzo temos da solção aalítca como ções de oma em ma solção pelo Método dos Elemetos Ftos (MEF) comptacoalmete ecete. Solções po Elemetos Ftos tlzado ções de oma covecoas são bastate dddas, como pode se vsto em McVee (), Gmaães (6), Ode et al. (9), ete otos. O pesete tabalho apeseta das omlações de elemetos tos axssmétcos paa aálse de tbos compóstos sjetos a pessões tea e extea, oça axal e mometo toso. Icalmete, ma omlação bdmesoal mas geal é apesetada, com elemetos de gas de lbedade po ó. Posteomete, com a mposção de m EPGD, smplcações adcoas são etas, esltado ma omlação dmesoal com ga de lbedade po ó e gas de lbedade globas. Tal omlação é etão tlzada paa esolve o poblema de otmzação de tbos lamados. a omlação do poblema de otmzação, é ecessáo escolhe as vaáves de pojeto, ação objetvo e as estções a seem cosdeadas. As vaáves de pojeto, o
caso do poblema de tbos compóstos, são as espessas e oetações das lâmas de cada camada. Tas vaáves podem se cosdeadas cotías (PARK et al., ) o dscetas (TOPAL, 9). Em ma etapa cal de pojeto, é ecomedado tlza vaáves cotías, evtado todz ovas estções ao poblema (ARORA, 4). Como ção objetvo, gealmete o peso total da estta é cosdeado. Como estções, além de lmtes speoes e eoes paa todas as vaáves de pojeto, são cosdeadas também estções de esstêca, atavés de m Fato de Segaça, e de establdade, atavés do cálclo da Pessão de Colapso do tbo. Paa a avalação do Fato de Segaça, ctéos de alha aplcáves a mateas compóstos são tlzados, atavés da obteção de tesões e deomações em cada lâma, poveetes da aálse esttal. Já paa avala a establdade de tbos sjetos a pessão extea, coecetes poveetes da aálse pela Teoa Clássca de Lamação (REDDY, 996) são tlzados paa o cálclo da pessão de colapso. Exemplos mécos tato dos elemetos tos mplemetados qato da omlação de otmzação, são apesetados. os exemplos evolvedo os modelos de aálse, são compaados esltados obtdos pelos elemetos mplemetados com solções aalítcas e com o pogama comecal de elemetos tos ABAQUS. São também modelados tbos com camadas de aço (le) e com lamações coss-ply e agle-ply. Já os exemplos de otmzação, são tatados calmete casos solados de caga e, posteomete, casos com múltplos casos de caga. Em cada exemplo, o compotameto das vaáves de pojeto, assm como das estções e da ção objetvo, são obsevados à medda qe os valoes de caga vaam. Po m, gácos mostado o pogesso do pocesso de otmzação são apesetados, mostado a vaação da ção objetvo e da volação de estções com o úmeo de passos.. Objetvos O objetvo geal do pesete tabalho é omla elemetos tos paa aálse de tbos lamados e, posteomete, tlzá-los a otmzação de tbos lamados. Como esse pocesso evolve váas etapas, objetvos especícos oam taçados:. Fomla e mplemeta m elemeto to axssmétco com gas de lbedade po ó e mateal ototópco pelo Método dos Elemetos Ftos;
4. A pat de smplcações adcoas, omla e mplemeta m elemeto dmesoal com ga de lbedade adal po ó e gas de lbedade globas;. Veca a omlação e mplemetação destes elemetos atavés da compaação com esltados obtdos pelo MEF com solções aalítcas e otos tpos de elemeto; 4. Apeseta ma omlação paa o pojeto ótmo de tbos lamados cosdeado múltplos casos de caga. 5. Detema, o poblema de otmzação, as vaáves de pojeto, ção objetvo e estções;. Metodologa Como o pesete tabalho se popõe a desevolve omlações de elemetos tos, a maoa das otas e métodos oam mplemetadas comptacoalmete. A mplemetação do elemeto bdmesoal o ealzada o pogama de elemetos tos acadêmco de códgo-abeto FEMOOP (MARTHA & PARETE, ). Paa o elemeto dmesoal, as mplemetações oam ealzadas o pogama MATLAB. De modo a veca os elemetos mplemetados, váos exemplos mécos seão desevolvdos e ses esltados seão compaados com o pogama de elemetos tos ABAQUS e com ma solção aalítca mplemetada po Heakovch (998). Po m, paa esolve o poblema de otmzação, m algotmo de pogamação matemátca seá tlzado atavés do pogama MATLAB e com o axílo de otas comptacoas mplemetadas e desctas po Slva et al. (9).. Estta da moogaa A pesete moogaa é dvdda em 6 capítlos. o capítlo são apesetadas as motvações paa o tabalho e sas déas pcpas. Tabalhos elevates sobe aálse e otmzação de compóstos lamados são ctados. Além dsso, apesetam-se também os objetvos do tabalho e sa estta. o capítlo, os cocetos pcpas sobe mateas compóstos são apesetados. O modelo mecâco tlzado paa tas mateas é também apesetado, além de algs dos ctéos de alha dspoíves paa so.
5 o capítlo, ma beve evsão sobe o Método dos Elemetos Ftos é apesetada e os elemetos axssmétcos bdmesoal e dmesoal são omlados. Po m, exemplos mécos são apesetados. o capítlo 4, ma beve evsão sobe otmzação de sstemas é ealzada, com a deção dos pcpas cocetos tlzados. A omlação do poblema de otmzação de tbos lamados é etão apesetada, com a deção das vaáves de pojeto, ção objetvo e estções. Po m, exemplos mécos são apesetados. O capítlo 5 apeseta as pcpas coclsões do tabalho, essaltado os esltados obtdos emetedo aos objetvos taçados. Po m, os tabalhos cosltados são lstados o últmo capítlo, em odem alabétca.
6 MATERIAIS COMPÓSITOS Esta seção apeseta m beve estdo sobe mateas compóstos, eglobado sa deção e classcação, pcpas tpos e, po m, os modelos tlzados paa desceve se compotameto mecâco. Ao al, são apesetados também ctéos de alha tlzados paa med a segaça esttal em mateas compóstos.. Deção e Classcação Mateas Compóstos, o compostos, como o ome sgee, esltam da combação de dos o mas mateas, em ma escala macoscópca, com o objetvo de obte m ovo mateal melho qe cada ma das sas pates soladamete (REDDY, 996). O ovo mateal assm obtdo deve poss homogeedade se aalsado em ível macoscópco. Potato, devem se tlzadas téccas qe popocoem a coeta combação dos váos compoetes de m mateal compósto, de modo a oece homogeedade e omdade ao se compotameto mecâco. A tlzação de combações de dos o mas mateas é tíseca à hstóa hmaa. De acodo com Roylace (), o Egto atgo, já hava a combação de palha e bao paa toa os tjolos mas esstetes. Segdo Gmaães (6), mateas compóstos também eam sados paa eoça espadas medevas. Segdo Joes (999), mateas compóstos podem se classcados de acodo com a oma de combação ete os dos o mas mateas compoetes. Assm, ma pmea classcação sea: a) Compóstos Patclados: São aqeles qe apesetam patíclas macoscópcas mesas em ma matz (Fga.a). Um exemplo clássco de compósto patclado é o coceto; b) Compóstos Fbosos: São omados po bas logas embebdas em ma matz qe ata como tasmssoa de tesões e poteção paa as bas (Fga.b). As bas mas tlzadas este tpo de compósto são as de caboo e vdo, embebdas em matzes polmécas, como o epóx; c) Compóstos Lamados: Compostos de váas camadas, o lâmas, de compotameto mecâco dstto, podedo, clsve, seem de compóstos bosos o patclados (Fga.c).
7 Fga. - Classcação de mateas compóstos (BELO, 6). Qado se tabalha com compóstos lamados, pcpalmete qado são eoçados com bas, é de sma mpotâca escolhe o esqema de lamação adeqado ao pojeto. Paa sso, deve-se sabe epeseta e detca os pcpas tpos de lamação. De modo geal, ma lamação é epesetada po / / /.. /. ode α epeseta o âglo de oetação das bas (deção pcpal do mateal) da pmea camada, β epeseta o âglo da segda camada, e assm po date. Um esqema de lamação geal é mostado a Fga.. Fga. Esqema geal de lamação (REDDY, 996). Os âglos de oetação devem esta ete +9º e -9º. Pode-se etão de ma classcação geal paa lamados, dvddo-os em dos tpos:. Coss-ply: São lamados qe apesetam âglos de lamação gas a º o 9º. Po exemplo, o lamado [ / 9 / / 9] é coss-ply.. Agle-ply: São lamados qe podem apeseta qalqe valo paa o âglo de oetação das camadas, sedo pelo meos m âglo deete de º e 9º. Po exemplo, [45 / -45 / / 9] é agle-ply. Qato à smeta, os lamados também podem ecebe tês classcações:
8 a) Lamados Smétcos: São aqeles qe possem mateas, espessas e oetações das lâmas smétcos em elação à speíce méda do lamado. Utlza-se a leta s paa dca smeta. Assm, o lamado [ / 9 / / 9]s é gal a [ / 9 / / 9 / 9 / / 9 / ]. Do mesmo modo, m lamado com úmeo ímpa de camadas pode se smétco, po exemplo [ / 9 / / 9 / ], o [ / 9 / ]s o qal a speíce méda dvde a camada do meo em das. b) Lamados At-Smétcos: São aqeles qe possem mateas e espessas smétcas mas oetações das lâmas at-smétcas em elação à speíce méda. Po exemplo, o lamado [45 / -45] 4, qe é eqvalete a [45 / -45 / 45 / -45 / 45 / -45 / 45 / -45], é atsmétco. c) Lamados Assmétcos: São aqeles qe possem mateas, espessas o oetações das lâmas assmétcos em elação à speíce méda. Po exemplo, o lamado [45/9] é assmétco, assm como qalqe dos lamados apesetados os tes ateoes seam assmétcos caso possíssem espessas o mateas assmétcos.. Modelo Mecâco Em ma escala mcoscópca, cada lâma de m compósto lamado, po se ma msta de dos mateas, é cosdeada m mateal asotópco, com mao esstêca e gdez a deção das bas. Como a matz polméca pode se cosdeada sotópca, o cojto ba+matz pode se modelado como m mateal ototópco, sto é, m mateal cjas popedades possem tês deções pcpas pepedclaes ete s. Tedo em vsta qe váas lâmas são sobepostas e qe a oetação das bas vaa de lâma paa lâma, cada ma delas poss m sstema de coodeadas local, também chamado de sstema do mateal (,, ) o qal a deção é sempe a das bas, a deção é pepedcla às bas e a deção é pepedcla à lâma. Poém, a esolção das eqações de eqlíbo globas do lamado, é ecessáo de m sstema de coodeadas global, o qal as popedades de todas as lâmas devem se epesetadas. Tal sstema, o caso de tbos e vasos de pessão, é tomado como o sstema de coodeadas clídco (,, z). Ambos os sstemas são mostados a Fga.. ota-se qe os dos sstemas são elacoados pelo âglo de eolameto.
9 Fga. Coodeadas locas e globas em m lamado. Icalmete, as popedades de cada lâma seão desctas em se sstema local. Em segda, o pocedmeto de tasomação paa o sstema global seá mostado. O pocedmeto oposto é ealzado ao al da aálse qado as tesões o sstema local são tlzadas paa avala a segaça de cada lâma. O compotameto de compóstos eoçados po bas pode se cosdeado lea até mto póxmo da pta (JOES, 999). Deste modo, a Le de Hooke Geealzada pode se tlzada paa elacoa tesões () e deomações () o sstema local (,, ). Paa m mateal ototópco, tal elação é dada po S G G G E E E E E E E E E (.)
ode S é a matz de lexbldade e o ídce dca qe a elação está o sstema local (o do mateal). Como S é smétca, poss apeas 9 costates depedetes. Deste modo, os coecetes de Posso podem se elacoados pela eqação abaxo: E j j E j (.) Ivetedo a Eq. (.), a elação tesão-deomação é obtda: C C C C C C C C C C 4 4 C 5 5 C 6 6 σ C ε ode C é a matz costttva elástca do mateal, cjos coecetes são dados po C C C E ; C E ; C E ; E ; C E ; C E ; G ; C G ; C G 4 4 5 5 6 6 (.) (.4) Paa a obteção das deomações o sstema local, tlza-se a matz de tasomação T a elação (COOK et al., ): ode T é dada po ε Tε (.5) l l l T l l ll ll m m m m m m m m m l m l m l m l m l m l m l m l m l m l l l l l l l l l m m m m m m m m m (.6) a Eq. (.6), os temos l, m e são os cosseos detoes dos exos locas em elação aos globas. Obsevado a Fga., tas elações são esmdas a Tabela.. Tabela. - Cosseos detoes. l m se α cos α -cos α se α
Utlzado o Pcípo dos Tabalhos Vtas, mosta-se qe as tesões podem se tasomadas paa o sstema global atavés da expessão: T T (.7) Utlzado as Eqs. (.), (.5) e (.7), a elação ete tesões e deomações o sstema global pode se escta como T C C T CT (.8) ode C é a matx costttva o sstema global. Sbsttdo os valoes dados a Tabela. a elação ateo, a Eq. (.8) pode se eescta como z z z C C C C4 C C C C 4 C C C C 4 C 66 C 56 C 56 C 55 C4 C 4 C 4 C 44 ode os coecetes da matz C são dados po z z z (.9) C C C C C C C C C C C C C 4 4 4 44 55 56 66 C se C 4 se C cos C 4 cos C se C cos C se cos ( C se cos ( C se cos ( C se cos ( C 66 cos se ( C 66 cos C 4 cos C se C se cos ( C 55 4 se C C C C C 55 66 C cos C C se C 55 se cos ( C 4C C C 44 44 44 se cos ( C ) ) C C 44 C C ) cos se ( C ) cos se ( C 44 4 4 ) ( se cos ) C 44 C C C C 4 4 ) ( se cos ) C ) ) 44 44 44 ) ) (.) Aalsado a matz C a Eq. (.9), vê-se qe tesões omas e deomações de csalhameto γ θz são acopladas. Qado a estta é sbmetda a oças omas, tal
compotameto ocasoa o sgmeto de deomações tosoas oa do plao em lamados agle-ply. Paa capta tal eeto, são ecessáos gas de lbedade oa do plao, ão pesetes em modelos axssmétcos covecoas. Poém, o caso de lamados coss-ply, tal acoplameto ão exste e modelos axssmétcos covecoas podem se tlzados.. Ctéos de Falha Ctéos de alha são pocedmetos sados paa, dado m estado de tesões, avala a segaça esttal e, mtas vezes, o modo pelo qal se dá a alha do mateal. o caso de compóstos lamados, tal avalação tlza as tesões e deomações o sstema local de cada lâma. Tas ctéos compaam as tesões o deomações pesetes as lâmas com as devdas tesões o deomações de pta, obtdas po esaos expemetas. Paa mateas sotópcos, cjas popedades mecâcas são gas em qalqe deção, algs ctéos de alha são amplamete tlzados e popocoam bos esltados, como o ctéo de Tesca e o de vo Mses tlzados paa metas (CHE & HA, 998). Paa estes mateas, o ctéo de alha é dedo a pat de m úco paâmeto de esstêca, epesetado pela tesão de escoameto. o caso de mateas compóstos lamados, os paâmetos de esstêca de cada lâma vaam coome a deção de aplcação da tesão. Toa-se ecessáa, paa a deção de ctéos de alha em lâmas compóstas, a deção da esstêca da mesma a pat de deções pcpas, assm como são dedas sas popedades mecâcas. Há váos ctéos de alha tlzados paa mateas compóstos, sedo a maoa extesão de ctéos bem estabelecdos paa mateas sotópcos, adaptados paa lda com mateas ototópcos (JOES, 999; REDDY, 996; DAIEL & ISHAI, 5). Ctéos de alha em compóstos deem ete s pela cosdeação da teatvdade ete tesões em deções deetes. Assm, a segte classcação pode se eta (DAIEL & ISHAI, 5): a) Ctéos ão-teatvos: Ctéos os qas as tesões o deomações em cada deção são cosdeadas soladamete, sem teação. Métodos como o da Máxma Tesão e Máxma Deomação são ão-teatvos;
b) Ctéos teatvos: São ctéos qe bscam aalsa as tesões em todas as deções atavés de m úco ídce, ao vés de cosdeá-las sepaadamete. Assm, são ctéos de omlação mas complexa, como os de Tsa-Hll e Tsa-W; c) Ctéos pacalmete teatvos: São ctéos os qas as tesões em todas as deções são aalsadas cojtamete, poém, as alhas da ba e da matz são aalsadas sepaadamete. Ctéos como os de Hash-Rotem e de Pck petecem a esta categoa. A seg são apesetados, tês dos pcpas ctéos tlzados em compóstos. Icalmete seão apesetados os ctéos ão-teatvos de máxma tesão e máxma deomação. Posteomete, seá dsctdo o ctéo teatvo de Tsa-W... Ctéo da Máxma Tesão Como estabelecdo ateomete, a esstêca de ma lâma a deção das bas é mao qe a deção pepedcla às mesmas. Poém, em tas mateas, exste também ma deeça ete tesões de tação e compessão. Assm, deetes esstêcas ocoem paa tação e compessão. o caso das tesões de csalhameto, tesões postvas o egatvas podzem as mesmas tesões omas em m plao a 45º do plao de aplcação das cagas. Assm, se sal toa-se elevate. Paa poblemas D, potato, são ecessáos 5 paâmetos de esstêca (F t, F c, F t, F c, F 6 ), como lstado a Fga.4. Já o caso D, são ecessáos 9 paâmetos (F t, F c, F t, F c, F t, F c, F 4, F 5, F 6 ). A ga a seg mosta os paâmetos de esstêca bdmesoas paa ma lâma decoal. Em tês dmesões, além das das esstêcas omas adcoas, apaecem mas das esstêcas eeetes ao csalhameto.
4 Fga.4 Paâmetos de esstêca bdmesoas. o ctéo da máxma tesão, a alha da lâma ocoe qado a tesão em qalqe ma das deções ltapassa a esstêca. Como mecoado, cada deção é tatada sepaadamete. Assm, tem-se m cojto de eqações qe detemam a evoltóa de alha da lâma: Ft F c qado qado F j j com,, com 4,5,6 (.) De modo a avala a segaça esttal, toa-se coveete de o Fato de Segaça, dado pela elação ete a evoltóa de alha do mateal e o estado atal de tesões. Como este ctéo cada deção é tatada sepaadamete, a expessão paa o Fato de Segaça (FS) é:
5 Ft F FS m F c qado qado com 4, 5, 6 com,, (.) O Ctéo da Máxma Tesão é ttvo e de smples mplemetação, além de possblta a deecação ete tesões de tação e compessão. Poém, em estados de tesão mlt-axas, devdo à teação ete tesões ão captada pela evoltóa de alha adotada, o ctéo pode apeseta esltados s... Ctéo da Máxma Deomação Assm como o ctéo da Máxma Tesão, as deomações são tatadas soladamete. Paa expessa a esstêca al em deomações sa-se a deomação últma em cada deção, epesetada pelo ídce. Assm, em m poblema bdmesoal, a segte eqação epeseta a evoltóa de alha: t qado c qado com,, com 4,5,6 (.) Poém, toa-se coveete epeseta a evoltóa de alha em ção dos paâmetos de esstêca em tesões. esse caso, ma ceta teação ocoe, devdo ao eeto de Posso. Em temos de tesão, o ctéo de máxma deomação oece as segtes eqações: (FS): F t F qado c F t F qado qado c qado F t qado F c qado F com 4, 5, 6 (.4) ovamete, pode-se epeseta o ctéo em temos de m Fato de Segaça
6 FS t c m qado qado com 4, 5, 6 com,, (.5).. Ctéo de Tsa-W O ctéo de Tsa-W basea-se a teoa polomal de alha poposta po Gol deblat e Kopov, qe tlza tesoes baseados as esstêcas báscas do mateal paa podea os valoes das tesões. A oma geal do ctéo polomal de alha em otação dcal é (DAIEL & ISHAI, 5): ( ) ( j j ) ( jk j k )... (.6) Ode, j, k =,,..., 6. Posteomete, Tsa e W smplcaam o ctéo paa Expaddo a expessão, vaado os valoes de, j e k, tem-se: j j (.7) 4 4 5 5 6 6 44 4 55 5 66 6 4 4 5 5 6 6 4 4 5 5 6 6 4 4 5 5 6 6 45 4 5 46 4 6 56 5 6 (.8) Os coecetes a Eq. (.8) ão são smplesmete os atoes de esstêca tlzados os ctéos ateoes, devdo à cosdeação da teação ete tesões. Cosdeado qe as esstêcas ao csalhameto ão depedem do sal, qe tesões csalhates e omas ão teagem e qe também ão há teação ete tesões csalhates em deetes plaos, váos temos se alam. Os coecetes estates são obtdos a pat de esaos de tesão dmesoas, exceto paa tesões csalhates. Paa tas, sea ecessáo m esao baxal e, assm, tlzam-se apoxmações (DAIEL & ISHAI, 5):
7 44 F F F t t F F 4 c c F F F 55 t F t F 5 c c F 66 F F F t F t 6 c c 44 (.9) ovamete, toa-se coveete de o Fato de Segaça (FS) assocado ao ctéo, qe é dedo com o úmeo qe mltplcado pelo estado de tesões atal az com qe o mateal alhe. Tal ato é obtdo mltplcado todas as compoetes de tesão com FS e sbsttdo estes temos a Eq. (.8). A expessão esltate é ma eqação do segdo ga, cja az postva oece o ato de segaça ode b b 4a FS (.) a a b 44 4 55 5 66 6 (.) Tal ctéo, além de cosdea a teação ete tesões, esme toda a segaça da lâma em m paâmeto, qe pode se aclmete mplemetado comptacoalmete. Babeo (999) mosta qe tal ctéo poss boa cocodâca com dados expemetas. Cotdo, po epeseta toda a segaça po m úco ídce, ão oece omações sobe o modo pelo qal se dá a alha.
8 AÁLISE ESTRUTURAL DE TUBOS LAMIADOS Este capítlo apeseta ma beve evsão sobe modelos de aálse aalítcos paa tbos compóstos. Em segda, seão mostados dos modelos baseados o Método dos Elemetos Ftos paa aálse de tbos compóstos sbmetdos a cagas axssmétcas. Icalmete, seá mostado m modelo bdmesoal com gas de lbedade po ó e, posteomete, smplcações adcoas seão ealzadas, levado a m modelo dmesoal com ga de lbedade po ó e gas de lbedade globas. Falmete, ma sée de exemplos mécos seá apesetada de oma a veca e compaa os modelos de aálse popostos.. Método dos Elemetos Ftos O Método dos Elemetos Ftos (MEF) é ma eameta de aálse qe podz solções mécas paa poblemas de campo, sto é, a dstbção espacal de ma o mas vaáves depedetes (COOK et al., ). O campo em qestão, a egehaa esttal, é o campo de deslocametos em toda a estta. Cohecedo este campo e aplcado cocetos da Teoa da Elastcdade pode-se obte as tesões e deomações em todos os potos da estta. Icalmete, deve-se elaboa m modelo matemátco da estta a se aalsada. Esta etapa é ccal à obteção de bos esltados, azedo-se ecessáo elaboa m modelo matemátco qe epesete bem as pcpas caacteístcas da estta eal. Deve-se, poém, bsca m eqlíbo ete a smplcdade do modelo e a qaldade dos esltados. É mpotate essalta qe o eameto da aálse méca ca oeceá ma esposta mas póxma à ealdade qe a do modelo matemátco adotado. Em ma solção aalítca, as codções de eqlíbo e compatbldade devem se satsetas em todos os potos da estta. Poém, mtas vezes as caacteístcas geométcas da estta e a complexdade dos mateas tlzados mpedem a detemação aalítca do campo de deslocametos. Assm, em ma aálse sado elemetos tos, a estta é dvdda em ma sée de elemetos de geometa smples (e.g. tâglos e qadláteos), deto dos qas o campo de deslocametos é tepolado a pat dos deslocametos odas
9 tlzado ções smples, omalmete polômos de baxa odem. O cojto de todos os elemetos de m modelo é deomado malha. De modo a mate a cotdade da estta, elemetos adjacetes são coectados ete s po ós. Assm, ós coms a váos elemetos mpõem o mesmo valo do campo paa todos eles, gaatdo a cotdade. Os deslocametos odas são obtdos a pat da solção das eqações de eqlíbo, obtdas tlzado Pcípos Vaacoas o Métodos de Resídos Podeados (COOK et al., ). Em ma solção po elemetos tos, as codções de eqlíbo e compatbldade são satsetas apeas os ós, sto é, ão são satsetas em todos os potos da malha. Assm, podz-se m eo ao teta apoxma o campo de deslocametos os elemetos a pat de pocos valoes odas. Com o eameto da malha o o so de ções de tepolação mas completas, o campo de deslocametos va se apoxmado da solção exata e o eo de dscetzação va dmdo.. Elemeto Bdmesoal A seg, apeseta-se a omlação de elemetos tos axssmétcos bdmesoas com gas de lbedade po ó. Como já mecoado, apesa de plao, o elemeto ecessta de m ga de lbedade adcoal po ó paa capta os eetos de toção geados pelo acoplameto mecoado o Item.. Uma malha omada po tas elemetos é mostada a Fga.. Fga. Malha de elemetos tos axssmétcos bdmesoas.
Icalmete, cosdeam-se as elações deomação-deslocameto tdmesoas em coodeadas clídcas (TIMOSHEKO & GOODIER, 97): v v z w z w v w z v zz z z (.) Ode epeseta o deslocameto adal, v epeseta o deslocameto oa do plao e w epeseta o deslocameto axal. Como o modelo omlado lda apeas com pessão tea, extea, oça axal e mometo toso, cosdeações de smeta podem se etas. Assm, como a geometa, popedades dos mateas e caegameto depedem da coodeada θ, m modelo axssmétco pode se sado. Potato, as elações deomação-deslocameto podem se smplcadas paa: v v z w z v z w z z zz (.) o teo dos elemetos, os deslocametos são tepolados a pat dos deslocametos odas: w w v v (.) ode são as ções de oma o ções de tepolação,, v, w são os deslocametos odas (gas de lbedade) e é o úmeo de ós. É mpotate ota apeas cotdade C é exgda das ções de oma, pos apeas devadas de pmea odem apaecem a expessão das deomações, como mostado a Eq. (.). Adotado ma omlação sopaamétca, a geometa do elemeto é tepolada tlzado as mesmas ções de oma z z (.4) Matcalmete, tal campo pode se epesetado po:
w v w v..., (.5) Expaddo a matz mostada a Eq. (.5) paa todos os ós, tem-se: e... (.6) ode e é o veto dos deslocametos odas do elemeto. Devado os deslocametos expessos a Eq. (.6) sado as elações da Eq. (.), pode-se esceve as deomações o teo do elemeto como: B ε ε z z zz w v z z z w z z v w w v z (.7) ode B é a matz deomação-deslocameto coespodete ao -ésmo ó. Expaddo a matz B paa todos os ós, tem-se: e B B B B B B ε (.8) É teessate ota qe como a matz B é o esltado da devação da matz, ambas possem a mesma oma. Com os campos de deslocameto e deomação dedos em todo o elemeto, pode-se aplca o Pcípo dos Tabalhos Vtas. Assm, aplcado m deslocameto vtal peqeo e possível, a vaação do tabalho de deomação é gal à vaação do tabalho podzdo pelas cagas exteas: S s T V b T V T ext ds dv dv W W σ ε t (.9) ode δ é o campo de deslocametos vtal aplcado, δε é o campo de deomações assocado, b epeseta as oças de copo e s as oças de speíce. Sbsttdo as deomações e deslocametos, dados pelas Eqs. (.6) e (.8), detemam-se a matz de gdez (K e ) e o veto de cagas exteas ( e ) de m elemeto to:
K e e V e V e B T T CB dv b dv S e T S S ds (.) Impodo o eqlíbo de tabalhos paa qalqe deslocameto δ, o eqlíbo odal do elemeto é ecotado. Somado as matzes de todos os elemetos pelo Método da Rgdez Deta, obtém-se o sstema de eqlíbo odal da estta: K (.) ode K é a matz de gdez global, é o veto de deslocameto odas e é o veto de cagas exteas. Achados os deslocametos odas, tlza-se a Eq. (.8) paa ecota as deomações o sstema global. Se as tesões o sstema global oem desejadas, sa-se a Eq. (.8). Já sado a Eq. (.5), pode-se acha as deomações o sstema local e as tesões sado a Eq. (.). Tal pocedmeto é esmdo a Fga.. Fga. Seqêca de obteção de tesões e deomações.. Elemeto Bdmesoal - Implemetação Comptacoal A omlação descta o Item. o mplemetada o pogama de elemetos tos FEMOOP (MARTHA & PARETE, ). Tal pogama, po sa estta oetada
a objetos e pelo ato de se voltado ao so acadêmco, pemte a mplemetação de ovos tpos de elemeto o modelos de aálse paa tata poblemas especícos. o pogama FEMOOP, a classe AalyssModel cda de aspectos elacoados à motagem das matzes qe compõem a matz de gdez K. Tal classe é devada da classe Elemet, da qal também são devadas as classes Shape e ItegatoPot. A classe Shape cda dos aspectos de tepolação do elemeto, oecedo as ções de oma e sas devadas, além de calcla a matz Jacobaa paa tepolação geométca. Po m, a classe ItegatoPot é esposável pela esolção das tegas ecessáas pelo método da Qadata de Gass (COOK et al., ), amazeado as coodeadas dos potos e o peso de cada poto paa váas odes de tegação. a mplemetação ealzada, tlzaam-se as ções de oma de elemetos sopaamétcos já mplemetadas o FEMOOP. Adcoalmete, ão o ecessáo modca ehm aspecto da classe ItegatoPot, pos tlzo-se as odes de tegação já mplemetadas. Poém, como o elemeto em qestão apeseta mas gas de lbedade qe elemetos axssmétcos coms, a matz B pecso se mplemetada. Assm, como o modelo de aálse axssmétco mplemetado possía apeas gas de lbedade po ó, o ecessáo mplemeta m ovo modelo de aálse, modcado a matz B, adcoado o ga de lbedade oa do plao em cada ó. Assm, o cado o modelo de aálse AxsymmetcToso. Além de adcoa m ga de lbedade a mas po ó, o ecessáo mplemeta ma ota de tasomação da matz C do sstema local paa o global, de acodo com o descto o Item.. Paa sso, o aqvo de etada de dados teve de se modcado, adcoado a seção %ORIETATIO.VECTORS, a qal o sáo deve eta com os tês vetoes de oetação, l, m e, cjas compoetes são mostadas a Tabela.. Cada cojto de vetoes está também assocado a m mateal. Isso pemte tato adcoa váos âglos deetes como pemte tlza váos mateas deetes o mesmo modelo. Paa acomoda esta mdaça, o ótlo eeete ao mateal em cada elemeto o sbsttído pelo ótlo qe epeseta o cojto dos vetoes assocados a m mateal. A ga a seg mosta m techo de m aqvo de etada paa o pocessado, mostado como deve se eta a etada da oetação:
4 Fga. Deção da oetação das lâmas. Como hove ma mdaça cosdeável a etapa de leta dos dados de cada elemeto, o ecessáa ma modcação adcoal a classe ElcPaam, qe lda com as otas eeetes a elemetos paamétcos. Fo etão cada a classe ElcSec, qe, depededo do tpo de seção (lamada, homogêea sotópca o homogêea ototópca), az a leta coeta dos dados de cada elemeto e os passa paa ElcPaam. A estta da classe é mostada a seg: Fga.4 Deção da classe ElcSec. ota-se, potato, qe ElcSec é ma classe pamete vtal. Assm, a cação de cada elemeto da malha, tlza-se polmosmo paa decoa o poteo cado a ma
5 das tês classes lhas de ElcSec, depededo do tpo de seção do elemeto. o caso do elemeto axssmétco mplemetado, a leta dos dados o eta pela classe HomOth..4 Elemeto Udmesoal a omlação do elemeto bdmesoal, m tbo de compmeto qalqe pode se modelado. Tal modelagem pemte a avalação dos chamados Eetos de Extemdade (SAYIR & MOTAVALLI, 995), qe levam a descotdades as tesões em egões póxmas aos apoos o extemdades lves do tbo. Poém, os modelos aalítcos paa tbos lamados cosdeam tbos de compmeto to, evtado cosdea tas eetos de extemdade qe toaam a solção mto mas complexa. Assm, cosdea-se m Estado Plao Geealzado de Deomações (EPGD), o qal as deomações são costates ao logo do compmeto do tbo. o modelo bdmesoal apesetado ateomete, o ameto do compmeto do tbo e o so de estções de deslocameto os ós speoes levam à dmção dos eetos de extemdade e, po smla ma stação de EPGD, oecem boa cocodâca com esltados aalítcos, como seá mostado o Item.6. Poém, se m EPGD o mposto já date a omlação do elemeto, a coodeada axal pode se elmada e apeas a coodeada adal pecsa se cosdeada, obtedo-se, potato, m poblema dmesoal. De acodo com Shee (967), Rzzo e Vcao (97), os campos de deslocameto são dados po (, z) ( ) v(, z) z w(, z) a z (.) ode β é a taxa de toção e ε a é a deomação axal, ambos cosdeados costates. Com tas smplcações adcoas, as elações deomação-deslocameto mostadas a Eq. (.) tomam a oma zz a z (.) Aalsado as Eqs. (.) e (.), ota-se qe z = =. Assm, algs temos da matz C apesetada a Eq. (.9) se alam, e a matz esltate é apeas 4x4:
6 z z C C C C4 C C C C 4 C C C C 4 C4 C 4 C 4 C 44 z z (.4) Como β e ε a são costates em todo o tbo, seão tatados como gas de lbedade globas (odeless degees o eedom), sto é, qe ão petecem a ehm ó. Deste modo, o veto de deslocametos do modelo é dado po: (.5) a ode é o úmeo total de ós da malha de elemetos tos. ota-se qe o modelo poss, potato, + gas de lbedade. Tas valoes são sados paa tepola o campo de deslocametos o teo dos elemetos, tal como mostado a Eq. (.), mas, este caso, apeas os deslocametos adas são tepolados: (.6) Deetemete do elemeto bdmesoal, a omlação dmesoal é sbpaamétca, sto é, tlza ções de ga mas baxo a tepolação da geometa do elemeto, de maea a smplca a omlação e toá-la mas ecete. Assm, depedete do ga das ções de oma tlzadas a tepolação dos deslocametos, a tepolação da coodeada adal é lea. Po coveêca, tal tepolação é eta a coodeada paamétca ξ: (.7) ode e são as coodeadas adas do pmeo e últmo ós do elemeto. Tas coodeadas podem se obsevadas a Fga.5.
7 Fga.5 Elemeto dmesoal com tepolação qadátca. Usado as Eqs. (.), (.) e (.6), as deomações podem se calcladas de modo smla ao mostado a Eq. (.7), mas com a peseça de gas de lbedade globas: e a a z z B (.8) Aplcado o Pcípo dos Tabalhos Vtas, mpõe-se qe, o eqlíbo, os tabalhos vtas teos e exteos ocasoados po m campo de deslocametos vtal δ sejam gas: T V T ext d dv W W t σ ε (.9) O tabalho vtal teo é comptado como a soma do tabalho teo em cada elemeto: e e Ve T dv W t σ ε (.) ode e é o úmeo de elemetos do modelo. Cosdeado qe o campo de deslocametos é dado pela Eq. (.8) e qe as tesões o sstema global são dadas pela Eq. (.8), a expessão da Eq. (.) pode se eescta como d J W T e e e e e T e t B C B K K (.) ode K e é a matz de gdez do elemeto e J é o jacobao da tasomação ete o sstema de coodeadas adal () e paamétco (ξ):
8 d J J (.) d Em temos dos deslocametos globas, a Eq. (.) pode se eescta como e T T Wt e Ke e K (.) e ode K é a matz de gdez global, qe é somada po m pocedmeto tadcoal de motagem, mas obsevado as cdêcas de cada ó com elação aos gas de lbedade locas e globas, tedo em vsta as Eqs. (.5) e (.8). O tabalho ealzado pelas cagas exteas depede das pessões tea (p ) e extea (p e ), da oça axal () e mometo toso (T) aplcados. Assm, sa expessão seá: W ext p p T T (.4) Desta eqação, exta-se o veto de cagas exteas e e a (.5) e pe p Falmete, obtém-se a eqação de eqlíbo global: T K (.6) Como a matz de gdez global K ão depede das cagas aplcadas, é possível ealza váas aálses paa deetes casos de caegameto sem a ecessdade de mota a matz K múltplas vezes. Tal pocedmeto é comptacoalmete ecete e toa-se mpotate em aplcações como em métodos de otmzação, os qas o lamado deve mate sa segaça em todos os casos de caegameto smltaeamete. Assm, cosdeado m casos de caga, a Eq. (.6) toma a oma
9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( m m m e e e e m m m a a m m m m T T p p p p (.7) ode os úmeos ete paêteses epesetam o caso de caegameto. Paa o cálclo das tesões e deomações locas, essalta-se qe, apesa da matz C o sstema global se 4x4, qado se passa paa o sstema local, podem apaece deomações também as deções e. Assm, o veto de deslocametos locas tem 6 compoetes eqato o global tem apeas 4. Potato, após ecota as deomações o sstema global sado a Eq. (.8), a segte tasomação global-local deve se ealzada: Tε ε z z m m m m l l m m m m l l m m m m l l m m l m m l m m l (.8) Po m, as tesões o sstema local podem se ecotadas tlzado a Eq. (.). De acodo com Cook et al. (), as espostas em tesões apesetam meo pecsão as oteas dos elemetos, sto é, em ses ós exteos, ode gealmete as tesões são máxmas. Assm, adota-se a estatéga dos Potos Specovegetes, a qal as tesões são calcladas o teo do elemeto e extapoladas paa os ós. Paa m elemeto com tepolação qadátca, as tesões são comptadas as coodeadas de ma qadata de Gass de potos e extapoladas tlzado a coodeada paamétca ξ: ) ( p p s (.9) ode σ p e σ p são as tesões os dos potos de Gass..5 Elemeto Udmesoal - Implemetação Comptacoal O elemeto apesetado o tem.4 o mplemetado o pogama comecal MATLAB. A azão paa a escolha de tal pogama deve-se ao ato da mplemetação de
otmzação já have sdo eta, jtamete com a mplemetação do modelo de aálse pela Teoa Clássca de Lamação (SILVA et al., 9) o mesmo pogama. Assm, o so da omlação de otmzação com o modelo de aálse po elemetos tos o acltado. Como dados de etada, a mplemetação ecebe as popedades do mateal, o ao teo do tbo, o esqema de lamação e as cagas a seem cosdeadas. Deto do esqema de lamação, explcta-se, além da espessa e do âglo de cada camada, qal o mateal a se sado em tal camada e o úmeo de elemetos tos de cada ma. Assm, a geação da malha é eta detamete. Como o modelo pemte a cosdeação de váos casos de caegameto smltaeamete, a mplemetação az apeas ma motagem da matz de gdez global K e mota o veto de cagas com o úmeo de colas gal ao úmeo de casos de caga, como mostado a Eq. (.7). Assm, obtém-se m veto de deslocametos paa cada caso de caga..6 Exemplos mécos A pesete seção apeseta exemplos mécos paa os modelos de aálse mplemetados. Icalmete, exemplos tlzado o elemeto bdmesoal seão apesetados. Tal elemeto o mplemetado o pogama de códgo-abeto FEMOOP (MARTHA & PARETE, ). Paa a valdação dos esltados, o tlzada a solção aalítca mplemetada po Heakovch (998) e o pacote comecal de elemetos tos ABAQUS (SIMULIA, 7). Assm, apeseta-se m modelo coss-ply, m agle-ply e m modelo de se compósto com peseça de Le exteo de aço. Após esse pmeo cojto de exemplos, a omlação dmesoal seá valdada, tlzado as lamações apesetadas po Xa et al. (), compaado os esltados também com o elemeto bdmesoal, e exemplos adcoas compaado os esltados obtdos com o pogama ABAQUS, com a omlação dmesoal e com ma solção baseada a Teoa Clássca de Lamação (TCL) mplemetada po Slva et al. (9). Os mateas tlzados os exemplos são apesetados abaxo a Tabela., Tabela. e Tabela.. Paa os exemplos de.6. a.6., o Caboo-Epóx é tlzado, eqato qe o estate dos exemplos, o Gate-Epóx T é tlzado.
Tabela. - Popedades mecâcas do aço. E (GPa) v. Tabela. - Popedades mecâcas do Caboo-Epox (REDDY, 996). E (GPa) E (GPa) E (GPa) G (GPa) G (GPa) G (GPa) ν ν ν 7.9 9. 9. 7. 7. 6....49 Tabela. - Popedades mecâcas do Gate-Epox T. E (GPa) E (GPa) E (GPa) G (GPa) G (GPa) G (GPa) ν ν ν 4.6.7.7 5.7 5.7.4.68.68.495 Como mecoado o Item., as codções de cotoo tlzadas paa os modelos bdmesoas smlam m Estado Plao Geealzado de Deomações (EPGD). Assm, os deslocametos vetcas são mpeddos os ós eoes e apeas m ga de lbedade cceecal é estgdo, paa evta toções de copo ígdo. Como o tbo é logo, a codção de deomações costates a deção axal é adeqada. Com objetvo de gaat esta codção, o aplcada ma estção adcoal, galado os deslocametos axas de todos os ós da ace speo da malha..6. Modelo coss-ply O modelo de valdação apeseta 9 camadas de compósto coss-ply, sjeto a pessão tea. O ao teo é de.4m, com ma malha de elemetos qadaglaes de 8 ós (Q8), cada m com.5 mm de espessa. A espessa total do tbo é de 5 mm. O valo de pessão aplcado o de.69 MPa. O esqema de lamação é mostado a Tabela.4 e os esltados em tesões são apesetados a Tabela.5 e a Fga.6. Tabela.4 - Esqema de Lamação do modelo coss-ply. Camada Espessa (mm) Âglo. 9.. 9 4. 5. 9 6. 7. 9 8. 9. 9
Tabela.5 - Tesões o sstema global o modelo coss-ply. Aalítco ABAQUS (CAX8R) FEMOOP (Q8) Face z (kpa) (kpa) (kpa) Itea -.69E+4 -.57E+.484E+5 Extea.E+ 5.76E+.874E+5 Itea -,75E+4 -,585E+,484E+5 Extea,678E+ 5,86E+,874E+5 Itea -.68E+4 -.6799E+.488E+5 Extea 4.E+ 5.7E+.879E+5 ota-se, pelos esltados, qe o elemeto mplemetado oece bos esltados, com eo máxmo de,9% a tesão σ z, cocodado com a solção aalítca. O esltado obtdo também cocodo com o modelo geado o pogama ABAQUS. Qato à covegêca, tabalhos ateoes mostam qe m esltado smla é obtdo com apeas 5 elemetos. (ROCHA et al., 8). (a) Malha (b) Deslocametos adas (c) Tesões adas Fga.6 Resltados do modelo coss-ply. (d) Tesões cceecas
.6. Modelo agle-ply O modelo agle-ply poss as mesmas caacteístcas geométcas do modelo ateo, e o mesmo caegameto. Mda-se apeas o esqema de lamação, qe é mostado a Tabela.6. Tabela.6 - Esqema de Lamação do modelo agle-ply. Camada Espessa (mm) Âglo. 45. -45. 45 4. -45 5. 45 6. -45 7. 45 8. -45 9. 45 este caso, ão hove compaação com o elemeto axssmétco pesete o pogama ABAQUS, pos ele só o possível tlza âglos de º o 9º. Isso acotece pos eam ecessáas das otações de coodeadas paa de m âglo de 45º, mas o pogama só pemta aze ma otação. Spõe-se qe tal deção seja possível se dedos dos sstemas de coodeadas axlaes e tlzado m deles paa otações coss-ply e o oto paa otações agle-ply. Poém, tal vestgação ão o ealzada, em ace da exstêca da omlação mplemetada o FEMOOP já devdamete valdada. Os esltados em tesões o sstema global são mostados a Tabela.7 e exbdos gacamete a Fga.7. Tabela.7 - Tesões o sstema global o modelo agle-ply. Aalítco FEMOOP ( elem) Face z τ zθ (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) Itea -.69E+4.64E+4.86E+5 9.6E+4 Extea.E+ -.6E+4.449E+5 5.98E+4 Itea -.688E+4.4E+4.787E+5 8.9994E+4 Extea.E+ -.45E+4.467E+5 6.4E+4
4 (a) Malha (b) Deslocametos adas (c) Tesões adas (d) Tesões oa do plao Fga.7 Resltados do modelo agle-ply. Os esltados obtdos o FEMOOP mostam boa cocodâca com a solção aalítca, com eos advdos apeas do cto compmeto do tbo. É mpotate essalta qe, pcpalmete em tbos agle-ply, o compmeto do modelo aeta os esltados. Em tbos mto ctos, a hpótese de m Estado Plao Geealzado de Deomações pede a valdade, ocasoado vaações as tesões axas. Potato, a cocodâca os esltados melhoa com o ameto do compmeto do tbo.
5.6. Modelo de se compósto Esse modelo poca smla m tbo de extação o podção de poços de petóleo. esse caso, ma lamação coss-ply mas complexa pecsa se tlzada, de modo a esst a esoços casados pelas altas pessões hdostátcas ecotadas em altas poddades, mas sedo também capaz de esst à pessão execda pelo óleo e às oças axas atates em ses. Adcoalmete, m le de aço é tlzado paa axla a estaqedade do tbo. Em ma etapa de pé-dmesoameto, qe pode se caactezada pelo so de téccas de otmzação, os esoços de lexão podem se despezados, cosdeado apeas pessões tea e extea e oça axal. Assm, o modelo axssmétco mplemetado pode se tlzado paa calcla as tesões e deomações o tbo. Devda à complexdade adcoal tazda pela adção do le de aço à aálse, a solção aalítca de Heakovch (998) ão pode se tlzada esse caso. Assm, apeas esltados o FEMOOP oam geados. O ao teo do tbo é de.87m, com ma espessa total de 5 mm, dvddo em elemetos qadlateas de 8 ós (Q8). Das hpóteses de caegameto oam aalsadas, a pmea smlado o se em opeação e a segda smlado stações de mplatação, qado o tbo estaá vazo. Os dos ceáos são apesetados a Tabela.8 e o esqema de lamação a Tabela.9. Tabela.8 - Ceáos de caga o modelo de se. Ceáo Pessão Itea (MPa) Pessão Extea (MPa) Foça Axal (k) 5-5 Tabela.9 - Esqema de lamação do modelo de se. Camada Mateal Espessa (mm) Âglo Le de Aço 4. º Caboo-Epoxy. 9º Caboo-Epoxy. º 4 Caboo-Epoxy. 9º 5 Caboo-Epoxy. º 6 Caboo-Epoxy. 9º 7 Caboo-Epoxy.5 º 8 Caboo-Epoxy.5 º 9 Caboo-Epoxy. 9º Caboo-Epoxy. º Caboo-Epoxy. 9º Caboo-Epoxy. º Caboo-Epoxy. 9º
6 a Tabela. são apesetadas as tesões máxmas em cada mateal o sstema local, eqato qe a Tabela. são apesetadas as tesões máxmas o sstema global. Paa a tlzação de ctéos de alha como os desctos o Item., as tesões o sstema local são mpotates. Ceáo Tabela. - Tesões máxmas o sstema local o modelo de se (MPa). Aço Compósto 9º Compósto º σ σ σ σ σ σ σ σ σ 67.856.7-9.999-5.94.648 -.9 55.59-8.7 -.65-66.6-88.65-8.8-9.76 -.5847 - -6.869-5.86-7.9 Ceáo Tabela. - Tesões máxmas o sstema global o modelo de se (MPa). Aço Compósto 9º Compósto º σ σ zz σ θθ σ σ zz σ θθ σ σ zz σ θθ -9.999 67.856.7 -.9.648-5.94 -.65 55.59-8.7-8.8-66.6-88.65 - -.5847-9.76-7.9-6.869-5.86.6.4 Modelos de Xa et al. () os modelos qe segem, o elemeto dmesoal é compaado com o elemeto bdmesoal já valdado os tes ateoes. Os esltados são também compaados com a solção aalítca (HERAKOVICH, 998). O mateal tlzado os exemplos o o Gate-Epóx T, cjas popedades são apesetadas a Tabela.. Tês esqemas de lamação agle-ply deetes são aalsados, com 4 camadas de mm de espessa cada, ao teo de 5 mm, os qas é aplcada ma pessão tea de MPa. Cada camada o modelada tlzado elemetos tos, totalzado elemetos. Os esltados são apesetados a Tabela., a Tabela. e a Tabela.4. Tabela. - Resltados da lamação [55/-55/55/-55] de Xa et al. (). Lamação σ Face σ z σ θ τ zθ [55/-55/55/-55] (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) Aalítca Itea -.E+4.46E+.57E+5.E+5 Extea 7.8E- -.8E+.44E+5 -.E+5 FEMOOP (D) Itea -.E+4.47E+.57E+5.E+5 Extea 7.9E- -.5E+.44E+5 -.E+5 Udmesoal Itea -.E+4.46E+.57E+5.E+5 Extea 6.95E- -.8E+.44E+5 -.E+5
7 Tabela. - Resltados da lamação [55/-55//-] de Xa et al. (). Lamação σ Face σ z σ θ τ zθ [55/-55//-] (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) Aalítca Itea -.E+ -7.5E+ -.84E+4-6.7E+ Extea -.E+4 7.49E+ -4.98E+ -5.5E+ FEMOOP (D) Itea -.E+4.5E+5 4.5E+5.47E+5 Extea.46E- -.4E+5 5.E+4 4.8E+4 Udmesoal Itea -.E+4.5E+5 4.5E+5.46E+5 Extea.7E- -.4E+5 5.E+4 4.8E+4 Tabela.4 - Resltados da lamação [55/-//-55] de Xa et al (). Lamação σ Face σ z σ θ τ zθ [55/-//-55] (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) Aalítca Itea -.E+4.8E+5 4.58E+5.5E+5 Extea -.6E-.9E+5 4.E+5 -.E+5 FEMOOP (D) Itea -.E+4.8E+5 4.59E+5.5E+5 Extea.E+.9E+5 4.E+5 -.E+5 Udmesoal Itea -.E+4.8E+5 4.58E+5.5E+5 Extea.5E+.9E+5 4.E+5 -.E+5 Os esltados de Xa et al. () oam apesetados po meo de gácos, dcltado ma compaação pecsa com os obtdos pela solção aalítca e po elemetos tos. Poém, pôde-se obseva boa cocodâca paa as tês lamações. Adcoalmete, os esltados do elemeto dmesoal oam qase dêtcos aos do elemeto bdmesoal. Compaação com a solção aalítca também oece bos esltados, com eos los a maoa das tesões. Poém, os esltados obtdos pela solção aalítca a lamação [55/-55//-] (Tabela.) são claamete lógcos. Além de ão cocodaem com os esltados gácos apesetados em Xa et al. (), as tesões adas tato a ace tea qato extea ão cocodam com a Teoa da Elastcdade, qe dta qe a tesão adal a ace tea deve se gal à pessão tea aplcada e a ace extea deve se la, pos ehma caga o aplcada. Tal eômeo deve se vestgado..6.5 Compaação com a Teoa Clássca da Lamação (TCL) O últmo cojto de exemplos poca compaa os esltados do elemeto dmesoal com a Teoa Clássca da Lamação (TCL), mplemetada em Slva et al.
8 (9). Como compaação adcoal, o pogama comecal de elemetos tos ABAQUS (SIMULIA, 7) também o tlzado. Devdo às dcldades de modelagem tlzado o elemeto axssmétco o pogama ABAQUS, elemetos de casca oam tlzados, azedo com qe ses esltados sejam coetos apeas paa tbos de paede a. Em todos os modelos, ma pessão tea de MPa o aplcada. Adcoalmete, ma oça omal = p A, ode p é a pessão tea e A é a áea da paede do tbo, o também aplcada. Com o elemeto dmesoal, oam tlzados elemetos po camada. Já o pogama ABAQUS, elemetos de casca espessa S8R oam sados paa modela tbos de m de compmeto. Todos os esltados oam obtdos o sstema local e são apesetados a Tabela.5, a Tabela.6 e a Tabela.7. Tabela.5 - Resltados da lamação [55/-55/-55/55/Le] ( 5 kpa). H(m) (º) Teoa Clássca da Lamação MEF - ABAQUS MEF - Udmesoal S S S S S S S S S. 55 5.78.47.5 5.7.44 -.4 5.86.8 -.. -55 5.78.47 -.5 5.7.44.4.8.49.6. -55 5.78.47 -.5 5.7.44.4 5.76.6.. 55 5.78.47.5 5.7.44 -.4 5.7.7 -.. Le 7.8.4. 7... 6.97.. Tabela.6 - Resltados da lamação [9///9] ( 5 kpa). H(m) (º) Teoa Clássca da Lamação MEF - ABAQUS MEF - Udmesoal S S S S S S S S S.4 9 7.6.. 7... 7.48.99....796..9.789..9.746....796..9.789..9.74..4 9 7.6.. 7... 7..984. Tabela.7 - Resltados da lamação [45/-45/-45/45] ( 5 kpa). H(m) (º) Teoa Clássca da Lamação MEF - ABAQUS MEF - Udmesoal S S S S S S S S S.4 45 5.49.46.5 5.5.45 -.5 5.7.9 -.54. -45 6.8.748 -.5 6.7.74.5 6.8.69.5. -45 6.8.748 -.5 6.7.74.5 6.7.699.5.4 45 5.49.46.5 5.6.46 -.5 5.5.4 -.5 Os esltados paa as tês lamações oam bos e mostaam qe a Teoa Clássca da Lamação (TCL), apesa de aze váas smplcações adcoas, oece bos esltados paa tbos de paede a, com eos máxmos da odem de 4%. É mpotate essalta qe, com o ameto da espessa, os esltados obtdos pela TCL se toam
9 satsatóos, eqato qe métodos de aálse po elemetos tos oecem bos esltados também paa tbos espessos. A compaação com o elemeto de casca espessa do pogama ABAQUS também oece boa cocodâca, mas otadamete com os esltados obtdos pela TCL. Vale essalta qe a deeça obsevada o sal das tesões de csalhameto S se deve à coveção de sas adotada o modelo de aálse pela TCL. Tal deeça é elevate a avalação de ctéos de alha, qe descosdeam o sal de tesões de csalhameto.
4 4 OTIMIZAÇÃO DE TUBOS LAMIADOS Compóstos lamados apesetam alta adaptabldade de pojeto, toado possível a cocepção de esttas especícas paa as cagas qe ão ecebe (AZARAFZA et al., 996). Poém, tedo em vsta o elevado úmeo de vaáves de pojeto pesetes em tbos compóstos, o úmeo de lâmas e a espessa e oetação de cada lâma, a cocepção de pojetos pelo método covecoal de tetatva e eo pode se toa ma taea áda e demoada. Como exemplo de tlzação do pocesso covecoal de pojeto em tbos compóstos, cta-se o tabalho de Teólo (), o qal m pojeto de se compósto em cateáa o desevolvdo e váas lamações oam popostas ates qe se chegasse a ma com compotameto mecâco satsatóo. este âmbto, o so de téccas de otmzação de pojetos toa-se mpotate, otadamete com o atal avaço do pode comptacoal, pemtdo a aplcação de algotmos ão-leaes e teatvos, como os Algotmos Geétcos e téccas de Pogamação Matemátca. Assm, a pesete seção az ma evsão sobe otmzação e Pogamação Matemátca e desceve a omlação do poblema de otmzação paa tbos compóstos. Paa a aálse esttal de cada pojeto, o elemeto to dmesoal dsctdo a Seção seá tlzado. Ao al da seção, exemplos mécos seão apesetados. 4. Cocetos de Otmzação O so de téccas de otmzação de sstemas bsca acoalza a etapa de pojeto, tadcoalmete dexada a cago da expeêca do pojetsta. o pocesso covecoal de pojeto, apesetado a Fga 4., m pojeto cal é estmado, baseado em expeêcas pessoas o em egas de pé-dmesoameto. O pojeto é etão aalsado e se o satsatóo paa as ções qe execeá, a etapa de pojeto é alzada. Caso ão o seja, são etas mdaças também baseadas a expeêca do pojetsta até qe o pojeto se toe satsatóo.
4 Fga 4. Pocesso covecoal de pojeto. O pojeto obtdo pelo método tadcoal, apesa de se satsatóo, pode ão se o mas ecoômco o esttalmete ecaz. Em m pocesso otmzado de pojeto, apesetado a Fga 4., m pojeto cal é também estmado, mas as mdaças o mesmo são ealzadas po algotmos de otmzação.
4 Fga 4. Pocesso otmzado de pojeto. ota-se qe, em m pocesso otmzado, a patcpação do pojetsta e sa expeêca ão são descatados. Sa patcpação é mpotate tato a estmatva do pojeto cal qado a avalação do pojeto al obtdo. ota-se qe este tpo de pojeto, o pojetsta é oçado a desceve mcosamete o poblema, atavés das vaáves de pojeto, ção-objetvo e estções. Tal omlação mas ígda ajda a oece m melho etedmeto do poblema tatado (ARORA, 4). Assm, cosdea-se qe a etapa mas mpotate em m pojeto otmzado é sa deção e omlação, sto é, a coeta escolha das vaáves de pojeto, estções e çãoobjetvo. Segdo Aoa (4), a valdade e tldade de m pojeto ótmo têm elação deta com a qaldade da omlação do poblema. A seg, os elemetos de ma omlação de otmzação seão apesetados e dsctdos. 4.. Vaáves de Pojeto De modo a desceve e dvdalza cada pojeto cocebdo date o pocesso de otmzação, m cojto de vaáves de pojeto é escolhdo. Tas vaáves devem desceve todas as caacteístcas do sstema qe sejam petetes paa a etapa de pojeto.
4 Date o pocesso de otmzação, valoes qasqe podem se atbídos a tas vaáves. Ao atb valoes a todas elas, obtém-se m pojeto. O cojto de vaáves de pojeto pode se epesetado po x x x x (4.) As vaáves devem se escolhdas de modo a evta depedêca com otas vaáves. Caso das vaáves sejam leamete depedetes, ma delas pode se emovda do cojto o ma estção de galdade pode se estabelecda ete as das. Ressalta-se também qe m úmeo mímo de vaáves de pojeto deve se tlzado. Caso algma vaável mpotate seja omtda, o pojeto al pode ão te a mpotâca pátca qe se deseja. 4.. Fção Objetvo Com váas possbldades de pojeto, é ecessáo de m paâmeto qe epesete a qaldade de cada m. Tal paâmeto ecebe o ome de Fção Objetvo, o Fção Csto, e é ma ção escala qe depede dos valoes escolhdos paa as vaáves de pojeto. Tal ção pode se deda como (x) ( x, x,, x ) (4.) Tal ção pode epeseta o csto total do pojeto, o peso total de ma estta, o lco obtdo, ete otos. O objetvo da otmzação é, potato, mmza o maxmza a ção objetvo, depededo de como é deda. Assm, o peso de ma estta deve se mmzado eqato qe o lco deve se maxmzado. 4.. Restções Restções são ções qe depedem das vaáves de pojeto e epesetam eqstos de pojeto o lmtações de abcação. Em egehaa esttal, estções podem dta qe o ato de segaça em tesões seja sempe mao qe o qe a eqêca das cagas ão sejam póxmas às eqêcas atas da estta. Além dsso, lmtes speoes e eoes de cada vaável de pojeto também podem se tatados como estções. Restções podem se tato elações de galdade como de desgaldade: hj (x) hj ( x, x,, x ) g (x) g ( x, x,, x ) com.. m com j.. p (4.)
44 ode h j são as p estções de galdade e g são as m estções de desgaldade. a oma padão de omlação de poblemas de otmzação, apeas estções do tpo " " são tlzadas. Caso exstam estções do tpo " ", elas são mltplcadas po - e passam a se do tpo " ". Paa m dado pojeto x, ma estção é cosdeada atva se o satseta a galdade, sto é, se g (x) = o h j (x) =. Po sa vez, ma estção de desgaldade é cosdeada atva se poss valo egatvo o dado poto, o seja, g (x) <. Po m, ma estção é cosdeada volada se poss valo postvo o poto paa estções de desgaldade o valoes ão-los paa estções de galdade, sto é, qado g (x) > o h j (x). Pode-se etão de egão vável e vável. A egão vável é composta po todos os potos x os qas pelo meos ma estção esteja volada. Qalqe pojeto essa egão é deomado Pojeto Ivável. Aalogamete, a egão vável é composta po todos os potos x os qas todas as estções de galdade estejam atvas e todas as estções de desgaldade estejam atvas o atvas. Um pojeto a egão vável é deomado Pojeto Vável. A Fga 4. a seg lsta tas egões, em m poblema com das vaáves de pojeto. (a) Sem estções de galdade Fga 4. Regões váves e váves. (b) Com estções de galdade É mpotate essalta qe, a Fga 4.a, a egão vável compeede m espaço bem mao qe a da Fga 4.b. Com sso, pode-se cocl qe estções de galdade estgem mas a egão vável qe estções de desgaldade.