ANIMAÇÃO DE FLUIDOS VIA TÉCNICAS DE VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA E MECÂNICA COMPUTACIONAL GILSON A. GIRALDI ANTONIO L. APOLINÁRIO JR.

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1 ANIMAÇÃO DE FLUIDOS VIA TÉCNICAS DE VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA E MECÂNICA COMPUTACIONAL GILSON A. GIRALDI ANTONIO L. APOLINÁRIO JR. ANTONIO A. F. OLIVEIRA RAUL A. FEIJÓO LABORATÓRIO NACIONAL DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA COORDENAÇÃO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO FEVEREIRO - 005

2 AGRADECIMENTOS. Agadeço ao PRONEX-LNCC (004) e ao CNPq pelo apoo faceo a este poeto.

3 Ídce ÍNDICE...I CAPÍTULO INTRODUÇÃO... CAPÍTULO EQUAÇÕES BÁSICAS DA DINÂMICA DE FLUIDOS INTRODUÇÃO LEIS DE CONSERVAÇÃO PARA CAMPOS ESCALARES LEI DE CONSERVAÇÃO VETORIAL EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA MASSA EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DO MOMENTO (EQUAÇÃO DE MOVIMENTO) EQUAÇÃO DE VORTICIDADE EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO PARA A ENERGIA VORTICIDADE E ROTAÇÃO LINHAS DE VORTICIDADE TUBOS E VÓRTICES REFERENCIAIS EM ROTAÇÃO VÓRTICES EM FLUIDOS BIDIMENSIONAIS DECOMPOSIÇÃO DE HELMHOTZ... 8 CAPÍTULO 3 TOPOLOGIA DE CAMPOS VETORIAIS INTRODUÇÃO EXISTÊNCIA E UNICIDADE DEPENDÊNCIA COM RELAÇÃO ÀS CONDIÇÕES INICIAIS E PARÂMETROS CAMPOS VETORIAIS ESTACIONÁRIOS E FLUXOS Retato de Fase de um Campo Vetoal Equvalêca e Cougação de Campos Vetoas Teoema do Fluxo Tubula Estutua Local dos Potos Sgulaes Hpebólcos Estutua local das Óbtas Peódcas Teoema de Pocaé-Bedxso CAPÍTULO 4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ANIMAÇÃO DE FLUIDOS INTRODUÇÃO ANÁLISE NUMÉRICA DIFERENÇAS FINITAS ELEMENTOS FINITOS MÉTODO DE APROXIMAÇÃO DE GALERKIN RUNGE KUTTA SMOOTHED PARTICLE HIDRODYNAMICS CAPÍTULO 5 TÉCNICAS PARA VISUALIZAÇÃO DE FLUIDOS INTRODUÇÃO VISUALIZAÇÃO DE CAMPOS ESCALARES Isosupefíces Volume Redeg Mapeameto das Caacteístcas dos Dados os paâmetos de vsualzação Temos Fote Temo de absoção Temos de Espalhameto SPLATTING Volume Splattg Suface Splattg... 74

4 5.4. VISUALIZAÇÃO DE CAMPOS VETORIAIS Itegas de Campo Le Itegal Covoluto Vsualzação da Topologa de Campos Vetoas TÉCNICAS PARA VISUALIZAÇÃO DE VÓRTICES Téccas Baseadas em Isosupefíces... 9 Isosupefíces de Baxa Pessão... 9 Autovaloes do Teso de Defomação Téccas Baseadas a Idetfcação do Coe Algoítmo paa tme tacg de tubos de votcdade em Tubulêca Descção do Algotmo Extado o Esqueleto do Tubo Tacg: Jaela Fxa ou Jaela Lagagaa Busca em Espal Pedto-Coeto Potos Semetes Costução do Coe Ecotado potos Extemos do Coe Flametos Coectado Vótces Detalhes da Implemetação paa os Potos Semete Detalhes dos Métodos Numécos Ecotado as Seções Tasvesas TÉCNICA BASEADA EM EXTRAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS Extado Regões de Iteesse Atbutos dos Obetos Tacg Iteações Vsualzação e Tacg CAPÍTULO 6 ANIMAÇÃO COMPUTACIONAL DE FLUIDOS INTRODUÇÃO ANIMAÇÃO VIA MODELO PARA GASES AQUECIDOS Modelagem do Ambete (Cea) Dscetzação das Equações Cosevação da Massa Establdade Numéca Codções de Cotoo e Icas Redeg Algotmo paa Amação de Gases Resultados FLUIDOS ESTÁVEIS Esquema Numéco Codções de Cotoo Peódcas Advecção e Dfusão de Substâcas Redezação e Resultados FLUIDOS COMPRESSÍVEIS Feômeos Icopoados Solução Numéca Resultados ANIMAÇÃO VIA SPH Smulação Vsualzação e Resultados... 3 CAPÍTULO 7 PERSPECTIVAS E CONCLUSÕES APÊNDICE A A. POLINÔMIOS DE BERNSTEIN v

5 A. SPLINES A.3 SUPERFÍCIES SPLINES... 4 A.4 OPERADORES...4 A.5 DEFINIÇÕES REFERÊNCIAS v

6 Capítulo Itodução Esta moogafa tem como tema cetal a amação de fludos va téccas paa vsualzação de dados cetífcos (Vsualzação Cetífca) empegado métodos de Mecâca Computacoal. Po amação de fludos etedemos a geação de uma seqüêca de mages dgtas lustado a evolução do fludo ao logo de um tevalo de tempo. Este couto de mages deve se capaz de epoduz o movmeto do fludo de foma covcete ou sea o fludo deve escoa com o gau de ealsmo ecessáo paa o cotexto da amação que está sedo geada. Deto desta pespectva a amação de fludos tem atueza multdscpla e seu desevolvmeto depede da teação ete pofssoas das áeas de computação e egehaa. Obetvamete paa atg o gau de ealsmo ecessáo é pecso que as equações de fludos seam coveetemete tatadas e que as téccas de vsualzação de dados utlzadas possam gea mages com a apaêca ealsta. As téccas utlzadas o pocesso de vsualzação são oudas da computação gáfca. As equações de fludos são devadas de cocetos da mecâca clássca. É opotuo faze a segu algus cometáos geas destas áeas. Nos capítulos segutes estes temas seão devdamete detalhados. A aplcação de téccas em mecâca do cotuum paa a descção matemátca do escoameto de fludos é a ogem da chamada Dâmca de Fludos Computacoal (DFC). Esta é uma áea de tesa pesqusa em fução de suas aplcações tecológcas e cetífcas. O compotameto de estutuas mecâcas suetas a fotes coetes de a ou ao movmeto das maés o estudo de feômeos atmosfécos tas como ccloes e toados o estudo do compotameto do plasma o teo dos eatoes de fusão a aálse do compotameto do fluxo sagüíeo o teo das atéas do copo humao e patculamete a geação de efetos vsuas paa dústa de etetemeto são algus exemplos da mpotâca das pesqusas esta áea. Paa estuda os feômeos em dâmca de fludos são utlzados pcípos físcos utamete com ecusos de aálse uméca [Hsch (988)]. Bascamete o compotameto do fludo é modelado po um sstema de equações dfeecas pacas sueto a cetas codções cas e de cotoo. Dfclmete este sstema apeseta solução aalítca o que obga os especalstas a laçaem mão dos ecusos da aálse uméca e de métodos umécos paa dscetza o poblema e obte uma solução com um ível de apoxmação acetável. Uma smulação uméca em Dâmca de Fludos Computacoal pode empega malhas 3D com um ível de efameto da odem de 56 3 potos paa cada state de tempo smulado [Samtaey at al. (994)]. O volume de dados geado (da odem de dezeas de GgaBytes) é em geal costtuído po campos escalaes (pessão e desdade) e vetoas (velocdade e votcdade ete outos).

7 Esses campos podem se estacoáos ou ão-estacoáos (depedetes explctamete do tempo ou ão-depedetes espectvamete) e a sua aálse depede do desevolvmeto de téccas específcas que possam flta o motate de dados ealçado apeas as fomações ealmete elevates. Dete estas téccas as téccas de vsualzação vêm se estabelecedo como um ecuso de patcula mpotâca a aálse dos dados. Téccas paa vsualzação de campos escalaes (edeg de volume so-supefíces splattg etc.) campos vetoas (lhas de coete supefíces de coete taçado de patículas textuas etc.) e campos tesoas vêm sedo aplcadas paa auxla a aálse dos campos geados as smulações umécas [Rosemblum at al.(994)]. O desevolvmeto das téccas de vsualzação cetífca em DFC alado aos pópos métodos de modelagem e smulação de fludos popcou as pesqusas em amação computacoal de fludos. Amação computacoal é uma sub-áea da computação gáfca com tesas pesqusas pelas suas aplcações a dústa de etetemeto teação homem-computado e educação [Kelow (996)] [Taylo (996)] [Watt (99)]. Amações evolvedo modelos ígdos e atculados tpcamete elacoados a epesetação de fguas humaas e de amas têm ecebdo especal ateção as últmas décadas [Foste(997)] [Gote (004)] tato da comudade cetífca quato de empesas lgadas a cema e televsão. Em patcula amações ode os elemetos de uma cea obedecem a pcípos físcos têm despetado muto teesse da comudade pelo ível de ealsmo que estes métodos podem obte. Esta áea também deomada Modelagem Baseada em Físca Physcs Based Modelg é multdscpla po atueza uma vez que evolve tato cohecmetos de modelagem computacoal quato de computação gáfca [Kelow (996)] [Taylo (996)] [Watt (99)] [Metaxas (996)]. No caso patcula de ceáos evolvedo amações de fludos a utlzação de métodos em Dâmca de Fludos Computacoal (DFC) tem se mostado um ecuso valoso paa os amadoes dmudo o custo bem como o tempo de podução de flmes tas como The Pce of Egypt [Wttg (999)] ou She [Eght (00)]. A ecessdade de se busca métodos em DFC paa auxla a geação de efetos vsuas evolvedo fludos vem da dfculdade paa executa tal taefa com o gau de ealsmo ecessáo com métodos puamete geométcos. Fludos são sstemas com um úmeo muto elevado de gaus de lbedade o que toa mpatcável amá-los com ealsmo sem faze uso de pcípos físcos paa gua o tabalho de desges expeetes. Os métodos ecotados a lteatua paa amação de fludos baseados em modelos de DFC são fudametados as equações de Nave-Stoes com téccas de dscetzação baseadas em dfeeça ftas mplíctas [Stam (999)] e explctas [Foste-Metaxas (997)] bem como em métodos Lagageaos tas como Método das Caacteístcas [Stam (999)] Smoothed Patcle Hdodyamcs (SPH)

8 [Desbu-Gascuel (998)] e Movg-Patcle Sem-Implct (MPS) [Pemoze at al. (003)]. O método SPH é depedete de malhas (assm como o MPS) e vem sedo aplcado com sucesso em poblemas de egehaa tas como smulação de fludos compessíves paa a descção da dâmca de mateas estudo de explosões e feômeos de taspote [Lu at al. (003)]. Implemetações deste método paa aqutetuas paalelas têm sdo desevolvdas com o obetvo de melhoa a pefomace do mesmo. Do poto de vsta da computação gáfca o fato do SPH ão depede de uma malha pevamete defda é uma vatagem se compaado com os métodos clásscos. As ceas em um flme são em geal dâmcas com foteas vaáves em fução de ovos obetos que etam a cea à medda que esta se desevolve. Desta foma métodos que ão fazem uso de malhas podem se vataosos po evta o custo exta de e-gea a malha sempe que tas alteações ocoem. Estas vatages vêm despetado teesse po pesqusadoes em computação gáfca e popostas efocado a utlzação do SPH paa a geação de efetos vsuas á podem se ecotadas a lteatua [Mülle at al. (003)] [Amada(004)]. As pesqusas em amação de fludos se dvdem bascamete em tês etapas. Pmeamete temos a busca de ovos modelos em DFC que seam mas efcetes do poto de vsta da computação gáfca. Esta etapa evolve tato a pesqusa de ovos modelos físcos quato o auste de modelos á cohecdos sem pede de vsta o fato de que o obetvo fal é a geação de efetos vsuas e ão a descção de feômeos atuas. Uma vez esolvdas às equações de fludos umecamete passa-se à fase de edeg ode téccas de vsualzação são aplcadas sobe os campos geados com o obetvo de ca efetos vsuas tas como taspaêca mages efletdas a supefíce de um líqudo ou mesmo efetos especas que cluem defomação de pasages cêdos etc. Nesta etapa tem-se usado o método clássco dos Cubos-Machates (Machg Cubes) [Loese (987)] métodos dos coutos de íves [Pemoze at al. (003)] volume edeg [Foste-Metaxas (997)] e LIC [Wttg (999)]. Falmete as téccas utlzadas devem se copoadas a um softwae com teface gáfca coveete a qual pemta a utlzação destes ecusos (modelos de fludos e computação gáfca) po desges e amadoes (ve [Wttg (999)] como exemplo). Neste tabalho vamos os coceta as duas pmeas etapas: Modelos de fludos e téccas de edeg. Neste setdo temos como obetvos a apesetação de modelos matemátcos de fludos do poto de vsta da computação gáfca e a descção de téccas de vsualzação focadas paa edeg de ceas evolvedo fludos. Este texto está ogazado da segute foma. No Capítulo fazemos uma evsão dos cocetos báscos em mecâca de fludos. No capítulo 3 dscutmos esultados em sstemas dâmcos que são báscos paa o estudo da topologa dos 3

9 campos geados pelas soluções das equações de Nave-Stoes. No Capítulo 4 desevolvemos os esquemas umécos ecotados a lteatua paa esolve as equações de fludos. A segu de posse da teoa ecessáa dscutmos as pcpas téccas paa vsualzação em DFC e sua fudametação matemátca (Capítulo 5). No Capítulo 6 apesetamos uma evsão dos tabalhos mas sgfcatvos em amação de fludos. O obetvo pcpal deste Capítulo é apeseta as lhas de pesqusa que ulgamos mas sgfcatvas esta áea sem o etato faze uma evsão exaustva de todos os métodos. O Capítulo 7 apeseta coclusões e pespectvas futuas paa esta áea. A bblogafa ctada ecota-se o capítulo de efeêcas. Com o obetvo de faclta a letua deste tabalho esevamos o Apêdce A paa fómulas e defções que podem ão se de uso comum ao leto cosdeado o caáte multdscpla da pesete abodagem. 4

10 Capítulo Equações Báscas da Dâmca de Fludos.. Itodução Um modelo matemátco paa o compotameto de um sstema físco em patcula paa fludos em movmeto pode se defdo somete após cosdeações sobe o ível de apoxmação ecessáo paa o estudo das popedades de teesse. Este etapa da fomulação do modelo tem po obetvo a defção de um couto de vaáves depedetes e depedetes ecessáa paa desceve o sstema. O pmeo ível de apoxmação a se defdo é a escala em que se petede estuda o sstema. No estudo de fludos dstguem-se dos íves de escalas: mcoscópco (átomos e moléculas) e macoscópco. Paa gases po exemplo a descção o ível mcoscópco cosste de uma aálse estatístca baseada as les da teoa cétca e físca estatístca [Lboff (990)]. Esta descção leva á defção das vaáves em mecâca de fludos tas como tempeatua e pessão como sedo médas estatístcas de gadezas mcoscópcas. Segudo Hsch [Hsch (988)] a dâmca de fludos popamete dta tem íco quado a teação ete um úmeo sufcetemete alto de patículas (átomos e moléculas) afeta e doma pelo meos pacalmete o movmeto dvdual de cada patícula. Nete caso estamos a escala macoscópca ode a desdade de patículas é alta o sufcete paa que possamos cosdea o sstema (fludo) como um cotíuo. É este ível de apoxmação que estamos teessados. Aqu podemos dstgu duas abodages paa fomula as equações do modelo: a Lagageaa e a Euleaa. A fomulação Lagageaa da mecâca de fludos pode se (pelo meos teocamete) colocada pecsamete como a solução de um poblema do tpo: F( x& y& z&; && x &&&&; y z t) = 0; xt ( x yt y zt z ( ) 0) = 0 ( 0) = 0 ( 0) = 0. xt &( ) = x& yt &( ) = y& zt &( ) = z& A solução deste poblema é dada po uma tea da foma: ( x( x0 y0 z0; x& 0 y& 0 z& 0; t) y( x0 y0 z0; x& 0 y& 0 z& 0; t) z( x0 y0 z0; x& 0 y& 0 z& 0; t) ) (. ) a qual epeseta a posção um state t da patícula de fludo que em t = t 0 satsfaza as codções cas dadas em (.). 5

11 Na escala macoscópca uma patícula de fludo é uma poção de fludo pequea se compaada com as dmesões das escalas cosdeadas mas cotedo um úmeo sufcetemete alto de átomos (ou moléculas) paa def sem ambgüdade médas de gadezas mcoscópcas (velocdade eega etc) das moléculas e átomos dvduas. Cetamete ecota a fução F em (.) ão é uma taefa smples o que toa a fomulação Lagageaa de dfícl utlzação deta. Um modo mas coveete de fomula as equações do fludo é abadoa a tetatva de especfca a hstóa de cada patícula de fludo e ao vés especfca gadezas macoscópcas tas como desdade pessão e a velocdade do fludo em cada poto do espaço a cada state de tempo. Este método chamado de descção Euleaa seá o método segudo a apesetação que seá feta este capítulo. Apesetaemos aqu a fomulação Euleaa va les de cosevação. Paa tal desevolveemos calmete as expessões geas destas les paa campos escalaes e vetoas paa em seguda aplcá-las ao caso específco da mecâca de fludos... Les de Cosevação paa Campos Escalaes. Sea U uma quatdade escala po udade de volume defda um volume abtáo Ω fxo o espaço e lmtado po uma supefíce fechada S. A tesdade local de U vaa devdo a atuação do fluxo que expessa a cotbução do meo exteo a Ω e das fotes Q. A foma geal da le de cosevação paa a quatdade escala U é expessa assumdo-se que a vaação de U deto do volume Ω po udade de tempo é dada po: UdΩ ( ) t 3. Ω e deve se gual a cotbução do meo exteo devdo ao fluxo atavés da supefíce S F ds ( 4. ) S mas as cotbuções das fotes volumétcas ( Q V ) e supefcas ( Q S ) de U expessas po: QdΩ+ Q ds. 5. Ω V S S ( ) Assm a foma geal da le de cosevação paa a quatdade escala U pode se escta como [Hsch (988)]: t UdΩ+ F ds = Q dω+ Q ds. V Ω S Ω S S ( 6 ) 6

12 Supodo cotudade do fluxo e das fotes supefcas podemos usa o Teoema de Gauss e eesceve a ultma expessão como: U t d F Q d Ω+ = Q d V Ω+ S Ω. Ω Ω Ω Ω ( 7) Esta equação é a foma tegal da le de cosevação. A foma dfeecal é obtda detamete desta e tem a foma: U U + F = QV + QS + ( F QS) = QV ( 8. ) t t.3. Le de Cosevação Vetoal Se a quatdade cosevada é descta po uma quatdade vetoal U etão o fluxo e o temo elatvo às fotes supefcas se toam tesoes F e Q espectvamete o temo coespodete às fotes volumétcas se toa um veto Q V e as equações (.7)-(.8) assumem espectvamete a foma [Hsch (988)]: U ( ) t d Ω+ Fd Ω= Q d Q d V Ω+ S Ω 9. Ω Ω Ω Ω U + ( F QS) = QV ( 0. ) t.4. Equação de Cosevação da Massa Vamos agoa usa a le de cosevação dada po (.7) paa o caso patcula em que U é a desdade volumétca de massa ( ρ ). Neste caso a equação (.7) toma a foma: ρ ρ t d v Q d Ω+ ( ) = Q d V Ω+ S Ω (. ) Ω Ω Ω Ω ode v é a velocdade do fludo. Na foma dfeecal teemos a chamada equação de cotudade dada po: ρ + ( ρv) = Q V + QS. t.5. Equação de Cosevação do Mometo (Equação de movmeto) O mometo lea ( ρ v ) é uma quatdade vetoal e potato sua le de cosevação tem a foma geal dada pelas equações (.9)-(.0) acma. A questão cetal agoa é detema os tesoes F e Q S e o veto Q V que apaecem essas equações. 7

13 Pela seguda le de Newto sabemos que os agetes esposáves pela vaação do mometo lea de um sstema físco são as foças que agem o mesmo. No pesete caso temos uma poção do fludo lmtada pela supefíce S. Sobe esta egão do fludo agem foças de atueza extea ao fludo esultates da peseça de campos de foça tas como gavtacoal e eletomagétco. Sea f e a desdade volumétca da esultate destas foças. Além das foças exteas ao sstema (fludo) temos também as foças de atueza tea decoetes de defomações e tesões teas do mesmo. Nós assumemos que o fludo é Newtoao ou sea que as tesões teas são dadas pela expessão: σ = pi + τ (. ) ode I é um teso utáo p é a pessão e τ é o teso de tesão cuas compoetes são dadas po: τ ν ( ) ( ) δ ( ) = v + v v 3 3. sedo ν é a vscosdade cemátca. Itegado (.) ao logo de S teemos a esultate das foças teas ao fludo que atuam sobe o volume Ω. Quato ao segudo teso F este seá dado po: F = ρv v ( 4. ) ode: vv vv vv 3 v v = vv vv vv 3 vv 3 vv 3 vv 3 3 v = com ( v v v 3 ). Assm a expessão (.9) toma a foma: ρ ( v) dω+ ( ρv v) dω= ρfedω+ σ ds. (. ) t 5 Ω Ω Ω S Substtudo σ pela expessão (.) obtemos a foma tegal da le de cosevação do mometo lea paa um fludo Newtoao. A expessão dfeecal coespodete é obtda detamete da foma tegal e é dada po: 8

14 ρ v + t ρ v v + pi τ = ρ f e. ( 6. ) Subtado do lado esquedo desta equação a equação (.) a foma dfeecal multplcada po v e supodo-se os temos fotes ulos temos: dv ρ = p+ ( τ) + ρf dt e. ( 7. ) ( ) ( ) Quado a expessão (.3) paa o teso de tesão de um fludo Newtoao vscoso é substtuída em (.7) obtemos as chamadas Equações de Nave-Stoes do movmeto. Paa coefcetes de vscosdade costates estas equações eduzem-se a: dv ρ = p + ν v ( v) + ρf e.(.8) dt Δ + 3 Paa fludos compessíves ( v = 0 ) a equação acma eduz-se a: dv ρ = p + νδv + ρf e.(.9) dt No caso de um fludo deal sem tesões teas e potato com vscosdade ν = 0 a equação acma eduz-se à chamada Equação de Eule: dv v ρ = ρ + ρ( v ) v = p + ρf e. dt t.6. Equação de Votcdade A equação de movmeto (.7) pode se eescta em vaas fomas uma das quas toduzdo-se o veto votcdade ξ: ξ = v (.0) (ve A.4) e usado a detdade vetoal: ( v v v ) v = v ( v) (. ) paa obte: v v ( v ξ) = p τ t ρ + + ρ f e. (. ) Uma equação mpotate paa a votcdade pode se obtda tomado-se o otacoal da equação (.) e usado-se em seguda a detdade vetoal: ( ) ( ) ( v ξ = v ξ+ ξ ) v. 9

15 utamete com o fato do otacoal do gadete de uma fução se detcamete ulo. Desta foma temos a equação de Helmholtz: ξ ( ) ξ ( ξ + v = ) v+ p τ f t ρ + ρ + e. ( 3. ) Paa um fludo Newtoao compessível v = 0 com coefcete de vscosdade cemátca costate v o temo de coespodete às tesões teas eduz-se ao Laplacao da votcdade: τ = νδξ ( 4. ) ρ ode Δ é o Laplacao (ve seção A.4) o que smplfca a equação fal..7. Equação de Cosevação paa a Eega Em um fludo a eega total a se cosdeada a equação de cosevação é a soma da eega tea com a eega cétca po udade de massa. Nós dcaemos po E a eega total po udade de massa a qual seá dada po: v E = e + ( 5. ) ode v é o módulo do veto velocdade e epeseta a eega tea. A pmea le da temodâmca estabelece que os agetes esposáves pela vaação da eega total são o tabalho das foças atuado o sstema utamete com o calo tasmtdo paa o mesmo. Pela le de codução de calo de Foue a dfusão de calo é expessa pela le: F T ( ) D = κ 6. ode T é a tempeatua absoluta e κ é o coefcete de codutvdade témca. As demas fotes de vaação da eega tea podem se sepaadas em: Fotes volumétcas devdo a atuação das foças de volume: f e Outas fotes volumétcas de calo (adação eações químcas etc): q H Fotes supefcas devda tesões teas: Q = σ S v. Agupado todos estes elemetos temos a foma tegal da equação de cosevação da eega de um fludo dada va aplcação da le de cosevação (.6): 0

16 Ω ( e H) Ω ( ). ( 7. ) ( ρe ) dω + ρev ds = κ T ds + ρf v + q d + σ v ds t u sua vesão dfeecal (.8): t S S ( ) ( )... ( ρe) + ( ρve) = κ T + σ v + ρf v + q ( 8).8. Votcdade e Rotação Ω A dâmca da votcdade pode se cosdeada um capítulo especal da dâmca de fludos. Fludos com votcdade ão ula têm compotameto mas complexo e seu estudo pode se feto a pat de elemetos devados da oção de votcdade. Tas elemetos podem se útes paa a amação de fludos e po sso seão desevolvdos esta seção. Pmeamete obsevemos que a tepetação cemátca da votcdade pode se obtda pela aálse do movmeto elatvo póxmo a um poto. A velocdade elatva δu = 3 de duas patículas de fludo sepaadas po uma dstâca δx pode se escta como: v δv = δx = eδx + Ω δx = 3 ( 9. ) x ode: e v v = + x x v v Ω = x x e + = x. e v ( e ) ( ) Ω 30 são compoetes dos Tesoes de Tesão Rotação e Defomação espectvamete. Obsevemos que: = ε ξ ( 3. ) Ω ode: se fomam pemutacao pa de 3 ε = - se fomam pemutacao mpa de 3 ( 3. ) 0 cc. A expessão (.3) ustfca o ome comumete dado ao teso de compoetes Ω de teso de votcdade. As duas cotbuções do lado deto de (.9) podem se tepetadas como dos movmetos dsttos. No pmeo temo ós obsevamos que elemetos de lha são dlatados ou cotaídos e esfeas são defomadas em quádcas com exos H S o

17 pcpas ao logo dos auto-vetoes do teso e. No segudo temo obsevamos ( Ω ) que os elemetos de lha pemaecem com compmetos alteados(matz é at-smétca) e potato este temo coespode a um movmeto de copo ígdo. Aalsado esse fato em detalhe obsevamos que ele os coduz a uma dstção sgfcatva ete fludos ode a votcdade é detcamete ula (otacoas) e fludos com votcdade ão ula (otacoas). Sea o mometo agula de uma poção ftesmal de fludo com volume δv em too do cetóde x da egão: δa = ρ εδx δudv.. δv ( 33) Substtudo (9) esta expessão obteemos [Saffma (995)]: δa ε e I ( δ I I ) ξ ( ) = l l + h 34. ode I l ( ) = ρ δx δx dv 35. δv é o teso de éca da poção de fludo e e l está defdo em (.30). O segudo temo de (.34) é o mometo agula de uma egão de fludo ξ odado como um copo ígdo com velocdade agula [Symo (98)]. Cosdeemos um copo com smeta esféca (cubos e sóldos egulaes po exemplo). O pmeo temo de (.34) se aula e o mesmo acoteceá com o segudo temo caso ξ 0.Uma vez que a taxa de vaação tempoal do mometo agula é gual ao toque total atuado sobe o copo fca clao que o toque total seá ulo este caso. Logo se o copo ão tve uma velocdade agula cal este pemaeceá sem movmeto de otação se ξ 0. Caso ξ ão sea detcamete ulo o segudo temo de (.34) ão se aula em geal e assm o copo podeá ca movmeto de otação. Esta é a dstção básca ete os fludos otacoas e otacoas. A expessão (.34) foece também a tepetação da votcdade como sedo popocoal ao mometo agula de uma poção ftesmal de fludo cuo teso de éca I em (.35) tem smeta esféca.

18 .9. Lhas de Votcdade Tubos e Vótces Em egões do fludo ode a votcdade ão é detcamete ula podemos def as chamadas lhas de votcdade como sedo as soluções do segute poblema de Cauchy: dx ds = u x 0 = x 36. ( ) ( ) 0 ξ paa um couto de posções cas x 0 ode x 0 = (x x x 3 ) u = e s é o ξ compmeto de aco. Se o campo de votcdade fo estacoáo etão pode-se usa o pópo tempo t como paâmeto e a pópa votcdade ξ o luga de u. As codções paa exstêca e ucdade da solução de (.36) são estabelecdas va a dfeecabldade dos campos em questão e seão dscutdas pecsamete as seções 3. e 3.3. As lhas de votcdade que passam atavés de uma cuva fechada smples defem um volume chamado tubo vótce. Este tubo em geal pode se eduzdo à foma clídca va aplcação de uma tasfomação cotua. Obsevemos que pela sua defção a votcdade um poto da supefíce do tubo é sempe paalela a esta supefíce. Com este fato em mete e a defção de votcdade vamos cosdea o compotameto da cculação ao logo de uma seção tasvesal A do tubo a qual defe uma cuva fechada C sobe o mesmo. Esta gadeza (cculação) é defda po: Γ= s v T ds ( 37. ) C ode T é o veto tagete utáo à cuva C. Pelo Teoema de Stoes podemos covete (.37) em uma tegal da votcdade sobe a áea A dada po: Γ= v ds ( 38. ) A ode é o veto omal utáo sobe A. Assm a cculação mede o fluxo da votcdade atavés da seção tasvesal A. Seam etão duas seções tasvesas A e A do mesmo tubo. Cosdeemos o fluxo da votcdade ao logo da supefíce defda po estas seções tasvesas e pela supefíce (W) do tubo ete estas seções. Este fluxo é dado po: ξ ds = ξ ds + ξ ds + ξ ds.. S A A W W ( 39) 3

19 O teceo temo desta expessão se aula pos ξ e W (omal à supefíce do tubo) são otogoas pela defção do tubo dada acma. Pelo teoema da dvegêca a tegal do lado deto pode se covetda uma tegal de volume da dvegêca de ξ a qual é detcamete ula pela defção de votcdade dada em (.0). Assm (.39) é equvalete a: ξ ds ξ ds = A A ( ) o que ada mas é que a expessão de uma le de cosevação paa a cculação. Esta gadeza é deomada stegth do tubo sedo a medda mas atual de sua tesdade o que a toa um obeto de pesqusas o campo da votcdade e tubulêca [Saffma (995)]. Um feômeo mpotate e de utldade paa os métodos de vsualzação é o alhameto médo obsevado paa as lhas de votcdade em egões de alta votcdade [Costat-Pocacca (995)]. Foa destas egões este alhameto toa-se têue o que dfculta a utlzação pátca das lhas de votcdade estas egões. O temo vótce efee-se é estutuas de atueza mas geal que os tubos. Gosseamete pode-se dze que vótces são poções do fludo que matêm um movmeto de otação po um ceto tevalo de tempo. Queemos com sto dze que o movmeto de otação da poção de fludo é domate sobe os outos movmetos e defomações. Pela expessão (.3) sto mplca dze que a votcdade estas poções do fludo é sufcetemete alta paa que o teso de Defomação em (.30) teha autovaloes complexos. Este agumeto é usado em [Chog-Pey (990)] como uma possível defção de vótces. Apesa de ão se a úca defção e de ão have um coseso ete os especalstas sobe como def um vótce uma questão fca apaete po esta agumetação: pecsamos de votcdade alta (localmete) paa temos um vótce. Idetfcada uma egão de alta votcdade (um povável vótce) a lha de votcdade dada pela solução de (.36) que passa pelo máxmo local de votcdade da egão e que é paalela ao veto votcdade este poto é deomada coe e tem um papel mpotate este estudo. Gosseamete esta lha pode se pesada como um exo de otação do vótce e foece uma boa déa da localzação do mesmo o espaço. Estes fatos toam o coe um elemeto mpotate paa a detecção e vsualzação de vótces em dâmca de fludos computacoal..0. Refeecas em Rotação Na dscussão acma ão cosdeamos a pessão. Neste caso uma heuístca comumete usada a detecção de vótces postula que: potos do vótce possuem alta votcdade e baxa pessão. Nosso obetvo esta seção é apeseta uma ustfcatva paa esta heuístca. 4

20 Seam dos sstemas de efeêca ( x$ y$ z$ ) e ( x $ * y $ * z $ *) ode o efeecal * tem ogem cocdete com a ogem do pmeo efeecal mas ão é fxo. Etão um veto A pode se expesso os dos sstemas pelas expessões: * * * * * * A = A x$ + A y$ + A z$ = A x$ + A y$ + A z$. ( 4. ) x y z x y z Supodo o veto depedete do tempo teemos as segutes expessões paa a devada total de A paa um obsevado fxo o sstema * e paa um obsevado fxo o sstema sem * espectvamete: d A dt * * da da x * y * daz * = x$ + y$ + z$. ( 4. ) dt dt dt * * da dt * * * da da da x y z A dx * A dy * A dz * x y $ $ $ * * z * * * * = $ + $ + $ + x + y + z. ( 43. ) dt dt dt dt dt dt Vamos supo que o sstema * ge com uma velocdade agula ω costate e que: * ω=$ z. ( 44. ) * dx$ dt Nestas codções pode-se mosta que: * = ω x$. ( 45. ) obtedo elações aálogas paa as outas devadas. Assm a equação (.43) pode se eescta a foma: * da d A = + ω A ( 46. ) dt dt Se A = (veto posção) teemos: * d d = + ω ( 47. ) dt dt Aalsemos a equação de cotudade o efeecal em otação. Sea * * * * * ρ = ρ ( x y z t) a desdade de massa vsta do efeecal *. Etão a foma dfeecal da equação (.) descosdeado-se os temos fotes coduz a: ρ t * * * * + = ( ρ v ) 0 ( 48. ) 5

21 * d =. ( 49. ) dt * v ode: Po outo lado devado a equação (.47) em elação a t teemos: * d d d d = + ( ω ) = dt dt dt dt * * * d d d dω + ω + ω + ω + = dt dt dt dt * * d d dω + ω + ω ( ω ) +. ( 50. ) dt dt dt A equação (.5) o efeecal * deve se escta substtudo-se o campo f e * d dω = 0 pela expessão da devada dt obtda va (.50) tomado-se dt uma vez que o pesete caso temos velocdade agula costate. Assm (.5) toma a foma: * * ( ρ ) * v * * * * * * * d * * * dω + ( ρ v v ) d ρ d σ ds (. ) * t Ω = Ω + * * dt 5 * Ω Ω a qual apos desevolvemos o segudo membo assume a foma fal: * * * * * * ( ρ v ) + ( ρ v v ) = t * * * * * * * * ρ f ( p I τ ) ρ ω v ρ ω ω. (. 5) e Se v * = 0 a equação acma eduz-se a: = * * * * p ρ f ρ ω ω ( 53. ) e ( ) Ω ( ) ode o segudo temo do lado deto coespode é a aceleação cetípeta Assm descosdeado a foça extea f e ós vemos pela expessão (.53) que o gadete da pessão o efeecal * apota paa o exteo do vótce o que ustfca o déa de que potos do vótce possuem baxa pessão. Uma vez que a votcdade está elacoada com velocdade agula po (.34) fca também ustfcada a déa de que os potos do vótce devem possu alta votcdade... Vótces em Fludos Bdmesoas Fludos bdmesoas ocoem po exemplo o estudo de cldos mesos em fludos vscosos. Nestes sstemas devdo a smetas ós podemos fomula as S 6

22 equações dâmcas do fludo usado apeas duas vaáves espacas utamete com o tempo. Em outas palavas o feômeo que se desea estuda ão depede da outa vaável espacal. Assm o fludo pode se vsualzado em um plao o que smplfca muto a aálse. Apesa dsso quado a dâmca do fludo se toa complexa patculamete quado o úmeo de vótces se toa alto e estes começam a teag ete s a detfcação e acompahameto dos vótces o tempo toam-se um pocesso bem mas complexo. Potato o uso de fludos D pode se muto atatvo o pocesso de teste de vabldade paa ovas métodologas de vsualzação. Em [Yeug at al. (993)] ecotamos um estudo do escoameto em too de cldos paa um fludo bdmesoal e Newtoao vscoso ( ν 0) ( e v = 0 ) compessível. O sstema está sueto ao campo gavtacoal costate suposto da foma g = g ode é um veto utáo omal ao escoameto. As equações dâmcas paa o campo de velocdades são obtdas a pat da equação (.8) e são dadas po: ρ v ( + v ) v = p+ νδv+ ρg. (.6) t v = 0 (.6) ode a desdade ρ é suposta costate. As equações paa o campo de votcdade coespodete podem se obtdas detamete a pat da equação (.3) e (.4) e da obsevação que paa fludos D tem-se: ξ v ( ) ( ) Obtemos assm a segute equação paa votcdade do fludo: ξ + ( v ) ξ = νδξ. ( 64. ) t Paa fludos compessíves bdmesoas podemos faze uso ada da chamada fução de coete paa smplfca a fomulação. Esta fução pode se defda da foma a segu. Da equação (.6) obtemos que: v v = ( 65. ) x x e potato podemos esceve: v v = x dx = x ( vdx ) ( ) 66. 7

23 pos estamos supodo v sufcetemete dfeecáves. A fução φ dada po: ( ) v dx (. ) φ x x que: v = 67 Esta fução φ é deomada fução de coete e pela sua defção é tal φ φ = v ( ) = 68. x x As expessões (.68) mostam uma popedade fudametal da fução de coete: suas solhas são tagetes ao veto velocdade do fludo. Isto pode se demostado obsevado-se que o gadete da fução de coete é otogoal ao veto velocdade dado po (.68). Esta popedade da fução de coete é básca paa a técca apesetada em [Kght-Mallso (996)] a qual faz uso de fuções de coete paa escoametos estacoáos 3D. Podemos agoa esceve a votcdade em fução de φ. Paa tal basta toma a defção (.0) e usa (.68) paa obte-se: Δφ = ξ 3. (.69) A solução do poblema em questão se esume a esolve as equações (.64) e (.69) sob codções cas e de cotoo coveetes... Decomposção de Helmhotz Neste caso pocuamos decompo o campo de velocdades em duas pates: ( ξ ) ( φ v = v + v ) (.70 ) ( ξ ) ode v é a compoete otacoal da qual a votcdade é devada e v ( φ ) é a compoete otacoal. Assm teemos [Cho-Masde (990)]: ( ξ ) v = ξ (.7) φ v = 0..7 ( ) ( ) Um fludo que satsfaz a equação (.7) tem a popedade de que exste uma fução (potecal) φ tal que: φ v = φ...73 ( ) ( ) Obsevemos que a decomposção dada pela expessão (.70) ão é úca pos qualque campo vetoal da foma f ode f é uma fução escala suave foece uma ova decomposção da foma (.70) dada po: ( ξ ) φ v = v f + v + f.74 ( ) ( ) ( ) ( ) pos as expessões (.7)-(.7) cotuam satsfetas. 8

24 Uma foma de dmu a quatdade de escolhas paa a decomposção é mpo a codção adcoal: v ξ = 0.75 ( ) ( ) Usado agoa a equação (.70) obsevamos que a codção (.75) mplca: ξ φ φ v = v + v = v.76 v ( ) ( ) ( ) ( ) Usado agoa a popedade (.73) obtemos: = Δφ (.77) Uma vez que cohecemos o campo v podemos calcula o lado deto desta equação de Posso e etão cálcula o potecal φ pela expessão [Cho- Masde (990)]: v ( ) ( ) ( x ) φ x = Φ x (.78) 4 dx π x x ode Φ (fução hamôca) é a solução da equação de Laplace assocada Δφ = 0. Esta fução pode depede das codções de cotoo mpostas o poblema. ( φ ) Assm a compoete otacoal v pode se calculada pela expessão: ( ) φ ( ) ( ) ( x x ) Δφ( x ) v x = Φ x +. (.79) 4 dx π x x Com elação à compoete otacoal do campo v vamos faze uso da popedade segudo a qual qualque campo que satsfaça (.75) admte um potecal veto que deotaemos po B ; ou sea: ω B = v..79 ( ) ( ) Relembado agoa a detdade vetoal: ΔB = B + B..80 ( ) ( ) ( ) a qual mpodo-se a codção: B = 0 (.8) pode se smplfcada paa: ΔB = ξ. (.8) ode usamos a defção de votcdade dada po (.0) e as expessões (.7)- (.7). Pode-se demosta que a solução de (.8) é [Cho-Masde (990)] [Butov (968)]: 9

25 ξ ( x ) B =. 4 dx π x x (.83) Isto que os leva à Le de Bot-Savat [Cho-Masde (990)] bem cohecda os textos de teoa eletomagétca segudo a qual a compoete ( ) otacoal v ξ ( x) pode se calculada pela equação: ( ξ ) ( ) ( x x ) ξ ( x ) v x =. (.84) 3 4 dx π x x Esta expessão tem mplctamete a codção B = 0. Assm uma vez ( ) cohecda a votcdade ecota-se a compoete otacoal v ξ ( x) pela expessão acma. As expessões (.79) e (.8) utamete com as codções (.75) e (.8) completam a decomposção poposta em (.70). 0

26 Capítulo 3 Topologa de Campos Vetoas 3.. Itodução As equações (.8) e (.3) evolvem campos vetoas (velocdade e votcdade) que são depedetes da posção o espaço e podem depede explctamete do tempo (campos ão-estacoáos) ou ão (campos estacoáos). Uma vez esolvdas estas equações paa cetas codções cas e de cotoo os campos obtdos podem se vstos como uma fução: 3 X: I Δ R ( 3. ) ode I é um tevalo abeto da eta (exo do tempo) e Δ um subcouto abeto de R 3. Uma foma de obtemos fomações quattatvas e qualtatvas do campo X é estudado as soluções da equação dfeecal: dx dt = X( t x). ( 3. ) Num ceto setdo este poto de vsta etoma a déa básca da fomulação Lagageaa (seção.): acompaha o movmeto de patículas de fludo ao logo do tempo. Uma patícula de fludo (ou poto mateal) sea uma poção do fludo deslocado-se uma taetóa dada po uma solução da equação (3.) [Saffma (995)]. Mas pecsamete o fludo sea descto pelas soluções do poblema de Cauchy: dx = X( t x). x( t ) = x ( ) dt paa um couto coveete de posções cas x 0. Este poto de vsta é muto teessate paa a vsualzação cetífca pos os métodos paa tega (3.3) são bem estabelecdos e a teoa aalítca coespodete (sstemas dâmcos) possu esultados de atueza geométca e potato com um apelo vsual atual. Assm as póxmas duas seções apesetaemos esultados báscos efeetes ao poblema (3.3). Nas seções segutes aalsaemos (3.3) paa campos estacoáos chegado ao teoema de Hatma (que caacteza localmete a estutua de potos sgulaes) e ao teoema de Pocaé-Bedxso que de ceta maea fomalza as déas báscas eetes aos métodos de vsualzação de campos vetoas baseados em cocetos topológcos.

27 3.. Exstêca e Ucdade Uma vez que os campos evolvdos as equações (.8) e (.3) são supostos cotíuos e com DX também cotua (Apêdce A seção A.4) apesetaemos estas questões as suas vesões mas fotes. Em [Sotomayo (979)] ecotamos as demostações destes esultados e de suas vesões mas facas. Duate toda a exposção que segue estaemos detfcado o espaço eucldao -dmesoal com o espaço R e utlzado o espaço R R com oma dada po: ( tx ) = max{ t x} ( 34. ) / ode = ( ) x x x x. Em geal ão vamos os estg ao caso =3 (ou =) uma vez que tal estção ão smplfca a exposção dos esultados mas mpotates. Teoema : Sea Ω um abeto de R R e sea X :Ω R cotíuo com DX cotíua também. Paa todo poto ( t0 x0) em Ω exste uma vzhaça V = I( t0) B( t0 ) tal que o poblema de Cauchy (3.3) tem uma úca solução ϕ (deomada taetóa ou cuva tegal de X) em It ( 0 ). Além dsso o gáfco desta solução sto é {( t ϕ () t ); t I( t 0 )} está cotdo em V. Demostação: [Sotomayo (979)]. Este esultado aqu colocado como um teoema é a vedade um cooláo do teoema de Pcad. Do poto de vsta da vsualzação este esultado é mpotate pos do cotáo a aplcação de um método uméco paa esolve (3.3) podea coduz a esultados sem qualque setdo. Do poto de vsta físco o teoema acma é uma ecessdade uma vez que um modelo físco a mecâca clássca sueto a codções cas ealstas deveá te uma e somete uma possbldade de evolução o tempo. Se tomamos um poto ( t x ) petecete ao gáfco da solução acma podeíamos pelas codções de cotudade e dfeecabldade do campo X aplca o teoema acma ovamete e assm estede a solução o máxmo possível. Tal possbldade dá ogem à déa de solução máxma; ou sea uma solução ϕ defda um tevalo I tal que se ψ é uma outa solução um tevalo J com J Ie ϕ= ψ I etão I=J. O tevalo I é chamado tevalo máxmo e seus extemos deotados po w e w. +

28 A ucdade da solução máxma paa o poblema (3.3) é coseqüêca deta do Teoema. Este é mas um fato que foece cosstêca à utldade pátca de (3.3) Depedêca com Relação às Codções Icas e Paâmetos Na descção do compotameto do escoameto va o poblema de Cauchy (3.3) pecsamos esolve a equação dfeecal paa um couto coveete de codções cas. Po exemplo podeíamos estuda a evolução de uma lha mateal (uma cuva composta po patículas de fludo) ao logo do tempo. Novamete devemos os peguta sob que codções tal poblema admte solução e quas as caacteístcas desta solução. Os teoemas a segu são fudametas paa esta esposta. Teoema : Sea X cotíua um abeto Ω R R Λode Λ é o tevalo de vaação de um paâmeto λ. Paa todo ( t0 x0λ) Ω supoha que o poblema de valoes cas com λ fxo dx = X( t x λ ). x( t ) = x (. ) dt teha uma úca solução ϕ defda o seu tevalo máxmo ( w w+ ) w w t x λ. ( ) ± = ± 0 0 Etão: {( 0 0 λ) ; ( 0 0 λ) Ω ( )} D= t t x t x t w w + é abeto em R Ω e ϕ é cotíua em D. Demostação: [Sotomayo (979)]. Paa mosta uma coseqüêca pátca deste teoema etomemos a questão colocada acma de acompaha o movmeto de uma cuva mateal o teo do fludo. Esta cuva o state t = t 0 pode se escta como: ( ) ct s = x ( s) ode sé um paâmeto. 0 0 O poblema em questão pode se colocado a foma: dx = X( t x). x( t ) = x s ( ) 0 0( ). 36. dt Obsevemos que de acodo com o Teoema paa cada valo de s este poblema tem solução máxma úca e potato podemos aplca o teoema acma paa gaat que a cuva cal ct ( 0 s) seá deslocada cotuamete pela ação do cts do poblema (3.6) é comumete deomada campo (escoameto). A solução ( ) 3

29 lha de tempo a lteatua [Rosemblum at al. (994)]. Demas possbldades spadas a déa de vaação de paâmetos pesete o Teoema acma são apesetadas a segu e admtem uma aálse aáloga. Lhas de Coete (Steamles): Fuções ϕ( ss 0 x0 ) soluções de: dx = ut ds x xs = x ode ( ) ( ) ( 37. ) ( 0 x) ( x) Xt u = Xt0 0 cc. dx dt ( ) se Xtx 0 0 Lhas de Taetóa (Path Les): ϕ( tt 0 x0 ) tas que: ( ) ( ) (. ) = Xtx xt = x com codção cal fxa. Lhas de Emssão (Steales): dx = Xtx ( ) x( λ) = x (. ) 0 39 dt ode λ vaa um tevalo t λ t. 0 Na defção (3.7) paa lhas de coete a déa é estuda o campo cogelado um state de tempo t = t 0. Assm as lhas obtdas ão coespodeão a taetóas de patículas mateas mas coteão fomações do compotameto do escoameto (mas especfcamete da topologa do campo) o state t = t 0. Este é um ecuso exploado pela técca descta em [Helma- Hessel (99)] paa vsualzação de campos ão-estacoáos. Devemos acesceta também que as lhas de coete e as lhas de taetóas são equvaletes o caso de campos estacoáos. A dfeecabldade da fução ϕ com elação à vaável x é estabelecda pelo segute esultado. Teoema 3: Sea X e DX cotíuas um abeto Ω R R Λode Λ é o tevalo de ϕ= ϕ tt x λ vaação de um paâmeto λ. Etão paa λ fxo a solução ( ) 0 0 de 4

30 dx = X( t x λ ). x( t ) = x (. ) dt é úca e admte devada pacal D 3 ϕ com elação a x 0. Além dsso a aplcação ( tt x λ) Dϕ( tt x λ) domío dado po: é cotíua o seu {( 0 0 λ) ( 0 0 λ) ( ( 0 0 λ) ( 0 0 λ) )} D= t t x t x Ω t w t x w + t x. Demostação: [Sotomayo (979)] Campos Vetoas Estacoáos e Fluxos O estudo das soluções da equação (3.) gaha em complexdade pela depedêca explcta do campo com elação ao tempo. Esta depedêca podeá povoca mudaças globas a topologa das taetóas de tal odem a toa vável o estudo do campo a pat desta equação. Uma alteatva pátca estes casos é estuda a topologa do campo em váos states e em seguda aalsa a evolução da topologa o tempo. Mas especfcamete tudo se passa como se cosdeássemos o campo X( t x ) como uma famíla de campos estacoáos e estvássemos aalsado o compotameto desta famíla va o estudo de uma seqüêca dsceta de elemetos da mesma po exemplo: { X( t x); t = t + t =... N} Δ. 0 Assm os cocetos elatvos a campos estacoáos assumem um caáte fudametal esta apesetação. A equação dfeecal em questão seá: dx dt = X( x) ( 3. ) Nas póxmas seções passaemos a aalsa os esultados elatvos às soluções desta equação (dta autôoma) e do compotameto destas soluções as vzhaças de potos sgulaes de X (potos ode X se aula). De íco podemos gaat exstêca e ucdade das soluções do poblema de Cauchy coespodete se X fo o campo de velocdades ou de votcdade pelo que fo exposto a seção 3.. A aplcação ϕ:d R ode D é o couto do teoema e ϕ é defda po: ϕ( tx) = ϕx () t com ϕ dada pelo mesmo teoema é dfeecável com elação às vaáves t e x. Esta aplcação é deomada fluxo geado po X e seá utlzada a segu Retato de Fase de um Campo Vetoal O etato de fase é um ecuso mpotate paa a epesetação gáfca das popedades topológcas de um campo vetoal. O etato de fase de um campo X pode se epesetado po um couto de cuvas deomadas óbtas. A óbta do campo X pelo poto p é a magem da cuva tegal de X pelo poto p ou sea: 5

31 γ p { ϕ( t p ) t I p} = ;. Pela ucdade das cuvas tegas (Teoema ) paa os campos de teesse tem-se que duas óbtas de X cocdem ou são dsutas. Mas ada pode-se demosta [Sotomayo (979)] que o couto Δ fca decomposto em uma uão dsuta de cuvas dfeecáves podedo cada uma se: magem buívoca de um tevalo da eta um poto ou fechada (peódca). O couto Δ mudo da decomposção em óbtas de X é o etato de fase de X. Na epesetação gáfca do etato de fase costuma-se oeta as óbtas o setdo das cuvas tegas do campo X (cescmeto de t). A gade utldade do etato de fase como stumeto paa epesetação gáfca de um campo vetoal está a possbldade de vsualzação das popedades essecas (topológcas) do mesmo va a utlzação de algumas óbtas coectado os potos sgulaes do campo. Este ecuso fcaá mas clao com os exemplos apesetados a seção ode dscutmos o teoema de Pocaé-Bedxso clássco esta áea Equvalêca e Cougação de Campos Vetoas Uma vez que dspomos de um ecuso paa epesetação de popedades de um campo vetoal seu etato de fase devemos pocua meos paa compaa duas epesetações e dze quado são equvaletes (possuem as mesmas popedades essecas). Itoduzemos etão as oções de equvalêca e cougação topológca ete dos campos vetoas as quas pemtem compaa seus etatos de fase. Equvalêca: Seam X e X campos vetoas defdos os abetos Δ e Δ de R espectvamete. Dz-se que X é topológcamete equvalete (espectvamte C - equvalete) a X quado exste um homeomofsmo (esp. um dfeomofsmo de classe C (ve A.5)) h:δ Δ levado as óbtas de X em óbtas de X e pesevado a oetação. Cougação: Seam ϕ :D R e ϕ :D R os fluxos geados pelos campos X: Δ R e X: Δ R espectvamete. Dz-se que X é topológcamete cougado (esp. C - cougado) a X quado exste um homeomofsmo (esp. um dfeomofsmo de classe C (ve A.5)) h:δ Δ tal que h( ϕ( t x)) = ϕ ( t h( x)) paa todo ( tx) D. O homeomofsmo h chama-se cougação topológca (esp. C - cougação) ete X e X. 6

32 Estas duas oções defem elações de equvalêca ete campos vetoas defdos em abetos do R. Além dsso toda cougação é uma equvalêca mas o veso ão é vedadeo o que pode se mostado pelo exemplo a segu. Seam os campos vetoas X e Y em R ( ) = ( ) ( ) = ( ) (. ) X x x ax ax Y x x bx bx 3 dados po: Paa ab ão ulos as óbtas coespodetes seão ccufeêcas de ceto a ogem cuas cuvas tegas têm peíodo π a e π b espectvamete. A aplcação detdade é uma C -equvalêca ete os campos mas estes ão são topológcamete cougados. Um aspecto essecal destas elações é a pesevação de potos sgulaes e óbtas peódcas. No caso da cougação o peíodo das óbtas peódcas também é pesevado. São estas caacteístcas que toam estas elações útes paa a compaação de etatos de fase uma vez que os potos sgulaes e óbtas peódcas são elemetos essecas a caactezação da topologa de um campo. A mpotâca dos potos sgulaes paa a caactezação da topologa pode se medda pelo teoema que segue. Este mosta que o compotameto do fluxo a vzhaça de um poto ão-sgula (egula) é topológcamete smples ( tubula ) o que de ceta foma apota paa os potos sgulaes como os gades esposáves po compotametos topológcos mas complexos. O esultado segute (teoema de Hatma) foece uma oção da extesão desta complexdade. Em seguda o mapa de Pocaé e sua coseqüêcas mostam a mpotâca das óbtas peódca a defção da topologa Teoema do Fluxo Tubula Seam X:Δ R um campo vetoal de classe C com Δ R e abeto e A R também abeto. Uma aplcação dfeecável f: A Δde classe C chama-se seção tasvesal local de X (de classe C ) quado paa cada a A Df ( a)( R ) e X( f( a)) geam o espaço R. Sea Σ = f( A) mudo da topologa duzda. Se f: A Δ fo um homeomofsmo dz-se que Σ é uma seção tasvesal de X. Teoema 4 (do fluxo tubula): Sea p um poto ão sgula de um campo vetoal X:Δ R de classe C ( X( p) 0 ) e f: A Δ uma seção tasvesal local de X de classe C com f( 0 ) = p. Etão exste uma vzhaça V de p em e um dfeomofsmo hv : ( ε ε ) B de classe C ode ε > 0 e B é uma bola abeta em R de ceto a ogem 0 { 0 } h( Σ V) = B; = f ( p) tal que: 7

33 h é uma C -cougação ete X V e o campo costate Y:( εε ) B R Y = ( ) R. Demostação: [Sotomayo (979)]. C Fgua 3. Fluxo a vzhaça de um poto egula. Assm sea p um poto ão sgula de um campo vetoal X de classe. Pelo teoema acma sabemos que exste um dfeomofsmo de classe C que couga X com o campo costate Y = ( ) em uma vzhaça de p. Do poto de vsta topológco este cohecmeto é satsfatóo pos dexa clao a exstêca de apeas uma classe de cougação dfeecável (a cougação é uma elação de equvalêca) local em too de potos egulaes. Se p é um poto sgula a stuação é bem mas complexa e seá tatada o póxmo tem Estutua Local dos Potos Sgulaes Hpebólcos Sea p um poto sgula de um campo vetoal X de classe C ( X ( p) = 0). Os autovaloes da matz DX ( p) são fudametas paa a caactezação do compotameto do campo a vzhaça de p. Patculamete se os autovaloes de DX ( p) têm pate eal dfeete de zeo (p é poto sgula hpebólco) o teoema a segu pemtá estabelece as dfeetes classes de cougação topológca paa o campo X a vzhaça de p. 8

34 Teoema 5 (de Hatma): Seam X : Δ R um campo vetoal de classe C e p um poto sgula hpebólco. Exstem vzhaças V de p em Δ e W de 0 em R tas que X V é topológcamete cougado a DX ( p) W. Demostação: [Sotomayo (979)]. Assm classfca os potos sgulaes hpebólcos estabelecedo as dfeetes classes de cougação emete ao poblema de classfcação topológca dos sstemas leaes hpebólcos ou sea sstemas do tpo: dx = Ax dt ode A é uma matz costate com autovaloes com pate eal dfeete de zeo. O úmeo s=s(a) de autovaloes de A cotado suas multplcdades que têm pate eal egatva chama-se ídce de establdade do sstema (3.3). Notemos que esta defção depede apeas da classe de smladade da matz A ou equvaletemete da classe de cougação lea do sstema (3.3). s Chama-se subespaço estável de (3.3) o subespaço maxmal E vaate s s s po A (sto é Av E se v E ) tal que A E tem todos seus autovaloes com pate eal egatva. Aalogamete defe-se o subespaço stável de (3.3) como o s s subespaço maxmal e vaate E ode A E tem todos seus valoes pópos com pate eal postva. Estamos agoa em codções de apeseta dos teoemas fudametas este cotexto. Teoema 6: Sea um sstema lea hpebólco da foma (3.3) com ídce de establdade β. ϕ() t = ϕ( t p) e t 0 são vaates pelo sstema sto é paa todo x E = s u a taetóa do sstema γ + ( p ) petece a Κ Δ paa todo ω( p ). A dmesão de ω( p) é gual a β. Exstem ω( p) e ω( p ) tas que: ω( p ) paa t ± e ω( p ) ω( p ) paa x E u e t 0. Demostação: [Sotomayo (979)]. Teoema 7: 9

35 Dos sstemas leaes hpebólcos do tpo (3.3) em R são topológcamete cougados se e somete se ambos têm o mesmo ídce de establdade. Demostação: [Sotomayo (979)]. Pelo segudo teoema vemos que cada classe de cougação dos sstemas leaes hpebólcos em R é caactezada po um ídce de establdade. No caso tdmesoal que os teessa mas de peto os possíves compotametos desses sstemas podem se caactezados como a Fgua 3.. Fgua 3. Sstemas leaes hpebólcos o 3 R. Sea po exemplo o caso (b) epesetado a Fgua 3. ode temos dos ωγ ) ambos com pate eal egatva e um autovalo autovaloes complexos ( ωγ ( ) e ( ) eal e postvo ( X:R R ). O pmeo tem do peúltmo teoema mplca que C e ω( p) são subespaços de dmesão um e dos espectvamete. Assm se x E s (plao xx ) etão a taetóa passado po x petece também a E s o que está epesetado pela espal da Fgua 3.. Po outo lado se x E u (exo x 3 ) a taetóa seá o pópo exo. A taetóa o espaço epesetada a Fgua 3. pocua mosta o fato de que sua poeção sobe o plao xx camha em espal paa o poto sgula equato que sua poeção sobe o exo x 3 se afasta deste poto à medda que t cesce. 30

36 A Fgua 3. também é teessate po dca como a topologa do fluxo va mudado com a mudaça do couto de autovaloes. Em [Chog-Pey (990)] ecotamos uma caactezação detalhada destas mudaças va o estudo da equação de autovaloes da matz A mas pecsamete dos coefcetes desta equação (vaates po smladade de matzes). A poposta desta últma efeeca é ofeece ecusos paa a tepetação de escoametos complexos em temos de padões elemetaes de fluxo dados pelo compotameto do fluído a vzhaça de potos sgulaes. Veamos algus detalhes deste tabalho. Sea a equação de autovaloes da matz A do sstema (3.3) dada po det [ A λi] = 0. ( 34. ) Paa o caso tdmesoal esta equação pode se expadda e colocada a foma: 3 λ + Pλ + Qλ + R =0 ( 35. ) ode: ( ) [ ] ( 36. ) P= a + a + a33 = t A Q a a a a3 a a = + + a a a a a a ( 37. ) a a a3 R = a a a = [ A] ( ) 3 det 38. a a a A equação caacteístca pode te () todas as aízes eas e dsttas () todas as aízes eas com pelo meos duas aízes guas ou () uma az eal com um pa de aízes complexas cougadas. Os coefcetes da equação (3.5) são vaates po tasfomações de smladade ete matzes e po sso a caactezação das possbldades ()-() va estes coefcetes ão possuá ambgüdades. A equação (3.5) é uma equação cúbca em λ. Uma vez que seus coefcetes são eas pode-se mosta que o dscmate: D= W + Y 3 ( 39. ) é tal que a equação (3.5) teá [Spegel (973)]: uma az eal e duas complexas cougadas se D > 0. todas as aízes eas e o mímo duas guas se D = 0. todas as aízes eas e dsttas se D < 0. Com uma mapulação algébca smples pode-se mosta que a equação D = 0 é equvalete a: 7R + ( 4P 3 8PQ) R+ ( 4Q 3 P Q ) = 0. ( 30. ) 3

37 o que defe uma supefíce o espaço P-Q-R que deomaemos supefíce S. A Fgua 3.3 mosta a teseção desta supefíce com os plaos P=costate. Fgua 3.3 teseções de S com plaos P=cost. No espaço P-Q-R. De acodo com (b) acma sobe S os autovaloes são eas e pelo meos dos deles são guas. Resolvedo (3.0) paa R obteemos as supefíces S a e S b defdas espectvamete pelas equações: PQ P Q+ P 3 R= PQ P + Q+ P 3 R= / ( 3 ) 0 ( 3. ) / ( 3 ) 0. ( 3. ) A Fgua 3.4 mosta um pefl típco do cote de S po um plao P costate dcado os cotes de S a e S b coespodetes a (3.) e (3.) acma. 3

38 Fgua 3.4 Pefl dos cotes de S po P=cost. o plao QR. De (3.) e (3.) vemos que o dscmate D pode se fatoado a foma: ( )( ) ( 33 ) D= R R R R. a ode: Ra = P Q P Q+ P Rb = P Q P Q+ P b / ( 3 ) ( 34. ) 3 / ( 3 ). ( 35. ) 3 Potato de acodo com (a)-(c) acma e (3.3)-(3.5) teemos: uma az eal e duas complexas cougadas se: Q> P 3 ou Q < P 3 e R< R a ( 36) R>.. R b ou todas as aízes eas e o mímo duas guas se: R= R R R Q P ( ) a ou = b e < ou 3 R= P 7 e Q= P 3 ( 38. ) (tês aízes eas e guas). todas as aízes eas e dsttas se: 33

39 Q< P 3 e R R R ( ) a < < b 39. (egão destacada a Fgua 3.4). Se os autovaloes complexos são puamete magáos (sstema ãohpebólco) pode-se mosta que estes devem satsfaze à equação: PQ R = 0 ( 330. ) que defe a supefíce S cuo cote po P costate é uma eta o plao QR (Fgua 3.4). Quado p é um poto sgula ão-hpebólco temos que laça mão de ecusos mas atuas paa o estudo do compotameto local das soluções. Po exemplo paa potos sgulaes pacalmete hpebólcos (pelo meos um dos autovaloes com pate eal ão ula) pode-se sob cetas codções geealza o teoema de Hatma e smplfca o campo uma vzhaça da sguladade [Taes (970)].Estes esultados saem do escopo clássco e sua utldade paa questões de vsualzação é um tema ao que sabemos ada em abeto Estutua local das Óbtas Peódcas Como á mecoado as óbtas peódcas também são elemetos mpotates paa a caactezação da topologa de um campo. Uma maea de descevemos o compotameto de um campo em uma vzhaça de uma óbta peódca é atavés da tasfomação de Pocaé a qual defemos a segu. Sea γ = { ϕ( t p) t τ } 0 0 uma óbta peódca de peíodo τ 0 de um campo X de classe C defdo em um abeto Δ R. Sea Σ uma seção tasvesal(seção acma) de X em p. Em vtude da cotudade do fluxoϕ de X paa todo q Σ póxmo de p a taetóa ϕ( t q) pemaece póxma a γ com t em um tevalo compacto pé-fxado po exemplo [ 0 τ 0 ]. Defe-se a Tasfomação de Pocaé π tal que π( q ) sea o pmeo poto ode esta óbta tecepta Σ. Sea Σ 0 o domío de π. Natualmete p Σ 0 e π( p) = p. Pode-se demosta que π é um dfeomofsmo de classe C (A.5) sobe sua magem (deotada po Σ ) e mesmo toa mas pecsa a defção acma usado o teoema do fluxo tubula e suas coseqüêcas. Emboa ão detamete útl paa a epesetação geométca de popedades do campo a Tasfomação de Pocaé é um stumeto valoso a demostação de esultados como o teoema a segu; este sm com um fote apelo paa a epesetação geométca do fluxo. Veamos algumas defções pelmaes Sea um campo vetoal X:Δ R de classe C o plao. Uma óbta peódca γ de X chama-se cclo lmte se exste uma vzhaça V de γ tal que γ é a úca óbta fechada de X que tecepta V. Teoema 8: 34

40 Exstem apeas os segutes tpos de cclos lmtes (dmudo V se ecessáo): Estável: lm d ϕ t q γ = 0 ( ( ) ) quado t paa todo q V; Istável: lm d( ϕ( t q) γ ) = 0 quado t paa todo q V; Sem-estável: lm d( ϕ( t q) γ ) = 0 lm d( ϕ( t q) γ ) = 0 quado t paa todo q V Extγ e t paa todo q V Itγ ou o cotáo. Demostação: [Sotomayo (979)]. A Fgua 3.5 auda esclaece o teoema. Nesta fgua epesetamos um cclo lmte γ uma seção tasvesal Σ e dcamos os setdos postvos do fluxo ao logo de γ da óbta que passa po um poto q deto da vzhaça V do teoema acma. Uma vez que temos gaatda a exstêca e ucdade das cuvas tegas a cuva tegal passado po q ão pode tecepta o cículo logo ou a magem π( q ) pela Tasfomação de Pocaé fcaá ete p e q (Estável) ou fcaá ates de q(istável) assumdo-se a oetação dcada a Fgua 3.5 paa a seção tasvesal Σ. Paa um poto q localzado o teo de γ teemos uma óbta cofada que ão podeá cota o cclo lmte fcado lmtada ao compotameto dado pelo tem a) ou b) do teoema. 35

41 Fgua 3.5 Cclo lmte e Tasfomação de Pocaé Teoema de Pocaé-Bedxso Cetas téccas paa vsualzação fazem uso da déa de coecta coveetemete os potos sgulaes de um campo vetoal paa obte um esqueleto que caacteza a topologa do campo. A questão que colocamos é do poto de vsta da teoa de sstemas dâmcos qual o sgfcado deste esqueleto? Mostaemos a seção do póxmo capítulo quado tas téccas seão apesetadas que o esqueleto obtdo tem uma esteta elação com o couto ω- lmte de óbtas coveetes o qual passaemos a def e aalsa esta seção. Po fal apesetaemos o Teoema de Pocaé-Bedxso que caacteza estes coutos paa o caso bdmesoal. Seam Δ um subcouto abeto do espaço Eucldao R e X:Δ R um campo vetoal de classe C. Sea ϕ() t = ϕ( t p) a cuva tegal de X passado pelo poto p defda o seu tevalo máxmo I p I ( w ( p) w ( p) ). Se w+ ( p) = defe-se o couto: p = + { Δ ϕ } ω( p) = q ; ( t ) com t e ( t ) q quado. Aalogamete se w ( p) = defe-se o couto: { Δ ϕ } α( p) = q ; ( t ) com t e ( t ) q quado. Os coutos ω( ) p e α( ) p são chamados espectvamete de couto ω- lmte e α-lmte de p. 36

42 Podemos def estes coutos paa todo poto de uma óbta. O couto ω-lmte de uma óbta γ é o couto ω( p ) paa qualque p γ. Aalogamete defe-se o couto α-lmte de uma óbta γ. Duate este seção vamos os estg ao estudo do couto ω-lmte uma vez que dados ϕ() t = ϕ( t p) a cuva tegal do campo X pelo poto p e ψ () t = ψ ( t p) a cuva tegal do campo X pelo poto p etão ψ ( t p) = ϕ( t p). Veamos algumas popedades báscas do couto ω( p ). Teoema 9: Seam X:Δ R um campo de classe C defdo um abeto + γ ( p) = ϕ( t p); t 0 a sem-óbta postva do campo X pelo poto p. Se Δ R e { } γ + ( p ) está cotda um subcouto compacta Κ ω( p) ω( p ) é compacto Δ etão: ω( p) é vaate po X sto é se q ω( p) etão a cuva tegal de X po q está cotda em ω( p ) ω( p ) é coexo. Demostação: [Sotomayo (979)]. Obsevações: Se p é um poto sgula de X etão ω( p) { p} paa todo t R. = pos este caso ϕ( t p ) = p Se γ é uma óbta fechada do campo X etão ω( p) = γ p γ. Além dsso ω p = γ p V. se γ é um cclo lmte estável exste uma vzhaça V de γ tal que ( ) Popedades aálogas podem se estabelecdas paa os outos dos tpos de cclos lmtes. Assm exstem óbtas do campo X paa as quas os coutos ω-lmte cotêm elemetos essecas paa a caactezação da topologa de um campo bdmesoal: potos sgulaes e cclos lmtes. Como exemplo sea um campo X:R R de classe C cua óbtas são expas exteoes e teoes à ccufeêca C de ceto a ogem(também uma óbta do campo). A Fgua 3.6 epeseta o etato de fase (seção 3.4.) em questão: 37

43 Fgua 3.6 Retato de fase com cclo lmte C e foco stável a ogem. Neste caso temos:. ω( p) = C p ( 00 ). p ( ) se p { 00} ( 00) ω( ) = =. Pelo compotameto das espas exteoes e teoes podemos ve que C é um cclo lmte do campo e a ogem é um foco stável. Supoha agoa que as úcas fomações que temos do campo X:R R é que seu úco poto sgula é um foco stável a ogem e que a úca óbta fechada é a ccufeêca C com a oetação da Fgua 3.6. Sea possível exst uma óbta cotda um subcouto fechado e lmtado Δ R C 00? cotedo a egão epesetada a Fgua 3.6 tal que ωγ ( ) { ( )} O teoema 0 a segu e suas coseqüêcas mostam que sto ão é possível o que mosta a mpotâca do couto ω-lmte a detemação da topologa. No teoema que segue estaemos supodo Δ um subcouto do R e X um campo vetoal de classe C ( ) em Δ. A vatagem do caso bdmesoal é a valdade do Teoema da Cuva de Joda que estabelece: Se J é uma cuva fechada cotíua e smples etão R J tem duas compoetes coexas uma lmtada e outa ão lmtada as quas têm J como fotea comum. Teoema 0 (Pocaé-Bedxso): Sea ϕ() t = ϕ( t p) uma cuva tegal de X:Δ R defda paa todo t 0 tal que γ + ( p) estea cotda um compacto Κ Δ. Supoha que o campo X teha um úmeo fto de sguladades em ω( p ). Temos as segutes alteatvas: 38

44 Se ω( p ) possu somete potos egulaes etão ω( p ) é uma óbta peódca Se ω( p ) cotém potos egulaes e sgulaes etão ω( p ) cosste de um couto de óbtas cada uma das quas tede a um desses potos sgulaes quado t ± Se ω( p) ão cotém potos egulaes etão ω( p ) é um poto sgula. Demostação: [Sotomayo (979)]. A Fgua 3.7 exemplfca as alteatvas deste teoema. Fgua 3.7 (a) ω ( p) possu apeas potos egulaes. (b) ω ( p) possu potos egulaes e sgulaes. (c) ω ( p) ão cotém potos egulaes. Voltemos ao campo da Fgua 3.6 acma. Supoha que exsta uma cuva tegal γ cua sem-óbta postva satsfaz as codções do teoema acma e tal que ωγ ( ) C { ( 00 )}. Etão uma vez que ão exstem outos potos sgulaes e o couto ωγ ( ) é coexo (Teoema 9) a úca possbldade paa ωγ ( ) sea dada pelo tem a) do teoema acma. Potato teíamos a exstêca de uma cuva fechada cotda a egão o que fca descatado se sabemos que a úca cuva tegal fechada de X é C. Além dsso uma coseqüêca do teoema acma é a ocoêca de potos sgulaes o 39

45 teo de qualque óbta fechada de um campo X:R R de classe C. Tal fato po sua vez demosta a mpotâca o caso bdmesoal das óbtas fechadas a caactezação da topologa de um campo bdmesoal. Os fluxos ecotados a atueza são em geal 3D(ode ão temos as smplfcações toduzdas do Teoema da Cuva de Joda) podedo apeseta potos sgulaes ão solados sado potato do escopo do teoema de Pocaé-Bedxo. Apesa dsto os exemplos acma mostam como a detecção do couto ω( p ) paa um poto p coveete é sufcete paa caacteza a topologa de toda uma egão do fludo. Obsevemos que se ocoe a hpótese b este couto (esqueleto) é obtdo coectado-se coveetemete os potos sgulaes do campo o que daá ogem a taetóas que sepaam egões com topologas dsttas. É exatamete esta a déa exploada a técca apesetada dscutda a seção do póxmo capítulo. 40

46 Capítulo 4 Métodos Numécos paa Amação de Fludos 4.. Itodução Neste captulo desevolvemos métodos umécos paa solução das equações de Nave-Stoes sob o poto de vsta da amação de fludos. Assm é mpotate essalta que ão se tata de um texto tadcoal o assuto. Po exemplo dscutmos o método de Ruge-Kuta que ão é usualmete utlzado paa smulação computacoal de fludos em físca e egehaa mas que pode foece bos esultados paa a amação de fludos. Po outo lado fazemos uma beve todução aos métodos de elemetos ftos os quas são lagamete utlzados em egehaa mas com poucas efeêcas paa a amação computacoal de fludos. Tas dfeeças de abodages se devem ao segute aspecto: o pcpal obetvo da amação computacoal de fludos é a geação de efetos vsuas equato que a físca e egehaa se pocua aalsa com pecsão feômeos físcos evolvedo fludos. Assm a amação de fludos estamos lves paa usa métodos que emboa compometam a pecsão dos esultados geados foecem o efeto vsual com o ealsmo deseado. Tedo em vsta este aspecto passemos à descção dos métodos de teesse paa esta moogafa. Icalmete vamos faze algumas cosdeações geas sobe métodos umécos. 4.. Aálse Numéca Os modelos matemátcos obtdos usado-se as equações das seções.-.4 pecsam se dscetzados se qusemos efetua smulações umécas. O esultado desta dscetzação é a substtução do meo cotuum cal do modelo po um couto dsceto e fto de potos o espaço e o tempo os quas as devadas que apaecem as equações seão apoxmadas. Nos métodos tadcoas de Elemetos Ftos e Dfeeças Ftas este couto de potos é coectado segudo uma topologa coveete o que daá ogem a uma malha que pode se de um dos tês tpos: Malha Estutuada: cada poto tem o mesmo úmeo de potos vzhos. Malha Não-Estutuada: O úmeo de potos vzhos é vaável. Malha Msta: Pate da malha é estutuada e pate é ão-estutuada. O método de elemetos ftos possu caacteístcas mas geas que o segudo método po pemt subdvsões do domío em células de foma e 4

47 tamaho abtáos. Este método tem po base uma fomulação vaacoal paa as equações de campo (seção 4.4). O método de dfeeças ftas é baseado as popedades da sée de Taylo e a aplcação deta das defções de devadas. É um método mas smples emboa teha a desvatagem de equee um alto gau de eguladade da malha. Tês popedades são fudametas paa o compotameto de um esquema uméco: cosstêca establdade e covegêca. A codção de cosstêca defe uma elação ete a equação dfeecal e sua fomulação dsceta; a codção de establdade defe uma elação ete a solução exata do sstema lea esultate da dscetzação e solução uméca deste sstema; falmete a codção de covegêca coecta a solução uméca à solução exata da equação dfeecal. Estas questões os seão útes o capítulo 5 e po sso seão aalsadas com algum detalhe. Cosstêca expessa o fato de que a equação dscetzada deve tede à equação dfeecal coespodete quado Δt 0 e Δ 0 ode Δt é o passo o tempo e Δ é o tamaho caacteístco das células da malha. O coceto de establdade é um pouco mas delcado. Paa fomula pecsamete este coceto vamos deota po ε a dfeeça ete a solução computada ( u ) e a solução exata ( u ) da equação dscetzada: ε = u u ( 54. ) etão uma foma de esceve a codção de establdade é a segute: lm ε K paa Δt fxo ( 55. ) com K depedete de. Esta codção de establdade tem um defeto: ela ão gaate que o eo ão se toa muto alto paa states temedáos t = Δ t. Assm devemos pocua uma codção de establdade mas geal. Essa ova codção estabelece que qualque compoete da solução cal ão deve se amplfcado sem um lmte supeo fto. Sea etão o veto V o veto fomado pelas quatdades descohecdas em cada poto da malha em um dado state Δ t. O esquema de dcetzação sea ele mplícto ou explícto pode se escto a foma matcal: V + = C V ( 56. ) ode o opeado C é epesetado po uma matz que depede do passo de tempo Δt e do tamaho Δ da malha. Se V 0 epeseta a solução cal paa t=0 etão po epetdas aplcações do opeado C ós teemos: 4

48 0 V = C V V = C V = C V 0... V = C V 0. ( ) 57. A ova codção establdade pode agoa se colocada a segute foma: Paa que todo V pemaeça lmtado e o esquema defdo pelo opeado C pemaeça estável o couto fto de opeadoes C deve se ufomemete lmtado. Isto é exste uma costate K tal que: C < K 0< Δt < τ e 0 Δt T ( 58. ) paa valoes fxos de τ e T e paa todo. Esta codção mplca a defção de alguma oma o espaço de fuções em questão a sabe a oma de Hlbet o espaço das fuções quadado tegáves [Hsch (988)]. A codção de covegêca pode se estabelecda dzedo-se que a solução uméca u deve apoxma-se da solução exata u ~ da equação dfeecal em qualque poto P da malha e paa qualque state t = Δ t quado Δt 0 e Δ 0. Esta codção pode se colocada em temos do opeado C como segue: 0 lm [ C( Δt) ] V V() t = 0 ( 59. ) Δt 0 com t t covegêca pode se escta: lm ~ ε (. ) = Δ Δ t x ~ ~ = ~ Δ Δ a codção de Δ = fxado. Em temos do eo ε u u( x t) paa qualque poto fxo P da malha e qualque state fxo t = Δ t. Claamete as codções de cosstêca establdade e covegêca estão elacoadas ete s e a elação pecsa está cotda o Teoema Fudametal de Equvalêca de Lax [Hsch (988)]: Paa um poblema de valo cal bem posto e um esquema de dscetzação cosstete a codção de establdade é ecessáa e sufcete paa covegêca. Este teoema fudametal mosta que a covegêca é uma decoêca das codções de cosstêca e establdade quado a exstêca e a ucdade da solução exata estveem gaatdas (poblema bem posto). 43

49 A dscussão acma está focada em métodos depedetes de malhas ode a quatdade Δ (tamaho caacteístco das células da malha) faz setdo. No método SPH ão se faz uso de uma subdvsão celula (ou smplcal) do domío de teesse (uma malha). Os fudametos do método SPH estão a teoa de tepolação tedo como poto de patda a epesetação das quatdades de teesse va covolução com um úcleo de suavzação. Cotudo a aálse acma pode se aplcada mesmo este caso substtudo-se Δ pelo supote do úcleo Dfeeças Ftas O método de dfeeças ftas está fudametado a epesetação de uma fução suave f em sée de Taylo a vzhaça de um poto x: f 3 () () (3) ( x + h) = f ( x) + f ( x) h + f ( x) h + f ( x) h +... ( 4.6) ode! () f ( x) epeseta a devada de odem calculada o poto x. 3! A pat desta epesetação pode-se obte as expessões usuas paa a apoxmação da pmea devada de f em x. Sea etão x x 0 = h com h > 0. Neste caso elembado a sée de Taylo com esto [Chapa-Caale(988)] teemos: () f ( x + h) = f ( x) + f ( x) h + O( h ) ( 4.6) ode ( h ) O epeseta o esto decoete do tucameto da sée em (4.6) o qual tem a popedade: ( ) = lmo ( h ) = 0. ( 4.63 ) O h lm h 0 h h 0 Assm escevedo podemos esceve: ( x + h) f ( x). x = x 0 + h e solado ( f ) ( x) a expessão (4.6) () f f ( x) = + O( h) ( 4.64) h Se despezamos o esto o segudo membo desta expessão obtemos a apoxmação f x em dfeeças ftas avaçadas: f () ( x) f () ( ) ( x + h) f ( x) h. ( 4.65) De maea semelhate podemos obte a apoxmação de f ( ) ( x) dfeeças ftas etadadas: f () ( x) f ( x) f ( x h) h. ( 4.66) em 44

50 Apoxmação de odem mas alta paa a pmea devada podem se obtdas po agumetos semelhates. De maea geal quado pocuamos epeseta a d-ésma devada f d x estamos pocuado uma expessão do tpo: ( ) ( ) d h d! f ( d ) = max d + p ( x) + O( h ) = C f ( x + h) ( 4.67) = m paa alguma escolha dos extemos m max e dos coefcetes C sedo p a odem da apoxmação deseada. Uma maea elegate de obte tas quatdades é desevolvda em [Ebely (003)] e epoduzda abaxo. f x + h da foma: f Fomalmete podemos esceve a sée de Taylo paa ( ) = h =0! Substtudo esta expessão a equação (4.67) obteemos: ( ( x + h) f ) ( x) ( 4.68) d = max h ( d ) d + p h ( ( ) ( ) ) f x + O h = C ( ) ( 4.69)! =! f x d m = 0 a qual tocado o odem dos somatóos o segudo membo assume a foma: d = max h ( d ) d + p h ( f ( x) + O( h ) = ) ( ). ( 4.70)! C f x d = 0 =! m Falmete podemos sola a d-ésma devada o pmeo membo dvddo a equação po h d / d! e usado o sée de Taylo com esto: d + p = ( d ) d! h f h + = 0 =! m ode usamos o fato que: d h max ( ( ) ) p x = C f ( x) O( h ). ( 4.7) d d + p ( ) = O( h ).! p O h d Paa que a equação (4.7) sea satsfeta é sufcete que: = max 0 0 ( 4.7). m se d + p e d C = = = d Este é um sstema fomado po d + p equações leaes com m + max + cógtas. Impodo d + p = m + max + teemos solução úca. A Tabela a segu mosta o esultado obtdo paa algumas escolhas de p e q e o coespodete tpo de dfeeças ftas (avaçada cetal etadada). 45

51 Devada d p Tpo m max () f Avaçada 0 () f Retadada - 0 () f Cetal - () f Avaçada 0 () f Retadada - 0 ( ) f 4 Cetal - ( ) f Avaçada 0 ( ) f Retadada - ( ) f 4 Cetal - Tabela 4.: Tpos mas comus de dfeeças ftas paa apoxmação de devadas de pmea e seguda odes Elemetos Ftos Emboa exstam poucas efeêcas da utlzação explcta de Elemetos Ftos paa amação computacoal de fludos [Eght (00)] é mpotate acesceta a este mateal uma todução obetva a este tema uma vez que os esquemas umécos devados desta técca podem se mas estáves e ão exste a ecessdade de malhas egulaes como o caso das dfeeças ftas. Nesta apesetação seguemos a efeêca [Hughes(987)]. Os pcpas elemetos do método de elemetos ftos paa solução de um poblema de valo de cotoo são: A fomulação vaacoal (ou faca) do poblema; A solução apoxmada da equação vaacoal atavés do uso de fuções de elemetos ftos. Como exemplo cosdeemos o poblema a segu: Dado f : [ 0] R e costates eas gh ecote u : [ 0] R tal que: 46

52 u u xx ( S ) u ( ) ode x + = f g ( 0 ) = = 0 h u x e u xx sgfcam du / dx e d u / dx espectvamete. Paa desevolve a fomulação faca ou vaacoal de (S) pecsamos caacteza duas classes de fuções. A pmea classe é composta po fuções caddatas à solução. Cosdeado as estções de (S) fca clao que esta classe de fuções deveá satsfaze a codção de cotoo u ( ) = g. A outa estção ão seá mposta esta defção. Vamos assum também que as devadas de pmea odem das fuções em questão são quadado tegáves ou sea: ( u x ) 0 dx < (4.73). Fuções : [ 0] R ([ 0] ) u que satsfazem (4.73) são deomadas fuções H. Potato o couto de fuções caddatas à solução deotado po ζ de (S) é dado po:. ζ = { u u H ([ 0] ) u( ) = g}. ( 4.74) O segudo couto de fuções é chamado de fuções peso ou vaações. Este couto é smla ao ateo com a dfeeça de que as fuções deste couto devem satsfaze w () = 0. Este espaço de fuções seá deotado po ϑ e defdo da segute foma: { w w H ([ 0] ) ( ) = 0 }. ( 4.75) ϑ = w Nestas codções a foma faca do poblema (S) é dada po: Dados fg e h como ateomete ecota u ζ tal que paa todo w ϑ tehamos: ( W ) w u dx wfdx w( )h 0 = x x Fomulações deste tpo são feqüetemete chamadas pcípo do tabalho vtual ou do deslocameto vtual. As fuções w são também deomadas deslocametos vtuas. A equação acma é deomada equação vaacoal ou equação do tabalho vtual. A solução do poblema (W) é deomada faca ou solução geealzada. A elação ete os poblemas (S) e (W) é estabelecda pela segute poposção: Poposção: 47

53 Uma fução u ζ é solução de (S) se e somete se u é solução de (W). Demostação: (a) Se u ζ é solução de (S) etão multplcado a equação dfeecal em (S) po w ϑ e tegado teemos: w xx = 0 ( u + f ) dx 0 (4.76). Usado agoa a elação: ( wu ) w u + wu wu = ( wu ) w u ( 4.77) = x x x x xx xx x x x x podemos e-esceve a equação (4.76) a foma: 0 0 w w u dx wfdx wu x x xx 0 0. (4.78) Re-aaado os temos e usado as estções u x ( 0) = h e () = 0 x u x dx = wfdx + w h 0 ( 0). (4.79) w obtemos: Falmete uma vez que po hpótese u é solução de (S) este satsfaz u () = g e potato u ζ. Além dsso uma vez que u satsfaz paa todo w ϑ temos que u é solução faca do poblema. (b) Supodo agoa que u é solução faca. Etão po defção u ζ e coseqüetemete u () = g e: 0 w x u x dx = wfdx + w h 0 ( 0). (4.80) paa todo w ϑ. Itegado po pates pela aplcação da equação (4.77) e w = obteemos: usado o fato () 0 ( u + f ) dx + w( 0) [ u ( 0) ]. (4.8) 0 = w xx x + h 0 Paa pova que u é solução de (S) é sufcete mosta que: u xx + f = 0 em [0] ( 0) + h 0. u x = Paa mosta () basta escolhe um elemeto coveete de ϑ. Se usamos w da foma: 48

54 ( u f ) ( 4.8) w = φ xx + com φ suave φ ( x) > 0 paa todo x ] 0[ e φ ( 0 ) = φ( ) = 0 assm defda é tal que w ( ) = 0 e potato ϑ φ ( x) = x( x) teemos o esultado deseado). Além dsso w ( 0 ) = 0 teemos que a fução w w (po exemplo fazedo o que aula o temo costate do segudo membo da equação (4.8). Potato substtudo (4.8) em (4.8) obteemos: ( + f ) 0. (4.83) 0 = φ dx 0 u xx + Uma vez que > 0 0 é medato da equação acma que () é vedadeo. Potato a equação (4.8) fca estta a: [ ]. (4.84) ( 0) u ( 0) 0 = w x + h φ em ] [ Uma vez que ão há estções paa o valo de w em x = 0 podemos assum que w ( x) 0 o que mplca que () é vedadea. De (a) e (b) vem que a demostação está completa Método de Apoxmação de Gale Desceveemos agoa um método paa obte-se soluções apoxmadas paa poblemas de valoes de cotoo baseado a fomulação faca. O pmeo passo seá a costução de apoxmações de dmesão fta paa os espaços ζ e ϑ. h h Estes espaços fucoas seão deotados po ζ e ϑ espectvamete ode h efee-se à dmesão caacteístca de uma malha (dscetzação do domío) assocada. O papel desta malha o método é pemt a defção de uma base de h fuções com supote lmtado paa o espaço (vetoal) ϑ. Estes espaços devem satsfaze as codções: h ζ ζ h ϑ ϑ u w h () = g ( 4.86) () = 0. ( 4.87) h Método de (Bubov-) Gale: Supoha que ϑ h é cohecdo. Etão paa h h h h cada elemeto v ϑ ós costuímos uma fução u ζ dada po: h h u = v + ode g h ( 4.88) h g é uma fução que satsfaz a codção de cotoo () g. ( 4.89) g h = A expessão (4.88) seá tomada como a defção do espaço mpotate obseva que a meos da defção de g h os espaços ζ h e compostos po fuções da mesma atueza. ζ h. É h ϑ são 49

55 O póxmo passo seá esceve o poblema vaacoal W em temos das h h h h fuções u ζ e v ϑ. Utlzado a otação adcoal: a h h ( w u ) dx ( w f ) = wfdx (4.9) 0 = 0 w x u x (4.90) A pat do Poblema (W) obtemos a segute expessão: a h h h h ( w u ) = ( w f ) + w ( 0) h. (4.9) Substtudo a defção (4.88) esta expessão e obsevado que ( ) a é blea teemos: a h h h h h h ( w v ) = ( w f ) + w ( 0) h a( w g ). (4.93) Esta equação seá usada paa ecota v h a pate descohecda de u h. Paa sto o método de Gale defe o espaço ϑ h como sedo aquele fomado pelas possíves combações leaes de fuções pé-defdas N A : [ 0] R ode A =.... Desta foma teemos: h h w ϑ w h = A = A= c A N A. (4.94) As fuções N A são deomadas fuções de foma fuções de base ou h fuções de tepolação. Uma vez que ϑ devemos te: () = 0 A... ( 4.95) N A = h o que mplca detamete que w ( ) = 0. N A h h h Paa def os elemetos u ζ pecsamos especfca a fução g usada a defção (4.88). Paa sto seá toduzda uma ova fução de foma N : 0 satsfazedo: N + [ ] R (). ( 4.96). + = g h É mpotate ota que h = gn + g g () =. ( 4.97) N ϑ h +. Assm h g pode se escta a foma: Assm podemos def os elemetos h u ζ h pela expessão: u h A= h h = v + g = d AN A + gn + A= (4.98) 50

56 ode d R A =... são costates e po (4.95)-(4.96) fca evdete que A () g. u h = Substtudo-se as expessões (4.94) (4.97) e (4.98) a equação (4.93) e eaaado coveetemete os temos esultates obteemos falmete: 0 = A= ode: c AG A ( 4.99) G A = B= a ( N N ) d ( N f ) N ( 0) h + a( N N ) g. ( 4. ) A B B A A A + 00 h h Uma vez que a expessão (4.99) deve se satsfeta paa todo w ϑ ou sea paa todo c A R A =... é ecessáo que os coefcetes G A seam detcamete ulos o que os leva ao sstema de equações: B= a ( N N ) d = ( N f ) + N ( 0) h a( N N ) g ( 4.0) A B B A A A + ode as vaáves descohecdas são os coefcetes d R da expessão (4.98). Podemos obseva que o segudo membo da equação acma pode se calculado a pat dos dados do poblema e das defções das fuções de foma. Usualmete esceve-se o sstema (4.0) a foma: B= K AB d B = FA A =... ode: K AB ( 4.0) a( N A N B ) ( 4.03) ( N f ) + N ( 0) h a( N N ) ( 4.04) = FA = A A ou de foma compacta: A + g Kd = F ( 4.05) ode K = [ ] é a matz dos coefcetes do sstema (4.0) d = ( ) e F = ( ) K AB são espectvamete o veto colua fomado pelas cógtas e o veto colua fomado pelo segudo membo da equação (4.0). Paa aplcações em mecâca do cotuo costuma-se deoma a matz K de matz de gdez o veto F de veto de foças e o veto d de veto de deslocametos Ruge Kutta O método de Ruge-Kutta é muto utlzado paa solução uméca de poblemas de valo cal do tpo: B d B F A 5

57 dx = X dt x( t0 ) = x ( t x) 0 (4.06) ode x0 R é um poto do espaço Eucldao -dmesoal e X : I Δ R R + é um campo vetoal ( I R ). No Capítulo 3 aalsamos aaltcamete poblemas do tpo acma. O método de Ruge-Kutta é um método teatvo baseado a expessão: x+ = x + φ( t x h) h x( t0 ) = x0 ode a fução φ ( t x h) foma geal: φ (4.07) ( t x h) = a + a a ode a.... = X = X = X... = X deomada fução de cemeto pode se escta a a a são costates e... ( t x ) ( t + ph x + qh) ( t + p h x + q h + q h) são dados po: ( t + p h x + q h + q h q h). ( 4.08) Uma ustfcatva smples do esquema acma pode se obtda obsevado-se a sée de Taylo da solução x do poblema (4.06). Neste caso temos: dx d x x + dt dt Pela expessão (4.06) temos que: ( t + h) = x( t) + h + h O( h ) ( 4.09). () t dx dt () t dx X X dx( t) d x = X ( t x) = = + (4.0). dt dt t x dt Assm substtudo estas expessões em (4.09) obteemos: ( t) h O( h ) ( 4.). X X dx x ( t + h) = x( t) + X ( t x) h t x dt Falmete agupado coveetemete os temos obtemos: X X dx x ( t + h) = x( t) + X ( t x) t x dt ( t) h h O( h ). ( 4.) 5

58 Tomado agoa a sée de Taylo paa o campo ( t x) X X X + t x A expessão (4.) pode se escta a foma: X : ( t + h x + hx ( t x) ) = X ( t x) + h + hx ( t x) O( h) ( 4.3) ( t + h) = x( t) + X t + h x + hx ( t x) ( ) h O( h ) ( 4.4). x + x x Geealzado este esultado podemos esceve: X X ( t + h) = x( t) + ( a + a ) X ( t x) + a p h + a X ( t x) q h h + O( h ) ( t + h) = x( t) + a X ( t x) h + a X ( t x) + p h + X ( t x) q h h + O( h ). ( 4.5) t X t Compaado a expessão ete colchetes com a equação (4.3) obsevamos que podemos esceve: x X x [ ] h O( ) (4.6) ( t + h) = x( t) + a X ( t x) + a X ( t + p h x + q X ( t x) h) x + h ode p q a e a são costates a detema. Pocededo aalogamete ao desevolvmeto acma mas usado temos de odem mas alta da sée de Taylo obteemos o esquema (4.08). Os valoes das costates p q a e a a expessão (4.6) devem se coeetes com a sée de Taylo de x dada pela expessão (4.09). Potato estas costates devem satsfaze as equações: a + a = a p = aq =. ( 4.7) Claamete exstem ftas soluções paa este sstema. Pode-se escolhe uma vaável e paametza a solução em fução desta ( a po exemplo). Neste caso cada escolha pa a foece um esquema dfeete. Em patcula o método de Heu com um úco coeto e o método do polígoo melhoado são dados espectvamete pelas segutes escolhas: a a = a = a = = 0 p p = q = q = =. ( 4.8) ( 4.9) Outas possbldades usualmete ecotadas a lteatua são lstadas em [Chapa-Caale(988)]. Os métodos de Ruge-Kutta defdos po estes valoes são 53

59 de seguda-odem ou sea o eo de tucameto da sée de Taylo em (4.09) é quadátco em h. Métodos de odem mas alta podem se obtdos usado-se mas equações do sstema (4.08). Em patcula esquemas de quata-odem são comumete utlzados em fução de sua pecsão. Assm como o caso acma exstem ftas possbldades paa escolhe os valoes das costates. O chamado Método Clássco de Ruge-Kutta de quata-odem é dado po: x + ode 3 4 = x = X + 6 ( t x) = X t + = X t + = X ( ) h ( 4.0) h x + h x + ( t + h x + h ). 3 h 3 h 4 (4.) 4.7. Smoothed Patcle Hdodyamcs Os fudametos do método SPH (Smoothed Patcle Hdodyamcs) estão a teoa de tepolação. Neste método pate-se de uma fução suave W deomada úcleo de suavzação (smoothg eel) a qual deve satsfaze as segutes popedades: A fução W deve se omalzada: W ( x x h) dx = ode a costate h é usada paa def o supote do úcleo de suavzação. Supote compacto: Em geal o supote de W é defdo po: W W ( x x h) = 0 se x x h ( x x h) 0 se x x h ode é um fato de escala. O úcleo de suavzação deve se mootocamete decescete A fução de suavzação W deve se compota como a fução Delta de Dac paa h 0 : lmw x x h = δ x x h 0 ( ) ( ). A fução W deve se uma fução pa e sufcetemete suave. 54

60 Patdo destas popedades dada uma fução escala f o método SPH pocua apoxma esta fução em potos de teesse patdo da epesetação da mesma obtda va o úcleo de suavzação W: f ( x) = f ( x ) W ( x x h) dx (4.) Supodo agoa que a fução f ( x) é cohecda apeas em algus potos x x... x N do seu domío teemos: N ( x ) = ( x x ) f ( x )( dx) (4.3) f δ = Isedo esta expessão a equação (4.) obtemos: N ( x) = ( x x ) ( )( ) ( ) f x dx W x x h dx (4.4) f δ = esultado: f ( dx) N ( x) = f ( x )( dx) W ( x x h) (4.5) = = O passo fal é substtu o elemeto de volume po: ρ obtedo: f ( x) = m ( ) N = ρ m ( ) f ( x ) W ( x x h) (4.6) Expessões paa as devadas de quatdades escalaes e vetoas podem se aalogamete obtdas. Em patcula o gadete de f pode se estmado pela segute expessão: ( x) = f ( x ) W ( x x h) d (4.7) f x x x ode x dca o gadete com elação as coodeadas x. Itegado po pates teemos: u = W dv = ( x x h) du = x W ( x x h) dx ( 4.8) f ( x ) dx v = f ( x ) ( 4.9) x Obtemos potato: ( x) = f ( x ) W ( x x h) Fotea + f ( x ) W ( x x h) d. (4.30) f x x x 55

61 Lembado a codção () acma obsevamos que a pmea pacela se aula geado: ( x) = f ( x ) W ( x x h) d (4.3) f x x x O póxmo passo é substtu as devadas x po x o tegado. Isto pode se feto obsevado-se que as estções ()-(6) acma são satsfetas se: ( x x h) = f ( x x h) ( 4.3) W potato: x W ( x x h) ( x x ) f ( x x ) f ( x x ) = x x x x x x 3 x x 3 f x 3 ( 4.33) Compaado esta expessão com aquela aáloga obtda tomado-se as devadas com elação à x é medato que: ( x x h) = W ( x x h) ( 4.34) W x x coseqüetemete: ( ) ( ) ( ) x f x = f x xw x x h dx (4.35) ode x dca o gadete tomada com elação à x. Utlzado ovamete a expessão (4.3) obteemos falmete: x f ( x) = N = ρ m ( ) f ( x ) W ( x x h). (4.36) x Esta expessão tem o coveete de ão se smétca o que pode se vefcado paa o caso de apeas duas patículas teagdo ( x e x ). Neste caso uma vez que o gadete x W ( h) = 0 se = 0 (coseqüêca das Popedades 4 e 6 acma) vemos que gadete f ( x ) x f ( x = x ) = = ρ m ( ) f seá dado po: x = x ( x ) W ( x x h) x = m ρ ( ) f ( x ) W ( x x h) (4.37) ou sea depede apeas da posção da seguda patícula (dem paa x f ( x = x ) ). Potato a quatdade x f ( x) ão seá smétca de maea geal. Paa evta possíves stabldades que possam se geadas em fução da assmeta da expessão (4.36) dfeetes popostas foam fetas o setdo de obte uma vesão smétca da mesma. A poposta a segu tem se mostado efcete paa fs de amação de fludos em computação gáfca: x 56

62 x f ( x ) = N = ( x ) f ( x ) ρ( ) f + m xw ( x x h). (4.38) As expessões (4.36) e (4.38) essaltam o fato á cometado o fal da seção 4. de que o método SPH ão faz uso de malhas paa estma as devadas. Esta é uma de suas vatagem em elação a métodos de dfeeças ou elemetos ftos e que vem sedo exploada em computação gáfca. Um desevolvmeto aálogo àquele utlzado paa obte a expessão (4.36) x f x da foma: pode se usado paa apoxma o Laplacao ( ) x f ( x) = N = ρ m ( ) f ( x ) xw ( x x h) (4.39) No caso patcula de um campo de velocdades v o Laplacao seá utlzado paa estma as foças oudas da vscosdade do fludo (equações (.8) e (.9)). Uma vez que estas foças depedem de dfeeças ete velocdades e ão do valo absoluto da velocdade uma foma coeta do poto de vsta físco e efcete do poto de vsta computacoal paa toa smétca a equação (4.39) é dada po: x f ( x) = N = f m ( x) f ( x ) ρ ( ) x W ( x x h) (4.40) O método SPH tem seu campo mas fote de aplcações a áea de smulação de fludos compessíves o que pode taze pespectvas teessates a aplcação do mesmo como um método alteatvo àquele usado em [Wttg (999)] o qual seá descto a seção 6.4. Paa sto as equações de fludos são dscetzadas substtudo-se cada temo da equação po sua vesão obtda va úcleo de suavzação. Desta foma obtém-se um sstema de equações ode as vaáves descohecdas são os valoes das quatdades de teesse em potos amostas de domío. Em [Mulle (003)] ecotamos um exemplo da aplcação do SPH a amação de fludos paa computação gáfca o qual também seá dscutdo o Capítulo 6. 57

63 Capítulo 5 Téccas paa Vsualzação de Fludos 5.. Itodução Neste capítulo apesetamos um esumo das pcpas téccas utlzadas paa vsualzação de dados em DFC. Duas etapas se dstguem o desevolvmeto de softwaes paa vsualzação cetífca em DFC: o desevolvmeto de téccas específcas de vsualzação e a tegação destas téccas em um sstema paa vsualzação de dados [Rosemblum at al. (994)]. Neste tabalho estamos teessados o pmeo aspecto. No decoe desse capítulo faemos uma aálse geal das pcpas téccas esta áea. Podemos dstgu as vaas téccas de vsualzação de campos em DFC sob dvesos aspectos [Hessel at al. (994)]. Um ctéo bem smples pode se defdo a pat da odem dos dados a seem vsualzados: escalaes vetoas ou tesoas. A aalse da dmesão espacal dos obetos foece outo ctéo dstgudo dados 0D (potos) D (lhas / cuvas) D (supefíces) ou 3D (volumes). O coceto de ível de fomação que se efee à abagêca da fomação assocada a um poto do espaço de teesse. Esses íves podem se: elemeta local ou global. O ível elemeta dca que a fomação é estta a somete aquele poto. O ível local pode dca o compotameto de um gadete em uma egão do espaço equato que o ível global epeseta fomações que afetam o couto de dados globalmete. A tabela 5. classfca as pcpas téccas de vsualzação em DFC de acodo com estes ctéos. As téccas paa a vsualzação de campos escalaes (vsualzação deta (volume edeg) e sosupefíces) são lagamete utlzadas a vsualzação cetífca e seão dscutdas a póxma seção. A vsualzação po sosupefíces [Caeo at al. (996)] é um ecuso valoso a vsualzação de campos escalaes. No caso bdmesoal em patcula o taçado de solhas em geal foece boa oção do compotameto do campo. No caso tdmesoal a sobeposção vsual das sosupefíces mpõe uma dfculdade adcoal a vsualzação. Nesse caso pode se ecessáa a aplcação de otações aos dados ou mesmo uma mudaça de poto de vsta. O uso de sosupefíces pode se equecdo pela utlzação couta de ecusos paa vsualzação de campos vetoas ou mesmo pela utlzação de taçado de aos paa mapea o compotameto de um campo escala sobe uma sosupefce de um outo campo escala. Volume edeg [Max (995)] é uma técca que é lagamete empegada paa vsualzação de campos escalaes estacoáos podedo se extedda também paa campos ão estacoáos [Rosemblum at al. (994)]. O modelo usado 58

64 pocua exta caacteístcas de um campo tdmesoal usado patículas vtuas que o atavessam (espalhameto). Técca Odem dos Dados Domío Nível Redeg de Volume Escala Volume Elemeta Isosupefíce Escala Supefíce Elemeta Setas Veto Poto Elemeta Taçado de Lhas Veto Lha Elemeta Supefíces de Coete Veto Supefíce Elemeta Patículas Veto Poto Elemeta LIC Veto Lha Elemeta Teso Pobe Veto Poto Local Topologa de Campos Vetoas Veto Volume Global Vótces Veto/Escala Volume Local Hypesteamles Teso Lha Elemeta Tabela. Classfcação das pcpas técca paa vsualzação em DFC. Uma dfculdade básca com estas téccas de volume edeg é a gade massa de dados a se aalsada. A utlzação deta destas téccas pode te um elevado custo computacoal uma vez que mutos cálculos podem se ecessáos paa vsualza o compotameto do fludo em egões de pouco teesse. Uma solução paa esse poblema é adcoa uma etapa de fltagem da massa de dados paa a seleção péva das egões de teesse. Paa os campos vetoas as téccas de ível elemeta a tabela (setas lhas de coete supefíces de coete e taçado de patículas) são muto coveetes em stuações ode o campo ão apeseta complexdade elevada. A utlzação de símbolos (setas) é uma técca muto comum e tem a gade vatagem de compacta em um úco símbolo a deção setdo e magtude do campo em um poto. No etato sua lmtação está a epesetação de campos vetoas 3D devdo a evtável sobeposção de setas em egões de mao complexdade do campo. Outo poto sesível dessa técca dz espeto a sua ambgüdade em elação as oções de deção e magtude do campo decoetes da poeção plaa utlzada paa a epesetação o espaço da tela (aela D). 59

65 Dete as téccas baseadas em taçado de lhas a mas comum é o taçado de lhas de coete. Lhas de coete são lhas tagetes ao campo de velocdades em um state específco [Rosemblum at al. (994)]. No poeto de uma asa de avão po exemplo a utlzação de um couto de lhas deste tpo cada uma delas patdo de um poto de patda coveetemete escolhdo pode foece uma boa oção do compotameto do a as poxmdades de fuselagem. Outo exemplo pode se detfcado o poeto de tubas ode podemos utlza duas lhas de coete coectadas po um malha de polígoos (steambbos) paa epeseta a otação do fludo em uma egão [Ueg at al. (996)]. A utlzação de patículas está baseada a lbeação de patículas de pova o teo do fludo. Cada patícula fca sueta à dâmca do fludo [Rosemblum at al. (994)]. O acompahameto do movmeto dessas patículas os foece uma boa oção do compotameto do campo. Uma extesão desta técca baseada em patículas de supefíce pocua faze uso também das vatages das téccas baseadas em supefíces (supefíces de coete etc). Neste caso as patículas possuem popedades geométcas (veto omal) e óptcas e a vaação da posção e geometa das mesmas é calculada a cada state ealçado compotametos de teesse [Rosemblum at al. (994)]. Caso o úmeo de patículas sea muto elevado a dstção ete as patículas dvdualmete dexa de exst dado a oção ão mas de um couto de elemetos mas sm de uma textua. A utlzação de textuas paa vsualzação de dados é o coceto básco da técca de LIC [Cabal-Leedom (993)] da tabela. Neste caso se faz uma covolução ete o campo e uma textua pevamete estabelecda. A técca de LIC é usada paa vsualzação de esultados em aeodâmca e apeseta bos esultados em casos estacoáos podedo se estedda paa campos depedetes do tempo [Fossell-Cohe (995)]. Paa que téccas baseadas em textuas apesetem bos esultados é ecessáo que as popedades da textua possam se paametzadas pelos dados. Essa paametzação deve se tal que a textua esultate sea capaz de epeseta as popedades de teesse elatvas ao fludo tas como deção do fluxo e tesdade do campo. A vsualzação da topologa de campos vetoas [Helma-Hessel (99)] é a úca técca de ível global da tabela e está baseada a teoa de potos cítcos das equações dfeecas odáas. A topologa de um campo vetoal cosste de seus potos cítcos (potos ode o campo se aula) e cuvas e supefíces tegas coectado estes potos. Os esultados obtdos po essa técca são patculamete teessates po ealça as caacteístcas báscas do escoameto (sua estutua topológca) descatado as fomações edudates facltado potato a aálse dos esultados. Esta técca é patculamete teessate paa os escoametos estacoáos D ode a topologa do campo é totalmete descta pelos potos cítcos e um couto coveete de lhas tegas. Paa os caso 3D deve-se calcula também supefíces tegas o que taz complcações adcoas pcpalmete quado o campo é ão-estacoáo. 60

66 Outas téccas como as hpe lhas de coete (Hypesteamles) [Hessel at al. (997)] e Teso Pobe [Rosemblum at al. (994)] podem se usadas. No pmeo caso a déa é geealza a oção de lha de coete paa campos tesoas smétcos va a utlzação do campo de autovetoes assocado. No segudo caso o obetvo é obte uma epesetação compacta das fomações que um teso pode caega tas como otação e tesões teas (Teso de Defomação). Po seem téccas pouco expessvas a áea e pela dfculdade de seem aplcadas paa campos mas complexos (ão-estacoáos) ão abodaemos estas téccas este tabalho. A gade dfculdade a vsualzação de campos ão-estacoáos está a vaação global da topologa do campo ao logo do tempo além da gade massa de dados a se aalsada. Estas dfculdades assumem um caáte cítco o estudo de escoametos tubuletos. Escoametos tubuletos ocoem em geal quado a velocdade do escoameto ou mas pecsamete o úmeo de Reyolds excede um valo cítco. O úmeo de Reyolds é defdo como o poduto das escalas epesetatvas da velocdade e compmeto dvddo pela vscosdade cemátca [Ladau-Lfshtz (959)]. A foma patcula de stabldade geada o egme de escoameto tubuleto é caactezada pela peseça de flutuações estatístcas de todas as quatdade físcas do fluxo[hsch (988)]. Tas flutuações cam uma queza de compotameto dfícl de se captuada pelas téccas ctadas até aqu. Nestes casos pode se mas teessate busca estutuas ou padões sgfcatvos o teo do fludo. Um exemplo de tas estutuas são os vótces caactezados po egões de otação o teo do fludo. Outos exemplos são as odas de choque [Rosemblum at al. (994)] e a pópa vsualzação de topologas de campo emboa esta sea muto lmtada paa o caso da tubulêca devdo mudaças adcas da topologa decoetes das flutuações cometadas o paágafo ateo. A gadeza físca fudametal o estudo dos vótces é a votcdade (otacoal do veto velocdade seção A.4 do Apêdce A). As les elatvas a sua cosevação e dspesão também costtuem obeto de teesse dos cetstas esta áea [Saffma (995)]. As téccas paa detfcação de vótces o volume de dados geado pela smulação são baseadas em heuístcas fudametadas em cocetos da dâmca de fludos [Bas-Sge(995)]. Estas téccas costtuem um exemplo sgula da aplcação couta de métodos paa vsualzação de dados cetífcos. Po sso são desctas a últma seção deste capítulo. 5.. Vsualzação de Campos Escalaes 5.. Isosupefíces No caso específco da mecâca de fluídos temos bascamete dos campos escalaes: o campo de pessão e a desdade volumétca de massa ρ. Podemos uta a estes os campos defdos pelo módulo da votcdade e da velocdade. 6

67 Os métodos mas comumete utlzados paa a vsualzação destes campos são baseados em sosupefíces e volume edeg. No caso das téccas baseadas em sosupefíces a déa é gea uma apoxmação polgoal da supefíce (sosupefíce) defda po uma equação do tpo: ( x x x ) = λ F (5.) 3 ode F é o campo escala F:Δ R com Δ R 3 e c é uma costate. Nas aplcações de osso teesse os campos escalaes estão dscetzados e potato a solução de (5.) seá obtda va uma busca dos potos ( x x x3) da malha que apoxmem sufcetemete a supefíce pocuada. As soluções ecotadas a lteatua paa este poblema estão vculadas ao tpo de malha utlzado a dscetzação. Paa malhas egulaes de hexaedos um algotmo comumete usado a geação de sosupefíces é o algotmo dos cubos machates [Loese (987)]. Veamos uma descção sucta deste algotmo. Icalmete cosdeemos um cubo da malha e façamos uma eumeação báa dos seus vétces da segute foma: é dado o valo paa os vétces cuos valoes do campo foem maoes ou guas ao valo c da sosupefíce pocuada e 0 paa os demas. Assm as aestas dos hexaedos que tveem um vétce com valo e outo com valo 0 são aquelas cotadas pela supefíce pocuada. Uma vez que um cubo tem 8 vétces temos um total de 56 8 = cofguações possíves. Demos que duas cofguações são equvaletes quado uma fo dêtca à outa a meos de otações smples. Se cosdeamos apeas as classes de equvalêca coespodetes obteemos um total de cofguações báscas como mosta a Fgua 5.. 6

68 Fgua 5.- Cofguações báscas paa a tesecção ete um cubo e uma supefíce. Cada uma destas cofguações seá epesetada po um ídce de 8 bts costuído a pat dos estados dos vétces coespodetes. Cada um destes ídces seá um poteo em uma tabela que foece todas as aestas cotadas pela supefíce paa cada cofguação básca. Tal pocedmeto pessupõe uma eumeação dos vétces e das aestas do cubo tal como aquela apesetada a Fgua

69 Fgua 5. Eumeação das aestas e lados do cubo utamete com o ídce da cofguação coespodete. Paa os casos 0 e da Fgua 5. po exemplo as lhas da tabela têm a segute foma: Fgua 5.3 Ídce da cofguação básca e aestas paa os casos 0 e dos da Fgua 5- segudo a eumeação dos vétces e aestas da Fgua

70 Pocededo aalogamete podemos mota a tabela paa os casos báscos da Fgua 5.. Esta tabela seá fudametal paa o cálculo dos polígoos que cocateados defão a supefíce. Tomemos um cubo qualque da malha. Uma vez aalsados os valoes de campo em seus vétces temos uma das 56 possíves cofguações paa o mesmo e podemos detfca a cofguação básca coespodete. Feto sto teemos o ídce coespodete a tabela acma e coseqüetemete as aestas cotadas. Basta etão toma os valoes de campo os vétces destas aestas paa va tepolação estma os potos de teseção sobe as mesmas. Estes potos defão um polígoo que apoxmaá a supefíce o teo do cubo. Uma vez executado este pocedmeto paa todos os cubos da malha teemos uma apoxmação polgoal da supefíce em questão. A estmatva do veto omal em cada vétce da supefíce polgoal geada pelo algotmo de cubos machates é ecessáa paa uma vsualzação da supefíce ode as tasções ete faces ão se toem apaetes. Ou sea paa que a supefíce geada possa se vsualzada como uma supefíce suave é ecessáo calcula o veto omal em cada vétce da malha polgoal o que pode se feto po dfeeças ftas. Outa possbldade é austa uma supefíce paamétca (sple po exemplo) aos vétces da supefíce polgoal. Essa abodagem pode se teessate do poto de vsta da qualdade e cotole da supefíce geada poém seu custo computacoal pode se elevado paa gades massas de dados. O método de geação de sosupefíces apesetado acma dexa apaete uma lmtação desta técca paa vsualzação em gades massas de dados: o úmeo de polígoos fomado a supefíce pode se toa muto alto tazedo poblemas de pefomace paa a etapa de vsualzação. Quado sto acotece podemos laça mão de téccas paa smplfcação de supefíces polgoas [Cgo at al.(994)][cohe at al. (996)] o que po sua vez mplca em poblemas efeetes à pesevação da topologa das sosupefíces e possível peda de detalhes mpotates. Po outo lado téccas baseadas em sosupefíces têm a vatagem de seem obustas e apesetam boa pefomace paa massas de dados de pequeo e médo pote. 5.. Volume Redeg Uma outa possbldade paa a vsualzação de um campo escala tdmesoal é o edeg deto de volume; ou sea poduz uma poeção plaa detamete do volume de dados. Paa sto uma possbldade é usa téccas baseadas a déa de aos de luz atavessado o volume e teagdo com este de acodo com algum modelo físco [Max (995)]. Estes modelos smulam os feômeos báscos de teação da luz com a matéa: eflexão espalhameto absoção e geação de luz pelo meo. 65

71 Em [Kuege (99)] ecotamos uma outa fomulação baseada a teoa de taspote lea que clu os modelos baseados em taçados de aos como casos patculaes ou apoxmações. Esta abodagem é fudametada a déa de patículas vtuas que atavessam o couto de dados caegado cosgo fomações sobe o mesmo. A fomação base deste modelo é a tesdade IxsE ( ) que desceve o úmeo de patículas em um poto x que se movem em uma deção s com eega E. No espaço de coes a tesdade de um pxel é dada po valoes médos: I( x s) = I( x s E) de E com coespodedo às tesdades de cada caal de co do sstema RGB. A equação básca paa a teoa de taspote lea é a equação de Boltzma que desceve os gahos e pedas da tesdade das patículas em um elemeto de volume [Case-Zwefel (967)]. Paa o caso estacoáo uma foma coveete desta equação paa a vsualzação de campos escalaes tdmesoas é dada po: ( s ) I( x s; E) = σ t ( x; E) I( x s; E) + q( x s; E) + (5.) σ ( x; E) d p( x s s) I( x s s ω ; E) ode dω é o elemeto de âgulo sóldo em too da deção dada pelo veto utáo s. Os paâmetos elevates paa o pocesso de vsualzação são o coefcete de extção σ e o temo fote q. O coefcete de extção é dado po: t σt = σa + σs ode σ a e σ s são os coefcetes de absoção e espalhameto espectvamete. A fução pxs ( s) é a fase de espalhameto omalzada que modela a mudaça a deção ( s s ) do ao de patículas. Mapeameto das Caacteístcas dos Dados os paâmetos de vsualzação A equação (5.) só tem setdo pátco se estabelecemos egas efcetes paa def os paâmetos σ t σ a e σ s em fução de gadezas faclmete deváves do campo F(x) a se vsualzado. Nesta dscussão vamos assum que F é um campo omalzado: F: Δ [ 0 ]. Icemos com a aálse do temo fote q. Temos Fote 66

72 O temo qxse ( ; ) 0 em (5.) atua como uma fote tea paa a tesdade de patículas I. De acodo com o seu supote espacal q pode se classfcado como uma fote potual supefcal ou volumétca. Paa o caso das fotes volumétcas podeíamos usa a segute ega: q v ( x s; E) = cf( x) (5.3) ode F é o campo (omalzado) e c > 0 é uma costate de omalzação da tesdade I. Se cosdeamos apeas este temo o lado deto da equação (5.) esta tomaá a foma: s I( x s; E) = q( x s; E (5.4) ( ) ) Uma vez que ão há espalhameto temos uma stuação ode a velocdade das patículas ão sofe mudaça em deção. Duate seu taeto uma patícula apeas gaha ou pede eega uma taxa caactezada pela equação (5.4). Assm usado-se um couto coveete de aos (paalelos po exemplo) obteemos um campo de tesdades I que podea se mapeado um mapa de coes foecedo assm uma vsualzação do campo F. Este modelo é teessate pela sua smplcdade mas lmta-se à vsualzação da dstbução espacal do campo e seu decameto. A Fgua 5.4 mosta o esultado paa a vsualzação da desdade de elétos de átomos altamete exctados. Fgua 5.4 Efeto usado apeas o temo fote q v. Este modelo pode também se utlzado paa a vsualzação de sosupefíces a foma Fx ( )= λ va a defção de fotes supefcas qs ( x s E). Uma 67

73 possbldade deta paa a defção destas fotes pode se obtda a pat da defção (5.3) modfcada: q x s; E) = c s F( x (5.5) ( ) ) S ( suf suf ode suf é o veto omal à sosupefíce em um poto x suf da mesma. Outa possbldade também empegada é usa o gadete do campo F: q ( x s; E) = c s F x (5.6) S ( ) ( ) suf suf Esta últma defção é patculamete teessate em stuações ode a tesdade do campo F apeseta uma vaação busca em uma vzhaça da sosupefíce pocuada o que é o caso feqüetemete ecotado em mages médcas quado temos a passagem do tecdo ósseo paa os tecdos adacetes. A Fgua 5.5 mosta o esultado paa o mesmo campo da fgua 5.4. Fgua 5.5 Vsualzação de sosupefíces usado o temo fote q s paa os dados da fgua 5.4. Temo de absoção O temo de absoção a equação de taspote (4.) causa uma ateuação expoecal a tesdade I. Cosdeado apeas este temo o lado deto de (4.) obteemos o modelo básco da ateuação sofda pelo ao-x ao atavessa um mateal. Aalogamete ao tem ateo este temo ão toduz mudaças a deção de movmeto das patículas. As duas escolhas mas comus paa a defção deste temo são dadas po: 68

74 σ ( x; E) cf( x) (5.7) ou: a = σ a = F(x) (5.8) A Fgua 5.6 mosta o efeto deste temo utamete com uma fote supefcal do tpo (5.5) paa o campo da fgua ateo. Fgua 5.6 Apaêca dada pelo temo de absoção ao campo da Fgua 5.5. Temos de Espalhameto A exploação do temo de espalhameto σ s leva a algotmos computacoas mas elaboados po exemplo o Método de Mote Calo [Hammesley (964)]. Neste caso temos mudaças a deção do movmeto das patículas (de s paa s ). Uma stuação em que este temo pode se copoado é o caso de ealce seletvo de flutuações locas da desdade de volume o que pode se modelado com o coefcete de espalhameto volumétco dado po: v σ ( x) cf( x) (5.9) s = e pela escolha de uma fução paa a fase de espalhameto apopada: v P ( x s s) = c δ ( s s ) + ( c ) P ( x s s) (5.0) f f s 69

75 ode o pmeo temo modela o espalhameto avaçado somete( δ é a fução Delta de Dac) e P s é uma fução que modela a mudaça de deção do ao de patículas [Kuege (99)]. Este modelo é patculamete coveete paa a vsualzação de dados atmosfécos e pode se adaptado paa clu efetos de supefíce tas como eflexão especula e taspaêca. Po exemplo podemos usa a segute expessão paa P s [Kuege (99)]: P( x s s ) = δ( x x ) c δ( s s ) + c δ( s + s ) c + c = [ ] s suf f b f b ode x suf é um poto de uma supefíce. A Fgua 5.7 mosta o esultado quado usamos a equação (5.) com σ s e p dados po (5.9) e (5.0) espectvamete e P s dado pela últma expessão. Fgua 5.7 Reflexão especula e taspaêca paa ealça pofuddade (desdade de elétos do mesmo H-átomo das fguas 5-4 à Splattg A abodagem deomada splattg fo toduzda po Lee Westove [Westove (989)] e tem sdo usada como uma foma alteatva paa vsualza ão só dados volumétcos mas também modelos geométcos baseados em potos [Zwce (00)]. 70

76 5.3. Volume Splattg Métodos paa vsualzação volumétca pecsam poduz uma magem bdmesoal baseada a composção dos voxels que descevem o volume. Em fução de como o pocesso de composção é coduzdo podemos classfca os métodos de vsualzação volumétca em duas categoas: composção da-fetepaa-tás (fot-to-bac compostg) ou mapeameto de-tás-paa-fete (bac-tofot compostg). Como o ome á sugee o que caacteza cada classe é a odem em que o pocesso de tegação (ou covolução) dos voxels é feto. Podemos ve esquematcamete esses dos pocessos a Fgua 5.8. No mapeameto fot-tobac o pocesso de tegação tem íco o plao da magem ode paa cada pxel um ao é dspaado em deção ao espaço dos dados como á descto a seção 5... O mapeameto bac-to-fotpo sua vez pate de cada voxel do espaço 3D poetado-o o plao da magem. Fgua 5.8 Composção fot-to-bac e bac-to-fot. Essa dfeeça dexa clao como e quado a ecostução do sal 3D é feta. No caso da abodagem fot-to-bac temos um pocesso evolvedo uma sée de amosta de etada (lsta de todos os voxels teceptados pelo ao) geado uma úca amosta de saída (pxel da magem). Já o pocesso bac-to-fot espalha cada a amosta de etada (voxel) po váas amostas de saída (pxels). Esse pocesso de espalhameto da ogem a técca de splattg. Um algotmo típco de splattg paa dados volumétcos evolve 4 passos báscos [Westove (990)]: tasfomação lumação ecostução e vsbldade. Dado um voxel [ ] (coodeadas teas da gade de amostas do volume) ele deve se tasfomado paa coodeadas (x y z) o espaço da tela. Uma vez o espaço da tela sua lumação é detemada atavés de algum pocesso que assoca co e opacdade toado o poto epesetado como (x y z g b a). A etapa segute é detema que poção da magem aquela amosta afeta e adcoa a cotbução do voxel a cada pxel da magem fal. 7

77 Assocado a cada voxel um úcleo de ecostução é defdo. Esse úcleo é composto po uma fução de supote compacto e decescete tpcamete uma fução Gaussaa com vaâca vculada ao ao de fluêca do úcleo. É comum o pocessameto dos voxels se feto po folhas (sheets) como podemos ve a Fgua 5.8. Cada uma dessas folhas coespode a um plao paalelo ao plao de poeção. Os pxels em cada folha são geados pela composção da cotbução do voxel coete com as cotbuções dos voxels á pocessados. Dessa foma a odeação dos voxels é coseguda de foma smples. A poeção ou lha de tegação cotém a tegal de todos os úcleos ao logo do ao que vem do fto até o plao de vsualzação. Cada úcleo de ecostução é cetalzado o voxel e sua cotbução é acumulada a magem a pat de sua poeção D chamada splat. Os splats são tpcamete pé-computados e e-amostados em uma tabela de pegadas (footpt table) que é e-amostada o famebuffe paa cada splat. Paa poeções otogoas e úcleos de tepolação com smeta adal uma úca etada essa tabela pode se calculada e aplcada paa todos os voxels a meos de um deslocameto. Podemos vsualza esse pocesso a Fgua 5.9. Fgua 5.9 Poeção Otogoal dos úcleos assocados a cada voxel. Na Fgua 5.0 podemos obseva como váos voxels são esposáves pelo valo fal de um úco pxel. Ao logo de um ao com ogem em um pxel váos úcleos podem cotbu paa a geação da magem do pxel mesmo sem que esses voxels seam teceptados pelo ao. 7

78 Fgua 5.0 Ifluêca de váos úcleos assocados aos voxels localzados ao logo de um mesmo ao (vculado a um detemado pxel). Vale essalta que em geal o pocesso de vsualzação usa como base a poeção paalela. O pocesso de splattg toa-se mas complexo o caso de um poeção em pespectva. Nesse caso os úcleos de ecostução sofem um pocesso de defomação (wapg) duate a poeção o que toa mas dfícl o uso de uma smples tabela de footpts como mosta a Fgua 5.. Fgua 5. Uso de poeção pespectva defomado o úcleo de ecostução. 73

79 5.3. Suface Splattg O uso da técca de Splattg aplcada à vsualzação de supefíces vem gahado especal ateção os últmos aos. Uma das azões paa esse teesse é o cescete uso de potos como pmtva básca paa modelagem e vsualzação [Pauly (00)] [Alexa (003)] [Pauly (003a)] [Pauly (003b)] [Pfste (003)] [Alexa (004)]. A déa de se utlza potos como pmtva básca paa epeseta obetos tdmesoas ão é ecete [Levoy(985)][Szels(99)][Wt(994)]. Um fato que tem aumetado o teesse o uso de splattg paa vsualzação de supefíces é o ecete apmoameto das téccas de aqusção de dados tdmesoas como scaes a lase e métodos baseados em mages (mage-based methods). Com essas feametas podemos gea gades volumes de amostas sobe a supefíce de obetos tdmesoas complexos. Tadcoalmete a vsualzação de supefíces é feta a pat da costução de uma supefíce apoxmada lea po pates composta po polígoos (em geal tâgulos) fomados a pat de coexão das amostas da supefíce. A costução dessa malha polgoal evolve a detemação de elações de coectvdade ete os potos bem como um cotole da topologa da supefíce fal. Esse pocesso ão é smples e evolve algotmos ão tvas como po exemplo o Powe Cust [Ameta (00)] e o Ball Pvot [Bead (999)]. Uma supefíce epesetada atavés de potos é caactezada po um couto de amostas { P }. Essas amostas estão defdas o espaço tdmesoal são egulamete dstbuídas e ão possuem fomações topológcas assocadas ou sea sua coectvdade ão é explctada. Sobe esses potos cohecemos apeas sua posção o espaço sua omal e a sua apaêca ou sea suas popedades vsuas como co ou textua. Dessa foma podemos dze que esses potos epesetam uma amostagem da geometa e da apaêca da supefíce obtdas a mesma taxa de amostagem. De maea smla aos potos um sstema de patículas ão defe elações de coectvdade ou eguladade em sua dstbução espacal. No etato patículas possuem popedades extas tas como massa velocdade e foças po exemplo. Uma das vatages a ausêca de fomações de coectvdade é um custo computacoal mas baxo ão só em temos de amazeameto como também paa cetos tpos de pocessameto como e-amostagem local ou e-estutuação dos potos. Ifomações adcoas à ceca da topologa ão pecsam se amazeadas em matdas e / ou valdadas. Um poto cítco em uma epesetação baseada em potos é a taxa de amostagem ecessáa paa epeseta de foma adequada a supefíce. É tutvo que a desdade da amostagem está detamete elacoada com a áea da supefíce que se que epeseta. Esse poto é teessate á que mplca em uma alta desdade de amostas mesmo em egões plaas da supefíce. Esse fato cotasta com os modelos polgoas cua desdade a amostagem é vculada em geal a cuvatua da supefíce equeedo potato meos amostas em egões plaas. 74

80 No etato amostages muto desas ão se mostam teessates do poto de vsta computacoal po seu alto custo. Na Fgua 5.(a) podemos ve um exemplo bdmesoal smples ode uma magem é epesetada apeas po potos. Claamete a desdade ão é sufcete paa epoduz de foma acuada a magem ogal ou sea ão é capaz de peeche todo o espaço da magem. (a) (b) (c) Fgua 5. Exemplo de amostagem e ecostução. (a) magem com baxa desdade de amostas; (b) e (c) ecostução utlzado um úcleo de ecostução com dfeetes aos de fluêca. Paa esolve esse poblema duas téccas podem se empegadas: ecostução o espaço da magem ou e-amostagem o espaço do obeto. Téccas classfcadas essa ultma categoa pocuam austa damcamete a taxa de amostagem de tal sote que a desdade dos potos poetados sea adequada a esolução da magem. Fca patete que essa e-amostagem é depedete dos paâmetos do sstema de vsualzação e potato deve se efeta damcamete a cada fame. As téccas de ecostução pocuam assoca a cada amosta uma fução ou úcleo de ecostução. Essa fução ocupa uma áea ao edo do poto e pemte ecostu a fomação ete amostas. O efeto desse tpo de abodagem pode se vsto as Fguas 5.(b) e (c). A escolha da fução de 75

81 ecostução e seus paâmetos têm fluêca deta a vsualzação como fca patete as Fguas 5. (b) e (c). A técca de splattg se equada essa ultma categoa. Sabemos que as epesetações polgoas ecostoem uma supefíce a pat de um couto de amostas costudo uma apoxmação lea po pates 0 com cotudade C como a Fgua 5.3 à esqueda. Nesse caso pesume-se que a coectvdade das amostas é cohecda o que ão acotece o caso das epesetações baseadas em potos. Paa esse tpo de epesetação duas alteatvas se colocam. A pmea é a costução de uma apoxmação costate po pates de cotudade C como a Fgua 5.3 ao ceto. Apesa de smples fca evdete que esse tpo de fução de ecostução poduz um eo supeo a ecostução lea po pate. Outa alteatva é utlza uma apoxmação lea po pates de cotudade C como a Fgua 5.3 à deta. Nesse caso o eo geado a apoxmação é da mesma odem da apoxmação lea po pates tadcoal poém sem a exgêca da coectvdade ete as amostas. (a) (b) (c) Fgua 5.3 Recostução de uma fução udmesoal em lhas potlhadas. Recostução (a) lea po pates geado uma fução de cotudade C 0 ; (b) costate po pates geado uma fução de cotudade C - ; (c) lea po pates com cotudade C -. Esse últmo esquema de ecostução é a base da técca de suface splattg [Pfste (003)]. Nesse cotexto deomamos a fução de ecostução de úcleo de ecostução. O úcleo de ecostução tem po faldade estede as dmesões dos potos de modo que passem a peeche uma áea ao seu edo. Uma foma smples de epeseta esse úcleo de ecostução é atavés de uma fução lea defda ao edo do poto fomado um dsco de ao (splat) como vemos a Fgua 5.4 à esqueda. No etato o caso de supefíces é teessate que essa úcleo de ecostução possa se adapta a cuvatua da supefíce subacete. Essa caacteístca pode se obtda utlzado-se um splat elíptco. Um splat elíptco é capaz de gea uma apoxmação lea local ótma caso seus exos pcpal e secudáo esteam alhados com as deções pcpas de cuvatua da supefíce e seus aos seam vesamete popocoas as cuvatuas máxma e míma da supefíce. 76

82 Fgua 5.4 Dfeetes geometas pao o splats. Claamete obsevamos que o uso de elpses caacteza de foma mas pecsa a cuvatua da supefíce ogal. O uso de uma apoxmação lea mesmo que de cotudade os pemte adapta a taxa de amostagem em fução da cuvatua da supefíce como as apoxmações polgoas leaes po pates. Dessa foma egões de baxa cuvatua podem te taxa de amostagem mas baxa equato que egões de alta cuvatua ecesstam de taxas de amostagem mas altas. Uma vez defdo o tpo de ecostução que deseamos ada é pecso cotola de alguma foma o ao de fluêca de cada splat de modo a cosegu uma magem fal cotua da supefíce. Caso cotao teemos como esultado uma supefíce composta de elpses descoexas como a Fgua 5.5(a). Uma solução gêua e smplsta é def aos sufcetemete gades que pemtam que os splats se sobepoham. Essa solução pemte que os espaços ete splats seam peechdos poém as custas da todução de descotudades a lumação como podemos obseva a Fgua 5.5(b). O esultado toa-se muto smla à aplcação do algotmo Flat Shadg em uma supefíce polgoal. Como foma de mmza esse poblema Zwce [Zwce (00)] popõe o uso de um método asotópco de at-alasg smla ao método EWA Elptcal Weght Aveage defdo po Hecbet [Hecbet (989)] paa fltagem de textuas. Na abodagem de Zwce cada poto está assocado com uma fução de base smétca e adal além de seu couto de atbutos de co w. As fuções de base são úcleos de ecostução defdos em domíos paamétcos locas. Dessa foma podemos def uma fução de textua cotua sobe a supefíce P. epesetada pelo couto de potos { } Utlzado como fuções de base Gaussaas podemos etão suavza a tasção ete os splats assocados a cada poto toado assm a vsualzação da 77

83 supefíce bem mas suave como a fgua 5.5 (c). A segu descevemos com mas detalhes essa fomulação. (a) (b) (c) (d) Fgua 5.5 Resultados poduzdos po dfeetes fomas de tegação dos splats: (a) Sem tefeêca ete cada splat espaço vazos se fomam; (b) úcleo de ecostução costate magem semelhate a poduzda pelo algotmo Flat de lumação; (c) úcleo de suavzação Gaussao suavza as tasções ete splats esultado semelhate ao algotmo Gouaud de lumação; (d) Phog Splattg suavza a tasção ete as omas de cada splat. Na Fgua 5.6 podemos ve que a co de um poto qualque Q da supefíce com coodeadas locas u é avalado pela combação das fuções de base geado assm uma supefíce cotíua dada po: f ( u) = w ( u u ) (5.) c N ode u é a coodeada local do poto P. 78

84 Fgua 5.6 Geação de uma paametzação local baseada o couto de amostas a poxmdade de um poto qualque Q. No tabalho de Hecbet os potos P são dstbuídos ufomemete po se tata de uma magem (textua). Potato a vsualzação da fução (textua) f c (u) poduz uma fução de saída g c (x) o espaço da tela que espeta o ctéo de Nyqust paa a esolução da magem fal evtado assm poblemas de alas. O pocesso de vsualzação evolve as segutes etapas: A fução f c (u) é defomada (waped) o espaço da tela utlzado-se paa sso um mapeameto afm local da poeção pespectva de cada poto como mosta a Fgua 5.7. O sal cotíuo geado o espaço da tela é etão fltado pela covolução com um flto h geado uma ova fução g c (x) ode x é a coodeada o espaço da tela. A fução g c (x) pode se e-escta como um somatóo podeado de fltos de e-amostagem ρ (x) o espaço da tela [Zwce (003)] tal que: g ( x) = w ρ ( x) c N ode: ρ x) = ( h)( x m ( u )) (5.) ( As fuções de base são defdas como fuções elíptcas Gaussaas. Essa escolha se deve pcpalmete as popedades como vaâca a tasfomações afs e covolução. 79

85 Fgua 5.7 Tasfomação do úcleo de suavzação do espaço local de paametzação (defdo sobe o obeto) paa o espaço dsceto da tela. Szwce chama a fomulação dada pela equação (5.) paa o flto ρ (x) de Scee Space EWA. No etato do poto de vsta computacoal é mas teessate que esse pocesso de e-amostagem sea defdo como uma fução a supefíce paamétca defda o espaço do obeto. Swce popõe em [Swce (00)] o que chama de Obect Space EWA Splattg ode edefe o flto de eamostagem ρ (x) como: ρ ( u) = ( h )( u u ) Nessa ova fomulação a fução g c (x) passa a se escta como: g c ( x) = w ρ ( m ( x) u ) N Na Fgua 5.8 podemos obseva o efeto desse pocesso de e-amostagem baseado em EWA a pat de um padão de textua quadculado. 80

86 Fgua 5.8 Efeto da tasfomação mostada a fgua 5.7 utlzado-se a técca de eamostagem EWA. Em temos de mplemetação o pocesso descto acma é bastate custoso uma vez que em geal é todo mplemetado em softwae. Segudo Botsch [Botsch (004)] essa abodagem toa-se pobtva paa a vsualzação de modelos complexos em tempo eal uma vez que as taxas de splat ate alcaçadas vaavam a faxa de M splats po segudo (aalse feta com o hadwae da época). Duas fetes de pesqusa apaecem com o obetvo de acelea o splat ate desse tpo de vsualzação. A pmea pocua atua como as téccas de multesolução em modelos polgoas eduzdo o úmeo de splats a seem pocessados em fução de qualdade / poto de vsta da vsualzação. Dos tabalhos essa lha são os de Botsch [Botsch 00] e o QSplat [Rusewcz 000]. Ambos são ada pocessados em softwae mas coseguem poduz splat ates da odem de 5M splats po segudo. Outa lha de ação que vem sedo bastate exploada é a tasfeêca de pate do pocessameto da CPU paa a GPU (Gaphcs Pocessg Ut). Essa classe de pocessadoes pemte que pogamas seam esctos paa atuaem ao logo do ppele gáfco em duas etapas: o pocessameto dos vétces e o pocessameto dos pxels. Os pogamas que são caegados a GPU são deomados shades. A gade vatagem desse tpo de solução é a possbldade de atuação tato o espaço do obeto pelo uso de vetex shades quato o espaço da tela atavés dos fagmet shades ou pxel shades. Exemplos de tabalhos essa lha podem se ecotados em [Botsch 00] [Botsch 004] e [Zwce 004]. Os métodos baseados em EWA poduzem esultados vsuas satsfatóos (Fgua 5.5(c)) mas ada loge daqueles poduzdos em malhas polgoas pelo algotmo de Phog. Assm como o algotmo de Gouaud o método de splattg baseado em fuções de base Gaussaas tede a poduz modelos com lumação boada (bluy). Botsch et al. [Botsch 004] popõe uma solução paa esse tpo de poblema matedo a essêca da poposta de EWA splattg. Paa cada splat um mapa de omas lea é assocado. A vsualzação desses Phog-splats pode se feta de foma bastate smples e efcete pelo uso dos ecusos de pogamação em GPUs. O esultado fal é vsualmete bastate póxmo ao obtdo pelo pópo algotmo de Phog aplcado a modelos polgoas como podemos ve a fgua 5.5(d) Vsualzação de Campos Vetoas 5.4. Itegas de Campo Esta técca evolve o cálculo das taetóas de campo defdas a seção 3.3. Estaemos supodo os campos de velocdade e votcdade com sedo de classe C e potato estas taetóas estão bem defdas de acodo com os esultados das seções 3. e

87 Veamos o exemplo de um método que seá utlzado o capítulo 6 e que apeseta as pcpas caacteístcas desta metodologa. A déa básca deste método é costu lhas de taetóa em campos vetoas 3D ão-estacoáos defdos em uma malha estutuada de hexaedos ão egulaes. Nesta apesetação estaemos supodo o caso do campo de velocdades emboa o método possa se aplcado paa outos campos. A pmeo aspecto a def é se vamos tabalha o espaço das vaáves da smulação uméca ou se vamos efetua os cálculos em outo espaço. Paa o caso de malhas estutuadas ão egulaes de hexaedos ou tetaedos pode se teessate tasfoma as coodeadas cas (físcas) paa outas coodeadas mas efcetes do poto de vsta computacoal (coodeadas de computação). Seam etão o espaço físco aquele cuas coodeadas coespodem a um subcouto abeto Δ R 4 de potos ( x x x3 t) ode x x x3 são coodeadas espacas e t o tempo. Este espaço é suposto dscetzado em um couto fto de 4 x x x t R ; l Ν coectadas de acodo com uma { } quaduplas ( ) 3 l topologa que gee uma malha estutuada de hexaedos M. Vamos supo a exstêca de um dfeomofsmo local (seção A.5) T :Δ Δ R 4 que tasfoma a malha M em uma malha egula M Δ. Ao espaço coespodete às coodeadas ( x x x3 t) Δ chamaemos espaço computacoal. Fgua 5.9 Espaço físco: ( x y) espaço computacoal: ( x y) e espaço de paâmetos: ( ξ η). 8

88 83 Uma vez que T é um dfeomofsmo local um campo vetoal V defdo em Δ R 4 é tasfomado atualmete em um campo vetoal v topologcamete cougado a V (seção 3.4.) pela elação: ( )V DT v = ode D deota a dfeecal de uma aplcação defda o Apêdce A seção A.4. Uma vez que o espaço físco está dscetzado o pmeo passo esta metodologa é estabelece uma ega de tepolação paa os vétces das células da malha M. Neste tabalho assummos que cada célula do espaço físco possa se epesetada po uma aplcação quadlea da foma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ = = = = = = τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ l l l B B B B X t x x x X ode X l são vétces de uma célula o espaço físco cotedo X e B é o polômo de Beste-Béze de gau um (Apêdce A). Esta expessão pode se tepetada como uma paametzação da célula da malha M com vétces X l. O espaço coespodete às vaáves e ξ η ζ τ seá deomado espaço de paâmetos locas (Fgua 5.9). Natualmete cada célula de M Δ fcaá paametzada pela tasfomação: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ = = = = = = τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ l l l B B B B X t x x x X ode: ( ) l l X T X = são os potos ( ) X l da malha ogal tasfomados po T. O campo de velocdades o espaço físco e seu coespodete o espaço computacoal fcam também paametzados po: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ = = = = = τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ l l l B B B B V V (5.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ = = = = = τ ζ η ξ τ ζ η ξ τ ζ η ξ l l l B B B B v v ode: ( ) l l V DT v =

89 Caso a tasfomação T sea cohecda apeas os potos da malha etão a dfeecal a últma expessão é detemada va dfeeças ftas. Nosso obetvo é taça lhas de taetóa defdas pelo poblema de Cauchy (3.8). A déa cetal dos métodos paa a geação de lhas de taetóa é apoxma a cuva tegal coespodete po uma seqüêca de potos ( X ). Em [Hama at al. (995)] sto é feto calculado-se calmete a seqüêca de potos coespodete ( X ) o espaço computacoal paa em seguda mapea esta seqüêca o espaço físco va T. Sea etão o poto cal X 0 o espaço físco. Efetuaemos toda a computação as coodeadas locas ξ η ζ e τ. Neste setdo o pmeo passo é ecota os paâmetos locas ξi ηi ζi e τ I deste poto. Isto é feto esolvedo-se a equação: X 0 = X l B l = 0 = 0 = 0 l= 0 ( ξ ) B ( η) B ( ζ ) B ( τ ) ξ η ζ τ [0] o que pode se feto usado-se Newto-Raphso paa gea uma seqüêca de potos ( d ) o espaço de paâmetos tal que Xd ( ) X 0 se +. O póxmo passo é tega (3.8) o espaço computacoal. Neste poto a abodagem usual ecotada a lteatua faz uso de Ruge-Kutta (em geal de quata odem). Nesta apesetação ós pefemos utlza a métodologa alteatva apesetada em [Hama at al. (995)] que pemtá uma abodagem ufcada e computacoalmete efcete paa os poblemas de tepolação dos campos que ecotaemos. A déa cetal deste método é usa uma cuva polomal de segudo gau expessa a base de Beze-Beste paa apoxma localmete a cuva tegal e em seguda tega (3.8) sobe esta cuva. Veamos estes passos em detalhe. A Fgua 5.0 epeseta uma célula o espaço computacoal e um poto X I o teo da mesma o qual é sabdo petece à lha de taetóa (o passo cal este poto sea o pópo X 0 ). 84

90 Fgua 5.0 Itepolação t-lea de um campo 3D e apoxmação local da lha de taetóa usado uma cuva de Béze de seguda odem. Queemos obte uma cuva polomal de segudo gau que apoxme (o espaço computacoal) a lha de taetóa localmete o teo da célula epesetada. Os potos b e b da Fgua 5.0 são dos potos de cotole a seem detemados. A cuva em questão pode se epesetada paametcamete po: ( ~ c τ ) = b B ( ~ ) ~ τ τ [0 T ] (5.4) = 0 ode T é um passo de tempo pevamete escolhdo e ~ τ é um tempo local tal que ~ τ = 0 está assocado ao poto X I. A expessão paa os polômos de Beze- Beste o paâmeto ~ τ são obtdas detamete da expessão (A-) fazedo ~ τ t = = ; e são dadas po: T B τ (5.5) T ~ ~ ~ τ ( ) = τ ( T ) Uma vez que X I deve se um poto de c podemos usa os esultados (A-5) e (A-7) do Apêdce A utamete com (5.5) paa expessa os potos de cotole da cuva polomal pocuada da segute foma: b b 0 b = X = X I I = X I T + vi T + TvI + a I 85

91 dc dc ode estamos mpodo ( ) v ( ) I a I d ~ 0 = τ d ~ 0 =. As expessões paa vi e a τ I são obtdas detamete de (5.3) e são dadas po: v I a I = = = 0 = 0 = 0 l= 0 ( ξ ) B ( η ) B ( ζ ) B ( τ ) ( v v 0 ) B ( ξ I ) B ( η I ) B ( ζ I ). = 0 = 0 = 0 v ode ( ξ η ζ τ ) l B I I I I I I I I são as coodeadas locas de X I (guas às coodeadas locas de X I ). Desta foma temos a epesetação local (5.4) paa a lha de taetóa. O póxmo poto X I+ da lha de taetóa (o espaço computacoal) pode se obtdo pela tegal de lha: X T I + = X I + v d 0 ( c( ~ τ ) ~ τ ) ~ τ expessa em fução do tempo local ~ τ. Pocededo desta foma vamos obte uma seqüêca de potos ( X ) da lha de taetóa o espaço computacoal. Em seguda basta usa T X o espaço físco. seqüêca coespodete ( ) paa obte a Pocedmetos aálogos podeam se utlzados paa as demas lhas de campo defdas em (3.6)-(3.9) mas uma vez podedo-se opta pela utlzação do método aqu descto ou Ruge-Kutta paa a solução uméca da equação dfeecal coespodete. As lhas de taetóa são de patcula teesse paa osso tabalho paa o acompahameto das estutuas ao logo do tempo. Tataemos esta questão o capítulo 6. A defção (3.6) gea uma supefíce. A déa de gea um couto de cuvas tegas paa apoxma esta supefíce deve se tomada com cudado pos pode se caa ou mesmo efcete o que obga o desevolvmeto de téccas específcas paa obte apoxmações da mesma usado-se um meo úmeo possível de cuvas tegas [Ueg (996)] Le Itegal Covoluto Em vez de desehamos uma coleção de cuvas tegas paa estuda um campo bdmesoal a déa deste método é faze a covolução de uma fução uído T (textua) ao logo da lha de coete. 86

92 Sea etão um escoameto bdmesoal e estacoáo. Sea também a solução xs ( ) de (3.7) passado pelo poto x = x 0. O pesete método cosste em calcula a tegal: y+ L I ( y) = K( s y) T ( x( s)) ds (5.6) y L ode K é o eel de um flto udmesoal com supote gual a L. O esultado deste método é uma alta coelação dos valoes das tesdades a deção da lha de coete equato que pepedcula a esta deção patcamete ão exste coelação. Assm a estutua decoal do campo emege vsualmete o que pode se lustado pela Fgua 5.. Fgua 5. Fução uído (esqueda) é fltada usado LIC sobe um campo vetoal ccula geado a magem à deta. Resolve a tegal de covolução acma paa cada pxel é muto cao. Uma foma de cotoa este poblema é cosdea a fução T costate o teo de cada célula C cotada pela lha de coete xs. ( ) Assm a tegal (5.6) sea apoxmada po um somatóo do tpo [Fossell-Cohe (995)]: I( y) = y = h( p y) = N T ( p ) h( p y) ode b a K( s y) P ( x( s) ) ds ode p é um poto da lha de coete o teo de C s= a e s= b coespodem aos potos ode a lha de coete xs ( ) cota a célula C N y é o úmeo de células cotadas e P é tal que: se x C P ( x) =. 0 cc. Paa campos vetoas ão estacoáos a déa é usa fltos de movmeto (moto fltes) e tega ao logo das lhas de emssão em vez das lhas de coete [Fossell-Cohe (995)]. Desta foma pocua-se mate a coeêca ete os dvesos fames e obte a mpessão de um fluxo o tempo. 87

93 Possíves extesões deste método paa campos 3D são dscutdas em [Iteate-Gosch (997)] e são baseadas a utlzação de uma seguda textua paa se obte oção de pofuddade paa as lhas de coete. Uma possbldade que pode se teessate paa a vsualzação estutuas o teo do fludo é aplca esta técca sobe a fotea da estutua paa vsualza o campo de velocdades poetado sobe a mesma [Battle at al.(996)]. A Fgua 5. mosta o esultado deste método aplcado sobe a supefíce de um vótce do tpo daquele da fgua 5.3. Os quato etalhes obsevados coespodem a 4 lhas de coete (do campo poetado) e audam a compeede o movmeto helcodal do fludo o teo do vótce. Esta técca pode se equecda paa smula efetos obtdos po téccas expemetas tas como eção de substâcas colodas (dye) o fludo. Isto é feto acescetado-se coes a egões soladas da textua T. Estas egões são caegadas pelo fluxo da mesma foma que a substâca coloda é caegada pelo escoameto e o esultado é uma macha que se desloca [She at al. (996)] ealçado fomações dos campos as egões po ela atavessadas. Fgua 5.- Realce de vótces po LIC Vsualzação da Topologa de Campos Vetoas Paa campos vetoas D estacoáos esta técca cosste bascamete dos segutes passos[rosemblum at al (994)]: a) Detecção dos potos cítcos. b) Classfcação dos potos cítcos c) Costução de um esqueleto telgado coveetemete estes potos. No tem c) acma o que devemos etede po coveetemete? Os coutos ω-lmte e α-lmte estudados a seção podem foece uma esposta a esta peguta. Veamos ovamete a Fgua

94 Fgua 5.3 Esqueleto fomado pelo couto ω( p ). Neste caso dspodo do esqueleto fomado po ω( p ) basta usa apeas a cotudade do fluxo paa fe o compotameto das taetóas em vzhaças do mesmo. Novamete pela dscussão da seção a ausêca de outos potos sgulaes ão exstem taetóas fechadas e a úca possbldade paa a topologa do campo foa da egão epesetada a Fgua 5.3 é dada pelo teoema do fluxo tubula. Se tomamos um poto p tal que ω( p) é um potos sgula etão podemos pecsa do couto α( p ) também. Como exemplo podemos etoma a Fgua 3.6 mas com um foco estável a ogem. Neste caso dado um poto p o teo de C teíamos ω( p ) = {( 00 )} e α( p) = C obtedo-se assm os elemetos detemates da topologa da egão epesetada. Se o campo fo D ão-estacoáo etão podemos toma os tês passos acma paa cada state de tempo e em seguda coecta os esqueletos obtdos coveetemete paa epeseta a evolução tempoal da topologa do fluxo. No caso dos campos poveetes da solução das equações de Nave- Stoes (.8) paa codções cas e de cotoo apopadas devemos faze algumas cosdeações especas. O pmeo cudado estes casos efee-se às codções de fotea. Paa o caso de foteas sem escoegameto (o-slp bouday) coloca-se velocdade ula as foteas do domío o que va mplca um couto fto e ão dsceto de sguladades paa o campo de velocdades. 89

95 Um compotameto comum estes casos é aquele epesetado a Fguas 5.4 ode vemos uma lha de coete calmete pesa ao cldo os potos de e at despede-se do mesmo em uma das extemdades um state posteo. Obsevemos que esta lha de coete a fgua à esqueda ca em de e tema em at pos a ccufeêca coespodete ao cldo ão é uma lha de coete (velocdade deve se dfeecável também os potos da fotea do cldo logo tem-se a ucdade das cuvas tegas). Fgua 5.4 Lhas de coete as poxmdades de um cldo em dos states de tempo. O poto sp é um poto de cela e os potos at e de são potos de ução e sepaação espectvamete. Os potos de e at (poto de sepaação e ução espectvamete) lgados po uma mesma lha de coete são patculamete mpotates pos estes dcam uma egão ode o movmeto do fludo fcaá cofado duate um ceto tevalo de tempo (o caso da Fgua 5.4 esta egão é aquela lmtada pela fotea do cldo e a lha de coete que ca em de e tema em at). O método apesetado em [Helma-Hessel (99)] dá ateção especal a estes potos e às lhas de coete que os lgam. Quado solados estes podem def egões de atueza topológca bem dsttas daí sua mpotâca paa a vsualzação do campo. Paa o caso 3D a déa é usa a mesma metodologa mas agoa aplcá-la calmete ao estudo da topologa do escoameto sobe a supefíce dos copos mesos o fludo. Paa tal cosdea-se o campo de velocdades defdo o plao da malha que é um poto acma da supefíce do obeto (estamos supodo supefíces sem escoegameto) e pocuam-se os potos de sepaação e ução. Com sto os potos de sepaação seão aqueles com compoete omal da velocdade postva 90

96 e os potos de ução com compoete omal da velocdade egatva. Neste caso estes potos fomaão lhas sobe a supefíce do obeto deomadas lhas de sepaação. Estas lhas dcam que supefíces de coete que calmete estão póxmas da fotea do obeto afastam-se abuptamete da mesma uma vzhaça destas cuvas. A Fgua 5.5 auda vsualza este fato aqu ovamete epesetado paa o caso D. Fgua 5.5 Lha de coete em uma vzhaça da supefíce afastado-se póxmo ao poto de sepaação de. Estas supefíces da mesma foma que a lha de coete lgado at com de a Fgua 5-4 detemaão o compotameto do fludo uma vzhaça do obeto podedo dca a peseça de vótces. Paa aplcações ode o teesse é acompaha a evolução de uma estutua (vótces po exemplo) o tempo esta técca toa-se lmtada pos a mesma obetva acompaha a evolução (global) da topologa ão se atedo a evolução tempoal de uma estutua específca. Apesa dsto é cetamete uma técca elegate e obusta po basea-se em elemetos de fácl detfcação e caactezação: potos cítcos solados potos de sepaação e ução Téccas paa Vsualzação de Vótces As téccas ecotadas a lteatua paa a detfcação e vsualzação de vótces o couto de dados podem se classfcadas em tês categoas: téccas baseadas em sosupefíces téccas baseadas o coe e téccas baseadas em extação de caacteístcas (segmetação). Do poto de vsta da classfcação apesetada a Tabela estas téccas vsam um esultado que taduza o compotameto do fludo uma egão do mesmo. É este setdo que estas téccas são locas. 9

97 Po outo lado a fomação obtda pode se efe ao campo de votcdade e de pessão a egão tedo assm a atueza escala / vetoal dcada aquela tabela. O domío volumétco dca mas uma caacteístca destas téccas: delmta uma egão do espaço ode o fludo estea em otação. Veamos as téccas do pmeo tpo Téccas Baseadas em Isosupefíces A metodologa básca este caso é ecota um campo escala que possa se faclmete obtdo a pat dos campos das equações.8 e.3 e tal que paa cetos valoes as sosupefíces coespodetes evolvam os vótces. Ecotamos duas popostas este setdo. Isosupefíces de Baxa Pessão Em [Robso (989)] popõe-se que volumes alogados com baxa pessão em escoametos tubuletos e compessíves dcam a peseça de vótces. Assm uma vez feta uma estatístca cal do campo de pessão que pemta detema um lma paa baxa pessão uma técca de geação de sosupefíces do tpo dscutda a seção 4.. pode taze bos esultados paa a detfcação de estutuas do tpo vótce. A dfculdade pcpal com esta técca é a gade massa de dados em geal evolvda o que levaá a uma supefíce polédca com mutas faces tazedo dfculdades paa o pocesso de edeg de acodo com a dscussão da seção 5... A Fgua 5-6 mosta um vótce em foma de gampo obtdo com esta técca. Fgua 5.6 Isosupefíce de pessão. 9

98 Autovaloes do Teso de Defomação Em [Chog-Pey (990)] usam-se as déas dscutdas da seção.6 paa popo uma caactezação dos vótces va os autovaloes do teso de defomação (ve.30). Neste tabalho os autovaloes deste teso são calculados em potos de alta votcdade. Autovaloes com pate magáa sufcetemete alta vão dca que o poto petece a um vótce. Este método fo aplcado o estudo de vótces em fludos fee-shea e se mostou efcete paa detfca vótces de mao tesdade o teo do fludo. No etato esta técca va captua também pequeas estutuas sem ofeece ecusos paa detema como estas se coectam (fgua 5.7). Além dsso cetamete teemos supefíces polédcas como mutas faces tazedo o mesmo poblema das sosupefíces de baxa pessão dscutdo o tem ateo. A fgua 5.7 mosta um esultado obtdo com esta técca. A supefíce mostada evolve uma egão do fludo com alta votcdade ode o teso de defomação apeseta autovaloes magáos. Fgua 5.7 Isosupefíce fomada po potos ode o teso de defomação possu autovaloes magáos. 93

99 5.5. Téccas Baseadas a Idetfcação do Coe Algoítmo paa tme tacg de tubos de votcdade em Tubulêca. O feômeo da tubulêca em mecâca de fludos é caactezado po altas flutuações estatístcas das quatdades que caactezam o escoameto. Estes feômeos ocoem (em geal) paa valoes altos do úmeo de Reyolds (defdo como o poduto das escalas epesetatvas da velocdade e compmeto dvddo pela vscosdade cemátca [Ladau-Lfshtz (959)]) e são fudametas paa a compeesão do compotameto dos fludos a atueza. O obetvo desta técca é estuda a mofologa e a evolução tempoal de tubos de votcdade em tubulêca homogêea. Podemos etede estes tubos o setdo da defção de tubos vótces da seção.6 mas com a supefíce obtda evolvedo uma egão de alta votcdade. Assm estes obetos podem se vstos como vótces alogados e potato ão costtuem uma estutua ova. A técca em questão va ceta a ateção ão em um couto de tubos mas apeas em um úco tubo e acompaha sua hstóa o tempo. Veamos algus detalhes da mesma. Descção do Algotmo. Um tubo de votcdade é geometcamete uma estutua alogada e coexa que pode se caactezada po um esqueleto [Vllaseo-Vcet (99)]. O algotmo fucoa em dos estágos. Pmeamete o esqueleto é pogessvamete costuído usado-se uma sée de segmetos de lhas de gual tamaho coectados segudo o exo geométco do tubo. A segu os vetoes que defem o tubo são detfcados pelo método descto abaxo. Extado o Esqueleto do Tubo. Feta a detemação de um poto semete (defdo pelo usuáo ou automatcamete) o póxmo passo seá ecota a deção mas povável paa o pmeo segmeto do exo da estutua. Isto é feto geado-se as coodeadas de vaas ceteas de potos espalhados sobe a supefíce de uma esfea cetada o poto semete. Feto sto um segmeto de eta é desehado patdo do poto semete até um destes potos e o campo de votcdade em uma egão clídca do espaço possudo este segmeto como exo é epesetado pela méda das omas dos vetoes deto do cldo. Este pocedmeto é epetdo paa todos os cldos e aquele com mao votcdade méda é utlzado paa def a deção do pmeo segmeto do esqueleto. O pocesso é epetdo usado-se agoa uma extemdade deste segmeto como poto semete. Atge-se um extemo do coe quado o pocesso acma só ecota egões com baxa tesdade de campo. 94

100 Ao detecta-se o pmeo extemo o algotmo etoa ao pmeo poto ecotado usado-se o poto semete e ca-se a busca ovamete mas desta vez em deção oposta. Repete-se o pocesso até se ecota o ovo exteo. A seleção dos vetoes que fomaão o tubo é feta escolhedo todos os vetoes o teo de uma vzhaça tubula pevamete detemada do esqueleto obtdo. Tacg: Jaela Fxa ou Jaela Lagagaa. O volume de dados pode se bem eduzdo cosdeado-se somete os dados em uma egão cúbca do espaço ( aela ) cotedo a estutua de teesse. Aqu temos duas possbldades. Usa uma aela fxa e sufcetemete gade paa cote o tubo duate um peíodo de tempo especfcado. Aplcado lmaes de cote paa os dados podemos efoca apeas o tubo duate a sua passagem pela aela. Outa possbldade é usa Jaelas Lagageaas em luga de aelas fxas as quas se moveam de acodo com a velocdade méda do fludo o teo da aela. Busca em Espal Uma vez que um tubo com seu esqueleto fo localzado o state t= t 0 o poblema é ecota um segmeto do esqueleto o state segute ( t = t0 + Δ t) sob a suposção de que () ele seá apoxmadamete paalelo ao seu coespodete em t = t 0 e () o deslocameto do tubo duate o tevalo Δt é pequeo. Estas suposções são coetas se o tevalo de tempo Δt fo sufcetemete pequeo. Desta foma o póxmo passo assume caacteístcas bdmesoas. Mas especfcamete tomaemos o segmeto cetal do esqueleto e faemos a pat deste uma busca em espal paa localza sua posção o state t = t0 + Δ t. Sea etão o segmeto cetal o state t= t 0 copado paa o state t = t0 + Δ t. Tomemos um plao pepedcula a este segmeto e vamos def um sstema de coodeadas polaes com ogem o poto de teseção do plao com o segmeto. Sea uma espal de Aqumedes = aθ a > 0 este plao sobe a qual θ =... N. defmos um couto de potos da foma: ( ) { } Paa cada um destes potos tomemos um cldo pepedcula ao plao. A posção do segmeto o state t = t0 + Δ t é etão detemada pelo cldo ode a votcdade méda tve valo máxmo. Se a busca falha paa o segmeto cetal usa-se os segmetos adacetes paa ecota a ova posção do esqueleto. A pat do segmeto assm obtdo epete-se o pocesso descto a subseção que desceve a extação de um esqueleto de um tubo agoa o state t = t0 + Δ t paa a obteção de toda a estutua este state. 95

101 Pedto-Coeto A técca apesetada em [Bas-Sge (995)] vsa a detecção dos vótces a pat dos campos de pessão e votcdade. Este método está baseado a heuístca ustfcada a seção.7: um poto do vótce apeseta alta votcdade e baxa pessão. Patdo desta ega o método descto a segu va costu o coe em duas etapas. A pat de um poto pevamete detemado um ovo poto do coe é pedto va uma tegação a deção do campo de votcdade. Em seguda o poto pedto é cogdo paa um mímo local de pessão sobe um plao otogoal ao campo de votcdade local. A déa de usa um plao de cote é motvada pela déa cetal comumete aceta paa a estutua de vótce: exstêca de padões cculaes ou espas paa as lhas de coete mapeadas sobe um plao pepedcula ao coe do vótce. O método que vamos popo o capítulo 6 tem muto em comum com esta técca e po sto faemos uma aálse detalhada da mesma a segu. Potos Semetes Paa detema os potos semete o método faz uso de lmaes de cote obtdos po exemplo a pat de uma aálse estatístca do couto de dados. Icalmete pocuam-se potos com alta votcdade e baxa pessão usado os lmaes obtdos. Esta busca é feta em plaos pepedculaes à deção pcpal do escoameto. Em cada plao o valo da votcdade e pessão são compaados com os lmaes pevamete estabelecdos. Idetfcado um poto o passo segute é cog-lo paa um mímo local de pessão sobe um plao pepedcula ao veto votcdade o poto obtdo. Este ovo poto seá o poto semete a se utlzado a costução do coe do vótce. Costução do Coe Uma vez que um poto semete fo detectado pelo método descto o tem ateo o coe do vótce é costuído po um pocesso de cotuação. Neste pocesso o póxmo poto do vótce é pedto tegado-se ao logo do veto votcdade (Fgua 5.8) o poto semete. Se smplesmete epetmos esse pocesso a pat do ovo poto podemos os afasta do coe. Assm uma etapa de coeção se faz ecessáa. A déa é obseva a expessão (.53) que o oposto do gadete da pessão tem um papel essecal paa a aceleação cetípeta. Assm se um poto está o coe espeamos que a pessão este poto sea baxa. Mas ada postula-se em [Bas-Sge (995)] que a pessão sobe um plao pepedcula ao coe teha um mímo local de pessão o poto de teseção do plao com o coe. 96

102 Desse modo sea p um poto sobe o coe (podedo se o poto semete) e p + o poto pedto tegado-se ao logo do veto votcdade ξ calculado em p (fgua 5.8(a)-(b)). Sea P o plao po p + que é omal à votcdade ( ξ + ) este poto. p + é etão cogdo paa o poto p + que coespode a um mímo local da pessão estta ao plao P (fgua 5.8(d)). Fgua 5.8 Etapas da costução do coe: pedção (a)-(b) e coeção (c)-(d). Este pocedmeto tem duas caacteístcas mpotates. Supoha que tomemos um poto p póxmo do poto p como poto semete. Uma vez que estamos em uma egão com alta votcdade espeamos um ceto alhameto do veto votcdade (seção.6). Logo o poto pedto p + estaá póxmo do poto p + da Fgua 5.8. Em seguda a etapa de coeção á apoxma este poto ada mas do coe pocuado. Esta obsevação mosta a obustez do método o que dz espeto à costução do coe e seá útl a segu. Ecotado potos Extemos do Coe Uma foma efcete de detema os potos extemos do coe é atavés das seções tasvesas do vótce que seão defdas a seção a segu. Quado ecotamos um poto ode esta seção tem áea zeo (seção ula) estamos em um extemo do coe. 97

103 Este ctéo emboa efcete a maoa dos casos ão é sufcete. Podemos obseva stuações em que o coe desevolve uma taetóa muto loga o que pode da ogem a compotametos duvdosos. Paa evta poblemas deste tpo em [Bas-Sge (995)] lmta-se o compmeto de aco total ao logo do coe ao dobo (o máxmo) da mao dmesão do domío do escoameto. Este ctéo (áea zeo ou compmeto de aco máxmo) tem mostado bos esultados computacoas. Flametos Coectado Vótces Exstem stuações em que é útl cotua o coe paa além dos extemos obtdos pelo método acma. Po exemplo supoha que um vótce possu uma egão com baxa tesdade de votcdade sepaado duas egões de alta tesdade. Neste caso o método de cotuação do coe pode atg o ctéo de paada o mometo em que é ecotada a egão de baxa votcdade o que va coduz a um esultado coeto uma vez que as tês egões fomam um úco vótce. Assm pode se teessate cotua o coe paa além de um extemo detemado pelo ctéo acma paa detfca um flameto que coecta egões de alta tesdade. A questão é quas ctéos usa paa decd se um tal flameto é ou ão pate da estutua de um vótce. Duate a cotuação paa além de um extemo o coe pode tecepta uma fotea do domío eta em um ovo vótce ou paa em um poto qualque pelo ctéo de compmeto máxmo. No pmeo e o teceo casos o segmeto do coe além do extemo deve se descatado uma vez que temos um flameto com seção ula e que ão coecta dos vótces. No segudo caso a decsão depedeá de algum ctéo efcete. A déa aqu é usa as coseqüêcas do alhameto do campo de votcdade uma vzhaça do coe. Veamos po exemplo a Fgua 5.9(a) abaxo. Nesta fgua o coe dexa o pmeo vótce o poto p e após passos (pedto + coeto) ecota outo vótce o poto p. Se o flameto pp fze pate do coe etão ao executamos o esquema pedto-coeto vezes o setdo veso (setdo oposto da votcdade) a pat de p o alhameto do campo mplcaá em etoamos a um poto p 3 póxmo de p. Assm a aplcação do método o setdo oposto é um bom método paa detecta se o campo de votcdade ao logo do flameto é sufcetemete teso paa que este sea matdo. Especfcamete matêm-se o flameto pp se: p p3 p p. 0 98

104 Na Fgua 5.9(b) temos uma stuação em que a aplcação do método o setdo oposto pede a cuva cal (cuva pp 4 5 ) camhado uma deção qualque deto do volume e paado um poto p 6. Uma vez que a dstâca ete os potos p 4 e p 6 é uma fação mao que 0% da dstâca ete p 4 e p 5 os potos p 4 e p 5 seão cosdeados potos temas de dos vótces dsttos e o flameto pp 4 5 é descatado. A fgua 5.9(c) mosta a stuação em que o pocesso de cotuação avaça em um outo vótce latealmete temado falmete um poto p 8 póxmo ao coe do mesmo. No caso epesetado o esultado após o mesmo úmeo de passos a deção oposta é um poto p 9 muto dstate de p 7 o que mosta que o flameto pp 7 8 deve se descatado também. Fgua 5.9 Execução do método o setdo oposto: (a) Obtem-se apoxmadamete o mesmo camho (b) o camho cal é peddo (c) a taetóa cal ete em outo vótce latealmete temado o poto P 8 póxmo ao segudo coe. O poto P 9 é o esultado da tegação o setdo oposto e mosta que o flameto P 7 P 8 deve se descatado. Detalhes da Implemetação paa os Potos Semete O pmeo detalhe a se cosdeado é o fato de váos potos semetes geaem coes muto semelhates. Este fato também é coseqüêca do alhameto do veto votcdade em uma vzhaça do coe. Paa evta cálculos edudates decoetes da utlzação de potos semetes que geam coes muto póxmas uma possbldade é estabelece uma vzhaça em too de cada poto semete e de cada poto do coe tal que qualque poto semete deto desta vzhaça sea descatado. O temo costate da epesetação em sée de Foue paa a seção tasvesal é tomado como o ao desta vzhaça. 99

105 Outa questão a se cosdeada são potos que fcaão foa desta vzhaça mas que geam coes falsas que se apoxmam do coe vedadeo à medda que vamos aplcado o pedto-coeto. Estes são casos típcos de potos que estão póxmos da boda do vótce (Fgua 5.30). Lembado que o esquema pedto/coeto covege paa o coe podemos esolve este poblema usado ovamete uma metodologa de tegação paa taz aáloga àquela utlzada a seção ateo. Assm se patmos de um suposto poto semete p 0 a fotea do vótce e aplcamos o esquema estaemos sempe camhado em deção ao coe e potato ao executamos a tegação paa taz pedeemos a taetóa cal atgdo o fal um poto dstate de p 0. A Fgua 5.30 auxla a compeesão deste fato. Fgua 5.30 Coes falsas geadas po potos a fotea do vótce. Detalhes dos Métodos Numécos Duate a execução do método seá ecessáo a detemação da pessão e votcdade em potos ão petecetes à malha ogal. Assm tem-se que def alguma estatéga de tepolação. Em [Bas-Sge (995)] usa-se tepolação polomal de Lagage de tecea odem em cada uma das deções coodeadas como uma metodologa paa elma veses. Póxmo à fotea do domío ode podemos ão dspo do úmeo de potos ecessáos usa-se tepolação lea. Este esquema de tepolação é teessate do poto de vsta uméco po se bem pecso mas é cao do poto de vsta computacoal. A tegação a etapa de pedção pode se efetuada pelo método de Ruge- Kutta de quata odem. Esta é uma possbldade que taz bos esultados mas que apeseta dfculdades paa a otmzação deste passo. Em vez dsso em [Bas- Sge (995)] o poto pedto é ecotado avaçado a meo dmesão da célula cotedo o poto p da Fgua 4.9(a) a deção do veto votcdade local. 00

106 Este pocedmeto assegua que potos sucessvos uca estaão mas de uma célula dstates um do outo e assm se a smulação uméca das equações do fludo fo executada com a devda esolução o coe também seá sufcetemete pecso. Este pocedmeto também eduz a possbldade de efetua váas tegações deto de uma mesma célula. Paa calcula o mímo local de pessão sobe um plao de cote usa-se o método de steepest-descet [Chapa-Caale (988)]. A meo dmesão da célula cotedo o poto p + é usada como escala local de compmeto a macha ao logo da deção do gadete. Não há ehuma gaata de que a fase de coeção sempe covegá paa o coe. Uma foma de esolve este poblema é lmta o âgulo o qual a votcdade pode muda duate o método de coeção. Assm mpõe-se que o cosseo do âgulo ete a votcdade o poto cogdo e aquela o poto pedto sea pelo meos 0.9. No caso deste âgulo ultapassa este lmte se descata a fase de coeção e se toma o poto pedto como o ovo poto do coe. Ecotado as Seções Tasvesas Uma vez detectado o coe o passo segute é obte a foma do vótce coespodete. A metodologa este passo cosste em detema seções tasvesas do vótce. Um bom poto de patda é aplca esta etapa a heuístca até aqu utlzada. Paa tal devemos estabelece lmaes locas de votcdade e pessão paa podemos copoa ao coe uma egão vzha que evolva a estutua pocuada o vótce popamete dto. Feto sto se faz uma vaedua adal a pat do poto p + em deções paalelas ao plao P da Fgua 5.9 até ecota-se um poto que vole o lma da votcdade ou da pessão pevamete estabelecdos. Aos potos extemos dos segmetos adas obtdos esta etapa seá austada uma cuva que epesetaá uma secção tasvesal da fotea do vótce em p +. A questão cetal agoa é que tpo de auste utlza. Ates de apeseta a solução utlzada devemos faze duas cosdeações. Pmeamete um vótce solado gealmete assume uma foma alogada que pode se localmete apoxmada po um cldo. No etato quado vótces teagem as seções tasvesas são defomadas e assm pecsamos de um tpo de auste que possa admt cuvas mas geas. Uma possbldade que tem apesetado bos esultados é uma sée de Foue tucada paa a dstâca adal a pat de p + : t) = a + a cos( t) + b se( t) + a cos(t) + b se(t)0 t ( 0 π. A efcêca desta epesetação é um fato otável emboa deva se tomada com cudado pos pode se depedete das caacteístcas do fludo e potato vaa de um couto de dados paa outo. 0

107 A teação ete dos vótces taz também a ecessdade de um ctéo paa def a qual vótce petece um poto da egão de teação. Uma possbldade este setdo é etoma a tepetação da votcdade como popocoal à velocdade agula dada po (.34). Po esta tepetação se a votcdade em um poto ecotado fze um âgulo mao que 90 gaus com o coe sto dcaá que o fludo esta posção adal ga em uma deção dfeete daquela defda pelo coe ão podedo faze pate do vótce em questão. Assm o poblema de decd a que vótce petece um poto é esolvdo lmtado-se o âgulo ete o veto votcdade o poto do coe e o veto votcdade em qualque posção adal. Ao calculamos as seções tasvesas em cada um dos potos p + teemos uma seqüêca de seções que seão coectadas po uma malha quadlateal paa em seguda efetua-se o edeg Técca Baseada em Extação de Caacteístcas Esta técca [Samtaey at al. (994)] vsa exta egões coeetes e amofas de campos escalaes ou vetoas b e tdmesoas. Potato é uma técca de aplcações mas geas que as desctas acma mas cua aplcação paa vsualzação de vótces em CFD tem apesetado bos esultados. É uma metodologa híbda esultado da combação de téccas poveetes de áeas como vsão computacoal pocessameto de magem computação gáfca e geometa computacoal. Se os campos em questão foem ão estacoáos etão podemos aplca essa metodologa paa cada state de tempo e etão acompaha a evolução tempoal das estutuas detectadas. Nesta apesetação vamos os ate ao caso de um úco campo escala (magtude da votcdade ou pessão). Veamos algus detalhes desta técca Extado Regões de Iteesse. Chamaemos obeto a uma estutua cosstdo de um couto de potos vzhos cuo campo escala assocado possu valoes acma (ou abaxo) de um ceto lma utamete com uma fotea assocada. Potato um vótce é um obeto o cotexto desta técca. Neste caso também o algotmo pate de um poto semete e de um lma de cote pevamete estabelecdo paa testa se os potos 3D vzhos petecem ou ão ao vótce pocuado. Desta foma se faz um cescmeto da egão pela clusão de potos que satsfazem o lma pevamete detemado. Quado é atgdo um poto abaxo do lma escolhdo este cescmeto é teompdo a deção coespodete. O couto de dados fca assm patcoado em obetos e bacgoud e o couto de potos que costtuem os obetos é amazeado em uma estutua de dados paa poteo mapulação( po exemplo em uma octee [Wlhelms- Gelde(99)]). 0

108 5.6. Atbutos dos Obetos Atbutos são útes paa quatfca e exta egões bem como paa tacg. Algus atbutos comumete utlzados estão defdos abaxo. Massa: Dado um campo escala ω e um couto Ω = { x ω( x) lma ω} etão defmos massa como sedo: Ω W = ω ( x) dω. Cetóde: x= ( x x... xd) tal que: Ω x = W ω ( x) x dω (5.7) ode =...d; com d sedo a dmesão do espaço em questão e x é a coodeada espacal. Máxmos: Uma egão extaída pode te váos máxmos locas. Estes podem se detectados usado-se um algotmo de cescmeto de egões[slve-zabusy (993)]. Volume: O úmeo de potos (ós da malha) cotdos uma egão. Mometos: De maea geal ós defmos o mometo de odem N = p+ p p d 0 p d de ω pela expessão: I p p ( x x ) ( x x )...( x x ) pd p ( ) p... p W ω x d d d d Ω = Ω ode x =.. d são as coodeadas do cetóde calculadas po (5.7). Os mometos mas comumete usados são o mometo de éca ( 0 p =... d) e os mometos de seguda odem ( 0 p =... d). Os mometos de éca e de seguda odem são boas apoxmações paa egões coespodetes a esfeas defomáves mas eles ão captuam coveetemete estutuas tpo tubo ou folhas. Mometos de odem mas alta podem ofeece uma melho apoxmação bem como uma medda de eo paa os mometos de seguda odem. Bodas: Os potos localzados as fotea das egões extaídas coespodem em geal a sosupefíces. 03

109 Esqueletos: São útes paa epeseta egões de foma compacta(o coe pode se pesado como um esqueleto do vótce) Tacg Tacg pode se efetuado a foma de um pé-pocessameto ou de um pós-pocessameto. No pmeo caso as egões extaídas de um couto de dados são usadas paa busca as egões o couto de dados segutes (ve [Vllaseo-Vcet (99)] paa um exemplo). No pós-pocessameto as egões são calmete extaídas de todo o couto de dados paa etão seem coelacoadas. No que segue os cocetaemos o pós-pocessameto. A suposção mas básca aqu é a de que o tevalo de tempo ete coutos de dados sucessvos ( Δt = t+ t) é pequeo. Esta suposção tem setdo uma vez que as smulações evolvedo votcdade e tubulêca é ecessáo uma dscetzação bastate fa do tempo paa se obte bos esultados Iteações Uma foma de caacteza a evolução tempoal dos obetos é atavés dos possíves feômeos aos quas os mesmos podem esta suetos. Em geal e patculamete o caso dos vótces temos as segutes possbldades paa a evolução dos obetos: Cotuação: Um obeto pesete o state t cotua pesete o state t + com possíves alteações de foma e posção o espaço. Paa detema se um dado obeto em um couto de dados cotua sedo um obeto o couto de dados subseqüete usamos o segute ctéo: O Obeto O B + (obeto B o state t=+) coespode ao obeto O A { O ovelap( O O ) > ovelap( O O ) O O com G B} B A B A G ode O N + dca um couto de N obetos extados o state t = +. + Além dsso mpõe-se que: ( ) G ovelap O A O B > Tove ode T ove é um lma paa o tamaho da teseção. Bfucação: Um obeto se sepaa em duas ou mas subestutuas. Usa-se a segute defção: Defção: + Se um gupo de N> obetos O N adcoados são equvaletes ao obeto O A etão o obeto O A N se: + bfucou-se o couto de obetos O N o state +. 04

110 N Coespodetemete tem-se o segute ctéo: O obeto O A + ( ) ( A ) atbuto O atbuto O < T = bfucou-se o couto O N + se: atbuto ode T atbuto é o lma escolhdo paa o atbuto. Amalgamação: Dos ou mas obetos se fudem em um úco. É exatamete o veso do pocesso acma. Cação: Novos obetos apaecem o state t = +. Este pocesso ocoe quado um obeto ão pode se coelacoado com qualque obeto o state ateo. Defção: Se um obeto O + A ão é uma cotuação de algum obeto o state t e ão fo classfcado como sedo uma amalgamação ou pate de uma bfucação etão O + A é um ovo obeto. Dsspação: Um obeto sofe dsspação quado ão exste um obeto o state segute que pode se coelacoado de alguma foma com ele. Defção: O A Se um obeto O A sofeu dsspação. ão sofeu bfucação amalgamação ou cotuação etão A Fgua 5.3 exemplfca estes feômeos e seá etomada a segu. 05

111 Fgua 5.3 Possbldades paa a evolução tempoal de uma estutua: cotuação bfucação amalgamação dsspação e cação Vsualzação e Tacg O método poposto em [Samtaey at al. (994)] pode se esumdo os segutes passos. Exta os obetos (vótces) de cada couto de dados umea cada obeto e ca uma lsta de atbutos Paa cada obeto (cetóde) o couto de dados ecota os obetos (cetódes) vzhos o couto de dados + e efetua o teste (4.3) paa detecta cotuação. Se um matchg é ecotado maca os obetos coespodetes e emovê-los da lsta. Após a emoção de todos os obetos que sofem cotuação devemos testa combações de dos ou mas obetos os state t e t + paa detecta amalgamações e bfucações. Os obetos os states t + e t que ão foam etadas da lsta os passos e 3 coespodeão a cações e dsspações. Uma vez que o úmeo de compaações seá de odem expoecal devemos toma cetos cudados paa lmta o úmeo de testes. No caso dos vótces deve-se 06

112 obseva que as teações ete vótces só podem ocoe ete vzhos e potato as dstâcas ete os cetódes devem se tomadas como um paâmeto paa evta compaações desecessáas. O esultado do algotmo esumdo os passos -4 acma pode se epesetado em um gafo decoado e acíclco (DAG). A Fgua 5.3 mosta este gafo paa a evolução das egões a Fgua 5.3 acma. Fgua 5.3 Gafo acíclco deto da evolução dos obetos epesetados a Fgua 5.3. A pat do DAG e dos atbutos coespodetes a cada obeto (sosupefíce po exemplo) pode-se escolhe uma egão específca e acompaha sua evolução o tempo. 07

113 Capítulo 6 Amação Computacoal de Fludos 6.. Itodução Amação computacoal é uma subáea da computação gáfca que evolve téccas de edeg modelagem geométca e modelagem de sstemas físcos. Idepedete da aplcação em foco o obetvo fal esta áea é epoduz a dâmca dos obetos de uma cea com o ealsmo ecessáo [Kelow (996)] [Taylo (996)] [Watt (99)]. No caso específco da amação de fludos o ppele completo evolve: Modelagem geométca da cea O modelo matemátco dos fludos em questão A smulação computacoal deste modelo Redeg. As téccas de modelagem geométca podem evolve modelos polgoas da fotea do domío po ode o fludo á escoa (paedes obetos ígdos etc) supefíces paamétcas e textuas paa a epesetação da supefíce vsível do fludo e malhas egulaes ou egulaes paa dscetzação do domío e solução uméca das equações. O modelo matemátco é gealmete dado pelas equações de Nave-Stoes apesetadas o Capítulo. A smulação computacoal pode se feta po uma das téccas desctas o Capítulo 4. Os campos geados estas smulações deveão ecebe um tatameto gáfco va métodos de vsualzação cetífca e computação gáfca desctos o Capítulo 5. O texto abaxo ão tem po obetvo faze uma evsão exaustva dos tabalhos em amação computacoal de fludos. Como á apotado o Capítulo os métodos ecotados a lteatua paa amação de fludos va modelos de DFC são fudametados as equações de Nave-Stoes com téccas de dscetzação baseadas em dfeeça ftas mplíctas [Stam (999)] e explctas [Foste-Metaxas (997)] bem como em métodos Lagageaos tas como Método das Caacteístcas [Stam (999)] Smoothed Patcle Hdodyamcs (SPH) [Lu at al. (003)] [Mülle at al. (003)] e Movg-Patcle Sem-Implct (MPS) [Pemoze at al. (003)]. Dete estes tabalhos cosdeamos que as duas lhas pcpas são aquelas que utlzam métodos de dfeeças ftas e aquelas baseadas o SPH (seção 4.6). Esta obsevação fudameta-se a geealdade destas téccas uma vez que a base atemátca e físca evolvdas pemtem ao meos potecalmete a smulação de qualque cea evolvedo fludos com o ealsmo satsfatóo. 08

114 A pat deste poto de vsta descevemos calmete o tabalho de Foste e Metaxas um maco esta lha de pesqusa [Foste-Metaxas (997)]. Este tabalho pode se cosdeado o pecuso daquele descto a seção 6.3 devdo a Jos Stam [Stam (999)] o qual popõe uma solução paa o custo computacoal elevado do método de Foste e Metaxas paa malhas com alta esolução e/ou velocdades altas. Em seguda descevemos o tabalho de Patc Wttg [Wttg (999)] o qual cosdea um modelo matemátco paa fludos (gases) bem mas completo que os dos ateoes. Neste caso o fludo (gás) é compessível e o modelo matemátco evolve também equações temodâmcas. Este método usa dfeeças ftas o espaço e Ruge-Kutta paa teação o tempo (ve capítulo 4). Falmete apesetamos o tabalho [Mülle at al. (003)] ode as equações de Nave-Stoes são esolvdas va SPH. Uma vatagem deste método com elação aos ateoes é sua depedêca de malhas pevamete defdas o que á dscutmos a seção 4.6 ode apesetamos as pcpas caacteístcas desta técca. Na fase de edeg os tabalhos desctos a segu fazem uso volume edeg [Foste-Metaxas (997) Wttg (999)] LIC [Wttg (999)] e splattg e machg-cubes [Mülle at al. (003)]. Estes métodos de vsualzação foam desctos o capítulo ateo. 6.. Amação va Modelo paa Gases Aquecdos Em [Foste-Metaxas (997)] ecotamos um modelo em DFC voltado à amação de gases aquecdos e tubuletos. Neste tabalho tatamos os gases como fludos compessíves o que é uma smplfcação dástca destes sstemas físcos se pesada do poto de vsta de aplcações as cêcas ou egehaas. Como á essaltado ateomete sto faz setdo poque o obetvo fal este caso é a cação de um efeto vsual e ão a descção de um feômeo físco. Assm o gau de sofstcação de um modelo depede apeas do tpo de efeto vsual que se desea ca. Tas smplfcações têm também um outo aspecto. Os modelos em amação computacoal devem capazes de gea mages em tempo eal pos o obetvo fal de uma pesqusa esta áea é dspoblza ovos aplcatvos gáfcos paa os amadoes poetaem suas ceas. O custo computacoal dos algotmos desevolvdos é um fato fudametal. Algotmos que demadam platafomas computacoas ão-covecoas mplcam em aplcatvos de uso muto estto. Assm exste um compomsso ete ealsmo e custo computacoal. A busca de soluções ótmas ou sea algotmos que ofeeçam o ealsmo ecessáo com custo computacoal acetável é um gade desafo do estado da ate da amação de fludos. A pat destas cosdeações Foste e Metaxas popuseam em [Foste- Metaxas (997)] o segute modelo paa a evolução da velocdade u de um gás aquecdo: 09

115 u = ν ( u) ( u ) u p + f T (6.) t ρ ode p é o campo de pessão o teo do fludo e os opeadoes e ( ) epesetam os opeadoes gadete e dvegete espectvamete como á defdos ateomete (ve Apêdce A). A gadeza ρ desdade do fludo é tomada como costate ( ρ = ). O campo vetoal f T é um campo de foças decoete da vaação da tempeatua (T) o teo do fludo a qual é modelado pela segute equação dfeecal: T = λ ( T ) ( Tu) (6.) t ode λ é um coefcete de dfusão. Esta expessão é um caso patcula da Le de Cosevação dada pela equação (.8) quado f e = 0 q H = 0 E = T e o efeto das foças de atto teas foem despezíves paa a vaação da tempeatua ou sea ( σ v ) pude se descosdeado a equação de cosevação da eega. A foça f T é dada po: ft = β g v ( T 0 T ) (6.3) ode g v é o campo gavtacoal (vetcal) β é o coefcete de expasão témca e T é a tempeatua cal de efeêca. 0 u = 0 Deve-se acesceta a estas equações a codção de compessbldade: (6.4) uma vez que supõe-se fludos compessíves este modelo. Veamos algus detalhes do método poposto em [Foste-Metaxas (997)] paa amação de fludos va as equações (6.)-(6.4). 6.. Modelagem do Ambete (Cea) Em [Foste-Metaxas (997)] tato a fotea dos obetos (ígdos) que compõe a cea quato o domío de escoameto do fludo são modelados va voxels. Assm faz-se uma decomposção egula de todo o ambete da cea usado uma malha egula (seção 4.) cotedo voxels teoes aos obetos e voxels teoes ao domío de escoameto do fludo. Voxels que possuíem faces teoes e faces exteoes ao domío de escoameto seão deomados voxels de fotea. 0

116 Fgua 6. - (metaxas-fg.bmp) Os campos escalaes e vetoas de teesse seão cohecdos os ós da malha ( ) da malha. Se ecesstamos de valoes destes campos em qualque outo poto do domío de escoameto etão algum tpo de tepolação deveá se usada. 6.. Dscetzação das Equações Os esquemas de dfeeças ftas utlzados são desctos a segu. Segudo a otação usada o Capítulo dada uma gadeza físca a tempeatua T po exemplo dcaemos po T o valo da tempeatua o ó ( ) da malha o state Δt da smulação (estaemos supodo o state cal t 0 = 0 ). Em [Foste- Metaxas (997)] são utlzados os segutes esquemas paa apoxma as devadas pacas de pmea e seguda odem que apaecem as equações (6.)-(6.4): T T ( t + Δt x y z) T ( t x y z) = (6.5) t Δt T T ( x + h y z) T ( x h y z) = (6.6) x h ( x + h y z) T ( x y z) + T ( x h y z) T T = (6.7) x h Estas expessões coespodem à pmea tecea e otava lhas da Tabela 4. seção 4.3. Usado a otação acma teemos: (( + ) Δt ) ( + ) Δt Δt T T T =. (6.8) t Δt com equações aálogas paa as devadas espacas. Desta foma a equação pode se dscetzada a foma:

117 T + = T Δt h [( Tu) ( Tu) + ( Tv) ( Tv) λ ( Tw) / ( Tu) + / ] + [( T ) + T + T h ( T T + T ) + ( T T + T )]} ( 6.9) + / + + / / + / + ode o temo ( ) Tu + / é dado po: ( Tu ) + / = u+ / ( T + T + ) ( 6.0) e a velocdade u + / é obtda va tepolação Cosevação da Massa Pela Tabela 4. vemos que as expessões (6.6)-(6.7) acma evolvem um eo de odem O ( h ). Este eo mplca que a solução uméca pode ão peseva a cosevação da massa a qual é expessa po: v = 0 ( 6.) estado mplícta a equação (6.) de acodo com a exposção da seção.. Assm é pecso utlza um esquema de coeção paa gaat esta codção. Pmeamete usa-se dfeeças ftas cetas paa apoxma a equação (6.): 3 3 ( v ) = ( v+ / v / + v + / v / + v + / v / ) ( 6.) h ( ) v ode é o valo de v a posção ( ) ( 3 ) e v v v epesetam as compoetes do veto velocdade. A cosevação da massa mplca que o campo defdo pela expessão (6.) sea ulo em todo o domío ou sea pecsamos esolve uma equação de Laplace em 3D. Cotudo podemos usa a teoa desevolvda a seção.8 (Decomposção de Helmhotz) paa esolve este poblema. Paa sto sea etão a equação (.77) dada po: v v = Δφ x φ v + x y 3 φ v + y z φ = 0. z ( 6.3) Desta equação fca clao que uma foma de satsfazemos a codção (6.) em todo o domío seá cog a velocdade v segudo as expessões:

118 3 ( ) ( ) ( ) z v v y v v x v v ew ew ew = = = φ φ φ pos podemos vefca que 0 = ew v. Assm temos que ecota um potecal φ que satsfaça a equação (6.3) e em seguda usa as expessões (6.4)-(6.6) paa obte o campo de velocdades cogdo. O campo φ deseado pode se calculado po um esquema teatvo obtdo como segue. Po (6.3) estamos pocuado um campo φ que satsfaça a expessão: ( ) h v φ φ φ φ φ φ φ ode ( ) v é dado pela equação (6.) e usamos uma expessão aáloga a (6.7) paa apoxma o Laplacao de φ va dfeeças ftas cetas. Multplcado ambos os membos desta expessão po 3 / h e adcoado φ obtemos a expessão: ( ) ( ). 3 3 v h φ φ φ φ φ φ φ φ Assm se utlzamos o esquema teatvo a segu: ( ) ( ) ( ) v h φ φ φ φ φ φ φ φ = o qual seá teompdo quado φ φ + fo sufcetemete pequeo teemos um campo φ com as caacteístcas deseadas. Falmete as segutes vesões dscetas paa as expessões (6.4)-(6.6) foecem a velocdade fal: ( ) ( ) ( ) h v v h v v h v v φ φ φ φ φ φ + + +

119 6..4 Establdade Numéca O esquema uméco apesetado a seção ateo tem a vatagem de se faclmete mplemetável mas possuem a desvatagem de seem umecamete stáves paa gades passos de tempo. A ogem desta lmtação está o temo ão-lea de advecção (ou covecção) dado pela expessão ( u )u. Se este temo fo tatado umecamete va dfeeças ftas como poposto po Foste e Metaxas obtém-se um método estável apeas paa passos de tempo sufcetemete pequeos. Pode-se mosta que o tevalo de tempo Δ t deve satsfaze: Δ t < h u (6.) ode h é a esolução da malha usada a dscetzação. Potato paa malhas com alta esolução e/ou velocdades altas o passo o tempo deve se muto pequeo o que aumeta o custo computacoal do algotmo. Além desta codção a aálse lea paa as equações de Nave-Stoes do poblema mosta que a segute codção também deve se satsfeta: ν < Δt max 3 ( v ) ( v ) ( v ) ) (6.) paa que a establdade uméca sea matda. Esta codção lmta o valo da vscosdade cemátca do fludo Codções de Cotoo e Icas O compotameto do gás as paedes dos obetos sóldos da cea deve se defdo a po paa que as equações de dfeeças ftas possam se avaladas os potos póxmos à fotea do domío de escoameto do fludo. Po exemplo a paede de um adado de calo teíamos a compoete omal da velocdade ula pos ão exste fluxo esta deção. Quato à compoete tagecal v T podemos te codções tpo o-slp ou sea v T = 0 ou codções tpo slp quado o fludo tem lbedade paa escoega a deção tagete à fotea do domío. A tempeatua flu lvemete do adado paa o gás assm a tempeatua cal das células da fotea seá a mesma tempeatua T da paede do adado. Em [Foste-Metaxas (997)] de maea geal a velocdade a supefíce de obetos ígdos é do tpo o-slp e potato v = 0 as células da fotea. A tempeatua a fotea é a tempeatua ambete. A pessão as foteas é dada pela pessão extea ao domío. Devemos também def codções cas paa os campos de velocdade e tempeatua uma vez que as equações (6.)-(6.) evolvem devadas de pmea odem paa estes campos. Estas codções são detemadas em fução do efeto que se desea obte. Não há uma maea sstemátca paa obte tas codções fcado este poto depedete da expeêca do usuáo. 4

120 6..6 Redeg Uma vez detemados os campos de velocdade e tempeatua passamos à fase de edeg cuo esultado seá a seqüêca de ceas ou a amação popamete dta. Em [Foste-Metaxas (997)] a etapa de edeg é baseado o taçado de patículas descto pela equação 3.3 (ve seção 4.3. também). A desdade de patículas utlzada ou sea úmeo de patículas po udade de volume pode depede da velocdade ou tempeatua do fludo ou de ctéos subetvos do usuáo. O mesmo pode se dto com espeto à desdade de cada patícula dvdualmete. Assm uma vez defda a dstbução de patículas o state t a ova dstbução o state t + Δt seá dada po uma expessão do tpo: t +Δt ode = t v + δt t ( 6.3) t é a posção da patícula o state t Δt é o passo o tempo utlzado e t v é a velocdade do fludo a posção ocupada pela patícula o state t. Falmete a dstbução de patículas em cada state é poetada va volume edeg paa a geação da magem coespodete Algotmo paa Amação de Gases O algotmo descto em [Foste-Metaxas (997)] pode se dvddo em tes etapas. Na pmea devem se defdos dos paâmetos físcos de vscosdade expasão témca e dfusão molecula codções cas e de cotoo assm como como paâmetos umécos. Na seguda etapa obtemos a solução uméca das equações de fludos (6.)-(6.). Falmete a últma etapa executa-se o edeg va taçado de patículas e volume edeg. Mas detalhadamete temos o segute: Pmea Etapa: a) Geação da malha egula segudo o valo de h b) Def codções de cotoo paa velocdade tempeatua e pessão c) Def codções cas paa velocdade e tempeatua d) Def os paâmetos ν β e λ de acodo com o efeto deseado. Segudo [Foste-Metaxas (997)] valoes da odem de /0 h foecem fluxos pouco tubuletos equato que paa valoes meoes da odem de /00 h ou meos a tubulêca é um efeto pedomate. e) Usa Δ t como sedo o meo valo ete aqueles obtdos pelas expessões (6.)-(6.) Seguda Etapa: 5

121 a) Usa as equações de dfeeças ftas (6.5)-(6.7) paa obte a evolução tempoal dos campos de teesse ou sea obte a velocdade e tempeatua o state t + Δt a pat destes campos o state t. b) Aplca as expessões (6.8)-(6.0) paa cog o campo de velocdade obtdo o tem ateo c) Volta ao passo (a) desta etapa. Tecea Etapa: a) Def uma dstbução cal de patículas b) Evolu esta dstbução de acodo com a equação (6.3) c) Paa cada state de tempo t usa volume edeg paa gea a magem coespodete 6..8 Resultados A magem mostada a Fgua 6. demosta a teação de gas aquecdo com obetos sóldos. A vesão dsceta deste ceáo é mostada a Fgua 6.. O gás é focado paa deto do ambete mpodo codções de cotoo paa a tempeatua e velocdade coespodetes a uma válvula de pessão. A velocdade cal do fludo a válvula é 0.3 m / s e a tempeatua do mesmo é 80 o C. Estas codções são cosstetes com aquelas de um gás sedo vetlado a pat de um bole. O esultado é a eeção de fludo o teo da cea. Neste caso obseva-se tubulêca apeas a extemdade da válvula paa velocdades mas altas do fludo. O mesmo ambete fo usado paa ama a teação ete gases emtdos a pat de tês válvulas sepaadas. A Fgua 6.3 mosta tês fames paa esta amação. As otações causadas pelo esfameto e mstua dos gazes podem se obsevadas esta seqüêca. Em ambos expemetos patículas de pova foam toduzdas à taxa de 000 / s e as magem mostadas são o esultado do volume edeg a pat desta dstbução de patículas. Fgua

122 Fgua Fludos Estáves Jos Stam popõe como solução paa o custo computacoal do método de Foste e Metaxas a utlzação de métodos Lagageaos e esquemas mplíctos paa solução uméca das equações de Nave-Stoes [Stam (999)]. O modelo matemátco paa as equações de fludos cosdeado po Jos Stam é composto pelas equações (6.) e (6.) acma. Cotudo usa-se a Decomposção de Helmhotz-Hodge apesetada a seção.8 segudo a qual um campo vetoal w dfeecável pode se decomposto a foma: w = u + q (6.4) ode u possu dvegete ulo ( u = 0 ) e q é um campo escala. Aplcado o opeado dvegete em ambos os membos da equação ateo obteemos: w = q (6.5) ode usamos o fato de u possu dvegete ulo. Obtemos assm uma equação de Posso paa o campo escala q. A solução desta equação pemte def um opeado de poeção dado po: u = Pw = w q (6.6) Sea etão a equação de Nave-Stoes paa o campo w : w = ν ( w) ( w ) w p + f T (6.7) t ρ Aplcado este opeado a ambos os membos desta equação supodo desdade ρ = obtemos: u = P( ν ( u) ( u ) u + f T ) (6.8) t ode usamos as expessões: 7

123 w P = t t ( p) = 0. ( 6.30) P. u t ( Pw) = ( 6.9) Pela equação (6.8) vemos que a cotbução da pessão é ula paa o cálculo da compoete u da expessão (6.4) a qual satsfaz a codção de compessbldade: u = 0. ( 6.3) Desta foma a solução da equação (6.8) é aquela deseada. O método apesetado paa a tegação desta equação é a pcpal cotbução do tabalho de Stam. Bascamete esolve-se a equação (6.7) sem cosdea a cotbução do temo evolvedo a pessão paa em seguda obte a compoete u va as equações (6.5)-(6.6). Veamos algus detalhes do mesmo Esquema Numéco No esquema uméco poposto sea w ( x t) a solução da equação (6.7) paa um state t e sea Δt o passo de tempo cosdeado. Paa obte w( x t + Δt) esolve-se umecamete a equação (6.7) paa o tevalo Δ t em quato passos. Tomado-se w 0 ( x) como codção cal desta equação esolve-se pmeamete a pacela coespodete à foça extea: w = w + Δtf (6.3) 0 T Em seguda tata-se do temo de advecção (ou covecção) defdo pela expessão ( u )u fote pcpal de stabldade uméca segudo a dscussão da seção (6..3). Em [Stam (999)] este temo é tatado umecamete va o Método das Caacteístcas bem cohecdo o cotexto de equações dfeecas pacas. Assm obtém-se um esquema uméco mas estável mesmo paa passos de tempo que ão satsfazem a estção dada pela expessão (6.). Isto dmu o custo computacoal dos algotmos em questão sem taze peuísos paa a geação de efetos vsuas sedo potato uma cotbução mpotate do poto de vsta da computação gáfca [Stam (999)]. O Método das Caacteístcas cosste a segute fomulação. Sea a equação de covecção: ( x t) a t a = v ( x0) = a 0 ( x) ( x) a( x t) (6.33) ode a ( x t) é um campo escala e ( x) v é um campo vetoal estacoáo. Sea c a solução do segute poblema de valo cal: 8

124 ( x t) dc 0 dt c 0 ( x 0) = v = x 0 ( x). ; (6.34) A cuva c ( x t) campo vetoal ( x) a ( x t) a( c( x0 t) t) 0 solução do poblema acma é deomada a caacteístca do v passado pelo poto x 0 em t = 0. Sea agoa 0 = o valo do campo escala ao logo da caacteístca cosdeada. Aplcado a ega da cadea vefca-se detamete que: da dt ( x t) a = + v t t ( x) a( x ) = 0. (6.35) Potato o valo do campo escala ( x t) coete. Em patcula a ( x t) a( x ) = a ( x ) a ão vaa ao logo de uma lha de 0 = Este é o pcípo básco do Método das Caacteístcas. Este método é usado em [Stam (999)] paa esolve a equação de advecção. 3 Cosdeemos um tevalo de tempo geéco [ t0 t0 + Δt] e w ( x t) = ( w w w ) v = w x e ode w ( x) são as compoetes do veto velocdade. Substtudo ( t 0 ) a ( x) w ( x ) o poblema (6.33) obtemos: 0 t0 w τ w ( x τ ) = w ( x0) = a ( x) 0 ( x) w ( x τ ) (6.36) ode τ = t t0 é uma vaável auxla. Sea agoa c ( x 0 τ ) a caacteístca coespodete solução do poblema (6.34). Etão fazedo τ = Δt teemos: ( c( x Δ t) Δt) = w ( c( x 0)0) w ( 0). ( 6.36) w = 0 0 x0 O póxmo passo é esolve o temo coespodete à vscosdade o que é equvalete a esolve a segute equação de dfusão: w t ( x t) = ν w ( x t) = 0 (6.37) O método mas deto paa esolve umecamete esta equação é atavés de esquemas explíctos de dfeeças ftas. Cotudo estes métodos são stáves paa valoes altos de ν. Assm em [Stam (999)] optou-se po um método uméco mplícto dado po: I ν Δt w x = w x (6.38 ( ) ( ) ( ) ) 3 ode I é o opeado detdade. 9

125 Este esquema coduz a matzes espasas podedo se esolvdo computacoalmete de maea efcete. w 4 w Falmete o últmo passo va foece a poeção. O esultado é o campo obtdo pela expessão: = w (6.39) ( x) 4 3 q ode q é solução da equação: w = q (6.40) Codções de Cotoo Peódcas Quado usamos codções de cotoo peódcas o método apesetado acma assume uma foma muto elegate baseada a tasfomada (ápda) de Foue (FFT). Sea etão a FFT com elação às vaáves espacas da velocdade v ( x t) deotada po v ˆ( t) ode é o veto das vaáves lves o domío de Foue tedo a mesma dmesão de x e deomado úmeo de oda. Lembado a popedade: f F = () F( f ) (6.4) x ode = e F é a tasfomada de Foue de f. Fca clao que o domío de Foue os opeadoes de dfusão e poeção tomam a foma [Stam (999)]: I ν Δt Pw Pw ˆ ˆ ode =. I + νδt (6.4) ( ) = wˆ ( ) ( wˆ ( ) (6.4) Obsevado a expessão (6.4) vemos que o domío de Foue o opeado de P poeta um veto o veto wˆ ( ) sobe o plao omal ao úmeo de oda. Potato a tasfomada de Foue de um campo com dvegete ulo é sempe otogoal ao úmeo de oda. Po outo lado a expessão (6.4) mosta que a dfusão pode se tepetada como um flto passa-baxa cua lagua é popocoal ao tevalo de tempo Δ t e à vscosdade ν. Desta foma a solução o domío de Foue pode se obtda como segue: Foça Extea : w = w 0 + ΔtfT (6.43) Advecção : w ( x) = w ( c( x Δt) ) (6.44) Tasfomada wˆ = F w (6.45 ( ) ( ) : x ( ) ) 0

126 wˆ Dfusão : wˆ 3 + νδt P oeção : Pw ˆ ˆ ( ) ˆ 3 = w4 ( ) (6.47) Ivesa F wˆ = w x (6.48 ( x) = (6.46) ( ( ) ( ) ) : 4 4 Este método é de fácl mplemetação mas tem a desvatagem de te custo O N log N ode N é o úmeo de ós da malha utlzada. computacoal ( ) Advecção e Dfusão de Substâcas Um ecuso teessate paa cação de efetos vsuas a pat do campo de velocdades obtdo é smula a dspesão de substâcas ão-eatvas o teo do fludo. Isto sgfca que a substâca sofeá advecção e dfusão. A equação geal este caso segue a le de cosevação paa campos escalaes apesetada a seção.. equação (.8) e tem a foma: S = v S + ν S ΔS α S S + QS (6.49) t ode S é a cocetação da substâca v a velocdade do fludo Q S epeseta o temo fote e ν S α S deotam os coefcetes de dfusão e dsspação espectvamete. Compaado esta equação com equações de Nave-Stoes dadas pela expessão (6.7) obsevamos que do poto de vsta matemátco o temo de dsspação é o úco temo ovo. Este temo pode se esolvdo umecamete pela segute expessão: ( + Δtα S ) S( x t + Δt) = S( x t) ( 6.50) a qual epeseta a solução uméca (mplícta) po dfeeças ftas da equação: S = α S S. t ( 6.5) Os demas temos podem se esolvdos umecamete usado a mesma metodologa apesetada a seção (6.3.) Redezação e Resultados O método descto acma fo mplemetado e adcoado a um sstema gáfco que pemte a teação do usuáo com o fludo em tempo-eal. Em [Stam (999)] são foecdos detalhes deste sstema. A vsualzação do movmeto do fludo é feta pela adção de substâcas ou textuas as quas sofeão advecção dfusão e dsspação de acodo com a equação (6.49). Em seguda usa-se volume edeg paa a fase de edeg. Efetos de sombeameto podem se obtdos adcoadose uma fote de luz decoal em algum poto da cea.

127 A Fgua 6.4(a) mosta uma seqüêca D obtda com a utlzação de textuas. As Fguas 6.4 (b)-(g) mostam fames obtdos va fludos 3D. Nestes casos utlzaam-se substâcas ão-eatvas volume edeg e efetos de sombeameto. Foam utlzadas malhas com esoluções ete e 30 a platafoma gáfca SGI Octae com pocessado R0K e 9 Mbytes de RAM.

128 Fgua 6.4-3

129 6.4. Fludos Compessíves Nos dos modelos desctos acma os fludos são cosdeados compessíves. Em [Wttg (999)] Patc Wttg cosdea um modelo matemátco paa fludos (gases) bem mas completo que os ateoes. Este método fo usado paa gea algus efetos vsuas do flme The Pce of Egypt. Pmeamete em [Wttg (999)] os gases são modelados como compessíves e a desdade do fludo ão é suposta costate. Assm como em [Stam (999)] descto acma advecção e / ou dfusão de campos escalaes atfcas pode se utlzada paa ca efetos vsuas. O modelo paa fludos utlzado é uma vesão smplfcada daquele ecotado em [Klemp (978)] usado paa smulação de feômeos atmosfécos. Neste modelo em luga da pessão (p) e tempeatua usuas (T) são utlzadas a pessão admesoal e a tempeatua potecal defdas espectvamete po: Π = p p 0 R c p (6.5) θ = T p p 0 R c p (6.53) Em meteoologa usa-se tempeatua potecal dada pela expessão (6.53) em luga da tempeatua usual como uma medda da establdade estátca do fludo uma vez que as gadezas usuas ão são cosevadas a atmosfea [Klemp (978)]. As gadezas p e T estão elacoadas pela equação do gás deal: p = ρrt (6.54) Falmete supodo u = ( u u u ) mesmo são dadas po: 3 a velocdade do fludo as equações do 4

130 5 ( ) ( ) ( ) ) (6.55. ) (6.55 ) (6.55 ) (6.55 ) ( e f t d u z u y u x c c t c f g u z c x u u x u u x u u t u b f u y c x u u x u u x u u t u a f u x c x u u x u u x u u t u p p p p θ θ ν θ ρθ ρθ ρθ ρθ π θ θ θ ν π θ ν π θ ν π θ + = + + = = + + = + + = ode a quatdade π é uma petubação da pessão admesoal ou sea: (6.56) Π + π = Π ode: (6.57). c p θ g z = Π Nestas equações g é a aceleação da gavdade θ f f f f 3 são compoetes de foças ν e 0 ν são coefcetes de dfusão p c é o calo específco a pessão costate c é a velocdade do som e θ uma tempeatua de efeêca. Adcoalmete a estas equações podem se utlzadas equações descevedo a advecção e / ou dfusão de um campo escala S sob a ação do fluxo de acodo com o modelo dado pela expessão (6.50). Em patcula pode-se utlza um campo de textuas cal o qual seá dfuddo pelo fludo o que seá exploado a seção Feômeos Icopoados As equações (6.55a)-(6.55e) pemtem a smulação de efetos que ão podem se obtdos pelos modelos ateoes. Esta geealdade do modelo decoe das segutes caacteístcas: Compessbldade: Este é o aspecto mas mpotate deste modelo se compaado com os aqueles desctos as seções ateoes. Além da possbldade de smula efetos que depedem da atueza compessível do fludo ada há vatages computacoas. Segudo Wttg [Wttg (999)] as equações coespodetes podem se esolvdas mas apdamete uma vez que ão é pecso esolve a equação de Poso (6.3) este caso. Assm ão exste o custo computacoal exta decoete do esquema teatvo dado pela expessão (6.7). Cosevação da Massa:

131 A equação (6.55d) que expessa a cosevação da massa fo adcoada explctamete. Isto é ecessáo uma vez que a codção de compessbldade dada pela expessão ( v = 0 ) ão é satsfeta e a desdade pode se vaável o tempo e o espaço. Desdade Vaável: Uma vez que o modelo em questão pemte desdade vaável aumetamos o especto de efetos que podem se geados Solução Numéca Em [Wttg (999)] usa-se método de Ruge-Kutta de Quata odem dado pela equação (4.0)-(4.) paa tegação o tempo e dfeeças ftas de quata odem paa dscetzação das devadas espacas. A malha utlzada é egula com células cúbcas. Assm o sstema de equações (6.55a)-(6.55e) é escto a foma: dψ = F dt Ψ ( t ) = 0 Ψ 0 ( Ψ) ( 6.57) ode = ( u u u π θ ) T Ψ e d / dt epeseta a devada mateal dada po: 3 dψ Ψ Ψ = + u + u dt t x Ψ + u3 y Ψ z ( 6.58) e Ψ0 é uma codção cal coveete cohecda os ós da malha egula. A pat de etão a evolução tempoal dos campos (compoetes de Ψ ) seá obtda va o esquema uméco descto acma aplcado ao sstema (6.57). Emboa sea possível utlza esquemas umécos com pecsão meo em [Wttg (999)] optou-se pela pecsão de quata odem pos o custo computacoal ão se mostou esttvo e além dsso com esta pecsão pode-se utlza malhas com meo esolução. A codção de establdade este caso é dada po: h Δ t < c m ( 6.58) ode h é a esolução da malha a dmesão do espaço m e c são fatoes elacoados com popedades umécas [Wttg (999)] Resultados A Fgua 6.5 mosta um esultado obtdo com esta técca. Neste exemplo a lumâca da magem foecda pelo usuáo (topo) é tepetada como sedo a dstbução cal de tempeatua do sstema. O fludo o teo das letas é mas fo e deso que o fludo o exteo. Com o avaço do tempo os fludos se 6

132 mstuam. A vsualzação deste pocesso obtda pela costução de um mapa de coes paa cada state de smulação poduz o efeto vsual obsevado. Fgua 6.5. Dstbução de Tempeatua após 0 00 e 400 states de smulação A Fgua 6.6 mosta outo exemplo este caso fo exploado a evolução do mapa cal de textuas epesetado a pasagem da Fgua 6.6(a). Este mapa é dado como codção cal paa uma equação do tpo (6.49) com temo fote e coefcete de dsspação ulos. Resolveu-se assm um poblema do tpo: S = v S + ν S ΔS (6.59) t S( 0) = S0 ode R 0 : R v = u u u velocdades obtdo pela solução das equações (6.55a)-(6.55d). S é a magem da Fgua 6.6 e ( ) 3 é o campo de 7

133 O esultado paa t = 400 states de smulação é a apesetado a Fgua 6-6(b). (a) 6.5. Amação va SPH (b) Fgua Em [Mülle at al. (003)] é poposto um método paa amação de fludos baseado a técca de SPH. Segudo a metodologa apesetada a seção 4.6 seão utlzadas expessões do tpo (4.38) e (4.40) paa calcula as foças de pessão e vscosdade. Paa pemt teatvdade (tempo-eal) são utlzados úcleos de suavzação específcos que pocuam mate o ealsmo ecessáo sem compomete a custo computacoal. O compotameto do fludo é descto pela equação de cotudade desevolvda a seção..3 com Q V = Q S = 0 e po uma vesão smplfcada da equação de Nave-Stoes dadas espectvamete po: ρ + ( ρv) = 0 t ( 6.60) 8

134 dv v ρ = ρ + v v = p + ρg. + Δv dt t ode g é um campo de foças exteo. ( 6.6) A utlzação de patículas em luga de uma malha estacoáa paa esolve umecamete estas equações smplfca o poblema. Pmeamete matedo o úmeo de patículas costate duate a smulação e supodo todas as patículas com a mesma massa temos como coseqüêca a cosevação da massa e potato a equação (6.60) pode se omtda. Além dsto vamos substtu a v dv expessão + v v pela devada mateal uma vez que ão temos uma t dt malha paa estma devadas pacas. A desdade a posção de cada patícula é f = ρ : calculada va equação (4.6) com ( x ) ρ N ( x ) = m W ( x x h) (6.6) = Em seguda a pessão pode se computada po uma equação do tpo gás deal dada po: ( ) ( 6.63) p = ρ ρ 0 ode a exemplo da equação (6.54) depede da tempeatua e ρ 0 é a desdade de cal. essão Passemos agoa às vesões dscetas das foças de pessão ( f P ) e Vc vscosdade ( f ) obtdas va a metodologa apesetada a seção 4.6. Usado as equações (4.38) e (4.40) paa estma o gadete da pessão p e o Laplacao da velocdade espectvamete obteemos as segutes vesões dscetas: f f P essão Vsc = = μ x x v p ( x t) ( x t) = = μ N N = = ( x ) p( x ) ρ( ) p + m v x v x m ρ( ) ( ) ( ) xw x W ( x x h). (6.64) ( x x h) (6.65) Além destas foças e da foça extea que apaecem explctamete a equação (6.6) são cosdeada também em [Mülle at al. (003)] foças de supefíce que atuam o fludo em supefíces lves. A supefíce lve do fludo ou sea a fotea do mesmo que ão está sueta às codções de cotoo pode se obtda usado-se uma quatdade adcoal que assume valo utáo as posções das patículas. Este campo deomado campo de co a lteatua tem sua vesão suavzada dada pela expessão: c S ( x) = N = m ρ ( ) W ( x x h) (6.66) 9

135 Potato a omal e cuvatuas da supefíce lve podem se obtdas po: Δ cs = cs ( x) κ = t slve ( x). ( 6.67) Falmete as foças a supefíce lve são modeladas po: = σκ ( 6.68) ode σ é um paâmeto que cotola a fluêca desta foça. O obetvo fal é epoduz o efeto de mmzação de cuvatua obsevado paa este tpo de foça. De fato se cosdeamos uma supefíce cal (fete) S que se movmeta de acodo com uma equação do tpo: S = σκ ( 6.69) t Obsevamos exatamete uma evolução que suavza potos ode a cuvatua é mas elevada [Setha (996)]. As codções de cotoo são mplemetadas segudo uma metodologa smples spada a tepetação do fludo como um sstema de patículas. Ou sea quado uma patícula colde com a paede de um obeto sóldo o movmeto da patícula (sua velocdade) a deção omal à supefíce ígda é efletda paa o teo do fludo. Os úcleos de suavzação são dados pelas segutes expessões: W co W pess W vsc ( x h) ( x h) ( h ) h = 64 π h 0 cc. ( h ) h = π h 0 cc h h π h 0 cc. 3 h + ( 6.70) ( 6.7) 0 h 3 ( x h) = ( 6.7) Esta últma fo escolhda po possu Laplacao postvo em todo domío dado po: 45 6 ΔW vsc ( h) = π h 0 ( h ) cc. 0 h ( 6.73) 30

136 Além dsto obsevamos também que ( = h h) = 0 W vsc. Segudo [Mülle at al. (003)] estas popedades são mpotates do poto de vsta uméco pos asseguam que o algotmo teá uma mao establdade Smulação As equações de Nave-Stoes dadas pela expessão (6.6) são dscetzadas substtudo-se cada temo do segudo membo pela sua vesão obtda va úcleo de suavzação ou sea pelas expessões (6.64)-(6.65) com a desdade ρ dada pela equação (6.6) e usado-se o pmeo membo a dv devada mateal. Desta foma obtém-se o segute esquema uméco: dt dv t = Q dt ode Q t t = ( 6.74) m p t + p t ρ W ( t t h) + ρ g + t ρ t Segudo as equações (6.6)-(6.63) temos: ρ = m W P t ( t t 0 = ( ρ ρ ). t ) ( 6.77) ( 6.76) t t v v t m W ( t ρ h) t ( 6.75) dv Uma vez esolvda a equação (6.74) o campo de aceleações obtdo é dt falmete utlzado paa atualza a velocdade e posção das patículas de acodo com o segute esquema: v t+δt t+δt t δt t = v + Q v t+δt = + δt. t ( 6.78) ( 6.79) Este esquema deomado Leap-Fog é um método teatvo de seguda odem. Em [Mülle at al. (003)] usou-se um tevalo de tempo costate de δ t = 0 segudos. Estutuas de dados adcoas podem se utlzadas paa eduz a complexdade dos algotmos. Pmeamete uma vez que os úcleos de suavzação possuem supote lmtado dados po h pode-se usa uma malha egula com células (cubos) de lado h e dstbu o couto de patículas de acodo com esta malha. Assm dada uma patícula as caddatas a patcpaem com a mesma duate o cálculo das quatdades em questão ou estaão a mesma célula 3

137 da patícula ou estaão as células vzhas desta célula. Assm o custo computacoal em um laço do esquema acma fca eduzdo de O ( ) paa O ( m) ode é o úmeo de patículas e m é a quatdade méda de patículas po célula da malha auxla (obseve que >> m de maea geal). Neste caso temos duas opções: guada apeas efeêcas às patículas as células da malha ou duplca a fomação guadado cópas das patículas. Segudo [Mülle at al. (003)] esta últma opção tem pemtdo aumeta a efcêca do algotmo de um fato de 0 em fução da poxmdade em memóa da fomação ecessáa paa a tepolação Vsualzação e Resultados Em [Mülle at al. (003)] são utlzados téccas baseadas em supefíces e téccas baseadas em uves de potos paa efetua a vsualzação. Em ambos os casos a déa é faze uso do campo de co dado pela expessão (6.66) e seu gadete calculado po uma expessão do tpo (4.38) paa detfca patículas da supefíce lve do fludo e ecota sua omal. Pmeamete cosdeaemos uma patícula sobe a supefíce se: > l ( 6.80) ode l é lma a se escolhdo pevamete. Assm a omal a uma patícula de supefíce a posção x é dada po:. 6.8 ( ) ( ) x Desta foma obtemos um couto de potos com suas omas mas sem fomações de coectvdade. Estes são os elemetos ecessáos paa efetua o edeg va pot splattg descto a seção Cotudo devemos fca atetos com elação à quatdade de potos de supefíce. Usualmete as téccas de splattg são aplcadas paa uves de potos obtdas va scaes com tpcamete a potos. Em [Mülle at al. (003)] usa-se apeas algumas ceteas de patículas paa evta um custo computacoal que mpossblte a teatvdade em tempo-eal. Cosdeado-se ada que a quatdade de potos de supefíces é apeas uma fação deste motate fca a dúvda com elação à qualdade vsual da cea. Na Fgua 6.7(a) temos um exemplo da utlzação de splattg esta aplcação. A água o copo fo amostada com 00 patículas. Um campo de foças otacoal exteo faz o fludo se movmeta. A pmea magem mosta as patículas dvdualmete. A Fgua 6.7(b) mosta um esultado obtdo pela utlzação de splattg paa a vsualzação da supefíce lve da água. Emboa a qualdade deste esultado possa se cosdeada satsfatóa obsevamos um esultado bem mas ealsta quado utlza-se Machg-Cubes (Fgua 6.7(c)) descto a seção 4... Neste caso a supefíce alvo sea uma sosupefíce do campo de co suavzado dado pela expessão (6.66) defda po c S ( x) = 0. Escolheu-se uma malha egula fxa e usou-se Machg-Cubes paa obte uma epesetação polgoal da 3

138 supefíce em questão. A mplemetação usada em [Mülle at al.] ca a busca pelas células que cotém patículas de supefíce vaedo ecusvamete as células póxmas a estas. Usa-se uma tabela hash paa evta que uma mesma célula sea vstada mas de uma vez. Cotudo o custo computacoal toa-se mas elevado. Nestes exemplos usou-se um Petum IV com.8 GHz e placa gáfca GFoce4. Paa splattg coseguu-se uma taxa de 0 fames po segudo equato que usado Machg-Cubes a taxa dmuu paa 5 fames po segudo. Fgua A Fgua 6.8 mosta um outo exemplo ode o usuáo teage com o fludo va mouse geado um campo exteo que faz a água espa. Neste caso a supefíce lve fo vsualzada va splattg. Usou-se 300 patículas cosegudo-se uma taxa de 5 fames po segudo com a aqutetua descta acma. 33

139 (a) (b) (c) Fgua