Aline Sousa da Silveira Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA Bolsista PIBIC-CNPq

Transcrição

1 Aas do O Ecoto de Icação etíca e ós-aduação do ITA XII ENITA / 6 Isttuto Tecológco de Aeoáutca ão José dos ampos Basl Outubo 6 a 9 6 EXTENÃO O MÉTOO O AINÉI AA O EIME OMEÍVEL ATAVÉ A ITIBUIÇÃO E INULAIAE UNIAMENTE NA FONTEIA E EFI AEOINÂMIO EM UTENTAÇÃO Ae ousa da lvea Isttuto Tecológco de Aeoáutca ITA Bolssta IBI-Nq aeslvea@yahoo.com.b Adé Valdetao omes avale Isttuto Tecológco de Aeoáutca ITA ade@ta.b aulo Aoso de Olvea oveo Isttuto Tecológco de Aeoáutca ITA soveo@ta.b esumo. Este tabalho pocua estede paa o egme tasôco os métodos de aálse aeodâmca que dstbuem soluções elemetaes sobe a otea de pes. Nesse egme a equação mas smples possu um temo ão-ea e paa esolvê-la paa um pel os métodos covecoas dstbuem paés bdmesoas sobe o campo de velocdades e azem tegas duplas. Usado o Teoema de ee os dos métodos apesetados este atgo substtuem essas tegas duplas po tegas de ha sobe a otea. O pmeo deles é totalmete uma omulação apeas sobe a otea etetato ão esolveu o poblema aeodâmco apesa de pode se aplcado em outos poblemas de equações smlaes como em taseêca de calo. O segudo que apesetou bos esultados o escoameto sobe um pel paabólco ada ecessta de valoes o campo de velocdades mas ão é ecessáo tega esses valoes eles são usados apeas em cálculos algébcos. Esse últmo método acabou se mostado mas ápdo e ecete que os métodos covecoas com esultados muto pómos. alavas chave: aeodâmca tasôca método dos paés método da ecpocdade dual. Itodução O método dos paés que pocua esolve um escoameto ucamete po meo de tegas sobe a otea é hoe muto utlzado paa o egme compessível cua solução é etesível paa o egme bao subsôco po meo da tasomação de adtl-lauet ou outas. Etetato essa etesão alha paa úmeos de Mach pómos de devdo ao apaecmeto de eetos lgados à tasção paa o egme supesôco e a equação mas smples que desceve um escoameto essas codções á possu uma ão-eadade. aa esolve esses poblemas a classe de métodos mas comum são os métodos de campo que azem a coeção paa o egme tasôco utlzado o caso de pes tegas umécas duplas sobe o domío do escoameto. Isso além de demada muto tempo também taz a coveêca de se te que detema uma egão ta sobe o domío paa se aze as tegações e assm despeza o escoameto oa dela. O obetvo deste tabalho o ecota uma maea de substtu as tegas de áea sobe o campo po tegas de ha sobe a otea e dessa oma esolve a equação do egme tasôco. A pmea tetatva o um método que az essa substtução pela tegal sobe a otea de uma sée de uções meta-hamôcas cuos coecetes são obtdos pela devação sucessva do campo potecal também sobe a otea. Ele ucoou bem paa poblemas de taseêca de calo com geação omalmete mas bem-compotados mas alhou o poblema aeodâmco devdo à peseça de sguladades os potos de estagação decoetes da apomação paa pequeas petubações que alha esses potos. Elas poduzam uma dvegêca do método poque as devadas sucessvas am-se toado cada vez maoes com o aumeto do úmeo de temos da sée cuos coecetes peto dessas sguladades cescam mas ápdo que o decameto dos temos depedetes o que ez com que a pópa sée osse matematcamete dvegete. Etão a seguda pate deste tabalho o estudado outo método uma adaptação do chamado Método da ecpocdade ual que o bem-suceddo po ão ecessta de devações sucessvas mas ecessta de valoes do potecal em potos oa da otea até uma altua de cco vezes a espessua o etadoso e o tadoso. A vatagem desse método em elação aos métodos de campo é que ele ão são ecessáas tegas sobe o campo apeas o valo do temo ão-ea da equação em potos solados. Ele pocua apoma o campo potecal po uma combação ea de uções adas pé-dedas que satsaçam a equação que se desea esolve cada uma cetada em um dos potos de uma malha que evolve toda a etesão da coda do pel e a á mecoada dstâca de cco vezes a espessua as duas aces do pel.

2 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo O poblema esolvdo pela mplemetação do método é o escoameto sem sustetação sobe um pel paabólco smétco. Etetato é possível utlzado a oma completa das equações esolve poblemas com sustetação. Já a epesetação uméca de odas de choque eqüetes em escoametos tasôcos é mas complea e ão o eta este tabalho. uado o pel e o escoameto têm codções que causam esse eômeo o método dvege.. Equação do egme tasôco e tasomação am om as hpóteses de escoameto ão-vscoso e otacoal pode-se de um potecal de velocdade tal que: V Além dsso dee-se a velocdade de petubação que bdmesoalmete é dada po: Vˆ V uˆ vˆ V oseqüetemete o potecal de petubação é dedo como: ˆ Vˆ 3 A equação que desceve o potecal de petubação o egme compessível bdmesoal se a deção do escoameto o cosdeada como sedo o eo é: M M ˆ γ γ γ ˆ M ˆ ˆ ˆ ˆ y V V V γ γ γ ˆ ˆ y ˆ ˆ ˆ y ˆ M V V V V V ˆ ˆ y y ode M é o úmeo de Mach do escoameto ão-petubado e γ a azão de caloes especícos / V. A Equação é válda paa qualque escoameto ão-vscoso e otacoal. Etetato ela é etemamete ãoea e po sso de dícl solução. e o eta uma apomação paa pequeas petubações paa úmeos de Mach oa das aas tasôca e hpesôca essa equação se tasoma em: M ˆ ˆ 5 A solução da Eq. 5 paa úmeos de Mach abao da aa tasôca pode se ecotada a pat da equação de Laplace do egme compessível: 6 que também é válda paa o potecal de petubação po meo de uma tasomação am deomada tasomação de adtl-lauet. No egme supesôco a Equação 5 muda de elíptca paa hpebólca e sua solução é ecotada usado uma tasomação am em: 7 evdo a essa mudaça de tpo a Equação 5 ão desceve adequadamete o egme tasôco poque ele há uma coestêca de egões subsôca e supesôca sobe o pel. omo essa tasção ão se dá de oma abupta o pmeo dos temos ão-eaes da Eq. se toa mpotate quado o úmeo de Mach va se apomado de e a equação mas smples paa a aa tasôca é: M M ˆ γ ˆ ˆ ˆ 8 V

3 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo Medate a mudaça de vaáves: β M 9 M K V ~ ~ y βy γ ~ K ˆ 3 β A Equação 8 se toa: ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~~ que é a oma caôca da equação do egme tasôco paa a qual seão desctos os dos métodos de solução mecoados a todução. Nas mplemetações dos métodos é esolvdo o escoameto sobe um pel paabólco e são peddos ao usuáo a espessua elatva do pel e o úmeo de Mach. A saída é a dstbução de coecetes de pessão sobe o pel que o caso sem sustetação é gual o etadoso e o tadoso. O eazado é dado po: uˆ 5 V Obsevado a equação ota-se que a mudaça de tpo de equação ou sea úmeo de Mach gual a ocoe quado a velocdade hozotal de petubação o plao tasomado atge o valo que equvale a β /K o plao ísco. otato substtudo essa epessão a Eq. 5 tem-se: ct β KV 6 3. Método da sée meta-hamôca 3.. edução da ómula de tegação sobe a otea ea uma equação qualque da oma: 7 O Teoema de ee usado paa tasoma tegas de domío em tegas de otea é dado em sua oma bdmesoal po: d ˆ ds 8 ode e são campos escalaes quasque. Já que: ˆ 9 Tem-se: d ds

4 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo ee-se: δ ode δ é a ução elta de ac deda em e cetada em. [ Multplcado a Eq. 7 po obtém-se: E ada a tegação da Eq. a vaável paa costate esulta em em duas dmesões: d d 3 aa aplca o Teoema de ee ao pmeo temo da equação 3 pecsa-se calcula o valo de d. só é deete de zeo em : d d d δ 5 ode é o valo pcpal de auchy que depede do âgulo sóldo em too do poto. vale os potos do teo do domío ½ os potos de otea suave e os potos ode a otea tve quas ou vétces tem o valo da azão ete o âgulo sóldo em too do poto e o âgulo sóldo mámo π. d 6 ubtado 3 de 6 tem-se: d d 7 d ds 8 edo: 9 Tem-se: d d d d d d d 3

5 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo aa um abtáo obtém-se: d d d d d d 3 Utlzado os esultados 3 e 3 po dução tem-se: ds d 3 ubsttudo 3 em 8 chega-se à epessão al: ds ds 33 A Equação 33 oece um esultado mpotate: é possível a esolução de uma equação da oma 7 se oem cohecdos os valoes do campo escala e de todas as suas devadas apeas sobe a otea. A ecessdade de se cohece esses valoes leva a um método teatvo eceto o caso ea. oém esse método á ecoomza bastate esoço computacoal devdo ao ato de ão se pecso aze uma dscetzação de todo o campo mas somete da otea. 3.. guladades bdmesoas Em duas dmesões a ução que satsaz a deção é: π 3 ode é a dstâca ete e. Essa é a solução ote da equação de Laplace 6 e sua devada em qualque deção é uma solução dpolo oetada essa deção. otato o pmeo temo da Eq. 33 é a solução do escoameto compessível e a sée ta segute é a coeção paa o egme tasôco desde que a Eq. 7 se assuma -. e acodo com a deção cada ução é solução da equação sedo potato uma ução meta-hamôca que o deomada metaote de odem e sua devada metadpolo de odem. No método das sguladades usado o egme compessível que cosste em dstbu soluções elemetaes sobe a coda do pel as otes são esposáves pela espessua do pel e os dpolos pela votcdade que é a causa da sustetação. Na coeção paa o egme tasôco as metaotes complemetam o papel das otes e os metadpolos complemetam o dos dpolos. omo o poblema que se tetou esolve po esse método escoameto sobe um pel paabólco smétco sem âgulo de ataque ão possu sustetação oam utlzadas apeas otes e metaotes. aa ecota uma ómula geal de ecoêca paa as metaotes seá usado o laplacao em coodeadas bdmesoas polaes: θ θ 35 do qual seá utlzado somete o pmeo temo poque as metaotes são apeas uções de :

6 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo Usado os esultados 36 e 37 po dução chega-se à oma ecusva geal: 3 π Implemetação uméca Em cada teação o pogama va calculado a póma dstbução de potecal sobe a coda do pel utlzado a Eq. 33 tedo como estmatva cal a solução do egme compessível pelo método das sguladades. uado há a covegêca do potecal há como usado a deção 9 paa - ecota os coecetes da sée ta e usado a Eq. 33 ecota o potecal em qualque poto do campo. Na ealdade a vaável teada é a velocdade em e as devadas são ecotadas pelo método das deeças tas cetadas a maoa dos paés e adatada e atasada o pmeo e o últmo pael. Além dsso são etos cálculos também os potos medatamete acma e abao da coda paa que os laplacaos sea calculados umecamete usado uma ução do sotwae MATLAB que o usado a mplemetação. omo á mecoado o método teve bos esultados em poblemas de taseêca de calo mas dvegu o poblema aeodâmco devdo às sguladades os potos de estagação decoetes da alha esses potos da hpótese de pequeas petubações. Aalsado a oma ecusva 38 ota-se em cada metaote os temos que multplcam a oma geal têm um decameto da odem de! em elação à pmea. e as devadas sucessvas cesceem mas ápdo que esse decameto que é o que ocoe peto de uma sguladade a sée dvege o que

7 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo ocoe também com o método teatvo. evdo a sso usou-se um método alteatvo uma vaação do Método da ecpocdade ual que ão elma a sguladade mas covege po ão seem ecessáas devações sucessvas.. Método da ecpocdade ual.. Fómula de tegação sobe a otea ea uma equação da oma: σ 39 que é dêtca à oma 7 mas com o temo ão-ea o segudo membo da equação po coveêca do método. Aplcado o Teoema de ee apeas ao laplacao da mesma oma que o tem. a oma tegal da equação 39 é: c d d σ dω Ω ode é a otea do domío Ω é o domío e é a ução do outo método a solução ote da equação de Laplace. É essa a tegal utlzada os métodos covecoas ode a últma tegal é uma tegal de áea que seá elmada este método. O método da ecpocdade ual utlza um coceto aálogo ao do método de solução de equações deecas odáas eaes ão-homogêeas que esolve a equação homogêea e soma ao esultado uma solução patcula da equação ão homogêea: h p que satsazem: h σ p A equação homogêea é a equação de Laplace que desceve o egme compessível. ua solução pode se ecotada utlzado qualque método de esolução desse egme. Já a solução patcula é cosdeada como sedo composta de uma sée de uções : 3 σ p α ˆ O temo de compessbldade σ pode se escto como uma sée de uções pé-dedas : σ α 5 E os temos da solução patcula são dados po: ˆ 6 om sso azedo uma epasão pelo Teoema de ee aáloga à da equação ogal tem-se: ˆ c ˆ d ˆ d dω 7

8 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo Logo: ˆ α c ˆ α d ˆ d α dω 8 E como: σ α 9 Tem-se: α c ˆ c ˆ σdω α d ˆ d σdω ˆ α c ˆ d ˆ d 5 otato a equação paa em um poto abtáo se toa: d d ˆ α c ˆ d ˆ d 5 As duas pmeas tegas costtuem a solução da equação homogêea que é a equação de Laplace. Já o temo segute é a coeção de compessbldade devdo ao temo σ que a equação do egme tasôco coespode ao temo ão-ea. Além dsso como á dto o outo método os temos em coespodem a dstbuções de otes sobe a otea que oecem a espessua do pel e os temos em / coespodem a dpolos esposáves pela votcdade e coseqüetemete pela sustetação. omo só o smulado o caso sem sustetação os temos em / oam descatados. A solução do egme compessível o ecotada dstbudo otes sobe a coda. Após a eazação das codções de cotoo a desdade ea de ote q é dada po: q dzt V 5 d ode z t é a ha da sem-espessua do pel. Utlzado esse tpo de solução com dstbução de otes sobe a coda e ão sobe a otea as codções de cotoo paa o Método da ecpocdade ual passam a se aplcadas sobe a coda. om sso o caso sem sustetação a tegal de ha desapaece poque etadoso e tadoso cocdem. Assm a equação 5 se tasoma em: c d d α c ˆ 53.. etemação do temo de compessbldade No Método da ecpocdade ual as uções depedem de que é a dstâca - do poto ode se que calcula a ução a um poto escolhdo paa cada. Nesta mplemetação oam escolhdas uções. om sso aplcado vesamete o laplacao em coodeadas polaes bdmesoas Eq. 35 tem-se: 3 ˆ 5 9

9 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo No método é ecessáo que se escolham potos também oa da otea. Nesta mplemetação oam escolhdas camadas de potos gualmete espaçados a deção e o úmeo de paés a coda é detemado pelo usuáo. Na deção y é apovetada a smeta dstbução de camadas apeas o etadoso e eto um eameto quadátco as camadas pómas à coda com a últma camada a uma dstâca da coda cco vezes mao que a espessua elatva. Na deção são tomados potos de uma dstâca de dos teços da coda à ete do bodo de ataque até a mesma dstâca atás do bodo de uga. aa ecota os coecetes α é esolvdo o segute sstema ea: { σ} [ F]{ α} 55 ode F e σ calculado o poto. O método o mplemetado utlzado o sotwae Matlab. A vaável teada é a velocdade duzda em u. A devada é ecotada usado métodos de deeças tas adatadas cetadas e atasadas de seguda odem os dos potos pómos a cada etemo hozotal que estão oa da coda e um método de deeças tas cetadas de quata odem os potos cetas..3. Algotmo uméco esolve o campo da equação ea usado a dstbução de otes da equação 5 alcula em todos os potos da malha o temo de compessbldade 3 Ecota os coecetes α esolvedo o sstema 55 alcula o ovo campo de velocdades usado a equação 53 5 etoa ao passo e epet os passos segutes até atg a covegêca.. esultados As smulações oam etas com paés a coda e a malha com espaçameto a deção costate e gual a c/. A teoa ea soeu a coeção de adtl-lauet. Fgua. stbuções de coecete de pessão paa M.8 e t/c 6%.

10 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo Fgua. stbuções de coecete de pessão paa M.83 e t/c 6%. Fgua 3. stbuções de coecete de pessão paa M.8 e t/c 6%.

11 Aas do XII ENITA 6 ITA Outubo e acodo com o pesete método o úmeo de Mach cítco do pel paabólco smétco de espessua 6% com âgulo de ataque ulo está ete.83 e.8. omo á mecoado a epesetação uméca de odas de choque é complea e ão o eta esta mplemetação a qual houve dvegêca paa úmeos de Mach.85 e mas altos. Obsevado os gácos ota-se que á paa um úmeo de Mach gual a.8 há uma deeça sgcatva ete as esoluções da equação potecal completamete eazada Eq. 5 e da equação do potecal do egme tasôco Eq. 8. Essa últma equação pode se escta como: K β 56 Essa oma mosta que o egme tasôco há um acéscmo de compessbldade em elação à equação ea o que ocoeu os esultados. evdo à dspadade ete os esultados coclu-se que paa cálculos de paâmetos aeodâmcos lgados à aa tasôca como po eemplo o úmeo de Mach cítco é ecessáo cosdea a ãoeadade. Os esultados do pesete método estão muto pómos dos obtdos a pat de tegas duplas de campo que coeem com a epeêca. Além dsso o pesete método leva vatagem po demada meo esoço computacoal devdo à elmação das tegas duplas. 5. oclusão Foam aqu apesetados dos métodos que pocuam tasoma tegas de áea em tegas de ha. O pmeo deles se houvesse sdo bem-suceddo paa aplcações aeodâmcas sea o de meo esoço computacoal po se totalmete uma omulação apeas sobe a otea. Já o segudo método substtu as tegas de campo po cálculo algébco po meo da apomação do campo po uções pé-dedas das quas só sea ecessáo ecota os coecetes. Esse cálculo ecessta de valoes oa da otea logo é um método temedáo ete o pmeo mostado e os métodos covecoas que calculam tegas duplas. o se mas ápdo que os métodos covecoas e te poduzdo bos esultados ao cotáo do pmeo o Método da ecpocdade ual se mostou a melho ete as soluções estudadas paa esolve o poblema aeodâmco ctado. 6. Agadecmetos Agadecemos ao Nq pelo apoo e acameto deste poeto de cação cetíca 7. eeêcas Adeso J. J.. 98 Fudametals o Aeodyamcs Mcaw-Hll Hess J. L. mth A. M. O. alculato o otetal Flow About Abtay Bodes ogess Aeoautcal ceces 967. Hldebad F.B. 98 Advaced alculus o Applcatos etce-hall atdge.w. Bebba.A. ad Wobel L.. 99 The ual ecpocty Bouday Elemet Method omputatoal Mechacs ublcatos. beo.. ad oveo. A. O. 987 Aálse do Escoameto Tasôco Atavés do Método das guladades Maste Thess ITA. beo.. ad oveo. A. O. 987 alculato o Tasoc Flow About Aols by a Feld ael Method Bouday Elemet Techques: Applcatos Flud Flow ad omputatoal Aspects omputatoal Mechacs ublcatos. chlchtg H. Tuckebodt E. 979 Aeodyamcs o the aplae Mcaw-Hll New Yok hapo A.H. 953 The dyamcs ad temodyamcs o compessble low The oald ess New Yok lva B..O. Estudo de pes aeodâmcos em alta velocdade Tabalho de aduação ITA pete J.. ad Alkse A. 955 Theoetcal pedcto o pessue dstbutos o oltg aols at hgh subsoc speeds NAA epot 7. Uhl B. Ostetag J. udat. ad Wage. 999 Applcato o the ual-ecpocty Method to Thee- mesoal ompessble Flows oveed by the Full-otetal Equato 37 th AIAA Aeospace ceces Meetg ad Ehbt Jauay eo NV. Zuosheg Y. 988 A complete bouday tegal omulato o steady compessble vscd lows goveed by o-ea equatos It. Joual o Numecal Methods Fluds Vol. 6 pp. 3-37