Complementos sobre Números Complexos Ementa 1 Introdução Estrutura Algébrica e Completude 1 O Corpo dos números complexos Notações 3 Interpretação Geométrica e Completude de C 4 Forma Polar de um Número Complexo e Operações 41 Forma Polar 4 O Produto na Forma Polar 43 A Divisão na Forma Polar 44 Raíes de um Número Complexo 1
1 Introdução No início dos estudos do Cálculo é usual a apresentação do corpo ordenado completo dos números reais Tal apresentação é feita, geralmente, na forma axiomática, no entanto, é possível construir o sistema dos números reais partindo-se dos números Naturais (sendo este último obtido a partir dos axiomas de Peano) Os estágios de tal construção podem ser vistos do ponto de vista da solução de equações polinomiais No sistema dos números naturais N uma equação da forma (1) x + n = m, não tem rai para n > m No domínio Z dos inteiros qualquer equação da forma (1) tem rai, mas uma equação da forma () ax = b, com a, b Z e a 0 geralmente não tem rai em Z A situação descrita acima é remediada no corpo Q, dos números racionais, onde toda equação da forma ( ) px = q com p, q Q e p 0 tem rai No entanto, por exemplo, uma equação da forma (3) x n = com n N e Q pode não ter rai em Q (tome n = = ) Essa situação é parcialmente remediada no corpo R, dos números reais, onde qualquer equação da forma (3 ) n x = ε, ε R, tem rai se n é ímpar, porém, não terá rai se n é par e ε é negativo, desde que potências pares em corpos ordenados são positivas
Para encerrarmos esse processo afirmamos ser possível construir um corpo completo (não ordenado), que chamaremos de corpo dos números complexos e denotaremos por C, que além de conter uma cópia de R tem a propriedade de: toda equação polinomial com coeficientes em C tem uma rai em C ( em particular x = 1 terá raíes em C ) Um corpo com essa última propriedade é chamado de algebricamente fechado O teorema que assegura que C é algebricamente fechado é chamado de Teorema Fundamental da Álgebra e foi primeiramente provado por Gauss em sua tese de doutorado Estrutura Algébrica e Completude 1 O Corpo dos números complexos Consideremos o conjunto, denotado por C, formado por todos os pares ordenados ( x, y) com x, y R e definamos nesse conjunto duas operações, a soma indicada por +, e o produto indicado por tais que: a) x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + ), ( 1 1 1 1 y b) ( x1, y1) ( x, y) = ( x1 x y1 y, x1 y + y1 x), quaisquer que sejam ( x1, y1), ( x, y ) C 3
Indicando por 1 = ( x1, y1) = ( x, y) e 3 = ( x3, y3) elementos quaisquer de C temos que são válidas as seguintes propriedades: Comutativas: 1 + = + 1 e 1 = 1 Associativas: 1 + ( + 3) = ( 1 + ) + 3 e ( ) = ( 1 3 1 ) 3 Distributiva: 1 ( + 3) = 1 + 1 3 Existência de elementos neutros: existem dois números complexos distintos, denotados por 0 = 0 = (0,0 ) e 1 = u = (1,0 ), tais que, + 0 = e u = para todo = ( x, y) C Existência de opostos: para todo = ( x, y) C, existe = ( x, y) C tal que + ( ) = 0 = (0,0) existe Existência de inversos: para todo = ( x, y) C, (0,0) 1 x y 1 =, tal que = u = (1,0 ) x + y x + y Tais propriedades faem com que C, munido das operações + e, tenha a estrutura algébrica conhecida como corpo ( o que denotamos por C,+, ) Os elementos de C serão chamados de números complexos 4
Notação O símbolo usual para um número complexo não é ( x, y) mas x + iy, esta notação é devida a Gauss que, embora não tenha sido o primeiro a utiliá-la, foi quem a propagou Para estabelecer a notação x + iy procederemos com segue Primeiro note que: sendo assim, podemos identificar o número complexo ( x 1,0) com o número real x 1 Rigorosamente estamos verificando que existe um isomorfismo entre o conjunto dos complexos da forma (x,0) e o corpo R dos números reais Agora definimos i = (0,1) e então teremos que Finalmente observamos que i = (0,1) (0,1) = ( 0 0 1 1, 0 1+ 1 0) = ( 1,0) = 1 Nesse sentido podemos dier que i = 1 A notação x + iy é mais conveniente e será utiliada preferencialmente a partir de agora Cálculos algébricos são, com tal notação, mais fáceis, basta utiliar todas as regras algébricas usuais mais a regra i = 1, assim é que O inverso multiplicativo dado em 1 é, nessa nova notação, 5
Dado o número complexo = x + iy chamaremos x de parte real e y de parte imaginária Usaremos então as notações x = Re() e y = Im() 3 Interpretação Geométrica e Completude de C Desde que pares ordenados ( x, y) indicam coordenadas no plano R nós podemos visualiar C como um plano, com o número complexo = x + iy correspondendo ao ponto ( x, y) no plano coordenado A identificação de (x,0) com x leva-nos a chamar a reta que contém tais pontos (x,0) de o eixo real O eixo y, em ângulo reto com o eixo real, é chamado de eixo imaginário Obtemos dessa forma o plano de Argand-Gauss e, do mesmo modo que à reta estava associada o corpo dos reais, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano coordenado e o conjunto dos números complexos O fato de C ser completo pode ser entendido geometricamente, como a não existência de buracos nesse plano, isto é, a completude de C afirma que não existe ponto no plano para o qual não corresponda um número complexo A completude de C é consequência direta da completude de R Se a cada número complexo = x + iy associarmos o vetor que tem como representante o segmento que vai de ( 0,0) até ( x, y) podemos interpretar a operação de adição de números complexos como a soma de vetores em R 6
Com o objetivo de estabelecer uma maneira de medir a distância entre dois números definiremos o módulo de um número complexo Definição Dado, é definido por = x + iy C o módulo de, denotado por = x + y Tal módulo de expressa a distância do número complexo = x + iy = ( x, y) até o complexo 0 = 0 + i 0 = (0,0) A partir da noção de módulo e seu significado geométrico se quisermos medir a distância entre 1 e C basta tomarmos 1 Definição Dado um número complexo qualquer seu conjugado é = x iy = x + iy Observe que quando C é real então = Propriedades Para quaisquer números complexos, 1, são válidas: i) 1 + = 1 + 1 = 1 ii) 1 = 1 1 = 1, 0 + i0 iii) + = Re( ) e = i Im( ) iv) = 7
v) = x + y e =, para = x + iy vi) 1 1 =, 0 + i0 vii) 1 = 1 viii) 1 + 1 + e 1 1 4 Forma Polar de um Número Complexo e Operações 41 Forma Polar Considere agora um número complexo não nulo = x + iy e sejam: l o segmento de reta que liga 0 + i0 até e θ o ângulo que o semi-eixo real positivo fa com l, este medido no sentido antihorário a partir do semi-eixo real Podemos então escrever x = cosθ e y = senθ, dessa forma, teremos = x + iy = (cosθ + isenθ ) Esta última expressão é chamada de forma polar do número complexo O número θ é chamado de argumento de e denotado por arg( ), já o módulo de é usualmente denotado = r Observe que no caso de limitarmos θ ao intervalo [ 0,π ) teremos para cada C um único argumento θ, arg( ), em [ 0,π ) 8
Exemplo Escrever os números complexos 1 1 3 = + i e 3 = + i na forma polar 1 = 4 O Produto na Forma Polar Dados 1 = r1 (cosθ1 + isenθ1) e = r (cosθ + isenθ) números complexos arbitrários teremos que = 1 Assim 1 é tal que 1 = 1 e arg( 1 ) = arg( 1) + arg( ) Exemplo O produto 1, onde π π 1 = (cos + isen 4 4 ) e π π = 3(cos + isen ) será o número complexo Obviamente o processo acima pode ser generaliado de modo que dados 1 = r1 (cosθ1 + isenθ1),, n = rn (cosθ n + isenθn) teremos que 1 n = Quando 1 = = = n = = r(cosθ + isenθ ) temos que Já se = cos θ + isenθ obtemos a fórmula de De Moivre 9
45 A Divisão na Forma Polar Dados 1 = r1 (cosθ1 + isenθ1) e = r (cosθ + isenθ), com r 0, dividir 1 por significa determinar um número complexo 3 = ρ(cosφ + isenφ) tal que 1 = 3 Dessa forma, devemos ter, necessariamente, que 44 Raíes de um Número Complexo Dado o número complexo = r(cosθ + isenθ ) nosso objetivo é encontrar todas as raíes n -ésimas de, isto é, todos os números complexos w que satisfaçam a equação w n =, com n N Assim, existem n raíes n -ésima de, descritas pela fórmula acima Utiliando-se a fórmula do produto e a fórmula da rai n - ésima vem a seguinte generaliação EXERCÍCIOS 1) Calcule as raíes Sexta de = 8 ) Considere os números complexos: 1 = + i 6 = + i 1 w = Pedimos: i) Calcule o valor de w 10
ii) Calcule os módulos e os argumentos de 1, e w iii) Expresse w na forma polar iv) Encontre o valore de cos π 1 e de π sen 007 v) calcule o valor de w 3) No plano de Argand Gauss considere A, B e I os pontos fixos 1 + i, 3 i e respectivamente A cada ponto C associamos o ponto ' C tal que ' = 4 O ponto ' é chamado de imagem de São pedidos: i) Calcule os pontos A ' e O que você observa? ii) Determine os pontos cuja imagem é o ponto fixo 5 iii) Resolva os itens a), b) e c) abaixo: a) Verifique que para todo C vale ' + 4 = ( ) b) Dedua uma relação entre '+ 4 e e, quando, uma relação entre arg( ' + ) e arg( ) c) O que podemos dier dos pontos M ' para os quais M descreve a circunferência C de centro I e raio? π i B ', imagens de A e B, respectivamente iv) Sejam: E = + e 3 fixo, J = 4 e E ' a imagem de E, pedimos: a) Calcule a distância entre I e E, que denotamos d ( I, E), e a medida, em radianos, do ângulo entre e r 1 e IE b) Calcule d ( J, E' ) 11
4) Considere o plano de Argand Gauss Se M é um ponto fixo do plano ao qual está relacionado o número complexo 1 C { 0 + i0}, designaremos por M ' o ponto ' = Isto é 1 vale C ' = Parte A: i) Dado C determine as relações entre os módulos de e de ' e uma relação entre os argumentos de e ' ii) Mostre que M, M ' e 0 + i0 estão alinhados 1 iii) Mostre que para todo C vale ' + 1 = ( 1) Parte B: Sejam A = 1 e B = 1, denote por C o conjunto dos pontos M do plano de Argand Gauss para os quais 1 = 1 i) Qual a naturea do conjunto C? ii) Dado C tal que 0 + i0 pedimos: a) Mostre que ' + 1 = ' e interprete geometricamente tal igualdade: b) É verdade que se ' verifica ' + 1 = ' então verifica a igualdade 1 = 1? iii) Faça um esboço de C Se C descreva a contrução de ' utiliando os itens e partes anteriores 1
π π 5) Considere o número complexo = cos( ) + isen( ) e 5 5 4 3 denotemos = e = Pedimos: a + b + i) Mostre que para todo w C, w 1 e todo n N vale a n+ 1 n 1 w igualdade: 1+ w + w + + w = 1 w 3 4 ii) Calcule 1+ w + w + w + w iii) Mostre que a e b são soluções de x + x 1 = 0 1 iv) Mostre que a = + e determine a em função de cos( π ) 5 v) Resolva a equação do item (iii) vi) Dedua o valor de cos( π ) 5 13