PILARES DE CONCRETO ARMADO

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus d Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Dpartamnto d Engnaria Civil Disciplina: 33 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II NOTAS DE AULA PILARES DE CONCRETO ARADO Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.fb.unsp.br/pbastos) Bauru/SP Agosto/015

APRESENTAÇÃO Esta apostila tm o objtivo d srvir como notas d aula na disciplina 33 Estruturas d Concrto II, do curso d Engnaria Civil da Faculdad d Engnaria, da Univrsidad Estadual Paulista UNESP, Campus d Bauru/SP. O tto aprsnta part das prscriçõs contidas na NBR 6118/014 ( Projto d struturas d concrto Procdimnto vrsão corrigida) para o dimnsionamnto d pilars d Concrto Armado. O dimnsionamnto dos pilars é fito com bas nos métodos do pilar padrão com curvatura rigidz aproimadas. Outros métodos constants da norma não são aprsntados, são studados os pilars d sção rtangular somnt os d nós fios (contravntados), com índic d sbltz até 90. A aprsntação do dimnsionamnto dos pilars é fita m função da classificação qu os individualiza m pilars intrmdiários, d trmidad d canto. Vários mplos numéricos stão aprsntados para cada um dls. O itm (Cobrimnto da Armadura) não é spcífico dos pilars, porém, foi insrido no tto porqu é muito important no projto, contém altraçõs m rlação à vrsão antrior da norma (003). No itm 4 (Concitos Iniciais) são aprsntadas algumas informaçõs básicas iniciais os concitos rlativos ao camado Pilar Padrão, cujo modlo é utilizado pla NBR 6118 para a dtrminação aproimada do momnto fltor d sgunda ordm. Por último são aprsntados mplos numéricos d dimnsionamnto d pilars d um difício baio com planta d fôrma simpls. O autor agradc aos studants qu colaboraram no studo dos pilars, Antonio Carlos d Souza Jr., Caio Gorla Noguira, João Paulo Pila D Aloia, Rodrigo Frnando artins ao técnico Édrson dos Santos artins, pla confcção d dsnos. Críticas sugstõs são bm-vindas.

SUÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 1 AGRESSIVIDADE DO ABIENTE... 1 3 QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIENTO... 1 4 ESPESSURA DO COBRIENTO DA ARADURA... 5 CONCEITOS INICIAIS... 4 5.1 Solicitaçõs Normais... 4 5. Flambagm... 4 5.3 Não-linaridad Física Gométrica... 5 5.4 Equação da Curvatura d Elmntos Fltidos... 6 5.5 Comprssão Aial... 8 5.6 Pilar-Padrão... 9 6 NOÇÕES DE CONTRAVENTAENTO DE ESTRUTURAS... 11 6.1 Estruturas d Nós Fios óvis... 1 6. Elmntos Isolados... 14 7 EXCENTRICIDADES... 14 7.1 Ecntricidad d 1 a Ordm... 14 7. Ecntricidad Acidntal... 14 7.3 Ecntricidad d a Ordm... 15 7.4 Ecntricidad Dvida à Fluência... 16 8 ÍNDICE DE ESBELTEZ... 17 9 DETERINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE a ORDE... 19 9.1 étodo do Pilar-Padrão com Curvatura Aproimada... 19 9. étodo do Pilar-Padrão com Rigidz Aproimada... 1 10 SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO... 10.1 Pilar Intrmdiário... 10. Pilar d Etrmidad... 3 10.3 Pilar d Canto... 4 11 DETERINAÇÃO DA SEÇÃO SOB O ÁXIO OENTO FLETOR... 5 1 SITUAÇÕES DE PROJETO E DE CÁLCULO... 6 1.1 Pilar Intrmdiário... 7 1. Pilar d Etrmidad... 7 1.3 Pilar d Canto... 8 13 CÁLCULO DA ARADURA LONGITUDINAL CO AUXÍLIO DE ÁBACOS... 9 13.1 Flão Composta Normal... 9 13. Flão Composta Oblíqua... 30 14 RELAÇÃO ENTRE A DIENSÃO ÍNIA E O COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO31 15 CÁLCULO DOS PILARES INTEREDIÁRIOS... 3 15.1 Rotiro d Cálculo... 3 15. Emplos Numéricos... 33 15..1 Emplo 1... 33 15.. Emplo... 37 16 CÁLCULO DOS PILARES DE EXTREIDADE... 40 16.1 Rotiro d Cálculo... 40 16. Emplos Numéricos... 41 16..1 Emplo 1... 41 16.. Emplo... 46 16..3 Emplo 3... 51 16..4 Emplo 4... 54 17 CÁLCULO DOS PILARES DE CANTO... 58

17.1 Rotiro d Cálculo... 58 17. Emplos Numéricos... 58 17..1 Emplo 1... 59 17.. Emplo... 6 17..3 Emplo 3... 66 18 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS... 70 18.1 Armadura Longitudinal d Pilars... 71 18.1.1 Diâmtro ínimo... 71 18.1. Distribuição Transvrsal... 71 18.1.3 Armadura ínima áima... 71 18.1.4 Dtalamnto da Armadura... 7 18.1.5 Protção contra Flambagm... 7 18. Armadura Transvrsal d Pilars... 73 18.3 Pilars-Pard... 74 19 ESTIATIVA DA CARGA VERTICAL NO PILAR POR ÁREA DE INFLUÊNCIA... 74 0 PRÉ-DIENSIONAENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR... 75 1 DIENSIONAENTO DE PILARES DE UA EDIFICAÇÃO DE BAIXA ALTURA. 76 1.1 Pilar Intrmdiário P8... 78 1. Pilar d Etrmidad P5... 83 1.3 Pilar d Etrmidad P6... 89 1.4 Pilar d Canto P1... 93

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 1 1 INTRODUÇÃO Pilars são Elmntos linars d io rto, usualmnt dispostos na vrtical, m qu as forças normais d comprssão são prpondrants. (NBR 6118/014 1, itm 14.4.1.). Pilars-pard são Elmntos d suprfíci plana ou casca cilíndrica, usualmnt dispostos na vrtical submtidos prpondrantmnt à comprssão. Podm sr compostos por uma ou mais suprfícis associadas. Para qu s tna um pilar-pard, m alguma dssas suprfícis a mnor dimnsão dv sr mnor qu 1/5 da maior, ambas considradas na sção transvrsal do lmnto strutural. (itm 14.4..4). O dimnsionamnto dos pilars é fito m função dos sforços trnos solicitants d cálculo, qu comprndm as forças normais (), os momntos fltors ( d d) as forças cortants (V d V d) no caso d ação orizontal. A NBR 6118, na vrsão d 003, fz modificaçõs m algumas das mtodologias d cálculo das struturas d Concrto Armado, como também m alguns parâmtros aplicados no dimnsionamnto vrificação das struturas. Espcial atnção é dada à qustão da durabilidad das pças d concrto. Particularmnt no caso dos pilars, a norma introduziu várias modificaçõs, como no valor da cntricidad acidntal, um maior cobrimnto d concrto, uma nova mtodologia para o cálculo da sbltz limit rlativa à considração ou não dos momntos fltors d a ordm, principalmnt, com a considração d um momnto fltor mínimo, qu pod substituir o momnto fltor dvido à cntricidad acidntal. A vrsão d 014 mantém ssas prscriçõs, introduziu qu a vrificação do momnto fltor mínimo pod sr fita comparando uma nvoltória rsistnt, qu nglob a nvoltória mínima com ª ordm. No itm 17..5 ( Procsso aproimado para o dimnsionamnto à flão composta oblíqua ) a NBR 6118 aprsnta um método simplificado para o projto d pilars sob flão composta normal oblíqua, qu não srá aprsntado nst tto. Os três itns sguints (,3 4) foram insridos no tto porqu são muito importants no projto d struturas d concrto, spcialmnt o cobrimnto da armadura plo concrto. AGRESSIVIDADE DO ABIENTE Sgundo a NBR 6118 (itm 6.4.1), A agrssividad do mio ambint stá rlacionada às açõs físicas químicas qu atuam sobr as struturas d concrto, indpndntmnt das açõs mcânicas, das variaçõs volumétricas d origm térmica, da rtração idráulica outras prvistas no dimnsionamnto das struturas. Nos projtos das struturas corrnts, a agrssividad ambintal dv sr classificada d acordo com o aprsntado na Tabla 1 pod sr avaliada, simplificadamnt, sgundo as condiçõs d posição da strutura ou d suas parts (itm 6.4.). Concndo o ambint m qu a strutura srá construída, o projtista strutural pod considrar uma condição d agrssividad maior qu aqulas mostradas na Tabla 1. 3 QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIENTO Conform a NBR 6118 (itm 7.4), a... durabilidad das struturas é altamnt dpndnt das caractrísticas do concrto da spssura qualidad do concrto do cobrimnto da armadura. Ensaios comprobatórios d dsmpno da durabilidad da strutura frnt ao tipo class d agrssividad prvista m projto dvm stablcr os parâmtros mínimos a srm atndidos. Na falta dsts dvido à istência d uma fort corrspondência ntr a rlação água/cimnto a rsistência à comprssão do concrto sua durabilidad, prmit-s qu sjam adotados os rquisitos mínimos prssos na Tabla. O concrto utilizado dv cumprir com os rquisitos contidos na NBR 1655 divrsas outras normas (itm 7.4.3). Para parâmtros rlativos ao Concrto Protndido consultar a Tabla 7.1 da NBR 6118. 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORAS TÉCNICAS. Projto d struturas d concrto Procdimnto, NBR 6118. ABNT, 014, 38p.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado Class d agrssividad Ambintal I Tabla 1 Classs d agrssividad ambintal CAA. (Tabla 6.1 da NBR 6118). Classificação gral do Risco d dtrioração da Agrssividad tipo d ambint strutura para fito d Projto Rural Fraca Insignificant Submrsa II odrada Urbana 1, Pquno III IV Fort uito fort arina 1 Industrial 1, Industrial 1, 3 Rspingos d maré Grand Elvado NOTAS: 1) Pod-s admitir um microclima com uma class d agrssividad mais branda (uma class acima) para ambints intrnos scos (salas, dormitórios, baniros, cozinas áras d srviço d apartamntos rsidnciais conjuntos comrciais ou ambints com concrto rvstido com argamassa pintura). ) Pod-s admitir uma class d agrssividad mais branda (uma class acima) m obras m rgiõs d clima sco, com umidad média rlativa do ar mnor ou igual a 65 %, parts da strutura protgidas d cuva m ambints prdominantmnt scos ou rgiõs ond raramnt cov. 3) Ambints quimicamnt agrssivos, tanqus industriais, galvanoplastia, branquamnto m indústrias d clulos papl, armazéns d frtilizants, indústrias químicas. Tabla Corrspondência ntr class d agrssividad ambintal qualidad do Concrto Armado. (Tabla 7.1 da NBR 6118). Concrto Class d agrssividad ambintal (CAA) I II III IV Rlação água/cimnto 0,65 0,60 0,55 0,45 m massa Class d concrto (NBR 8953) C0 C5 C30 C40 4 ESPESSURA DO COBRIENTO DA ARADURA Dfin-s cobrimnto d armadura a spssura da camada d concrto rsponsávl pla protção da armadura num lmnto. Essa camada inicia-s a partir da fac mais trna da barra d aço s stnd até a suprfíci trna do lmnto m contato com o mio ambint. Em vigas pilars é comum a spssura do cobrimnto iniciar na fac trna dos stribos da armadura transvrsal, como mostrado na Figura 1. Cnom Estribo C nom Figura 1 Espssura do cobrimnto da armadura plo concrto.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 3 A NBR 6118 (itm 7.4.7.1) dfin o cobrimnto mínimo da armadura como o mnor valor qu dv sr rspitado ao longo d todo o lmnto considrado. Para garantir o cobrimnto mínimo (c mín), o projto a cução dvm considrar o cobrimnto nominal (c nom), qu é o cobrimnto mínimo acrscido da tolrância d cução (c). As dimnsõs das armaduras os spaçadors dvm rspitar os cobrimntos nominais. c nom c c Eq. 1 mín Nas obras corrnts o valor d c dv sr maior ou igual a 10 mm. Ess valor pod sr rduzido para 5 mm quando ouvr um control adquado d qualidad limits rígidos d tolrância da variabilidad das mdidas durant a cução das struturas d concrto, informado nos dsnos d projto. A Tabla 3 (NBR 6118, itm 7.4.7.) aprsnta valors d cobrimnto nominal com tolrância d cução (c) d 10 mm, m função da class d agrssividad ambintal. Tabla 3 Corrspondência ntr class d agrssividad ambintal cobrimnto nominal para c = 10 mm (Tabla 7. da NBR 6118). Tipo d strutura Componnt ou lmnto Class d agrssividad ambintal (CAA) I II III IV Cobrimnto nominal (mm) Laj 1 0 5 35 45 Viga/Pilar 5 30 40 50 Concrto Armado 4 Elmntos struturais m contato com o 30 40 50 solo 3 Notas: 1) Para a fac suprior d lajs vigas qu srão rvstidas com argamassa d contrapiso, com rvstimntos finais scos tipo carpt madira, com argamassa d rvstimnto acabamnto, como pisos d lvado dsmpno, pisos crâmicos, pisos asfálticos outros tantos, as igências dsta tabla podm sr substituídas plas d 7.4.7.5, rspitado um cobrimnto nominal 15 mm. ) Nas suprfícis postas a ambints agrssivos, como rsrvatórios, staçõs d tratamnto d água sgoto, condutos d sgoto, canaltas d flunts outras obras m ambints química intnsamnt agrssivos, dvm sr atndidos os cobrimntos da class d agrssividad IV. 3) No trco dos pilars m contato com o solo junto aos lmntos d fundação, a armadura dv tr cobrimnto nominal 45 mm. 4) Para parâmtros rlativos ao Concrto Protndido consultar a Tabla 7. da NBR 6118. No caso d lmntos struturais pré-fabricados, os valors rlativos ao cobrimnto das armaduras (Tabla 7.) dvm sguir o disposto na ABNT NBR 906. (itm 7.4.7.7). Para concrtos d class d rsistência suprior ao mínimo igido, os cobrimntos dfinidos na Tabla 3 podm sr rduzidos m até 5 mm. A NBR 6118 (itns 7.4.7.5 7.4.7.6) ainda stablc qu o cobrimnto nominal d uma dtrminada barra dv smpr sr: c c nom nom barra fi n n Eq. A dimnsão máima caractrística do agrgado graúdo (d má) utilizado no concrto não pod suprar m 0 % a spssura nominal do cobrimnto, ou sja: dmá 1, c nom Eq. 3 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORAS TÉCNICAS. Projto cução d struturas d concrto pré-moldado. NBR 906, ABNT, 001, 36p.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 4 5 CONCEITOS INICIAIS 5.1 Solicitaçõs Normais Os pilars podm star submtidos a forças normais momntos fltors, grando os sguints casos d solicitação: a) Comprssão Simpls A comprssão simpls também é camada comprssão cntrada ou comprssão uniform. A aplicação da força normal é no cntro gométrico (CG) da sção transvrsal do pilar, cujas tnsõs na sção transvrsal são uniforms (Figura ). N d N d N d CG Figura Solicitação d comprssão simpls ou uniform. b) Flão Composta Na flão composta ocorr a atuação conjunta d força normal momnto fltor sobr o pilar. Há dois casos: - Flão Composta Normal (ou Rta): ist a força normal um momnto fltor m uma dirção, tal qu d = 1. (Figura 3a); - Flão Composta Oblíqua: ist a força normal dois momntos fltors, rlativos às duas dirçõs principais do pilar, tal qu 1d, = 1. 1d, = 1. (Figura 3b). N d N d 1 1 1 a) normal; b) oblíqua. Figura 3 Tipos d flão composta. 5. Flambagm Flambagm pod sr dfinida como o dslocamnto latral na dirção d maior sbltz, com força mnor do qu a d ruptura do matrial ou como a instabilidad d pças sbltas comprimidas. A

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 5 ruína por fito d flambagm é rpntina violnta, msmo qu não ocorram acréscimos bruscos nas açõs aplicadas. Uma barra comprimida fita por alguns tipos d matriais pod rsistir a cargas substancialmnt supriors à carga crítica (N crít), o qu significa qu a flambagm não corrspond a um stado-limit último. No ntanto, para uma barra comprimida d Concrto Armado, a flambagm caractriza um stadolimit último. 5.3 Não-linaridad Física Gométrica No dimnsionamnto d alguns lmntos struturais, spcialmnt os pilars, é important considrar duas linaridads qu ocorrm, uma rlativa ao matrial concrto outra rlativa à gomtria do pilar. a) não-linaridad física Quando o matrial não obdc à Li d Hook, como matriais com diagramas mostrados na Figura 4b Figura 4c. A Figura 4a a Figura 4d mostram matriais ond á linaridad física. O concrto simpls aprsnta comportamnto lastoplástico m nsaios d comprssão simpls, com um trco inicial linar até aproimadamnt 0,3f c. DESCARGA = E(HOOKE) CARGA RUPTURA a) lástico linar b) lástico não-linar (CONCRETO) CARGA DESCARGA RUPTURA c) lastoplástico d) lastoplástico idal Figura 4 Diagramas d alguns matriais. b) não-linaridad gométrica Ocorr quando as dformaçõs provocam sforços adicionais qu prcisam sr considrados no cálculo, grando os camados sforços d sgunda ordm, como o momnto fltor = F. a (Figura 5).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 6 F a F r a) posição inicial b) posição final Figura 5 Não-linaridad gométrica originando sforços d sgunda ordm. 5.4 Equação da Curvatura d Elmntos Fltidos O dslocamnto local d a ordm é aqul qu ocorr m um lanc 3 do pilar, como os dslocamntos orizontais da barra indicada na Figura 5b. A NBR 6118 comumnt usa os trmos fitos locais d a ordm, ond, ntr outros, o principal fito é o momnto fltor d sgunda ordm ( ), grado a partir do dslocamnto latral da barra, igual a F. a no caso da barra da Figura 5b. A dtrminação dos fitos locais d a ordm m barras comprimidas pod sr fita por métodos aproimados, ntr ls o do pilar-padrão com curvatura aproimada, como prconizado na NBR 6118 (itm 15.8.3.3.). Com o intuito d subsidiar o ntndimnto do pilar-padrão, aprsntado adiant, da prssão para cálculo do momnto fltor d a ordm, aprsnta-s agora a quação da curvatura d lmntos fltidos. 4 Considrando a Li d Hook ( = E. ), a quação da curvatura d pças fltidas, como aqula mostrada na Figura 6, tm a sguint ddução: d d d d E Eq. 4 Aplicando na Eq. 4 fica: I d d E I d d E I O comprimnto d pod sr scrito: d = r d d d d d Eq. 5 r E I 3 Lanc é a part (comprimnto) d um pilar rlativa ao trco ntr dois pavimntos d uma dificação. 4 A quação da curvatura é gralmnt studada na disciplina Rsistência dos atriais.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 7 Rarranjando os trmos da Eq. 5 cga-s a quação da curvatura: d d 1 r E I Eq. 6 dø v r > 0 1 d Figura 6 Curvatura d uma pça fltida. d + d Do cálculo difrncial tm-s a prssão ata da curvatura (lina lástica): 1 r d d d 1 d 3/ d Para pqunos dslocamntos (pquna inclinação) tm-s << 1, o qu lva a: d Eq. 7 1 d r Eq. 8 d Juntando a Eq. 6 a Eq. 8 ncontra-s a quação aproimada para a curvatura: 1 d Eq. 9 r d E I A rlação istnt ntr a curvatura as dformaçõs nos matriais (concrto aço) da barra, considrando-s a li d Navir ( =. 1/r), como mostrado na Figura 7, é: 1 1 Eq. 10 r

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 8 c 1/r d s 1 Figura 7 Rlação ntr as dformaçõs nos matriais a curvatura. Para o Concrto Armado a Eq. 10 torna-s: 1 s c Eq. 11 r d com: s = dformação na armadura tracionada; c = dformação no concrto comprimido; d = altura útil da pça. A NBR 6118 aplica sta quação no cálculo do momnto fltor d a ordm ( ), com as dformaçõs s c substituídas por valors numéricos (vr Eq. 19). 5.5 Comprssão Aial Est itm aprsnta a ddução da quação simplificada da curvatura d uma barra comprimida (Eq. 16), ncssária ao dimnsionamnto d pilars. Considr a barra comprimida como mostrada na Figura 8. Como dfinida na Eq. 8, a quação simplificada da curvatura é: 1 r d d a F r Figura 8 Curvatura d uma barra comprimida ngastada na bas livr no topo.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 9 d O momnto fltor trno solicitant é t = F.. Considrando a Eq. 9 ( ), com d E I matrial lástico linar, fazndo o quilíbrio ntr o momnto fltor trno o momnto fltor intrno ( t = int) tm-s: d F d k k 0 d E I d com k = F/EI. A solução gral para a quação difrncial tm a forma: = C 1 sn k + C cos k Eq. 1 As condiçõs d contorno para dfinição das constants C 1 C são: a) para = 0 = 0 C 1. 0 + C. 1 = 0 C = 0 A Eq. 1 simplifica-s para: = C 1 sn k Eq. 13 d b) para = 0 d d d k C cos k 1 k C cos k 0 1 Eq. 14 Para barra fltida, a constant C 1 na Eq. 14 dv sr difrnt d zro, o qu lva a: cos k = 0 k = / k = / A Eq. 13 toma a forma: C sn Eq. 15 1 Para =, o dslocamnto é igual ao valor a (vr Figura 8). Portanto, aplicando a Eq. 15: C1 sn a, dond rsulta qu C 1 = a. Sndo = ( = comprimnto d flambagm) com a dtrminação da constant C 1, dfin-s a quação simplificada para a curvatura da barra comprimida: a sn Eq. 16 5.6 Pilar-Padrão O pilar-padrão é uma simplificação do camado étodo Gral 5, o qual Consist na anális não linar d a ordm ftuada com discrtização adquada da barra, considração da rlação momntocurvatura ral m cada sção considração da não linaridad gométrica d manira não aproimada. O método gral é obrigatório para λ > 140. (NBR 6118, 15.8.3.). 5 O étodo Gral não é gralmnt studado m profundidad m curso d graduação.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 10 O pilar-padrão é uma barra ngastada na bas livr no topo, com uma curvatura concida (Figura 9). É important salintar qu o método do pilar-padrão é aplicávl somnt a pilars d sção transvrsal constant armadura constant m todo o comprimnto do pilar. A vrificação da sgurança é fita arbitrando-s dformaçõs c s tais qu não ocorra o stado limit último d ruptura ou alongamnto plástico cssivo na sção mais solicitada da pça. (FUSCO, 1981). Figura 9 Pilar-padrão. Como simplificação a lina lástica pod sr tomada pla função snoidal dfinida na Eq. 16, ond a é considrada igual a (dformação d a ordm), conform mostrado na Figura 9: sn A primira a sgunda drivada da quação forncm: d d cos d d sn 1/r: 1 d Considrando a Eq. 8 ( r ), da sgunda drivada surg o valor para m função da curvatura d d d 1 r 1 r Tomando como o máimo dslocamnto tm-s: 1 r Com 10 sndo 1/r rlativo à sção crítica (bas), o dslocamnto no topo da barra é: 1 Eq. 17 10 r bas

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 11 O dslocamnto máimo é camado cntricidad d a ordm srá considrado no dimnsionamnto dos pilars, como s vrá adiant. Dvido à cntricidad local surg o momnto fltor d sgunda ordm: d =. = N d 1 10 r bas Eq. 18 Tomando a Eq. 11, o aço CA-50, γ s = 1,15 ε c = 3,5 = 0,0035, pod-s dtrminar o valor da curvatura 1/r na bas (sção crítica) do pilar-padrão: fd 0,0035 50 /1,15 1 s 0,0035 c Es 0,0007 0,0035 0,00557 = 1000 r d d d d d A NBR 6118 (itm 15.8.3.3.) toma uma prssão aproimada para a curvatura na bas, como: 1 r 0,005 0,005 Eq. 19 0,5 com (ni) sndo um valor adimnsional rlativo à força normal (): Nd Eq. 0 A f c cd ond: = altura da sção na dirção considrada; A c = ára da sção transvrsal; f cd = rsistência d cálculo do concrto à comprssão (f ck/ c). Aplicando a Eq. 19 na Eq. 18 tm-s o máimo momnto fltor d sgunda ordm local, a sr aplicado no dimnsionamnto d pilars plo método do pilar-padrão com curvatura aproimada: d N d 0,005 10 0,5 Eq. 1 6 NOÇÕES DE CONTRAVENTAENTO DE ESTRUTURAS Os difícios dvm sr projtados d modo a aprsntarm a ncssária stabilidad às açõs vrticais orizontais, ou sja, dvm aprsntar a camada stabilidad global. Os pilars são os lmntos dstinados à stabilidad vrtical, porém, é ncssário projtar outros lmntos mais rígidos qu, além d também transmitirm as açõs vrticais, dvrão garantir a stabilidad orizontal do difício à ação do vnto d sismos (quando istirm). Ao msmo tmpo, são sss lmntos mais rígidos qu garantirão a indslocabilidad dos nós dos pilars mnos rígidos. Com ssas prmissas classificam-s os lmntos vrticais dos difícios m lmntos d contravntamnto lmntos (pilars) contravntados. Dfin-s o sistma d contravntamnto como o conjunto d lmntos qu proporcionarão a stabilidad orizontal do difício a indslocabilidad ou quas-indslocabilidad dos pilars contravntados, qu são aquls qu não fazm part do sistma d contravntamnto. A NBR 6118 (itm 15.4.3) diz qu, Por convniência d anális, é possívl idntificar, dntro da strutura, substruturas qu, dvido à sua grand rigidz a açõs orizontais, rsistm à maior part dos sforços dcorrnts dssas açõs. Essas substruturas são camadas substruturas d contravntamnto. Os lmntos qu não participam da substrutura d contravntamnto são camados lmntos contravntados. Os lmntos d contravntamnto são constituídos por pilars d grands dimnsõs (pilarspard ou simplsmnt pards struturais), por trliças ou pórticos d grand rigidz, núclos d rigidz, tc., como mostrados na Figura 10.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 1 As lajs dos divrsos pavimntos do difício também podm participar da stabilidad orizontal, ao atuarm como lmntos d rigidz infinita no próprio plano (o qu s cama diafragma rígido), fazndo a ligação ntr lmntos d contravntamnto formados por pórticos, por mplo. Sgundo SÜSSEKIND (1984, p. 175), Toda strutura, indpndntmnt do númro d andars das dimnsõs m planta, dv tr su sistma d contravntamnto studado adquadamnt dimnsionado. Pilars ou Elmntos d Contravntamntos Pilars Contravntados Figura 10 Pilars contravntados lmntos d contravntamnto (FUSCO, 1981). 6.1 Estruturas d Nós Fios óvis No itm 15.4. a NBR 6118 dfin o qu são, para fito d cálculo, struturas d nós fios d nós móvis. A Figura 1 a Figura 13 ilustram os tipos. a) Estruturas d nós fios São aqulas quando os dslocamntos orizontais dos nós são pqunos, por dcorrência, os fitos globais d a ordm são dsprzívis (infriors a 10 % dos rspctivos sforços d 1 a ordm), Nssas struturas, basta considrar os fitos locais localizados d a ordm. No itm 15.4.1 a NBR 6118 aprsnta dfiniçõs d fitos globais, locais localizados d a ordm: Sob a ação das cargas vrticais orizontais, os nós da strutura dslocam-s orizontalmnt. Os sforços d a ordm dcorrnts dsss dslocamntos são camados fitos globais d a ordm. Nas barras da strutura, como um lanc d pilar, os rspctivos ios não s mantêm rtilínos, surgindo aí fitos locais d a ordm qu, m princípio, aftam principalmnt os sforços solicitants ao longo dlas. Em pilars-pard (simpls ou compostos) pod-s tr uma rgião qu aprsnta não rtilinidad maior do qu a do io do pilar como um todo. Nssas rgiõs surgm fitos d a ordm maiors, camados d fitos d a ordm localizados (vr Figura 15.3). O fito d a ordm localizado, além d aumntar nssa rgião a flão longitudinal, aumnta também a flão transvrsal, avndo a ncssidad d aumntar a armadura transvrsal nssas rgiõs. (vr Figura 11). Figura 11 Efitos d a ordm localizados (NBR 6118).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 13 b) Estruturas d nós móvis São aqulas ond os dslocamntos orizontais não são pqunos, m dcorrência, os fitos globais d a ordm são importants (supriors a 10 % dos rspctivos sforços d 1 a ordm). Nssas struturas dvm sr considrados tanto os sforços d a ordm globais como os locais localizados. As substruturas d contravntamnto podm sr d nós fios ou d nós móvis, d acordo com as dfiniçõs acima (Figura 1). Para vrificar s a strutura stá sujita ou não a sforços globais d a ordm, ou sja, s a strutura pod sr considrada como d nós fios, lança-s mão do cálculo do parâmtro d instabilidad (NBR 6118, itm 15.5.) ou do coficint z (itm 15.5.3). Esss coficints srão studados na disciplina Estruturas d Concrto IV. Para mais informaçõs sobr a stabilidad global dos difícios dvm sr consultados FUSCO (000) SÜSSEKIND (1984). Pilars Contravntados nós móvis Elmntos d Contravntamnto nós fios Figura 1 Pilars contravntados lmntos d contravntamnto (FUSCO, 1981). a) Estrutura dslocávl b) Estrutura indslocávl Figura 13 Estruturas d nós fios móvis (FUSCO, 1981).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 14 6. Elmntos Isolados A NBR 6118 (itm 15.4.4) dfin qu são considrados lmntos isolados os sguints: a) lmntos struturais isostáticos; b) lmntos contravntados; c) lmntos qu fazm part d struturas d contravntamnto d nós fios; d) lmntos das substruturas d contravntamnto d nós móvis, dsd qu, aos sforços nas trmidads, obtidos m uma anális d 1 a ordm, sjam acrscntados os dtrminados por anális global d a ordm. Nsta apostila são aprsntados somnt os camados lmntos (pilars) contravntados. 7 EXCENTRICIDADES Nst itm são aprsntadas outras cntricidads além da cntricidad d a ordm, qu podm ocorrr no dimnsionamnto dos pilars: cntricidad d 1 a ordm, cntricidad acidntal cntricidad dvida à fluência. 7.1 Ecntricidad d 1 a Ordm A cntricidad d 1 a ordm ( 1) é dvida à possibilidad d ocorrência d momntos fltors trnos solicitants, qu podm ocorrr ao longo do comprimnto do pilar, ou dvido ao ponto tórico d aplicação da força normal não star localizado no cntro d gravidad da sção transvrsal, ou sja, istência da cntricidad inicial a, como indicada na Figura 14. Considrando a força normal N o momnto fltor (indpndnt d N), a Figura 14 mostra os casos possívis d cntricidad d 1 a ordm. N N N a N a N suposta cntrada = 0 = 0 1 N suposta aplicada à distância a do CG, = 0 1 = a N suposta cntrada = 1 N Figura 14 Casos d cntricidad d 1 a ordm. N suposta aplicada à distância a do CG = a + 1 N 7. Ecntricidad Acidntal No caso do dimnsionamnto ou vrificação d um lanc d pilar, dvr sr considrado o fito do dsaprumo ou da falta d rtilinidad do io do pilar [...]. Admit-s qu, nos casos usuais d struturas rticuladas, a considração apnas da falta d rtilinidad ao longo do lanc d pilar sja suficint. (NBR 6118, 11.3.3.4.). A imprfição gométrica pod sr avaliada plo ângulo 1 : 1 1 Eq. 100 H com: H = altura do lanc, m mtro, conform mostrado na Figura 15; 1mín = 1/300 para struturas rticuladas imprfiçõs locais; = 1/00 1má

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 15 pilar d contravntamnto pilar contravntado lmnto d travamnto 1 a a H i 1 1 1 H i/ a) Elmntos d travamnto b) Falta d rtilinidad c) Dsaprumo do pilar (tracionado ou comprimido) no pilar Figura 15 Imprfiçõs gométricas locais. A cntricidad acidntal para um lanc do pilar rsulta do ângulo 1 : H Eq. 3 a 1 7.3 Ecntricidad d a Ordm A anális global d a ordm fornc apnas os sforços nas trmidads das barras, dvndo sr ralizada uma anális dos fitos locais d a ordm ao longo dos ios das barras comprimidas, d acordo com o prscrito m 15.8. Os lmntos isolados, para fins d vrificação local, dvm sr formados plas barras comprimidas rtiradas da strutura, com comprimnto, d acordo com o stablcido m 15.6, porém aplicando-s às suas trmidads os sforços obtidos através da anális global d a ordm. (NBR 6118, itm 15.7.4). Conform a NBR 6118 (15.8.), Os sforços locais d a ordm m lmntos isolados podm sr dsprzados quando o índic d sbltz for mnor qu o valor-limit 1 [...]. O valor d 1 dpnd d divrsos fators, mas os prpondrants são: - a cntricidad rlativa d 1 a ordm 1 / na trmidad do pilar ond ocorr o momnto d 1 a ordm d maior valor absoluto; - a vinculação dos trmos da coluna isolada; - a forma do diagrama d momntos d 1a ordm. O valor-limit 1 é: 1 5 1,5 1 Eq. 4 b com: 35 λ 1 90, ond: 1 = cntricidad d 1 a ordm (não inclui a cntricidad acidntal a); 1 / = cntricidad rlativa d 1 a ordm. No itm 15.8.1 da NBR 6118 ncontra-s qu o pilar dv sr do tipo isolado, d sção armadura constants ao longo do io longitudinal, submtidos à flo-comprssão. Os pilars dvm tr índic d sbltz mnor ou igual a 00 (λ 00). Apnas no caso d lmntos pouco comprimidos com força normal mnor qu 0,10f cd A c, o índic d sbltz pod sr maior qu 00. Para pilars com índic

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 16 d sbltz suprior a 140, na anális dos fitos locais d a ordm, dvm-s multiplicar os sforços solicitants finais d cálculo por um coficint adicional γ n1 = 1 + [0,01(λ 140)/]. O valor d b dv sr obtido conform stablcido a sguir (NBR 6118, 15.8.): a) para pilars biapoiados sm cargas transvrsais: B b 0,6 0,4 0,4 Eq. 5 sndo: 0,4 b 1,0 A A B são os momntos d 1 a ordm nos trmos do pilar, obtidos na anális d 1 a ordm no caso d struturas d nós fios os momntos totais (1 a ordm + a ordm global) no caso d struturas d nós móvis. Dv sr adotado para A o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado para B o sinal positivo, s tracionar a msma fac qu A, ngativo, m caso contrário. b) para pilars biapoiados com cargas transvrsais significativas ao longo da altura: b 1 c) para pilars m balanço: C b 0,8 0, 0,85 Eq. 6 A sndo: 0,85 b 1,0, A = momnto d 1 a ordm no ngast; C = momnto d 1 a ordm no mio do pilar m balanço. d) para pilars biapoiados ou m balanço com momntos mnors qu o momnto mínimo stablcido m 11.3.3.4.3: b 1 O fator b consta do ACI 318 (1995) com a notação C m (itm 10.1.3.1). Porém, ao contrário da NBR 6118, qu também considra a cntricidad rlativa 1/, tanto o ACI como o Eurocod (199) o C-90 (1990) do CEB, calculam a sbltz limit m função da razão ntr os momntos fltors ou ntr as cntricidads nas trmidads do pilar. 7.4 Ecntricidad Dvida à Fluência A considração da fluência dv obrigatoriamnt sr ralizada m pilars com índic d sbltz > 90 pod sr ftuada d manira aproimada, considrando a cntricidad adicional cc dada a sguir: (NBR 6118, 15.8.4) Nsg sg N N sg cc,718 1 a Eq. 7 Nsg N 10 E Ic Eq. 8 ci ond: a = cntricidad dvida a imprfiçõs locais;

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 17 sg N sg = sforços solicitants dvidos à combinação quas prmannt; = coficint d fluência; E ci = módulo d lasticidad tangnt; I c = momnto d inércia; = comprimnto d flambagm. 8 ÍNDICE DE ESBELTEZ O índic d sbltz é a razão ntr o comprimnto d flambagm o raio d giração, nas dirçõs a srm considradas (NBR 6118, 15.8.): Eq. 9 i I com o raio d giração sndo: i A Para sção rtangular o índic d sbltz é: 3,46 Eq. 30 ond: = comprimnto d flambagm; i = raio d giração da sção gométrica da pça (sção transvrsal d concrto, não s considrando a prsnça d armadura); I = momnto d inércia; A = ára da sção; = dimnsão do pilar na dirção considrada. O comprimnto d flambagm d uma barra isolada dpnd das vinculaçõs na bas no topo, conform os squmas mostrados na Figura 16. F F F F F A. Simpls B B A. Simpls B E. óvl B E. Elástico B Livr L = L = 0,7 L = 0,5 L 0,5 L < < L = L A Engast A A A A A. Simpls Engast Engast E. Elástico Figura 16 Comprimnto d flambagm. Em difícios, a lina dformada dos pilars contravntados aprsnta-s como mostrada na Figura 17a. Uma simplificação pod sr fita como indicada na Figura 17b.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 18 n TETO n TETO n TETO () n n TETO 1 TETO 1 TETO 1 3 1 1 FUNDAÇÃO FUNDAÇÃO a) situação ral; b) situação simplificada. Figura 17 Situação ral simplificada d pilars contravntados d difícios (SÜSSEKIND, 1984). Nas struturas d nós fios, o cálculo pod sr ralizado considrando cada lmnto comprimido isoladamnt, como barra vinculada nas trmidads aos dmais lmntos struturais qu ali concorrm, ond s aplicam os sforços obtidos pla anális da strutura ftuada sgundo a toria d 1 a ordm. (NBR 6118, 15.6). Assim, o comprimnto quivalnt ( ), d flambagm, do lmnto comprimido (pilar), suposto vinculado m ambas as trmidads, dv sr o mnor dos sguints valors: o Eq. 31 com: o = distância ntr as facs intrnas dos lmntos struturais, supostos orizontais, qu vinculam o pilar (Figura 18); = altura da sção transvrsal do pilar, mdida no plano da strutura m studo; = distância ntr os ios dos lmntos struturais aos quais o pilar stá vinculado. + Figura 18 Valors d o. Para casos d dtrminação do comprimnto d flambagm mais complos rcomnda-s a litura d SÜSSEKIND (1984, v.).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 19 Em função do índic d sbltz, os pilars podm sr classificados como: a) Pilar curto s 35; b) Pilar médio s 35 < 90; c) Pilar mdianamnt sblto s 90 < 140; d) Pilar sblto s 140 < 00. Eq. 3 Os pilars curtos médios rprsntam a grand maioria dos pilars das dificaçõs. Os pilars mdianamnt sbltos sbltos são bm mnos frqunts. 9 DETERINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE a ORDE D acordo com a NBR 6118 (15.8.3), o cálculo dos fitos locais d a ordm pod sr fito plo étodo Gral ou por métodos aproimados. O étodo Gral é obrigatório para lmntos com > 140. A norma aprsnta difrnts métodos aproimados, sndo ls: método do pilar-padrão com curvatura aproimada (itm 15.8.3.3.), método do pilar-padrão com rigidz aproimada (15.8.3.3.3), método do pilar-padrão acoplado a diagramas, N, 1/r (15.8.3.3.4) método do pilar-padrão para pilars d sção rtangular submtidos à flão composta oblíqua (15.8.3.3.5). Srão agora aprsntados os métodos do pilar-padrão com curvatura aproimada com rigidz aproimada, qu são simpls d srm aplicados no dimnsionamnto. O pilar-padrão foi aprsntado no itm 5.6. 9.1 étodo do Pilar-Padrão com Curvatura Aproimada Conform a NBR 6118 (15.8.3.3.), o método pod sr mprgado apnas no cálculo d pilars com λ 90, com sção constant armadura simétrica constant ao longo d su io. A não linaridad gométrica é considrada d forma aproimada, supondo-s qu a dformação da barra sja snoidal. A não linaridad física é considrada através d uma prssão aproimada da curvatura na sção crítica. A quação snoidal para a lina lástica foi dfinida na Eq. 16, qu dfin os valors para a dformação d a ordm ( ) ao longo da altura do pilar. A não linaridad física com a curvatura aproimada foi aprsntada na Eq. 11 na Eq. 19. O momnto fltor total máimo no pilar dv sr calculado com a prssão: d,tot b 1d,A N d 1 10 r 1d,A Eq. 33 ond: b = parâmtro dfinido no itm 7.3; = força normal solicitant d cálculo; = comprimnto d flambagm. 1/r = curvatura na sção crítica, avaliada pla prssão aproimada (Eq. 19): 1 r 0,005 ( 0,5) 0,005 A força normal adimnsional () foi dfinida na Eq. 0: Nd A. f c cd Embora o itm 15.8.3.3. da vrsão d 014 da NBR 6118, difrntmnt da vrsão d 003, não aprsnt dirtamnt, dv-s considrar qu: 1d,A 1d,mín d,tot 1d,mín

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 0 com: 1d,A = valor d cálculo d 1 a ordm do momnto A, como dfinido no itm 7.3; 1d,mín = momnto fltor mínimo como dfinido a sguir; A c = ára da sção transvrsal do pilar; f cd = rsistência d cálculo à comprssão do concrto (f cd = f ck / c); = dimnsão da sção transvrsal na dirção considrada. Na vrsão d 003, a NBR 6118 introduziu um parâmtro novo no cálculo dos pilars: o momnto fltor mínimo, o qual consta no código ACI 318 (1995) como quação 10-15 : a sbltz é lvada m considração aumntando-s os momntos fltors nos trmos do pilar. S os momntos atuants no pilar são muito pqunos ou zro, o projto d pilars sbltos dv s basar sobr uma cntricidad mínima, dada plo momnto mínimo. Na vrsão d 014 da NBR 6118 (11.3.3.4.3), como na vrsão d 003, consta qu o fito das imprfiçõs locais nos pilars pilars-pard pod sr substituído, m struturas rticuladas, pla considração do momnto mínimo d 1 a ordm dado a sguir (itm 11.3.3.4.3): N (0,015 0,03 ) Eq. 34 1d,mín d com sndo a altura total da sção transvrsal na dirção considrada, m mtro (m). A NBR 6118 ainda informa qu ao s considrar o momnto fltor mínimo pod-s dsconsidrar a cntricidad acidntal ou o fito das imprfiçõs locais, qu ao momnto mínimo dvm sr acrscidos os momntos d a ordm. A rigor, o momnto fltor total máimo dv sr calculado para cada dirção principal do pilar. El lva m conta qu, numa sção intrmdiária ond ocorr a cntricidad máima d a ordm, o momnto fltor máimo d 1 a ordm sja corrigido plo fator b. Isto é smlant ao qu s ncontra no itm 7.5.4 d FUSCO (1981), com a difrnça d qu novos parâmtros foram stablcidos para b. S o momnto fltor d 1 a ordm for nulo ou mnor qu o mínimo, ntão o momnto fltor mínimo, constant na altura do pilar, dv sr somado ao momnto fltor d a ordm. Ainda no itm 11.3.3.4.3 da NBR 6118: Para pilars d sção rtangular, pod-s dfinir uma nvoltória mínima d 1ª ordm, tomada a favor da sgurança, conform mostrado na Figura 19. 1d,mín, 1d,mín, 1d,mín, 1d,mín, 1 Eq. 35 1d,mín, = (0,015 + 0,03) 1d,mín, = (0,015 + 0,03b) sndo: 1d,mín, 1d,mín, = componnts m flão composta normal; 1d,mín, 1d,mín, = componnts m flão composta oblíqua. Figura 19 Envoltória mínima d 1ª ordm (NBR 6118).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 1 Nst caso, a vrificação do momnto mínimo pod sr considrada atndida quando, no dimnsionamnto adotado, obtém-s uma nvoltória rsistnt qu nglob a nvoltória mínima d 1ª ordm. Quando ouvr a ncssidad d calcular os fitos locais d ª ordm m alguma das dirçõs do pilar, a vrificação do momnto mínimo dv considrar ainda a nvoltória mínima com ª ordm, conform 15.3.. No itm 15.3. a norma raprsnta o diagrama da Figura 19, mas com a nvoltória mínima acrscida dos fitos da a ordm, mostrando também a nvoltória rsistnt (Figura 0). Para pilars d sção rtangular, quando ouvr a ncssidad d calcular os fitos locais d ª ordm, a vrificação do momnto mínimo pod sr considrada atndida quando, no dimnsionamnto adotado, obtém-s uma nvoltória rsistnt qu nglob a nvoltória mínima com ª ordm, cujos momntos totais são calculados a partir dos momntos mínimos d 1ª ordm d acordo com itm 15.8.3. A considração dsta nvoltória mínima pod sr ralizada através d duas análiss à flão composta normal, calculadas d forma isolada com momntos fltors mínimos d 1ª ordm atuants nos trmos do pilar, nas suas dirçõs principais. Figura 0 Envoltória mínima com ª ordm (NBR 6118). 9. étodo do Pilar-Padrão com Rigidz Aproimada Conform a NBR 6118 (15.8.3.3.3), o método pod sr mprgado apnas no cálculo d pilars com λ 90, com sção rtangular constant armadura simétrica constant ao longo d su io. A não linaridad gométrica dv sr considrada d forma aproimada, supondo-s qu a dformação da barra sja snoidal. A não linaridad física dv sr considrada através d uma prssão aproimada da rigidz. O momnto total máimo no pilar dv sr calculado a partir da majoração do momnto d 1 a ordm pla prssão: Sd,tot b 1d,A 1 10 / 1d,A Eq. 36 sndo o valor da rigidz adimnsional κ dado aproimadamnt pla prssão: apro Rd,tot 3 1 5 Eq. 37. Nd Em um procsso d dimnsionamnto, toma-s Rd,tot = Sd,tot. Em um procsso d vrificação, ond a armadura é concida, Rd,tot é o momnto rsistnt calculado com ssa armadura com = N Sd = N Rd. As variávis,, 1d,A b são as msmas dfinidas antriormnt. A variávl rprsnta o índic d sbltz o coficint adimnsional rlativo à força normal (Eq. 0).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado Substituindo a Eq. 37 na Eq. 36 obtém-s uma quação do o grau útil para calcular dirtamnt o valor d Sd,tot, sm a ncssidad d s fazr itraçõs: a Sd,tot b c 0 Eq. 38 Sd, tot a 5 Nd b Nd 30 c Nd b 1d,A 5 b 1d,A Eq. 39 Sd,tot b b 4ac Eq. 40 a O cálculo do momnto fltor total pod sr fito aplicando as três quaçõs acima (Eq. 38, Eq. 39 Eq. 40), ou também com a quação do sgundo grau (com d,tot ao invés d Sd): 1900 d,tot (3840 Nd Nd 1900 b 1d,A ) d,tot 3840 b Nd 1d, A 0 Eq. 41 10 SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO Para fito d projto, os pilars dos difícios podm sr classificados nos sguints tipos: pilars intrmdiários, pilars d trmidad pilars d canto. A cada um dsss tipos básicos corrspond uma situação d projto difrnt. 10.1 Pilar Intrmdiário Nos pilars intrmdiários (Figura 1) considra-s a comprssão cntrada na situação d projto, pois como as lajs vigas são contínuas sobr o pilar, pod-s admitir qu os momntos fltors transmitidos ao pilar sjam pqunos dsprzívis. Não istm, portanto, os momntos fltors A B d 1 a ordm nas trmidads do pilar, como dscritos no itm 7.3. PLANTA SITUAÇÃO DE PROJETO Figura 1 Arranjo strutural situação d projto dos pilars intrmdiários.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 3 10. Pilar d Etrmidad Os pilars d trmidad, d modo gral, ncontram-s posicionados nas bordas das dificaçõs, sndo também camados pilars latrais ou d borda. O trmo pilar d trmidad advém do fato do pilar sr trmo para uma viga, aqula qu não tm continuidad sobr o pilar, como mostrado na Figura. Na situação d projto ocorr a flão composta normal, dcorrnt da não continuidad da viga. Eistm, portanto, os momntos fltors A B d 1 a ordm m uma dirção do pilar, como dscritos no itm 7.3. O pilar d trmidad não ocorr ncssariamnt na borda da dificação, ou sja, pod ocorrr na zona intrior d uma dificação, dsd qu uma viga não aprsnt continuidad no pilar. Nas sçõs d topo bas ocorrm cntricidads 1 d 1 a ordm, na dirção principal ou do pilar: A B 1,A 1,B Eq. 4 N N d d PLANTA 1 SITUAÇÃO DE PROJETO Figura Arranjo strutural situação d projto dos pilars d trmidad. Os momntos fltors A B são dvidos aos carrgamntos vrticais sobr as vigas, obtidos calculando-s os pilars m conjunto com as vigas, formando pórticos planos, ou, d uma manira mais simpls qu pod sr fita manualmnt, com a aplicação das quaçõs já aprsntadas m BASTOS (015). 6 Conform a Figura 3, os momntos fltors, nos lancs infrior suprior do pilar, são: inf r inf ng rinf rsup r Eq. 43 viga sup rsup ng r r r Eq. 44 inf sup viga 6 BASTOS, P.S.S. Vigas d Concrto Armado. Disciplina 13 Estruturas d Concrto II. Bauru/SP, Dpartamnto Engnaria Civil, Faculdad d Engnaria - Univrsidad Estadual Paulista, jun/015, 56p. ttp://wwwp.fb.unsp.br/pbastos/pag_concrto.tm

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 4 com: pilar. ng = momnto fltor d ngastamnto prfito na ligação ntr a viga o pilar; r = I/ = índic d rigidz rlativa; I = momnto d inércia da sção transvrsal do pilar na dirção considrada; = vão ftivo do tramo adjacnt da viga ao pilar trmo, ou comprimnto d flambagm do Na dtrminação dos momntos fltors d 1 a ordm qu ocorrm nos pilars d difícios d pavimntos dv-s considrar a suprposição dos fitos das vigas dos difrnts nívis (Figura 3). Considrando-s por mplo o lanc (tramo) do pilar comprndido ntr os pavimntos i i + 1, os momntos fltors na bas no topo do lanc são: bas sup,i topo inf,i 1 0,5 0,5 inf,i 1 sup,i Eq. 45 S os pavimntos i i + 1 form pavimntos tipo, ou sja, idênticos, os momntos fltors na bas no topo srão iguais : sup,i = inf,i+1 bas = topo = 1,5 sup,i = 1,5 inf,i+1 Eq. 46 1 sup inf,i+1 + 1 sup,i nívl (i + 1) pilar d trmidad viga inf sup sup,i + 1 inf,i+1 nívl i inf,i + 1 sup,i-1 tramo trmo sup,i-1 + 1 inf,i nívl (i - 1) inf Figura 3 omntos fltors nos pilars d trmidad provnints da ligação com a viga não contínua sobr o pilar (FUSCO, 1981). Os mplos numéricos aprsntados no itm 1 mostram o cálculo dos momntos fltors solicitants por mio da Eq. 43 a Eq. 46. 10.3 Pilar d Canto D modo gral, os pilars d canto ncontram-s posicionados nos cantos dos difícios, vindo daí o nom, como mostrado na Figura 4. Na situação d projto ocorr a flão composta oblíqua, dcorrnt da não continuidad das vigas apoiadas no pilar. Eistm, portanto, os momntos fltors A B d 1 a ordm, nas suas duas dirçõs do pilar, ou sja, 1 1. Esss momntos podm sr calculados da msma forma como aprsntado nos pilars d trmidad.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 5 PLANTA 1, 1, SITUAÇÃO DE PROJETO Figura 4 Arranjo strutural situação d projto dos pilars d canto. 11 DETERINAÇÃO DA SEÇÃO SOB O ÁXIO OENTO FLETOR Sndo constant a força normal () ao longo da altura do pilar, no dimnsionamnto dv sr analisada qual sção do pilar, ao longo d sua altura, stará submtida ao maior momnto fltor total, sgundo as dirçõs principais do pilar. Normalmnt basta vrificar as sçõs d trmidad (topo bas) uma sção intrmdiária C, qu é aqula corrspondnt ao máimo momnto fltor d a ordm ( d). A Figura 5 mostra alguns casos difrnts d atuação dos momntos fltors d 1 a ordm ( 1d,A 1d,B), mostra também os momntos fltors mínimo d a ordm. No caso d momnto fltor d 1 a ordm variávl ao longo da altura (lanc) do pilar, o valor maior dv sr nomado 1d,A, considrado positivo. O valor mnor, na outra trmidad, srá nomado 1d,B, considrado ngativo s tracionar a fibra oposta à d 1d,A. O momnto fltor d 1 a ordm istnt dv sr comparado ao momnto fltor mínimo ( 1d,mín), adotado o maior. topo 1d,A 1d,A 1d,A 1d,A = 1d,B 1d,mín C 0 + A 1d,C A + sção intrmdiária + + + + bas OU OU OU B - 1d,B B 1d,B ( > 1d,A ) 1d,B OU,má Figura 5 omntos fltors d 1 a ordm com o d a ordm nas sçõs do lanc do pilar.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 6 Na dtrminação do máimo momnto fltor total, da bas ao topo do pilar, m cada dirção, considrando as sçõs d trmidad a sção intrmdiária C, tm-s: a) Sçõs d trmidad (topo ou bas) 1d,A d,tot Eq. 47 1d,mín b) Sção intrmdiária (C) 1d,C d d,tot Eq. 48 1d,mín d Com o momnto d 1 a ordm 1d,C avaliado como: 0,6 1d,A 0,4 1d,B 1d,C Eq. 49 0,4 1d,A A Eq. 49 tm os coficints 0,6 0,4 rlativos à variávl b, dfinida no itm 7.3. 1 SITUAÇÕES DE PROJETO E DE CÁLCULO O cálculo dos pilars pod sr fito dirtamnt dos valors da força normal do momnto fltor total solicitant no pilar, sm s plicitar as cntricidads da força. Por outro lado, cálculo também pod sr fito plicitando as cntricidads, qu são função dos momntos fltors. No dimnsionamnto dos pilars, conform a antiga NB 1/78, o cálculo ra fito considrando-s as cntricidads. Já a NBR 6118 d 003 introduziu o momnto fltor mínimo a quação do momnto fltor total ( d,tot), dircionando d crta forma o cálculo via momntos fltors não via as cntricidads. Claro qu o cálculo corrto, m função dos momntos fltors ou das cntricidads, conduz aos msmos rsultados. Nos itns sguints procura-s ilustrar os dois modos d cálculo, diandos ao studant a scola do modo a aplicar. Nos itns sguints stão mostradas as cntricidads qu dvm sr considradas no dimnsionamnto dos pilars, m função do tipo d pilar (intrmdiário, d trmidad ou d canto) para má 90. As cntricidads a srm considradas são as sguints: a) Ecntricidad d 1 a ordm 1,A N 1d,A d 1d,B 1,B Eq. 50 N d b) Ecntricidad mínima 1,mín = 1,5 + 0,03, com m cm Eq. 51 c) Ecntricidad d a ordm 0,0005 0,5 Eq. 5 com dfinido na Eq. 0.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 7 d) Ecntricidad d 1 a ordm na sção intrmdiária C 0,6 1,A 0,4 1,B 1,C Eq. 53 0,4 1,A 1.1 Pilar Intrmdiário A Figura 6 mostra a situação d projto (S.P.) as situaçõs d cálculo (s.c.) dos pilars intrmdiários com má 90. Na 1 a s.c. stão indicadas as cntricidads qu ocorrm na dirção, na a s.c. as cntricidads na dirção. Como não s considra a istência d momntos fltors d 1 a ordm, a situação d projto é d Comprssão Simpls (ou Uniform). S o pilar tivr 1 nas duas dirçõs, tm-s qu = 0 = 0, as cntricidads d a ordm mostradas na Figura 6 não istirão. Nst caso basta considrar a cntricidad mínima m cada dirção. Por outro lado, s > 1 m uma ou ambas as dirçõs, a cntricidad d a ordm dv sr somada à cntricidad mínima. A cntricidad mínima corrspond ao momnto fltor mínimo, aprsntado no itm 9.1 (Eq. 34). 1,mín 1,mín S.P. 1 s.c. s.c. Figura 6 Situação d projto situaçõs d cálculo d pilars intrmdiários com má 90. Para cada situação d cálculo dv sr dtrminada uma armadura longitudinal, considrando-s, porém, o msmo arranjo (posicionamnto) das barras da armadura na sção transvrsal. Isso é important porqu a armadura final dv atndr às situaçõs d cálculo istnts. A armadura final é a maior ntr as calculadas. 1. Pilar d Etrmidad No pilar d trmidad ocorr a Flão Composta Normal na situação d projto, com istência d cntricidad d 1 a ordm m uma dirção do pilar. As sçõs d trmidad (topo bas) dvm smpr sr analisadas (Figura 7). A sção intrmdiária C dv sr analisada somnt na dirção m qu ocorrr cntricidad d a ordm (Figura 8). Na bas topo do pilar, dvido aos apoios (vínculos), não ocorr dslocamnto orizontal, d modo qu a cntricidad d a ordm é zro. Nas sçõs ao longo da altura do pilar ocorrm cntricidads d a ordm, mas s 1, as cntricidads são pqunas podm sr dsprzadas. Por outro lado, s ocorrr > 1, a máima cntricidad d a ordm ( ou na sção intrmdiária C) dv sr considrada, a cntricidad d 1 a ordm dv sr altrada d 1,A para 1,C (ou d 1,A para 1,C) na situação d projto (Figura 8). Do msmo modo como no pilar intrmdiário, para cada situação d cálculo dv sr calculada uma armadura, considrando-s o msmo arranjo (posicionamnto) das barras na sção transvrsal, a armadura final srá a maior ntr as calculadas.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 8 Nd 1,A Nd { 1,A 1,mín 1,mín S.P. 1 s.c. s.c. Figura 7 Situação d projto d cálculo para as sçõs d trmidad (topo bas) dos pilars d trmidad. 1,mín 1,C { 1,C 1,mín S.P. 1 s.c. s.c. 1.3 Pilar d Canto Figura 8 Situação d projto situaçõs d cálculo para a sção intrmdiária dos pilars d trmidad. No pilar d canto a solicitação d projto é a flão composta oblíqua, com a istência d cntricidad d 1 a ordm nas duas dirçõs principais do pilar. Na sção d trmidad A, como mostrado na Figura 9, apnas uma situação d cálculo é suficint, comparando-s as cntricidads d 1 a ordm com as cntricidads mínimas m cada dirção. Na sção intrmdiária C as cntricidads d 1 a ordm altram-s d 1,A para 1,C, como aprsntado na Figura 30. Eistindo as cntricidads d a ordm, las dvm sr acrscntadas às cntricidads d 1 a ordm, sgundo a dirção m qu istir. A armadura final do pilar srá a maior calculada ntr as situaçõs d cálculo, considrando-s as barras distribuídas d modo idêntico no cálculo das armaduras. 1,A 1,A { 1,mín 1,A 1,A { 1,mín S.P. 1 s.c. Figura 9 Situação d projto d cálculo para as sçõs d trmidad dos pilars d canto.

d UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 9 1,C Nd 1,C 1,C { 1,mín Nd { 1,C 1,mín { 1,C 1,mín 1,C { 1,mín S.P. 1 s.c. s.c. Figura 30 Situação d projto situaçõs d cálculo para a sção intrmdiária dos pilars d canto. 13 CÁLCULO DA ARADURA LONGITUDINAL CO AUXÍLIO DE ÁBACOS No dimnsionamnto dos pilars fito manualmnt, os ábacos são imprscindívis, porqu prmitm a rápida dtrminação da taa d armadura, sm ncssidad d aplicar as quaçõs tóricas da Flão Composta Normal ou Oblíqua. Além disso, os ábacos proporcionam a fácil scola d difrnts arranjos d armadura na sção transvrsal. Nsta apostila srão aplicados os ábacos d VENTURINI (1987) 7 para a Flão Composta Normal d PINHEIRO (1994) 8 para a Flão Composta Oblíqua. Esss ábacos dvm sr aplicados apnas no dimnsionamnto d pilars com concrtos do Grupo I d rsistência (f ck 50 Pa), porqu foram dsnvolvidos com alguns parâmtros numéricos qu não s aplicam aos concrtos do Grupo II. Para cada caso d solicitação, ábacos difrnts podm sr utilizados, no ntanto, o ábaco dv sr scolido d modo a rsultar na mnor armadura, assim a mais conômica. 13.1 Flão Composta Normal A Figura 31 mostra a notação aplicada na utilização dos ábacos d VENTURINI (1987) para a Flão Composta Normal (ou Rta). A distância d é paralla à cntricidad (), ntr a fac da sção o cntro da barra do canto. D modo gral tm-s d = c + t + /, com c = cobrimnto d concrto, t = diâmtro do stribo = diâmtro da barra longitudinal. / / b d Figura 31 Notação para a Flão Composta Normal (VENTURINI, 1987). 7 VENTURINI, W.S. Dimnsionamnto d pças rtangulars d concrto armado solicitadas à flão rta. São Carlos, Dpartamnto d Engnaria d Estruturas, Escola d Engnaria d São Carlos USP, 1987. Disponívl m: ttp://wwwp.fb.unsp.br/pbastos/pag_concrto.tm 8 PINHEIRO, L.. ; BARALDI, L.T. ; PORE,.E. Concrto Armado: Ábacos para flão oblíqua. São Carlos, Dpartamnto d Engnaria d Estruturas, Escola d Engnaria d São Carlos USP, 1994. Disponívl m: ttp://wwwp.fb.unsp.br/pbastos/pag_concrto.tm

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 30 As quaçõs para a construção dos ábacos foram aprsntadas na publicação d VENTURINI (1987). A dtrminação da armadura longitudinal é iniciada plo cálculo dos sforços adimnsionais (ni) (mi). O valor adimnsional foi dfinido na Eq. 0: Nd A. f c cd O valor d, m função do momnto fltor ou da cntricidad, é: d,tot, ou Eq. 54 A f c cd Eq. 55 com: = força normal d cálculo; A c = ára da sção transvrsal do pilar; f cd = rsistência d cálculo do concrto à comprssão (f ck/ c); d,tot = momnto fltor total d cálculo; = dimnsão do pilar na dirção considrada; = cntricidad na dirção considrada. Escolida uma disposição construtiva para a armadura no pilar, dtrmina-s o ábaco a sr utilizado, m função do tipo d aço do valor da rlação d /. No ábaco, com o par, obtém-s a taa mcânica. A armadura é calculada pla prssão: A s Ac fcd Eq. 56 f d 13. Flão Composta Oblíqua A Figura 3 mostra a notação aplicada na utilização dos ábacos d PINHEIRO t al. (1994) para a Clão Composta Oblíqua. As distâncias d d têm o msmo significado d d, porém, cada uma m uma dirção do pilar. d d d d Figura 3 Flão Composta Oblíqua (PINHEIRO, 1994).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 31 A dtrminação da armadura é iniciada plo cálculo dos sforços adimnsionais, com sgundo as duas dirçõs principais do pilar: Nd A. f c cd d,tot, Eq. 57 A f c c cd cd d,tot, Eq. 58 A f Escolida uma disposição construtiva para a armadura no pilar, dtrmina-s o ábaco a sr utilizado, m função do tipo d aço dos valors das rlaçõs d / d /. No ábaco, com o trio (,, ), obtém-s a taa mcânica. A armadura é calculada com a Eq. 56: A s A f c d f cd 14 RELAÇÃO ENTRE A DIENSÃO ÍNIA E O COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO Os pilars com sção transvrsal rtangular são difrnciados dos pilars-pard m função da rlação ntr os lados, conform a rgra (Figura 33): 5 b pilar > 5 b pilar-pard Eq. 59 b Figura 33 Classificação dos pilars pilars-pard d sção rtangular. A NBR 6118 (itm 13..3) impõ qu A sção transvrsal d pilars pilars-pard maciços, qualqur qu sja a sua forma, não pod aprsntar dimnsão mnor qu 19 cm. Em casos spciais, prmit-s a considração d dimnsõs ntr 19 cm 14 cm, dsd qu s multipliqum os sforços solicitants d cálculo a srm considrados no dimnsionamnto por um coficint adicional n, d acordo com o indicado na Tabla 13.1 na Sção 11. Em qualqur caso, não s prmit pilar com sção transvrsal d ára infrior a 360 cm., o qu rprsnta a sção mínima d 14 5,7 cm. A Tabla 4 aprsnta o coficint adicional. É important salintar qu o tto indica qu todos os sforços solicitants atuants no pilar dvm sr majorados por γ n, ou sja, a força normal os momntos fltors qu istirm. Tabla 4 Coficint adicional n para pilars pilars-pard (Tabla 13.1 da NBR 6118). b 19 18 17 16 15 14 1,00 1,05 1,10 1,15 1,0 1,5 n Nota: O coficint n dv majorar os sforços solicitants finais d cálculo quando d su dimnsionamnto. n = 1,95 0,05 b b = mnor dimnsão da sção transvrsal (cm).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 3 15 CÁLCULO DOS PILARES INTEREDIÁRIOS Aprsnta-s o rotiro d cálculo dos camados pilars intrmdiários, com a aplicação do étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada do étodo do pilar-padrão com rigidz aproimada. Em sguida são aprsntados dois mplos numéricos d aplicação. 15.1 Rotiro d Cálculo No pilar intrmdiário, dvido à continuidad das vigas lajs sobr o pilar, tm-s qu os momntos fltors d 1 a ordm são nulos m ambas as dirçõs do pilar ( A = B = 0), portanto, 1 = 0. a) Esforços solicitants A força normal d cálculo pod sr dtrminada como: = n. f. N k Eq. 60 ond: N k = força normal caractrística do pilar; n = coficint d majoração da força normal (Tabla 4); f = coficint d pondração das açõs no ELU (dfinido na Tabla 11.1 da NBR 6118). b) Índic d sbltz (Eq. 9 Eq. 30), i I i para sção rtangular: A 3,46 c) omnto fltor mínimo (Eq. 34) 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com = dimnsão do pilar, m cm, na dirção considrada. d) Esbltz limit (Eq. 4) 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b 1 = 0 para pilar intrmdiário. 1 não considra-s o fito local d ª ordm na dirção considrada; > 1 considra-s o fito local d ª ordm na dirção considrada. ) omnto d a ordm 1) étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada Dtrmina-s d,tot com a Eq. 33: d,tot b. 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín ) étodo do pilar-padrão com rigidz aproimada Dtrmina-s d,tot com a Eq. 41: 1900 d,tot (3840 Nd Nd 1900 b 1d,A ) d,tot 3840 b Nd 1d, A 0

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 33 15. Emplos Numéricos Os mplos numéricos a sguir são d pilars intrmdiários, biapoiados na bas no topo, d nós fios (contravntados) sm forças transvrsais atuants. Os cálculos srão fitos m função dos momntos fltors solicitants, a título d mplo, srão fitos também m função das cntricidads, sgundo as sçõs d trmidad intrmdiária, como mostrado no itm 11. Os sguints dados são comuns m todos os mplos: concrto C0; aço CA-50 ; d = 4,0 cm ; coficints d pondração: c = f = s = 1,15. 15..1 Emplo 1 Dimnsionar a armadura longitudinal vrtical do pilar mostrado na Figura 34, sndo concidos: N k = 785,7 kn ; sção transvrsal 0 50 (A c = 1.000 cm ) comprimnto quivalnt (d flambagm): = = 80 cm = 80 cm = 80 cm = 0 cm = 50 cm Figura 34 Posição do pilar m rlação às vigas, vínculos na bas no topo nas dirçõs, dimnsõs da sção transvrsal situação d projto. RESOLUÇÃO Embora a armadura longitudinal rsultará do cálculo sgundo a dirção d mnor rigidz do pilar (dir. ), a título d mplo srá dmonstrado também o cálculo sgundo a dirção. a) Esforços solicitants A força normal d cálculo é (Eq. 60): = n. f. N k = 1,0.. 785,7 = 1.100 kn com γ n dtrminado na Tabla 4, m função da largura da sção transvrsal do pilar. Tratando-s d um pilar intrmdiário, não istm momntos fltors cntricidads d 1 a ordm m ambas as dirçõs do pilar. b) Índic d sbltz (Eq. 30) O índic d sbltz dv sr calculado para as dirçõs, conform os ios mostrados na Figura 34. A fim d padronizar simplificar a notação, aqui considra-s a dirção, não o io do pilar, o qu pod sr difrnt d considraçõs adotadas m outras disciplinas. 3,46 3,46 80 19,4 50 3,46 3,46 80 0 48,4

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 34 c) omnto fltor mínimo O momnto fltor mínimo, m cada dirção, é calculado com a Eq. 34: 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. 3300 Dir. : 1d,mín, = 1100 1,5 0,03. 50= 3.300 kn.cm ; 1,mín = 3,00 cm 1100 310 1100 =.310 kn.cm ; 1,mín =,10 cm 1100 Dir. : 1d,mín, = 1,5 0,03. 0 Esbltz limit (Eq. 4) 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Nos pilars intrmdiários não ocorrm momntos fltors cntricidads d 1 a ordm, daí 1 = 0 b = 1,0 (vr itm 7.3). Assim: 1, = 1, = 5 35 1, = 1, = 35 Dss modo: = 19,4 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 48,4 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. Em pilars rtangulars corrnts, gralmnt á a ncssidad d considrar a cntricidad d a ordm na dirção da largura do pilar. ) omnto d a ordm O momnto d a ordm srá avaliado plos métodos do pilar-padrão com curvatura aproimada do pilar-padrão com rigidz aproimada. 1) étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada (Eq. 33) d,tot b 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín Nd 1100 Força normal adimnsional (Eq. 0): 0, 77 A. f,0 c cd 1000 Curvatura na dirção sujita aos momntos fltors d a ordm (Eq. 19): 1 0,005 0,005 4-1 0,005 4 1,9685.10 cm,5.10 cm ok! r 0 0,50 0 0,77 0,5 A cntricidad máima d a ordm na dirção é (Eq. 17): -1 1 80 4 1,9685.10 1,54 10 r 10 cm Com b = 1,0 fazndo 1d,A = 1d,mín m cada dirção, tm-s os momntos fltors totais m cada dirção principal do pilar: Dir. : d,tot, = 1d,mín, = 3.300 kn.cm

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 35 80 4 Dir. : d,tot, 1,0. 310 1100 1,9685.10 4. 008 10 d,tot, = 4.008 kn.cm 1d,mín, =.310 kn.cm ok! kn.cm O cálculo d dimnsionamnto da armadura longitudinal do pilar pod sguir após dtrminados os momntos fltors totais, como mostrados na Figura 35. No ntanto, a título d mplo, são mostradas também as cntricidads (Figura 36), calculadas m função dos momntos fltors. O valor admnsional pod sr calculado m função do momnto fltor ou da cntricidad, como fito na squência. Dir. Dir. 1d,mín, 1d,mín, + d,má, 1.698 3.300.310 Figura 35 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs. = 3,64 = 1,54 1,mín =,10 1,mín 3,00 S.P. a 1 s.c. a s.c. Figura 36 Situação d projto situaçõs d cálculo do pilar intrmdiário. A anális dos momntos fltors totais das cntricidads prmit obsrvar qu a dirção crítica do pilar é a dirção, dado qu o maior momnto fltor total ( d,tot, d 4.008 kn.cm) é rlativo à mnor dimnsão do pilar (largura = 0 cm). A ª s.c., com a maior cntricidad total, na dirção da largura do pilar, também mostra o fato, comprovado plo cálculo da armadura longitudinal. A armadura pod sr calculada apnas para a dirção crítica, porém, com o objtivo d ilustrar os cuidados qu dvm sr tomados, a armadura é calculada para as duas dirçõs principais do pilar. Com = 0,77 utilizando os ábacos d VENTURINI (1987) 9 para Flão Rta, faz-s o cálculo d (Eq. 54 ou Eq. 55) d /, sgundo as dirçõs : Dir. : 9 Os ábacos podm sr ncontrados m: ttp://wwwp.fb.unsp.br/pbastos/pag_concrto.tm

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 36 = d' d,tot,. Ac. f 4, 0 = 50 cd 3300 3,00 = 0, 05 ou 0,77 0, 05,0 50.1000 50 = 0,08 0,10 com o Ábaco A-5: ω = 0,05 Outros ábacos difrnts do A-5 podm sr utilizados, no ntanto, st ábaco é intrssant porqu não fia o númro d barras a srm dispostas na sção transvrsal, fia apnas as facs do pilar qu dvm alojar as barras. Nst caso, o ábaco A-5 proporciona qu as barras sjam distribuídas no lado maior do pilar. Obsrv qu o ábaco A-5 tm a armadura posicionada na dirção paralla à cntricidad (vr figura no ábaco) da força normal, portanto, na dirção orizontal paralla à cntricidad 1,mín da 1 a s.c., coincidnt com o lado maior do pilar. Dir. : d,tot, =. Ac. f d' 4, 0 = 0 cd 4008 3,64 = 0,14 ou 0,77 0, 14,0 0 0.1000 = 0,0 com o Ábaco A-4: ω = 0,38 Para a solicitação na dirção o ábaco A-4 é compatívl com o ábaco A-5 da dirção, pois proporciona o msmo arranjo d barras do ábaco A-5 na sção transvrsal, ou sja, as barras distribuídas ao longo do lado maior do pilar. Isso é mostrado na figura do ábaco A-4, ond a armadura é posicionada na dirção prpndicular à cntricidad da força normal, portanto, na dirção orizontal prpndicular à cntricidad total da a s.c., coincidnt com o lado maior do pilar. A maior armadura rsulta do maior valor d, d 0,38 da a s.c., como sprado: A s = A f c d f cd,0 0,38.1000 = 1, 49 cm 50 1,15 ) étodo do pilar-padrão com rigidz aproimada Aplicando a Eq. 41 numricamnt para a dirção, com 1d,A = 1d,mín, tm-s: 1900 d,tot (3840 Nd Nd 1900 b 1d,A ) d,tot 3840 b Nd 1d, A 0 1900 d,tot (3840. 0.1100 48,4. 0.1100 1900.1,0. 310) d, tot 3840.1,0. 1900 d,tot d,tot 594, 1140830 Sd, tot d,tot 10164000 0 1,951488.10 11 0 A raiz positiva da quação d o grau é: d,tot = 3.500 kn.cm 1d,mín, =.310 kn.cm ok! Com = 0,77 utilizando os ábacos d VENTURINI (1987) para Flão Rta: 0.1100. 310 0

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 37 = d' A s = d,tot,. Ac. f 4, 0 = 0 A f c d 15.. Emplo f cd = 3500,0 0.1000 = 0,1 = 0,0 com o Ábaco A-4: ω = 0,30 cd,0 0,30.1000 = 9, 86 cm 50 1,15 Est sgundo mplo (Figura 37) é igual ao primiro, com cção da maior força normal d comprssão. São concidos: N k = 1.071 kn sção transvrsal 0 50 (A c = 1.000 cm ) comprimnto d flambagm: = = 80 cm coficints d pondração: γ c = γ f = ; γ s = 1,15 = 0 cm = 50 cm Figura 37 Dimnsõs da sção transvrsal posição da força normal. RESOLUÇÃO a) Esforços solicitants A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,0.. 1071 = 1.500 kn, com γ n da Tabla 4. b) Índic d sbltz 3,46 3,46 80 19,4 50 3,46 3,46 80 0 48,4 c) omnto fltor mínimo O momnto fltor mínimo m cada dirção é: 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. 4500 1500 = 4.500 kn.cm ; 1,mín = 1500 Dir. : 1d,mín, = 1,5 0,03. 50 3,00 cm 3150 1500 = 3.150 kn.cm ; 1,mín =,10 cm 1500 Dir. : 1d,mín, = 1,5 0,03. 0

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 38 d) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Tm-s qu b = 1,0 1 = 0, portanto, do msmo modo como no mplo antrior: 1, = 1, = 5 35 1, = 1, = 35 Dss modo: = 19,4 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 48,4 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. ) omnto d a ordm O momnto d a ordm srá avaliado plos métodos do pilar-padrão com curvatura aproimada do pilar-padrão com rigidz aproimada. 1) étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada d,tot b 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín Nd 1500 Força normal adimnsional: 1, 05 A. f,0 c cd 1000 Curvatura na dirção sujita a momntos fltors d a ordm: 1 0,005 0,005 4-1 0,005 4 1,619.10 cm,5.10 cm ok! r 0,0 0,50 0 1,05 0,5 A cntricidad máima d a ordm na dirção é: -1 10 1 r 80 1,619.10 4 1,6 10 cm Fazndo 1d,A 1d,mín m cada dirção, tm-s os momntos totais máimos: Dir. : d,tot, = 1d,mín, = 4.500 kn.cm 80 4 Dir. : d,tot, 1,0. 3150 1500 1,619.10 5. 047 10 kn.cm d,tot, = 5.047 kn.cm 1d,mín, = 3.150 kn.cm ok! Os momntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs, stão indicados na Figura 38. A situação d projto as situaçõs d cálculo stão mostradas na Figura 39.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 39 Dir. Dir. 1d,mín, 1d,mín, + d,má, 1.897 4.500 1,mín = 3,00 3.150 =,10 1,mín Figura 38 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs. = 3,36 = 1,6 1,mín 3,00 1,mín =,10 S.P. a 1 s.c. Figura 39 Situação d projto situaçõs d cálculo. a s.c. Com = 1,05 utilizando os ábacos d VENTURINI (1987) 10 para Flão Rta: Dir. : d,tot, =. Ac. f d' 4, 0 = 50 Dir. : d,tot, =. Ac. f d' 4, 0 = 0 cd 4500 = 0, 06 ou 3,00 1,05 0, 06,0 50.1000 50 = 0,08 0,10 Ábaco A-5: ω = 0,38 cd 5047 3,36 = 0,18 ou 1,05 0, 18,0 0 0.1000 = 0,0 Ábaco A-4: ω = 0,78 10 Os ábacos podm sr ncontrados m: ttp://wwwp.fb.unsp.br/pbastos/pag_concrto.tm

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 40 A comparação ntr os ábacos A-4 A-5 aprsntada no mplo antrior val também para st mplo. A maior armadura rsulta do maior valor ncontrado para a taa d armadura : A s = A f c d f cd,0 0,78.1000 = 5, 63 cm 50 1,15 ) étodo do pilar-padrão com rigidz aproimada Aplicando a Eq. 41 numricamnt para a dirção tm-s: 1900 d,tot (3840 Nd Nd 1900 b 1d,A ) d,tot 3840 b Nd 1d, A 0 1900 d, tot 3840.1,0. 0.1500. 3150 0 1900 d, tot d, tot 810,5 (3840. 0.1500 48,4 15556800 d, tot d,tot. 0.1500 3,688.10 18900000 0 11 0 A raiz positiva da quação d o grau é: d,tot = 4.771 kn.cm 1d,mín = 3.150 kn.cm ok! 1900.1,0. 3150) d, tot Com = 1,05 utilizando os ábacos d VENTURINI (1987) para Flão Rta: = d' A s = d,tot,. Ac. f 4, 0 = 0 A f c d f cd 4771 =,0 0.1000 = 0,17 = 0,0 Ábaco A-4 (ω = 0,76) cd,0 0,76.1000 = 4, 97 cm 50 1,15 Comparando-s com o Emplo 1 nota-s um aumnto considrávl da armadura, m torno d 100 %, para um aumnto d apnas 36 % para a força normal do mplo. Embora apnas dois mplos numéricos tnam sido aprsntados, plos valors obtidos pod-s obsrvar qu o método da rigidz aproimada rsulta armaduras infriors ao método da curvatura aproimada. Para a força normal maior a difrnça d armadura diminuiu d 1,1 % para,6 %. 16 CÁLCULO DOS PILARES DE EXTREIDADE Aprsnta-s a sguir um rotiro d cálculo dos camados pilars d trmidad, com a aplicação do étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada do étodo do pilar-padrão com rigidz aproimada. Em sguida são aprsntados quatro mplos numéricos d aplicação. 16.1 Rotiro d Cálculo a) Esforços solicitants A força normal d cálculo pod sr dtrminada como = n. f. N k

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 41 ond: N k = força normal caractrística do pilar; n = coficint d majoração da força normal (Tabla 4); f = coficint d pondração das açõs no ELU (dfinido na Tabla 11.1 da NBR 6118). b) Índic d sbltz (Eq. 9 Eq. 30) ; i I i para sção rtangular: A 3,46 c) omnto fltor mínimo (Eq. 34) 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com = dimnsão do pilar, m cm, na dirção considrada. d) Esbltz limit (Eq. 4) 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b 1 0 na dirção da viga não contínua sobr o pilar d trmidad; = dimnsão do pilar na msma dirção d 1; 1 - não s considra o fito local d ª ordm na dirção considrada; > 1 - s considra o fito local d ª ordm na dirção considrada. ) omnto d a ordm 1) étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada Dtrmina-s d,tot com a Eq. 33: d,tot b. 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín ) étodo do pilar-padrão com rigidz aproimada Dtrmina-s d,tot com a Eq. 41: 1900 d,tot (3840 Nd Nd 1900 b 1d,A ) d,tot 3840 b Nd 1d, A 0 16. Emplos Numéricos Os mplos numéricos a sguir são d pilars d trmidad, biapoiados no topo na bas, d nós fios (contravntados) sm forças transvrsais atuants. Os sguints dados são comuns m todos os mplos: concrto C0 ; aço CA-50 ; d = 4,0 cm, coficints d pondração: γ c = γ f = γ s = 1,15. 16..1 Emplo 1 Est mplo é smlant àqul ncontrado m FUSCO (1981, p. 97), com a difrnça da altração do concrto, d C15 para C0, da largura do pilar, d 5 cm para 0 cm (Figura 40). São concidos:

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 4 N k = 1.110 kn 1d,A, = 1d,B, =.170 kn.cm sção 0 70 (A c = 1.400 cm ) = = 80 cm 1d,A, 170 kn.cm + = 70 cm 1 - = 0 cm - 170 kn.cm 1d,B, Figura 40 Arranjo strutural do pilar na planta d fôrma, dimnsõs da sção transvrsal momntos fltors d primira ordm atuants na dirção. RESOLUÇÃO a) Esforços solicitants A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,0.. 1110 = 1.554 kn, com n = 1,0 da Tabla 4. Além da força normal d comprssão ocorrm também momntos fltors nos trmos do pilar ( 1d,A, = 1d,B, =.170 kn.cm), qu solicitam o pilar na dirção, m função d istir uma viga não contínua sobr o pilar na dirção (Figura 41). Est momnto fltor também dv sr majorado por n, 1,0 nst caso. A cntricidad inicial d 1ª ordm é: 170 1554 1 0 cm 170 kn.cm + 0 cm + 80 80 170 kn.cm - - 170 kn.cm 0 cm + + - - 0 cm - - - 170 kn.cm - 0 cm Figura 41 omntos fltors d cálculo d 1 a ordm cntricidads no topo na bas do pilar, na dirção.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 43 b) Índic d sbltz 3,46 3,46 80 48,4 0 3,46 3,46 80 70 13,8 c) omnto fltor mínimo 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. O momnto fltor mínimo, m cada dirção é: 363,4 Dir. : 1d,mín, = 1554 (1,5 + 0,03. 0) = 3.63,4 kn.cm ; 1,mín = 1554,10 cm 5594,4 Dir. : 1d,mín, = 1554 (1,5 + 0,03. 70) = 5.594,4 kn.cm ; 1,mín = 3,60 cm 1554 d) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é 0 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm na dirção são 1d,A, = 1d,B, =.170 kn.cm, mnors qu o momnto fltor mínimo nsta dirção ( 1d,mín, = 3.63,4 kn.cm), o qu lva a b = 1,0. Assim: 0 5 1,5 0 1, 5,9 35 1, = 35 1,0 Dir. : Na dirção não ocorrm momntos fltors cntricidads d 1 a ordm, portanto, 1 = 0 b = 1,0. Assim: 0 5 1,5 70 1, 5,0 35 1, = 35 1,0 Dss modo: = 48,4 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 13,8 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. ) omnto d a ordm O momnto fltor d a ordm srá avaliado plos métodos do pilar-padrão com curvatura aproimada do pilar-padrão com rigidz aproimada. 1) étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada d,tot b. 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 44 Nd 1554 Força normal adimnsional: 0, 78 A. f,0 c cd 1400 Curvatura na dirção sujita a momntos fltors d a ordm: 1 0,005 0,005 4-1 0,005 4 1,953.10 cm,5.10 cm ok! r 0 0,50 0 0,78 0,5 A cntricidad máima d a ordm na dirção é: -1 1 80 1,953.10 4 1, 53 10 r 10 cm Fazndo 1d,A 1d,mín m cada dirção, tm-s o momnto fltor total máimo: Dir. : 80 4 d,tot, = 1,0. 363,4 + 1554 1,953.10 5.64,8 1d,mín, = 3.63,4 kn.cm ok! 10 d,tot, = 5.64,8 kn.cm Dir. : d,tot, = 1d,mín, = 5.594,4 kn.cm Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 4. As situaçõs d projto d cálculo, para as sçõs d trmidad intrmdiária, stão mostradas na Figura 43 na Figura 44. Como as sçõs d trmidad d topo bas do pilar stão submtidas a momnto fltor d 1 a ordm d igual valor, a sção d trmidad mostrada na Figura 43 é rprsntativa d ambas as trmidads do pilar. No caso d momntos fltors na bas topo difrnts, dv-s considrar a sção d trmidad submtida ao maior momnto fltor ( 1d,A). Nas sçõs d topo bas não ocorr dformação d a ordm ( = 0), qu dv sr considrada na sção intrmdiária C. 1d,mín, 1d,A, Dir. Dir. 1d,mín, OU + d,má,.379,4 3.63,4.170 5.594,4 Figura 4 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 45 = 3,60 1,mín 1 0 N 1,mín,10 d S.P. a 1 s.c. a s.c. Figura 43 Situaçõs d projto d cálculo das sçõs d trmidad. A cntricidad inicial na sção intrmdiária C é calculada com a Eq. 53, qu corrspond à Eq. 49, m função da cntricidad inicial ( 1), nas trmidads submtidas aos momntos fltors d 1 a ordm ( 1d,A 1d,B): 0,6 1A 0,4 1B 1C 0,4 1A 1,C 0,6 0,4 1,A 1,A 0,4 1,B 0,6.0 0,4. ( 0) 0,8 cm 0,4.0 0,56 cm 1,C = 0,56 cm N d 3,63 1,mín = 3,60 1,C 0,56 1,mín,10 1,53 S.P. a 1 s.c. a s.c. Figura 44 Situação d projto situaçõs d cálculo para a sção intrmdiária C. A dirção d mnor rigidz do pilar, aqula qu é crítica, é a corrspondnt à mnor dimnsão, ou sja, da largura no caso d pilar d sção transvrsal rtangular (dirção ). Das três situaçõs d cálculo obsrva-s qu a 1ª s.c. da sção intrmdiária, qu tm a maior cntricidad, na dirção crítica do pilar, é a qu rsultará na maior armadura longitudinal. Em situaçõs qu istir dúvida, a armadura d cada situação d cálculo dv sr dtrminada, sndo a armadura final a maior ntr as calculadas. A título d mplo, o cálculo srá fito para as duas situaçõs d cálculo da sção intrmdiária. Com = 0,78 utilizando-s os ábacos d VENTURINI (1987) para Flão Rta: Dir. : d,tot, =. Ac. f d' Dir. : 4, 0 = 0 cd 564,8 = 0, 14 ou 3,63 0,78 0, 14,0 0.1400 0 = 0,0 Ábaco A-4: ω = 0,40

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 46 = d' d,tot,. Ac. f 4, 0 = 70 cd 5594,4 3,60 = 0,04 ou 0,78 0, 04,0 70.1400 70 = 0,06 0,05 Ábaco A-4: ω = 0,08 A armadura final, como sprado, é rsultant da 1 a s.c., com a maior taa d armadura: A s = A f c d f cd,0 0,40.1400 = 18, 40 cm 50 1,15 No dtalamnto da armadura longitudinal do pilar dv-s tomar cuidado d posicionar as barras d aço d acordo com o arranjo d barras do ábaco scolido, A-4 nst caso. ) étodo do pilar-padrão com rigidz aproimada O momnto fltor total na dirção é: 1900 d,tot (3840 Nd Nd 1900 b 1d,A ) d,tot 3840 b Nd 1d, A 0 1900 d, tot (3840. 0.1554 48,4 3840.1,0. 0.1554. 363,4 0 tot. 0.1554 1900 d, 16116845 d, tot 389477654 80 0 d, tot 839,4 d, tot 08594 0 1900.1,0. 363,4) A raiz positiva da quação d o grau é: d,tot, = 4.943,1 kn.cm 1d,mín, = 3.63,4 kn.cm ok! d, tot Com = 0,78 utilizando os ábacos d VENTURINI (1987) para Flão Rta: = d' A s = d,tot,. Ac. f 4, 0 = 0 A f c d 16.. Emplo f cd 4943,1 =,0 0.1400 = 0,1 = 0,0 Ábaco A-4 (ω = 0,33) cd,0 0,33.1400 = 15, 18 cm 50 1,15 Est mplo é também smlant àqul ncontrado m FUSCO (1981, p. 311), com a difrnça da altração do concrto, d C15 para C0, da largura do pilar, d 5 cm para 0 cm (Figura 45). São concidos:

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 47 N k = 1.110 kn 1d,A, = 1d,B, = 3.60 kn.cm sção transvrsal 0 70 (A c = 1.400 cm ) comprimnto quivalnt ou d flambagm: = = 460 cm coficints d pondração: γ c = γ f = ; γ s = 1,15 1d,A, 3.60 kn.cm + = 70 cm = 0 cm 1, - - 360 kn.cm 1d,B, Figura 45 Dimnsõs da sção transvrsal, arranjo strutural do pilar na planta d fôrma momntos fltors d primira ordm na dirção. RESOLUÇÃO a) Esforços solicitants A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,0.. 1110 = 1.554 kn, com n da Tabla 4. Além da força normal d comprssão ocorrm também momntos fltors nas trmidads (topo bas) do pilar ( 1d,A, = 1d,B, = 3.60 kn.cm), qu solicitam o pilar na dirção, m função d istir uma viga não contínua sobr o pilar na dirção (Figura 46). Est momnto fltor, ou sja, todas as açõs aplicadas no pilar, dvm sr majoradas por n, igual a 1,0 nst caso. b) Índic d sbltz 3,46 3,46 3,46 460,7 70 3,46 460 79,6 0 c) omnto fltor mínimo 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. O momnto fltor mínimo, m cada dirção, é: Dir. : 5594,4 1d,mín, = 1554 (1,5 + 0,03. 70) = 5.594,4 kn.cm ; 1,mín = 1554 3,60 cm Dir. : 363,4 1d,mín, = 1554 (1,5 + 0,03. 0) = 3.63,4 kn.cm ; 1,mín = 1554,10 cm

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 48 360 kn.cm,10 cm + + 460 460 360 kn.cm + - - 360 kn.cm,10 cm + - -,10 cm - - - 360 kn.cm -,10 cm Figura 46 omntos fltors d cálculo d 1 a ordm cntricidads no topo na bas do pilar, na dirção. d) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Dir. : A cntricidad d 1 a ordm na dirção ( 1) é,10 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm na dirção ( 1d,A, = 1d,B, = 3.60 kn.cm) são mnors qu o momnto fltor mínimo nsta dirção ( 1d,mín, = 5.594,4 kn.cm), o qu lva a b = 1,0. Assim:,10 5 1,5 70 1, 5,4 35 1, = 35 1,0 Dir. : Na dirção não ocorrm momntos cntricidads d 1 a ordm, portanto 1 = 0 b = 1,0. Assim: 0 5 1,5 0 1, 5,0 35 1, = 35 1,0 Dss modo: =,7 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 79,6 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. ) omnto d a ordm O momnto d a ordm srá avaliado plos métodos do pilar-padrão com curvatura aproimada do pilar-padrão com rigidz aproimada. 1) étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada d,tot b. 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 49 A força normal adimnsional a curvatura (na dirção, sujita a momntos fltors d a ordm) são os msmos do mplo antrior: = 0,78 1/r = 1,953. 10-4 cm -1. A cntricidad máima d a ordm na dirção é: 10 1 r 460 1,953.10 4 4,13 10 cm Fazndo 1d,A 1d,mín m cada dirção, tm-s o momnto fltor total máimo: Dir. : d,tot, = 3.60,0 kn.cm 1d,mín, = 5.594,4 kn.cm d,tot, = 5.594,4 kn.cm Dir. : 460 4 d,tot, = 1,0. 363,4 + 1554 1,953.10 9.685,4 1d,mín, = 3.63,4 kn.cm ok! 10 d,tot, = 9.685,4 kn.cm Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 47. As situaçõs d projto d cálculo stão mostradas na Figura 48 (sçõs d trmidad) Figura 49 (sção intrmdiária C). Dir. Dir. 1d,mín, 1d,A, 1d,mín, OU + d,má, 6.4 5.594,4 3.60 3.63,4 Figura 47 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs. 1,10 N 1,mín 3,60 d 1,mín =,10 S.P. a 1 s.c. Figura 48 Situação d projto situaçõs d cálculo nas sçõs d trmidad (topo bas do pilar). a s.c.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 50 A cntricidad inicial na sção intrmdiária C é calculada com a Eq. 53, qu corrspond à Eq. 49, m função da cntricidad inicial ( 1), nas trmidads submtidas aos momntos fltors d 1 a ordm ( 1d,A 1d,B): 0,6 1A 0,4 1B 1C 0,4 1A 1,C 0,6 0,4 1,A 1,A 0,4 1,B 0,6.,10 0,4. (,10) 0,60 cm 0,4.,10 0,84 cm 1,C = 0,84 cm = 6,3 = 4,13 1,C 0,84 1,mín 3,60 1,mín =,10 a a S.P. 1 s.c. s.c. Figura 49 Situaçõs d projto d cálculo da sção intrmdiária. Na anális das situaçõs d cálculo fica claro qu a a s.c. da sção intrmdiária C é qu rsultará na maior armadura longitudinal do pilar, porqu tm o maior valor d cntricidad, na dirção d mnor rigidz do pilar. A título d mplo são vrificadas as duas situaçõs da sção intrmdiária. Com = 0,78 utilizando-s os ábacos d VENTURINI (1987) para Flão Rta: Dir. : d,tot, =. Ac. f d' 4, 0 = 70 Dir. : d,tot, =. Ac. f d' A s = 4, 0 = 0 A f c d f cd 5594,4 3,60 = 0, 04 ou 0,78 0, 04,0 70.1400 70 = 0,06 0,05 Ábaco A-4: ω = 0,08 cd 9685,4 6,3 = 0,4 ou 0,78 0, 4,0 0.1400 0 = 0,0 Ábaco A-4: ω = 0,79 cd,0 0,79.1400 = 36, 34 cm 50 1,15 ) étodo do pilar-padrão com rigidz aproimada O momnto fltor total na dirção, sujita a momntos d a ordm, é: 1900 d,tot (3840 Nd Nd 1900 b 1d,A ) d,tot 3840 b Nd 1d, A 0 1900 d, tot (3840. 0.1554 79,6 3840.1,0. 0.1554. 363,4 0. 0.1554 1900.1,0. 363,4) d, tot

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 51 tot 1900 d, 14037933 d, tot 389477654 80 0 d, tot 7304,1 d, tot 08594 0 A raiz positiva da quação d o grau é: d,tot = 9.450,6 kn.cm 1d,mín, = 3.63,4 kn.cm ok! Com = 0,78 utilizando os ábacos d VENTURINI (1987) para Flão Rta: = d' A s = d,tot,. Ac. f 4, 0 = 0 A f c d 16..3 Emplo 3 f cd 9450,6 =,0 0.1400 = 0,4 = 0,0 Ábaco A-4 (ω = 0,79) cd São concidos (Figura 50):,0 0,79.1400 = 36, 34 cm 50 1,15 N k = 500 kn 1d,A, = 1d,B, = 7.000 kn.cm ( 1,A = 1,B = 10,0 cm) 1d,A, 7000 kn.cm 7.000 kn.cm sção 0 40 (A c = 800 cm ) = = 80 cm = 40 cm 1, + + γ c = γ f = ; γ s = 1,15 RESOLUÇÃO a) Esforços solicitants = 0 cm 7.000 kn.cm 1d,B, Figura 50 Dimnsõs da sção transvrsal momntos fltors d 1 a ordm na dirção. A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,0.. 500 = 700 kn, ( n na Tabla 4). Além da força normal d comprssão ocorrm também momntos fltors nas sçõs d topo bas do pilar ( 1d,A, = 1d,B, = 7.000 kn.cm), qu solicitam o pilar na dirção (Figura 50). b) Índic d sbltz 3,46 3,46 80 48,4 0

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 5 3,46 3,46 80 40 4, c) omnto fltor mínimo 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. Assim, o momnto mínimo, m cada dirção é: 1470,0 Dir. : 1d,mín, = 700 (1,5 + 0,03. 0) = 1.470,0 kn.cm ; 1,mín =,10 cm 700 1890,0 Dir. : 1d,mín, = 700 (1,5 + 0,03. 40) = 1.890,0 kn.cm ; 1,mín =,70 cm 700 d) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 1 90 b Dir. : Nsta dirção não ocorrm momntos cntricidads d 1 a ordm, portanto 1 = 0 b = 1,0. Assim: 0 5 1,5 0 1, 5,0 35 1, = 35 1,0 Dir. : A cntricidad d 1 a ordm nsta dirção ( 1) é 10,0 cm, os momntos fltors d 1 a ordm são 1d,A, = 1d,B, = 7.000 kn.cm, maiors qu o momnto fltor mínimo nsta dirção ( 1d,mín, = 1.890,0 kn.cm), o qu lva ao cálculo d b d 1, : b 0,6 0,4 B A 0,6 0,4 7000 7000 1,0 10,0 5 1,5 40 1, 8,1 35 1, = 35 1,0 Dss modo: = 48,4 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 4, < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. ) omnto d a ordm plo método do pilar-padrão com curvatura aproimada d,tot b. 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín Nd 700 Força normal adimnsional: 0, 61 A. f,0 c cd 800 Dir. : Curvatura na dirção sujita a momntos fltors d a ordm:

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 53 1 r 0,005 0,005 0,50 0 0,61 0,5 0,0005 cm A cntricidad máima d a ordm na dirção é: -1 0,005-1 0,0005 cm 0 10 1 r 80 0,0005 1,77 10 cm d,tot, = 1,0. 1470,0 + 700 d,tot, =.705,9 kn.cm 80 10 0,0005.705,9 kn.cm 1d,mín, = 1.470,0 kn.cm ok! Dir. : Nsta dirção o pilar dv sr dimnsionado para o máimo momnto fltor qu ocorr nas trmidads do topo da bas, sm s acrscntar o momnto mínimo. d,tot, = 7.000,0 kn.cm 1d,mín, = 1.890,0 kn.cm ok! Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 51. A situação d projto as situaçõs d cálculo stão mostradas na Figura 5 Figura 53. Dir. Dir. 1d,mín, 1d,mín, 1d,A, + OU d,má, 1.35,9 1.470,0 1.890,0 7.000 Figura 51 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs. 1 = 10,00 = 10,00 1,mín,10 S.P. a 1 s.c. a s.c. Figura 5 Situação d projto situaçõs d cálculo da sção d trmidad (bas topo do pilar). A dirção crítica do pilar é a dirção, corrspondnt à largura do pilar d sção rtangular. Gralmnt é a dirção qu proporciona a armadura final do pilar, no ntanto, nst caso, na dirção (rlativa ao comprimnto do pilar) ocorr uma cntricidad com valor significativo ( = 10,00 cm),

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 54 qu pod rsultar na armadura final. O cálculo das armaduras para a 1 a a s.c. é qu vai indicar a armadura maior, a sr aplicada no pilar. A cntricidad inicial na sção intrmdiária C é calculada com a Eq. 53, qu corrspond à Eq. 49, m função da cntricidad inicial ( 1), nas trmidads submtidas aos momntos fltors d 1 a ordm ( 1d,A 1d,B): 0,6 1A 0,4 1B 0,6 1,A 0,4 1,B 0,6.10,00 0,4.10,00 10,00 cm 1C 1,C 0,4 1A 0,4 1,A 0,4.10,00 4,00 cm 1,C = 10,00 cm = 10,00 1,C 3,87 = 10,00 1,mín,10 1,77 S.P. a 1 s.c. a s.c. Figura 53 Situaçõs d projto d cálculo da sção intrmdiária. Com = 0,61 utilizando os ábacos d VENTURINI (1987) para flão rta: Dir. : d,tot, =. Ac. f d' 4, 0 = 0 Dir. : d,tot, =. Ac. f d' 4, 0 = 40 cd 705,9 = 0, 1 ou 3,87 0,61 0, 1,0 0. 800 0 = 0,0 Ábaco A-9: ω = 0,0 cd 7000,0 10,00 = 0,15 ou 0,61 0, 15,0 40 40. 800 = 0,10 Ábaco A-7: ω = 0,8 A armadura final rsulta da maior taa d armadura (ω = 0,8), rlativa à a s.c., com cntricidad na dirção do comprimnto do pilar. A s = A f c d f cd,0 0,8. 800 = 7, 36 cm 50 1,15 16..4 Emplo 4 Est mplo é igual ao antrior, com a difrnça do momnto fltor qu agora não é constant ao longo da altura do pilar, como mostrado na Figura 54. São concidos:

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 55 N k = 500 kn 1d,A, = 1d,B, = 7.000 kn.cm ( 1,A = 1,B = 10,0 cm) 1d,A, 7000 kn.cm 7.000 kn.cm + + sção 0 40 (A c = 800 cm ) = = 80 cm = 40 cm 1, γ c = γ f = ; γ s = 1,15 = 0 cm - - - 7.000 kn.cm 7000 kn.cm 1d,B, RESOLUÇÃO a) Esforços solicitants Figura 54 Dimnsõs da sção transvrsal momntos fltors d 1 a ordm na dirção. A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,0.. 500 = 700 kn, com n da Tabla 4. Além da força normal d comprssão ocorrm também momntos fltors na bas topo do pilar ( 1d,A, = 1d,B, = 7.000 kn.cm), qu solicitam o pilar na dirção (Figura 54). b) Índic d sbltz Como calculados no mplo antrior: 48, 4 4, c) omnto fltor mínimo O momnto fltor mínimo, m cada dirção é: 1470,0 Dir. : 1d,mín, = 700 (1,5 + 0,03. 0) = 1.470,0 kn.cm ; 1,mín = 700,10 cm 1890,0 Dir. : 1d,mín, = 700 (1,5 + 0,03. 40) = 1.890,0 kn.cm ; 1,mín =,70 cm 700 d) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Dir. : Nsta dirção não ocorrm momntos cntricidads d 1 a ordm, portanto 1 = 0 b = 1,0. Assim: 0 5 1,5 0 1, 5,0 35 1, = 35 1,0 Dir. : As cntricidads d 1 a ordm nsta dirção são 1,A = 10,0 cm 1,B = 10,0 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm são 1d,A, = 1d,B, = 7.000 kn.cm, maiors qu o momnto fltor mínimo nsta dirção ( 1d,mín, = 1.890,0 kn.cm), o qu lva ao cálculo d b d 1, :

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 56 B 7000 b 0,6 0,4 0,6 0,4 0, 0,4 b = 0,4 7000 A 10,0 5 1,5 40 1, 70,3 35 1, = 70,3 0,4 Dss modo: = 48,4 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 4, < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. ) omnto d a ordm plo método do pilar-padrão com curvatura aproimada d,tot b. 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín Como no mplo antrior, a força normal adimnsional é = 0,61 a curvatura 1/r na dirção é 0,0005 cm -1. A cntricidad máima d a ordm na dirção é: 10 1 r 80 0,0005 1,77 10 cm ok! Dir. : 80 d,tot, = 1,0. 1470,0 + 700 10 d,tot, =.705,9 kn.cm 0,0005.705,9 kn.cm 1d,mín, = 1.470,0 kn.cm Dir. : Nsta dirção o pilar dv sr dimnsionado para o máimo momnto fltor qu ocorr nas trmidads do topo da bas, sm s acrscntar o momnto fltor mínimo. d,tot, = 7.000,0 kn.cm 1d,mín, = 1.890,0 kn.cm ok! Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 55. A situação d projto as situaçõs d cálculo stão mostradas na Figura 56 Figura 57. Dir. Dir. 1d,mín, 1d,mín, 1d,A, + d,má, 1.35,9 OU 1.470,0 1.890,0 7.000 Figura 55 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 57 1 = 10,00 = 10,00 1,mín,10 S.P. a 1 s.c. a s.c. Figura 56 Situação d projto situação d cálculo da sção d trmidad. A cntricidad inicial na sção intrmdiária C é calculada com a Eq. 53, qu corrspond à Eq. 49, m função da cntricidad inicial ( 1), nas trmidads submtidas aos momntos fltors d 1 a ordm ( 1d,A 1d,B): 0,6 1A 0,4 1B 1C 0,4 1A 1,C 0,6 0,4 1,A 1,A 0,4 1,B 0,6.10,00 0,4. 0,4.10,00 4,00 cm 10,00,00 cm 1,C = 4,00 cm N d = 4,00 1,C 3,87 = 10,00 1,mín,10 1,77 S.P. a 1 s.c. a s.c. Figura 57 Situaçõs d projto d cálculo da sção intrmdiária. D modo smlant ao mplo antrior, com = 0,61 utilizando os ábacos d VENTURINI (1987) para flão rta: Dir. : = d' d,tot,. Ac. f 4, 0 = 0 cd 705,9 = 0, 1 ou 3,87 0,61 0, 1,0 0. 800 0 = 0,0 Ábaco A-9: ω = 0,0 Dir. : = d,tot,. Ac. f cd 7000,0 =,0 40. 800 10,00 0,15 ou 0,61 0, 15 40

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 58 d' 4, 0 = 40 = 0,10 Ábaco A-7: ω = 0,8,0 0,8. 800 Ac fcd A s = = 7, 36 cm f 50 d 1,15 Obsrva-s qu a ára d armadura longitudinal não s modificou m rlação à calculada no mplo antrior, mbora a altração dos momntos fltors d 1 a ordm. 17 CÁLCULO DOS PILARES DE CANTO Aprsnta-s a sguir um rotiro d cálculo para os camados pilars d canto, com a aplicação do étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada. Outros métodos d cálculo constants da norma não são aprsntados nst trabalo. Três mplos numéricos d aplicação são aprsntados. 17.1 Rotiro d Cálculo a) Esforços solicitants A força normal d cálculo pod sr dtrminada como = n. f. N k ond: N k = força normal caractrística no pilar; n = coficint d majoração da força normal (Tabla 4); γ f = coficint d pondração das açõs no ELU (dfinido na Tabla 11.1 da NBR 6118). b) Índic d sbltz (Eq. 9 Eq. 30) ; i I i para sção rtangular: A 3,46 c) omnto fltor mínimo (Eq. 34) 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com = dimnsão do pilar, m cm, na dirção considrada. d) Esbltz limit (Eq. 4) 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b 1 0 na dirção da viga não contínua sobr o pilar d trmidad; = dimnsão do pilar na msma dirção d 1 ; 1 - não s considra o fito local d ª ordm para a dirção considrada; > 1 - s considra o fito local d ª ordm para a dirção considrada. ) omnto fltor total Dtrmina-s d,tot com a Eq. 33: d,tot b. 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín 17. Emplos Numéricos Os mplos numéricos a sguir são d pilars d canto, biapoiados na bas no topo, d nós fios (contravntados) sm forças transvrsais atuants. Os sguints dados são comuns m todos os mplos: concrto C0 ; aço CA-50 ; d = 4,0 cm ; coficints d pondração: c = f = s =1,15.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 59 17..1 Emplo 1 Est mplo é smlant àqul ncontrado m FUSCO (1981, p. 313), com a difrnça da altração do concrto, d C15 para C0, da largura do pilar, d 5 cm para 0 cm (Figura 58). São concidos: N k = 80 kn 1d,A, = 1d,B, =.041 kn.cm ( 1,A = 1,B = 1,78 cm) 1d,A, = 1d,B, = 1.76 kn.cm ( 1,A = 1,B = 1,50 cm) sção transvrsal 0 50 (A c = 1.000 cm ) comprimnto quivalnt: = = 80 cm = 50 cm 1 N d 1 = 0 cm Figura 58 Arranjo strutural do pilar na planta d fôrma, dimnsõs da sção transvrsal posição do ponto d aplicação da força normal. A Figura 59 mostra como ocorr a solicitação do pilar plos momntos fltors d 1 a ordm, as cntricidads corrspondnts. 041 1,78 1 176 1,50 1 RESOLUÇÃO Figura 59 omntos fltors d 1 a ordm d cálculo (kn.cm) cntricidads nas dirçõs do pilar. a) Esforços solicitants A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,0.. 80 = 1.148 kn. Além da força normal d comprssão ocorrm também momntos fltors na bas no topo do pilar, 1d,A, = 1d,B, =.041 kn.cm na dirção, 1d,A, = 1d,B, = 1.76 kn.cm na dirção (Figura 59), m função d istirm duas vigas não contínuas sobr o pilar, nas dirçõs.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 60 b) Índic d sbltz 3,46 3,46 80 48,4 0 3,46 3,46 80 50 19,4 c) omnto fltor mínimo 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. O momnto fltor mínimo, m cada dirção é: 410,8 Dir. : 1d,mín, = 1148 (1,5 + 0,03. 0) =.410,8 kn.cm ; 1,mín =,10 cm 1148 3444,0 Dir. : 1d,mín, = 1148 (1,5 + 0,03. 50) = 3.444,0 kn.cm ; 1,mín = 3,00 cm 1148 d) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é 1,78 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm nsta dirção são 1d,A, = 1d,B, =.041 kn.cm, mnors qu o momnto fltor mínimo ( 1d,mín, =.410,8 kn.cm), o qu lva a b = 1,0. Assim: 1,78 5 1,5 0 1, 6,1 35 1, = 35 1,0 Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é 1,50 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm nsta dirção são 1d,A, = 1d,B, = 1.76 kn.cm, mnors qu o momnto fltor mínimo ( 1d,mín, = 3.444,0 kn.cm), o qu lva também a b = 1,0. Assim: 1,50 5 1,5 50 1, 5,4 35 1, = 35 1,0 Dss modo: = 48,4 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 19,4 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. ) omnto d a ordm plo método do pilar-padrão com curvatura aproimada d,tot b. 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín Nd 1148 Força normal adimnsional: 0, 80 A. f,0 c cd 1000 Curvatura na dirção sujita a momntos fltors d a ordm:

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 61 1 0,005 0,005 4-1 0,005 4 1,93.10 cm,5.10 cm ok! r 0 0,50 0 0,80 0,5 A cntricidad máima d a ordm na dirção é: -1 10 1 r 80 1,93.10 4 1,51 10 cm Fazndo 1d,A 1d,mín m cada dirção, tm-s o momnto fltor total: Dir. : ( 1d,A, =.041 kn.cm < 1d,mín, =.410,8 kn.cm) 80 d,tot, = 1,0. 410,8 + 1148 10 d,tot, = 4.141,6 kn.cm Dir. : ( 1d,A, = 1.76 kn.cm < 1d,mín, = 3.444,0 kn.cm) 0,000193 4.141,6 kn.cm 1d,mín, =.410,8 ok! d,tot, = 1.76,0 kn.cm 1d,mín, = 3.444,0 kn.cm d,tot, = 3.444,0 kn.cm Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 60. A situação d projto as situaçõs d cálculo stão mostradas na Figura 61 Figura 6. Dir. Dir. 1d,mín, 1d,A, 1d,mín, 1d,A, OU + OU d,má, 1.730,8.410,8.401 3.444,0 1.76 Figura 60 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs. N d = 1,50 1 = 3,00 1,mín 1 1,78 1,mín,10 a S.P. 1 s.c. Figura 61 Situaçõs d projto d cálculo da sção d trmidad.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 6 A cntricidad inicial na sção intrmdiária C é calculada com a Eq. 53, qu corrspond à Eq. 49, m função da cntricidad inicial m cada dirção ( 1), nas trmidads submtidas aos momntos fltors d 1 a ordm ( 1d,A 1d,B): 0,6 1A 0,4 1B 1C 0,4 1A 1,C 0,6 0,4 1,A 1,A 0,4 1,B 0,6.1,78 0,4. 0,4.1,78 0,71 cm 1,78 0,36 cm 1,C = 0,71 cm 0,6 1A 0,4 1B 1C 0,4 1A 1,C 0,6 0,4 1,A 1,A 0,4 1,B 0,6.1,50 0,4. 0,4.1,50 0,60 cm 1,50 0,30 cm 1,C = 0,60 cm 3,61 = 0,60 1,C 1,mín= 3,00 = 3,00 1,mín 1,C 0,71 1,mín,10 1,51 1,mín,10 S.P. a 1 s.c. a s.c. Figura 6 Situação d projto situaçõs d cálculo da sção intrmdiária. Nota-s qu ntr as três situaçõs d cálculo, é a 1 a s.c. da sção intrmdiária qu rsultará na maior armadura. Os coficints adimnsionais da Flão Composta Oblíqua são: d,tot, 4141,6 = = 0, 14 ou 3,61 0,80 0, 14. Ac. f,0 cd 0 0.1000 d,tot, 3444,0 3,00 = = 0, 05 ou 0,80 0, 05. Ac. f,0 50 cd 50.1000 d' 4, 0 d' 4, 0 = = 0,0 = = 0,08 0,10 0 50 Com = 0,80 utilizando o ábaco A-50 d PINHEIRO (1994) 11, a taa d armadura rsulta ω = 0,50, :,0 0,50.1000 Ac fcd A s = = 16, 43 cm f 50 d 1,15 17.. Emplo Est mplo é smlant aqul ncontrado m FUSCO (1981, p. 31), com a difrnça da altração do concrto, d C15 para C0, da largura do pilar, d 5 cm para 0 cm (Figura 63). São concidos: 11 Os ábacos podm sr ncontrados m: ttp://wwwp.fb.unsp.br/pbastos/pag_concrto.tm

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 63 N k = 80 kn 1d,A, = 1d,B, = 1.43 kn.cm ( 1,A = 1,B = cm) 1d,A, = 1d,B, = 1.509 kn.cm ( 1,A = 1,B = 1,31 cm) sção 0 50 (A c = 1.000 cm ) = = 460 cm = 50 cm 1 N d 1 = 0 cm Figura 63 Arranjo strutural do pilar na planta d fôrma dimnsõs da sção transvrsal. A Figura 64 mostra como ocorr a solicitação do pilar plos momntos fltors d 1 a ordm, as cntricidads corrspondnts. 143 1 1509 1,31 1 Figura 64 omntos fltors d 1 a ordm d cálculo (kn.cm) nas dirçõs. RESOLUÇÃO a) Esforços solicitants A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,0.. 80 = 1.148 kn, com n na Tabla 4. Além da força normal d comprssão ocorrm também momntos fltors na bas topo do pilar, 1d,A, = 1d,B, = 1.43 kn.cm na dirção, 1d,A, = 1d,B, = 1.509 kn.cm na dirção (Figura 64), m função d istirm duas vigas não contínuas sobr o pilar, nas dirçõs.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 64 b) Índic d sbltz 3,46 3,46 3,46 460 79,6 0 3,46 460 31,8 50 c) omnto fltor mínimo 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. O momnto fltor mínimo, m cada dirção é: 410,8 Dir. : 1d,mín, = 1148 (1,5 + 0,03. 0) =.410,8 kn.cm ; 1,mín = 1148,10 cm 3444,0 Dir. : 1d,mín, = 1148 (1,5 + 0,03. 50) = 3.444,0 kn.cm ; 1,mín = 3,00 cm 1148 d) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é cm. Os momntos fltors d 1 a ordm nsta dirção são 1d,A, = 1d,B, = 1.43 kn.cm, mnors qu o momnto fltor mínimo ( 1d,mín, =.410,8 kn.cm), o qu lva a b = 1,0. Assim: 5 1,5 0 1, 5,8 35 1, = 35 1,0 Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é 1,31 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm nsta dirção são 1d,A, = 1d,B, = 1.509 kn.cm, mnors qu o momnto fltor mínimo ( 1d,mín, = 3.444,0 kn.cm), o qu lva também a b = 1,0. Assim: 1,31 5 1,5 50 1, 5,4 35 1, = 35 1,0 Dss modo: = 79,6 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 31,8 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. ) omnto d a ordm plo método do pilar-padrão com curvatura aproimada d,tot b. 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín Nd 1148 Força normal adimnsional: 0, 80 A. f,0 c cd 1000 Curvatura sgundo a dirção sujita a sforços d a ordm:

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 65 1 0,005 0,005 4-1 0,005 4 1,93.10 cm,5.10 cm ok! r 0 0,50 0 0,80 0,5 A cntricidad d a ordm na dirção é: -1 10 1 r 460 1,93.10 4 4,07 10 cm Fazndo 1d,A 1d,mín m cada dirção, tm-s o momnto total máimo: Dir. : ( 1d,A, = 1.43 kn.cm < 1d,mín, =.410,8 kn.cm) 460 4 d,tot, = 1,0. 410,8 + 1148 1,93.10 7.08,1 1d,mín, =.410,8 kn.cm ok! 10 d,tot, = 7.08,1 kn.cm Dir. : ( 1d,A, = 1.509 kn.cm < 1d,mín, = 3.444,0 kn.cm) d,tot, = 1.509,0 kn.cm 1d,mín, = 3.444,0 kn.cm d,tot, = 3.444,0 kn.cm Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 65. A situação d projto as situaçõs d cálculo stão mostradas na Figura 66 Figura 67. Dir. Dir. 1d,mín, 1d,A, 1d,mín, 1d,A, OU + d,má, 4.671,3 OU.410,8 1.43 3.444,0 1.509 Figura 65 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs. = 1,31 1 1,mín= 3,00 1 1,mín,10 S.P. a 1 s.c. Figura 66 Situação d projto situação d cálculo da sção d trmidad.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 66 A cntricidad inicial na sção intrmdiária C é calculada com a Eq. 53, qu corrspond à Eq. 49, m função da cntricidad inicial m cada dirção ( 1), nas trmidads submtidas aos momntos fltors d 1 a ordm ( 1d,A 1d,B): 0,6 1A 0,4 1B 1C 0,4 1A 1,C 0,6 0,4 1,A 1,A 0,4 1,B 0,6. 0,4. 0,4. 0,50 cm 0,5 cm 1,C = 0,50 cm 0,6 1A 0,4 1B 1C 0,4 1A 1,C 0,6 0,4 1,A 1,A 0,4 1,B 0,6.1,31 0,4. 0,4.1,31 0,5 cm 1,31 0,6 cm 1,C = 0,5 cm 6,17 = 0,5 1,C N d 1,mín= 3,00 1,mín= 3,00 1,C 0,50 1,mín,10 4,07 1,mín,10 S.P. a 1 s.c. a s.c. Figura 67 Situação d projto situaçõs d cálculo da sção intrmdiária. A anális das situaçõs d cálculo mostra claramnt qu é a 1 a s.c. da sção intrmdiária qu rsultará na armadura final do pilar: d,tot, 708,1 = = 0, 5 ou 6,17 0,80 0, 5. Ac. f,0 cd 0 0.1000 d,tot, 3444,0 3,00 = = 0, 05 ou 0,80 0, 05. Ac. f,0 50 cd 50.1000 d' 4, 0 d' 4, 0 = = 0,0 = = 0,08 0,10 0 50 Com = 0,80 utilizando o ábaco A-50 d PINHEIRO (1994) para Flão Composta Oblíqua, a taa d armadura rsulta ω = 0,91. A armadura é: A s = A f c d f cd,0 0,91.1000 = 9, 90 cm 50 1,15 17..3 Emplo 3 Est mplo tm momntos fltors d 1 a ordm supriors aos momntos fltors mínimos (Figura 68). São concidos:

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 67 N k = 360 kn 1d,A, = 1d,B, =.683 kn.cm ( 1,A = 1,B = 5,3 cm) 1d,A, = 1d,B, = 1.105 kn.cm ( 1,A = 1,B =,19 cm) sção 0 30 (A c = 600 cm ) = = 80 cm γ c = γ f = ; γ s = 1,15 = 0 cm 1 1 = 30 cm Figura 68 Arranjo strutural do pilar na planta d fôrma dimnsõs da sção transvrsal. A Figura 69 mostra como ocorr a solicitação do pilar plos momntos fltors d 1 a ordm, as cntricidads corrspondnts. 683 5,3 1 1105,19 1 Figura 69 omntos fltors d 1 a ordm d cálculo (kn.cm) nas dirçõs. RESOLUÇÃO a) Esforços solicitants A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,0.. 360 = 504 kn, com n na Tabla 4. Além da força normal d comprssão ocorrm também momntos fltors na bas topo do pilar, 1d,A, = 1d,B, =.683 kn.cm na dirção, 1d,A, = 1d,B, = 1.105 kn.cm na dirção (Figura 69), m função d istirm duas vigas não contínuas sobr o pilar nas dirçõs.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 68 b) Índic d sbltz 3,46 3,46 80 3,3 30 3,46 3,46 80 0 48,4 c) omnto fltor mínimo 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. O momnto fltor mínimo, m cada dirção é: Dir. : 109,6 1d,mín, = 504 (1,5 + 0,03. 30) = 1.09,6 kn.cm ; 1,mín = 504,40 cm Dir. : 1058,4 1d,mín, = 504 (1,5 + 0,03. 0) = 1.058,4 kn.cm ; 1,mín = 504,10 cm d) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é 5,3 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm nsta dirção são 1d,A, = 1d,B, =.683 kn.cm, maiors qu o momnto fltor mínimo ( 1d,mín, = 1.09,6 kn.cm), o qu lva ao cálculo d b. Assim: B b 0,6 0,4, com 0,4 b 1,0 A 683 b 0,6 0,4 0, b = 0,4 683 5,3 5 1,5 30 1, 68,0 35 1, = 68,0 0,4 Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é,19 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm nsta dirção são 1d,A, = 1d,B, = 1.105 kn.cm, maiors qu o momnto fltor mínimo ( 1d,mín, = 1.058,4 kn.cm), o qu lva ao cálculo d b : B b 0,6 0,4, com 0,4 b 1,0 A 1105 b 0,6 0,4 0, b = 0,4 1105,19 5 1,5 0 1, 65,9 35 1, = 65,9 0,4 Dss modo: = 3,3 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 48,4 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 69 ) omntos fltors totais nas duas dirçõs Como não ocorrm momntos fltors d a ordm ( = 0), os momntos fltors máimos ocorrm nas trmidads do pilar corrspondm aos momntos fltors d 1 a ordm: Dir. : d,tot, =.683,0 kn.cm 1d,mín, = 1.09,6 kn.cm Dir. : d,tot, = 1.105,0 kn.cm 1d,mín, = 1.058,4 kn.cm ok! ok! Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 70. A situação d projto as situaçõs d cálculo stão mostradas na Figura 71 Figura 7. Dir. Dir. 1d,mín, 1d,A, 1d,mín, 1d,A, OU OU 1.09,6.683 1.058,4 1.105 Figura 70 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs. 1=,19 =,19 1 1 5,3 1 5,3 S.P. a 1 s.c. Figura 71 Situação d projto situação d cálculo da sção d trmidad. A cntricidad inicial na sção intrmdiária C é calculada com a Eq. 53, qu corrspond à Eq. 49, m função da cntricidad inicial m cada dirção ( 1), nas trmidads submtidas aos momntos fltors d 1 a ordm ( 1d,A 1d,B): 0,6 1A 0,4 1B 1C 0,4 1A 1,C 0,6 0,4 1,A 1,A 0,4 1,B 0,6. 5,3 0,4. 0,4. 5,3,13 cm 5,3 1,06 cm 1,C =,13 cm

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 70 0,6 1A 0,4 1B 1C 0,4 1A 1,C 0,6 0,4 1,A 1,A 0,4 1,B 0,6.,19 0,4. 0,4.,19 0,88 cm,19 0,44 cm 1,C = 0,88 cm 1,C= 0,88 N d 1,mín=,10 1,C,13 1,mín,40 S.P. a 1 s.c. Figura 7 Situaçõs d projto d cálculo da sção intrmdiária. Os diagramas d momntos fltors da Figura 70 mostram qu nas sçõs d bas topo do pilar, os momntos fltors maiors são os d 1 a ordm, na sção intrmdiária são os momntos fltors mínimos. Nd 504 Força normal adimnsional: 0, 59 A. f,0 c cd 600 Coficints adimnsionais da flão considrando a 1 a s.c. da sção d trmidad: d,tot, 683,0 = = 0, 10 ou 5,3 0,59 0, 10. Ac. f,0 cd 30 30. 600 d,tot, 1105,0,19 = = 0, 06 ou 0,59 0, 06. Ac. f,0 0 cd 0. 600 d' 4, 0 d' 4, 0 = = 0,13 0,15 = = 0,0 30 0 Com = 0,59 utilizando o ábaco A-66 d PINHEIRO (1994) para Fão Composta Oblíqua, a taa d armadura rsulta ω = 0,0. A armadura é: A s = A f c d f cd,0 0,0. 600 = 3, 94 cm 50 1,15 18 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS Sgundo a NBR 6118 (18..1), O arranjo das armaduras dv atndr não só à sua função strutural, como também às condiçõs adquadas d cução, particularmnt com rlação ao lançamnto ao adnsamnto do concrto. Os spaços dvm sr projtados para a introdução do vibrador d modo a impdir a sgrgação dos agrgados a ocorrência d vazios no intrior do lmnto strutural. Essas rcomndaçõs da norma são grais, válidas para todos os lmntos

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 71 struturais. No caso dos pilars dv-s tr uma atnção spcial à rgião d ligação com as vigas, ond pod istir grand quantidad d barras (vrticais nos pilars orizontais nas vigas), além dos stribos. 18.1 Armadura Longitudinal d Pilars 6118. As disposiçõs rlativas à armadura longitudinal dos pilars ncontram-s no itm 18.4. da NBR 18.1.1 Diâmtro ínimo O diâmtro das barras longitudinais ( ) dv sr: 10 mm b Eq. 61 8 com b sndo a mnor dimnsão da sção transvrsal do pilar. 18.1. Distribuição Transvrsal NBR 6118 (18.4..): As armaduras longitudinais dvm sr dispostas na sção transvrsal, d forma a garantir a rsistência adquada do lmnto strutural. Em sçõs poligonais, dv istir plo mnos uma barra m cada vértic; m sçõs circulars, no mínimo sis barras distribuídas ao longo do prímtro. O spaçamnto mínimo livr ntr as facs das barras longitudinais, mdido no plano da sção transvrsal, fora da rgião d mndas, dv sr igual ou suprior ao maior dos sguints valors: cm mín,livr, fi, luva Eq. 6 1,d má. agrg ond: = diâmtro da barra longitudinal; fi = n = n, ond n é o númro d barras do fi; d má. agrg = dimnsão máima caractrística do agrgado graúdo (19 mm para brita 1 5 mm para brita ). Esss valors s aplicam também às rgiõs d mndas por traspass das barras. Quando stivr prvisto no plano d concrtagm o adnsamnto através d abrtura latral na fac da forma, o spaçamnto das armaduras dv sr suficint para prmitir a passagm do vibrador. O spaçamnto máimo ntr ios das barras, ou d cntros d fis d barras, dv sr: b má, ios Eq. 63 40 cm com b sndo a mnor dimnsão da sção transvrsal do pilar. 18.1.3 Armadura ínima áima A armadura longitudinal mínima é calculada por (itm 17.3.5.3.1): A N d s,mín 0,15 0,004 Ac Eq. 64 fd

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 7 ond: = força normal d cálculo; f d = rsistência d cálculo d início d scoamnto do aço; A c = ára da sção transvrsal do pilar. A armadura longitudinal máima (itm 17.3.5.3.) é dada por: A s,má = 0,08 A c Eq. 65 A máima armadura prmitida m pilars dv considrar inclusiv a sobrposição d armadura istnt m rgiõs d mnda, dvndo sr também rspitado o disposto m 18.4... 18.1.4 Dtalamnto da Armadura Um mplo dos arranjos longitudinais típicos das armaduras dos pilars contravntados dos difícios stá mostrado na Figura 73. T1 4 4T1 4 Andar T9 T11 T10 T9 1T10 T11 1T10 3 Andar 6 T8 T6 T7 3 3T6 3T7 3 Andar 6 T5 8 T4 8T4 1 Andar T T3 1T 3T 3T 8 4 T3 T3 1T T1 1 Bloco d Fundação Figura 73 Arranjos longitudinais típicos m difícios (FUSCO, 000). 18.1.5 Protção contra Flambagm No itm 18..4 da NBR 6118 ncontra-s: Smpr qu ouvr possibilidad d flambagm das barras da armadura, situadas junto à suprfíci do lmnto strutural, dvm sr tomadas prcauçõs para vitá-la. Os stribos poligonais garantm contra a flambagm as barras longitudinais situadas m sus cantos as por ls abrangidas, situadas no máimo à distância 0 t do canto, s nss trco d comprimnto 0 t não ouvr mais d duas barras, não contando a d canto. Quando ouvr mais d duas barras nss trco ou barra fora dl, dv avr stribos suplmntars. S o stribo suplmntar for constituído por uma barra rta, trminada m gancos (90 a 180 ), l dv atravssar a sção do lmnto strutural, os sus gancos dvm nvolvr a barra longitudinal. (vr Figura 74 Figura 75).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 73 Figura 74 Protção contra flambagm das barras, sgundo a NBR 6118. 0 t 0 t Figura 75 Critério para protção das barras longitudinais contra a flambagm. No caso d stribos curvilínos cuja concavidad stja voltada para o intrior do concrto, não á ncssidad d stribos suplmntars. S as sçõs das barras longitudinais s situarm m uma curva d concavidad voltada para fora do concrto, cada barra longitudinal dv sr ancorada plo ganco d um stribo rto ou plo canto d um stribo poligonal. 18. Armadura Transvrsal d Pilars A armadura transvrsal d pilars, constituída por stribos, quando for o caso, por grampos suplmntars, dv sr colocada m toda a altura do pilar, sndo obrigatória sua colocação na rgião d cruzamnto com vigas lajs. (NBR 6118, 18.4.3). O diâmtro dos stribos m pilars dv obdcr a: 5 mm t / 4 ou fi / 4 Eq. 66 O spaçamnto longitudinal ntr stribos, mdido na dirção do io do pilar, para garantir o posicionamnto, impdir a flambagm das barras longitudinais garantir a costura das mndas d barras longitudinais nos pilars usuais, dv sr : s má 0 cm b (mnor dim nsão do pilar ) 4 para CA 5,1 para CA 50 Eq. 67 Pod sr adotado o valor t < /4 quando as armaduras form constituídas do msmo tipo d aço o spaçamnto rspit também a limitação:

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 74 s má 90000 t 1 f k, com f k m Pa. Eq. 68 Quando ouvr ncssidad d armaduras transvrsais para forças cortants torção, sss valors dvm sr comparados com os mínimos spcificados m 18.3 para vigas, adotando-s o mnor dos limits spcificados. Com vistas a garantir a dutilidad dos pilars, rcomnda-s qu os spaçamntos máimos ntr os stribos sjam rduzidos m 50 % para concrtos d class C55 a C90, com inclinação dos gancos d plos mnos 135. 18.3 Pilars-Pard NBR 6118 (18.5): No caso d pilars cuja maior dimnsão da sção transvrsal cda m cinco vzs a mnor dimnsão, além das igências constants nsta subsção na subsção 18.4, dv também sr atndido o qu stablc a Sção 15, rlativamnt a sforços solicitants na dirção transvrsal dcorrnts d fitos d 1 a a ordns, m spcial dos fitos d a ordm localizados. A armadura transvrsal d pilars-pard dv rspitar a armadura mínima d flão d placas, s ssa flão a armadura corrspondnt form calculadas. Caso contrário, a armadura transvrsal por mtro d fac dv rspitar o mínimo d 5 % da armadura longitudinal por mtro da maior fac da lâmina considrada. 19 ESTIATIVA DA CARGA VERTICAL NO PILAR POR ÁREA DE INFLUÊNCIA Durant o dsnvolvimnto dsno da planta d fôrma é ncssário dfinir as dimnsõs dos pilars, ants msmo qu s conçam os sforços solicitants atuants. Alguns procssos podm sr utilizados para a fiação das dimnsõs dos pilars, ntr ls a priência do ngniro. Um procsso simpls, qu auilia a fiação das dimnsõs do pilar, é a stimativa da carga vrtical no pilar pla sua ára d influência, ou sja, a carga qu stivr na laj dntro da ára d influência do pilar caminará até o pilar. A Figura 76 mostra como s pod, d modo simplificado, dtrminar a ára d influência d cada pilar. No ntanto, é ncssário tr um valor qu rprsnt a carga total por mtro quadrado d laj, lvando-s m conta todos os carrgamntos prmannts variávis. Para difícios d pquna altura, com fins rsidnciais d scritórios, pod-s stimar a carga total d 10 kn/m. Edifícios com outros fins d utilização podm tr cargas supriors difícios ond a ação do vnto é significativa, a carga por mtro quadrado dv sr majorada. É important salintar qu a carga stimada srv apnas para o pré-dimnsionamnto da sção transvrsal dos pilars. O dimnsionamnto final dv sr obrigatoriamnt fito com os sforços solicitants rais, calculados m função das cargas (raçõs) das vigas lajs sobr o pilar, com a atuação das forças do vnto outras qu istirm.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 75 0,4 0,6 0,5 0,5 0,6 0,4 1 1 3 3 P1 P P3 P4 4 4 5 5 0,4 0,6 0,6 0,4 P5 P6 P7 P8 5 4 P9 P10 P11 P1 1 3 Figura 76 Procsso simplificado para dtrminação da ára d influência dos pilars. 0 PRÉ-DIENSIONAENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR As quaçõs para pré-dimnsionamnto da sção transvrsal d pilars, aprsntadas a sguir, srvm apnas para pilars d dificaçõs d pquno port (baia altura), aço do tipo CA-50. Edifícios ond a ação do vnto origina solicitaçõs significativas dvm tr a sção transvrsal majorada m rlação àqulas rsultants dst pré-dimnsionamnto, ou outras quaçõs dvm sr utilizadas. Em FUSCO (1994) consta um procsso simplificado para o pré-dimnsionamnto da sção d pilars, simplificando ainda mais o procsso cgou-s às quaçõs sguints, m função do tipo d pilar, para aço CA-50. a) Pilar Intrmdiário A c Nd Eq. 69 0,5f 0,4 ck b) Pilars d Etrmidad d Canto A c 1,5 Nd Eq. 70 0,5f 0,4 ck ond: A c = ára da sção transvrsal do pilar (cm ); = força normal d cálculo (kn); f ck = rsistência caractrística do concrto (kn/cm ). As quaçõs podm sr rfinadas para aprsntarm rsultados mlors, m função d algumas variávis, principalmnt da largura d pilars rtangulars.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 76 1 DIENSIONAENTO DE PILARES DE UA EDIFICAÇÃO DE BAIXA ALTURA São aprsntados a sguir mplos práticos do dimnsionamnto d pilars d uma dificação d pquno port baia altura. A Figura 78 mostra a planta d fôrma do pavimnto tipo do difício, com três pavimntos. Por simplicidad, os fitos do vnto não srão considrados. A planta d fôrma foi concbida considrando qu istm pards d alvnaria d vdação ao longo d toda a prifria da dificação, com spssura d um tijolo, confccionadas com largura corrspondnt a d blocos crâmicos furados d dimnsão 19 cm, por isso as vigas pilars foram spcificados com largura também d 19 cm, d tal modo a ficarm mbutidos nas pards. Já as pards intrnas, sobr as vigas V, V3 V6, são d mio tijolo, com largura d blocos crâmicos d vdação d dimnsão 14 cm, d modo qu ssas vigas tm largura 14 cm, a fim d ficarm mbutidas. Os pilars P5 P8, com intnção d também ficaram mbutidos nas pards, srão inicialmnt dimnsionados com a largura d 14 cm. A dificação stá insrida m zona urbana d uma cidad d rgião litorâna, d tal modo qu srá considrada a class d agrssividad ambintal III. Em consquência, conform a Tabla 7.1 Tabla 7. da NBR 6118 aprsntado m BASTOS (014) 1, o concrto dv sr no mínimo o C30 (f ck = 30 Pa), a rlação a/c 0,55, o cobrimnto d concrto d 3,5 cm para viga pilar, com c = 5 mm. A norma prmit uma class d agrssividad mais branda para ambints intrnos scos, por isso, no cálculo dos pilars intrnos à dificação (pilars P5 P8), o cobrimnto srá diminuído para,5 cm. Os dmais pilars, qu ncontram-s na prifria da dificação, srão calculados com cobrimnto d 3,5 cm. Outros dados adotados: aço CA-50, coficints d pondração: c = γ f =, s = 1,15, concrto com brita 1, sm brita. Para a tnsão d início d scoamnto do aço srá adotado o valor: f d = f k/ s = 50/1,15 = 43,5 kn/cm. Srão dimnsionados os lancs ntr o 1 o pavimntos, como indicado na Figura 77. A carga normal caractrística aplicada na bas dos lancs dos pilars a srm dimnsionados stá indicada na Tabla 5. Tabla 5 Carga normal (kn) caractrística nos pilars. Pilar P1 P P5 P6 P8 N k 130 80 650 300 700 Cob. 80 Pav. 80 1 Pav. 80 Tér. Figura 77 Lanc dos pilars a srm dimnsionados. 1 BASTOS, P.S.S. Fundamntos, Cap. 3. Disciplina 117 Estruturas d Concrto I. Bauru/SP, Dpartamnto Engnaria Civil, Faculdad d Engnaria - Univrsidad Estadual Paulista (UNESP), st/014, 9p. Disponívl m (3/07/015): ttp://wwwp.fb.unsp.br/pbastos/concrto1/fundamntos.pdf

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 77 500 500 V 1 (19 50) P 1 P P 3 19/ 19/ 19/ 480 = 1 cm V (14 60) P 4 P 5 P 6 19/ 19/ 550 = 1 cm = 1 cm V 3 (14 60) P 7 P 8 P 9 19/ 19/ 50 = 1 cm = 1 cm (19 50) (14 60) (19 50) V5 V4 (19 50) V6 V7 P 10 P 11 P 1 19/ 500 19/ 500 19/ Figura 78 Planta d fôrma do pavimnto tipo do difício.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 78 A distância do cntro da barra do canto até a fac do pilar (d ) é: d = c + t + / Adotando t = 5 mm = 1,5 mm, no cálculo dos pilars d srá considrado igual a: para c = 3,5 cm d = 3,5 + 0,5 + 1,5/ = 4,6 cm (pilars P1 P6); para c =,5 cm d =,5 + 0,5 + 1,5/ = 3,6 cm (pilars P5 P8). 1.1 Pilar Intrmdiário P8 Dados : N k = 700 kn = = 80 cm O pilar P8 é classificado como pilar intrmdiário porqu as vigas V3 V6 são contínuas sobr o pilar, não originando flão important qu dva sr considrada no cálculo do pilar. a) Esforços solicitants A largura mínima d um pilar ou pilar-pard é 14 cm. Considrando qu a largura do pilar sja d 14 cm, o coficint d majoração da carga ( n, Tabla 4) é 1,5. Sgundo a NBR 6118, todas as açõs atuants no pilar dvm sr majoradas por ss coficint. A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,5.. 700 = 1.5 kn Pré-dimnsionamnto (Eq. 69): A c Nd 15 645 cm 0,5f 0,4 0,5 3,0 0,4 ck Pod-s adotar: A c = 14 50 = 700 cm (Figura 79). Gralmnt adota-s o comprimnto d pilars rtangulars com valors múltiplos d 5 cm. A ára mínima d um pilar dv sr d 360 cm. = 50 = 14 Figura 79 Dimnsõs da sção transvrsal do pilar P8. b) Índic d sbltz (Eq. 30) 3,46 3,46 80 69, 14

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 79 3,46 3,46 80 50 19,4 c) omnto fltor mínimo O momnto fltor mínimo, m cada dirção, é calculado pla Eq. 34: 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm Dir. : 1d,mín, = 15 (1,5 + 0,03. 14) =.35 kn.cm Dir. : 1d,mín, = 15 (1,5 + 0,03. 50) = 3.675 kn.cm d) Esbltz limit (Eq. 4) 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Nos pilars intrmdiários não ocorrm momntos fltors cntricidads d 1 a ordm m ambas as dirçõs principais, isto é, A = B = 0 1 = 0. Daí rsulta qu b é igual a 1,0 : 1, = 1, = 5 35 1, = 1, = 35 Dss modo: = 69, > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 19,4 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. ) omntos fltors totais sgundo o método do pilar-padrão com curvatura aproimada (Eq. 33) d,tot b 1d,A N d 1 10 r 1d,A 1d,mín, 1d,A 1d,mín Nd 15 Força normal adimnsional (Eq. 0): 0, 8 A. f 3,0 c cd 700 Curvatura na dirção sujita a momntos fltors d a ordm (Eq. 19): 1 0,005 0,005 4-1 0,005 4,7056.10 cm 3,57.10 cm ok! r 14 0,5 14 0,8 0,5 Fazndo 1d,A 1d,mín m cada dirção, tm-s os momntos fltors totais máimos: -1 Dir. : 80 4 d,tot, = 1,0. 35 15,7056.10 4. 950 10 d,tot, = 4.950 kn.cm kn.cm 1d,mín, =.35 kn.cm ok! Dir. : d,tot, = 1d,mín, = 3.675 kn.cm Os momntos fltors atuants no pilar, da bas ao topo, stão indicados na Figura 80, a qual mostra qu o máimo momnto fltor solicitant, na dirção (d maior sbltz) é a soma do momnto

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 80 fltor mínimo com o máimo momnto fltor d sgunda ordm:.35 +.598 = 4.950 kn.cm. Est valor também pod sr calculado com as cntricidads: 1.5 (1,9 +,1) 4.950 kn.cm. A armadura final do pilar rsulta dst momnto fltor. Dir. Dir. 1d,mín, 1d,mín, + d,má,.598 =,1,má.35 1,mín = 1,9 3.675 = 3,00 1,mín Figura 80 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs. Com = 0,8 utilizando os ábacos d VENTURINI (1987) para Flão Rta: 13 Dir. : d,tot, 4950 = 0, 4. Ac. f 3,0 cd 14. 700 d' 3, 6 = = 0,6 0,5 Ábaco A-5: = 0,95 14 Dir. : d,tot, =. Ac. f d' A s = = 3,6 50 A f c d f cd 3675 = 0,05 3,0 50. 700 f) Dtalamnto Armadura mínima (Eq. 64): A s,mín = 0,07 0,05 Ábaco A-4: = 0,1 cd 3,0 0,95. 700 = 3, 76 cm 43,5 Nd 15 0,15 0,004 Ac A s, mín 0,15 4, cm f 43,5 d 0,004A c = 0,004. 700 =,80 cm A s = 3,76 cm > A s,mín 16 16 mm (3,00 cm ) 13 A rigor, nst mplo o cálculo da armadura pod sr fito apnas para a dirção, sob maior momnto fltor na dirção d mnor rigidz do pilar. Os valors dtrminados para nas duas dirçõs comprovam o fato.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 81 A taa d armadura rsulta: As 3,00 s 100 100 4,6 % s = 4,6 % < má = 8 % A 700 c Conform a Eq. 65, a taa máima d armadura é 8 %. No ntanto, considrando qu as armaduras dos difrnts lancs do pilar sjam iguais, a taa máima dv sr rduzida à mtad, pois na rgião d mnda das barras a armadura srá dobrada, o qu lva ntão à taa máima d 4 % m cada lanc. Portanto, a taa d armadura do pilar, d 4,6 %, supra o valor d 4 %. Entr divrsas soluçõs para rsolvr o problma, uma é scalonar as mndas das barras m rgiõs difrnts ao longo da altura do pilar. No caso d s aumntar a sção transvrsal do pilar, o aumnto do comprimnto pouco ajuda a diminuir a armadura, pois a dirção crítica do pilar é a dirção rlativa à largura, não a do comprimnto. O aumnto da largura do pilar é qu pod diminuir significativamnt a armadura longitudinal. A título d mplo, a largura do pilar srá aumntada m apnas 1 cm, d 14 para 15 cm, a armadura srá novamnt dimnsionada, a fim d ilustrar a grand difrnça d rsultados. Os cálculos srão fitos apnas para a dirção, qu é a crítica do pilar. Há qu obsrvar qu o pilar ficará aparnt na pard d alvnaria, a mnos qu s aumnt a spssura dos rvstimntos d argamassa das pards adjacnts ao pilar. a) Esforços solicitants força normal para a nova sção transvrsal (A c = 15 50 = 750 cm ) = n. f. N k = 1,0.. 700 = 1.176 kn b) Índic d sbltz (Eq. 30) 3,46 3,46 80 64,6 15 c) omnto fltor mínimo (Eq. 34) Dir. : 1d,mín, = 1176 (1,5 + 0,03. 15) =.93 kn.cm d) Esbltz limit (Eq. 4) 1, = 35 (sm altração) Dss modo: = 64,6 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; ) omnto fltor total sgundo o método do pilar-padrão com curvatura aproimada (Eq. 33) Nd 1176 Força normal adimnsional (Eq. 0): 0, 73 A. f 3,0 c cd 750 Curvatura na dirção sujita a momntos fltors d a ordm (Eq. 19): 1 0,005 0,005 4-1 0,005 4,7100.10 cm 3,3333.10 cm ok! r 15 0,5 15 0,73 0,5-1 80 4 d,tot, = 1,0. 93 1176,7100.10 4. 791 10 kn.cm Os momntos fltors atuants no pilar, somnt para a dirção, stão indicados na Figura 81.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 8 1d,mín, Dir. + d,má,.498 Coficint admnsional:.93 Figura 81 omntos fltors atuants no pilar na dirção. d,tot, 4791 = 0, 0. Ac. f 3,0 cd 15. 750 d' 3, 6 = = 0,4 0,5 Ábaco A-5: = 0,69 15 A s = A f c d f cd 3,0 0,69. 750 = 5, 49 cm 43,5 f) Dtalamnto A s = 5,49 cm 0 1,5 mm (5,00 cm ) ou 14 16 (8,00 cm ) O ábaco A-5 indica qu o momnto fltor rsultant da força normal cêntrica é m torno do io, qu as barras dvm sr distribuídas, simtricamnt, nas duas facs parallas ao msmo io. Ou, d outro modo, qu as barras sjam alojadas nas facs prprndiculars à cntricidad () da força normal. No caso m qustão do pilar P8, d acordo com ssas análiss, as barras dvm ficar distribuídas ao longo das facs maiors do pilar, d comprimnto 50 cm. A taa d armadura, com 0 1,5, rsulta: As 5,00 s 100 100 3,3 % A 750 c s = 3,3 % < = 4 % (da rgião d mnda d barras) Portanto, o aumnto da largura do pilar m apnas 1 cm, d 14 para 15 cm, fz a taa d armadura diminuir para um valor acitávl. A armadura diminuiu m %, d 3,76 para 5,49 cm (d 16 16 mm para 14 16 ou 0 1,5). S a largura do pilar for d 16 cm, a armadura diminui m 41 %, para 19,31 cm (d 16 16 mm para 10 16 ou 16 1,5). Com 0 1,5, o diâmtro ( t) spaçamnto máimo dos stribos (Eq. 66 Eq. 67) são:

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 83 5 mm t / 4 1,5/ 4 3,1 mm s má 0 cm b 15 cm 1 1.1,5 15 cm t = 5 mm s má = 15 cm A distância ntr os ios d duas barras adjacnts é: a v 50,5 0,5 9 10 1,5 1,5 4,7 cm O canto do stribo protg contra a flambagm as barras (até 6) qu stivrm dntro da distância 0 t. Eistm quatro barras protgidas por cada canto, as dmais, plo critério da NBR 6118, ncssitam d grampos suplmntars (Figura 8). Uma altrnativa, qu rsulta na diminuição d dois grampos, é fazr dois stribos indpndnts. A solução mlor srá aqula mais simpls d cutar mais conômica. 0 1,5 0 10,0 t = 50 4,7 0 10,0 t = 15 Figura 8 Dtalamnto da armadura na sção transvrsal do pilar P8. 1. Pilar d Etrmidad P5 Dados: N k = 650 kn = = 80 cm O pilar P5, mbora sja um pilar intrno à dificação, é classificado como pilar d trmidad, porqu tm a viga V6 não contínua sobr l, o qu origina momnto fltor d 1 a ordm na dirção da largura do pilar (dir. - Figura 78). a) Esforços solicitants Tndo m vista o cálculo já fito do pilar P8, srá adotada também a largura d 15 cm. O coficint d majoração da carga ( n - Tabla 4) é 1,0. A força normal d cálculo é: = n. f. N k = 1,0.. 650 = 1.09 kn

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 84 Para o pré-dimnsionamnto com a Eq. 70 não é ncssário majorar a força normal com o coficint γ n, apnas com o γ f (): A c ck. 650 1,5 1,5 718 cm 0,5f 0,4 0,5 3,0 0,4 Pod-s adotar: A c = 15 50 = 750 cm (Figura 83). = 50 = 15 b) Índic d sbltz Figura 83 Dimnsõs da sção transvrsal do pilar P5. 3,46 3,46 3,46 80 19,4 50 3,46 80 64,6 15 c) Ecntricidad d 1 a Ordm d 1 com d = momnto fltor d ligação ntr a viga V6 o pilar P5, na dirção. Nd O momnto fltor solicitant na bas no topo do pilar srá avaliado com a Eq. 43 Eq. 44, sndo: k,inf k,sup k,ng r p,sup r r pilar viga r p,inf Supondo qu a sção transvrsal do pilar não varia ao longo da sua altura, tm-s: r pilar r p,sup r p,inf I pilar 50 15 1 80 3 100,4 cm 3 P8): Rigidz da viga V6 com sção transvrsal 14 60 cm vão ftivo d 55 cm (ntr os pilars P5 I viga 3 bw 14 60 5.000 cm 4 1 1 3 r viga Iviga 5000 480,0 cm 3 55 f Para o momnto d ngastamnto prfito da viga V6 no pilar P5 srá adotada a carga total d 39 kn/m, conform Figura 84.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 85 39 kn/m P 8 P 5 55 cm Figura 84 Esquma stático carrgamnto no vão da viga adjacnt ao pilar P5. O momnto d ngastamnto prfito no pilar P5 é: ng q 1 39 5,5 1 89,58 kn.m = 8.958 kn.cm Os momntos fltors na bas no topo do lanc do pilar rsultam: k,inf 100,4 k, sup 8958 1.31 kn.cm 100,4 480,0 100,4 Considrando a propagação dos momntos fltors no pilar 14, conform mostrado na Figura 85, os momntos fltors totais, na bas no topo, são: k,topo 131 k, bas 131 1.98 kn.cm Transformando m momntos fltors d cálculo, com γ f = γ n = 1,0 (vr Tab. 4) 15, qu dv sr considrado porqu a largura do pilar é infrior a 19 cm: d,topo = d,bas = 1,0.. 198 = 3.330 kn.cm Os momntos fltors atuants na bas no topo do pilar stão indicados na Figura 85. A cntricidad d 1 a ordm na dirção é: 3330 109 1 3,05 cm d) omnto fltor mínimo 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. O momnto fltor mínimo, m cada dirção é: Dir. : Dir. : 1d,mín, = 109 (1,5 + 0,03. 50) = 3.76 kn.cm 1d,mín, = 109 (1,5 + 0,03. 15) =.19 kn.cm 14 Os momntos fltors d 1 a ordm atuants nos pilars dvm sr studados com cuidado, pois a propagação pod sr difrnt da indicada nst mplo, ou pod não istir. Tom como mplo o lanc do pilar rlativo ao pavimnto térro, ou o lanc ntr o o pavimnto a cobrtura. 15 Sgundo a NBR 6118, os sforços solicitants atuants no pilar dvm sr majorados por γ n (vr Tabla 4).

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 86 1/ k,sup sup = 80 39 kn/m P 8 V 6 k,sup 1.31 k,inf 1.31 d,topo 3.330 + P 5 = 80 inf - f = 55 cm 1/ k,inf d,bas 3.330 15 50 Figura 85 omntos fltors d 1 a ordm (kn.cm) no topo na bas do pilar P5 na dirção. ) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Dir. : Na dirção não ocorrm momntos fltors cntricidads d 1 a ordm, portanto, 1 = 0 b = 1,0. Assim: 0 5 1,5 35 1, 5 35 1, = 35 1,0 Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é 3,05 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm na dirção são 1d,A, = 1d,B, = 3.330 kn.cm, maiors qu o momnto fltor mínimo nsta dirção ( 1d,mín, =.19 kn.cm), o qu lva ao cálculo d b : B 3330 b 0,6 0,4 0,6 0,4 0, 0,4 b = 0,4 3330 A 3,05 5 1,5 15 1, 68,9 35 1, = 68,9 0,4 Dss modo: = 19,4 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 64,6 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. f) omnto fltor total solicitant cálculo da armadura

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 87 Como não é ncssário considrar a cntricidad d a ordm, o momnto fltor total é igual ao máimo momnto fltor d 1 a ordm, ou sja: Dir. : d,tot, = 1d,mín, = 3.76 kn.cm Dir. : d,tot, = 1d,A = 3.330 kn.cm 1d,mín, =.19 kn.cm Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 86. A força normal adimnsional é (Eq. 0): Nd A. f c cd 109 3,0 750 0,68 Dir. 1d,mín, 1d,mín, Dir. 1d,A, OU 3.76.19 3.330 = 3,00 = 1,95 = 3,05 1,mín Figura 86 omntos fltors atuants no pilar P5, nas dirçõs. 1,mín 1A, Com = 0,68 utilizando-s os ábacos d VENTURINI (1987) para Flão Rta, considrando apnas a dirção rlativa à largura do pilar (dir. ), qu é a dirção crítica: = d' A s = d,tot,. Ac. f 3, 6 = 15 A f g) Dtalamnto c d f cd 3330 = 0,14 3,0 15. 750 = 0,4 0,5 Ábaco A-5: ω = 0,38 cd Armadura mínima (Eq. 58): 3,0 0,38. 750 = 14, 04 cm 43,5

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 88 A s,mín Nd 109 0,15 0,004 Ac A s, mín 0,15 3, 77 0,004. 750 = 3,00 cm f 43,5 d A s = 14,04 cm > A s,mín = 3,77 cm 1 1,5 mm 15,00 cm A taa d armadura rsulta: As 15,00 100 100,0 % < má = 4 % ok! A 750 c O diâmtro ( t) spaçamnto máimo dos stribos (Eq. 66 Eq. 67) são: 5 mm t / 4 1,5/ 4 3,1 mm s má 0 cm b 15 cm 1 1.1,5 15 cm t = 5 mm s má = 15 cm A distância ntr os ios das barras adjacnts é: a 50,5 0,5 5 61,5 1,5 8,6 cm O canto do stribo protg contra a flambagm as barras (até 6) qu stivrm dntro da distância 0 t. Eistm quatro barras protgidas por cada canto, d modo qu as dmais, plo critério da NBR 6118, ncssitam grampos suplmntars (Figura 87). Uma altrnativa, qu rsulta na liminação dos grampos, é fazr dois stribos indpndnts. A solução mlor srá aqula mais simpls d cutar também mais conômica. = 50 1 1,5 = 15 0 t 0 t 10,0 8,6 10,0 Figura 87 Dtalamnto da armadura na sção transvrsal do pilar P5.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 89 1.3 Pilar d Etrmidad P6 Dados: N k = 300 kn = = 80 cm a) Esforços solicitants O pilar P6 stá na prifria da dificação tm largura d 19 cm. O coficint d majoração da carga ( n - Tabla 4) dv sr considrado apnas para larguras ntr 18 14 cm. A força normal d cálculo é: = f. N k =. 300 = 40 kn Pré-dimnsionamnto (Eq. 70): A c 1,5 1,5. 40 33 cm 0,5f 0,4 0,5 3,0 0,4 ck A ára mínima d um pilar dv sr d 360 cm, pod-s adotar um pilar quadrado: A c = 19 19 = 361 cm (Figura 88). = 19 b) Índic d sbltz = 19 Figura 88 Dimnsõs da sção transvrsal do pilar P6. 3,46 3,46 80 51,0 19 c) Ecntricidad d 1 a ordm d 1, com d = momnto fltor d ligação ntr a viga V o pilar P6, na dirção. Nd O momnto fltor solicitant na bas no topo do pilar srá avaliado plas Eq. 38 39, sndo: rpilar k,inf k,sup k,ng r r r p,sup viga p,inf Supondo qu a sção transvrsal do pilar não varia ao longo da sua altura, tm-s: 3 19 19 Ipilar r r r 1 pilar p,sup p,inf 77,6 cm 80 3 A rigidz da viga V, com sção transvrsal 14 60 cm vão ftivo d 493 cm, é: I viga 3 bw 14 60 5.000 cm 4 1 1 3

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 90 r viga Iviga 5000 511, cm 3 493 f Para o momnto d ngastamnto prfito da viga V no pilar P6 srá adotada a carga total d 3 kn/m, conform Figura 89. 3 kn/m P 5 493 cm P 6 Figura 89 Esquma stático carrgamnto no vão da viga adjacnt ao pilar P6. O momnto d ngastamnto prfito no pilar P6 é: ng q 1 3 4,93 1 64,81 kn.m = 6.481 kn.cm Os momntos fltors na bas no topo do lanc do pilar rsultam: k,inf 77,6 k, sup 6481 755 kn.cm 77,6 511, 77,6 Considrando a propagação dos momntos fltors no pilar, conform mostrado na Figura 90, os momntos fltors d cálculo totais, na bas no topo, são: 755 d,topo d, bas 755 1.586 kn.cm Os momntos fltors atuants na bas no topo do pilar stão indicados na Figura 90. A cntricidad d 1 a ordm na dirção é: 1586 1 3,78 cm 40 1/ k,sup sup = 80 3 kn/m P 5 V k,sup 755 k,inf 755 d,topo 1.586 + = 80 P 6 inf - f = 493 cm 1/ k,inf d,bas 1.586 19 19 Figura 90 omntos fltors d 1 a ordm (kn.cm) no topo na bas do pilar P6 na dirção.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 91 d) omnto fltor mínimo 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. O momnto fltor mínimo é: Dir. : 1d,mín, = 1d,mín, = 40 (1,5 + 0,03. 19) = 869,4 kn.cm ) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é 4,85 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm na dirção são 1d,A, = 1d,B, = 1.586 kn.cm, maiors qu o momnto fltor mínimo nsta dirção (869,4 kn.cm), o qu lva ao cálculo d b : B 1586 b 0,6 0,4 0,6 0,4 0, 0,4 b = 0,4 1586 A 3,78 5 1,5 19 1, 68,7 35 1, = 69 0,4 Dir. : Na dirção não ocorrm momntos fltors cntricidads d 1 a ordm, portanto, 1 = 0 b = 1,0. Assim: 0 5 1,5 19 1, 5 35 1, = 35 1,0 Dss modo: = 51,0 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 51,0 > 1, são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. f) omntos fltors totais O momnto fltor d a ordm na dirção srá avaliado plo método do pilar-padrão com curvatura aproimada. 1 1d,A d,tot b. 1d,A Nd, 1d,A 1d,mín 10 r 1d,mín Nd 40 Força normal adimnsional: 0, 54 A. f 3,0 c cd 361 Curvatura na dirção sujita a momntos fltors d a ordm: 1 0,005 0,005 4-1 0,005 4,5304.10 cm,63.10 cm ok! r 19 0,50 19 0,54 0,5 Fazndo 1d,A 1d,mín m cada dirção, tm-s o momnto total máimo: -1 Dir. : d,tot, = 1.586 kn.cm 1d,mín, = 869,4 kn.cm ok!

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 9 Dir. : 80 4 d,tot, = 1,0. 869,4 + 40,5304.10 1.70,6 1d,mín, = 869,4 kn.cm ok! 10 d,tot, = 1.70,6 kn.cm Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 91. Dir. Dir. 1d,mín, 1d,A, 1d,mín, OU + d,má, 833, = 1,98,má 869,4 1,mín =,07 1.586 = 3,78 1A, 869,4 =,07 Figura 91 omntos fltors atuants no pilar, nas dirçõs. Com = 0,54 utilizando-s os ábacos d VENTURINI (1987) para Flão Rta: Dir. : d,tot, =. Ac. f d' 4, 6 = 19 Dir. : d,tot, =. Ac. f d' A s = 4, 6 = 19 A f c d f cd 1586 = 0, 11 3,0 19. 361 1,mín = 0,4 0,5 Ábaco A-9: ω = 0,09 cd 170,6 = 0,1 3,0 19. 361 g) Dtalamnto Armadura mínima (Eq. 58): = 0,4 0,5 Ábaco A-5: ω = 0,13 16 cd 3,0 0,13. 361 =, 31 cm 43,5 16 O dtalamnto da armadura do ábaco A-9 não s compara atamnt ao dtalamnto do ábaco A-5, mas nst caso á dificuldad porqu faltam ábacos com d / = 0,5 na publicação d Vnturini. Por outro lado, as difrnças nos dtalamntos não são significativas, o mais important é qu os posiocionamntos das armaduras no pilar foram mantidos para ambos os ábacos. Outra qustão é qu o ábaco A-9 tm d / = 0,0, um valor muito próimo d 0,4, mas plo valor mnor rsulta m uma armadura um pouco infrior. Como a armadura do pilar rsulta a mínima, ssa anális tm importância rduzida.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 93 A s,mín Nd 40 0,15 0,004 Ac A s, mín 0,15 1, 45 0,004. 361 = 4 cm f 43,5 d A s =,31 cm > A s,mín = 5 cm 4 10 mm = 3,0 cm (vr Figura 9) O diâmtro mínimo da barra longitudinal dos pilars dv sr d 10 mm (Eq. 61). A taa d armadura rsulta: As 3,0 100 100 0,89 % < má = 4 % A 361 c O diâmtro ( t) spaçamnto máimo dos stribos (Eq. 66 Eq. 67) são: 5 mm t / 4 10 / 4,5 mm s má 0 cm b 19 cm 1 1.1,0 1 cm t = 5 mm s má = 1 cm 4 10 = 19 1.4 Pilar d Canto P1 = 19 Figura 9 Dtalamnto da armadura na sção transvrsal do pilar P6. Dados: N k = 130 kn = = 80 cm a) Esforços solicitants O pilar P1 stá na prifria da dificação tm largura d 19 cm. O coficint d majoração da carga ( n - Tabla 4) dv sr considrado apnas para larguras ntr 18 14 cm. A força normal d cálculo é: = f. N k =. 130 = 18 kn Pré-dimnsionamnto (Eq. 70): A c 1,5 1,5.18 144 cm 0,5f 0,4 0,5 3,0 0,4 ck A ára mínima d um pilar dv sr d 360 cm, nst caso pod-s adotar um pilar quadrado 19 19 (361 cm ). No ntanto, para mlor mplicar os cálculos ncssários a um pilar d canto, a sção srá adotada com comprimntos difrnts para os lados, rtangular 19 5 (475 cm ), Figura 93.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 94 = 19 b) Índic d sbltz = 5 Figura 93 Dimnsõs da sção transvrsal do pilar P1. 3,46 3,46 3,46 80 38,9 5 3,46 80 51,0 19 c) Ecntricidads d 1 a ordm Dirção : d 1, com d = momnto fltor d ligação ntr a viga V1 o pilar P1, na dirção. Nd O momnto fltor solicitant na bas no topo do pilar srá avaliado com a Eq. 43 Eq. 44, sndo: rpilar k,inf k,sup k,ng r r r p,sup viga p,inf Supondo qu a sção transvrsal do pilar não varia ao longo da sua altura, tm-s: r pilar r p,sup r p,inf I pilar 19 5 1 80 3 176,7 cm 3 Rigidz da viga V1, com sção transvrsal 19 50 cm vão ftivo d 497 cm: I r viga viga 3 bw 19 50 197.917 cm 4 1 1 Iviga 197917 398, cm 3 497 f 3 Para o momnto d ngastamnto prfito da viga V1 no pilar P1 srá adotada a carga total d 5 kn/m, conform Figura 94.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 95 5 kn/m P 1 P 497 cm Figura 94 Esquma stático carrgamnto no vão da viga adjacnt ao pilar P1. O momnto d ngastamnto prfito no pilar P1 é: ng q 1 5 4,97 1 56 kn.m = 5.146 kn.cm Os momntos fltors na bas no topo do lanc do pilar rsultam: k,inf 176,7 k, sup 5146 1.10 kn.cm 176,7 398, 176,7 Considrando a propagação dos momntos fltors no pilar, os momntos fltors d cálculo totais, na bas no topo, são: d,topo 541 18 1 Dirção : 110 d, bas 110.541 kn.cm 13,96 cm d 1 com d = momnto fltor d ligação ntr a viga V5 o pilar P1, na dirção. Nd Supondo qu a sção transvrsal do pilar não varia ao longo da sua altura, tm-s: r pilar r p,sup r p,inf I pilar 5 19 1 80 3 10,1 cm 3 Rigidz da viga V5, com sção transvrsal 19 50 cm vão ftivo d 480 cm: I r viga viga 3 bw 19 50 197.917 cm 4 1 1 Iviga 197917 41,3 cm 3 480 f 3 Para o momnto d ngastamnto prfito da viga V5 no pilar P1 srá adotada a carga total d 18 kn/m, conform Figura 95.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 96 18 kn/m P 4 480 cm P 1 Figura 95 Esquma stático carrgamnto no vão da viga adjacnt ao pilar P1. ng q 1 18 4,8 1 34,56 kn.m = 3.456 kn.cm k,inf 10,1 k, sup 3456 57,4 kn.cm 10,1 41,3 10,1 Considrando a propagação dos momntos fltors no pilar, os momntos fltors d cálculo totais, na bas no topo, são: d,topo 57,4 d, bas 57,4 1.0 kn.cm i 10 18 6,60 cm Os momntos fltors d 1 a ordm, nas dirçõs, stão mostrados na Figura 96. d) omnto fltor mínimo 1d,mín = (1,5 + 0,03 ), com m cm. O momnto fltor mínimo, m cada dirção é: Dir. : Dir. : 1d,mín, = 18 (1,5 + 0,03. 5) = 409,5 kn.cm 1d,mín, = 18 (1,5 + 0,03. 19) = 376,7 kn.cm topo 1d,A, 1.0 1d,A,.541 bas Figura 96 omntos fltors d 1 a ordm (kn.cm) atuants no pilar P1.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 97 ) Esbltz limit 1 5 1,5 1, com 35 λ 1 90 b Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é 13,96 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm nsta dirção são 1d,A, = 1d,B, =.541 kn.cm, maiors qu o momnto fltor mínimo ( 1d,mín, = 409,5 kn.cm), o qu lva ao cálculo d b. Assim: B 541 b 0,6 0,4 0,6 0,4 0, 0,4 b = 0,4 541 A 13,96 5 1,5 5 1, 80,0 35 1, = 80,0 0,4 Dir. : A cntricidad d 1 a ordm 1 na dirção é 6,60 cm. Os momntos fltors d 1 a ordm nsta dirção são 1d,A, = 1d,B, = 1.0 kn.cm, maiors qu o momnto fltor mínimo ( 1d,mín, = 376,7 kn.cm), o qu lva ao cálculo d b. Assim: B 10 b 0,6 0,4 0,6 0,4 0, 0,4 b = 0,4 10 A 6,60 5 1,5 19 1, 73,4 35 1, = 73,4 0,4 Dss modo: = 38,9 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção ; = 51,0 < 1, não são considrados os fitos locais d ª ordm na dirção. f) omnto fltor total solicitant cálculo da armadura Como não istm cntricidads d a ordm o momnto fltor total é igual ao máimo momnto d 1 a ordm, ou sja: Dir. : d,tot, = 1d,A, =.541 kn.cm 1d,mín, = 409,5 kn.cm ok! Dir. : d,tot, = 1d,A, = 1.0 kn.cm 1d,mín, = 376,7 kn.cm ok! Os momntos fltors atuants no pilar stão indicados na Figura 97. A força normal adimnsional é (Eq. 0): Nd A. f c cd 18 3,0 475 0,18

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 98 Dir. Dir. 1d,mín, 1d,A, 1d,mín, 1d,A, OU OU 409,5.541 376,7 1,mín =,5 1A, = 13,96 1,mín =,07 1.0 = 6,60 1A, Figura 97 omntos fltors atuants no pilar P1, nas dirçõs. Coficints adimnsionais d flão considrando a Flão Composta Oblíqua (Eq. 51 5): = d,tot,. Ac. f cd 541 = 0, 10 3,0 5. 475 = d' 4, 6 = 5 d,tot,. Ac. f cd 10 = 0,06 3,0 19. 475 = 0,18 0,0 d' 4, 6 = 19 = 0,4 0,5 Obsrva-s qu na publicação d PINHEIRO (1994) para Flão Composta Oblíqua não ist um ábaco qu atnda as rlaçõs calculadas para d /, d 0,0 0,5. No ntanto, considrando o valor 0,18 como aproimadamnt 0,15, pod-s scolr o ábaco A-67. 17 Com = 0,18 intrpolando ntr = 0,0 = 0,, a taa d armadura rsulta: - para = 0,0 = 0,30 - para = 0, = 0,18 - para = 0,18 = 0,19 A armadura rsulta: 3,0 0,19. 475 Ac fcd A s = = 4, 45 cm f 43,5 g) Dtalamnto d Armadura mínima (Eq. 58): A s,mín Nd 18 0,15 0,004 Ac A s, mín 0,15 0, 63 cm 0,004. 475 = 1,90 cm f 43,5 d 17 Utilizar um ábaco com rlação d / mnor implica calcular uma armadura um pouco mnor qu a ncssária.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 99 A s = 4,45 cm > A s,mín = 1,90 cm 4 15 mm (5,00 cm ), vr Figura 98. A taa d armadura rsulta: As 5,00 100 100 1,05 % < má = 4 % ok! A 475 c O diâmtro ( t) spaçamnto máimo dos stribos (Eq. 66 Eq. 67) são: 5 mm t / 4 1,5/ 4 3,1 mm s má 0 cm b 19 cm 1 1.1,5 15 cm t = 5 mm s má = 15 cm 4 1,5 = 19 = 5 Figura 98 Dtalamnto da armadura na sção transvrsal do pilar P1. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building cod rquirmnts for structural concrt, ACI 318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORAS TÉCNICAS. Projto d struturas d concrto Procdimnto, NBR 6118. Rio d Janiro, ABNT, 014, 38p. BASTOS, P.S.S. Dimnsionamnto d vigas d concrto armado à força cortant. Disciplina 13 Estruturas d Concrto II. Bauru/SP, Dpartamnto Engnaria Civil, Faculdad d Engnaria - Univrsidad Estadual Paulista (UNESP), abr/015, 74p. Disponívl m (30/07/015): ttp://wwwp.fb.unsp.br/pbastos/pag_concrto.tm BASTOS, P.S.S. Ancoragm mnda d armaduras. Disciplina 13 Estruturas d Concrto II. Bauru/SP, Dpartamnto Engnaria Civil, Faculdad d Engnaria - Univrsidad Estadual Paulista (UNESP), maio/015, 40p. Disponívl m (30/07/015): ttp://wwwp.fb.unsp.br/pbastos/pag_concrto.tm COITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP odl Cod 1990: final draft. Bulltim D Information, n.03, 04 05, jul., 1991. FUSCO, P.B. Estruturas d concrto - Solicitaçõs normais. Rio d Janiro, Ed. Guanabara Dois, 1981, 464p. PINHEIRO, L.. ; BARALDI, L.T. ; PORE,.E. Concrto Armado: Ábacos para flão oblíqua. São Carlos, Dpartamnto d Engnaria d Estruturas, Escola d Engnaria d São Carlos USP, 1994.

UNESP, Bauru/SP Pilars d Concrto Armado 100 PINHEIRO, L.. Instabilidad. Notas d Aula. São Carlos, Dpartamnto d Engnaria d Estruturas, Escola d Engnaria d São Carlos USP, 1994. SÜSSEKIND, J.C. Curso d concrto, v., 4 a d., Porto Algr, Ed. Globo, 1984, 80p. VENTURINI, W.S. Dimnsionamnto d pças rtangulars d concrto armado solicitadas à flão rta. São Carlos, Dpartamnto d Engnaria d Estruturas, Escola d Engnaria d São Carlos USP, 1987. BIBLIOGRAFIA COPLEENTAR AERICAN CONCRETE INSTITUTE. ACI 318-14: Building Cod Rquirmnts for Structural Concrt and Commntar, ACI committ 318, 014, 50p. 6. CARVALHO, R.C. ; PINHEIRO, L.. Cálculo dtalamnto d struturas usuais d concrto armado, v.. São Paulo, Ed. Pini, 009, 589p. EUROPEAN COITTEE STANDARDIZATION. Eurocod Dsign of concrt structurs, Part 1-1, Part 1-. 005. FUSCO, P.B. Técnica d armar as struturas d concrto. São Paulo, Ed. Pini, 000, 38p.