O cálculo do determinante de uma matriz quadrada ou triangular é importante para ajudar a solucionar uma série problemas de álgebra, tais como: Determinar se uma matriz possui inversa (se ela é inversível) Em regras de geometria analítica (a ser estudado em breve) Nas engenharias, em disciplinas que envolvem o controle preciso na velocidade de máquinas, por exemplo Regra para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem x: Basta multiplicarmos a diagonal principal e subtrairmos da multiplicação da diagonal secundária. Ex: Seja a matriz A: Encontrar o seu determinante. Solução: ( x9) ( *( )) => 7 6 =>
Regra para encontrar o determinante de matrizes triangulares de ordem x: Vamos utilizar a regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas da matriz para, depois, somarmos as multiplicações das diagonais principais da matriz aumentada e subtrairmos da soma das multiplicações das diagonais secundárias. Ex: Seja a matriz A: Encontrar o seu determinante. 5 A = 0 0 Solução: º passo: repetimos as duas primeiras colunas da matriz A, gerando a matriz A aumentada ou expandida (A e ): A e 5 = 0 0 0 0
Regra para encontrar o determinante de matrizes triangulares de ordem x: Solução (cont): º passo: somamos as multiplicações das diagonais principais e subtrairmos da soma das multiplicações das diagonais secundárias da matriz aumentada (A e ): => (x x( ) + (xx( 6)) + (5x0x0) (( xx5) + (0xx) + ( x0x)) = = + ( 6) + 0) ( 5 + 0 + 0) = = 8 + 5 = Então, o determinante de A (det(a)) = -. OBS: Para o determinantes de matrizes de ordem superior a x, o cálculo deverá ser feito pelo SciLab, visto que o esforço algébrico é mais complexo de ser feito manualmente. Para encontrar, no SciLab, o determinante de qualquer matriz quadrada, basta utilizar a função det(matriz).
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada ou triangular é importante para ajudar a solucionar uma série problemas de álgebra, tais como: Determinar se uma matriz possui inversa (a ser estudado na sequência) Em regras de geometria analítica (a ser estudado em breve) Algumas propriedades:. Só é possível encontrar o determinante de uma matriz quadrada.. Uma matriz A possui iinversa se o determinante t da matriz ti A for não-nulo (det(a) 0). O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da sua transposta: det(a) = det(a T );. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero (det(a)=0) ; 5. Se A tem duas ou mais linhas (ou colunas) iguais e/ou múltiplas, então det(a) =0. Aplicando alguma das propriedades nos exemplos eresolvidosanteriormente anteriormente, poderemos concluir que:. As matrizes dos exemplos e possuem inversa, pois seus determinantes são não-nulos nulos (regra );. O determinante da matriz A do exemplo é igual a sua transposta, idem ao exemplo (regra ).
Ex: Encontrar, se possível, o determinante das seguintes matrizes: a) b) B = 0 c) 0,5, D = 0, 8 9 5 0 6 0 5,5 5 = 6 8 6 E 9 5 9 6 8 6 d) e) f) 5 6 7 8 9 0 C = 5 6 7 8 9 0 6 8 0 5 F = 0 Solução: Vamos aplicar as propriedades do determinante no intuito de sempre facilitar a nossa resposta: a) A matriz A é quadrada (x), atendendo, portanto a propriedade e. Notamos, porém, que a linha é toda nula (propriedade ). Neste caso, o det(a)=0 0. Portanto, essa matriz não possui inversa (não atende a propriedade ). b) Idem item a). c) As propriedades e são atendidas. As linhas e 5 são múltiplas entre si (propriedade 5). Neste caso, o det(c)=0 0. Portanto, essa matriz não possui inversa (não atende a propriedade ). d) A matriz D é não-quadrada (x), não atendendo a propriedade e, consequentemente, nenhuma outra propriedade do determinante. Desta forma, não é possível encontrar o determinante de D. e) As propriedades e são atendidas. As colunas e são iguais (propriedade 5). Neste caso, o det(e)=0. Portanto, essa matriz não possui inversa (não atende a propriedade ). f) As propriedades e são atendidas. Como a matriz é muito grande (ordem 5x5), o determinante de F, pelo SciLab é: det(f)=. Essa matriz, portanto, possui inversa (propriedade ). 9 0 5 7
FIM DA PARTE FAZER LISTA DE EXERCÍCIOS (PRÓXIMO SLIDE) Utilizar o SciLab para conferir as respostas
Se possível, encontre o determinante das seguintes matrizes abaixo, verificando se as mesmas possuem inversa (g) (h) 0 5 0 6 6 6
Se possível, encontre o determinante das seguintes matrizes abaixo, verificando se as mesmas possuem inversa: - Se possível, encontre o determinante das seguintes matrizes abaixo, verificando se p, g, as mesmas possuem inversa: