Matrizes e Determinantes

Matrizes e Determinantes Elaine Gouvêa Pimentel DMAT/UFMG elaine@@mat.ufmg.br Maio de 2005

1 Matrizes 1.1 Introdução Suponhamos que o responsável pelo almoxarifado de uma empresa de produtos químicos resolva organizar o seu estoque de reagentes. Para cada reagente contido no almoxarifado e para cada mês do ano, ele deve destacar a quantidade do produto em estoque. Exercício 1 Proponha uma maneira eficiente de organizar os seguintes produtos, onde os números entre parênteses indicam a quantidade do reagente em estoque nos meses de janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente: ácido clorídrico (23, 10, 17, 32); hidróxido de amônia (42, 13, 44, 27); sulfato de alumínio (12, 15, 7, 16); A solução mais utilizada para este tipo de problema é a construção de uma tabela, onde as linhas podem representar os reagentes e as colunas, os meses. É possível simplificar a forma de representar o movimento do estoque na empresa colocando apenas os respectivos resultados de cada mês, ocultando os nomes de reagentes e meses: 23 10 17 32 42 13 44 27 12 15 7 16 Desta forma, se quisermos saber a quantidade em estoque do produto hidróxido de amônia no mês de março, basta procurar o número que está na segunda linha e terceira coluna: 44. Esse tipo de organização recebe o nome de matriz. 1 Formalmente, uma matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas. No exemplo acima, a matriz possui três linhas e quatro colunas. Dizemos que esta é uma matriz de ordem (ou tipo) 3x4 (lê-se três por quatro). Em geral, uma matriz de ordem mxn possui m linhas e n colunas. Exercício 2 Uma indústria possui 3 fábricas: I, II e III, que produzem por mês 30, 40 e 60 unidades, respectivamente, do produto A, e 15, 20 e 10 unidades do produto B. a) Formar a matriz fábricas x produtos. b) Escrever o tipo da matriz anterior. Exercício 3 Uma matriz possui 6 elementos. Quais são as suas possíveis ordens? 1 Podemos utilizar também parênteses, ao invés de colchetes, na representação de matrizes. 1

1.2 Representação Algébrica Começaremos com a notação: utilizaremos sempre letras maiúsculas para indicar matrizes e letras minúsculas com índices para designar seus elementos. Exercício 4 Dada a matriz determinar: 1 2 3 12 2 12 1 4 5 7 2 1 7 116 a) O elemento da segunda linha e primeira coluna; b) O elemento da terceira linha e quarta coluna; A matriz do exercício anterior pode ser escrita como: a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 onde o elemento a 21 = 12 e o elemento a 34 = 116. Genericamente, uma matriz A, de ordem mxn, pode ser representada por: a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =.... a m1 a m2... a mn Podemos também escrever: Definição 1 (Matriz) Uma matriz A é dada por A = (a ij ) mxn com 1 i m e 1 j n onde o elemento a ij é o elemento da linha i e da coluna j. Exercício 5 Considere a matriz A: 1 5 12 1 2 A = 5 49 34 3 7 67 65 22 Responda: 22 32 a) Qual é a ordem de A? b) Qual é o elemento a 34? c) Quais são os elementos da segunda linha? 2

Exercício 6 a) Escreva a matriz B = (b ij ) 2x4 tal que b ij = i + j. b) Escreva a matriz C = (c ij ) 4x4 tal que { 1 se i = j c ij = 0 se i j 1.3 Matrizes Quadradas Se o número de linhas de uma matriz é igual ao seu número de colunas, trata-se de uma matriz quadrada e podemos dizer que a sua ordem é n, ao invés de nxn. Exercício 7 Dê um exemplo de uma matriz quadrada de ordem 3. Os elementos de uma matriz quadrada de ordem n tais que i = j formam uma diagonal denominada diagonal principal. Ou seja, se A = (a ij ) nxn, então a diagonal principal é constituída pelos elementos a ii, 1 i n. Exercício 8 Escreva os elementos da diagonal principal da matriz do exercício 7 A outra diagonal, qual seja, dos elementos a ij chamada diagonal secundária. tais que i + j = n + 1, é Figura 1: Diagonais de uma matriz quadrada 1.3.1 Matriz Diagonal Observe a matriz A: A = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 6 23 0 0 0 0 1 3

Todos os elementos fora da diagonal principal são nulos. Este tipo de matriz é chamado matriz diagonal. Formalmente, uma matriz diagonal é uma matriz quadrada A = (a ij ) nxn, tal que a ij R se i = j e a ij = 0, se i j. Exercício 9 Dizer se as matrizes abaixo são diagonais: a) b) A = B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 As matrizes do exercício anterior são especiais: a primeira é chamada matriz nula, que representaremos por 0, e a segunda matriz identidade, representada por I n, onde n é a ordem da matriz. A matriz nula pode ter qualquer ordem, não sendo necessariamente uma matriz quadrada. Já a matriz identidade I n é uma matriz diagonal (e portanto quadrada), tal que todos os elementos de sua diagonal principal possuem valor 1. Voltaremos a falar sobre essas matrizes mais tarde. Exercício 10 Dada a matriz 3 + x x + y A = 2x + 6 y a) Calcular x e y para que A seja diagonal. b) Determinar os elementos de A. R. x = 3 e y = 3. Exercício 11 Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz B = (b ij ) de ordem 4, em que b ij = i j. R. Zero. 1.4 Matriz Transposta Se A é uma matriz de ordem mxn, denominamos a transposta de A à matriz de ordem nxm, obtida a partir de A trocando-se as linhas pelas colunas. Indica-se a transposta de A por A t. 4

Por exemplo, a matriz transposta de A = 1 0 2 5 3 1 9 0 é A t = 1 3 0 1 2 9 5 0 Exercício 12 Determine A t onde 4 2 7 A = 21 5 89 Exercício 13 Escrever a matriz transposta de A = (a ij ) 4x3 tal que a ij = i j. Exercício 14 Qual é a transposta de uma matriz diagonal? Justifique a sua resposta. Exercício 15 Dada uma matriz A = (a ij ) mxn, determine (A t ) t. 1.5 Igualdade de Matrizes Dadas as matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) pxq, podemos afirmar que A e B são iguais se e somente se: 1. m = p e n = q (ou seja, se elas têm a mesma ordem); 2. a ij = b ij para todo 1 i m e 1 j n. Exercício 16 Determinar se as seguintes matrizes são iguais: 3 8 4 1 5 + 3 0 5 e 2 1 5x1 1 2 1 2 4 : 2 4x + y Exercício 17 Sendo A = (a ij ) 3x2 com a ij = i 2 j 2 e B = determine x, y, z e w para que A = B. R. x = 3 5, y = 12 5, z = 3 4, w = 9 4. x y z w 0 8 3z + w 5

1.6 Operações com Matrizes: Adição Voltemos ao exemplo do exercício 1. Suponhamos que a empresa em questão possua, na verdade, dois almoxarifados, um em cada filial. A quantidade de cada produto em estoque, em cada almoxarifado, e em cada um dos meses janeiro, fevereiro, março e abril respectivamente é dada por: ALMOXARIFADO I: ácido clorídrico (23, 10, 17, 32); hidróxido de amônia (42, 13, 44, 27); sulfato de alumínio (12, 15, 7, 16); ALMOXARIFADO II: ácido clorídrico (12, 45, 3, 2); hidróxido de amônia (2, 3, 4, 7); sulfato de alumínio (15, 10, 17, 25); Exercício 18 Calcule a quantidade total de cada reagente em cada mês. Disponha seus dados em uma matriz. Justifique os seus cálculos. Certamente, para resolver o exercício anterior, você somou os elementos correspondentes de cada matriz. Na verdade, temos: Definição 2 (Adição) A adição de duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn é a matriz C = (c ij ) mxn dada por c ij = a ij + b ij, (1 i m e 1 j n). Observe que podemos somar apenas matrizes que possuem a mesma ordem (por que?). Exercício 19 Defina subtração de matrizes. 4 3 Exercício 20 Dada a matriz A =, determine a matriz B tal que 1 6 A + B = A. Exercício 21 Dadas as matrizes A, B e C, calcule a matriz X tal que X +A = B + C 1 2 3 1 0 1 1 0 3 A = B = C = 4 1 0 3 1 2 2 0 1 6

1.6.1 Matriz Oposta Denomina-se matriz oposta de uma matriz A = (a ij ) mxn a matriz ( A) = (a ij ) mxn cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A, ou seja, a ij = a ij. Desta forma, a subtração A B pode ser escrita como A + ( B). Exercício 22 Se A é uma matriz de ordem mxn, qual é o resultado da soma A + ( A)? Exercício 23 Invente duas matrizes, A e B, de ordem 4x3, e verifique se A + B = B + A. Você acha que o resultado que você encontrou vale para qualquer soma de matrizes? Exercício 24 Invente três matrizes, A, B e C, de ordem 3x4, e verifique se (A + B) + C = A + (B + C). Você acha que o resultado que você encontrou vale para qualquer soma de matrizes? 1.6.2 Propriedades da Adição de Matrizes Para cada m e cada n, acabamos de definir uma operação binária (ou seja, que possui dois operandos) sobre o conjunto das matrizes de ordem mxn: a adição. Chamaremos de M mxn o conjunto das matrizes de ordem mxn. A operação de adição possui as seguintes propriedades: 1. (comutativa) Para quaisquer A, B M mxn, tem-se A + B = B + A; 2. (associativa) Para quaisquer A, B, C M mxn, tem-se (A + B) + C = A + (B + C); 3. (elemento neutro) Existe um elemento 0 M mxn tal que, para todo A M mxn, tem-se A + 0 = A; 4. (elemento oposto) Para todo elemento A M mxn, existe um elemento ( A) M mxn tal que A + ( A) = 0. Exercício 25 Você conhece outros conjuntos munidos de uma operação binária que possua estas propriedades? Quais são eles? Existem, para estes conjuntos e operadores que você citou, outras propriedades que não foram listadas acima? 1.7 Operações com Matrizes: Multiplicação de número real por matriz Considere a matriz A: A = Para se obter A + A + A, escrevemos: 4 2 4 2 + + 0 1 0 1 4 2 0 1 4 2 0 1 = 12 6 0 3 7

ou seja, 3.A = 3.4 3.2 3.0 3.1 = 12 6 0 3 Generalizando: Definição 3 (Produto por escalar) O produto k.a, de um número k por uma matriz A = (a ij ) mxn, é a matriz B = (b ij ) mxn, na qual b ij = k.a ij para quaisquer 1 i m e 1 j n. Exercício 26 Dadas as matrizes A e B, resolva a equação 2X (A + B) = 3B + A 3 5 0 4 A = B = 2 6 1 5 3 13 R. X = 0 16 Exercício 27 Sabendo-se que A =, obter as matrizes M e N tais que: R. M = 0 2 5 0 3 5 e N = 4 2 0 1 e B = { 2M + N = A B M + 3N = 2A + B 3 6 5 0 6 5 1 0 0 1 Exercício 28 Pesquise em um supermercado, em um sacolão e em uma mercearia os preços dos seguintes produtos: uma dúzia de ovos, um quilo de laranjas e um quilo de batatas. Supondo que você queira formar duas cestas básicas, a primeira contendo 2 dz. de ovos, 5kg de laranjas e 3 kg de batatas, e a segunda contendo 6 dz. de ovos, 2 kg de laranjas e 4kg de batatas, estime quanto você vai gastar, em cada estabelecimento, para fazer cada uma das cestas básicas. Traduza os seus cálculos para a forma de matrizes. 1.8 Operações com matrizes: Multiplicação Vamos supor que, no exercício anterior, você tenha encontrado os seguintes valores: ovos laranja batata supermercado 1,50 0,50 0,80 sacolão 1,00 0,70 0,80 mercearia 2,00 1,00 1,50 TABELA I: Estabelecimentos por produtos A composição de cada uma das cestas básicas é dada pela seguinte tabela: 8

A B ovos 2 6 laranja 5 2 batata 3 4 TABELA II: Produtos por cestas Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento, devemos construir uma outra tabela, a saber, de estabelecimentos por cestas (esta tabela conterá 6 elementos). Para calcular o custo da cesta A no supermercado, basta multiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (preços dos produtos no supermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da Tabela II (quantidade necessária de cada produto), e então somar os 3 números encontrados: 1, 50.2 + 0, 50.5 + 0, 80.3 = 7, 90 Da mesma forma, para calcularmos o custo da cesta B na mercearia, devemos somar os três números obtidos pela multiplicação dos elementos da terceira linha da Tabela I com os elementos correspondentes da segunda coluna da Tabela II: 2, 00.6 + 1, 00.2 + 1, 50.4 = 20, 00 Seguindo esse raciocínio, obtemos a Tabela III contendo o custo de cada cesta em cada estabelecimento: I): A B supermercado 7,90 1, 50.6 + 0, 50.2 + 0, 80.4 = 10, 20 sacolão 1, 00.2 + 0, 70.5 + 0, 80.3 = 7, 90 1, 00.6 + 0, 70.2 + 0, 80.4 = 10, 60 mercearia 2, 00.2 + 1, 00.5 + 1, 50.3 = 13, 50 20,00 TABELA III: Estabelecimentos por cestas Traduzindo para o vocabulário de matrizes, se P é a matriz de preços (Tabela P = 1, 50 0, 50 0, 80 1, 00 0, 70 0, 80 2, 00 1, 00 1, 50 e C é a matriz de cestas básicas (Tabela II): 2 6 C = 5 2 3 4 então a matriz P C, que representa a matriz de custos (Tabela III), é dada por: 7, 90 10, 20 1, 50 0, 50 0, 80 2 6 P C = 7, 90 10, 60 = 1, 00 0, 70 0, 80. 5 2 13, 50 20, 00 2, 00 1, 00 1, 50 3 4 9

ou seja, a matriz P C é o produto da matriz P pela matriz C. Observe que, para calcularmos o elemento pc 11, multiplicamos a primeira linha de P pela primeira columa de C. Da mesma forma, para calcular o elemento pc 32, multiplica-se a terceira linha de P pela segunda coluna de C. Exercício 29 Dadas as matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) nxp, escreva uma regra para determinar o elemento c kl da matriz C = (c ij ) mxp, tal que C = A.B. Exercício 30 Dadas as matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) qxp, qual a relação que deve existir entre n e q de tal forma que o produto A.B esteja definido? Justifique a sua resposta. Exercício 31 Dadas as matrizes A = matriz C = A.B. 2 1 4 10 e B = 0 1, calcule a Genericamente, podemos definir multiplicação de marizes da seguinte forma: Definição 4 (Produto) Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) nxp, chama-se produto das matrizes A e B a matriz C = (c ij ) mxp, na qual c ij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B, adicionando-se, em seguida, os produtos obtidos. Formalmente, escrevemos C = A.B = (c ij ) mxp onde c ij = n k=1 a ik.b kj. A notação de somatório será vista posteriormente no curso. Exercício 32 Efetue as seguintes multiplicações: 1 2 1 1 0 a) 4 5 2. 2 1 7 8 1 4 1 b) 9 7 0 8 1 2 3. 4 5 6 Exercício 33 Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) qxp, quais são as relações que devem existir entre m, n, p, q de modo que estejam definidos os produtos A.B e B.A? Você acha então que sempre é verdade que A.B = B.A? 2 3 Exercício 34 Sejam A = e B = 2 1 Que conclusão você pode tirar? 1 0 2 1. Calcule A.B e B.A. Como você deve ter observado, mesmo quando os produtos A.B e B.A de duas matrizes A e B estão definidos, pode ocorrer que A.B B.A. Ou seja, o produto de matrizes não possui a propriedade comutativa. Se A e B são tais que A.B = B.A, então dizemos que as matrizes comutam. 10

comu- 1 2 Exercício 35 Verificar se as matrizes A = 3 0 tam. e B = 6 2 3 5 Ao contrário do produto de matrizes, a multiplicação de números reais possui a propriedade comutativa. Existem outras propriedades que a multiplicação de números reais possui que não valem para matrizes. Por exemplo, se a e b pertencem ao conjunto dos números reais, então a.b = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0. Isto não ocorre com matrizes, como ilustrado no exercício a seguir: 2 0 0 0 Exercício 36 Dadas as matrizes A = e B =, calcule A.B. 1 0 3 0 Desta forma, o produto de duas matrizes pode ser nula mesmo que nenhuma delas o seja. Outra propriedade da multiplicação de números reais não satisfeita pelo produto de matrizes é a de cancelamento: se a, b, c R, a 0, então a.b = a.c b = c. Contudo, podemos ter A.B = A.C para matrizes A, B, C, com A não nula, tais que B C. Exercício 37 Sejam A =. Calcule A.B e A.C. 1 2 2 4 1 1, B = 3 3 e C = 5 3 0 2 Uma propriedade exclusiva de produto de matrizes é a seguinte: para todos A M mxn e B M nxp, tem-se: (A.B) t = B t.a t Exercício 38 Verifique que, se A.B está definido, então B t.a t também está. Exercício 39 Prove que A t.(b.c) t = (C.A) t.b t Exercício 40 Resolva a equação: X. 1 2 3 = 2 4 6 1 2 3 Exercício 41 Determine o valor de x, para que o produto das matrizes A e B seja a matriz identidade: 2 0 7 x 14x 7x A = 0 1 0 B = 0 1 0 1 2 1 x 4x 2x Exercício 42 Calcule o produto A.I 3, onde A = a Exercício 43 Calcule o produto A.I 2, onde A = c e 2 0 7 0 1 0 1 2 1 b d f. 11

Como você deve ter percebido, o produto de qualquer matriz A, de ordem mxn, pela matriz identidade I n é a própria matriz A. Esta é uma propriedade da multiplicação, chamada existência do elemento neutro com relação à multiplicação. Você saberia citar outros conjuntos, onde uma operação de multiplicação também está definida, que possuem esta propriedade? Exercício 44 Prove que, se A e B são matrizes comutáveis, então (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 Esta relação é verdadeira se A e B não são comutáveis? Justifique a sua resposta. 1.8.1 Inversão de matrizes Outra propriedade da multiplicação de números reais é que, dado a R, a 0, existe um único número b, também diferente de zero, tal que: a.b = b.a = 1 Neste caso, temos a notação b = 1 a = a 1. Como vimos na seção anterior, a matriz identidade I parece ter um papel semelhante ao número 1 nos números reais. Seria de se esperar, portanto, que dada uma matriz A, exista uma matriz B tal que A.B = B.A = I, onde I é a matriz identidade. Entretanto, no caso de matrizes, esta propriedade não é sempre válida. Em primeiro lugar, note que para existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I, a matriz A deve ser quadrada. (por que?). Em segundo lugar, existem matrizes quadradas que não possuem inversa. 1 2 Como exemplo, vamos tentar determinar a inversa da matriz A =. 0 0 Devemos encontrar uma matriz B, de ordem 2, tal que A.B = I 2, onde I 2 é a a b matriz identidade de ordem 2. Escrevendo B =, devemos ter c d 1 2 0 0. a b c d = 1 0 0 1 a + 2c b + 2d 0 0 = 1 0 0 1 Esta equação não pode ser resolvida, pois implicaria 0 = 1 (pela igualdade dos elementos da segunda linha e segunda coluna das matrizes envolvidas na igualdade). Logo, a matriz A não possui inversa. Temos então a seguinte definição: Definição 5 Se existe uma matriz B tal que A.B = B.A = I n, onde n é a ordem da matriz A, dizemos que A é inversível e que B é a inversa de A. Indicamos B = A 1. Se a matriz não é inversível, ela é dita singular. Exercício 45 Determine (caso seja possível) a inversa das matrizes: 12

a) 3 4 1 0 b) 1 0 3 0 1 0 0 c) 1 3 1 1 2 0 3 0 2 1 Exercício 46 Dadas A =, P = e B = 0 2 3 5 13 determine os valores de a e b, tais que B = P.A.P 1. a 10 75 b, 1.8.2 Anéis Como vimos, o conjunto das matrizes M mxn possui duas operações associadas a ele, a adição (+) e a multiplicação (.), que possuem as seguintes propriedades: A1 (a adição é comutativa) Para quaisquer A, B M mxn, tem-se A + B = B + A. A2 (a adição é associativa) Para quaisquer A, B, C M mxn, tem-se (A + B) + C = A + (B + C). A3 (existe um elemento neutro para a adição) Existe um elemento 0 M mxn tal que, para todo A M mxn, tem-se A + 0 = A. A4 (todo elemento possui um oposto) Para todo elemento A M mxn, existe um elemento ( A) M mxn tal que A + ( A) = 0. M1 M2 AM (a multiplicação é associativa) Para quaisquer A, B, C M mxn, temse (A.B).C = A.(B.C). (existe um elemento neutro para a multiplicação) Existe um elemento I n M n tal que A.I n = A, para todo elemento A M mxn. (a multiplicação é distributiva com relação à adição) Para quaisquer A, B, C M mxn, tem-se A.(B + C) = A.B + A.C e (B + C).A = B.A + C.A). Conjuntos não vazios, juntamente com duas operações satisfazendo as propriedades acima, são chamados anéis. Vimos então que o conjunto M mxn, das matrizes de ordem mxn, juntamente com as operações (+) e (.) é um anel, assim como o conjunto dos números inteiros. Este último, além das propriedades A1 até AM, possui também a propriedade de comutatividade da multiplicação. Por isso, o anel dos inteiros é dito comutativo. O conjunto dos números racionais possui uma propriedade a mais: todo elemento não nulo possui um inverso multiplicativo. Tais conjuntos são chamados corpos, e serão descritos mais adiante no curso. 13

2 Determinantes A toda matriz quadrada de orden n, associaremos um número real segundo uma determinada lei, ou seja, definiremos uma função det : M n R do conjunto das matrizes quadradas de ordem n, M n, no conjunto dos números reais. Chamaremos esta função de determinante. Começaremos com uma matriz de ordem 1, A = a 11. Neste caso, definimos o determinante de A da seguinte forma: det A = A = a 11 ou seja, o determinante de uma matriz que contém apenas um elemento é o próprio elemento. A fim de definir o determinante de uma matriz de ordem 2, vamos considerar o seguinte problema: 4 3 Dados A = 2 5 que A.X = B. Resolvendo, 4 3 x. 2 5 y x, X = y = 11 9 e B = Pela igualdade de matrizes, obtemos o sistema Resolvendo pelo método da adição, temos: { 4x + 3y = 11 (x 5) 2x + 5y = 9 (x ( 3)) ou seja, x = 11 9 4x + 3y = 2x + 5y { 4x + 3y = 11 20x 6x = 28 28 (4.5) (2.3) Resolvendo agora para y, da mesma maneira, { { 4x + 3y = 11 (x ( 2)) 4x + 3y = 11 2x + 5y = 9 (x 4) 20y 6y = 14 ou seja, y = 14 (4.5) (2.3), determinar x e y de modo 11 9 { 4x + 3y = 11 2x + 5y = 9 x(20 6) = 28 x = 28 20 6 y(20 6) = 14 y = 14 20 6 Notamos que a expressão (4.5) (2.3) é o denominador comum das expressões que nos permite calcular o valor de x e de y. Ao mesmo tempo, observamos que 4 3 esse número está associado aos termos da matriz. Mais precisamente, 2 5 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Este número é chamado de determinante. Em geral, 14

a11 a Definição 6 Dada a matriz quadrada de ordem 2, A = 12 a 21 a 22 determinante da matriz A o número real obtido pela diferença a 11.a 22 a 12.a 21 Indica-se det A = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11.a 22 a 12.a 21 Exercício 47 Calcular os seguintes determinantes: a) 5 2 3 1 b) 1 0 0 1 c) 5 0 2 0 Exercício 48 Resolva as equações: a) x x + 2 5 7 = 0 b) x x 5 x = 0 2 4 Exercício 49 Dada a matriz A = 1 3 a) det A b) det A 2 c) det A 1 2.1 Menor complementar, calcule: Considere uma matriz A, de ordem 3: a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, chama-se O menor complementar D ij, relativo ao elemento a ij, é o determinante da matriz quadrada, de ordem 2, que se obtém de A retirando-se a linha i e a coluna j. Por exemplo, D 12 = a 21 a 23 a 31 a 33 = a 21 a 23 a 31 a 33 = a 21.a 33 a 31.a 23 15

Exercício 50 Dada a matriz A = R. 9, 20, 5, 5, 8 2.2 Cofator 2 1 3 0 1 4 5 2 1, calcule D 11, D 12, D 13, D 21, D 32. Dada a matriz A = (a ij ) 3, o cofator de a ij é o número A ij que se obtém multiplicando-se ( 1) i+j pelo menor complementar de a ij. Ou seja, A ij = ( 1) i+j.d ij Desta forma, para o exercício 50, temos: A 11 = ( 1) 1+1.D 11 = ( 1) 2.9 = 9 A 12 = ( 1) 1+2.D 12 = ( 1) 3. 20 = 20 Exercício 51 Calcule A 13, A 21, A 32, onde A é a matriz do exercício anterior. Exercício 52 Seja A = (a ij ) a matriz quadrada de ordem 3 dada por a ij = i+j. Calcule A 32. R. 2 2.3 Determinante de matrizes quadradas de qualquer ordem Vamos começar com matrizes de ordem 3. Considerando a matriz a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 definimos o determinante de A como: det A = a 11.A 11 + a 12.A 12 + a 13.A 13 isto é, a soma dos números que se obtém da multiplicação de cada termo da primeira linha pelo seu respectivo cofator. 1 3 2 Por exemplo, dada a matriz A = 1 2 1, temos: 3 2 2 A 11 = ( 1) 1+1 2 1 2 2 = 1.(4 2) = 2 A 12 = ( 1) 1+2 1 1 3 2 = ( 1).( 2 3) = 5 A 13 = ( 1) 1+3 1 2 3 2 = 1.( 2 6) = 8 16

Logo, det A = 11.A 11 + a 12.A 12 + a 13.A 13 = 1.2 + 3.5 + 2.( 8) = 1 Exercício 53 Calcule: 2 5 1 a) A = 1 1 2 3 1 1 1 4 3 b) A = 0 0 0 1 2 1 0 3 2 c) A = 1 0 1 1 2 0 R. a) 39 b) 0 c) 7 Para uma matriz quadrada de ordem n: A = definimos o determinante de A como: a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a n1 a n2... a nn det A = a 11.A 11 + a 12.A 12 +... + a 1n.A 1n isto é, a soma dos números que se obtém da multiplicação de cada termo da primeira linha pelo seu respectivo cofator. Observe que agora cada cofator envolve o determinante de matrizes de ordem n 1. Como exemplo, vamos calcular o determinante da seguinte matriz: 1 0 0 0 A = 2 3 1 1 4 2 2 2 1 1 3 1 Temos: det A = a 11.A 11 + a 12.A 12 + a 13.A 13 + a 14.A 14 = 1.( 1) 2. 3 1 1 2 2 2 1 3 1 + 0.A 12 + 0.A 13 + 0.A 14 = 3.( 1) 2. 2 2 3 1 + ( 1).( 1)3. 2 2 1 1 + 1.( 1)4. 2 2 1 3 = 3.( 8) + 1.( 4) + 1.4 = 24 17

Exercício 54 Calcule, para a matriz A do exemplo anterior, o número: a 11.A 11 + a 21.A 21 + a 31.A 31 + a 41.A 41 Qual a relação entre o número encontrado e o determinante de A? O que este resultado sugere? Na verdade, a sugestão do exercício anterior é um fato: pode ser provado que o determinante de uma matriz pode ser desenvolvido por qualquer linha ou coluna. Isto é: Definição 7 O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores. Assim, o determinante de uma matriz A pode ser calculado das seguintes formas: 1 a Forma: Fixando a linha i det A = a i1.a i1 + a i2.a i2 +... + a in.a in 2 a Forma: Fixando a coluna j det A = a 1j.A 1j + a 2j.A 2j +... + a nj.a nj Em geral, escolhe-se a fila (linha ou coluna) que possuir o maior número de zeros para desenvolver o determinante (por que?). Exercício 55 Calcule os determinantes: 1 3 2 4 a) A = 1 0 3 2 2 0 1 1 5 0 3 2 b) A = R. a) -42; b) 0 1 0 1 0 1 2 2 1 0 0 0 0 7 0 2 0 2.4 Regra de Sarrus Podemos obter o determinante de uma matriz de ordem 3 utilizando uma regra prática muito simples, chamada Regra de Sarrus. a 11 a 12 a 13 Considere a matriz A = a 21 a 22 a 23. Em primeiro lugar, vamos a 31 a 32 a 33 repetir as duas primeiras colunas de A à direita da matriz: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 18

Em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz e os elementos das duas diagonais paralelas à principal, somando os resultados: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 Multiplicamos agora os elementos da diagonal secundária e as diagonais paralelas a ela, somando os resultados: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 13.a 22.a 31 + a 11.a 23.a 32 + a 12.a 21.a 33 Por fim, subtraímos o primeiro número encontrado pelo último, obtendo: det A = a 11.a 22.a 33 +a 12.a 23.a 31 +a 13.a 21.a 32 (a 13.a 22.a 31 +a 11.a 23.a 32 +a 12.a 21.a 33 ) Exercício 56 Calcule: 1 2 3 a) 0 1 4 2 3 5 1 0 2 1 b) 1 2 1 3 2 0 4 1 5 1 2 2 R. a) -27; b) -19 Exercício 57 Resolver a equação: x x x x x 4 x 4 4 = 0 R. {0,4} 2.5 Propriedades dos determinantes Exercício 58 Calcule o determinante das matrizes I 2, I 3 e I 4. Qual é o valor do determinante de I n, para qualquer n 1? Você consegue provar este resultado? Exercício 59 Se uma matriz tem uma fila (linha ou coluna) toda nula, qual é o valor do seu determinante? Prove a sua afirmação. 19

Exercício 60 Calcule o determinante das matrizes 1 2 3 1 2 3 A = 2 7 5 e B = 2 4 6 1 2 3 0 1 9 O que estas matrizes têm de peculiar? Exercício 61 Prove que det A = det A t Exercício 62 Calcule os determinantes: 1 2 3 1 1 2 e 2 3 0 1 2 3 2 3 0 1 1 2 Qual a relação entre as duas matrizes? Qual a relação entre os seus determinantes? Exercício 63 Calcule os determinantes: 1 2 3 1 2 1 8 0 7 5 e 0 4 6 8 0 0 3 0 0 9 2 0 0 0 1 Que conclusões você pode tirar? Nos exercícios 58 a 63 você deduziu algumas propriedades dos determinantes de matrizes. Veremos agora estas propriedades de maneira formal. A mais importante delas é a que deu origem à definição de multiplicação de matrizes: Propriedade 1 det (A.B) = det A.det B Exercício 64 Prove que det (A n ) = (det A) n (use indução em n). No exercício 59, você provou a seguinte propriedade: Propriedade 2 Se uma matriz quadrada possui uma fila (linha ou coluna) nula, seu determinante é zero. O exercício 60 é um exemplo da seguinte proposição: Propriedade 3 Se uma matriz possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu determinante será igual a zero. O exercício 62 ilustra a proposição: Propriedade 4 Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o determinante da matriz original com o sinal invertido. 20

Exercício 65 Seja A uma matriz de ordem n. Calcule o determinante da matriz B, obtida a partir de A pela troca de 2 filas entre si m vezes. No exercício 61 você provou a seguinte proposição: Propriedade 5 O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta. Os exercícios 58 e 63 referem-se à seguinte propriedade: Propriedade 6 Se os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmo lado da diagonal principal forem todos nulos, o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exercício 66 Prove a propriedade 6 por indução na ordem da matriz. Exercício 67 Calcule os determinantes: 1 2 3 1 7 5 e 2 0 3 1 2 3 2 14 10 2 0 3 Qual a relação entre essas duas matrizes? E entre os seus determinantes? Em geral, temos: Propriedade 7 Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou uma coluna) por um número real k, o determinante da nova matriz é o determinante da matriz original multiplicado por k. Exercício 68 Prove que, se A é uma matriz de ordem n e k R, então det (k.a) = k n.deta. Propriedade 8 (Teorema de Jacobi) Se somarmos a uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada uma outra linha (ou coluna) multiplicada por um número qualquer, o determinante da matriz não se altera. 1 2 Por exemplo, dada a matriz A =, o seu determinante é 2. Substituindo a 2 a linha de A pela soma desta linha com o produto da 1 a linha por 3 4 3 obteremos: 1 2 B = e det B = 2 = det A 0 2 Exercício 69 Mostre, sem desenvolver, que o determinante D = é múltiplo de 6. 1 0 3 2 4 3 3 6 6 21

Exercício 70 Podemos utilizar a propriedade 8 para facilitar as contas no cálculo do determinante. Vamos ilustrar esta afirmação com o seguinte exemplo: Seja A = 1 1 + a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + b 1. 1 1 1 1 + c 1. Escalone a matriz A, de modo a obter uma matriz B cujos elementos abaixo da diagonal principal são nulos. 2. Justifique por que det A = det B. 3. Utilizando a propriedade 6, calcule o determinante de B. Exercício 71 Demonstrar, sem desenvolver, que o determinante D = é nulo, sabendo-se que a + b + c + d = 0. a b c d b c d a c d a b d a b c Exercício 72 Sabendo-se que A e B são matrizes de ordem 3, det B 0 e que A.B = 4B, calcular det A. R. 64 Exercício 73 O determinante de uma matriz A é 36. Qual o valor do determinante de uma matriz B, formada a partir de A através da multiplicação da primeira linha de A por 2 e pela divisão da primeira coluna de A por 9? Justifique a sua resposta. Exercício 74 Prove que, se A é uma matriz inversível, então det (A 1 ) = 1 det A Observe que você acaba de provar (exercício 74) que se uma matriz é inversível, então o seu determinante é não nulo. Na verdade, a recíproca também é verdadeira ou seja, se o determinante de uma matriz é diferente de zero, então a matriz é inversível. 22