Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Resumo das Aulas Teóricas (Semana 5) 1 Etremos de Funções Escalares. Eemplos Nos eemplos seguintes iremos determinar e classificar os pontos críticos de cada uma das funções. Eemplo 1.1 Consideremos a função f(, ) = 2 + 2. classe C 2. É claro que f é, pelo menos, de a) Pontos Críticos: f(, ) =. A origem é o único ponto crítico. f(, ) = (2, 2) = (, ) =. b) Classificação do ponto crítico. A matriz Hessiana D 2 f = 2 f 2 2 f 2 f 2 f 2 (0,0) = [ ] 2 0 0 2 apresenta dois valores próprios positivos λ 1 = λ 2 = 2 e, portanto, o ponto crítico é um ponto de mínimo de f. Note-se que esta análise é desnecessária dado que f(, ) = 2 + 2 0 e a origem é o único ponto em que f é nula. Na figura 1 encontra-se o gráfico desta função. Eemplo 1.2 Consideremos a função f(, ) = 2 2. classe C 2. É claro que f é, pelo menos, de a) Pontos Críticos: f(, ) =. A origem é o único ponto crítico. f(, ) = (2, 2) = (, ) =.
z Figura 1: Eemplo de ponto de mínimo: f(,) = 2 + 2 b) Classificação do ponto crítico. A matriz Hessiana D 2 f = 2 f 2 2 f 2 f 2 f 2 (0,0) = [ 2 0 0 2 ] apresenta um valor próprio positivo λ 1 = 2 e um valor próprio negativo λ 2 = 2 e, portanto, o ponto crítico não é um etremo de f. Neste caso dizemos que é um ponto de sela. Na figura 2 encontra-se o gráfico de f que ilustra e justifica a designação de ponto de sela. z Figura 2: Eemplo de ponto de sela: f(,) = 2 2 Note-se que na direcção em que = 0 a função apresenta um mínimo e na direcção = 0 a função apresenta um máimo na origem. Trata-se de um ponto de sela. 2
Eemplo 1.3 Consideremos a função f(, ) = ( ) 2 4 4. a) Pontos Críticos: f(, ) =. 2 3 = 0 f(, ) = (2( ) 4 3, 2( ) 4 3 ) = ( ) 2 3 = 0 ou seja, 2 3 = 0 3 + 3 = 0 2 3 = 0 = donde se conclui que os pontos críticos são:, ( 1, 1), (1, 1). Para os classificar recorremos à matriz Hessiana 2 f 2 f (, ) (, ) [ D 2 f(, ) = 2 2 12 2 ] 2 2 f 2 f = (, ) (, ) 2 2 12 2 2 b) Classificação dos pontos críticos ( 1, 1) e (1, 1). As matrizes Hessianas nestes dois pontos são iguais, D 2 f( 1, 1) = D 2 f(1, 1) = [ ] 10 2 2 10 e apresentam dois valores próprios negativos, λ 1 = 8 e λ 2 = 12. Portanto, estes dois pontos são pontos de máimo de f. c) Classificação do ponto crítico. A matriz Hessiana D 2 f = [ ] 2 2 2 2 tem um valor próprio nulo λ 1 = 0 e outro positivo λ 2 = 4. Portanto, na direcção definida pelo vector próprio associado a λ 2 = 4, a função f tem um mínimo na origem. Isto quer dizer que se a origem for um etremo de f deverá ser um ponto de mínimo. Na direcção singular correspondente ao valor próprio nulo λ 1 = 0 deveremos passar à análise das derivadas de ordem superior a dois. No entanto, podemos analisar o comportamento de f directamente em torno da origem. 3
Note-se que na direcção definida por = temos f(, ) = 2 4 0 e, portanto, a função f tem um ponto de máimo na origem. Concluímos assim que a origem não é um etremo de f. Na figura 3 encontra-se o gráfico de f onde se pode constatar a natureza dos pontos críticos. z Figura 3: Gráfico da função: f(,) = ( ) 2 4 4 Eemplo 1.4 Consideremos a função f(, ) = 2 4 2 + 3 4. a) Pontos críticos: f(, ) =. ( 2 + 3 2 ) = 0 f(, ) = ( 8 + 12 3, 2 4 2 ) = 2 2 = 0 donde se conclui que o único ponto crítico é a origem. b) Classificação do ponto crítico. A matriz Hessiana 2 f D 2 f = 2 2 f 2 f [ 8 + 36 2 ] 8 2 f = 8 2 2 (0,0) = [ ] 0 0 tem um valor próprio nulo λ 1 = 0 e outro positivo λ 2 = 2. Portanto, se a origem for etremo será um mínimo. Note-se que a função f pode ser dada de outra forma Em torno da origem teremos: f(, ) = 2 4 2 + 3 4 = ( 2 )( 3 2 ). 4 0 2
i) f(, ) > 0 para > 3 2 ou para < 2. ii) f(, ) < 0 para 2 < < 3 2. Assim, em torno da origem, a função f toma valores tanto positivos como negativos, ou seja, a origem não é um etremo de f. Na figura 4 encontra-se o gráfico de f onde se pode constatar a natureza da origem como ponto critico. z Figura 4: Gráfico da função: f(,) = ( 2 )( 3 2 ) 5
2 Função Impĺıcita. Função Inversa Eemplo 2.1 Consideremos a equação da recta em R 2 dada pela equação + = 1. (ver figura 5). 1 + = 1 = 1 1 Figura 5: Recta dada por: + = 1 Note-se que + = 1 = 1 e, portanto, a mesma recta pode ser descrita de duas formas diferentes: i) Como o conjunto de nível zero da função F : R 2 R definida por F(, ) = + 1, ou seja, o subconjunto de R 2 em que F(, ) = 0. ii) Como o gráfico da função f : R R dada por f() = 1, ou seja, como o subconjunto de R 2 em que = f(). De outra forma, podemos dizer que a equação F(, ) = 0 define uma das variáveis como função da outra = f(). Eemplo 2.2 Consideremos a equação que define a circunferência de raio um e centro na origem de R 2, ou seja 2 + 2 = 1. (ver figura 6). É claro que temos 2 + 2 = 1 = 1 2, se > 0, e, portanto, a parte da circunferência em que > 0 pode ser descrita de duas formas diferentes: i) Como o conjunto de nível zero da função F : R 2 R definida por F(, ) = 2 + 2 1, ou seja, o subconjunto de R 2 em que F(, ) = 0. 6
2 + 2 = 1 = 1 2 = 1 2 Figura 6: Circunferência dada por: 2 + 2 = 1 ii) Como o gráfico da função f : ] 1, 1[ R, dada por f() = 1 2, ou seja, o subconjunto de R 2 em que = f(). Assim, para > 0, a equação F(, ) = 0 define uma das variáveis como função da outra = f(). Note-se que em torno dos pontos ( 1, 0), (1, 0) a equação F(, ) = 0 não define como função de, mas define como função de. De facto, para > 0, temos 2 + 2 = 1 = 1 2. Este eemplo mostra que a equivalência F(, ) = 0 = f() não se verifica globalmente em todo o conjunto definido pela equação F(, ) = 0 mas apenas localmente em torno de cada um dos pontos desse conjunto. Eemplo 2.3 Consideremos o subconjunto de R 2 definido pela equação + sin( + ) + cos( + ) = 5. Neste caso, não parece fácil concluir que a equação dada defina uma das variáveis como função da outra, ou seja, descrever localmente este conjunto como o gráfico de alguma função. Na figura 7, encontra-se a representação gráfica deste conjunto que permite concluir que se trata de um conjunto que pode ser descrito, localmente, como gráfico de alguma função de uma variável. 7
Figura 7: Conjunto definido por: + sin( + ) + cos( + ) = 5 Do eemplo 2.3 surge a questão de saber se uma equação do tipo F(, ) = 0 define uma das variáveis como função da outra e se é possível obter alguma informação sobre a natureza dessa função. Note-se que pode não ser possível estabelecer uma das variáveis como função da outra directamente a partir da equação F(, ) = 0. Seja F : R 2 R uma função de classe C 1 e (a, b) um ponto tal que F(a, b) = 0. Suponhamos que, em alguma bola centrada no ponto (a, b) se tem F(, ) = 0 = f(), sendo f uma função real de variável real de classe C 1 e definida em algum intervalo contendo o ponto a. Assim, teremos F(, f()) = 0 e derivando obtemos Portanto, desde que se verifique a condição F F (a, b) + (a, b)f (a) = 0 F (a, b) f (a) = F (a, b) F (a, b) 0. Concluímos então que, em certas condições, é possível calcular a derivada f (a) mesmo não sendo possível determinar f a partir da equação F(, ) = 0. Surge, assim, a questão seguinte. Se F : R 2 R for uma função de classe C 1 e (a, b) um ponto tal que F(a, b) = 0 ; F (a, b) 0, 8
eistirá alguma função f, de classe C 1, tal que, localmente em torno de (a, b), se tenha F(, ) = 0 = f()? A resposta afirmativa a esta questão é dada pelo Teorema da Função Impĺıcita. Teorema 2.1 (Função Implícita em R 2 ) Seja F : R 2 R uma função de classe C 1 e (a, b) um ponto tal que F(a, b) = 0 ; F (a, b) 0. Então, eiste uma função f, de classe C 1, tal que, localmente em torno de (a, b), se tem F(, ) = 0 = f(). A equivalência local deve ser entendida no seguinte sentido. Eiste uma bola centrada no ponto (a, b) em que o conjunto definido pela equação F(, ) = 0 é o gráfico de uma função f : ]a ǫ, a + ǫ[ R, com ǫ > 0, ou seja = f(). (ver figura 8). F(, ) = 0 = f() b a ǫ a a + ǫ Figura 8: Função Implícita em R 2 Seja G : R 2 R 2 a função de classe C 1 dada por G(, ) = (, F(, )). 9
Note-se que G(a, b) = (a, 0) e 1 0 det DG(a, b) = det F (a, b) F = F (a, b) 0. (a, b) Se a função G for invertível, localmente en torno do ponto (a, b), teremos G(, ) = (, F(, )) = (, 0) (, ) = G 1 (, 0), ou seja, eiste uma função f, localmente definida em torno do ponto a, tal que se verifica a equivalência F(, ) = 0 = f(). Se a função inversa G 1 for de classe C 1, então a função f também o será. Portanto, o Teorema da Função Impĺıcita depende do estabelecimento da eistência local e da regularidade da função inversa G 1. Este é o conteúdo do chamado Teorema da Função Inversa. Teorema 2.2 (Função Inversa) Seja G : R n R n uma função de classe C 1 e a R n um ponto tal que det DG(a) 0. Então, G é localmente invertível em torno do ponto a e a respectiva inversa G 1 é uma função de classe C 1. A eistência e a regularidade locais da função inversa devem ser entendidas da forma seguinte. Eiste uma bola B(a) centrada no ponto a e uma bola B(b) centrada no ponto b = G(a) tais que a função G : B(a) B(b) é uma bijecção (injectiva e sobrejectiva) e a respectiva inversa G 1 : B(b) B(a) é uma função de classe C 1. (ver figura 9). Note-se que, em geral, não é possível resolver directamente as equações do tipo G() = b, ou seja, calcular a função inversa G 1. O Teorema da Função Inversa estabelece uma condição suficiente, det DG(a) 0, para que uma função de classe C 1 seja localmente invertível. Note-se que por definição de função inversa, temos e, portanto = G 1 (G()), B(a) DG 1 (b) = [DG(a)] 1, ou seja, a matriz Jacobiana da função inversa G 1 no ponto b = G(a) é a inversa da matriz Jacobiana de G no ponto a. 10
R n G R n a b = G(a) G 1 Figura 9: Função Inversa Eemplo 2.4 Consideremos a função G : R 2 R 2 definida por G(, ) = (e cos, e sen ). É claro que G é de classe C 1 e a respectiva derivada é dada pela matriz [ e cos e ] sin DG(, ) = e sen e cos e, portanto, det DG(, ) = e 2 0, (, ) R 2. Assim, a função G tem inversa local em torno de cada um dos pontos de R 2. No entanto, a função G não é invertível (não é injectiva) em R 2. De facto, temos G(, 2kπ) = (e, 0), R, k Z, ou seja, embora G não seja invertível em R 2 possui inversa local em torno de qualquer ponto de R 2. Eemplo 2.5 Seja f : R n R n uma aplicação linear, ou seja, eiste uma matriz A n n tal que f() = A. Esta função é injectiva desde que det A 0 e a respectiva inversa é dada por f 1 () = A 1 em que A 1 é a matriz inversa de A. Note-se que uma aplicação linear é uma função de classe C 1 e a respectiva derivada é representada pela matriz A, ou seja, Df() = A Note-se que neste caso se verifica a condição do Teorema da Função Inversa mas não é necessário usá-lo. Para além disso, a função inversa é global (está definida em R n ) e não apenas local. 11
Eemplo 2.6 Consideremos o sistema de equações u = 4 + 4 v = sen + cos Facilmente se conclui que a resolução deste sistema para e não é fácil. No entanto, recorrendo ao Teorema da Função Inversa podemos determinar os pontos (, ) para cada um dos quais o sistema é localmente invertível. Seja ( ) 4 + 4 G(, ) =, sen + cos a função definida para 0. Trata-se de uma função de classe C 1 no seu domínio e a sua derivada é dada por u u 3 4 4 4 3 DG(, ) = v v = 2 cos sen Portanto, para cada ponto (, ), com 0, tal que det DG(, ) = sen 2 (4 3 4 ) 43 cos 0 eistirá uma vizinhança em que o sistema eprime e como funções de u e v, ou seja = (u, v) e = (u, v). Consideremos o ponto (π, π). Então G(π, π) = (π 3, 1) e det DG(π, π) = det [ 3π 2 4π 2 1 0 ] = 4π 2 e, portanto, a derivada da inversa de G no ponto (π 3, 1) é dada por DG 1 (π 3, 1) = [DG(π, π)] 1 = 1 [ ] 0 4π 2 4π 2 1 3π 2, ou seja, u (π3, 1) u (π3, 1) [ v (π3, 1) 0 4π 2] = v (π3, 1) 1 3π 2 12
Nota 2.1 1. Nos casos em que det DG(a) = 0 o teorema não se aplica e tudo pode acontecer. Considere-se a função G() = 2 definida em R. Então G (0) = 0 e G não é invertível em nenhuma vizinhança da origem, porque se trata de uma função par. A função G() = 3 é crescente e, portanto, injectiva em R apesar de G (0) = 0. 2. A demonstração do Teorema da Função Inversa pode ser vista na bibliografia da disciplina. 13