ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA 01: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TÓPICO 02: REVENDO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO VERSÃO TEXTUAL Este tópico objetiva reapresentar as principais técnicas de integração. INTEGRAIS Considerando integral como embora nem toda integral tenha uma primitiva, como (senx/x)dx Pela derivada de arctg(x)... Pela derivada de argtgh(x)... ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1ª QUESTÃO Se e p = 2a se x = a³/2, ache o valor de p quando x = 2a³. 2ª QUESTÃO
Se a função de consumo é dada por y = f(x), onde y é o consumo nacional total e x é a renda nacional total, então a tendência marginal ao consumo é igual a derivada do consumo com relação a x. Supondo x = y + s, onde s é a poupança, a tendência marginal à poupança é (por quê?). a) Se a tendência marginal ao consumo (em bilhões de dólares) é. Quando a renda é igual a zero, o consumo é de 8 bilhões de dólares. Ache a função de consumo. b) A tendência marginal a poupança é 1/3. Quando a renda é igual a zero, o consumo é de 11 bilhões de dólares. Ache a função de consumo. Vamos justificar a fórmula... Sendo x = y + s, derivando em relação à variável x... (x) = (y + s) = (y) + (s) Daí, 1 = y + s. Ou, s = 1 y. Item a): 3ª QUESTÃO A velocidade de uma partícula em M.H.S. é dada por v(t) = 4.cos( t + /6). Qual é a equação horária, s(t), dado que s(0) = 2? V = ds/dt.: ds = v.dt.: s = 4.cos( t + /6)dt = 4. cos( t + /6)dt = 4. (1/ ).sen( t + /6) + C = 4sen( t + /6) + C.: s(0) = 2.: 2 = 4sen( /6) + C.: C = 0 4ª QUESTÃO Calcule as integrais:
a) Seja u = 1 + 3e x. Daí, du/dx = 3e x du = 3e x.dx. Assim, b) Vamos encontrar F(x), resultado da integral. Depois fazemos F( /4) F(0). (TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO) Lembrar que tgx = senx / cosx. Logo, seja u = cosx.: du = - senx.dx. Daí, Agora é só fazer a diferença. c) Já que [ (ax + b) p ] = p(ax + b) p 1.a = ap(ax + b) p 1 Segue-se que =, onde a, b e p são números reais e a diferente de zero. Com efeito, se u = ax + b. Derivando ambos os membros da igualdade em relação à variável x, temos:.du = adx, daí, u p (du/a) = (1/a). u p du... (integração conhecida! Retornar, após integrar, para variável x). Assim,
d)... e) A ideia é imaginar a função de dentro da composição como nova variável. Seja v = 1 2x².: dv = -4xdx, ou, de maneira equivalente, xdx = -dv/4 Como a variável de partida é x... Retornar para ela: Assim: -(1 2x²) 3/2 /6 + C f) Novamente a ideia é imaginar a função de dentro da composição como nova variável. Seja k = 3x² - 1.: dk = 6xdx, ou, de maneira equivalente, xdx = dk/6 g) Notemos que x² - 4x + 4 = (x 2)². Daí, (x 2) -2 dx = C + 1/(2 x) h) Seja u = 1 + x³. Daí, derivando em relação à variável x, temos: du = 3x²dx. Assim, Organizando as integrais e usando o fato de que a integral de uma diferença é a diferença das integrais, resolvendo as integrais e retornando para a variável x, temos: i) Seja u = x². Daí, du = 2xdx e a integral fica: cos(x²)xdx = cos(u).du/2 = ½.sen(u) + C Voltando para a variável x... sen(x²)/2 + C j) Notemos que a integral equivale a dx/sen²x = cosec²xdx = -cotgx + C SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS Resolver Erro frequente: achar que sempre mudar a variável considerando-a como a função de dentro da composição resolve. Note que, neste caso, se m = x² - 3, dm = 2xdx. Daí, torna-se
necessário multiplicar numerador e denominador por x, para que apareça dm. Aparece, todavia vamos gerar um ciclo. Faça as contas! Assim, pensando um pouco mais, se N for a raiz em questão, N² = x² - 3 ou, N² + 3 = x² (somas de quadrados... Pitágoras... Triângulo retângulo... Trigonometria). Lembre-se que 3 é o quadrado da raiz quadrada de 3. Deste modo ou recordamos as derivadas das funções trigonométricas inversas para esta integral ou vamos recordar a técnica de integração conhecida como substituição trigonométrica. Todavia, nada nos impede de trabalhar com substituições hiperbólicas. As relações são parecidas: cosh²(x) senh²(x) = 1; Dividindo por cosh²(x): 1 tgh²(x) = sech²(x); Dividindo por senh²(x): cotgh²(x) 1 = cosech²(x). Neste caso, resolveremos inicialmente por substituição hiperbólica. Como temos o hábito de operar com o 1 na raiz, colocaremos o 3 em evidência: Se quisermos melhorar ainda mais a visualização, faremos mudança de variável. Seja a expressão dentro dos parênteses, daí, derivando ambos os membros da igualdade me relação à variável x, A integral fica: Organizando: De cosh²z senh²z = 1, ajeitando, temos: senh²z = cosh²z 1. Nova mudança de variável, seja u = coshz. Por conseguinte, du = senhz.dz e a integral fica: =
Estamos usando a definição de cosh(z). Desenvolvendo a escrita, isto é, e-z = 1/ez e usando o quociente de frações, temos: Já não há resistência... Seja b = e z daí, db = e z dz. Caímos na integral de db/(b² + 1) que fornece o arctg(b). É só fazer as voltas... Caso façamos substituição trigonométrica, pelo exposto anteriormente... INTEGRANDO TENDO FAÇA POIS.au = b.tgx E, du = (b/a).sec²x.dx.au = b.secx E, du = (b/a).secx.tgx.dx.au = b.senx E, du = (b/a).cosx.dx.(au)² = b².tg²x.: a²u² + b² = b².sec²x.(au)² = b².sec²x.: a²u² b² = b².tg²x.(au)² = b².sen²x.: b² a²u² = b².cos²x Assim, seja x = de onde dz = Por conseguinte, Fazendo as devidas substituições na integral, temos: EXERCITANDO Agora é com vocês. Resolver as integrais usando, quando necessário, uma substituição trigonométrica (ou hiperbólica): 1. = e x dx Notemos que e 2x = (e x )². Assim, seja u = e x, por conseguinte, du Desta feita, e 2x 1 = u² - 1. Logo, Lembremos que k = k.1 = k.(u/u), desde que u não seja igual a zero. Assim, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador por e x.
2. Dado que (lnx) = 1/x, fazendo u = lnx, com du = dx/x, temos: du/u = ln u + C = ln lnx + C Erro frequente: não perceber as derivadas envolvidas. Neste caso, repetimos: (lnx) = 1/x. 3. Tentativa inicial: mudança de variável sendo a nova variável a função de dentro da composição. Façamos v = e x + 1. Assim sendo, dv = e x dx. Por conseguinte, v -1/2 dv = 2(e x + 1) 1/2 + C. 4. Conforme observamos, há composição. Assim, seja v = e -x Por conseguinte, dv = - e x dx = -dx/e x. Logo, ficamos com: coshv(-dv) = -senh(v) + C = -senh(e -x ) + C 5. Consideremos v = lnx (pois está dentro da composição). Daí, dv = dx/x. Assim, dv/senh²v = cosech²vdv = -cotgh(v) + C = -cotgh (lnx) + C... Neste caso, podemos até desenvolver um pouco mais! 6. Inicialmente, consideremos x -1 (por quê?)
Como o numerador tem grau maior que o denominador, vamos dividir polinômios. Obs.: Caso precisemos, podemos usar a soma de integrais. Neste caso em particular, lembrar produtos notáveis: x³ + 1 = x³ + 1³. Como a³ + b³ = (a + b)(a² ab + b²), segue-se que x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1). Por conseguinte, (x³ + 1)/(x + 1) = x² - x + 1. Logo a integral fica: ( x² - x + 1)dx = x³/3 x²/2 + x + C 7. Aparecendo lnx no integrando e x no denominador... Fazemos z = lnx e dz = dx/x. Assim a integral fica:. Estratégias: i. Dividir polinômios. ii. Mexer com a expressão: notemos que 2 z² = 1 + (1 z²) = 1 + (1 z)(1 + z). Daí, 2 z² ao ser dividido por 1 + z equivale a: Comparemos o resultado obtido em cada uma das estratégias... é o mesmo! Assim, a integral resulta em ln 1 + z + z z²/2 + C = ln 1 + lnx + lnx (lnx)²/2 + C Erro frequente: não perceber a mudança u = lnx. 8. Notemos que x² - 2x + 2 = x² - 2x + 1 + 1 = (x 1)² + 1. Fazendo z = x 1, temos que dz = dx. Por conseguinte,
Obs.: Acrescentaremos C só no final... A integral da direita do + é 2.arctgz = 2.arctg(x 1). Já a da esquerda, se u = z² + 1, então du = 2zdz e ficamos com du/2u = ½.ln u Voltando para z: ½.ln z² + 1 - o módulo pode ser retirado... Por qual motivo? Voltando para x: ½.ln (x 1)² + 1 = ½.ln x² - 2x + 2 Por fim, ½.ln x² - 2x + 2 + 2.arctg(x 1) + C Erro frequente: não desenvolver expressões para usar as fórmulas das tabelas. 9. Vamos desenvolver... Diante da composição mais interna, seja u = e x, por conseguinte, du = e x dx. Assim, Faremos agora substituição trigonométrica: u = efeito, 2 u² = 2 2sen²v = 2cos²v.. Com Além disso, du = Por conseguinte, 10. Como há raiz quadrada e raiz sexta e o m.m.c. entre 2 e 6 é 6, seja x = z 6. Por conseguinte, dx = 6z 5 dz. Daí, Por fim,
Lembrando que fizemos divisão de polinômios, ou, de maneira equivalente, reescrevemos o numerador como z² + 1 1. Voltando para a variável x... 0k = ln1/2 = - ln2... PARADA OBRIGATÓRIA Vamos, no próximo tópico, definir equações diferenciais. FONTES DAS IMAGENS 1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer Responsável: Professor Jorge Carvalho Brandão Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual