TEORIA DAS PROBABILIDADES 1.1 Introdução Ao estudarmos um fenômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever o próprio fenômeno e o modelo matemático associado ao mesmo, que permita explicá-lo da melhor forma possível. A teoria das probabilidades é um modelo matemático utilizado para explicar fenômenos aleatórios coletivos e fornecem estratégias para a tomada de decisão. Estes fenômenos, mesmo em condições normais de experimentação, seus resultados variam de uma observação para outra, dificultando a previsão de um resultado futuro. 1.2 Tipos de Fenômenos a) Determinísticos Os resultados são sempre os mesmos, quaisquer que sejam as n repetições. Exemplo: a água submetida à temperatura de 100º, passará de líquido para gasoso, sempre. b) Aleatórios ou Não-determinísticos Os resultados não são previsíveis, mesmo que hajam n repetições. Exemplo: Num pomar com centenas de laranjeiras, as produções da cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo estando todas, sob as mesmas condições de solo, temperatura, umidade, etc... sejam as mesmas para todas as árvores Obs. 1.Quando um fenômeno é ---------------- a teoria das probabilidades não fornece um modelo matemático adequado para explicar o fenômeno; 2. O objeto da teoria ----------------------, são os fenômenos aleatórios; 3. Para facilitar o desenvolvimento da teoria sem usar recursos matemáticos mais sofisticados, por ora, vamos restringir nosso estudo a uma classe de fenômenos aleatórios chamados de experimentos.
1.3 Experimento Aleatório E Os experimentos são fenômenos aleatórios e mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas, os resultados finais de cada tentativa, serão diferentes e não previsíveis e possui as seguintes características: a) Poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições ; b) Não se conhece, a priori, um valor particular do experimento, porém pode-se descrever todos seus possíveis resultados; c) Quando for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade, ou seja, haverá uma estabilidade da fração f = r/n, onde : r = o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização do experimento n = o número de repetições f 1 1.3 Espaço Amostral Finito Equiprovável S Um Espaço Amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Ele será Equiprovável ou Uniforme quando se associa a cada ponto amostral a mesma probabilidade. Exemplos E 1 = Lançar um dado não viciado e anotar o número de pontos; S 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n
Exemplos E 2 = Lançar uma moeda e anotar a face voltada para cima; S 2 = E 3 = Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, anotar o naipe S 3 = E 4 = lançar duas moedas e observar as faces voltadas para cima. S 4 = E 5 = Lançar uma moeda sucessivamente até que se obtenha a 1ª cara S 5 = E 6 = Escolha de um ponto no intervalo 3, 12 e anote a distância do ponto escolhido P ao ponto 5; S 6 = E 7 = Jogar uma moeda 4 vezes e anotar o número de caras obtidas S 7 = E 8 = O número de rebites utilizados na asa de um avião S 8 = 1.4 Evento e Operações com Eventos É qualquer subconjunto do espaço amostral S. Considere S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, o espaço amostral relativo ao lançamento de um dado. Note que, se A = 1, 2 ; B = 2, 4 e C = e portanto são eventos. Dessa forma:, são subconjuntos de S O próprio espaço amostral S e o são eventos S é dito o evento certo de ocorrer e o evento impossível Usando as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos: I) A B = x S / x A ou x B evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre, ou ambos ocorrem. II) A B x S / x A ou x B evento que ocorre se A e B ocorrerem. III) A ou C A evento que ocorre se A não ocorrer
Exemplo Seja S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Se A = 1, 2, 3 B = 2, 3, 6 C = 2, 3, 4 A B = A C= C A = C B = C (A B) = C (A C) = 1.4.1 Eventos Mutuamente Exclusivos Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles exclui a possibilidade da ocorrência do outro, ou seja, eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é, Exemplo: A B = E : jogar um dado e observar o resultado S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Sejam os eventos : A = ocorrer nº par A = 2, 4, 6 B = ocorrer nº ímpar B = 1, 3, 5 Logo, A B =. O que isto significa? ANOTAÇÕES
1.5 Definição de Probabilidade É uma função que associa a cada evento satisfaz aos seguintes axiomas: S R P B A 0,1 C S um número real e I) 0 P (A) 1 II) P(S) =1 III) Se A e B forem mutuamente exclusivos, (A B ) =, então P(A B) = P(A) + P(B) 1.6 Principais Teoremas 1. Se é o conjunto vazio, então P( ) = 0 1. S A é o complementar de A, então P(A) = 1 P(A) 2. Se A B, então P(A) P(B) 3. Se A e B são dois eventos quaisquer, então 1.7 Eventos Equiprováveis P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) São aqueles que têm a mesma probabilidade de ocorrerem, ou seja se o espaço amostral S contém n pontos e a probabilidade de cada ponto será : P i = 1 np = 1 p = 1/n Por outro lado, se um evento A contém r pontos, então:
P(A) = r. (1/n). Este é o método de avaliar P(A). e é enunciado da seguinte forma: Enunciado P(A) = Nº de casos favoráveis Nº de casos possíveis Exemplo Retira-se uma carta de um baralho comum, bem embaralhado de 52 cartas. Qual a probabilidade de: a) A = Sair um rei P(A) = 4/52 b) B = Sair uma carta de espadas P(B) = 13/52 c) C = Sair um rei ou uma carta de espadas P(A B) =? P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = Logo, P(A B) = Tente outra vez. Praticando o que aprendeu 1. Considere o espaço amostral do lançamento de um dado e a observação da face superior. Descreva, por seus elementos, os seguintes eventos; a) A: Sair face par b) B: Sair face primo c) C:Sair face maior que 3 d) Sair face maior que 6 e) Sair face múltipla de 3 f) Sair face menor ou igual a 4 2. Considere o espaço amostral S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e os seguintes eventos: A = 2, 3, 4 ; B = 1, 3, 5, 7, 9 ; C = 5 ; D = 1, 2, 3 ; E = 2, 4, 6 Determine: a) A B = b) A B = c) A C = d) C A = e) C B = f)c (A B) = 3. Se P(A) = ½ ; P(B) = ¼, sendo A e B mutuamente exclusivos, calcular:
a) P(A) b) P(B) c) e) P(A B) d) P(A B) e) P(A B) 2. determine a probabilidade de cada evento: a) um número par aparecer no lançamento de um dado não viciado; b) um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho; c) pelo menos uma cara aparece no lançamento de três moedas; d) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho. 3. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de: a) A soma ser menor que 4 b) a soma ser 9 c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo d) o primeiro resultado ser igual ao segundo 4. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de: a) todas serem pretas b) exatamente uma ser branca c) ao menos uma ser preta 5. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves b) ela não tenha defeitos c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves 6. Um experimento consiste em lançar três moedas e observar a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos neste lançamento, Explicite esse espaço amostral. 7. Num grupo de 300 turistas cadastrados por uma agência de viagens, 100 viajam para Petrolina e 80 para Juazeiro e 30 viajam para as duas cidades simultaneamente. Qual a probabilidade de um turista escolhido ao acaso estar de viagem para: a) Petrolina b) Juazeiro c) Petrolina ou Juazeiro
1.8 Probabilidade Condicional P(A/B) Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido será dada por: P(A B) P(A/B) = com P(B) 0 P(B) Também: P(B A) P(B/A) = com P(A) 0 P(A) P(A / B) Lê-se P de A dado B Exemplo : Sendo P(A) = 1/3 P(B) =3/4 e P(A B) = 11/12, calcular P(A/B) P(A B) Como P(A/B) =, devemos calcular: P(B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Daí, P(A B) = 1/6. Logo P(A/B) = 1.9 Teorema do Produto Sejam A e B dois eventos contidos em S, então: P(A P(A B) = P(B) P(A/B) ou B) = P(A) P(B/A) Exemplo: Duas bolas são retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas:
a) sejam verdes; b) sejam brancas; c) sejam da mesma cor. 2 B a) P(V V) = P(V) P(V/V) = 4/9 3/8 = 1/6 3 P 4 V b) c) P(MC) = 1.10 Eventos Independentes Intuitivamente se A e B são independentes é porque: P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) Definição : Dois eventos A e B são independentes se: P(A B) = P(A) P(B) Exemplo: Lançam-se 3 moedas. Os eventos A e B são independentes : A = Saída de cara na 1ª moeda B = Saída de coroa na 2ª e 3ª moedas E = c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k c), (k,c,k), (c,k,k), (k,k,k) A = P(A) = B = P(B) = A B = P(A B) = P(A). P(B) = Conclusão: Importante 1 3 eventos A, B, e C serão independentes, se todas as 4 proposições abaixo forem satisfeitas: P(A B C) = P(A). P(B). P(C) P(A B) = P(A). P(B) P(A C) = P(A). P(C) P(B C ) = P(B). P(C)
2 Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não-ocorrência do outro. Teste seus conhecimentos 1. determinar a probabilidade p, ou sua estimativa, para cada um dos eventos: a) de aparecer um número ímpar em um único lançamento de um dado honesto. b) de ocorrer pelo menos uma cara em dois lances de uma moeda honesta. c) de surgir um ás, um dez de ouros ou um dois de espadas na retirada de uma carta única de um baralho, bem embaralhado, de 52 cartas d) de aparecer o total 7 em um único lançamento de dois dados 1. Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade de ela: a) ser vermelha b)ser branca c) ser azul d) não ser vermelha e) ser vermelha ou branca 2. Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem: a) Três caras b) Duas caras e uma coroa c) Uma cara d) Pelo menos uma cara e) Nenhuma cara 3. São lançados dois dados. Qual a probabilidade de: a) obter-se um par de pontos iguais; b) um para de pontos diferentes c) um par em que o 1º > 2º d) a soma dos pontos ser um número par; e) obter-se a soma 7, se o par de pontos é diferente; f) obter-se a soma 6, dado que o par de pontos é igual; g) a soma ser 14 4. A probabilidade Manoel resolver um problema de estatística é de 3/5 e de Anne resolver esse mesmo problema é de 4/7. Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido?
5. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número 5 ou um número par? 7. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a e sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) ambos estejam vivos; b) somente o homem esteja vivo; c) somente a mulher esteja viva; d) nenhum esteja vivo; e) pelo menos um esteja vivo; 8. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de: a) A ganhar todas as três; b) Duas partidas terminarem empatadas; c) A e B ganharem alternadamente. 9. Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de que: a. nenhuma seja vermelha; b. exatamente uma seja vermelha; c. todas sejam da mesma cor. 10. As probabilidades de 3 jogadores A, B, e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol. a) todos acertarem b) apenas um acertar c) todos errarem 11. A tabela abaixo descreve os hóspedes registrados pelo período de uma semana num hotel de Petrolina. A distribuição segue de acordo com o sexo e a idade. Idade Sexo Total Feminino Masculino Abaixo de 20 anos 20 15 35 Entre 20 e 40 anos 65 150 215 Acima de 40 anos 50 95 145 Total 135 260 395 Se um hóspede é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade:
a) de ser mulher? b) de ser mulher e ter acima de 40 anos? c) de ser homem e ter menos de 20 anos? d) de ser mulher entre 20 e 40 anos? e) de ser homem e ter menos de 40 anos? f) ter entre 20 e 40 anos?