ECONOMETRIA Prof. Patrca Mara Bortolon, D. Sc.
Modlos d Escolha Qualtatva Font: GUJARATI; D. N. Economtra Básca: 4ª Edção. Ro d Janro. Elsvr- Campus, 2006
Modlos d scolha qualtatva Varávl dpndnt: bnára Varávl ndpndnt: métrcas ou bnáras Exmplos: Probabldad d falênca Probabldad d snstro Probabldad d adrr a sgmnto dfrncado d govrnança corporatva Probabldad d abrr captal
Modlos d scolha qualtatva Quando Y é quanttatvo, através dos modlos d rgrssão lnar stmamos o valor sprado ou valor médo, dados os valors das varávs ndpndnts E( Y X, X 2,..., X k ) Quando Y é qualtatvo, o objtvo é ncontrar a probabldad d qu algo acontça Modlos d Probabldad
O qu vamos studar: Como stmar modlos d scolha qualtatva? Podmos usar MQO? Há problmas spcas d nfrênca? Como mdr a qualdad do ajustamnto? Podmos usar o R 2? Como ntrprtar os cofcnts do modlo?
O qu não vamos studar...... mas são xtnsõs do assunto: Dados contávs ou vntos raros como varávl dpndnt = procssos d probabldad d Posson. x.: no. d artgos publcados por um docnt, no. d patnts rgstradas por uma mprsa, tc... Modlos logt probt ordnas. Ex.: quando a varávl dpndnt é nívl d scolardad, ou varávs m trmos d scala do tpo Lkrt ( concordo totalmnt a dscordo totalmnt ) Modlos logt probt multnomas: quando a varávl d rsposta tm mas d duas catgoras mas não são ordnadas ou hrarquzadas. Modlos d duração: x.: o qu dtrmna a duração d uma lâmpada; a sobrvvênca d mcro-mprsas. Esss casos são tratados m Análs d Sobrvvênca.
Modlos d Escolha Qualtatva Há três abordagns para formular um modlo probablístco para uma varávl d scolha bnára: O modlo d probabldad lnar O modlo logt O modlo probt
Modlo d Probabldad Lnar Y 2 X u = tm casa própra 0 = c. c. Rnda famlar É um modlo lnar d probabldad porqu: Y X PrY X E
Modlo d Probabldad Lnar Supondo E(u )=0, para obtr stmadors não tndncosos. A varânca d Y tm a sgunt dstrbução d probabldad: Y Prob. 0 P P Total S P = probabldad d qu Y = Podmos usar MQO? Dst. d Probabldad Bnomal (np ; np(-p)) 0 E( Y X )
Modlo d probabldad lnar Problmas na utlzação d MQO. Ausênca d normaldad dos trmos d rro u. Porqu assm como Y, u também assumm dos valors: u Y 2 X Y u Prob. Qdo. Y = β β 2 X P Qdo. Y = 0 β β 2 X - P Também sgu dstrbução bnomal => u não s dstrbum normalmnt
Modlo d probabldad lnar Problmas na utlzação d MQO Entrtanto, lmbr qu a mdda qu o tamanho da amostra aumnta a dstrbução bnomal convrg para a Normal. Portanto, no caso d grands amostras, a nfrênca statístca dos modlos d probabldad lnar sgu os procdmntos habtuas d MQO sob prmssa d normaldad.
Modlo d probabldad lnar Problmas na utlzação d MQO 2. Varâncas htrocdástcas dos trmos d rro. Como u sgu dstrbução bnomal com méda P varânca gual a P (-P ), vmos qu a varânca dpnd da méda var( u ) P A varânca d u dpnd, m últma nstânca, dos valors d X, portanto, não é homocdástca. Estmadors d MQO não tndncosos, porém não são fcnts. Solução: mínmos quadrados pondrados (MQP) Y w ond X 2 w w w E( Y E(Y P( P) X u X w ) X 2 E(Y X ) P P )
Modlo d probabldad lnar Problmas na utlzação d MQO 3. Impossblldad d satsfazr 0 E(Y X ) Problma ral da stmatva por MQO!!! Não há como garantr qu s stu ntr 0. Duas formas d agr: Calcular os Yˆ os qu form < 0 consdrar = 0 os qu form > consdrar = Usar técnca qu garanta qu as probabldads condconas d Y s stum ntr 0 (logt probt) Yˆ
Modlo d probabldad lnar Problmas na utlzação d MQO 4. O valor d R 2 como mdda da qualdad do ajustamnto é qustonávl Y st. R 2 stará muto abaxo d (m gral ntr 0,2 0,6) X Do ponto d vsta lógco o Modlo d Probabldad Lnar prssupõ qu P = E(Y = X) aumnta lnarmnt com X, sto é, o fto margnal ou ncrmntal d X prmanc constant.
Modlo d probabldad lnar Problmas na utlzação d MQO No xmplo da amostra d 40 famílas os dados d rnda casa própra (Gujarat, Cap. 5) tmos: Quando X aumnta uma undad (US$.000) a prob. d tr casa própra aumnta smpr na msma quanta d 0,0. Indpnd da rnda sr US$8.000, US$0.000 ou US$22.000 O qu sra sprado? Yˆ 0,9457 0, 02 X Qu a nívs muto baxos ou muto altos a probabldad d tr casa própra não foss tão aftada.
Modlo d probabldad lnar Problmas na utlzação d MQO Prcsamos d um modlo d probabldad qu tnha duas caractrístcas:. A mdda qu X aumnta P = E(Y = X ) aumnta mas nunca sa da faxa 0 2. A rlação ntr P X é não lnar, s aproxma d zro a taxas cada vz mnors à mdda qu X s rduz, s aproxma d a taxas cada vz mnors à mdda qu X aumnta muto.
Modlo d probabldad lnar Problmas na utlzação d MQO Prcsamos d uma curva sgmód, ou m S, smlhant a FDA d uma v.a.: FDA 0 X Em gral são scolhdos os modlos () logístco (2) normal, o prmro dando orgm ao modlo logt o sngundo ao probt (ou normt).
Modlo Logt O modlo d probabldad lnar no caso da casa própra ra: P E Y X) 2 ( X A Função d Dstrbução Logístca P E( Y X ) ( 2 X )
Modlo Logt Rsumndo chamando Z = β + β 2 X trmos: Problma: P é não lnar m X m β => não podmos usar MQO Solução: lnarzar 0 quando 0 quando Z Z Z P P Z P Z P
Modlo Logt Z Z Z Z P P Z Z Z P P A razão d chancs a favor da poss da casa própra. P = 0,8 => há 4 chancs contra a favor d a famíla possur casa própra. X P P L Z P P L 2 ln ln Trando o logartmo: Dnomnado Logt
Modlo Logt - Caractrístcas. Quando passa d 0 a (sto é, quando Z vara d - a + ), o logt L vara d - a +. As probabldads são lmtadas ntr 0, os logts não. 2. Embora L sja lnar m X as probabldads não o são. 3. Podmos nclur quantos rgrssors form ncssáros. 4. O cofcnt angular md a varação d L m rsposta a uma undad d varação m X, sto é, nos dz o quanto o logartmo das chancs favorávs ao vnto d ntrss varam m rsposta a uma undad d varação na varávl ndpndnt. 5. O ntrcpto dá as chancs favorávs quando a varávl ndpndnt é gual a zro. Como na rgrssão lnar pod não tr sntdo prátco.
Modlo Logt - Caractrístcas 6. S qusrmos não as chancs favorávs ao vnto d ntrss mas a própra probabldad do vnto sso pod sr fto pla xprssão: P Z Z Z 7. A rlação lnar não é ntr P X, sm ntr o logartmo da razão d chancs X.
Modlo Logt - Estmação. Dados m nívl ndvdual A stmatva por MQO é nvávl Imagn P = s a famíla tm casa própra P = 0 c.c. Ao calcular os logts para stmar o modlo L L ln 0 ln 0 L c.c. P ln P 2 sa famíla Ao nvés d MQO usar Máxma Vrossmlhança para stmar os parâmtros tm casa X própra u Exprssõs não fazm sntdo
Modlo Logt Dados Agrupados - Estmação. Dados agrupados ou rplcados X US$ ml N n 6 40 8 8 50 2 Pˆ n N é a frquênca rlatva 0 60 8......... Com os P é possívl obtr os logts stmados Podmos usar MQO? Não!!
Modlo Logt Dados Agrupados - Estmação É possívl dmonstrar qu, s N for sufcntmnt grand cada obsrvação m uma dada class d rnda X s dstrbu ndpndntmnt como uma varávl bnomal, ntão: u ~ N 0, NP ( P ) Usar MQP Estmatva da varânca: ˆ 2 N Pˆ ( Pˆ )
Modlo Logt Dados Agrupados - Estmação Etapas para stmação da rgrssão logt:. Para cada nívl d rnda: n Pˆ N 2. Para cada nívl d rnda obtr o logt: Lˆ Pˆ ln Pˆ
Modlo Logt Dados Agrupados - Estmação Etapas para stmação da rgrssão logt: 3. Transformamos: trmo d rro transformado transformado transformado ) ˆ ( ˆ ond : m ln * * * 2 * 2 2 v X X L L P N P w v X w L w u X w w w L u X P P L
Modlo Logt Dados Agrupados - Estmação Etapas para stmação da rgrssão logt: 4. Estmamos por MQO sm ntrcpto. 5. Avalar cofcnt plos métodos tradconas d ntrvalo d confança ou tst d hpótss. Lmbrando qu as conclusõs srão váldas s as amostras form grands. Exmplo da casa própra com dados agrupados na pag. 485 do Gujarat.
Modlo Logt Dados Agrupados - Intrprtação L *,59474 w p (0,046) t ( 4,4369) 2 R 0,9642 0,07862X * (0,00539) (4,56675) Intrprtação do logt: para uma undad (US$000) d aumnto na rnda o logartmo pondrado das chancs favorávs à poss da casa própra aumnta m 0,08 undad. Intrprtação das chancs: tomando o antlogartmo do logt stmado, obtmos P / ( P ), sto é, a razão d chancs. Pˆ Pˆ,59474,59474 w 0,07862X w * 0,07862X *
Modlo Logt Dados Agrupados - Intrprtação Pˆ Pˆ,59474,59474 w 0,07862X w * 0,07862X * 0,07862 =,087 Para cada undad d aumnto da rnda pondrada, as chancs pondradas favorávs a poss da casa própra aumntam m crca d 8,7%. S tomarmos o ant-logartmo do j-ésmo cofcnt angular, subtraímos dl multplcamos o rsultado por 00, obtmos a varação prcntual das chancs m favor d um aumnto d uma undad no j-ésmo rgrssor.
Modlo Logt Dados Agrupados - Intrprtação Cálculo das probabldads: no nosso xmplo, s qusrmos calcular a probabldad d tr casa própra s a rnda é X = 20 (US$20.000). L * X L L L * * *,59474 w 4,825 83,6506,594744,825 0,0786283,6506 0,093 L * w w 0,02226 0,07862X *
Modlo Logt Dados Agrupados - Intrprtação Cálculo das probabldads: no nosso xmplo, s qusrmos calcular a probabldad d tr casa própra s a rnda é X = 20 (US$20.000). L 0,02226 Portanto, Pˆ Pˆ Pˆ L * w 0,02226 Pˆ ln ˆ P 0,02226 0,02226 0,02226,0225 0,4944 Dada a rnda d US$20.000, a probabldad d qu a famíla tnha uma casa própra é d crca d 49%.
Modlo Logt Dados Agrupados - Intrprtação Cálculo da varação da probabldad: nvolv não apnas β 2, mas também o nívl d probabldad m rlação ao qual a varação é mdda. dp dx P( P) 2 Para o nívl d rnda d US$20.000 trmos dp/dx = 0,0965
Modlo Logt Dados Não Agrupados Como Y = ou 0, nsts casos, trmos qu rcorrr a procdmntos d stmação não lnars usando o método da máxma vrossmlhança. É um método para grands amostras, os rrospadrão stmados são assntótcos Ao nvés da statístca t usamos a statístca z. O R 2 não é adquado como mdda d ajustamnto. O Evws aprsnta o R 2 d McFaddn qu também vara ntr 0. Outra mdda d ajustamnto é o Count R 2.
Modlo Logt Dados Não Agrupados Fávro t. al. aprsntam outras mddas d ajustamnto: Psudo R2 Cox & Snll R2 Naglkrk R2 Tst qu-quadrado: para avalar s há dfrnças sgnfcatvas ntr o sprado o obsrvado Hosmr Lmshow Goodnss of ft Tst: outra mdda do podr prdtvo do modlo
Modlo Logt Dados Não Agrupados Para tstar a sgnfcânca do modlo como um todo o quvalnt ao tst F da rgrssão múltpla é a statístca da razão d vrossmlhança. Esta statístca sgu a dstrbução qu-quadrado com g.l. gual ao no. d varávs xplanatóras (o ntrcpto não conta).
Modlo Logt Dados Não Agrupados - Intrprtação Gujarat usa um xmplo sobr prvsão d notas d alunos, com Y = s a nota é A Y = 0 c.c. GPA = pontuação méda; TUCE = pontuação no níco do curso; PSI = s utlzado novo método d nsno. O modlo os rsultados foram: L L P 2 3 4 GPA TUCE PSI u P 3,023 2,826GPA 0,095TUCE 2,3786PSI p valus McFaddnR 0,0082 2 0,3740 0,0252 0,504 LRstatstc (3df 0,0255 ) 5,4049
Modlo Logt Dados Não Agrupados - Intrprtação L L P 2 3 4 GPA TUCE PSI u P 3,023 2,826GPA 0,095TUCE 2,3786PSI p valus McFaddnR 0,0082 2 0,3740 0,0252 0,504 LRstatstc (3df 0,0255 ) 5,4049 Os rgrssors m conjunto tm mpacto postvo sobr a nota fnal pos LR = 5,40 cujo valor p é d crca d 0,005, muto pquno. As três varávs têm fto postvo sobr o logt mbora TUCE sja não sgnfcatvo. O cofcnt 2,826 d GPA sgnfca qu para cada aumnto d na nota méda o logt stmado aumnta, m méda crca d 2,83 un. A ntrprtação m rlação às chancs faz-s tomando o antlogartmo dos cofcnts. Ex.: o antlog. d PSI é 0,7897 ( 2,3786 ). Estudants submtdos ao novo método d nsno têm crca d dz vzs mas chancs d trar uma nota A.
Modlo Logt Dados Não Agrupados - Intrprtação L L P 2 3 4 GPA TUCE PSI u P 3,023 2,826GPA 0,095TUCE 2,3786PSI p valus McFaddnR 0,0082 2 0,3740 0,0252 0,504 LRstatstc (3df Para obtr a probabldad d um studant tr nota A, obsrva-s os dados dst studant (GPA, TUCE PSI) calcula-s L, ou sja, o logt stmado. Ex.: logt stmado gual a 0,878 Para obtr a probabldad usa-s a xprssão: P P Z Z 0,878 Z 0,6937 0,0255 ) 5,4049 A probabldad stmada do studant trar nota A é aproxmadamnt 69%. Como o obsrvado fo Y = para st studant podmos assumr qu a prvsão stá próxma.
Modlo Probt Utlza ao nvés da função logístca acumulada a função d dstrbução acumulada (FDA) da normal. Para o xmplo da casa própra: 0 2 2 2 ) ( 2 2 ) ( X X X F ) ( ) ( ) ( 2 2 X F X Z P X P Y P
Modlo Probt Dados Agrupados - Intrprtação Rsultados do modlo probt para o xmplo da casa própra: β = -,066 β 2 = 0,04846 Para conhcr o fto d uma varação untára m X sobr a probabldad d Y =, sto é, tr casa própra drvamos a quação antror : dp dx f ( 2X ) Ond f ( 2X ) é a função d dnsdad d probabldad normal padrão m 2 X Portanto, ssa avalação dpndrá do valor d X 2
Modlo Probt Dados Agrupados - Intrprtação Rsultados do modlo probt para o xmplo da casa própra: β = -,066 β 2 = 0,04846 Para X = 6 trmos na função d dnsdad normal f[-,066+0,04846(6)] = f(-0,72548). Para Z = -0,72548 a dnsdad normal é d crca d 0,3066, qu multplcado por β 2, dará 0,0485. Ou sja, partndo d um nívl d rnda d US$6.000, quando a rnda aumnta US$.000 a probabldad d uma famíla tr casa própra aumnta m,4%.
Efto margnal d uma varação untára d um rgrssor nos város modlos d rgrssão Modlo d Rgrssão Lnar Modlo d Probabldad Lnar Modlo Logt Modlo Probt O cofcnt angular md a varação do valor médo do rgrssando para uma varação untára no valor d um rgrssor, mantdas constants as dmas varávs. O cofcnt angular md drtamnt a varação da probabldad d ocorrênca d um vnto m consquênca d uma varação untára no valor d um rgrssor, tudo o mas constant. O cofcnt angular nos dá a varação no logartmo das chancs dada uma varação untára d um rgrssor. Entrtanto, a taxa d varação na probabldad d ocorrênca do vnto é dada por β j P (-P ), ond β j é o cofcnt do j-ésmo rgrssor a avalação d P lva m conta todas as varávs do modlo. A taxa d varação da probabldad é mas complcada. Dada por β j f(z ), ond f(z ) é a função d dnsdad da normal padrão Z = β +β 2 X 2 +...+β k X k, ou sja, o modlo d rgrssão usado na análs.
Entr os modlos logt probt, qual é o prfrívl? Na maora das aplcaçõs são bastant parcdos A dstrbução logístca tm caudas mas gordas => a prob. condconal P aproxma-s d 0 ou mas lntamnt Logt é mas smpls para ntrprtar!! Os cofcnts dos dos modlos não podm sr comparados drtamnt. Embora a dstrbução logístca padrão a normal padrão tnham ambas méda zro, suas varâncas são dfrnts.
Modlo Tobt No xmplo da casa própra, s stvéssmos ntrssados não na probabldad da famíla tr casa própra, mas sm na rlação ntr o montant gasto para adqur-la m rlação a varávs sóco-conômcas. Dlma: s a famíla não tm casa própra não há dados sobr o montant gasto!! Amostra cnsurada: quando m part da amostra só tmos nformaçõs sobr os rgrssors, mas não sobr o rgrssando. Também dnomnados modlos d rgrssão com varávl dpndnt lmtada
Modlo Tobt - Estmação Y X 2 u s LD 0 0 c. c. Podmos stmar a rgrssão usando apnas a part da amostra para a qual tmos dados da varávl dpndnt? Não! Os stmadors sram tndncosos nconsstnts. Solução: método da máxma vrossmlhança Exmplo: pag. 498 Gujarat modlo dos casos xtraconjugas d Ray Far