Regressão logística politômica: revisão teórica e aplicações

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1 Cêncas Naturas Exatas Rgrssão logístca poltômca: rvsão tórca aplcaçõs Hélo Radk Bttncourt Rsumo O tradconal modlo d rgrssão logístca tornou-s um método padrão d análs na ára das cêncas da saúd, spcalmnt Epdmologa, pos é capaz d stablcr uma rlação d dpndênca ntr uma únca varávl-rsposta bnára um conjunto d varávs ndpndnts quanttatvas ou qualtatvas. A técnca é consdrada uma abordagm parcalmnt não-paramétrca, não xgndo suposçõs sobr o comportamnto probablístco dos dados d ntrada. Nst trabalho uma xtnsão da rgrssão logístca para varávs-rsposta poltômcas é aprsntada, bm como uma rvsão sobr os aspctos tórcos mas mportants aplcaçõs da técnca com a utlzação d bancos d dados ras. Palavras-chav: Rgrssão Logístca, Análs Dscrmnant. Abstract Th tradtonal logstc rgrsson modl bcam a standard mthod n th mdcal and bologcal scncs, spcally n pdmology, bcaus allows modlng of bnary rspons varabls only and a st of quanttatv or qualtatv ndpndnt varabls. Logstc rgrsson can b rgardd as a partally paramtrc approach, snc t assums nothng about th probablty dstrbuton of varabls. Ths papr dscrbs an xtnson of th logstc rgrsson to polytomous rspons varabls, as wll as prsnts a rvson about th most mportant thortcal aspcts and gvs som rsults obtand whn usng ral databass. Ky-Words: Logstc Rgrsson, Dscrmnant Analyss. Introdução Varávs qualtatvas nomnas são aqulas qu mas lmtam a possbldad d utlzação d técncas statístcas, spcalmnt quando o númro d catgoras xcd dos. É muto comum a utlzação d tablas d contngênca para vrfcação d assocação ntr varávs nomnas qu, gralmnt, são acompanhadas do bm conhcdo tst Qu-quadrado. A prova não-paramétrca do Qu-quadrado, as- Hélo Radk Bttncourt - Laboratóro d Estatístca - Ulbra ACTA SCIENTIAE Canoas v.5 n. p jan./jun. 003 ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun

2 sm como as mddas d assocação drvadas, pod sr adquada para um grand númro d casos, ntrtanto só prmt a análs smultâna d duas varávs, no caso d varávs quanttatvas, é ncssára a préva catgorzação, mplcando m prda d nformação. D acordo com Allson (999) xstm psqusadors utlzando nadquadamnt a técnca d rgrssão lnar para tratamnto d varávs-rsposta qualtatvas nomnas ordnas o qu, na sua opnão, s dv ao dsconhcmnto d técncas mas avançadas. O prsnt studo nca com uma rvsão do modlo d rgrssão logístca tradconal, m sguda, é aprsntada a xtnsão da técnca para varávs poltômcas, rsultados prátcos as consdraçõs fnas. O modlo d rgrssão logístca tradconal D acordo com Hosmr Lmshow (989) a rgrssão logístca, m sua forma tradconal, consst d um modlo qu rlacona um conjunto d p varávs ndpndnts X, X,..., X p a uma varávl dpndnt Y qu assum apnas dos possívs stados, dgamos 0 ou. O modlo logístco prmt a stmação drta da probabldad d ocorrênca d um vnto (Y=): xp 0 x p x p P( Y ) xp 0 x p x p, consqüntmnt, P( Y 0) P( Y ). xp 0 x p x p ond são os parâmtros do modlo, stmados plo método d máxma v- rossmlhança. A transformação qu stá por trás do modlo logístco é a chamada transformação logt, dnotada por g(x). É uma função lnar nos parâmtros, contínua qu pod varar d - a + : logt( x ) P(Y ) g( x ) ln P(Y ) x p x p 0 Hosmr Lmshow (989) dzm qu há plo mnos duas razõs para utlzação do modlo logístco na análs d varávs-rsposta dcotômcas: ) d um ponto d vsta matmátco, é xtrmamnt flxívl fácl d sr utlzado; ) prmt uma ntrprtação d rsultados bastant rca drta. A Fgura aprsnta a função logístca com o su caractrístco formato m S a rlação lnar ntr uma únca varávl x o logt g(x). Função logístca Logt (função lnar),0 P(Y=) 0,8 0,6 0,4 logt(x)=g(x) 0, - X X Fgura : Função logístca a rlação logt 78 ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun. 003

3 Andrson (98) nfatza qu a dscrmnação logístca pod sr aplcada a uma grand vardad d famílas d dstrbuçõs, pos a suposção d lnardad do logt é válda numa grand quantdad d funçõs d dstrbução d probabldad, como por xmplo, a dstrbução normal multvarada.. H stórco do Modlo Logístco Prncpas Aplcaçõs É dfícl prcsar xatamnt o ano no qual o modlo logístco fo utlzado pla prmra vz, mas Cox Snll (989) Hosmr Lmshow (989) concordam qu o modlo d rgrssão logístca ganhou rconhcmnto após o trabalho d Trutt, Cornfld Knnl (967) qu analsava o rsco d donça coronára m um grand projto conhcdo por Framngham hart study. Ess trabalho ganhou fama até hoj é consdrado um marco ncal dos studos nvolvndo rgrssão logístca nas áras da saúd. McLachlan (99) também afrma qu as prmras aplcaçõs do modlo logístco foram m studos prospctvos d donças coronáras. Contudo, nssas aplcaçõs, os autors ralzaram o procsso d stmação d parâmtros sob a suposção d normaldad, qu s torna dsncssára quando a stmação é fta por máxma vrossmlhança va métodos numércos. O procdmnto d stmação m um contxto mas gnérco fo proposto por Day and Krrdg (967) por Walkr and Duncan (967). Hosmr Lmshow (989) afrmam qu o modlo d rgrssão logístca tornous um método padrão d análs d rgrssão d dados dcotômcos, spcalmnt nas cêncas da saúd. D fato, aplcaçõs da rgrssão logístca são comumnt ncontradas m pródcos da ára d saúd, tas como Th Amrcan Journal of Epdmology, Th Amrcan Journal of Publc Halth, Th Intrnatonal Journal of Epdmology Th Journal of Chronc Dsass. A ltratura sobr rgrssão logístca é muto vasta, tndo aprsntado um crscmnto muto rápdo. Além das númras aplcaçõs na ára da saúd, a rgrssão logístca também tm sdo utlzada no campo da conomtra, admnstração ducação. Por ss motvo, ncontramos artgos nvolvndo rgrssão logístca m pródcos d dvrsas áras. 3 Rgrssão logístca poltômca O modlo d rgrssão logístca, orgnalmnt dsnvolvdo para varávsrsposta bnáras, é xtnsívl para varávs-rsposta poltômcas (três ou mas catgoras). O ntndmnto da rgrssão logístca poltômca fca mas smpls s for ut lzad o com o xm plo ntrodutóro um modlo cuja varávlrsposta Y assum apnas três nívs, dgamos 0,, assm como dscrto m Hosmr Lmshow (989). Agora, o modlo logístco trá duas funçõs logt: a razão ntr Y= Y=0 a razão ntr Y= Y=0. Nss caso, o nívl Y=0 fo assumdo como bas. P(Y ) g( x ) ln P(Y 0 ) 0 x p x p g P(Y ( x ) ln P(Y ) 0 ) 0 x p x p A partr das funçõs lnars g (x), cujos parâmtros são stmados por máxma vrossmlhança, é possívl calcular as probabldads condconas d ocorrênca d cada catgora da varávl-rsposta Y dado um vtor d obsrvaçõs x, conform sgu: ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun

4 P(Y 0 x ) g x g g x P(Y x ) g x g g x P(Y x ) g x g x x x Krzanowsk (988) afrma qu, no momnto m qu as probabldads a postror P(Y=y x) do modlo logístco são utlzadas para s stablcr uma rgra d alocação, a abordagm é chamada d dscrmnação logístca. Na ára d Rconhcmnto d Padrõs ss é o trmo mas utlzado, conform s pod vrfcar m McLachlan (99) Bttncourt Clark (00). A gnralzação do modlo logístco para varávs-rsposta com k nívs (k>) é drta, prmtndo sua utlzação para dscrmnação ntr k classs. Na rgrssão logístca poltômca a probabldad d uma dada obsrvação x prtncr a uma das classs y é stmada drtamnt por mo da sgunt xprssão: P(Y y x ) k j xp g j xp g ( x ),,, k- ( x ) ond a função logt, assumndo o nívl y k como bas, é dada por P(Y y g ( x ) ln P(Y yk 0 x x,,, k- x ) x ) p p x 0 g k. k Consdrando y, y,..., y k catgoras xaustvas xclusvas da varávl Y, podmos afrmar qu P( y x ). Portan- to, a probabldad d uma obsrvação x prtncr a class y k, dnotada por P(y k x), pod sr obtda por dfrnça: P k k P( y x ) y x A utlzação do modlo logístco para dscrmnação d classs pod sr drta. A rgra d classfcação para alocar uma obsrvação x numa das classs y é muto smpls: x y s P( y x ) P( y j x ) j O modlo logístco ncssta da stmação d k- vtors d parâmtros ',, β, p, corrspondnts a k- catgoras da varávl Y. A k-ésma catgora é assumda como bas. O procsso d stmação dos parâmtros m rgrssão logístca stá basado na maxmzação da função d vrossmlhança ( x, ). Para tornar possívl a ralzação dss procdmnto são ncssáras n amostras d trnamnto x, x,, xn, cujas classs a qu prtncm são conhcdas. Os vtors solução b qu maxmzam a função ( x, ) são aquls qu tornam máxma a probabldad da partcular amostra d trnamnto x, x,, xn tr sdo slconada. Sndo assm, sob a hpóts da amostra sr rprsntatva da população m studo, obtém-s um modlo qu maxmza as chancs d classfcar todas obsrvaçõs da população nas classs y as quas ralmnt prtncm. Como as quaçõs drvadas da função d vrossmlhança são não lnars, há ncssdad da utlzação d métodos numércos para 80 ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun. 003

5 ncontrar uma solução. Esss procssos são tratvos stão dsponívs m alguns softwars statístcos. No prsnt studo fo utlzado o procdmnto Multnomal Logstc Rgrsson dsponívl no softwar SPSS vrsão 0.0 qu s ncontra-s dscrto m Noruss SPSS Inc. (999). O procdmnto CATMOD do sstma SAS também pod sr utlzado. 3. Tsts d Sgnfcânca O prmro tst d sgnfcânca mportant na rgrssão logístca é o tst da razão d vrossmlhança, ond a hpóts d qu plo mnos um dos parâmtros j é dfrnt d zro (xcto os ntrcptos parâmtros 0 ) é tstada. Ess tst faz uma comparação ntr o valor da função d vrossmlhança para o modlo contndo apnas os ntrcptos a vrossmlhança do modlo fnal com todos os parâmtros stmados. A statístca d tst D, chamada d dvanc, tm uma dstrbução qu-quadrado é calculada da sgunt forma: ( β0 ) D ln ln ( 0 ) ln ( x, ) ( x, β) ~ ( k ) p ond, ( ) é o valor da função d vrossmlhança apnas com os 0 ntrcptos ( x, ) é o valor da função d vrossmlhança para o modlo fnal k é o númro d catgoras da varávl-rsposta Y p é o númro d varávs ndpndnts (x) ncluídas no modlo Para a ralzação d tsts d sgnfcânca ndvduas para os parâmtros j, é bastant comum a utlzação da bmconhcda statístca d Wald, ond a hpóts nula é a d qu o partcular cofcnt é gual a zro. A statístca W d j Wald é dfnda como o quadrado da razão ntr a stmatva d máxma vrossmlhança para o cofcnt su rspctvo rro-padrão (EP). Essa statístca tm uma dstrbução assntotcamnt qu-quadrado com um únco grau d lbrdad: ˆ j W ˆ EP j ~ As saídas dos programas statístcos SPSS SAS aprsntam os tsts da razão d vrossmlhança d Wald. 3. Intrprtação d parâmtros A ntrprtação dos parâmtros stmados no modlo d rgrssão logístca tornas smlar ao caso da rgrssão múltpla tradconal. No caso d uma varávl rsposta com k nívs, o k-ésmo nívl srá assumdo como bas, portanto, pod-s stablcr k- funçõs logt, contrastando cada nívl contra o nívl bas, conform sgu: P y g( x ) ln P y k x x k β 0 x Aplcando a função xponncal nos dos lados da gualdad: g ( x ) P y P y k x x k β 0 x Assm, um ncrmnto d uma undad na varávl x j causará um aumnto d βj undads na razão ntr as proba- í ì ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun

6 bldads da obsrvação x prtncr a class y m rlação à class y k. Portanto, quando x j aumnta m uma undad, a class y torna-s βj vzs mas provávl qu y k. 4 Aplcaçõs Nos tns subsqunts são aprsntados dos xmplos d aplcação da rgrssão logístca poltômca, nfatzando a utlzação prátca a ntrprtação dos modlos stmados. Os bancos d dados utlzados foram ncontrados a partr do trabalho d Abrhard t al. (994) qu fz um comparatvo ntr uma grand quantdad d métodos d rconhcmnto d padrõs utlzando dados ras smulados. 4. Rconhcmnto d Vnhos (Aplcação n o ) O banco d dados Wn Rcognton Data ncontra-s dsponívl na hom pag do Dpartamnto d Informação Cêncas da Computação da Unvrsdad da Calfórna Irvn dv-s a Forna t al. (988). Trata-s do rsultado d uma análs químca ralzada com vnhos provnnts d uma msma rgão da Itála, mas drvados d três dfrnts cultvars (y, y y 3 ) Um total d 3 caractrístcas d cada amostra d vnho fo analsado. Os tamanhos amostras para os três dfrnts tpos d cultvars são 59, 7 48, consdrados sufcnts para stmatvas confávs. Por razõs ddátcas, apnas três varávs, dntr as 3 dsponívs, srão consdradas no prsnt xmplo (x : tor alcoólco, x : total d fnós x 3 : ntnsdad da cor). A saída do softwar SPSS 0.0 é aprsntada na Fgura. O tst da razão d vrossmlhança rsultou altamnt sgnfcatvo (Dvanc=67,57) ndcando qu o modlo stmado pod sr útl na dscrmnação dos três tpos d cultvars. Os valors Psudo R-Squar são uma spéc d cofcnt d dtrmnação (R ), mas com uma ntrprtação mas complxa, ntrtanto sgu a rgra básca: quanto maor, mlhor é o ajust do modlo. Dntr as três mddas aprsntadas dá-s prfrênca a d Naglkrk, vsto sr uma mdda no ntrvalo [0;]. Nss caso a mdda rsultou 0,94, muto próxma do valor máxmo. Modl Fttng Informaton Modl Intrcpt Only Fnal - Log Lklhood Ch-Squar df Sg. 386,630 67,57 39,37 6,000 Psudo R-Squar Cox and Snll Naglkrk McFaddn,834,94,86 CLASS Intrcpt ALCOHOL PHENOLS COLOR Intrcpt ALCOHOL PHENOLS COLOR Paramtr Estmats 95% Confdnc Intrval for Exp(B) B Std. Error Wald df Sg. Exp(B) Lowr Bound Uppr Bound -9,539 5,974 3,49,064,558,55,54,4 4,749,406 55,566 7,757,909 6,55, ,084 55, ,407 -,43,508 7,79,005,43 8,987E-0,659 33,4 4,6 5,5,0 -,47,96 4,70,039 8,454E-0 8,6E-03,880 6,08,89,54,00 496,88 3, ,38 -,99,668 9,093,000 5,397E-0,457E-0,00 Classfcaton Obsrvd 3 Ovrall Prcntag Prdctd Prcnt 3 Corrct ,5% ,5% 45 93,8% 3,6% 40,4% 7,0% 9,% Fgura Saída da rgrssão logístca poltômca no softwar SPSS 0.0 para o xmplo do Rconhcmnto d Vnhos 8 ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun. 003

7 As stmatvas para os parâmtros do modlo também são aprsntadas na Fgura. O númro d parâmtros a sr stmado é d (k-)(p+) parâmtros. No xmplo há três classs três varávs (k=p=3), o qu lva a um total d oto parâmtros. As duas funçõs logt stmadas foram as sgunts: x 9,539,558x 7,757x, x3 g 43 (Cultvar Tpo ) x 33,4,47x 6,08x, x3 g 99 (Cultvar Tpo ). O Cultvar Tpo 3 fo consdrado como bas, portanto, g x 0 3. D acordo com o tst d Wald apnas dos parâmtros stmados não rsultaram sgnfcatvos ao nívl d 5% (Sg.>0,05), ntrtanto vrfca-s qu todas as varávs têm cofcnts sgnfcatvos m plo mnos uma das quaçõs, o qu consttu uma stuação altamnt dsjávl. Gralmnt não há ntrss nos tsts d hpótss das constants (b 0 ). A aplcação do modlo é smpls, sndo ncssáro nsrr os valors d x nas funçõs logt para obtnção das probabldads d prtncr as classs: P(Y y x ) xp P(Y y P(Y x ) xp xpg ( x ) g ( x ) xpg ( x ) xpg ( x ) g ( x ) xpg ( x ) y3 x ) P(Y y x ) P(Y y x ) D acordo com o modlo stmado, um vnho com graduação alcoólca d,0 o, fnós totas d,5 ntnsdad da cor d 6,0 x =[,0 ;,5 ; 6,0] tra as sgunts probabldads d classfcação: P( Y y x) 0,35 P( Y y x) 0,740 P ( Y y3 x) 0,5. Portanto, um vnho com tas caractrístcas sra classfcado como provnnt do Cultvar Tpo. A Fgura aprsnta a tabla d classfcação utlzando todas as 78 obsrvaçõs do conjunto d dados, ond prcb-s uma habldad satsfatóra do modlo para classfcação, com taxa d acrto d 9,%. Anda xplorando a Fgura, prcb-s a prsnça da coluna Exp(B) su rspctvo ntrvalo d confança. Numa rápda nspção vsual prcb-s qu os ntrvalos d confança são muto amplos, ocasonados plos grands rros-padrão das stmatvas. Por mo da ntrprtação da coluna Exp(B) chga-s a ntrprtaçõs do tpo: a cada aumnto d uma undad na graduação alcoólca, spra-s um aumnto d 0,406 a 55,566 vzs na probabldad do vnho sr provnnt do Cultvar Tpo m rlação à probabldad do vnho prtncr ao Cultvar Tpo As Írs d Fshr (Aplcação n o ) O banco d dados das Írs d Fshr é, sm dúvda, um dos mas famosos conjuntos d obsrvaçõs na ára d classfcação dscrmnação ncontra-s dsponívl m dvrsas págnas da Intrnt. Ess sucsso dv-s ao mportant trabalho publcado por Fshr (936) no qual a análs dscrmnant fo abordada. Tratas d um caso ond há três spécs d flors (y : Írs Stosa, y : Írs Vrscolor y 3 : Írs Vrgínca) quatro varávs ndpndnts (x : comprmnto da sépala, x : largura da sépala, x 3 : comprmnto da pétala, x 4 : largura da pétala). O banco d dados é composto d 50 obsrvaçõs, sndo 50 para cada tpo d flor. A saída do softwar SPSS 0.0 para ss problma é aprsntada na Fgura 3. ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun

8 O tst da razão d vrossmlhança rsultou altamnt sgnfcatvo (Dvanc=,899) ndcando qu plo mnos uma das quatro caractrístcas pod sr utlzada para dscrmnação dos três tpos d flors. O valor do cofcnt d dtrmnação d Naglkrk fo pratcamnt máxmo: 0,99. As stmatvas para os dz parâmtros do modlo também são aprsntadas na Fgura 3. Ocorrram problmas numércos dvdo a uma sparação complta da class Írs Stosa, o qu compromtu a part nfrncal do modlo (tsts d sgnfcânca) provocando rros padrão vsvlmnt nflados. Também vrfcou-s alta corrlação ntr as varávs ndpndnts o qu provoca aumnto nos rros padrõs prjudca o procdmnto d stmação. Vrfca-s qu, apsar da ocorrênca d tas problmas, as stmatvas ncontradas contnuam sndo úts, como prova a taxa d classfcação corrta d 98,7% aprsntada na tabla d classfcação. Modl Fttng Informaton Modl Intrcpt Only Fnal - Log L klhood Ch-Squa r df Sg. 39,584,899 37,685 8,000 Psudo R -Squar Cox a nd Snll Naglkrk M cfaddn,88 0,99 0,96 4 Class Irs Stosa Irs Vrscolour Int rcpt SEP_LEN SEP_WID PET_LEN PET_ WID Int rcpt SEP_LEN SEP_WID PET_LEN PET_ WID Paramtr Estmats 95% Confdnc Intrval for Exp(B) B Std. Error Wald df Sg. Exp(B) Low r Bound Uppr Bound 30,9 7547,0 00,000 4, ,9,0 00, ,000, a 4, ,,0 00, ,000, a -3, ,5,0 00,000,043E-4,000, a -43,07,000,,,900E-9,9 00 E- 9,900 E-9 4,638 5,708,75,0 97,465,394,060,3 03,7 66,08 84,93 6,68 4,480,4, ,06, ,60-9,4 9 4,737 3,96,0 47 8,033E-05 7,4 57 E- 09,865-8,86 9,743 3,53,0 6,44E-08 5,8 8 E- 7,46 a. Flo at ng po nt ovrflo w occurrd whl computng ths stat stc. Its valu s thrfor st to syst m mssng. Classfcaton Obsrvd Irs Stosa Irs Vrscolour Irs Vrgnca Ovrall Prc ntag Pr dctd I rs Prcnt Irs Stosa Vrscolour Irs Vrgnca C orrct ,0 % ,0 % ,0 % 33,3 % 33,3 % 33,3 % 98,7 % Fgura 3 Saída da rgrssão logístca poltômca no softwar SPSS 0.0 para o xmplo Fshr Irs Data As duas funçõs logt stmadas foram as sgunts: gx 30, 94, 670x 4, 474x 35, x3 43, 07x4 (Stosa) gx 4, 638, 465x 6, 68x 9, 49x3 8, 86x4 (Vrscolor). Consdrando uma obsrvação x =[4 ; 3,5 ; 4 ; ], obtém-s as sgunts probabldads: P(Y P(Y P(Y y x ) 0 y y x ) 0 83, x ) 069 3, nss caso, uma flor com tas caractrístcas sra classfcada como Írs Vrscolor porqu a maor probabldad stá assocada à class y. 5 Consdraçõs fnas A rgrssão logístca poltômca consst d uma podrosa frramnta para análs d varávs qualtatvas nomnas, aprsntando algumas caractrístcas bastant ntrssants dsjávs m técncas d modlagm statístca. A prmra 84 ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun. 003

9 caractrístca rfr-s ao fato da rgrssão logístca não fazr suposçõs sobr o comportamnto probablístco das varávs ndpndnts. A sgunda consst da possbldad d stmação drta da probabldad d uma obsrvação prtncr a dtrmna class. Por fm, é possívl tstar a sgnfcânca d um grand númro d varávs ndpndnts, assm, lgr as varávs qu contrbum mas para a sparabldad ntr as classs. Como m todas técncas statístcas, também há problmas na rgrssão logístca poltômca, conform s pod obsrvar no tm 4.. Um dos prncpas problmas s dá m casos d sparabldad complta ntr as classs, o qu nvablza uma solução únca nas quaçõs d vrossmlhança. Sgundo Hosmr Lmshow (989) ss problma ocorr prncpalmnt com amostras pqunas acompanhadas d um grand númro d varávs ndpndnts, sndo muto mprovávl havr sparação complta m modlos stmados a partr d amostras substancas. Uma forma smpls d dntfcar o problma é vrfcar s há prsnça d rros padrão xagradamnt grands nas stmatvas. Outro problma qu ocorr frqüntmnt é chamado d colnardad s rfr à prsnça d corrlação ntr as varávs ndpndnts. A colnardad é faclmnt dntfcada numa matrz d corrlação. Uma solução fcnt para o problma é scolhr apnas uma varávl quando houvr um par d varávs altamnt corrlaconadas. A prsnça d colnardad também ocasona rros-padrão grands. No tm 4. os dos problmas mnconados foram dntfcados, ralmnt, os rros padrão das stmatvas, spcalmnt para a class Írs Stosa, foram muto xagrados. Prcb-s qu, msmo com a ocorrênca dos problmas, o modlo aprsntou boa habldad prdtva. Não há como rsolvr o problma da sparabldad complta ntr as classs, mas o problma da colnardad sra faclmnt rsolvdo com a xclusão d uma ou duas varávs. No tm 4. tm-s um xmplo bm-comportado ond não ocorrram problmas, portanto, toda part nfrncal pod sr aprovtada. Como últma consdração, sugr-s qu a rgrssão logístca sja utlzada smpr qu houvr ncssdad d ntndr algum fnômno ond a varávl ndpndnt é do nívl nomnal. No caso d ocorrênca d problmas o psqusador pod optar por técncas mas smpls, caso não haja como rsolvê-los, porqu a part nfrncal srá ncssaramnt sacrfcada. S o ntrss for únco xclusvamnt d dscrmnação ntr classs, a amostra pod sr dvdda m duas parts: uma para stmação outra para valdação. Msmo havndo problmas numércos o modlo pod sr rspaldado plos rsultados da amostra d valdação. Rfrêncas bblográfcas AEBERHARD, S; COOMANS, D. DE VEL, O. (994) Comparatv Analyss of Statstcal Pattrn Rcognton Mthods n Hgh Dmnsonal Sttngs. Pattrn Rcognton. Vol. 7, No. 8, p ALLISON, P. D. (999) Logstc Rgrsson usng th SAS Systm: Thory and Applcaton. Cary, NC: SAS Insttut Inc. ANDERSON, J. A. (98) Logstc Dscrmnaton. In Handbook of Statstcs (Vol. ) P. R. Krshnaah and L. Kanal (Eds.) Amstrdam: North- Holland, p BITTENCOURT, H. R. CLARKE, R.T. (00) Us of Logstc Dscrmnaton to Classfy Rmotly-Snsd -Dgtal Imags. In.: TH PORTUGUESE CONFERENCE ON PATTERN RECOGNITION. Procdngs... Avro, Portugal: Assocação Portugusa d Rconhcmnto d Padrõs. BULL, S. and DONNER, A. (987) Th ffcncy of multnomal logstc rgrsson compard wth multpl group ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun

10 dscrmnant analyss. Journal of th Amrcan Satstcal Assocaton. vol. 8, p. 8-. COX, D.R. and SNELL, E. J. (989). Th Analyss of Bnary Data. Scond Edton. London: Chapman and Hall. DAY, N. and KERRIDGE, D. (967) A gnral maxmum lklhood dscrmnant. Bomtrcs, vol. 3, p FISHER, R. A. (936) Th us of multpl masurs n taxonomc problms. Annals Eugnca, vol. 7(II), p FORINA, M. LEARD, R. ARMANINO C. LAUTER, S. (988) Parvus an xtndbl packag for data xploraton, classfcaton and corrlaton. Insttut of Pharmacutcal and Food Analyss and Tchnologs, Gnoa Italy. HOSMER, D. and LEMESHOW, S.. (989) Appld Logstc Rgrsson. Nw York: John Wly & Sons. KRZANOWSKY, W. J. (988) Prncpls of Multvarat Analyss. Oxford: Clarndon Prss. McLACHLAN, G. (99) Dscrmnant Analyss and Statstcal Pattrn Rcognton. Nw York: John Wly & Sons. NORUSIS, M. J. and SPSS Inc. (999) SPSS Rgrsson Modls 0.0. Chcago, IL: SPSS Inc. TRUETT, J. CORNFIELD, J. and KANNEL, W. (967) A multvarat analyss of th rsk of coronary hart dsas n Framnghan. Journal of Chronc Dsass. v. 0, p WALKER, S. H. and DUNCAN, D. B. (967) Estmaton of th probablty of an vnt as a functon of svral ndpndnt varabls. Bomtrka vol. 54, p ACTA SCIENTIAE v.5 n. jan./jun. 003