Estatístca Descrtva Exercíco 1. Caderno de Exercícos Resolvdos A fgura segunte representa, através de um polígono ntegral, a dstrbução do rendmento nas famílas dos alunos de duas turmas. 1,,75 Turma B Dstrbução do rendmento Frequêncas relatvas acumuladas,6,84,72turma A 1,,5,25,26,34,,6,, 1 2 3 4 5 6 Contos/mês Calcule o índce de Gn correspondente à turma A. Classes Pm f f*pm F t T F - T -1 5,6 3,6,113,113,487 1-2 15,28 42,34,1579,1692,178 2-3 25,38 95,72,3571,5263,1937 3-6 45,28 126 1,,4737 1,, Total (méda artm.) 266 n 1 = 1 F = n 1 = 1 n 1 = 1 1,12,4132 ( F T) = F,369 n 1 = 1 ( F T) = Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 1
Exercíco 2. Consdere o quadro segunte com as frequêncas relatvas smples assocadas às dstrbuções A, B e C. Classe A B C -5 5-1 3 25 2 1-15 5 4 6 15-2 2 35 2 2-25 a) Represente as dstrbuções A, B, e C utlzando um hstograma. Através da análse das fguras, consdera possível ndcar qual a que tem uma moda mas baxa? Em caso afrmatvo, faça-o. Em caso negatvo, explcte que elemento(s) lhe falta(m).,6,5,4,3,2,1 5 1 15 2 25,6,5,4,3,2,1 5 1 15 2 25,6,5,4,3,2,1 5 1 15 2 25 Em rgor quando temos dados classfcados não sabemos qual é, ou se exste a moda. A convenção que se faz é a de admtr que a moda se encontra na classe modal e que a sua localzação dentro desta é proporconal à dferença entre a respectva frequênca e as frequêncas das classes adjacentes, estando a moda mas perto da classe que tem maor frequênca. No caso deste exercíco, verfca-se que a classe modal é a mesma nas três dstrbuções consderadas. Mas é na dstrbução A que a classe anteror apresenta a maor frequênca relatvamente à classe que se segue à classe modal. Desta forma é claro que é essa dstrbução A que apresenta a moda mas baxa. b) Consderando os valores apresentados qual a dstrbução cujo valor para a medana é o mas baxo. Justfque utlzando o polígono ntegral de frequêncas. 1,,75,5 A B C,25, 5 1 15 2 Medana A = Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 2
A partr da análse do polígono ntegral é evdente que é a dstrbução A que tem a medana mas baxa. Quando as dstrbuções não são muto assmétrcas a moda, a medana e a méda estão relatvamente próxmas. Quando são smétrcas as três meddas concdem: é esse o caso da dstrbução C onde a méda está no centro do ntervalo de varação e no centro da classe modal (125). Por outro lado a méda é o centro de gravdade da dstrbução e a smples observação dos hstogramas representados na alínea anteror permtra dzer () que B tem uma méda mas alta do que C (porque o peso da classe com valores mas elevados é muto superor) e que () a méda de C é necessaramente mas alta do que a méda de A. Em dstrbuções regulares como estas a medana está sempre entre a méda e a moda. Isso permtra dzer que também no caso da medana é a dstrbução A que apresenta o valor mas baxo. Nota: Com base nos elementos fornecdos sera possível calcular analtcamente o valor da medana das dversas dstrbuções mas não era sso que se peda no enuncado. c) Compare, apresentando e justfcando todos os cálculos, a dspersão assocada às três dstrbuções. Na prmera (Dstrbução A), a méda é de 12 e o desvo padrão de 41,13; na segunda (Dstrbução B), a méda é de 13 e o desvo padrão de 39,52. A comparação da dspersão das dversas dstrbuções deve fazer-se com base no coefcente de varação. Para sso torna-se necessáro calcular a méda e o desvo padrão da dstrbução C: Classes PM f f. PM f ( PM x) 5-1 75,2 15 5 1-15 125,6 75 15-2 175,2 35 5 Total (méda artm.) 125 Total (varânca) 1 Desvo padrão 31,6228 A B C Desvo-padrão 41,13 39,52 36,62 Méda 12 13 125 Coef. Varação 34,3% 3,4% 29,3% Vê-se assm que a é a dstrbução C que apresenta a menor dspersão tanto em termos absolutos (desvo padrão) como relatvos (coefcente de varação). Exercíco 3. Consdere o quadro segunte onde se resume a estrutura etára da população de uma regão de acordo com os censos de 196 e 21 Escalão de dade 196 21 1 19,7 12 1 25 25,7 24,3 25 4 21,5 21,1 4 6 21,3 23,6 6 8 11,8 19 Total 1 1 2 Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 3
a) Compare as duas dstrbuções no que respeta à méda e medana, e dscuta até que ponto há snas de envelhecmento da população. 196 Classes PM f. X PM ( ) 2 X PM f.( ) 2 X PM F 21 f PM ( ) - 1 5,197,985 26,38 695,944 137,932 1-25 17,5,257 4,4975 13,88 192,6544 49,5122,454 25-4 32,5,215 6,9875-1,12 1,2544,2697,669 4-6 5,213 1,65-18,62 346,744 73,848,882 6-8 7,118 8,26-38,62 1491,544 175,9975 1, Σ 1 31,38 436,726 Classes PM Méda Artm. 31,38 Varânca 436,726 f. f PM ( ) X PM Desvo padrão 2,9 Coef. Varação 66,6% ( ) 2 ( ) 2 X PM X PM,197 f. F - 1 5,12,6 31,81 111,8761 121,4251 1-25 17,5,243 4,2525 19,31 372,8761 9,689,363 25-4 32,5,211 6,8575 4,31 18,5761 3,9196,574 4-6 5,236 11,8-13,19 173,9761 41,584,81 6-8 7,19 13,3-33,19 111,5761 29,2995 1, Total 1 36,81 9,5 2678,885 466,3114 Méda Artm. 36,81 Varânca 466,3114 Cálculo da medana,5 F X = L +.( L L ) g 1 me g 1 g g 1 fg 1 Desvo padrão 21,59 Coef. Varação 58,7%,12 196,5, 456 X = 25 +.(4 25) =28,7 me, 215 21,5,363 X = 25 +.(4 25) =34,74 me,211 A méda e a medana são meddas de localzação de tendênca central, que descrevem a dstrbução de frequêncas. O facto de ambas aumentarem de valor de forma sgnfcatva representa uma deslocação para a dreta da dstrbução de frequêncas que traduz um claro envelhecmento da população. b) Compare a dspersão das duas dstrbuções com base num ndcador de dspersão relatvo. A medda de dspersão relatva mas habtual é o coefcente de varação que relacona o desvo padrão com a méda. A mportânca da dstnção entre dspersão absoluta e relatva está bem lustrada neste exemplo. De facto entre 196 e 21 o desvo padrão das dades Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 4
passa de 2,9 anos para 22,6 anos (NB: é mportante notar que o desvo padrão se expressa nas mesmas undades da varável orgnal). Mas o aumento da dspersão absoluta não é acompanhado pelo aumento da dspersão relatva, porque a méda artmétca (que está no denomnador do coefcente de varação) aumenta mas do que o desvo padrão. Isto é, relatvamente, (ao valor da méda) verfca-se uma dmnução da dspersão das dades: o C.V passa de 67% para 59%. Uma medda alternatva de dspersão relatva é o quocente entre a ampltude do ntervalo nterquartl (AIQ) que é, em s, uma medda de dspersão absoluta e a medana. Os cálculos que a segur se apresentam confrmam as conclusões anterores: aumenta a dspersão absoluta e dmnu a dspersão relatva. Q Q 196 1 21 1, 25,197 = 1 +.(25 1) = 13, 9,257, 25,12 = 1 +.(25 1) = 18, 2,243 Q Q 196 3 21 3,75,669 = 4 +.(6 4) = 47, 61,213, 75,574 = 4 +.(6 4) = 54,92,236 Medda de dspersão absoluta: Ampltude do ntervalo nterquartl (AIQ) AIQ = Q Q = 47,61 13,9 = 34,52 196 196 196 3 1 AIQ = Q Q = 54,92 18,2 = 36,2 21 21 21 3 1 Medda de dspersão relatva: AIQ Medana AIQ X me AIQ X me 196 21 34,52 = = 1, 23 28,7 36,2 = = 1, 6 34,74 c) Elabore um polígono ntegral de frequêncas para as duas dstrbuções e compare a stuação a nível de prmero, segundo e tercero quartl, deduzdos grafcamente. O polígono ntegral de frequêncas é construído com base nas frequêncas acumuladas, que estão na últma coluna dos quadros onde se apresentam os cálculos. A sua grande vantagem é permtr uma estmatva rápda dos quarts (nclundo a medana que é o segundo quartl). Note-se gualmente como a deslocação do polígono para a dreta traduz o envelhecmento da população. Admtndo que a população era colocada por ordem de dades a uma dada percentagem da população em 196 corresponde em 21, uma dade mas avançada. E sto acontece qualquer que seja a percentagem escolhda como referênca: as duas curvas nunca se cruzam. Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 5
1 196,75 21,5,25 1 2 3 4 5 6 7 8 Q 1 196 21 Medana Medana 196 21 Q Q 3 Q 3 1 196 21 d) Elabore o dagrama de extremos e quarts para as duas dstrbuções e comente. Exercíco 4. O quadro segunte apresenta as frequêncas relatvas acumuladas das dades de três grupos de pessoas: A, B e C. A B C 3 4 2 2 3 4 5 7 8 8 5 6 1 1 1 a) Das afrmações seguntes, ndque, justfcando, quas as que são falsas ou verdaderas:. A dstrbução que tem a méda mas baxa é a mesma que tem a moda mas elevada.. A dstrbução que tem a moda mas elevada é a que tem a medana mas elevada. Comecemos por calcular as frequêncas smples e a méda por dstrbução. Lmtes A B C Inferor Superor Pm F f1 Pm * f F f1 Pm * f F f1 Pm*f 3 4 35,2,2 7,2,2 7,3,3 1,5 4 5 45,7,5 22,5,8,6 27,8,5 22,5 5 6 55 1,3 16,5 1,2 11 1,2 11 Méda 46 Méda 45 Méda 44 Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 6
Representemos grafcamente as frequêncas smples. f,7,6,5,4,3,2,1 A B C 3-4 4-5 5-6 3-4 4-5 5-6 3-4 4-5 5-6 Intervalos de Idade Seres1 A afrmação é falsa. A dstrbução que tem a méda mas baxa é a C (44). A partr do gráfco de frequêncas relatvas constata-se que a dstrbução que tem a moda mas elevada é a A (4-5 é a classe modal, na A a moda é puxada pela frequênca relatva para a vznhança do 5). Representemos agora grafcamente as frequêncas acumuladas. 1 F,75,5,25 A B C 3 4 5 6 Idades Constata-se que é a dstrbução A que tem a medana mas elevada. Portanto, a afrmação II é verdadera. relações b) Será correcto dzer que em qualquer dos casos, há pelo menos 5% das pessoas com dade entre 4 e 5 anos? Justfque. É correcto, como se pode ver consultando o quadro com as frequêncas relatvas smples na lnha relatva a 4-5. c) Compare a dspersão relatva das três dstrbuções, sabendo que o desvo padrão é de 7 anos em A e em C. Sendo as médas dferentes, a medda de dspersão a utlzar é o coefcente de varação. Comecemos por calcular o desvo padrão de B. Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 7
Pm F f1 Pm*f Desvos Quadrado dos desvo 3 4 35,2,2 7-1 1 2 4 5 45,8,6 27 5 6 55 1,2 11 1 1 2 Méda 45 Var 4 Desvo Padrão 6,324555 Vrá CV A = 7/46 =,152; CV B = 6,32/45 =,145; CV C = 7/44=,159 maor dspersão em C, menor dspersão em B. Exercíco 5. No quadro segunte apresentam-se o número de transacções efectuadas em cada uma das lojas dos Supermercados XXX, classfcadas por níves de despesa, e o número de empregados exstentes em cada uma delas. Escalão de despesas Número de transacções Loja 1 Loja 2 1 u.m. 29 74 1-2 u.m. 44 78 2-3 u.m. 26 3 3-4 u.m. 9 18 Nºde empregados 2 3 Tratamento: Loja 1 Classes Pm n f f *PM F ( ) 2 f PM x t T - 1 5 29,269 1,343,269 34,829,82,82 1-2 15 44,47 6,111,676,786,373,455 2-3 25 26,241 6,19,917 17,851,367,822 2-4 35 9,83 2,917 1, 28,864,178 1, 18 1, 16,4 82,3 (méda) (varânca) Loja 2 Classes Pm n f f *PM F ( ) 2 f PM x t T - 1 5 74,37,37 1,85 34,99,127,127 1-2 15 78,39,76 5,85,62,41,527 2-3 25 3,15,91 3,75 16,224,257,784 2-4 35 18,9 1, 3,15 37,454,216 1, 2 1, 14,6 87,8 (méda) (varânca) Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 8
Nota: t representa a proporção da despesa total feta pelos clentes da classe de despesa. T representa o total da despesa acumulada até à classe. a) Será possível afrmar que em ambos as lojas, mas de 7% das transacções têm um valor nferor a 2 u.m.? A análse das frequêncas relatvas acumuladas mostra que só há 67,6% de transacções abaxo de 2 u.m. na loja 1: A afrmação não é verdadera. b) Represente grafcamente o polígono ntegral de frequêncas de cada uma das dstrbuções e, com base no mesmo, explcte a localzação dos quarts. 1,91,917 1, 1,,75 Loja 2,76,676,5,37 Loja 1,25,269 1 2 3 4 Q1 (Loja 2) Q1 (Loja 1) Q3 (Loja 2) Q3 (Loja 1) c) Determne o valor médo por transacção e o valor médo das transacções por empregado, em cada uma das lojas. Valor médo por transacção por loja (ver quadro): Loja 1: 16,38 um. Loja 2: 14,6 um. Valor médo das transacções por empregado Loja 1: 177 = 88,5 um 2 Loja 2: 292 = 97,3 um 3 d) Calcule o desvo padrão da dstrbução das transacções na loja 2 sabendo que o valor correspondente para a outra loja é de 9,1 u.m.. Em qual das duas dstrbuções é mas elevada a dspersão? Justfque. ( ) n PM x s = = f PM x N 2 ( ) Pm n f F f*(pm-xbarra)^2 5 74,37,37 34,99 15 78,39,76,62 25 3,15,91 16,224 35 18,9 1, 37,454 Total 2 1, s 2 =87,84 2 Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 9
S = 87,84 = 9,37 um A dspersão em termos absolutos é mas elevada na loja 2. Como a méda das transacções é mas baxa na loja 2 é também aqu que a dspersão relatva é maor (o respectvo coefcente de varação é maor na loja 2). e) Represente grafcamente a concentração das transacções na loja 2, utlzando uma curva de Lorenz. Classes t T F 1.1267.1267.37 1 2.47.5274.76 2 3.2568.7842.91 3-4.2158 1. 1. T 1,9 (.78,.91),8,7,6,5 (.53,.76),4,3,2 (,37;,13),1,2,4,6,8 1 F Exercíco 6. A empresa Lanpor procedeu a um estudo sobre a dstrbução etára da sua população femnna e masculna do qual resultou o segunte quadro resumo: Grupo Etáro 25-3 3-35 35-4 4-45 45-5 5-55 55-6 > 6 Mulheres (%) 15 18 2 2 1 1 7 Homens (%) 1 15 12 13 25 15 1 a) Represente o polígono ntegral de frequêncas de cada uma das dstrbuções. Com base nesta representação gráfca calcule aproxmadamente as meddas de localzação e dspersão que lhe permtem comparar as populações femnna e masculna. Comente sucntamente os resultados que obteve. Para representar o polígono ntegral de frequêncas precsamos de uma tabela de frequêncas para homens e mulheres com acumulação. Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 1
QUADRO DE FREQUÊNCIAS Classes Mulheres Homens f F f F 25-3,15,15,1,1 3-35,18,33,15,25 35-4,2,53,12,37 4-45,2,73,13,5 45-5,1,83,25,75 5-55,1,93,15,9 55-6,7 1,1 1 1 1 Utlzando os lmtes dos ntervalos de classe e os valores para a frequênca acumulada, chegamos ao polígono ntegral de frequêncas. Polígono Integral de Frequêncas Frequênca Relatva Acumulada 1,75,5,25 2 4 6 8 Idade Mulheres Homens Com base neste polígono, as meddas de localzação e dspersão que podem ser aproxmadamente calculadas são as relaconadas com os quarts. Mulheres: Como se pode deduzr a partr do quadro de frequêncas, a classe medana (prmera classe com frequênca acumulada maor ou gual a 5%) é a classe 35-4 com 53% de frequênca acumulada. Utlzando a expressão para a medana constante do formuláro, vrá: 5 33 Medana = 35 + (4 35) = 35 + 4,25 = 39,25 2 Idêntcas expressões podem ser utlzadas para os quarts com a necessára adaptação relatvamente à classe em que os mesmos se stuam. 25 15 75 73 Q 1 = 3 + (35 3) = 32,7 e Q 3 = 45 + (5 45) = 46 18 1 A partr destes valores é possível determnar uma medda de dspersão que leva em conta 5% das observações: a ampltude nterquartl. AIQ = Q3-Q1=46-32,7=13,3 Homens: Os valores constantes no quadro de frequêncas relatvamente aos homens permtem a determnação das meddas anterores com mas facldade, pos não necesstam de nterpolação. Vrá medatamente Medana = 45, Q1= 35, Q3= 5 e AIQ = 15 Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 11
Quer o quadro apresentado, quer o gráfco relatvo às frequêncas acumuladas permtem constatar que a população femnna é sensvelmente mas jovem que a masculna. O polígono ntegral de frequêncas permte anda vsualzar que essa dferença cresce até à zona da medana começando a partr daí a reduzr-se. Tal sgnfca que, em todos os escalões de dade até sensvelmente os 4 anos, a frequênca relatva de mulheres é superor à de homens. É possível anda constatar uma maor dspersão (medda pelo AIQ) na população masculna. Tal é vsível no polígono ntegral de frequêncas onde o crescmento da população femnna entre o 1º e o 3º quartl é pratcamente lnear ao passo que o da população masculna descreve uma curva que atnge um máxmo sensvelmente junto à medana. b) Justfque e comente a segunte afrmação: Metade da população femnna da empresa tem uma dade nferor à méda de dades dessa população. Há que determnar a medana (metade da população femnna) e a méda da mesma população. A medana já é conhecda da alínea anteror: 39,25. A méda de dades da população femnna pode ser determnada a partr das frequêncas smples. Para tal é precso determnar o ponto médo de cada ntervalo (Pm) e multplcá-lo pelo valor da frequênca relatva smples. A expressão utlzada é a que consta do formuláro. DETERMINAÇÃO DA MÉDIA DA POPULAÇÃO FEMININA Classes f PM PM*f 25-3,15 27,5 4,125 3-35,18 32,5 5,85 35-4,2 37,5 7,5 4-45,2 42,5 8,5 45-5,1 47,5 4,75 5-55,1 52,5 5,25 55-6,7 57,5 4,25 1 4, Assm a afrmação é verdadera, pos o valor da medana é nferor ao da méda de dades na população femnna. Mas uma vez sso chama a atenção para o peso que, nessa população (e no total da empresa, se levarmos em conta o que se constatou na alínea anteror), assumem os escalões mas jovens. O valor da méda mas elevado revela entretanto a possbldade de algumas pessoas exstrem com uma dade bastante avançada o que puxa a méda para a dreta da medana sugerndo um envezamento da dstrbução à dreta. Tal é vsível no polígono de frequêncas segunte. Polígono de Frequêncas Frequênca relatva smples,3,2,1 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 7 Idade Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 12
Exercíco 7. No âmbto de um estudo sobre o rendmento dsponível mensal de duas populações, A e B, foram extraídas amostras de 1 elementos de cada uma delas. Os resultados em mlhares de euros foram os seguntes. Rendmento dsponível mensal (mlhares de euros) A 12 4 24 45 68 32 68 23 34 45 B 14 61 24 68 41 62 14 67 51 7 Fonte: Sstemas de Informação Estatístca dos países A e B a) Cre uma tabela de frequêncas relatvamente a cada um dos casos, depos de classfcar os dados utlzando os ntervalos 1-3, 3-5 e 5-7. b) Consderando a méda artmétca como ndcador explcte qual a população com maor rendmento. Para determnar a Méda, basta multplcar o ponto médo de cada ntervalo pela respectva frequênca relatva smples e somar. Vrá: A Méda artmétca permte-nos conclur que a população B tem maor Rendmento Dsponível que a população A. c) Represente grafcamente a determnação da Moda e da Medana e dga, exclusvamente pelo exame das fguras, se as conclusões tomadas a partr das mesmas corroboram a que pode trar da alínea anteror. Determnação gráfca da Moda. Utlza a representação das frequêncas relatvas e a proxmdade entre estas a nível da da classe modal para as adjacentes. Os dos gráfcos que se seguem mostram que a Moda em A está perto de 4 e em B está perto de 6. Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 13
Representação gráfca da Medana. Utlza a representação das frequêncas acumuladas. Nos gráfcos seguntes podemos constatar que também aqu o valor é superor para B, sensvelmente 53, enquanto o de A não atnge 4. Assm qualquer das meddas de localzação permte conclur sobre a exstênca de um menor nível de rendmento dsponível em A. d) Tendo em consderação que a varânca de B é de 324, utlze uma medda adequada para comparar a dspersão das duas dstrbuções. Sendo as médas dferentes, o coefcente de varação ( =Desvo Padrão / Méda) é a medda de dspersão adequada. O quadro segunte resume o cálculo do Coefcente de varação para A a partr dos resultados anterores e para B a partr da Varânca dada e da méda já calculada. É possível conclur que a dspersão é superor em B e) Verfque se a conclusão a que chegou na alínea anteror é corroborada pela análse comparada dos dagramas de extremos e quarts ( caxa de bgodes ) destas dstrbuções. Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 14
Para apresentarmos o dagrama de extremos e quarts precsamos de determnar os quarts. Vamos consderar o mínmo 1 e o máxmo 7. A determnação dos quarts é operada através da respectva expressão do glossáro. Vndo: A partr dos valores encontrados é possível determnar o dagrama de extremos e quarts o qual nos permte conclur que, tal como na alínea anteror, a dspersão, agora vsualzada na ampltude nter-quartl, é superor em B. f) Compare a concentração do rendmento nas duas amostras através da respectva representação gráfca. A representação gráfca da concentração faz-se através da Curva de Lorenz que carece dos valores dos F e dos T. O gráfco permte ver que a concentração é dferente nos dos países. Assm, ao nível dos 4% mas pobres, o rendmento dsponível de A é superor, o que se nverte para os 4% mas rcos. Isto sugere uma concentração em B muto mas elevada o que podera ser determnada pelo índce de Gn. Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 15
g) Se todos os elementos deste grupo tveram um acréscmo no rendmento dsponível mensal de 2 euros, quas serão as consequêncas sobre a medda da concentração do rendmento no grupo B? A concentração dmnura pos um acréscmo gual para todos em termos absolutos alterara a proporção da dstrbução do rendmento no total da população, favorecendo os que detêm menores rendmentos. Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 16
Índces Smples Exercíco 1 Suponha que lhe é dada a segunte nformação sobre a evolução da quantdade vendda do produto X por um estabelecmento comercal nos prmeros dez meses do ano de 26, medda em toneladas do produto X. ton X jan fev mar abr ma jun jul ago set out 2245,3 2358, 2827, 2753,2 3179,1 3561, 494,6 4586,2 4591, 4659,4 a) Calcule, para cada mês desta sére, a taxa de varação, relatvamente ao mês anteror, da quantdade vendda do bem X por este estabelecmento. jan fev mar abr ma jun jul ago set out Taxa anual (%) 5, 19,9-2,6 15,5 12, 15, 12,,1 1,5 b) Tomando por base os valores calculados na alínea anteror, construa uma sére de índces de base móvel relatvamente a esta varável para o período em análse. jan fev mar abr ma jun jul ago set out Índce base móvel 15, 119,9 97,4 115,5 112, 115, 112, 1,1 11,5 c) Construa, com base nos valores do quadro, uma sére de índces de base fxa em Janero de 26. jan fev mar abr ma jun jul ago set out índce base fxa (Jan=1) 1, 15, 125,9 122,6 141,6 158,6 182,4 24,3 24,5 27,5 d) Acha que podera ter obtdo as taxas de varação calculadas na alínea a) e obtdo a sére de base móvel calculada em b) com base na sére calculada em c)? Justfque e enunce uma propredade que respete ao resultado obtdo. Sm. Calculando o índce de base móvel a partr dos índces de base fxa a crculardade dos índces e) Tomando por base a sére calculada em c), calcule uma nova sére de índces de base fxa em Março de 26. Dga o que entende por mudança de base de um índce e enunce, em termos sntétcos e de modo formalzado, a regra que descreve essa mudança. jan fev mar abr ma jun jul ago set out índce base fxa (Mar=1) 79,4 83,4 1, 97,4 112,5 126, 144,8 162,2 162,4 164,8 A mudança de base: t, b, = tb, f) Tomando por base a sére calculada em b), calcule a sére de índces de base fxa em Março de 26. Porque é que obtém os mesmos valores que obteve em e)? Dga o que Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 17
entende por crculardade dos índces e represente, de modo formalzado, esta propredade. = Sm encadeando os índces. 1, 2,1 2, Exercíco 2 Consdere a evolução das vendas do produto X do exercíco 1. e admta que sabe que o preço deste bem, em Janero de 26, era de 12 /ton. X. a) Calcule uma sére do valor das vendas deste produto admtndo que o seu preço se manteve nalterado ao longo do ano de 26. jan fev mar abr ma jun jul ago set out Valor vendas 269436 28296 33924 33384 381492 42732 491352 55344 5592 559128 b) Construa uma sére de índces de base fxa em Janero de 26 relatva ao valor das vendas deste produto. jan fev mar abr ma jun jul ago set out Índce de valor 1, 15, 125,9 122,6 141,6 158,6 182,4 24,3 24,5 27,5 c) Compare a sére construída em c) com a que obteve na alínea c) do exercíco anteror. Interprete o resultado dessa comparação à luz das propredades conhecdas dos índces. É gual pos como os preços são sempre guas, a únca alteração que ocorreu nos valores das vendas fo a varação das quantdades. Admta agora que conhece a evolução dos preços deste produto ao longo do ano, que pode ser bem descrta pela segunte sére, de base fxa em Janero de 26: jan fev mar abr ma jun jul ago set out 1, 11,2 12,2 15,1 17,4 11,2 112,6 118,4 11,4 112,5 d) Construa uma nova sére do valor das vendas deste produto. jan fev mar abr ma jun jul ago set out Valor vendas 269436, 2863555,2 346732,8 3472335,8 497224,1 47966,4 5532623,5 651673, 682156,8 62919, e) Construa uma nova sére de índces, de base fxa em Janero de 26, relatva ao valor das vendas deste produto tendo em conta a evolução verfcada dos preços. jan fev mar abr ma jun jul ago set out Índce de valor 1, 16,3 128,7 128,9 152,1 174,8 25,3 241,8 225,7 233,5 f) Acha que pode obter a sére do índce do valor das vendas obtda em e) a partr da sére do índce do volume de vendas calculado no exercíco 2.c) e da sére dos índces de preços apresentada acma? Sm. Multplcando ambos Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 18
Índces Agregatvos Exercíco 1. Em 22, a empresa Sol da Era atngu o valor de vendas 271.364 em mlhares de euros. Sabe-se que o índce de preços com base fxa em 22 e o crescmento das vendas a preços constantes tveram os valores seguntes: Índce de preços Base: 22= 1 Crescmento das vendas a preços constantes 22 23 24 25 1, 14,4 18,3 111,8 --,57% -,67%,68% a) Determne o crescmento dos preços em 23, 24 e 25. O crescmento dos preços em cada um dos anos pode ser obtdo a partr do índce de base móvel: 22 23 24 25 Índce 1, 1,44 1,83 1, 37 1, 44 = 1,118 =1,323 1,83 Varação % 4,4% 3,7% 3,2% b) Determne o valor das vendas a preços constantes de 25. Alternatva 1: Para se obter a sére a preços constantes de 25 é precso: 1º - Calcular as quantdades venddas em cada ano, se os preços se mantvessem constantes,.e., a sére a preços constantes de 22. 2º - Inflaconar cada uma das quantdades venddas em cada ano para obter o valor que teram se os preços pratcados fossem os que vgoraram em 25. [1] Valores das vendas a preços constantes de 22 [2] Índce de preços de 25 (base 22) [3]=[1]*[2] Valores das vendas a preços constantes de 25 22 23 24 25 271 364 271364*1.57= 27291,77*(1-,67) 271 82,27*1,68= 27291,77 =27182,27 =272925.63 1,118 1,118 1,118 1,118 33 384,95 35 114,24 33 69,98 35 13,85 c) Determne o valor das vendas em 23, 24 e 25 a preços correntes. As vendas a preços correntes obtém-se multplcando cada valor a preços constantes de 22 (lnha 1 do quadro anteror) pelo índce de preços com base fxa nesse ano. 22 23 24 25 Valores das vendas a preços correntes 271 364 27291,77*1.44= 284 919 27182,27*1,83= =293 582 272925,63*1,118= =35 13,85 Nota: o valor de 25 é gual pos os preços de referênca são os mesmos. d) Determne a taxa méda de crescmento dos preços entre 22 e 25. 3 Taxa méda de crescmento dos preços: r 25,22 = 1,118 1 =, 3788 ; 3,8% Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 19
Exercíco 2. O quadro segunte apresenta as estruturas de consumo de dos tpos de famílas e os índces de preços, com base em 2, dos grandes grupos de produtos que ntegram o índce de preços no consumdor. Estruturas de consumo Índces de preços (2 = 1) Famíla A Famíla B Dez 24 Dez 25 Almentação,25,35 15, 16,9 Transportes,1,2 11,3 115,2 Outros,65,45 17,1 19,6 a) Dga, quantfcando, qual dos tpos de famílas suportou um maor aumento do respectvo custo de vda durante o ano de 25. Cálculo do índce de varação dos preços em 25: 1,69 Almentação 1,18 1, 5 = 1,152 ; Transportes: 1,44 1,13 = 1,96 Outros: 1,23 1,71 = Sendo estes os índces elementares de preços de cada um dos grupos de produtos o índce sntétco para cada tpo de famílas é uma méda ponderada em que os ponderadores são os respectvos coefcentes orçamentas. Assm : Índce de custo de vda para as Famílas A: (,25*1,18)+(,1*1,4)+(,65*1,23) = 1,241=12,41 Índce de custo de vda para as Famílas B: (,35*1,18)+(,2*1,4)+(,45*1,23) = 1,257=12,57 Conclusão: As Famílas B tveram um aumento maor no respectvo custo de vda. b) Admtndo que 4% das famílas do país são famílas A, sendo as restantes famílas B, qual fo o valor da nflação em 25? O índce geral de nflação nestas condções é uma méda ponderada dos dos grupos de famílas:,4 * 1,241 +,6 * 1,257 = 1,251=12,51 c) Qual deverá ser o índce de preços da almentação em Dezembro de 26 se o rtmo de crescmento dos respectvos preços for o que se verfcou em méda desde 2? Taxa méda de crescmento dos preços da almentação desde 2: 5 1,69 1 =,134 (1,34%) Se o índce de preços da almentação crescer à mesma taxa durante 26 deverá ser, em Dezembro de 26: 1,69 * 1,134 = 1,833=18,33 Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 2
Exercíco 3. Consdere o segunte quadro relatvo ao comportamento das exportações da empresa no período 1995-24 Ano 1995 1996 1997 1998 1999 2 21 22 23 24 Índce dos preços mplíctos nas exportações 1, 99,4 12,6 13,8 14, 19,4 11,7 111, 18,1 19,4 (1995=1) Exportações a preços constantes de 2 (Mlhares euros) 26476,6 2799,2 29687,3 32228,5 33192,9 35951,4 36716,5 37284,6 38952 4735,7 a) Determne as taxas anuas de crescmentos dos preços mplíctos nas exportações Obtém-se pelo cálculo da taxa de varação do índce dos preços 1996 1997 1998 1999 2 21 22 23 24 Taxa -,6 3,2 1,2,2 5,2 1,2,3-2,6 1,2 b) Determne a taxa méda de crescmento entre 1995 e 24 dos preços mplíctos das exportações. Verfque e explcte razões para a taxa méda de crescmento ser dferente relatvamente à méda das taxas. 9 1,94 1 =,1 = 1%. É gual à méda geométrca das taxas mas não à méda artmétca. c) Determne a taxa méda de crescmento das exportações a preços constantes no período. 4735,7 9 1,49 4,9% 26476,6 = = d) Faça uma breve reflexão sobre o crescmento do valor a preços correntes das exportações no período, apresentando todos os cálculos que julgue necessáros. e) Determne para todos os anos o valor das exportações a preços constantes de 24. Obtém-se nflaconando os valores a preços de 2 pelo índce de preços entre 2 e 24. Neste caso os valores são guas dado que a os preços das exportações em 2 são guas aos de 24 (mesmo valor do índce). Ano 1995 1996 1997 1998 1999 2 21 22 23 24 Exportações a preços constantes de 24 (Mlhares euros) 26476,6 2799,2 29687,3 32228,5 33192,9 35951,4 36716,5 37284,6 38952 4735,7 Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 21
Exercíco 4. Consdere a nformação apresentada no Quadro segunte relatva à economa Portuguesa. Quadro1. Evolução da FBCF em Portugal Undade 1995 1996 1997 1998 1999 2 21 22 23 24 25 FBCF (Preços correntes) Mlhões de euros 19159 2841 24692 28244 3617 3313 34218 33841 3951 31933 31766 FBCF (taxa de varação anual dos preços) Fonte: INE % 3, 3,7 2,4 2,1 4,5 1,9 2,1 1,8 2,3 2,5 a) Construa o índce de base fxa em 1995 da FBCF a preços correntes. O índce de base fxa em 1995 da FBCF a preços correntes obtém-se dvdndo todos os valores da FBCF a preços correntes pelo valor de 1995. Para 1996, o valor é dado por 2841/19159=18,78 Índce de base fxa FBCF a preços correntes (1995=1) 1995 1996 1996 1998 1997 2 1998 22 1999 24 25 1, 18,8 128,9 147,4 159,8 172,8 178,6 176,6 161,5 166,7 165,8 b) Construa o índce de base fxa em 2 da evolução dos preços da FBCF. Para obter o índce de base fxa em 2 da evolução dos preços podemos, por exemplo, segur os três seguntes passos: 1) construr o índce de base móvel gual a 1+a taxa de varação anual 2) construr o índce de base fxa em 1995 utlzar a propredade da crculardade = * ) ( 2, 1, 2,1 3) mudar a base do índce para 2, dvdndo todos os valores obtdos em 2 pelo valor de 2. 1995 1996 1997 1998 1999 2 21 22 23 24 25 índce de base móvel 13 13,7 12,4 12,1 14,5 11,9 12,1 11,8 12,3 12,5 índce de base fxa em 1995 1, 13, 16,81 19,37 111,67 116,7 118,91 121,41 123,6 126,44 129,6 índce de base fxa 2 85,69 88,26 91,53 93,73 95,69 1, 11,9 14,4 15,91 18,35 111,5 c) Calcule a taxa anual méda de crescmento dos preços da FBCF entre 1995 e 25. A taxa méda de crescmento dos preços pode ser obtda como a méda geométrca das taxas anuas de crescmento dos preços dadas no enuncado. 1 1995,25 ( (1,3) * (1,37) *(1,24) *(1,21) *(1,45) * (1,19) * (1,21) * (1,18) * (1,23) *(1,25) 1) *1 r = + + + + + + + + + + =2,63% Análse da Informação Económca e Empresaral Pág. 22