Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Matemática e Engenharia Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Exercícios Lista 01 -Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 1.Dadas as matrizes A, B, C, D e E, determine: a)2a+3c 2 + 3 + b) AxB x, como o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, é possível fazer a multiplicação, multiplicando cada linha de A por todas as colunas de B. c) AxD x, como o número de colunas de A é igual ao número de linhas de D, é possível fazer a multiplicação, multiplicando cada linha de A pela coluna de D. d) CxE x, como o número de colunas de C é diferente ao número de linhas de E, não é possível fazer a multiplicação. e)bxd x, como o número de colunas de B é igual ao número de linhas de D, é possível fazer a multiplicação, multiplicando cada linha de B pela coluna de D. f)(-e)x, a linha vira coluna) x, como o número de colunas de -E é igual ao número de linhas de, é possível fazer a multiplicação, multiplicando cada linha de -E pelas colunas de.
g) x, como o número de colunas de é igual ao número de linhas de, é possível fazer a multiplicação, multiplicando a linha de pelas colunas de. h) Primeiro vamos fazer, x Agora vamos fazer (AxB), x Agora vamos fazer x x 2. Determinar matriz X de ordem 2 x 3, definida para cada caso como segue: a) A, xij aij para i j e xij 1 para i j, b) B, xij 0 para i j e xij bij para i j, c) C, xij cij para i j e xij cij para i < j, d) D, xij 0 para i j e xij dij para i > j,
e) E, xij dij para i 1 e xij eij para i 2, 3. Quais os valores de x e y que satisfazem a equação matricial: + x+3y4, -2+75, 4+15 e 2x-y1, então: x+3y4 2x-y1 x4-3y, substitui o valor de x na segunda: 2.(4-3y)-y1 8-6y-y1-7y-7 y1 substitui o valor de y: x4-3y x4-3.(1) x1 resposta x1 e y1 4. Dada a matriz M, determinar o valor de x tal que M + x. M Primeiro vamos calcular, pela propriedade de matrizes sabemos que Mx I, x, resolvendo a equação: -1. a+0.c1 -a1 a-1-1. b+0. d0 -b0 b0 0. a+1.c0 c0 c0 0. b+1. d1 d1 d1 Então Se M + x. M, então: + x. -2-x, 00, 00, 2x, portanto x2
5. Dada a matriz A, obter a matriz X 2A + x2. + x + x 6. Seja A, considerando que A, determinar o valor de x e em seguida. Se A, então: 22 2x-1 2x-1 00 Então ; 2x-1-2x +10 resolvendo esta equação temos x1 Temos A, A. I x 2.a+1.c1 2a+c1 2.b+1.d0 2b+d0 1.a+0.c0 a0 1.b+0.d1 b1 Substituindo o valor de a e b achamos c e d, 2a+c1 2b+d0 c1 d-2 Então 7. Calcular x + y + z sabendo que: 2. +3. 4. + 88, 164x, 88, 44, 84y, 44z. 4x16 x4, 84y y2, 44z z1 Então x+y+z4+2+17
8. Resolver os sistemas de equações, nas variáveis x, y, z, pelos métodos da regra de Cramer e de triangularização de Gauss: a) 2x-y+3z11 pelo método de Cramer temos: x, y e z x+y+z6 3x+y+z4 Primeiro vamos achar a determinante, -8 Agora, DX 8, Dy -16, Dz 5 Então temos: x -1, y 2, z 5 Pelo método de Gauss temos: 2x-y+3z11 temos que zerar este triângulo, operando com as linhas, X+y+ z 6 3x+y+z 4 Substituir L2 por L1-2.L2 2x-y+3z11-3y+z -1 3x+y+z4 Substituir L3 por 3.L1-2.L3 2x-y+3z11-3y+z -1-5y+7z25 Substituir nova L3 por 5.NovaL2-3.novaL3 2x-y+3z11-3y+z -1-16z -80 Temos: 16z-80 z5-3y+z-1-3y+5-1 y2 2x-y+3z11 2x-2+1511 x-1
b) x+y+z3 pelo método de Cramer temos:x, y e z 2x-y+z11 x+y-2z-7 Primeiro vamos achar a determinante, 9 Agora, DX 22, Dy -25, Dz 30 Então temos: x, y, z Pelo método de Gauss temos: x+y+z3 2x -y+z11 temos que zerar este triângulo, operando com as linhas, x+y -2z-7 Substituir L2 por -2.L1+L2 x+y+z3-3y-z5 x+y-2z-7 Substituir L3 por L1+L3 x+y+z3-3y-z5-3z-10 Temos: -3z-10 z10/3-3y-z5-3y-10/35 y-25/9 x+y+z3 x-25/9+10/33 x22/9
c) x+2y+z4 2x-3y+4z3 3x-y+z3 pelo método de Cramer temos: x, y e z Primeiro vamos achar a determinante, 28 Agora, DX 28, Dy 28, Dz 28 Então temos: x, y, z Pelo método de Gauss temos: x+2y+z4 2x -3y+4z3 temos que zerar este triângulo, operando com as linhas, 3x-y +z3 Substituir L2 por -2.L1+L2 x+2y+z4-7y+2z-5 3x-y+z3 Substituir L3 por -3.L1+L3 x+2y+z4-7y+2z-5-7y-2z-9 Substituir nova L3 por nova L2+nova L3 x+2y+z4-7y+2z-5-14y-14 Temos: -14y-14 y1-7y+2z-5-7.1+2z-5 z1 x+2y+z4 x+2.1+14 x1
9. Resolver os sistemas lineares, utilizando o método de triangularização de Gauss (escalonamento): a) x + y + 2z t 12 x + 2y + z + t 7 2x + y + z 2t 23 2x y z + 4t 3 Temos que zerar este triângulo, operando com as linhas, Substituir L2 por L1-L2 x + y + 2z t 12 -y+ z - 2t 5 2x + y + z 2t 23 2x y z + 4t 3 Substituir L3 por -2.L1+L3 x + y + 2z t 12 -y+ z - 2t 5 -y -3z -1 2x y z + 4t 3 Substituir L4 por -2.L1+L4 x + y + 2z t 12 -y+ z - 2t 5 -y -3z -1-3y -5z +6t -21 Substituir nova L3 por nova L2+nova L3 x + y + 2z t 12 -y+ z - 2t 5-4z +2t -6-3y -5z +6t -21
Substituir nova L4 por -3.novaL2+novaL4 x + y + 2z t 12 -y+ z - 2t 5-4z +2t -6-8z +12t -36 Substituir nova L4 por -8.novaL3+4.novaL4 x + y + 2z t 12 -y+ z - 2t 5-4z +2t -6 32t -96 Temos: 32t -96-4z+ 2t-6 -y+z-2t5 x+y+2z-t12 t-3-4z-6-6 -y+0+65 x+1+0+312 z 0 y1 x8 b) a + b + c + d 0 a + b + c d 4 a + b c + d -4 a b + c + d 2 Temos que zerar este triângulo, operando com as linhas, Substituir L2 por L1-L2 a + b + c + d 0 2 d -4 a + b c + d -4 a b + c + d 2 Substituir L3 por L1-L3 a + b + c + d 0 2 d -4 2 c 4 a b + c + d 2
Substituir L4 por L1-L4 a + b + c + d 0 2 d -4 2 c 4 2 b - 2 2b-2 2c4 2d-4 a+b+c+d0 b-1 c2 d-2 a-1+2-20 a1 10. Considerando as matrizes abaixo, determinar, e, usando o método de Gauss/Jordan: a) substituímos L2 por -2L1+L2 e L3 por L1-L2 Invertemos L2 com L3 Substituímos L1 por 3L3+4L1 Substituímos L1 por L2+L1 Dividimos L1por8, L2 por-4 e L3 por -4, então b) substituímos L2 por -2L1+L2 Substituímos L3 por L1-L3 Substituímos L3 por L2+(-L3) Substituímos L2 por L3+2L2
Substituímos L1 por L3+(-4L1) Substituímos L1 por -8L2+6L1 Dividimos L1por-24, L2 por-6 e L3 por 4, então c) substituímos L2 por L1+(-2L2) substituímos L4 por L1+2L4 substituímos L3 por L2+(-L3) substituímos L4 por L2-L4 substituímos L4 por -2L3+L4 substituímos L3 por -3L4+2L3 substituímos L2 por -L4+L2 substituímos L2 por L3+L2
substituímos L1 por L2-L1 dividimos L1por-2, L3por2 e L4por-2 Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.