CONTEÚDOS QUESTÕES INTERDISCIPLINARES EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Mande-me um

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Cateto oposto 1. Razões trigonométricas Sen a = cateto oposto hipotenusa Cos a = cateto adjacente hipotenusa tan a = Sen a = cateto oposto Cos a cateto adjacente a Cateto adjacente

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Daí, temos: Em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Daí, temos: a b Ops, Bichão!!! c 180º

Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90º, eles são chamados complementares. Daí, temos: 90º C (= (90º - ) c a A b B ()

1 ) (90º. 1 ) (90º 1 tg tg ou tg tg ou tg tg () (= (90º - ) c b a C A B ) 90º ( Note que: a c Cos a b Sen ) (90º ) (90º a b Cos a c Sen ) (90º ) (90º Sen Cos Cos Sen

Euclides de Alexandria foi um dos maiores matemáticos da Antiguidade, que viveu por volta do século III a.c, na Grecia. Sua obra Os elementos tornou-se muito famosa. Trata-se de proposições que hoje são conhecidas como Lei dos Cossenos. No século VII viveu um matemático hindu Bramagupta. Na obra sobre astronomia que ele escreveu no ano 68, dois, dos 1 capítulos, são dedicados à matemática, em especial a Lei dos Senos.

Na obra de Bramagupta, a Lei dos Senos, em linguagem atual, é assim escrita: Em um triângulo qualquer, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante. Assim, se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo ABC e Â, ^B e ^C são ângulos respectivamente opostos a esses lados. Daí temos:

a Sen Aˆ b Sen Bˆ c SenCˆ b a c

Demonstração: A Tomemos um triângulo acutângulo ABC, de altura AH, relativa ao lado BC, como mostra a figura a seguir. B H a C

Observando o triângulo AHB, podemos escrever: A c b Sen Bˆ AH c AH c. sen Bˆ ( I) No triângulo AHC, temos: B H C Sen Cˆ AH b AH b. sencˆ ( II) a

De (I) e (II), temos: A c. sen Bˆ b. sencˆ c b ou b SenBˆ c SenCˆ B H a C

Traçando a altura BK, relativa ao lado AC, obtemos os triângulos BAK e BCK. b No triângulo BAK temos: sen  BK c BK c. Sen ( III)

No triângulo BCK, temos: sencˆ BK a BK a. SenCˆ ( IV ) b Daí, temos: a Sen c SenĈ Portanto: a Sen b SenBˆ c SenCˆ

Se Ligue, Bichão!!! Se o triângulo ABC utilizado fosse obtusângulo ou retângulo, teríamos chegado à mesma expressão. Então, usamos a lei dos senos: Quando são dados dois ângulos e o lado oposto a um destes ângulos; Quando são dados dois lados e um ângulo que não seja o formado pelos lados.

01-R) Qual é a distância entre as duas árvores?

01-RESOLUÇÃO: d 500 Sen10º Sen 45º d Sen10º. 500 Sen 45º

01-RESOLUÇÃO: Como Sen d 45º Sen 10º 3.500, 3 temos : e d d d d 3..500 6.500,45.500 61,5 metros

0-R - Os ângulos de um triângulo medem x, x e 3x. O menor dos lados mede 5 cm. Quanto mede o lado maior? RESOLUÇÃO: C 5 Sen30º a Sen90º 5 cm A x x a x 30º 3x B 180º 5 a 1 1 5 a. a 1 1 10

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo não-retângulo e, e as medidas dos ângulos respectivamente opostos aos lados. C h b a H m A c B

Demonstração: b h A m H a c B C Observando a figura, temos: No triângulo CHB: ) ( ) ( I m c h a No triângulo CHB: ) ( II m h b

Demonstração: De (I) e (II): a a b b m c ( c m). c. m ( III) Retornando ao triângulo CHA, temos: m Cos, ou seja, b m b.cos ( IV ) Substituindo IV em III, temos: a b c. b. c. Cos Observe no triângulo que e são ângulos suplementares, e é obtuso. Logo, Cos = - Cos. Daí, temos:

Observe no triângulo que e são ângulos suplementares, e é obtuso. Logo, Cos = - Cos. Daí, temos: a b c. b. c. Cos Ops, Bichão!!! Se o triângulo ABC utilizado fosse acutângulo ou retângulo, chegaríamos às mesmas conclusões. Usamos a lei dos cossenos: Quando são dados dois lados do triângulo e o ângulo por eles formado. Quando são dados os três lados do triângulo.

Conhecendo dois lados de um triângulo e o ângulo que eles formam, podemos calcular a área desse triângulo aplicando a lei das áreas. Note que: A área de um triângulo qualquer é igual ao semi-produto das medidas de dois de seus lados pelo seno do ângulo formado por eles.

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo ABC, e Â, Bˆ e Ĉ os ângulos respectivamente opostos a esses lados. A área S desse triângulo é dada por: S 1. a. b. SenCˆ Demonstração: 1. b. c. Sen  1. a. c. Sen Bˆ Considere o triângulo obtusângulo ABC da figura, cuja área é dada por:

Pelo triângulo ACD, temos: C Sen (180º Â) h b Como Sen (180º - Â) = Sen Â, podemos escrever: h D b 180º -  A  a c B h Sen  h b. Sen  b

Substituindo o valor de h em (I), obtemos: 1 S. b. c Sen  C a h 180º -   D A c B

1. Introdução O B A Arco AB Dois pontos quaisquer de uma circunferência, divide essa circunferência em duas partes, cada uma delas chama-se arco de circunferência. Ângulo central Equivalência: rd = 180 o

Todo ângulo que tem o vértice coincidente com o centro de uma circunferência é denominado ângulo central. A cada arco de circunferência corresponde um ângulo central. Ops, Bichão!!! A medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente. B Arco AB O A Ângulo central

As unidades mais usadas para medir arcos e ângulos são o grau e o radiano. Ops, Bichão!!! O grau (º) corresponde 1/360º da circunferência na qual está o arco a ser medido. Submúltiplos do grau: O minuto ( ); 1º = 60 O segundo ( ) 1 = 60

med ( AB) comprimento do arco medida do raio AB Noteque : med (AB), comprimento do arco AB e medida do raio r, temos : r rad

Se ligue, Bichão!!! O arco de volta inteira mede rad, independentedovalor doraio. É muito comum a omissão dorad nas medidas expressas em radianos. Assim, quando seescreve quea medida de um arco é igual a 3, igual, etc, subtende- sequeessa medida é igual a 3 rad, rad etc.

Ops,Bichão!!! Uma circunferência mede 360º ou rad, ou então, podemos dizer que :180º correspondem a rad. Utilizando uma regra de três simples, podemos transformar a medida de um arco, dada em graus, para radianos e vice - versa.

01. (UFRN-010) - Dois garotos estavam conversando ao lado de uma piscina, nas posições A e B, como ilustra a figura ao lado. O garoto que estava na posição A observou que o ângulo CÂB era de 90º e que as distâncias BD e AD eram de 1m e m, respectivamente. Sabendo que o garoto da posição B gostava de estudar geometria, o da posição A desafiou-o a dizer qual era a largura da piscina. A resposta, correta, do garoto da posição B deveria ser: A) 4 m B) 5 m C) 3 m D) m

0. (UFSCar-007) - Os satélites de comunicação são posicionados em sincronismo com a Terra, o que significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na Terra, separadas pela maior distância possível em que um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta,a por esse satélite.

Se r é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância de: A) 6r 3 B) 7r C) 8r D) 11r 3 3 3

03. (UNICAMP-011) - Quando um carro não se move di retamente na direção do radar, é preciso fazer uma correção da velocidade medida pelo aparelho (Vm) para obter a velocidade real do veículo (Vr). Essa correção pode ser calculada a partir da fórmula Vm = Vr. cos (α), em que α é o ângulo formado entre a direção de tráfego da rua e o segmento de reta que liga o radar ao ponto da via que ele mira. Suponha que o radar tenha sido instalado a uma distância de 50 m do centro da faixa na qual o carro trafegava, e tenha detectado a velocidade do carro quando este estava a 130 m de distância, como mostra a figura abaixo.

Se o radar detectou que o carro trafegava a 7 km/h, sua velocidade real era igual a A) 66,5 km/h. B) 78 km/h. C) 36 3 km/h. D) 144 / 3 km/h.

04. (UFRN-009) - Para medir a altura de uma árvore, da qual não podia aproximar-se, um ambientalista colocou, a certa distância dessa árvore, um cavalete de 1 m de altura e observou seu ponto mais alto, segundo um ângulo de 300. Aproximando-se mais 10 m, observou o mesmo ponto segundo um ângulo de 450, conforme a figura abaixo.

Com esse procedimento, o ambientalista obteve como resultado que a altura da árvore era de: A) 5 3 +15 B) 5 3 + 5 C) 5 3 + 6 D) 5 3 + 16

05. (UFRN-006) - Na figura abaixo, o triângulo BCD é eqüilátero e AB = BC. Sabendo-se que o comprimento da viga AE é igual a 10 m, pode-se afirmar que a altura h da extremidade E mede:

06. (UFRN-008) - A casa central de uma fazenda situa-se a 9 km, contados ao longo de um caminho perpendicular à estrada reta que limita a fazenda. Na beira da estrada e a uma distância de 15 km da casa central, o fazendeiro construiu uma casa para seu filho. O fazendeiro agora quer construir, na beira da mesma estrada, um escritório que fique igualmente distanciado da casa do filho e da casa central.

A distância comum deverá ser: A) entre 8 e 9 km B) entre 11 e 1 km C) entre 1 e 13 km D) entre 9 e 10 km

06. (UFRN-006) - O relógio ao lado está marcando h30min. Passadas duas horas e quinze minutos, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio será: A) 17,5º B) 105º C) 11,5º D) 10º

07. (UFSM-006) No último pleito, o horário de encerramento das votações, segundo determinação do TSE para todo o Estado do Rio Grande do Sul, foi às 17 horas. Passados 5 minutos do encerramento, o menor ângulo entre os ponteiros do relógio era de: A) 13º B) 1º30 C) 1º D) 10º30

09. (UFVC-010) - Quantos graus têm o arco descrito pelos ponteiros de um relógio, quando eles se encontram pela primeira vez após as 14 horas? A) 5º 7 B) 5º 37 C) 5º 40 D) 5º 45

10. (UFVC-009) Determine a medida do arco descrito pelos ponteiros de um relógio, quando eles se encontram pela primeira vez após as 17 horas? A) 13º 38 para o ponteiro menor e 163º38 para o ponteiro menor. B) 3º 8 para o ponteiro menor e 63º38 para o ponteiro menor. C) 43º 38 para o ponteiro menor e 63º38 para o ponteiro menor. D) 53º 38 para o ponteiro menor e 163º38 para o ponteiro menor.

11. (UFVC-009) - O Sr. Trigonométrico um dos maiores professores da historiografia da literatura Matemática, nas suas horas vagas costuma passar o seu tempo em um salão de beleza. Certo dia ao embelezar-se em sua casa de frente ao espelho plano S, vertical e de costas para uma planta com altura igual a 6,0 m, quis medir o comprimento do espelho para que possa ver a imagem completa da planta. Qual deve ser o mínimo comprimento desse espelho? Observe a ilustração abaixo.

6,0 m 3,0 m

1. (UNISSINOS-006) - O esquema abaixo representa uma casa em construção, com um telhado de 0º de caimento. Sabendo-se que o telhado mede 6 m em cada lado e que, até a laje do teto, a casa tem 3 m de altura, o ponto mais alto da casa se encontra a uma altura de: (sen 0º 0,34; cos 0º 0,94; tg 0º 0,36) a) 9 m b) 8,6 m c) 7,64 m d) 5,04 m

OBS: AS QUESTÕES FORAM EXTRAÍDAS DOS SEGUINTES SITES: www.fuvest.br link: provas www.comperve.ufrn.br link:provas www.ufscar.br www.unicamp.br