Algoritmos, experimentos e demonstrações:

Algoritmos, experimentos e demonstrações: a matemática no século XXI S. C. Coutinho Instituto de Matemática UFRJ Aula Inaugural 2006 p. 1/106

A matemática é... Aula Inaugural 2006 p. 2/106

A matemática é... Números! Aula Inaugural 2006 p. 2/106

A matemática é... Números! Difícil! Aula Inaugural 2006 p. 2/106

A matemática é... Números! Difícil! Útil! Aula Inaugural 2006 p. 2/106

A matemática é... Aula Inaugural 2006 p. 2/106

A matemática é... Lógica! Aula Inaugural 2006 p. 2/106

A matemática é... Lógica! Certeza! Aula Inaugural 2006 p. 2/106

A matemática é... Lógica! Certeza! Álgebra! Aula Inaugural 2006 p. 2/106

Portanto Aula Inaugural 2006 p. 3/106

Portanto A resposta depende de: Aula Inaugural 2006 p. 3/106

Portanto A resposta depende de: quem responde; Aula Inaugural 2006 p. 3/106

Portanto A resposta depende de: quem responde; onde mora; Aula Inaugural 2006 p. 3/106

Portanto A resposta depende de: quem responde; onde mora; em que época vive Aula Inaugural 2006 p. 3/106

Portanto A resposta depende de: quem responde; onde mora; em que época vive (ou viveu). Aula Inaugural 2006 p. 3/106

Segunda metade do século XX Aula Inaugural 2006 p. 4/106

Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: Aula Inaugural 2006 p. 4/106

Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; Aula Inaugural 2006 p. 4/106

Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; Aula Inaugural 2006 p. 4/106

Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, Aula Inaugural 2006 p. 4/106

Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, gerais Aula Inaugural 2006 p. 4/106

Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, gerais e abstratas; Aula Inaugural 2006 p. 4/106

Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, gerais e abstratas; busca por certezas. Aula Inaugural 2006 p. 4/106

Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, gerais e abstratas; busca por certezas. Pelo menos na visão das correntes dominantes. Aula Inaugural 2006 p. 4/106

Início do século XXI Aula Inaugural 2006 p. 5/106

Início do século XXI Influências da Aula Inaugural 2006 p. 5/106

Início do século XXI Influências da Física: Aula Inaugural 2006 p. 5/106

Início do século XXI Influências da Física: teoria de cordas. Aula Inaugural 2006 p. 5/106

Início do século XXI Influências da Física: teoria de cordas. Ciência da computação: Aula Inaugural 2006 p. 5/106

Início do século XXI Influências da Física: teoria de cordas. Ciência da computação: algoritmos Aula Inaugural 2006 p. 5/106

Início do século XXI Influências da Física: teoria de cordas. Ciência da computação: algoritmos e matemática discreta. Aula Inaugural 2006 p. 5/106

Objetivo Aula Inaugural 2006 p. 6/106

Objetivo Ilustrar as mudanças ocorridas na matemática usando como exemplo um problema específico: Aula Inaugural 2006 p. 6/106

Objetivo Ilustrar as mudanças ocorridas na matemática usando como exemplo um problema específico: Como se distribuem os números primos, e como podemos detectá-los? Aula Inaugural 2006 p. 6/106

Primos Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., 2 30402457 1 Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., 2 30402457 1 (este número tem mais de nove milhões de algarismos!) Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., 2 30402457 1 (este número tem mais de nove milhões de algarismos!)...mais algum? Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., 2 30402457 1 (este número tem mais de nove milhões de algarismos!)...mais algum? Lembrete: Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., 2 30402457 1 (este número tem mais de nove milhões de algarismos!)...mais algum? Lembrete: Um número maior que 1 e que não é primo é chamado de composto. Aula Inaugural 2006 p. 7/106

Os Elementos Aula Inaugural 2006 p. 8/106

Os Elementos Coletânea de matemática em 300 a.c. Aula Inaugural 2006 p. 8/106

Os Elementos Coletânea de matemática em 300 a.c. Redigido por Euclides. Aula Inaugural 2006 p. 8/106

Os Elementos Coletânea de matemática em 300 a.c. Redigido por Euclides. Inclui resultados de geometria, cálculo e teoria de números em 13 Livros Aula Inaugural 2006 p. 8/106

Os Elementos Coletânea de matemática em 300 a.c. Redigido por Euclides. Inclui resultados de geometria, cálculo e teoria de números em 13 Livros (capítulos). Aula Inaugural 2006 p. 8/106

Livro VII Aula Inaugural 2006 p. 9/106

Livro VII Trata dos números inteiros. Aula Inaugural 2006 p. 9/106

Livro VII Trata dos números inteiros. Inclui a definição de números primos e compostos. Aula Inaugural 2006 p. 9/106

Livro VII Trata dos números inteiros. Inclui a definição de números primos e compostos. Contém muitas das propriedades básicas dos inteiros. Aula Inaugural 2006 p. 9/106

Proposição 31 Aula Inaugural 2006 p. 10/106

Proposição 31 Euclides escreveu: Aula Inaugural 2006 p. 10/106

Proposição 31 Euclides escreveu: Todo número composto é medido por algum número primo. Aula Inaugural 2006 p. 10/106

Proposição 31 Euclides escreveu: Todo número composto é medido por algum número primo. Nós dizemos: Aula Inaugural 2006 p. 10/106

Proposição 31 Euclides escreveu: Todo número composto é medido por algum número primo. Nós dizemos: Todo número composto pode ser escrito como produto de números primos. Aula Inaugural 2006 p. 10/106

O porquê dos nomes Aula Inaugural 2006 p. 11/106

O porquê dos nomes Primos: Aula Inaugural 2006 p. 11/106

O porquê dos nomes Primos: (primários) Aula Inaugural 2006 p. 11/106

O porquê dos nomes Primos: vêm primeiro, já que os compostos são construídos a partir deles. Aula Inaugural 2006 p. 11/106

O porquê dos nomes Primos: vêm primeiro, já que os compostos são construídos a partir deles. Compostos: Aula Inaugural 2006 p. 11/106

O porquê dos nomes Primos: vêm primeiro, já que os compostos são construídos a partir deles. Compostos: (secundários) Aula Inaugural 2006 p. 11/106

O porquê dos nomes Primos: vêm primeiro, já que os compostos são construídos a partir deles. Compostos: formados de partes, que são os seus fatores primos. Aula Inaugural 2006 p. 11/106

Conclusão Aula Inaugural 2006 p. 12/106

Conclusão Os números primos funcionam como átomos (ou tijolos) a partir dos quais são construídos todos os números inteiros. Aula Inaugural 2006 p. 12/106

Conclusão Os números primos funcionam como átomos (ou tijolos) a partir dos quais são construídos todos os números inteiros. Portanto, o que soubermos sobre os primos, vai nos ajudar a entender os números inteiros como um todo. Aula Inaugural 2006 p. 12/106

Pergunta Aula Inaugural 2006 p. 13/106

Pergunta Quantos primos há? Aula Inaugural 2006 p. 13/106

Pergunta Quantos primos há? Afinal, quanto mais primos houver, mais variados serão os inteiros, e mais complicadas as suas propriedades. Aula Inaugural 2006 p. 13/106

A resposta Aula Inaugural 2006 p. 14/106

A resposta Elementos, Livro IX, Proposição 21: Aula Inaugural 2006 p. 14/106

A resposta Elementos, Livro IX, Proposição 21: Há mais números primos que qualquer quantidade proposta de números. Aula Inaugural 2006 p. 14/106

A resposta Há infinitos números primos. Aula Inaugural 2006 p. 14/106

Entra nosso primeiro tema Aula Inaugural 2006 p. 15/106

Demonstração Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: suponho que o que quero provar é falso; Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: suponho que o que quero provar é falso; chego em uma contradição; Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: suponho que o que quero provar é falso; chego em uma contradição; logo minha suposição é incorreta; Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: suponho que o que quero provar é falso; chego em uma contradição; logo minha suposição é incorreta; implicando a verdade do que eu queria provar! Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: suponho que existe uma quantidade finita de primos; Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: suponho que existe uma quantidade finita de primos; chego em uma contradição; Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: suponho que existe uma quantidade finita de primos; chego em uma contradição; logo minha suposição é incorreta; Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: suponho que existe uma quantidade finita de primos; chego em uma contradição; logo minha suposição é incorreta; implicando que há infinitos primos! Aula Inaugural 2006 p. 16/106

Demonstração Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então ou N é primo, Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então ou N é primo, ou é divisível por um primo que não está na lista. Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então ou N é primo, ou é divisível por um primo que não está na lista. Em qualquer dos dois casos temos uma contradição, Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então ou N é primo, ou é divisível por um primo que não está na lista. Em qualquer dos dois casos temos uma contradição, provando assim, o resultado desejado. Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Então M é divisível por cada um dos primos em L. Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Então M é divisível por cada um dos primos em L. Mas dois números consecutivos não têm fatores em comum. Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Então M é divisível por cada um dos primos em L. Mas dois números consecutivos não têm fatores em comum. Portanto, N = M + 1 não é divisível por nenhum primo de L. Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Então M é divisível por cada um dos primos em L. Mas dois números consecutivos não têm fatores em comum. Portanto, N = M + 1 não é divisível por nenhum primo de L. Contradição!!! Aula Inaugural 2006 p. 17/106

Pausa filosófica Aula Inaugural 2006 p. 18/106

Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Aula Inaugural 2006 p. 18/106

Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta óbvia: Aula Inaugural 2006 p. 18/106

Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta óbvia: que podemos ter certeza de que o resultado é verdadeiro! Aula Inaugural 2006 p. 18/106

Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta falsa: que podemos ter certeza de que o resultado é verdadeiro! Aula Inaugural 2006 p. 18/106

Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta falsa: que podemos ter certeza de que o resultado é verdadeiro! À medida que nosso entendimento cresce, surgem Aula Inaugural 2006 p. 18/106

Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta falsa: que podemos ter certeza de que o resultado é verdadeiro! À medida que nosso entendimento cresce, surgem exceções aos teoremas. Aula Inaugural 2006 p. 18/106

Uma resposta plausível? Aula Inaugural 2006 p. 19/106

Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga Aula Inaugural 2006 p. 19/106

Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos Aula Inaugural 2006 p. 19/106

Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com Aula Inaugural 2006 p. 19/106

Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com nossas novas descobertas Aula Inaugural 2006 p. 19/106

Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com nossas novas descobertas Deste ponto de vista: Aula Inaugural 2006 p. 19/106

Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com nossas novas descobertas Deste ponto de vista: uma demonstração aumenta nosso entendimento e confiança em um resultado, Aula Inaugural 2006 p. 19/106

Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com nossas novas descobertas Deste ponto de vista: uma demonstração aumenta nosso entendimento e confiança em um resultado, mesmo sem poder garantir que é uma verdade absoluta. Aula Inaugural 2006 p. 19/106

Uma pergunta puxa a outra... Aula Inaugural 2006 p. 20/106

Uma pergunta puxa a outra... Se há infinitos primos, como eles se distribuem? Aula Inaugural 2006 p. 20/106

Densidade dos primos Aula Inaugural 2006 p. 21/106

Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Aula Inaugural 2006 p. 21/106

Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Logo, em média, o espaçamento entre primos grandes deve ser maior que entre primos pequenos. Aula Inaugural 2006 p. 21/106

Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Logo, em média, o espaçamento entre primos grandes deve ser maior que entre primos pequenos. Conclusão: Aula Inaugural 2006 p. 21/106

Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Logo, em média, o espaçamento entre primos grandes deve ser maior que entre primos pequenos. Conclusão: a densidade de primos diminui à medida que avançamos na reta dos inteiros. Aula Inaugural 2006 p. 21/106

Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Logo, em média, o espaçamento entre primos grandes deve ser maior que entre primos pequenos. Conclusão: a densidade de primos diminui à medida que avançamos na reta dos inteiros. 0 1 2 3 densidade diminui Aula Inaugural 2006 p. 21/106

2100 anos depois... Aula Inaugural 2006 p. 22/106

C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Aula Inaugural 2006 p. 23/106

C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Aula Inaugural 2006 p. 23/106

C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Aula Inaugural 2006 p. 23/106

C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Aula Inaugural 2006 p. 23/106

C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Contribuiu para todas as áreas da matemática. Aula Inaugural 2006 p. 23/106

C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Contribuiu para todas as áreas da matemática. Contribuiu para geodésia e física. Aula Inaugural 2006 p. 23/106

C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Contribuiu para todas as áreas da matemática. Contribuiu para geodésia e física. Trabalhou a vida inteira como astrônomo. Aula Inaugural 2006 p. 23/106

C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Contribuiu para todas as áreas da matemática. Contribuiu para geodésia e física. Trabalhou a vida inteira como astrônomo. A teoria dos números era um de seus temas favoritos. Aula Inaugural 2006 p. 23/106

E tinha esta aparência... Aula Inaugural 2006 p. 24/106

Gauss e os primos Aula Inaugural 2006 p. 25/106

Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, Aula Inaugural 2006 p. 25/106

Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Aula Inaugural 2006 p. 25/106

Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Primzahlen unter (a = ) a la. Aula Inaugural 2006 p. 25/106

Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Os primos abaixo de a (a = ) a la. Aula Inaugural 2006 p. 25/106

Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Os primos abaixo de a ( com a ) a la. Aula Inaugural 2006 p. 25/106

Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Os primos abaixo de a ( com a ) a ln a. Aula Inaugural 2006 p. 25/106

Abrindo um parêntesis Aula Inaugural 2006 p. 26/106

A função π Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, 3, Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, 3, 5, Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, 3, 5, 7, Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, 3, 5, 7, e 11. Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, 2, 3, 5, 7, e 11. Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, 2, 3, 5, 7, e 11. π(11) = 5 Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, π(12) = π(11) = 5 2, 3, 5, 7, e 11. Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, 2, 3, 5, 7, e 11. π(12) = π(11) = 5 porém Aula Inaugural 2006 p. 27/106

A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, 2, 3, 5, 7, e 11. π(12) = π(11) = 5 porém π(13) = 6. Aula Inaugural 2006 p. 27/106

Fechando o parêntesis Aula Inaugural 2006 p. 28/106

Em outras palavras Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Os primos abaixo de a ( com a ) a ln a. Aula Inaugural 2006 p. 29/106

Em outras palavras Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: π(a) é aproximadamente igual a a/ lna para valores muito grandes de a. Aula Inaugural 2006 p. 29/106

Refinando Aula Inaugural 2006 p. 30/106

Refinando Nos anos 1840, Gauss refinou esta observação da juventude: Aula Inaugural 2006 p. 30/106

Refinando Nos anos 1840, Gauss refinou esta observação da juventude: Contando os primos em blocos de mil, ele concluiu que a densidade média dos primos em um intervalo em torno de um número grande x deve ser da ordem de 1/ ln(x). Aula Inaugural 2006 p. 30/106

Refinando Nos anos 1840, Gauss refinou esta observação da juventude: Contando os primos em blocos de mil, ele concluiu que a densidade média dos primos em um intervalo em torno de um número grande x deve ser da ordem de 1/ ln(x). Para obter uma aproximação para a quantidade de primos menores que x basta Aula Inaugural 2006 p. 30/106

Refinando Nos anos 1840, Gauss refinou esta observação da juventude: Contando os primos em blocos de mil, ele concluiu que a densidade média dos primos em um intervalo em torno de um número grande x deve ser da ordem de 1/ ln(x). Para obter uma aproximação para a quantidade de primos menores que x basta somar as densidades sobre os intervalos até x. Aula Inaugural 2006 p. 30/106

Função Li Aula Inaugural 2006 p. 31/106

Função Li Fazendo isto do modo correto definimos uma nova função: Aula Inaugural 2006 p. 31/106

Função Li Fazendo isto do modo correto definimos uma nova função: Li(x) = Aula Inaugural 2006 p. 31/106

Função Li Fazendo isto do modo correto definimos uma nova função: Li(x) = x 2 dt ln t Esta função dá uma aproximação melhor para π(x) do que x/ ln(x). Aula Inaugural 2006 p. 31/106

Teorema dos números primos Aula Inaugural 2006 p. 32/106

Teorema dos números primos Se x é muito grande, então: Aula Inaugural 2006 p. 32/106

Teorema dos números primos Se x é muito grande, então: π(x) Li(x). Aula Inaugural 2006 p. 32/106

Como Gauss obteve isto? Aula Inaugural 2006 p. 33/106

Como Gauss obteve isto? Por tentativa Aula Inaugural 2006 p. 33/106

Como Gauss obteve isto? Por tentativa; isto é, Aula Inaugural 2006 p. 33/106

Como Gauss obteve isto? Por tentativa; isto é, experimentalmente. Aula Inaugural 2006 p. 33/106

Como Gauss obteve isto? Por tentativa; isto é, experimentalmente. Gauss nunca provou esta fórmula! Aula Inaugural 2006 p. 33/106

Entra o segundo tema. Aula Inaugural 2006 p. 34/106

Experimentos matemáticos São Aula Inaugural 2006 p. 35/106

Experimentos matemáticos São cálculos numéricos Aula Inaugural 2006 p. 35/106

Experimentos matemáticos São cálculos numéricos ou experimentos físicos Aula Inaugural 2006 p. 35/106

Experimentos matemáticos São cálculos numéricos ou experimentos físicos realizados para descobrir como deveria ser o comportamento de algum objeto matemático. Aula Inaugural 2006 p. 35/106

Experimentos matemáticos São cálculos numéricos ou experimentos físicos realizados para descobrir como deveria ser o comportamento de algum objeto matemático. Não eram novidade na época de Gauss. Aula Inaugural 2006 p. 35/106

Experimentos matemáticos São cálculos numéricos ou experimentos físicos realizados para descobrir como deveria ser o comportamento de algum objeto matemático. Não eram novidade na época de Gauss. Já haviam sido utilizados por Arquimedes (250 a. C.). Aula Inaugural 2006 p. 35/106

O método Palimpsesto descoberto em 1899. Aula Inaugural 2006 p. 36/106

O método Palimpsesto descoberto em 1899. Estudado por J. L. Heiberg entre 1900-1907. Aula Inaugural 2006 p. 36/106

O método Palimpsesto descoberto em 1899. Estudado por J. L. Heiberg entre 1900-1907. Endereçado a Eratóstenes. Aula Inaugural 2006 p. 36/106

O método Palimpsesto descoberto em 1899. Estudado por J. L. Heiberg entre 1900-1907. Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Aula Inaugural 2006 p. 36/106

O método Palimpsesto descoberto em 1899. Estudado por J. L. Heiberg entre 1900-1907. Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Distinção clara entre experimento e demonstração. Aula Inaugural 2006 p. 36/106

O método Palimpsesto descoberto em 1899. Estudado por J. L. Heiberg entre 1900-1907. Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Distinção clara entre experimento e demonstração. Desaparecido em 1920. Aula Inaugural 2006 p. 36/106

O método Palimpsesto descoberto em 1899. Estudado por J. L. Heiberg entre 1900-1907. Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Distinção clara entre experimento e demonstração. Desaparecido em 1920. Reencontrado e vendido em leilão em 1998. Aula Inaugural 2006 p. 36/106

O método Palimpsesto descoberto em 1899. Estudado por J. L. Heiberg entre 1900-1907. Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Distinção clara entre experimento e demonstração. Desaparecido em 1920. Reencontrado e vendido em leilão em 1998. Há vários resultados que não haviam sido vistos antes. Aula Inaugural 2006 p. 36/106

O palimpsesto Aula Inaugural 2006 p. 37/106

O palimpsesto Aula Inaugural 2006 p. 38/106

Voltando ao teorema dos números primos. Aula Inaugural 2006 p. 39/106

Teorema dos números primos Aula Inaugural 2006 p. 40/106

Teorema dos números primos Só foi provado em 1896 por Aula Inaugural 2006 p. 40/106

Teorema dos números primos Só foi provado em 1896 por Hadamard Aula Inaugural 2006 p. 40/106

Teorema dos números primos Só foi provado em 1896 por Hadamard De la Vallée-Poussin Aula Inaugural 2006 p. 40/106

Experimentos e demonstrações Vários outros resultados da teoria de números foram descobertos experimentalmente. Aula Inaugural 2006 p. 41/106

Experimentos e demonstrações Vários outros resultados da teoria de números foram descobertos experimentalmente. Alguns foram depois demonstrados rigorosamente, como o Teorema dos números primos. Aula Inaugural 2006 p. 41/106

Experimentos e demonstrações Vários outros resultados da teoria de números foram descobertos experimentalmente. Alguns foram depois demonstrados rigorosamente, como o Teorema dos números primos. Outros continuam sem demonstração, como a Conjectura de Goldbach. Aula Inaugural 2006 p. 41/106

Conjectura de Goldbach Aula Inaugural 2006 p. 42/106

Conjectura de Goldbach Todo número par, maior que 2, pode ser escrito como a soma de dois números primos. Aula Inaugural 2006 p. 42/106

Experimentando: Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. 30 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. 30= 7 + 23 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. 30= 7 + 23.. Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. 30= 7 + 23.. 52 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. 30= 7 + 23.. 52= 5 + 47 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. 30= 7 + 23.. 52= 5 + 47.. Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. 30= 7 + 23.. 52= 5 + 47.. 174 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. 30= 7 + 23.. 52= 5 + 47.. 174= 7 + 167 Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Experimentando: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10= 5 + 5 12= 5 + 7 14= 7 + 7 16= 3 + 13.. 30= 7 + 23.. 52= 5 + 47.. 174= 7 + 167.. Aula Inaugural 2006 p. 43/106

Christian Goldbach Viveu de 1690 a 1764. Aula Inaugural 2006 p. 44/106

Christian Goldbach Viveu de 1690 a 1764. Trabalhava como tutor do Tsar Pedro II. Aula Inaugural 2006 p. 44/106

Christian Goldbach Viveu de 1690 a 1764. Trabalhava como tutor do Tsar Pedro II. Era uma matemático amador. Aula Inaugural 2006 p. 44/106

Christian Goldbach Viveu de 1690 a 1764. Trabalhava como tutor do Tsar Pedro II. Era uma matemático amador. Correspondente de muitos matemáticos famosos da época, como Fermat e Euler. Aula Inaugural 2006 p. 44/106

Status atual da conjectura Ainda não foi demonstrada. Aula Inaugural 2006 p. 45/106

Status atual da conjectura Ainda não foi demonstrada. Mas sabe-se que vale para todo inteiro par menor que 10 14 Aula Inaugural 2006 p. 45/106

E. B. Davies (2003) Aula Inaugural 2006 p. 46/106

E. B. Davies (2003) Isto bastaria para convencer qualquer um, Aula Inaugural 2006 p. 46/106

E. B. Davies (2003) Isto bastaria para convencer qualquer um, menos um matemático. Aula Inaugural 2006 p. 46/106

Compare com o que dizem os físicos Aula Inaugural 2006 p. 47/106

R. P. Feynman (1985) Aula Inaugural 2006 p. 48/106

R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Aula Inaugural 2006 p. 48/106

R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria.[da Eletrodinâmica quântica] Aula Inaugural 2006 p. 48/106

R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: Aula Inaugural 2006 p. 48/106

R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: experimentos mostraram que o número de Dirac vale 1, 00115965221 Aula Inaugural 2006 p. 48/106

R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: experimentos mostraram que o número de Dirac vale 1, 00115965221 (com uma incerteza de cerca de 4 no último algarismo) Aula Inaugural 2006 p. 48/106

R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: experimentos mostraram que o número de Dirac vale 1, 00115965221 (com uma incerteza de cerca de 4 no último algarismo); segundo a teoria este número deveria valer 1, 00115965246 Aula Inaugural 2006 p. 48/106

R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: experimentos mostraram que o número de Dirac vale 1, 00115965221 (com uma incerteza de cerca de 4 no último algarismo); segundo a teoria este número deveria valer 1, 00115965246 (com uma incerteza cerca cinco vezes maior). Aula Inaugural 2006 p. 48/106

R. P. Feynman (1985) Para ter uma idéia da precisão deste números, você pode pensar em algo assim: Aula Inaugural 2006 p. 48/106

R. P. Feynman (1985) Para ter uma idéia da precisão deste números, você pode pensar em algo assim: Se a distância de Los Angeles a Nova Iorque fosse medida com esta precisão, o erro cometido seria da ordem da largura de um fio de cabelo. Aula Inaugural 2006 p. 48/106

Rebobinando Aula Inaugural 2006 p. 49/106

Rebobinando Goldbach foi testada até números da ordem de 10 14. Aula Inaugural 2006 p. 49/106

Rebobinando Goldbach foi testada até números da ordem de 10 14. A eletrodinâmica quântica foi testada com um erro menor que 10 8. Aula Inaugural 2006 p. 49/106

Rebobinando Goldbach foi testada até números da ordem de 10 14. Os matemáticos não estão convencidos que a conjectura é verdadeira A eletrodinâmica quântica foi testada com um erro menor que 10 8. Aula Inaugural 2006 p. 49/106

Rebobinando Goldbach foi testada até números da ordem de 10 14. Os matemáticos não estão convencidos que a conjectura é verdadeira A eletrodinâmica quântica foi testada com um erro menor que 10 8. Os físicos acham que a eletrodinâmica quântica é a teoria mais bem sucedida que eles já criaram. Aula Inaugural 2006 p. 49/106

Por que esta discrepância? Aula Inaugural 2006 p. 50/106

Algumas opiniões: Aula Inaugural 2006 p. 51/106

Algumas opiniões: Os matemáticos são uns pernósticos. Aula Inaugural 2006 p. 51/106

Algumas opiniões: Os matemáticos são uns pernósticos. Os matemáticos só aceitam o que foi provado e, portanto, é uma verdade incontestável. Aula Inaugural 2006 p. 51/106

Que tal uma resposta mais séria? Aula Inaugural 2006 p. 52/106

Voltemos aos primos! Aula Inaugural 2006 p. 53/106

Pergunta: Aula Inaugural 2006 p. 54/106

Pergunta: Quanto vale π(x)/li(x)? Aula Inaugural 2006 p. 54/106

Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) Aula Inaugural 2006 p. 55/106

Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) 1000 168 178 0, 9438202 Aula Inaugural 2006 p. 55/106

Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) 1000 168 178 0, 9438202 100000 9592 9630 0, 9960539 Aula Inaugural 2006 p. 55/106

Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) 1000 168 178 0, 9438202 100000 9592 9630 0, 9960539 1000000 78498 78628 0, 9983466 Aula Inaugural 2006 p. 55/106

Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) 1000 168 178 0, 9438202 100000 9592 9630 0, 9960539 1000000 78498 78628 0, 9983466 10000000 664579 664918 0, 9994901 Aula Inaugural 2006 p. 55/106

Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) 1000 168 178 0, 9438202 100000 9592 9630 0, 9960539 1000000 78498 78628 0, 9983466 10000000 664579 664918 0, 9994901 100000000 5761455 5762209 0, 9998691 Aula Inaugural 2006 p. 55/106

Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) 1000 168 178 0, 9438202 100000 9592 9630 0, 9960539 1000000 78498 78628 0, 9983466 10000000 664579 664918 0, 9994901 100000000 5761455 5762209 0, 9998691 1000000000 50847534 50849235 0, 9999665 Aula Inaugural 2006 p. 55/106

Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) 1000 168 178 0, 9438202 100000 9592 9630 0, 9960539 1000000 78498 78628 0, 9983466 10000000 664579 664918 0, 9994901 100000000 5761455 5762209 0, 9998691 1000000000 50847534 50849235 0, 9999665 10000000000 455052511 455055614 0, 9999931 Aula Inaugural 2006 p. 55/106

Portanto Aula Inaugural 2006 p. 56/106

Portanto Para todo x > 0, π(x) < Li(x). Aula Inaugural 2006 p. 56/106

Portanto Para todo x > 0, π(x) < Li(x). Pelo menos é isto que a tabela sugere! Aula Inaugural 2006 p. 56/106

Entretanto Aula Inaugural 2006 p. 57/106

Teorema (1914) Aula Inaugural 2006 p. 58/106

Teorema (1914) Existe x 0 > 0 tal que π(x 0 ) > Li(x 0 ). Aula Inaugural 2006 p. 58/106

Teorema (1914) Existe x 0 > 0 tal que π(x 0 ) > Li(x 0 ). Na verdade, há uma infinidade de valores para os quais a desigualdade acima vale. Aula Inaugural 2006 p. 58/106

E este é o autor da façanha Aula Inaugural 2006 p. 59/106

E este é o autor da façanha J. E. Littlewood Aula Inaugural 2006 p. 59/106

A demonstração Aula Inaugural 2006 p. 60/106

A demonstração A demonstração dada pelo Littlewood era puramente existencial. Aula Inaugural 2006 p. 60/106

A demonstração A demonstração dada pelo Littlewood era puramente existencial. Isto significa que ele mostrou que x 0 existia, Aula Inaugural 2006 p. 60/106

A demonstração A demonstração dada pelo Littlewood era puramente existencial. Isto significa que ele mostrou que x 0 existia, sem mostrar como seria possível calculá-lo. Aula Inaugural 2006 p. 60/106

Demonstração existencial Aula Inaugural 2006 p. 61/106

Demonstração existencial Um exemplo: Aula Inaugural 2006 p. 61/106

Demonstração existencial Um exemplo: Em todo conjunto de mais de 365 pessoas há duas que fazem aniversário no mesmo dia. Aula Inaugural 2006 p. 61/106

Demonstração existencial Um exemplo: Em todo conjunto de mais de 365 pessoas há duas que fazem aniversário no mesmo dia. Como há mais pessoas que dias do ano, isto tem que ser verdade. Aula Inaugural 2006 p. 61/106

Demonstração existencial Um exemplo: Em todo conjunto de mais de 365 pessoas há duas que fazem aniversário no mesmo dia. Como há mais pessoas que dias do ano, isto tem que ser verdade. Mas, isto em nada me ajuda a achar estas duas pessoas! Aula Inaugural 2006 p. 61/106

Porém, Aula Inaugural 2006 p. 62/106

Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz Aula Inaugural 2006 p. 62/106

Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < 10 10? Aula Inaugural 2006 p. 62/106

Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < 10 10? NÃO! Aula Inaugural 2006 p. 62/106

Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < 10 1010? NÃO! Aula Inaugural 2006 p. 62/106

Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < 10 101034 SIM! Aula Inaugural 2006 p. 62/106

Um aperfeiçoamento recente Aula Inaugural 2006 p. 63/106

Um aperfeiçoamento recente Em 1986, Te Riele mostrou que há mais de 10.180 inteiros sucessivos x para os quais π(x) > Li(x) Aula Inaugural 2006 p. 63/106

Um aperfeiçoamento recente Em 1986, Te Riele mostrou que há mais de 10.180 inteiros sucessivos x para os quais π(x) > Li(x) entre 6, 62 10 370 e 6, 69 10 370. Aula Inaugural 2006 p. 63/106

10 370 Sem dúvida é um número grande. Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 Sem dúvida é um número grande. Mas quão grande ele é? Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, 10 87. Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, 10 87. Portanto, Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, 10 87. Portanto, 10 370 é Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, 10 87. Portanto, 10 370 é 10 283 vezes maior que o número total de partículas no universo!!! Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, 10 87. Logo, este número é, Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, 10 87. Logo, este número é, e permanecerá sendo, Aula Inaugural 2006 p. 64/106

10 370 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, 10 87. Logo, este número é, e permanecerá sendo, inacessível a qualquer computador. Aula Inaugural 2006 p. 64/106

Moral da história Um resultado em matemática pode só ser válido para números tão grandes que estarão permanentemente fora do alcance de um computador! Aula Inaugural 2006 p. 65/106

Moral da história É por isso que os experimentos não bastam. Aula Inaugural 2006 p. 65/106

Moral da história É por isso que os experimentos não bastam. Precisamos das demonstrações, Aula Inaugural 2006 p. 65/106

Moral da história É por isso que os experimentos não bastam. Precisamos das demonstrações, e vamos continuar precisando! Aula Inaugural 2006 p. 65/106

Donde o ditado: Aula Inaugural 2006 p. 66/106

Mais vale um teorema demonstrado, que dois verificados até as centenas de bilhões. Aula Inaugural 2006 p. 67/106

Que, contudo, deve ser complementado por: Aula Inaugural 2006 p. 68/106

Quem não experimenta, não petisca. Aula Inaugural 2006 p. 69/106

Infelizmente... Aula Inaugural 2006 p. 70/106

Infelizmente... Apesar dos matemáticos terem continuado a fazer experimentos de todo tipo, Aula Inaugural 2006 p. 70/106

Infelizmente... Apesar dos matemáticos terem continuado a fazer experimentos de todo tipo, por boa parte do século XX este era um assunto sobre o qual não se falava em público. Aula Inaugural 2006 p. 70/106

Em outras palavras... Aula Inaugural 2006 p. 71/106

Em outras palavras... Os experimentos saíram de moda. Aula Inaugural 2006 p. 71/106

Voltando ao Gauss... Aula Inaugural 2006 p. 72/106

Disquisitiones Arithmeticae Publicada em 1800. Aula Inaugural 2006 p. 73/106

Disquisitiones Arithmeticae Publicada em 1800. Obra maior da juventude do Gauss. Aula Inaugural 2006 p. 73/106

Disquisitiones Arithmeticae Publicada em 1800. Obra maior da juventude do Gauss. Trata da teoria de números (inteiros). Aula Inaugural 2006 p. 73/106

Disquisitiones Arithmeticae Publicada em 1800. Obra maior da juventude do Gauss. Trata da teoria de números (inteiros). Introduz novas ferramentas na teoria. Aula Inaugural 2006 p. 73/106

Disquisitiones Arithmeticae Publicada em 1800. Obra maior da juventude do Gauss. Trata da teoria de números (inteiros). Introduz novas ferramentas na teoria. Dá início à moderna teoria de números. Aula Inaugural 2006 p. 73/106

Entra o terceiro tema. Aula Inaugural 2006 p. 74/106

Algoritmos Aula Inaugural 2006 p. 75/106

Algoritmos Na Disquisitiones Gauss introduziu a palavra algoritmo em seu sentido moderno: Aula Inaugural 2006 p. 75/106

Algoritmos Na Disquisitiones Gauss introduziu a palavra algoritmo em seu sentido moderno: uma receita matemática, descrita com precisão, que serve para resolver determinado problema. Aula Inaugural 2006 p. 75/106

Exemplos de algoritmos algoritmo de divisão; Aula Inaugural 2006 p. 76/106

Exemplos de algoritmos algoritmo de divisão; algoritmo euclidiano; Aula Inaugural 2006 p. 76/106

Exemplos de algoritmos algoritmo de divisão; algoritmo euclidiano; algoritmos de ordenação seqüências; Aula Inaugural 2006 p. 76/106

Exemplos de algoritmos algoritmo de divisão; algoritmo euclidiano; algoritmos de ordenação seqüências; algoritmos de busca. Aula Inaugural 2006 p. 76/106

A palavra e o conceito Aula Inaugural 2006 p. 77/106

A palavra e o conceito Apesar de Gauss ter introduzido a palavra neste sentido, nem a palavra algoritmo, nem o conceito do que é um algoritmo foram inventados por ele. Aula Inaugural 2006 p. 77/106

Algoritmo: a palavra Aula Inaugural 2006 p. 78/106

Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Aula Inaugural 2006 p. 78/106

Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Cognata de algarismo. Aula Inaugural 2006 p. 78/106

Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Cognata de algarismo. Derivada do nome do matemático árabe Al-Khowarizme (c. 700 d.c.). Aula Inaugural 2006 p. 78/106

Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Cognata de algarismo. Derivada do nome do matemático árabe Al-Khowarizme (c. 700 d.c.). Al-Khowarizme escreveu o tratado Al-jabr wa l muqabalah, Aula Inaugural 2006 p. 78/106

Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Cognata de algarismo. Derivada do nome do matemático árabe Al-Khowarizme (c. 700 d.c.). Al-Khowarizme escreveu o tratado Al-jabr wa l muqabalah, donde veio a nossa palavra álgebra. Aula Inaugural 2006 p. 78/106