11 - Árvores Vamos representar as situações aaixo através de rafos. a)joo da vela ) Árvore Genealóia x x x... x x x... o o o a) Vérties: os estados do joo arestas: existe uma aresta entre um estado do joo e um estado que poder ser otido através deste. ) vérties: pessoas. arestas: relação de parenteso em primeiro rau (mãe (pai)- filo(a)). O que os rafos da situações aima possuem em omum? Definição Uma árvore é um rafo onexo e que não possui iruitos. Exemplos: a) a i d e f ) árvore de 1 vértie árvore de 2 vérties E no aso de rafos orientados? árvore de 3 vérties árvores de 4 vérties Uma árvore orientada é um dirafo onexo que não possui iruitos ou semi-iruitos. árvore orientada de 4 vérties Notas de aula Teoria dos Grafos Prof. Maria do Soorro Ranel DCCE/UNESP
11.1 - Propriedades de árvores Teorema 1 Um rafo G é uma árvore se e somente existir um e apenas um amino entre ada par de vérties. Prova: G é uma árvore então existe apenas um amino entre ada par de vérties. G é uma árvore, então por definição G é onexo e sem iruitos. Como G é onexo, então existe um amino entre ada par de vérties. Preisamos mostrar que este amino é únio. Vamos supor que existam dois aminos distintos entre um par de vérties. Ora, se existem dois aminos distintos entre um par de vérties então a união destes aminos ontém um iruito. Mas por ipótese, o rafo não possui iruitos, portanto existe apenas um amino entre ada par de vérties. Existe um e apenas um amino entre ada par de vérties então G é uma árvore. Como existe um amino entre ada par de vértie temos que G é onexo. Vamos supor que G ontena um iruito. A existênia de um iruito no rafo implia que existe pelo menos um par de vérties a, tais que existem dois aminos distintos entre a e. Mas por ipótese existe um e apenas um amino entre ada par de vérties e portanto o rafo não tem iruitos. Por definição um rafo onexo e sem iruitos é uma árvore. Outras araterizações de uma árvore podem ser resumidas no teorema aaixo. Teorema 2 -(Propriedades de árvores) Seja G(V,A) um rafo om n vérties. As seuintes afirmativas são equivalentes: a) G é uma árvore. ) G é onexo e possui (n-1) arestas. ) G possui (n-1) arestas e não possui iruitos. d) Existe exatamente um amino entre ada par de vérties. e) G não ontém iruitos, e para todo v,w V, a adição da aresta (v,w) produz no rafo exatamente um iruito. Qualquer uma destas afirmativas podem ser usadas omo definição de uma árvore. Prova: Para mostrar a equivalênia das afirmativas temos que mostrar que a) ), ) ), et. Vamos então omeçar mostrando que : a) ==> : G é uma árvore então G é onexo e possui (n-1) arestas. Como por ipótese G é uma árvore temos que G é onexo. Preisamos mostrar apenas que G possui (n-1) arestas. Vamos mostrar usando indução matemátia sore n. Vamos verifiar o resultado para um valor partiular de n. Por exemplo para n=1 e n=2. Para n=1, temos 0 arestas. Para n=2 temos 1 aresta. Vamos supor aora que o resultado vale para um rafo G om k-1 vérties. Isto é, G é uma árvore então G é onexo e possui k-2 arestas. Vamos aresentar uma nova aresta (v,w) a este rafo. Para manter o rafo onexo e sem iruitos um e apenas um dos vérties (v,w) pode pertener a G. Assim ao aresentar a aresta (v,w) a G, preisamos aresentar tamém um vértie. Assim teremos um novo rafo G om k vérties e k-1 arestas. A forma omo G foi onstruído arante que é onexo e sem iruitos portanto temos que G'' é uma árvore. Mostramos assim se G é uma árvore então G é onexo om n-1 arestas. Notas de aula Teoria dos Grafos Prof. Maria do Soorro Ranel DCCE/UNESP
11.2 - Raízes e Árvores Binárias Uma árvore na qual podemos distinuir um determinado vértie, vértie raiz, é amada de árvore enraizada. Por exemplo as árvores de 4 vérties aaixo são enraizadas. Em eral, o vértie raiz aparee naturalmente om a apliação que o rafo representa. Uma árvore não enraizada é amada de árvore livre. O rafo a seuir é um exemplo de uma árvore livre. Se representarmos uma árvore enraizada om o vértie raiz posiionado na parte superior da fiura, podemos definir níveis na árvore. Considere por exemplo a seuinte árvore enraizada: d a e f Dizemos que o vértie raiz,, está no nível zero; os vérties e d no nível 1, os vérties a, e e f no nível 3 e os vérties e no nível 4. Definição A distânia entre dois vérties v e w em um rafo G é iual ao omprimento do menor amino entre v e w. Definição O nível de um vértie x em uma árvore enraizada é iual à distânia entre o vértie raiz e o vértie x. A altura de uma árvore enraizada é o omprimento do maior amino existente na árvore a partir do vértie raiz. Definição Uma árvore inária ompleta é uma árvore enraizada tal que existe exatamente um vértie de rau dois e ada um dos vérties restante tem rau 1 ou 3. Naturalmente o vértie de rau 2 é o vértie raiz da árvore. exemplos: Notas de aula Teoria dos Grafos Prof. Maria do Soorro Ranel DCCE/UNESP
Propriedades de árvores inárias 1 O número de vértie em uma árvore inária (om três ou mais vérties) é sempre ímpar. Existe exatamente um vértie de rau par. Os n-1 vérties restantes tem rau ímpar. Mas saemos que o número de vértie om rau ímpar é par. Portanto, se n-1 é par, n é ímpar. 2 Quantos vérties pendentes existem em uma árvore inária? Seja p o número de vérties pendentes. Então, existem (n p 1) vérties de rau 3. Assim, temos que: n i= 1 n i= 1 d( v i ) = 2m d( v i ) = 2( n 1) p + 3( n p 1) + 2 = 2( n 1) p = ( n +1) / 2 Definição Um vértie não pendente em uma árvore é amado de vértie interno. Exemplo: Quantos joos são neessários em um torneio de tênis om 56 insritos? Se representarmos a ompetição através de uma árvore inária, teremos que os vérties pendentes são os insritos e os vérties internos os joos. Assim queremos alular então o número de vérties internos em uma árvore inária om 56 vérties pendentes. Proedimentos de usa em árvores Árvore inárias são muito utilizadas em proedimentos de usa. Considere que ada vértie da árvore representa um teste om duas respostas possíveis. Iniiando o teste no vértie raiz, a resposta ao teste nos leva a um dos dois vérties do próximo nível onde novos testes são efetuados. Quando atinimos um vértie pendente (o ojetivo da usa) o proedimento de usa se enerra. Em alumas apliações é importante onstruir árvores tais que os vérties pendentes estejam o mais próximo possível do vértie raiz. Como determinar a altura de uma árvore inária? Vamos lemrar que altura é iual ao nível máximo da árvore. Teorema Seja T uma árvore inária ompleta de altura e p vérties pendentes. a) p 2 ) lo 2 p = lo 2 (( n + 1) / 2) = lo 2 ( n + 1) 1 Este resultado pode ser provado da seuinte forma: a) prinipio de indução ) aplia-se loarítmo a amos os lados da expressão em a) Qual é o nível máximo de uma árvore inária? Oservando que a maior altura da árvore será otida om o menor número possível de vérties em ada nível, temos que em uma árvore om n vérties: n 1 2 Busa em profundidade (dept first - LIFO) Busa em larura (readt first) Notas de aula Teoria dos Grafos Prof. Maria do Soorro Ranel DCCE/UNESP
11.3 - Centro de um rafo Vamos disutir o seuinte prolema: Considere um rupo de 14 pessoas. Supona que a omuniação entre as pessoas deste rupo esteja representada através do rafo: 12 13 14 10 11 9 1 2 3 4 5 6 8 onde os vérties representam as pessoas e as arestas representam a possiilidade de omuniação entre duas pessoas. Como o rafo é onexo, saemos que todos os memros podem ser alançados diretamente ou através de outros memros do rupo. Se usado o ritério de failidade de aesso às pessoas quem deverá ser esolido omo líder do rupo? A resposta a esta questão envolve o oneito de entro de um rafo, pois a melor esola para líder do rupo seria a pessoa que tivesse aesso mais fáil às outras pessoas do rupo, direta ou indiretamente. Definição: Definimos a exentriidade de um vértie v, E(v), omo sendo o valor da distânia máxima entre v e w, para todo w in V. O entro de um rafo é iual ao suonjunto de vérties om exentriidade mínima. Exemplo: No aso de árvore este oneito é simplifiado pois existe apenas um amino entre ada par de vérties. Como definir o entro de uma árvore? Exemplos: a) ) 7 Uma maneira de determinar o entro de uma árvore é eliminando proressivamente os vérties pendentes e as arestas inidentes a eles até que reste um vérties isolado (o entro) ou dois vérties liados por uma aresta (o ientro). Oserve que ao retirarmos um vértie de um rafo, retiramos tamém uma aresta. Assim, o rau e a exentriidade do vértie que permanee no rafo diminuem de valor.) Notas de aula Teoria dos Grafos Prof. Maria do Soorro Ranel DCCE/UNESP
Qual é o entro destas árvores? i) ii) a d e f d a e f O entro da árvore no exemplo i) é o vértie e. O entro (ientro) da árvore ii) são os vérties, d. Lema 1 Seja T uma árvore om pelo menos 3 vérties. Seja T a árvore otida de T pela exlusão dos verties pendentes. Então T e T possuem o mesmo entro. Teorema 3 O entro de uma árvore possui um ou dois vérties. Exeríios 1) Dê exemplos de 5 situações que podem ser representadas através de árvores. 2) Uma floresta é um rafo desonexo omposto pela união disjunta de árvores. Se G é um rafo om n vérties e t árvores, quantas arestas possui? 3) Demostre o Teorema 2 que desreve as propriedades equivalentes de árvores 4) Faça uma usa em larura e uma usa em profundidade nos rafos a seuir. a e i) ii) d a d i j e f k f 5) Considere um rupo de 14 pessoas. Supona que a omuniação entre as pesoas deste rupo esteja representada através do seuinte rafo: 13 13 14 10 11 9 1 2 3 4 5 6 8 7 onde os vérties representam as pessoas e as arestas representam as liações entre as pessoas. Como o rafo é onexo, saemos que todos os memros podem ser alançados diretamente ou através de outros memros do rupo. Se for usado o ritério de failidade de aesso às pessoas quem deverá ser esolido omo líder de rupo? Notas de aula Teoria dos Grafos Prof. Maria do Soorro Ranel DCCE/UNESP