FINANCIAMENTOS A JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

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1 FINANCIAMENTOS A JUOS SIMPLES E COMPOSTOS Samuel Hazzan Professor da EAESP/FGV, EESP/FGV e FEA/PUC Quando um apital C é finaniado a uma taxa i por período, para pagamento únio após n períodos, são utilizadas para o álulo do montante, as onvenções de juros simples e juros ompostos. De aordo om a onvenção de juros simples, o juro de ada período é igual ao produto de C por i, de modo que o montante final é dado pela onheida fórmula M C( in). Caso seja utilizada a onvenção de juros ompostos, o juro de ada período é igual ao produto do montante do iníio do período pela taxa ; o juro assim obtido é adiionado ao montante do iníio do período gerando o montante do final do período que por sua vez é igual ao montante do iníio do período seguinte. Esse proedimento leva, ao final de n períodos, à onheida fórmula do montante M C( n. Caso um apital C seja finaniado em pagamentos,,..., pagos ao final de,,,... períodos podemos efetuar o pagamento de aordo om as onvenções de juros simples ou juros ompostos. De aordo om a onvenção de juros simples, devemos dividir o apital C em parelas,,... e alular ada prestação omo segue: ( i. ) ( i. ) ( i. )... () ( i. ) Em partiular, aso queiramos finaniar o apital C em prestações iguais ( isto é,... ) as relações aima () permitem esrever: i i i...

2 i Tendo em onta que C... segue que C i i i... ( ) i Todavia, onforme veremos a seguir, a metodologia dos juros simples não atende a um ritério amplamente aeito e utilizado em que o saldo devedor é zero após o pagamento da última prestação, e os juros são alulados sobre o saldo devedor. Caso o finaniamento seja feito a juros ompostos, o apital C é dividido em parelas,,,... e ada prestação é alulada pelo montante de ada parela de aordo om a fórmula do montante a juros ompostos, isto é: ( ( (... ( e onsequentemente, ( ( (... () ( tendo em onta que C..., segue ainda que

3 C... ( ( ( ( (4) Em partiular, aso queiramos finaniar o apital C em prestações iguais ( isto é,... ) a relação (4) permite esrever: C i... ( ) ( ( ( ) i Utilizando a fórmula da soma da progressão geométria finita, a expressão anterior pode ser esrita sob a fórmula i C. ( ) (. i (5) Esta última relação é onheida omo fórmula do Sistema Prie ( ou Sistema Franês), em homenagem ao teólogo, filósofo e espeialista em finanças inglês ihard Prie ( 7 79). Todavia, há indíios de que essa relação já tinha sido desenvolvida antes pelo matemátio belga Simon Stevin ( ), segundo Poitras ( 000). Existe um outro enfoque amplamente aeito e utilizado ( ver por exemplo em, Mathias & Gomes ( 99), Vieira Sobrinho ( 997) e Zima & Brown ( 996)) quando um apital C é finaniado a uma taxa i por período, em prestações,,..., pagas ao final de,,,... períodos. Tal método onsiste em se realular nas datas,,,... o estado da dívida, de forma que: O saldo devedor iniial seja C. O saldo devedor na data final seja zero, após o pagamento da prestação. Em ada uma das datas o saldo devedor é igual ao saldo da data anterior aresido dos juros sobre ele, menos a prestação paga Simboliamente, hamando de ( SD) j o saldo devedor da data j, temos: ( SD) C 0 ( SD) 0 (6) ( SD) ( SD).( j j j Provemos que tal metodologia é equivalente ao método dos juros ompostos.

4 De fato, temos: ( SD) C( ( SD) ( SD).( C( ( ( SD) ( SD) ( C( ( (... ( SD) ( SD) ( C( ( (... Tendo em onta que ( SD) 0, segue que: C i i i ( ) ( ) ( ) (... e portanto, C i... ( ) ( ( ( Assim, de aordo om a relação (4) o álulo do finaniamento eqüivale ao método dos juros ompostos. É fáil provar que a reíproa é verdadeira, isto é, todo finaniamento a juros ompostos eqüivale a um finaniamento que satisfaz as relações dadas pela expressão (6). Exemplo- Seja um apital de $ 000,00 finaniado a taxa de %am e pago em 5 prestações mensais iguais ( sem entrada). Se o finaniamento for feito a juros ompostos, a prestação é dada pela relação (5) isto é, pelo sistema Prie: 5 (, 0) (, 0). 0, , 75, 6 Observemos que: S S 000.(, 0), 6 807, 84 S 807, 84.(, 0), 6 6, 84 S 6, 84.(, 0), 6 4, 9 S 4 4, 9.(, 0), 6 08, 00 4

5 S 5 08.(, 0), 6 0 Exemplo Consideremos um apital de $ 000,00 finaniado pelo sistema de amortização onstante (SAC) em 4 parelas anuais sendo a taxa de 0%aa. A planilha orrespondente é dada abaixo: Ano Saldo devedor Amortização Juros Prestação O finaniamento foi feito a juros ompostos pois: , (, ) (, ) (, ) Exemplo Um apital C 000 é finaniado a juros ompostos em duas prestações anuais sendo 400 e 600. A taxa é 0%aa. Temos: 400.(, 0) (, 0) 864 A planilha orrespondente é: Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Exemplo 4 Um apital C 000 é finaniado a juros ompostos em duas prestações anuais sendo 600 e 400. A taxa é 0%aa. Temos: 5

6 600.(, 0) (, 0) 576 A planilha orrespondente é: Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Exemplo 5 Um apital C 000 é finaniado a juros simples em duas prestações anuais sendo 600 e 400. A taxa é 0%aa. Temos: 600.( 0, 0) ( ( 0, 0). ) 560 Notemos nesse aso, omo o finaniamento é feito a juros simples, o saldo devedor não é zerado, omo mostra a planilha abaixo: Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação BIBLIOGAFIA CONSULTADA MATHIAS, W. F. & GOMES, J.M. Matemátia Finaneira.. Ed. São Paulo: Atlas, 99. POITAS, G. The Early History of Finanial Eonomis, Cheltenham: Edward Elgar, 000. VIEIA SOBINHO, J.D. Matemátia Finaneira. 6.ed. São Paulo: Atlas, 997 ZIMA, P. & BOWN,. L. Mathematis of Finane.. Ed. New Yor: MGraw-Hill, 996 6