1. Descrever um atlas para a esfera 1a Semana S n = {(x 1, x 2,..., x n+1 ) R n+1 x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n+1 = 1} e correspondentes mudanças de coordenadas. 2. Mostrar que o toro T := R 2 /, onde é uma variedade. Ele é de que tipo? x, y R 2, x y, x y Z 2 3. (Espaços projetivos) Seja K o corpo R ou C. Definimos e x, y K n+1 \{0}, x y k K\{0} tal que x = ky KP (n) = (K n+1 \{0})/ RP (n) se chama o espaço projetivo real e CP (n) se chama o espaço projetivo complexo. Mostrar que RP (n) é uma variedade real e CP (n) é uma variedade complexa. 4. Mostrar que a variedade R/, onde é difeomorfo com S 1. 5. Mostrar que x, y R, x y x y Z G n,k = { subespaços vetoriais de dimenção k em R n } é uma variedade compacta. G n,k G n,n k, G n,1 RP (n 1). A variedade dos subespaços vetoriais orientados de dimenção 2 de R 4 é difeomorfo com S 2 S 2. 6. Mostrar que RP (1) S 1. 7. Porque o lamniscate não é uma variedade (lisa)? {(x, y) R 2 (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 } 2a Semana 8. Seja A um toro real de dimenção n (ver as notas do curso). Mostrar que A é paralelizável, i.e. existe um difeomorfismo f : T A A R n que é induzido por mapas lineares T x A {x} R n. 1
9. Seja A um toro real de dimenção n e π : R n A a função canonica. Decrever os subconjuntos N de R n tal que π(n) é uma subvariedade de A. 10. Descrever o teorema de função inversa e dois corolários dele (utilizados na aula da segunda semana). 11. Descrever os pontos críticos de uma função C r f : R n R m. Quais fibras da são subvariedades C r de R 3? 12. Porque o conjunto não é uma subvariedade C 1 de R 2? 13. 1. Mostrar que 2. Mostrar T S n R S n R n+1 f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (x 2 + y 3, xe z ) {(x, y) R 2 y 2 = x 3 } T x S n = {v R n+1 v é perpendicular a x} 14. Sejam M e N duas variedades analíticas e f : M N uma função analítica. Se f é constante num aberto de M e M é conexo então f é uma função constante. 3a Semana 15. Construir um mergulho de RP (2) em R 4 (ver o livro de Hirsch, 1.3, Ex. 15). É verdade que RP (2) a garrafa de Klein? 16. Seja E um fibrado vetorial com base conexo M e f : E E um morfismo de fibrados tal que f f = id E. Demonstrar o fato que é um subfibrado vetorial de E. F ix(f) := {x f(x) = x} 17. Seja p um ponto de RP (n + 1). Mostrar que RP (n + 1) {p} é difeomorfo à fibrado linear canonico E n de RP (n) (ver as notas do curso). 18. Mostrar que o fibrado linear canonico E n de RP (n) não é trivial. (Analisar a vaiedade E n Z, onde Z é a imagem da seção zero de E n ) 19. Justificar que o blow-up de {(x, y) R 2 x 2 +y 2 < 1} em (0, 0) é a banda de Möbius. 20. Seja E um fibrado vetorial com base M. Mostrar que E E como um fibrado sempre é orientável. 21. Seja π : M M o recobrimento de uma variedade M obtido por orientações do fibrado tangente de M. Mostrar que M é orientável. Descrever M para M a banda de Möbius. 2
4a Semana 22. Provar que RP (n) para n impar é orientável mais para n par não é orientável. 23. Seja E um fibrado vetorial trivial de posto n com base M. Mostrar que exite uma trivialização f : E M R n tal que em cada fibra ela é uma isometria. 24. Seja U um atlas de um fibrado vetorial de posto n com base M. Se os cociclos associados são em O(n) então existe uma única métrica em E tal que as cartas em U são isometrias. 25. Consideramos a métrica de S 2 induzida da métrica canonica de R 3. Qual é o caminho mais curto entre dois pontos distintos de S 2? 3
Prova, 29/1/2007, 8:00-13:00 26. Quais fibras da função f : R 3 R, f(x, y, z) = (x 2 + y 2 4) 2 + z 2 1 são subvariedades de R 3? No caso em que uma fibra de f é uma subvariedade de R 3, determinar o tipo e codimensão dela. 27. Provar que cada fibrado vetorial E do tipo C r, r = 0, 1, 2,..., tem uma seção C r diferente da seção zero. 28. Dada uma variedade M, mostre que o fibrado tangente T M (como uma variedade) sempre é orientável. (Dica: Calcular as mudanças de coordenadas). 29. Dada uma variedade M. Definimos Mostrar que (a) é uma subvariedade de M M. = {(x, x) M M x M} (b) Existe um isomorfismo entre o fibrado tangente e o fibrado normal de. 30. (a) Mostrar que o conjunto SO(3, R) = {A GL(3, R) A é uma isometria e det(a) = 1} é uma subvariedade de GL(3, R). (b) Mostrar que a variedade é difeomorfa com SO(3, R). T 1 S 2 = x S 2{v T x S 2 < v, v >= 1} AVISO: Escrever o enunciado dos teoremas utilizados nas demonstrações. 4
6a e 7a Semana 31. Mostrar que uma função S n C S n com grau diferente de ( 1) n+1 tem um ponto fixo. 32. Dada uma função S n C S n de grau impar. Existe um ponto x S n tal que f( x) = f(x). 33. Dada uma variedade M com bordo e x M. Verificar que o conceito de um vetor v T x M olha para fora ou dentro está bem definido. 34. Na definição de index x (v) (ver notas da aula) se v não for zero em x, mostrar que v é homotopa a constante e portanto index x (v) = 0. 35. Sejam f, g : C C, f(z) = z k e g(z) = z k. Mostrar que index 0 (f) = k, index 0 (g) = k. 36. Sejam M, N, S variedades compactas conexas e orientadas e f : N C S g : M C N. Mostrar que deg(f g) = deg(f) deg(g). 37. Seja M uma variedade sem bordo, compacta, conexa e orientada com dim(m) = n 2. Se existir uma função S n C M de grau um então M é simplismente conexa. 38. Seja M R n+1 uma variedade compacta n-dimensional sem bordo. Para cada x R n+1 M definimos σ x : M S n, y y x y x (a) x e y estão em um componente de R n+1 M se e somente se σ x σ y. (b) x está no componente infinita de R n+1 M se e somente se σ x constante. (c) Se M é conexa então x está no componente limitada se e somente se deg(σ x ) = ±1. 39. Dada uma n-variedade M compacta e M = A B, onde A e B são n-variedades compactas e A = B = A B. (a) Temos χ(a B) = χ(a) + χ(b) χ(a B). (b) χ( A) é par. 40. Provar que a característica de Euler de uma variedade compacta, de dimensão dois e género g é 2 2g. 41. Calcular a característica de euler de um disco n dimensional. 42. Seja M uma variedade compacta e orientada sem bordo e Mostrar = {(x, x) M M x M} 5
(a) χ(m) = #(, ). (b) χ(m) = 0 se e somente se existe uma função M C M sem ponto fixo e homotopa a identidade. 43. Analisar soluções de alguns campos de vetores em um toro. 6
Prova, 22/2/2007, 8:00-13:00 44. Qual é o teorema de ponto fixo de Brouwer? Mencionar todos os teoremas que foram utilizados na sua demonstração. 45. (a) Qual é a característica de Euler de um toro e porque?. (b) Qual é grau de uma translação e multiplicação por n N em um toro e porque? (c) Dar um campo de vetores em um toro com soluções difeomorfa a S 1. 46. Uma função S n C S n com a propriedade f(x) = f( x), x S n tem grau par. 47. Um difeomorfismo R n C R n que preserva a orientação é isotopa a identidade. 48. Calcular o numero de Euler de fibrado dual T S n de fibrado tangente de S n. Para uma variedade M o fibrado dual está definido da seguinte maneira T x M = {v : T x M R linear }, x M 7