Cones com outras figuras geométricas 1. (Ufmg 01) Um cone circular reto de raio r um ângulo de 45, como ilustrado a seguir. e altura h é iluminado pelo sol a A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da base do cone nos pontos A e B, respectivamente. Com base nessas informações, a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo. ˆ AOB. b) DETERMINE o ângulo c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone.. (Ufg 01) Um cone circular reto de madeira, homogêneo, com 0 cm de altura e 0 cm de diâmetro da base, flutua livremente na água parada em um recipiente, de maneira que o eixo do cone fica vertical e o vértice aponta para baixo, como representado na figura a seguir. Denotando-se por h a profundidade do vértice do cone, relativa à superfície da água, por r o raio do círculo formado pelo contato da superfície da água com o cone e sabendo-se que as densidades da água e da madeira são 1,0 g/cm e 0,6 g/cm, respectivamente, os valores de r e h, em centímetros, são, aproximadamente: www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14
Dados: 1,44, a) 5,8 e 11,6 b) 8, e 18,0 c) 8,4 e 16,8 d) 8,9 e 15,0 e) 9,0 e 18,0 5 1,71.. (Ufpr 01) Num laboratório há dois tipos de recipientes, conforme a figura abaixo. O primeiro, chamado de tubo de ensaio, possui internamente o formato de um cilindro circular reto e fundo semiesférico. O segundo, chamado de cone de Imhoff, possui internamente o formato de um cone circular reto. a) Sabendo que o volume de um cone de Imhoff, com raio da base igual a cm, é de 60 ml, calcule a altura h desse cone. b) Calcule o volume (em mililitros) do tubo de ensaio com raio da base medindo 1 cm e que possui a mesma altura h do cone de Imhoff. 4. (Unicamp 01) Um brilhante é um diamante com uma lapidação particular, que torna essa gema a mais apreciada dentre todas as pedras preciosas. a) Em gemologia, um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 00 mg. Considerando que a massa específica do diamante é de aproximadamente,5 g/cm, determine o volume de um brilhante com 0,7 quilate. b) A figura abaixo apresenta a seção transversal de um brilhante. Como é muito difícil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de cone (parte superior) com o de um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o volume aproximado do brilhante. Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido empregando-se a fórmula π V h (R Rr r ) em que R e r são os raios das bases e h é a altura do tronco. www.nsaulasparticulares.com.br Página de 14
5. (Uern 01) A figura representa um sorvete de casquinha, no qual todo o volume interno está preenchido por sorvete e a parte externa apresenta um volume de meia bola de sorvete. Considerando que o cone tem 1 cm de altura e raio 6 cm, então o volume total de sorvete é a) b) c) d) 16 π cm. 60 π cm. 88 π cm. 64 π cm. 6. (Unicamp 011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. A altura do cone formado pela areia era igual a a) b) c) d) 4 1 1 da altura do cilindro. da altura do cilindro. da altura do cilindro. da altura do cilindro. www.nsaulasparticulares.com.br Página de 14
7. (Ufpb 011) A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo. Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de: Use: π =,14 a) 100.960 b) 15.600 c) 140.880 d) 0.888 e) 1.50 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa de uma figura plana em torno de um eixo. Por exemplo, rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura. www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 14
8. (Insper 011) Considere o sólido gerado pela rotação completa do triângulo acutângulo ABC, de área S, em torno de um eixo que passa pelo lado BC, que tem comprimento. O volume desse sólido é igual a a) b) c) 4πS. πs. 4πS. π d) S. e) πs. 9. (Ufpr 010) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura. a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 14
10. (Enem 010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura ). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. Considere: V 4 1 esfera R e Vcone R h Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a) 1,. b) 6,00. c) 1,00. d) 56,5. e) 11,04. 11. (Enem cancelado 009) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 0 cm está parcialmente ocupado por 65 cm de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Volume do cone: V cone = rh Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H? a) 5 cm. b) 7 cm. c) 8 cm. d) 1 cm. e) 18 cm. www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 14
1. (Pucrs 007) O raio da base de um cone circular reto e a aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular têm mesma medida. Sabendo que suas alturas medem 4 cm, então a razão entre o volume do cone e o da pirâmide é a) 1 b) 4 c) 1/π d) π e) π 1. (Pucrs 004) A figura a seguir mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura x. Retirando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é a) πx b) 4πx c) 8πx d) πx e) 8πx 14. (Unesp 004) Um recipiente, na forma de um cilindro circular reto de raio R e altura cm, está até à metade com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um cone circular reto, contém uma substância química que forma um cone de altura 7 cm e raio r (figura ). a) Sabendo que R = r, determine o volume da água no cilindro e o volume da substância química no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação ð =.) b) A substância química do cone é despejada no cilindro, formando uma mistura homogênea (figura ). Determine a concentração (porcentagem) da substância química na mistura e a altura h atingida pela mistura no cilindro. 15. (Ufmg 004) Um cone é construído de forma que: - sua base é um círculo inscrito em uma face de um cubo de lado a; e - seu vértice coincide com um dos vértices do cubo localizado na face oposta àquela em que se encontra a sua base. Dessa maneira, o volume do cone é de a) πa /6. b) πa /1. c) πa /9. d) πa /. www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 14
16. (Mackenzie 00) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado e AE = BE = O volume desse sólido é: 10. a) b) 5π 4π c) 4π d) 5π e) π 17. (Ufscar 00) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro. Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é a) 7 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 1 cm e) 15 cm 18. (Ufsm 00) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16ð cm, o raio da esfera é dado por a) cm b) cm c) cm d) 4 cm e) 4+ cm www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 14
19. (Uerj 00) Admita uma esfera com raio igual a m, cujo centro O dista 4 m de um determinado ponto P. Tomando-se P como vértice, construímos um cone tangente a essa esfera, como mostra a figura. Calcule, em relação ao cone: a) seu volume; b) sua área lateral. 0. (Mackenzie 001) Um prisma e um cone retos têm bases de mesma área. Se a altura do prisma é / da altura do cone, a razão entre o volume do prisma e o volume do cone é: a) b) / c) d) 5/ e) 5/ www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 14
Gabarito: Resposta da questão 1: a) O b) No ΔPOT ΔPOA é isósceles, pois PO = OT, logo PO = (figura ), temos: 1 cosα α 60 AÔB α 10 c) Sendo A = área da sombra do cone, temos: A A PAOB Asetor 10 1 π A sen60 π (figura 1) Resposta da questão : [C] Trabalhando com a proporção entre os volumes do cone menor e do cone maior, temos: h r 0,6 h r h r 1,44 h 16,8 0 10 1,0 0 10 5 0 10 1,71 e r = 8,4 Resposta da questão : a) Cálculo de volume de cone: 1 1 180 45 Vcone πr h 60 π() h h h cm 4π π b) O tubo é composto por parte cilíndrica e parte esférica. Logo: www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 14
14 Vtubo πr (h r) r π 45 1 4 V tubo π(1) 1 π(1) π π Vtubo 45 π 15 π Vtubo ml Resposta da questão 4: a) b) 0,7.0, 0,04.,5 π Volume do tronco: VT 0,6 (1 1. ) 1,4 π. Volume do cone: π..1,8 Vc,4 π. π π π Volume total: 1,4,4,8. Resposta da questão 5: [C] O volume total de sorvete é dado pela soma do volume da semiesfera de raio 6cm volume da casquinha, ou seja, com o 1 π 6 π 6 1 144π 144π 88πcm. Resposta da questão 6: [A] Como o volume de areia é o mesmo, segue que: www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 14
1 1 r h r h (R) h R h hcon h cil. 4 con con cil cil con cil Resposta da questão 7: [E] Área de uma cisterna = Área da sup. lateral do cone + área da superfície lateral do cilindro + área do círculo. Área da Cisterna =..,5 +... +. Área da cisterna = 17.m Área de 100 cisternas 1700.m Valor das cisternas 40.1700.,14 = 1.50 reais. Resposta da questão 8: [A] Uma rotação completa do triângulo ABC abaixo, constituído de dois cones. em torno da reta suporte do lado BC gera o sólido Como a área do triângulo do triângulo ABC r S (ABC) S r. Portanto, o volume pedido é dado por é S, segue que www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14
1 1 1 r x r ( x) r (x x) 1 r 1 S 4S. Resposta da questão 9: a) V 1 r 1 16 b) V líquido 16 x 1 V líquido Resposta da questão 10: [B] x 108 1....h h 18 h 6cm Resposta da questão 11: [B] Volume do cone =.5.6 50 cm Volume do líquido do cilindro da figura = 65-50 = 575 Altura do líquido do cilindro da figura..5.h = 575 h = cm. Na figura, temos: H = 0 h logo H = 7 cm Resposta da questão 1: [D] Resposta da questão 1: [B] Resposta da questão 14: a) volume da água no cilindro: 108r cm ; volume da substância química na mistura: 7r cm b) 0% ; h = 0 cm Resposta da questão 15: [B] Resposta da questão 16: [E] Resposta da questão 17: [C] www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14
Resposta da questão 18: [C] Resposta da questão 19: a) π m b) 6π m Resposta da questão 0: [A] www.nsaulasparticulares.com.br Página 14 de 14