Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Matemática (Mestrado Integrado em Ciências Farmacêuticas Tabelas Primitivas imediatas Função a Primitiva ax + C f m f m+ + C (m \{ } m + f a f ln f + C a f ln a + C (a + \{} Função sen f cos f tg f cotg f sec f cosec f sec 2 f cosec 2 f sec f tg f cosec f cotg f f 2 Funções trigonométricas Primitiva cos f + C sen f + C ln cos f + C ln sen f + C ln sec f + tg f + C ln cosec f cotg f + C tg f + C cotg f + C sec f + C cosec f + C arc sen f + C arc cos f + C + f 2 arc tg f + C ou arc cotg f + C f f 2 arc sec f + C ou ou arc cosec f + C Função sh f ch f th f coth f sech 2 f cosech 2 f sech f th f cosech f coth f + f 2 f 2 Funções hiperbólicas Primitiva ch f + C sh f + C ln ( ch f + C ln sh f + C th f + C coth f + C sech f + C cosech f + C arg sh f + C arg ch f + C f 2 arg th f+c, f <, arg coth f+c, f > f f 2 f + f 2 arg sech f + C arg cosech f + C
Primitivação por partes f(xg(x dx = F (xg(x F (xg (x dx, sendo F uma primitiva de f. egras práticas Potências de funções trigonométricas ou hiperbólicas Potências ímpares de sen x, cos x, sh x ou ch x. Destaca-se uma unidade à potência ímpar e o factor resultante passa-se para a co-função através das fórmulas fundamentais: cos 2 x + sen 2 x =, ch 2 x sh 2 x =. Potências pares de sen x, cos x, sh x ou ch x. Passa-se para o arco duplo através das fórmulas: sen 2 x = ( cos 2x, 2 cos2 x = ( + cos 2x, 2 sh 2 x = 2 ( ch 2x, ch 2 x = ( ch 2x +. 2 Potências pares e ímpares de tg x ( th x ou cotg x ( coth x. Destaca-se tg 2 x ( th 2 x ou cotg 2 x ( coth 2 x e aplica-se uma das fórmulas: tg 2 x = sec 2 x, cotg 2 x = cosec 2 x, ( th 2 x = sech 2 x, ( coth 2 x = + cosech 2 x. Potências pares de sec x ( sech x ou cosec x ( cosech x. Destaca-se sec 2 x ( sech 2 x ou cosec 2 x ( cosech 2 x e ao factor resultante aplica-se uma das fórmulas: sec 2 x = + tg 2 x, ( sech 2 x = th 2 x, cosec 2 x = + cotg 2 x, ( cosech 2 x = coth 2 x. Potências ímpares de sec x ( sech x ou cosec x ( cosech x. Destaca-se sec 2 x ( sech 2 x ou cosec 2 x ( cosech 2 x e primitiva-se por partes começando por esse factor. Produtos de potências de funções trigonométricas ou hiperbólicas Potência ímpar de sen x ( sh x por qualquer potência de cos x ( ch x. Destaca-se sen x ( sh x e passa-se o factor resultante para a co-função através da fórmula fundamental: sen 2 x = cos 2 x, ( sh 2 x = ch 2 x. Potência ímpar de cos x ( ch x por qualquer potência de sen x ( sh x. Destaca-se cos x ( ch x e passa-se o factor resultante para a co-função através da fórmula fundamental: cos 2 x = sen 2 x, ( ch 2 x = + sh 2 x. 2
Potência par de sen x ( sh x por potência par de cos x ( ch x. Aplicam-se as fórmulas: sen 2x = 2 sen x cos x, ( sh 2x = 2 sh x ch x, cos 2x = cos 2 x sen 2 x, ( ch 2x = ch 2 x + sh 2 x, sen 2 x = ( 2 ( cos 2x, sh 2 x = 2 ( ch 2x, cos 2 x = 2 ( + cos 2x, ( ch 2 x = 2 ( ch 2x +. Produtos em que aparecem factores do tipo sen mx ou cos nx ( sh mx ou ch nx Aplicam-se as fórmulas: sen x sen y = 2 (cos(x y cos(x + y, ( sh x sh y = 2 ( ch (x + y ch (x y, cos x cos y = 2 (cos(x + y + cos(x y, ( ch x ch y = 2 ( ch (x + y + ch (x y, sen x cos y = 2 ( sen (x + y + sen (x y, ( sh x ch y = 2 ( sh (x + y + sh (x y. Primitivação de fracções racionais Consideremos a fracção f(x onde f(x e g(x são dois polinómios. Se o grau do numerador for maior g(x ou igual ao grau do denominador, efectua-se a divisão de f(x por g(x. Obtém-se então f(x g(x = Q(x + (x g(x, sendo (x uma fracção própria. Para primitivar a fracção própia procede-se de acordo com os seguintes g(x passos. Decomposição do denominador da fracção própria em factores. Os factores obtidos são da forma (x a α, correspondendo a raízes reais a de multiplicidade α, ou da forma [ (x p 2 + q 2] β, correspondendo às raízes imaginárias p ± qi de multiplicidade β. Decomposição da fracção própria numa soma de elementos simples. Cada factor do tipo:. (x a α dá origem a com A i, i =,..., α, constantes a determinar; 2. [ (x p 2 + q 2] β dá origem a A (x a α + A 2 (x a α + + A α x a, P x + Q [(x p 2 + q 2 ] β + P 2 x + Q 2 [(x p 2 + q 2 ] β + + P βx + Q β (x p 2 + q 2, com P j, Q j, j =,..., β, constantes a determinar. Determinação das constantes. As constantes A i, i =,..., α, e P j, Q j, j =,..., β, podem ser determinadas conjuntamente pelo método do coeficientes indeterminados. Há, no entanto, uma forma alternativa de calcular essas constantes, que descrevemos de seguida. 3
. Cálculo dos coeficientes A i, i =,..., α. Seja ψ(x tal que g(x = ψ(x(x a α. Se: (a α =, temos que [ ] (x A = ; ψ(x x=a (b α >, efectua-se a divisão [ ] (x ψ(x x=a+h dispondo os polinómios por ordem crescente dos seus monómios, obtendo-se [ ] (x = A + A 2 h + + A α h α + α(a + h ψ(x ψ(a + h. x=a+h 2. Cálculo dos coeficientes P j, Q j, j =,..., β. Seja ψ(x tal que g(x = ψ(x [ (x p 2 + q 2] β. Se: (a β =, temos que [ P x + Q = (x ] ; ψ(x x=p+qi (b α >, as constantes calculam-se pelo método dos coeficientes indeterminados (as constantes P e Q podem ser obtidas como em (a. Nota: Caso apareçam elementos simples da forma a seguinte fórmula de recorrência: ( [(x p 2 + c] n dx = [ ( c 2n 2 x p 2n 3 [(x p 2 n + + c] 2n 2 [(x p 2 + c] n, estes podem ser primitivados usando [(x p 2 + c] n ] dx. Primitivação por substituição Sejam a, b, c e d constantes reais. A notação (... indica que se trata de uma função racional (envolvendo apenas somas, diferenças, produtos e quocientes do que se encontra entre parêntesis. Tipo de Função Substituição (x 2 + a 2, k N, k > x = a tg t k P (x (ax 2 + bx + c k, k N, k >, b2 4ac < 0, onde P (x é um polinómio de grau inferior ou igual a 2k ax + b 2 = t P (x ((x p 2 + q 2, k N, k >, onde P (x é um k polinómio de grau inferior ou igual a 2k x = p + qt x k x 2k ± a 2, k Q, k > xk = at 4
Tipo de Função Substituição (a rx, a sx,... a mx = t onde m = m.d.c.(r, s,... (log a x ( x, ( p ax + b cx + d q, ( ax + b cx + d r s,... t = log a x ax + b cx + d = tm onde m = m.m.c.(q, s,... (x, (ax + b p q, (ax + b r s,... ax + b = t m onde m = m.m.c.(q, s,... (x, x p q, x r s,... x = t m onde m = m.m.c.(q, s,... (x, a 2 b 2 x 2 x = a b sen t ou x = a b cos t ou x = a b th t (x, a 2 + b 2 x 2 x = a b tg t ou x = a b sh t (x, b 2 x 2 a 2 ( x, x, a bx x = a b sec t ou x = a b ch t x = a b sen 2 t ou x = a b cos2 t ( x, x, a + bx x = a b tg 2 t ( x, x, bx a x = a b sec2 t ( x, ax 2 + bx + c se a > 0 faz-se ax 2 + bx + c = x a + t se c > 0 faz-se ax 2 + bx + c = c + tx se ax 2 + bx + c = a(x r (x r 2, ax 2 + bx + c = (x r t ou ax 2 + bx + c = (x r 2 t x m (a + bx n p q se m + Z faz-se a + bx n = t q n se m + + p n q Z faz-se a + bxn = x n t q 5
Tipo de Função Substituição ( sen x, cos x: (a se (u, v é ímpar na variável u, isto é, ( u, v = (u, v cos x = t (b se (u, v é ímpar na variável v, isto é, (u, v = (u, v sen x = t (c se (u, v é par em nas variáveis u e v, isto é, ( u, v = (u, v tg x = t, obtendo então (supondo x ]0, π 2 t [ sen x =, cos x = + t 2 + t 2 (d nos restantes casos (e até nos anteriores tg x 2 sen x = = t, obtendo então 2t t2, cos x = + t2 + t 2 ( sen mx, cos mx mx = t (e x, sh x, ch x x = ln t ( sh x, ch x: (a é ímpar em sh x (b é ímpar em ch x (c é par em sh x e ch x (d nos restantes casos (e até nos anteriores ch x = t sh x = t th x = t, obtendo então t sh x =, ch x = t 2 t 2 th x 2 sh t = = t, obtendo então 2t + t2, ch x = t2 t 2 ( sh mx, ch mx mx = t Observação: Quando se efectua uma substituição, aparece frequentemente uma expressão do tipo f 2 (t. No caso geral terá de se escrever f 2 (t = f(t. 6