INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A integração indefinida ou anti-derivação é a operação inversa da derivação, da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição ou a divisão é a operação inversa da multiplicação. EXEMPLOS. Se f ( ), então sua derivada é: das anti-derivadas de é. f ( ) ou ( ). Nesse caso, uma f. Se f ( ), então sua derivada é: ( ). Nesse caso, uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de é. Se f ( ) + 7, então sua derivada ( ). Nesse caso, uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de f. f é + 7. Note que nos eemplos, falamos uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas. Podemos entender melhor, quando observamos os eemplos e, já que tanto quanto + 7 são integrais indefinidas para a mesma função. Assim, vemos que a diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, veja:. no eemplo, a constante era o 0 ( + 0). no eemplo, a constante era o 7 ( + 7) Representando essa constante por C, temos que a integral indefinida de é, onde C é uma constante real. Indicamos a integral indefinida ou anti-derivada de f () por f ( ) d f ( ).
PROPRIEDADES Utilizaremos as seguintes propriedades para realizar a integração das funções polinomiais elementares:. d. f ( ) d k k f ( ) d. [ ( ) g( ) ] d f ( ) d + f + g( ) d n + n. d ( n ) n +, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria fun- d d ção.. [ f ( ) d ] f ( ) d f ( ) 6. d f ( ), ou seja, a integral da derivada de uma função, é a própria d função mais uma constante arbitrária. Através de uma simples derivação das funções que estão nos segundos membros destas igualdades, poderemos conduzir à epressão que está sob o sinal de integração, isto é, poderemos conduzir à função integranda, o que verifica cada uma das propriedades. CASOS PARTICULARES Estes casos particulares das propriedades estudadas são úteis no desenvolvimento dos processos de integração. f ( ) k. d f ( ) d k. ( ) d f f ( ) d
INTEGRAIS IMEDIATAS Integrais imediatas são as integrais que decorrem de forma direta das fórmulas de derivação. Através deste processo, temos as seguintes fórmulas de integração: TABELA DE DERIVADAS E INTEGRAIS Derivadas Integrais 0) ( ) d d d d 0) d ( a) a d ad a d a 0) n + n + d n n, n d n + d, n n + 0) (ln ) d d ln 0) d a a a d a a d ln ln a 06) d ( e ) e e d e d 07) d ( sen ) cos d cos d sen 08) d (cos ) sen d sen d cos 09) tg ( ) sec sec d tg d 0) g (cot ) cos sec cos sec d cot g d ) d (sec ) sec tg d sec tg d sec ) d (cossec ) cos sec cot g d cos sec cot g d cossec ) d ( arc tg ) d + + d arc tg ) d ( arc sen ) d d arc sen ) d ( arc cos ) d d arc cos 6) d ln + + d d ln + + + + 7) d + + ln d ln d
QUESTÕES RESOLVIDAS Questão 0 Calcule: a) d d b) d d d c) ( + ) d ( + ) d d + d + d) ( + ) d ( + ) d ( + + ) d d + d + d + + + + e) ( + + + ) d d + d + d + d d + d + d + d + + + + + + f) ( + ) d d + d d + + g) d d ln
h) d d ( ) d Fazendo a, temos: a ( ) a d ln a ln ( ) ln ln i) ( e ) d ( e ) d e d e j) e d e d ( e ) d Fazendo e a, temos: a ( e ) a d ln a ln e e e k) e d e d ( e ) d Fazendo e a, temos: a ( e ) a d ln a ln e e e l) ( e + ) d ( e + ) d e d + d e + ln m) + d + d d + d + ln
n) + d + d d + d + + + + d + d + + + o) d d d + + d d d d d d p) cos d cos d cos d sen q) ( sen ) d ( sen ) d sen d ( cos ) cos r) cos + sen d cos d + sen d d sen cos ln 6
s) + sec + d + d + sec d + d + arc tg + tg + arc sen d t) 9 9 d d d 9 9 9( ) d arc sen d u) + d d d + ( + ) + arc tg EXERCÍCIOS Questão 0 a) f ( ) b) f ( ) Questão 0 7 a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 0 Questão 0 a) f ( ) + b) c) f ( ) 6 + f ( ) + Questão 0 a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 0 Questão 0 6 a) f ( ) b) c) f ( ) f ( ) + 7
Questão 06 Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) d b) ( ) d c) ( + ) d d) ( + + ) d e) ( + + ) d f) ( + + ) d g) + d h) d i) d j) d k) + d l) + d + m) d n) ( + )( + ) d o) ( + sen ) d p) sec tg d e + cos sen q) d r) d sec + + s) cos sec (cossec + cot g ) d t) ( e + ) d u) d Questão 07 k Sendo k um número real não nulo, mostre que e d e. k k Questão 08 Calcule: d a) d d d 6 b) d d 8