e Aula Zero - Álgebra Linear Professor: Juliano de Bem Francisco Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina agosto de 2011
Outline e
e Part I -
Definição: e Consideremos o conjunto de 5 alunos que fizeram 4 avaliações. Para representar esses dados de maneira organizada, podemos fazer uso de uma tabela: Ana 4,5 6,2 7,0 5,5 Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0 Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2 Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0 Edson 6,8 7,2 6,8 7,5 O tratamento por linhas, por colunas, por elementos fazem desses objetos matemáticos instrumentos valiosos na organização e manipulação de dados.
Definição: e Uma matriz é um arranjo de números, símbolos, letras, etc, dispostos em linhas e colunas. Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que a matriz tem ordem m n. Exemplos: 0 2 1 4 A = 3 1 0 0 B = 2 5 1 2 ( ) 2 1 3 5 A matriz A é de ordem 3 4 e a matriz B é de ordem 2 2.
Definição: e Uma matriz A de ordem m n é representada por: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =...... a m1 a m2 a mn m n Abreviadamente podemos escrever, A = [a ij ] m n, com 1 i m, 1 j n e i, j N. Na matriz A do exemplo anterior tem-se que a 14 = 4 e a 22 = 1.
Tipos de e Matriz Nula é aquela em que todos os seus elementos são nulos. Exemplo: O = ( 0 0 0 0 0 0 ) O = ( 0 0 0 0 ) Matriz Linha é aquela que possui uma única linha (m = 1). Exemplo: A = ( 2 1 1 3 ) 2
Tipos de e Matriz Coluna é aquela que possui apenas uma coluna (n = 1). Exemplos: A = 1 0 1 B = ( 5 4 ) Um vetor no plano ou no espaço pode ser considerado como uma matriz coluna. Usaremos essa forma ao representar a solução de um sistema de equações.
Tipos de e Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). Exemplo: 2 1 0 A = 0 1 2 2 π 3 Matriz Identidade é uma matriz quadrada cujos elementos a ij = 0 se i j e a ij = 1 se i = j. Exemplo: A = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Tipos de e Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos a ij são nulos quando i > j, isto é: a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n A =...... 0 0 a nn Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos a ij são nulos quando i < j, isto é: a 11 0 0 a 21 a 22 0 A =...... a n1 a n2 a nn
Tipos de e Matriz Simétrica é uma matriz quadrada de ordem n, em que a ij = a ji, 1 i, j n. Exemplo: A = 4 3 1 3 2 0 1 0 5 Matriz Anti-Simétrica é uma matriz quadrada de ordem n, em que a ij = a ji, 1 i, j n. Exemplo: A = 0 3 0 2 3 0 1 1 0 1 0 2 2 1 2 0
Tipos de e Matriz Elementar Uma matriz é denominada elementar se for obtida por meio de uma única mudança na matriz identidade. Essa mudança pode ser de um dos seguintes tipos: 1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna); 2) A multiplicação de uma linha (ou coluna) por um valor α R; 3) A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor α R, com outra linha (ou coluna).
Tipos de e Exemplos: a) A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha 1 pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 é dada por: ( ) 0 1 E 1 = 1 0 b) A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha 3 por -3 e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem 3) é dada por: 1 0 0 E 2 = 0 1 0 0 1 3
Igualdade de e Definição Duas matrizes A = [a ij ] m n e B = [b ij ] m n são iguais quando a ij = b ij, i, j. Exemplo: ( 9 1 log 1 A = 2 2 2 5 são iguais. ) e B = ( 9 sen (π/2) 0 2 4 5 )
Operações com - Adição e Definição Sejam A = [a ij ] m n e B = [b ij ] m n, a matriz A somada com a matriz B, resulta numa matriz C = [c ij ] m n, cujos elementos são: c ij = a ij + b ij, i, j. Denotamos por: C = A + B = [a ij + b ij ] m n. Exemplo: 1 1 4 0 2 5 + 0 4 2 5 1 0 = 1 3 2 5 3 5. Propriedades: (a) Comutatividade: A + B = B + A. (b) Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C). (c) Elemento Neutro da Adição: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 denota a matriz nula. (d) Elemento Simétrico: A + ( A) = 0.
Produto de uma matriz por um escalar e Definição Seja k um número qualquer. Para multiplicar k por uma matriz A de ordem m n, basta multiplicar cada entrada a ij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também m n e seus elementos serão b ij = k a ij. Exemplo: 2 2 10 1 1 3 0 0 2 3 = 4 20 2 2 6 0 0 4 6.
Produto de uma matriz por um escalar e Propriedades: (a) Associativa: k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 )A. (b) Distributiva à direita em relação as matrizes: k(a + B) = ka + kb. (c) Distributiva à esquerda em relação aos escalares: (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 B. (d) Elemento Neutro: 1.A = A. (e) 0.A = 0.
Matriz transposta e Definição Dada uma matriz A = [a ij ] m n, podemos obter uma outra matriz A = [b ij ] n m, cujas linhas são as colunas de A, isto é, b ij = a ji. A é denominada a transposta de A. Exemplo: Seja A = ( 3 2 5 1 7 0 ). A transposta de A é a matriz A = 3 1 2 7 5 0. Propriedades: (a) (A ) = A. (b) (A + B) = A + B. (c) A é simétrica se, e somente se, A = A. (d) (ka) = ka, k é um escalar qualquer.
Produto de e Definição Sejam, A = [a ij ] m n e B = [b rs ] n p, então, seu produto A.B é a matriz m p dada por: C = [c uv ] m p. Os elementos da n matriz produto c uv são dados por: c uv = a uk b kv. k=1 Propriedades: (a) AI = IA = A, onde I é a matriz identidade. (b) Associativa: (AB)C = A(BC). (c) Distributiva: A(B + C) = AB + AC. (d) (A + B)C = AC + BC. (e) k(ab) = (ka)b = A(kB). (f) (AB) = B A.
Traço de uma Matriz e Dada A = [a ij ] n, o traço de A, denotado por Tr (A), é o número dado pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto é: Tr (A) = n a ii. i=1 Propriedades: (a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B); (b) Tr (αa) = αtr (A); (c) Tr (A ) = Tr (A); (d) Tr (AB) = Tr (BA).
Determinantes e Cofator de uma Matriz: O cofator A ij do elemento na posição (i, j) de uma matriz A é dado pelo valor do determinante M ij, vezes o valor ( 1) i+j. Isto é: A ij = ( 1) i+j det(m ij ) onde M ij é a matriz obtida eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. Definição Seja A uma matriz de ordem n, o cálculo do determinante da matriz referido a linha k é dado por: A = a k1 A k1 + a k2 A k2 +... + a kn A kn. Similarmente é possível fazer o desenvolvimento por colunas.
Propriedades do Determinante e Considere A e B matrizes quadradas. Então, valem as propriedades dos determinantes. Propriedades: (a) Se A possui uma linha (ou colunas) de zeros, então, det (A) = 0; (b) Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais, então, det (A) = 0; (c) Se B é obtida de A multiplicando-se uma linha (ou coluna) por um escalar α, então, det (B) = α det (A);
Propriedades do Determinante e Propriedades: (d) Se B é obtida por troca das posições relativas de duas linhas (ou colunas) da matriz A, então, det (B) = det(a); (e) Se B é obtida de A, substituindo-se a linha i (ou coluna) por ela somada a um multiplo escalar de outra linha j (ou coluna) (j i) então, det (B) = det (A); (f) det (A) = det (A ); (g) det (AB) = det (A) det(b).
Matriz Adjunta e Dada A = [a ij ] n, a matriz adjunta de A é dada por Adj (A) = (Cof (A)), onde Cof (A) é a matriz cujos elementos são os cofatores A ij da matriz A, ou seja, é a matriz onde cada elemento a ij é igual ao cofator A ij da matriz A. Teorema Se A é uma matriz de ordem n, Adj (A) A = A Adj (A) = det (A) I n.
Matriz inversa e Definição Uma matriz é dita singular se o seu determinante é nulo. Caso contrário, dizemos que a matriz é não singular. Definição Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A 1, de mesma ordem, tal que A.A 1 = A 1.A = I n, então dizemos que A é inversível e que A 1 é matriz inversa de A. Propriedades: Se A é inversível, então, A é não singular.
Matriz inversa e Se det (A) 0 então Propriedades: A 1 = Se A e B são inversíveis, então: (a) (AB) 1 = B 1 A 1. (b) (A 1 ) 1 = A. adj (A) det (A) (c) (A ) 1 = (A 1 ). (d) det (A 1 1 ) = det (A)
Operações Elementares e Operações elementares são realizadas na matriz com o objetivo de invertê-la, reduzi-la ou simplesmente colocá-la num formato especificado previamente. Elas podem ser de três tipos: 1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna); 2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valor α R, com α 0; 3) A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valor α R (α 0) numa outra linha (ou coluna).
Forma Escada de uma Matriz e Dizemos que uma matriz A = (a ij ) m n está na sua forma escada quando: a) se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna k i, então a ij = 0 para todo i > k i. Em outras palavras, os elementos da coluna k i que estão abaixo do primeiro elemento não nulo da linha i são todos iguais à zero; b) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas; c) Se as linhas 1,..., r são linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna k i, então, k 1 < k 2 <... < k r.
Forma Escada de uma Matriz e Exemplos: ( ) 0 1 0 A 1 = 0 0 0 A 2 = A 3 = 0 1 5 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
e Part II -
de Equações e Definição Um sistema da forma a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m (1) é chamado de sistema de equações lineares de ordem m n.
Forma Matricial de um Sistema Linear e O sistema de equações (1) pode ser escrito na forma matricial: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn x 1 x 2. x n = b 1 b 2. b m, ou ainda, com X = x 1 x 2. x n, A = AX = B, (2) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn e B = b 1 b 2. b m.
Exemplo e Exemplos: x 1 + 2x 2 = 1 2x 1 + x 2 = 0 x 1 x 2 = 1 Forma matricial: X = [ x1 x 2 ], A = 1 2 2 1 1 1 e B = 1 0 1.
Interpretação Geométrica e Considere o seguinte sistema: { a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Geometricamente temos as seguintes possibilidades:
Combinação Linear de Vetores e O sistema: { x + 2y = 5 pode ser escrito da forma ( 1 x 3 3x + y = 5 ) + y ( 2 1 ) = ( 5 5 )
Posto e Nulidade de uma Matriz e Definição Dada uma matriz A de ordem m n, o posto da matriz, p(a), é dado pela ordem da maior submatriz não singular da matriz dada. Exemplo: 1 2 A = 2 4 1 2 Definição 3 2, temos que p(a) = 1 Dada uma matriz A de ordem m n, a nulidade da matriz, nul(a), é dada pela diferença entre o número de colunas e o seu posto (nul(a) = n p(a)).
Posto e Nulidade de uma Matriz e Definição As linhas linearmente independentes (L.I.) de uma matriz A são as linhas não nulas de sua forma escada. Exemplo: Seja A tal que sua forma escada é 1 Ã = 0 0 2 0 0 0 0 1 números de linhas L.I. de A?? 0 0 0 0 0 4 5
e Propriedades: (a) Se A é m n, então p(a) = (núm. de linhas L.I.) (b) p(a) min{m, n} Conclusão: Achar p(a) basta achar o posto de sua forma escada! Assim, se A é tal que sua forma escada é 1 Ã = 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 Então, posto de A é 3 e sua nulidade é 2.
e Mais exemplos: Ã = Ã = 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 4 5 4 5 p(a) =?? nul(a) =?? p(a) =?? nul(a) =?? Exercício Encontre o posto e nulidade de A = 1 2 1 0 2 1 1 1 1 3 2 1 0 5 3 1
Equivalentes e Equivalentes e Definição Duas matrizes A e à são ditas matrizes equivalentes se uma delas e obtida ao fazermos operações elementares na outra. Exemplo: 1 2 1 4 A = 0 0 2 1 1 2 1 4 1 2 1 4 à = 0 0 1 1/2 0 0 0 0 é equivalente a
e Propriedade. equivalentes possuem o mesmo posto. Definição Dado um sistema AX = B, com A m n, definimos a matriz aumentada/ampliada do sistema por A u = [A : B] (de ordem m (n + 1))
e Definição Dois sistemas, AX = B e ÃX = B, são ditos equivalentes se as matrizes aumentadas dos mesmos, A u = [A : B] e à u = [à : B], são matrizes equivalentes. Exemplo: Os sistemas x + 2y + z t = 1 2z 2t = 2 x 2y z + 2t = 1 são equivalentes. e x + 2y + z t = 1 z t = 1 t = 0
e Propriedades: equivalentes possuem o mesmo conjunto solução. Ideia para resolver sistemas lineares: Aplicar operações elementares em [A : B] e obter [Ã : B] na forma escada, e então resolver ÃX = B (mais simples)
Caracterização dos e Seja o sistema linear de m equações com n incógnitas da forma: AX = B. O sistema linear pode ser: a) Possível, se possui solução. Neste caso, p(a u ) = p(a). Determinado: quando a solução é única. Neste caso, p(a) = n; Indeterminado: quando há infinitas soluções. Neste caso, p(a) < n. b) Impossível, se não possui solução (p(a u ) > p(a)).
e Exemplo: Considere o sistema AX = B onde A = 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 5, B = z 4 1 Qual valor de z para que o sistema seja possível? e impossível? Pode ser determinado?
Graus de Liberdade e Definição Considere um sistema indeterminado AX = B, com A m n. O número de graus de liberdade do sistema é g = n p(a) > 0 (que é o número de variáveis livres). Exemplo: A = 1 2 1 3 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0, B = então, g =?? e as variáveis livres são?? 1 0 1 0 e X = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
Método de Gauss e O Método de Gauss para sistemas lineares: escolher variáveis livres e, a partir delas, encontramos as outras variáveis usando o sistema equivalente na forma escada.
e Exemplo Encontre o grau de liberdade, as variáveis livres e o conjunto de soluções para o sistema, indicando o posto e a nulidade da matriz do sistema : x + 2y 3z 2s + 4t = 1 2x + 5y 8z s + 6t = 4 x + 4y 7z + 5s + 2t = 8 Escreva as soluções como combinação linear de vetores.
Homogêneos e Definição Quando B = 0 dizemos que o sistema é homogêneo. Neste caso, AX = 0. Notação: SL h. Observação Ao aplicar operações elementares no sistema aumentado [A : 0] a última coluna vai ser sempre 0, ou seja, teremos [Ã : 0]. Propriedades: Em um sistema AX = B, a solucão geral é X = X p + X h, onde X p é uma solução particular do sistema e X h é a solução geral do sistema homogêneo Ax = 0.
e Exemplo Encontre o conjunto de soluções para o sistema homogêneo: x + 2y 3z 2s + 4t = 0 2x + 5y 8z s + 6t = 0 x + 4y 7z + 5s + 2t = 0