4 HIDROLOGIA ESTATÍSTICA: conceitos e aplicações

4 HIDROLOGIA ESTATÍSTICA: coceitos e aplicações 4. Coceitos básicos de Probabilidades Um cojuto de dados hidrológicos ecessita ser previamete aalisado com base em algus idicadores estatísticos básicos para que se possa, efetivamete, desevolver a teoria das probabilidades às situações práticas desejadas. Primeiramete, este cojuto de dados hidrológicos é cohecido, o âmbito da hidrologia, como série histórica e cosiste, basicamete, de uma amostra extraída de uma população. Com base esta amostra, podemos calcular algus idicadores e medidas estatísticas importates, como média, desvio padrão (variâcia), assimetria, curtose e distribuição de freqüêcia dos dados observados a amostra. Estas medidas caracterizam apeas a amostra e ada dizem a respeito da população em si. A distribuição de freqüêcias demostra o comportameto da amostra o tocate à sua simetria e é osso objetivo, a hidrologia estatística, modelar esta distribuição de freqüêcia com base um modelo matemático, costituído de parâmetros, cohecido como Distribuição de Probabilidades. Primeiramete, é importate que caracterizemos algumas situações relativas à amostra, cotextualizada em termos da hidrologia. Podemos modelar uma distribuição de freqüêcia o cotexto de dados discretos, como por exemplo, o laçameto de uma moeda ou o sorteio de úmeros de alguma forma de loteria. No caso da hidrologia, pode-se, evetualmete, cosiderar dias chuvosos como variáveis hidrológicas discretas, mas a maioria das vezes, a hidrologia cosidera suas aálises detro do cotexto de variáveis cotíuas. Em se tratado de variáveis discretas, podemos respoder à perguta: qual a probabilidade de um úmero qualquer ser sorteado (eveto x) detro de um espaço amostral fiito S qualquer, costituído por N úmeros, sedo este um eveto aleatório. A resposta pode ser escrita da seguite forma: mx P ( x) () N Observe que todos os úmeros que costituem o espaço amostral S possuem a mesma possibilidade de ser sorteados uma situação ão viciada. É importate, o etato, difereciarmos probabilidade de freqüêcia. Esta última está associada ao úmero de vezes que um determiado eveto ocorreu, equato que probabilidade refere-se às possíveis situações de ocorrêcia, que o caso da equação, é cosiderada como de igual de probabilidade. Assim, se um sorteio de cara e coroa é realizado 0 vezes e cara for sorteado 7 vezes, sua freqüêcia será 0,7. Por lado, como

temos apeas duas possibilidades e estas são iguais (uma situação ão viciada), o úmero de vezes esperado para o sorteio de cara é 5 vezes, portato, a probabilidade seria 0,5. No etato, a hidrologia, em grade parte das vezes, os iteressa, em termos práticos, avaliar qual a possibilidade de um determiado eveto ser maior ou igual (ou meor ou igual) a um dado valor x i e isto remete ao coceito de uma variável cotíua, como por exemplo, vazões de um rio. Existem difereças importates os modelos probabilísticos para ambas as situações. No caso de variáveis discretas busca-se estimar qual a P(x) ser igual a um valor; o caso de variáveis cotíuas, qual a P(x > x i ) ou P(X<x i ). Para variáveis discretas, o modelo probabilístico pode ser ajustado com apeas um parâmetro, ormalmete viculado à média, como o caso da Distribuição de Poisso. Em se tratado de variáveis cotíuas, o modelo probabilístico ecessita de ou 3 parâmetros para seu ajuste, e estes estão viculados às medidas estatísticas de média, variâcia e assimetria, ou seja, aos mometos estatísticos de ª, ª e 3ª ordes. 4.. Probabilidade Codicioal A probabilidade de ocorrêcia de um determiado eveto A pode ser iflueciado pela ocorrêcia de outro eveto B, uma vez que haverá redução do espaço amostral S para a realização do eveto A quado B ocorre. Neste caso, tem-se a seguite defiição: ( B) P A ( B) P( B) P A () Nesta equação, ( A B) codicioada) ao eveto B, ( A B) P sigifica a probabilidade do eveto A, associada (ou P sigifica a itersecção dos evetos A e B o plao amostral S e P(B) é a probabilidade de ocorrêcia do eveto B. Graficamete, teríamos: S B A P( A B) Deste esquema, depreede-se também que:

3 P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) (3) Exemplo de Aplicação 4. a) Sabedo-se que a probabilidade de ocorrer em jaeiro uma precipitação total superior 00 mm é de 0,098, recalcule esta probabilidade sabedo-se que já ocorreram 30 mm o respectivo mês e que a probabilidade de se superar este último valor é de 0,34. Neste exemplo, o eveto A cosiste de P(A) 0,098; o eveto B é P(B) 0,34. Queremos a probabilidade do eveto A mediate a codição de que já houve 30 mm o mês de jaeiro, ou seja, P(A B): ( A B) P( B) ( ) P( A) P( B) P P B 0,098 P ( A B) 0,58 0,34 b) Cosidere evetos probabilísticos, A e B, ambos associados à possibilidade da vazão míima de um curso d água ão ateder à demada de um projeto, que é 4 m 3 /s. O eveto A implica que a probabilidade da vazão do córrego A ser iferior a m 3 /s é de 0,0547 e do córrego B é de 0,089. Qual a probabilidade do projeto ão receber a vazão míima projetada, sabedo-se que o eveto A está codicioado a B [(P B) 0,65]? P(A) 0,0547; P(B) 0,089. A possibilidade do projeto ão ser atedido implica em ( A B) P (equação 3). Como P(A B) é 0,65, da equação, tem-se: ( A B) P( A B) P( B) 0,65 0,089 0, 0579 P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0,0547 + 0,089 0,0579 0, 0859 P

4 4. Freqüêcia de Dados Hidrológicos Os feômeos hidrológicos podem ser caracterizados como aleatórios, podedo-se associar aos mesmos, um caráter probabilístico evolvedo estes feômeos. Em termos de seu comportameto há de se ressaltar que, sempre haverá possibilidade de um dado eveto hidrológico ser superior ou iferior a um valor histórico já registrado. Isto é essecial para o etedimeto das variáveis hidrológicas, uma vez que esta é uma das pricipais fuções da hidrologia, que cosiste em observar os evetos e modelar as freqüêcias de ocorrêcia, possibilitado que sejam feitas previsões assumido determiado risco. As variáveis hidrológicas, a maioria das vezes, são cosideradas cotíuas, ou seja, variáveis que em termos físicos, existem cotiuamete o tempo. Em termos estatísticos, são aplicadas distribuições que modelam este caráter, trabalhado com cálculos de áreas sob a curva de distribuição de probabilidades abaixo ou acima de determiado valor de iteresse prático ou etre valores. Percebe-se que este caso, ão se perguta qual a probabilidade de um determiado eveto ser IGUAL a um valor específico, como o sorteio de um úmero, e sim, deste eveto ser maior ou meor que este valor, ou estar etre valores específicos. Este etedimeto também é fudametal para aplicação das distribuições de probabilidades aos feômeos hidrológicos. O primeiro passo para se modelar a freqüêcia de dados hidrológicos é fazer um estudo de sua ocorrêcia, o que se estabelece um percetual com que uma variável hidrológica pode ser maior que um dado valor. Isto é chamado freqüêcia de excedêcia e é obtida diretamete de uma série histórica de dados. Cotudo, pode-se trabalhar com a freqüêcia de ão excedêcia, ou seja, aquela em que se estuda o percetual de uma variável ser meor ou igual a um dado valor. A escolha depede dos objetivos, os quais serão discutidos a seqüêcia. Deve-se ressaltar que uma é o complemeto da outra, ou seja: fexc f ão exc (4) Existem algumas defiições de freqüêcia cosiderado variáveis cotíuas, destacado-se:

5 Tabela 4. Equações para estimativa da freqüêcia observada e suas aplicações. Fórmula Autor Observações i f obs N + i 0,44 f obs N + 0, i 0,375 f obs N + 0,5 i 0,50 f obs N i 0,40 f obs N + 0,0 Weibull Aplicação ao estudo de probabilidades ão Grigorte Blom Haze eviesadas (sem tedêcia) para qualquer modelo de Distribuição. Aplicada para estudos associados às Distribuições Gumbel e GEV. Aplicada para estudos associados às Distribuições Normal e Log-ormal. Aplicada para estudos associados à Distribuição Gama 3 parâmetros. Cuae Aplicação ao estudo de probabilidades ão eviesadas (sem tedêcia) para qualquer modelo de Distribuição. O termo i, o umerador, refere-se à posição que o dado ocupa detro da série histórica, a qual deve ser ordea em ordem crescete para freqüêcias de ão excedêcia e ordem decrescete para freqüêcia de excedêcia. Por outro lado, N, o deomiador, refere-se ao tamaho da série histórica. Ressalta-se que os exemplos de aplicação aqui desevolvidos, será cosiderada apeas a equação proposta por Weibull. Com base o estudo das freqüêcias de ocorrêcia, ajusta-se uma distribuição de probabilidades e aquela que obtiver o melhor ajuste (meores difereças etre as freqüêcias observadas e estimadas) deve ser a escolhida. Note que o tamaho da série histórica tem grade importâcia haja vista que ela represetará a possibilidade de ocorrêcia, ou seja, quato maior esta, maior a represetatividade do eveto, tedo como referêcia seu registro histórico. Portato, o ajuste de uma distribuição de probabilidades busca sua aplicação para estimar as freqüêcias de evetos que aida ão foram registrados e que ormalmete são aplicados a projetos hidráulicos. A freqüêcia de excedêcia é bastate usada em hidrologia, especialmete quado os dados a serem trabalhados costituem séries históricas de precipitação. No etato, para estudos de vazões, esta situação é também é importate, sedo que, este caso, pode-se gerar um gráfico cohecido como Curva de Permaêcia. Isto sigifica que pode-se obter a percetagem de tempo (ou permaêcia) o qual um determiado eveto é superado ou igualado. Estudos com esta cootação têm várias importâcias práticas, como por exemplo, a determiação de uma vazão míima de um curso d água para abastecimeto ou irrigação, ou aida, a precipitação míima um determiado período de um mês visado ao balaço hídrico e forecimeto da lâmia de irrigação suplemetar, ambas as gradezas

6 associadas a uma probabilidade de excedêcia. A Figura 4. ilustra uma curva de permaêcia hipotética. Figura 4. Represetação gráfica de uma curva de permaêcia hipotética. No gráfico acima, para um valor y de vazão, x é a percetagem de tempo com que esta vazão é igualada ou superada, ou seja, sua permaêcia. Um valor prático extraído da curva de permaêcia é o Q 90%, o qual sigifica a vazão existete o curso d água em 90% do tempo, sedo aplicada à gestão dos recursos hídricos. Pela curva, observa-se que se trata de uma vazão pequea. O risco assumido é de que há possibilidade de 0% da mesma ser iferior ao valor estimado e este caso, problemas com o forecimeto de água ao projeto. Uma observação adicioal pode ser feita. Quato meor o itervalo de aálise dos dados (dados diários, mesais ou auais) mais segura será a iterpretação da curva de permaêcia. Isto quer dizer, por exemplo, que a aálise de dados diários de vazão de um determiado rio forece um valor meor de vazão, para uma dada permaêcia, do que dados mesais ou auais. Estes últimos geram valores superestimados, sedo mais útil para a gestão dos recursos hídricos, o estudo com observações diárias.

7 4.3 Coceito de Tempo de Retoro (TR) O tempo de retoro represeta o iverso da freqüêcia com que um eveto pode ser igualado ou superado, ou seja, reflete a probabilidade com que uma dada variável hidrológica possa ser igualada ou superada, pelo meos uma vez, um ao qualquer. Ao se ajustar uma distribuição de probabilidades aos dados de freqüêcia de uma série histórica, utiliza-se a probabilidade de excedêcia para estimar um tempo de retoro, que é obtido em aos. Por defiição, tem-se: TR (5) F ( X > xi) Ao se assumir uma distribuição de probabilidades com F (X > xi) estimado por P (X > xi), tem-se: TR (6) P ( X > xi) No etato, quado o objeto de estudo cosiste de uma série histórica de dados hidrológicos míimos ou dados que apresetem distribuição ormal, o tempo de retoro a ser estimado também está associado à probabilidade com que o valor míimo cosiderado pode ser iferior ao esperado, ou seja: TR (7) F ( X xi) P( X xi) Esta situação é comum quado se trabalha com dados de vazão míima visado à gestão dos recursos hídricos e avaliação da dispoibilidade de água para irrigação ou abastecimeto. Uma vazão específica correspode ao valor da Q 7,0, que sigifica um valor míimo de vazão em 7 dias cosecutivos, com Tempo de Retoro de 0 aos. Isto sigifica que há probabilidade de 0% de ocorrer uma vazão míima com 7 dias cosecutivos iferior ao valor estimado, sedo iterpretado como um fator de seguraça, porém associado à garatia de vazão o curso d água. Cotudo, o cálculo de TR, com base o seu coceito, ão é suficiete. Assim, é possível calcular o risco hidrológico propriamete dito, o qual está associado à probabilidade de um eveto ser igualado ou superado, porém, um itervalo de tempo N meor que TR e cuja defiição prática está associada à vida útil da obra. Na realidade, esta probabilidade pode ser calculada pesado-se a probabilidade de que o eveto ão ocorra. A liha de raciocíio é a seguite: dados que p é a probabilidade de ocorrêcia de um eveto um ao qualquer; seu complemeto é k, ou seja, a probabilidade de ão ocorrêcia. Assim: k p (8)

8 Cosidera-se que a probabilidade do eveto ão ocorrer em qualquer dos aos, um itervalo de N aos, é dada por: N K k (9) Da mesma forma, seu complemeto, o setido agora de ocorrêcia, será: R K (0) Sedo R o risco de ocorrêcia do eveto um período de N aos. Fazedo-se algumas substituições, chega-se a: N R k () N R ( p) () N R (3) TR Na realidade, esta seqüêcia de equações ada mais é do que a aplicação da Distribuição Biomial, cosiderado a probabilidade de ão ocorrêcia, ou seja, P(x0). A Distribuição Biomial apreseta a seguite estrutura: P N x (4) x Nx ( X x) p ( p) Assim, para a situação de ão ocorrêcia, ou seja, P (X0), teremos: P N 0 (5) ( X 0) p 0 ( p) N ( p ) N Para a situação de ocorrêcia: P(X N x) ( p) (6) Sedo P(Xx) o risco hidrológico R defiido ateriormete. O desdobrameto, em fução de TR, é idêtico ao apresetado ateriormete.

9 4.4 Classificação das Pricipais Séries Históricas Hidrológicas Os dados históricos relativos a um eveto hidrológico costituem uma série hidrológica, a qual pode ser classificada em: a) Série origial: costituída por todos os valores registrados. Exemplo: 30 aos de dados de precipitação mesal. A série será costituída por 30 x valores. b) Série aual: costituída por valores extremos (máximos ou míimos) de cada ao. A partir do exemplo aterior, ter-se-ia uma série com 30 valores. Normalmete, valores míimos auais dizem respeito ao comportameto de vazões em cursos d água. Este tipo de estudo visa forecer iformações para projetos de abastecimeto de água e irrigação. c) Série parcial: costituída pelos N maiores ou meores valores ocorridos os N aos de observação. A partir do exemplo iicial, ter-se-ia uma série costituída por 30 valores, os quais seriam os maiores ou meores da série origial, sem haver a viculação com o ao de ocorrêcia. Uma outra alterativa seria costituir a série com todos os maiores (ou meores) valores da série, referido-se a uma situação a qual a série histórica é pequea e há utilização de mais de um valor extremo por ao. As séries históricas mais trabalhadas em hidrologia são as seguites: a) Precipitação total aual: costituída pela soma das precipitações diárias ocorridas ao logo de ao, obtedo-se, desta forma, valor para a série. É estruturada, portato, com valores totais de cada ao. Neste caso, ormalmete objetiva-se ao estudo comportametal do ciclo hidrológico, sedo importate para estudos viculados ao balaço hídrico climatológico bem como balaço hídrico aual em bacias hidrográficas. b) Precipitação total mesal, quizeal e decedial: estas séries históricas, pode-se trabalhar cosiderado um mês específico do ao (de iteresse regioal, por exemplo) e estudar os seus totais mesal, da a e a quizeas e o, o e 3 o decêdios. Este estudo é importate quado se realiza balaço hídrico de culturas visado ao maejo de irrigação. O produto gerado é cohecido como Precipitação Provável e trabalha-se com probabilidade de excedêcia, ou seja, objetiva-se garatir um valor míimo com 75, 90 ou 95% de excedêcia, depededo da cultura em questão. Culturas de maior valor ecoômico trabalha-se com um ível de

0 probabilidade de excedêcia maior, estimado-se um valor meor de precipitação provável, devido ao risco de prejuízos mais importates. c) Precipitação máxima diária aual: este caso, toma-se, em determiado ao, a maior precipitação diária registrada, sedo este valor compoete da série histórica. É feito desta forma para vários aos, costituido-se a série histórica. Seu estudo é importate quado se deseja obter valores extremos máximos diários, visado ao estudo da freqüêcia de ocorrêcia de precipitações itesas, iclusive para geração das equações de chuvas itesas. Quado a dispoibilidade de dados históricos é pequea, pode-se trabalhar com os maiores valores auais, a fim de melhorar a represetatividade da série. d) Precipitação máxima aual correspodete a um determiado tempo de duração da precipitação: aqui, têm-se os mesmos objetivos ateriores, porém trabalhado-se com pluviogramas, separado-se o valor máximo da precipitação um determiado ao, para vários tempos de duração. Assim, costitui-se uma série histórica para cada tempo de duração. Estas séries geram resultados mais precisos para o ajuste da equação de chuvas itesas, pois trata-se de itesidades reais que ocorreram um determiado local. Valores totais diários ão expressam tal característica. e) Vazões Máximas Diárias Auais: são séries históricas aplicadas ao estudo de vazões de cheia e de projeto em cursos d água. São séries com característica assitótica, assim como as de precipitações máximas, ou seja, com acúmulo de dados à esquerda a distribuição de freqüêcias, gerado-se um caudal à direita. f) Vazões Míimas Diárias Auais: são séries históricas muito aplicadas à hidrologia, fudametais em estudos ligados à dispoibilidade de água em cursos d água para projetos e gestão de recursos hídricos. De forma semelhate às vazões máximas, são assitóticas, com acúmulo de dados à direita a distribuição de freqüêcia, gerado-se um caudal à esquerda. g) Vazões médias auais: são séries históricas aplicadas ao estudo do comportameto do deflúvio médio aual, obtida pela média aritmética dos dados. h) Evapotraspiração: séries históricas que permitem estudar o comportameto evapotraspirativo em bacias hidrográficas. Importate os estudos ligados ao

comportameto climático de regiões, bem como modelagem do balaço hídrico climatológico. 4.5 Histogramas de Freqüêcia Histogramas de freqüêcia dizem respeito à represetação gráfica (ormalmete em barras) da freqüêcia de ocorrêcia de uma dada variável, podedo ser simples ou acumulada (de excedêcia ou ão excedêcia). A curva de permaêcia é um tipo de histograma de excedêcia, com as classes acumulado-se à esquerda. A seguir será apresetada a metodologia clássica para o desevolvimeto de histogramas de freqüêcia. o ) Determiação do úmero de classes (k) - até 00 dados k - acima de 00 dados 5 log ( ) ode é o úmero de observações. k 0 o ) Amplitude total dos dados (A) A M m, em que M é o valor máximo observado e m, o meor valor. 3 o ) Amplitude de classe (Ac) A + x Ac, em que, x é a precisão de leitura (por exemplo: dados com uma casa k decimal, a precisão é de 0,). 4 o ) Limite iferior da a classe LIclasse m Ac 5 o ) Limite superior da a Classe LSclasse LIclasse + Ac 6 o ) As demais classes são computadas somado-se os limites à amplitude, e assim sucessivamete. LS classe LI classe LS classe LI classe + Ac LS classe LI classe3, e assim por diate.

4.6 Medidas estatísticas básicas aplicadas em hidrologia 4.6. Média Aritmética A média aritmétrica de um cojuto de dados é expressa por: xi i X (7) 4.6. Moda É defiida como sedo o valor que aparece com mais freqüêcia um cojuto de dados. Quado se tem um itervalo de classe, a moda será o poto médio da classe que cotiver o maior úmero de ocorrêcias. 4.6.3 Mediaa Correspode ao valor que represeta exatamete 50% das ocorrêcias. Para obtê-lo basta avaliar as freqüêcias de ocorrêcia, idepedetemete de ser de excedêcia ou ão-excedêcia. Para obter o valor exato de 50%, pode-se utilizar o procedimeto de iterpolação dos dados vizihos a este valor, quado ão for possível obtê-lo diretamete. 4.6.4 Variâcia da Amostra s xi x i (8) 4.6.5 Desvio Padrão da Amostra s s (9) Ao se avaliar tato o desvio padrão quato a variâcia, observa-se que quato maior ambos, maior a variação dos dados em toro da média. 4.6.6 Assimetria A assimetria é um parâmetro importate a medida em que avalia a forma como os dados estão distribuídos em relação à média. Para que os dados apresetem distribuição ormal, a assimetria deve ser próxima ou igual a zero. Nesta situação, a média, a moda e a mediaa são iguais. Cotudo, quado este valor for distate de zero, apresetará um padrão de distribuição com a maior quatidade de dados à esquerda (assimetria positiva) ou à direita (assimetria egativa). Em termos de dados hidrológicos, por apresetarem um padrão com limitação iferior (ormalmete, valor míimo é zero) e sem limitação superior

3 (os evetos hidrológicos podem ser superados), a assimetria é positiva. A assimetria pode ser calculada da seguite forma: 3 xi x i A (0) Na prática é mais comum a utilização do coeficiete de assimetria, que represeta a relação etre a assimetria e o desvio padrão ao cubo. Este coeficiete pode ser do tipo corrigido ou comum. O último pode ser calculado por: A 3 s Ca () O coeficiete corrigido é determiado da seguite forma: Ca 3 xi x i s ( ) ( ) 3 () Além da aálise geral dos dados, a média, o desvio padrão e o coeficiete de assimetria são extremamete importates, pois costituem-se os parâmetros que permitem o ajuste das distribuições de probabilidades. 4.6.7 Curtose Quatifica o grau de achatameto da distribuição de freqüêcia de uma determiada amostra. A referêcia para curtose é a curva ormal e pode ser calculada pela seguite equação: 4 xi x i Cu 4 s 3 (3) Se Cu for próximo a zero, a distribuição é itermediária, sedo cohecido como Mesocúrtica ; se for maior que zero, os dados estão distribuídos de forma afilada ( Leptocúrtica ); se for meor que zero, forma achatada (Platicúrtica) (Figura 4.).

4 Figura 4. Comportameto da distribuição ormal em fução do achatameto dos dados. 4.6.8 Co-variâcia amostral Quado se relacioa um cojuto de dados de uma variável com valores de outra variável que possa explicar o comportameto da primeira, aplica-se a co-variâcia amostral, ode quato maior este valor, maior a relação etre as variáveis, ou seja, mais uma variável explica a outra. Este coeficiete pode ser calculado pela equação: cov xy xi yi x y (4) i A co-variâcia pode ser egativa ou positiva. No primeiro caso, sigifica que valores mais baixos de uma variável explicam valores mais altos de outra variável. No segudo, as variáveis possuem o mesmo comportameto em termos de crescimeto. Em ambos os casos, quato maior o valor, em módulo, maior a explicação da variável depedete. 4.6.9 Coeficiete de correlação É um coeficiete que adimesioaliza a co-variâcia e busca explicar, da mesma forma aterior, a relação etre duas variáveis. Seu valor varia de a e quato mais próximo dos extremos, maior a explicação da variável. É calculada por:

5 cov xy r (5) ( sx sy ) Em que s x e s y são respectivamete, o desvio padrão das variáveis x e y. 4.7 Distribuições Cotíuas de Probabilidades em Hidrologia 4.7. Equação Geral de Ve Te Chow Há situações em que se ecessita estimar valores de evetos associados a recorrêcias muito altas, cujas freqüêcias ão foram aida obtidas, como é o caso de estruturas civis, cuja falha coloque em risco vidas humaas. Nestas codições, recomedase o uso de Distribuições Teóricas de Probabilidades, as quais devem ser adequadas para estimativa das freqüêcias observadas, sedo que estas são determiadas pelas características dos dados, especialmete se forem assitóticas. Ve Te Chow afirma que a maioria das fuções de probabilidades, aplicáveis à Hidrologia, visado associar valor (magitude) da variável à probabilidade de sua ocorrêcia, pode ser represetada pela seguite equação: XTR X + K TR S (6) Em que X TR é o valor da variável hidrológica associada à recorrêcia TR, X é a média aritmética da série histórica, S é o desvio padrão da mesma e K TR é o fator associado à freqüêcia, sedo fução de TR e da distribuição de probabilidades. É também chamado variável reduzida. Basicamete, este modelo geral é aplicado em quase todos os estudos probabilísticos em hidrologia. 4.7. Pricipais Distribuições de Probabilidades em Hidrologia As distribuições de probabilidades que serão apresetadas, com as respectivas aplicações, são as seguites: - Distribuição Normal ou de Gauss: adequada para séries origiais (Ex.: totais auais de precipitação); - Distribuição de Gumbel para máximos (ou Assitótica de Valores Máximos Extremos do tipo I): adequada para série de valores extremos máximos (série de valores máximos diários de precipitação ou vazão); Haa (00).

6 - Distribuição de Gumbel para míimos (ou Assitótica de Valores Míimos Extremos do Tipo I): adequada para valores míimos extremos (série de valores míimos de vazão); - Distribuição Log-Normal a e 3 parâmetros: aplicável tato a valores origiais quato máximos e estimativa da precipitação provável; - Distribuição Gama: aplicável para estimativa da precipitação provável e séries históricas de valores extremos; - Distribuição Weibull: aplicável a série histórica de vazões míimas; - Distribuição de Extremos de Fréchet ou Log-Gumbel: aplicação voltada para séries históricas de valores extremos máximos, especialmete vazões máximas; - Distribuição Geeralizada de Valores Extremos (GEV): distribuição que egloba as distribuições de extremos Tipo I (Gumbel), Tipo II (Fréchet) e Tipo III (Weibull). O ajuste de uma distribuição de probabilidades é coduzido com base em ou 3 parâmetros. A estimativa destes parâmetros é feita com base a Iferêcia Estatística, sedo o método dos mometos, o qual calcula os parâmetros com base os mometos estatísticos de a, a e 3 a ordem, associados, respectivamete, à média, variâcia e assimetria, o mais simples. As distribuições Normal e de Gumbel possuem apeas os primeiros parâmetros. A Log-Normal pode estar associada aos primeiros, assim como a Normal, ou aos 3 parâmetros. No etato, este método, apesar de mais aplicado, é meos preciso que outros. Os métodos da Máxima Verossimilhaça e Mometos L são também aplicados para estimativa dos parâmetros e também serão apresetados e discutidos. 4.7.. Distribuição Normal ou de Gauss A distribuição de Gauss ou Normal (DN) é uma distribuição de probabilidades para variável cotíua, caracterizada pela média e desvio padrão. Os valores de uma série que segue a DN se distribuem simetricamete em relação à média. Portato, apresetam o coeficiete de assimetria igual a zero. A relação etre os valores e a probabilidade de ocorrêcia pode ser visualizada a Figura 4.3, cuja área até determiado poto (ou valor), o setido da esquerda para direita, represeta a probabilidade de ocorrer valores meores ou iguais àquele valor (probabilidade de ão excedêcia).

7 Figura 4.3 Represetação da distribuição ormal com seus pricipais parâmetros. A fução desidade de probabilidade (FDP) é dada pela seguite equação: ( xµ ) 0,5 FDP f( x) e σ (7) σ π Em que σ é o desvio padrão e µ é a esperaça ou média, ambos da população, que serão substituídas pelo desvio padrão e média amostrais, com o o e o mometos calculados da seguite forma: ^ ^ σ s e µ X (8) A probabilidade propriamete dita é obtida pela itegração da fução desidade de probabilidade (FDP), gerado a Fução Cumulativa de Probabilidades (FCP). A probabilidade de ão-excedêcia é obtida pela itegração da FDP de a um determiado valor X. A probabilidade de excedêcia é obtida com base a equação, já que a itegração da FDP de probabilidade de ão-excedêcia: a + é igual a. Desta forma, tem-se para a

8 ( ) xµ x 0,5 FCP F( x) Pr ob( x xi ) e σ dx (9) σ π Para facilitar a geeralização desta relação (valor e probabilidade), propõem-se a distribuição ormal padrão, que utiliza a chamada variável reduzida ou padrão z, que mede o desvio de uma variável em relação à média, em termos do desvio padrão, ou seja: x x z s (30) Observa-se que z faz o papel de K TR coforme equação geral proposta por Ve Te Chow (equação 6). Verifica-se, portato, que a variável K TR é equivalete a z, o caso da DN. A distribuição ormal passa a ser DN (0,) que é a distribuição ormal padrão e sua FCP calculada por: z 0,5 z F ( z) Pr ob( Z z) e dz (3) π Em que z é a variável reduzida. Observa-se que esta itegral ão apreseta solução aalítica. Desta forma, pode-se utilizar a tabela de distribuição de Gauss ou tabela de z (Tabela 4.), a qual foi gerada a partir da solução umérica da equação 3. Esta tabela forece os valores de probabilidade, de até o valor de z que correspode ao valor da variável hidrológica X, correspodedo a uma tabela com probabilidades de ão excedêcia. Além desta metodologia, pode-se trabalhar com uma aproximação razoável, utilizado a equação abaixo: Em que: Pr ob f ( z) 3 ( Z z) f( z) ( a q + a q + a ) (3) 3 q 0,5 z e (33) π ( + a ) 0 z q (34) Os valores para as costates são: a 0 0,3367; a 0,4368; a -0,07; a 3 0,9373 Devido à simetria da curva ormal, a série pode ser dividida em valores meores que e maiores que a média. Deve-se ressaltar que variáveis afastadas da média do

9 mesmo valor (com os mesmos desvios) têm o mesmo tempo de recorrêcia, idepedete de ser meor ou maior que a média. Assim, se valores da variável X (X e X) distam da média, o mesmo desvio, tem-se o mesmo tempo de retoro para ambas. Numa situação, busca-se a possibilidade de um valor meor que a média voltar a se repetir e outra, um valor maior que a média. Nesta situação, o cálculo de TR é coduzido cosiderado-se as seguites situações: - Para valores meores que a média, objetiva-se cohecer o valor de ãoexcedêcia; - Para valores maiores que a média, objetiva a probabilidade de excedêcia; Pelas equações abaixo, tem-se, respectivamete, a forma de cálculo de TR para cada situação: TR ; se o valor da variável for meor que a média; P( x x i ) TR ; se o valor da variável for maior que a média; P( x x i ) Exemplo de Aplicação 4. Se a precipitação total aual média é de 000 mm e o desvio padrão, 00 mm, qual o TR para as precipitações de 00 mm e 800 mm. O cálculo de z por meio da equação 30 forece um valor para a primeira situação, igual a e para a seguda,. Ao se cosultar a tabela de z (Tabela 4.), ecotra-se uma freqüêcia de ão excedêcia para z, de 0,8434 e para z -, 0,5865. Para o primeiro caso, o cálculo de TR é dado pela seguda equação. Assim, tem-se: TR 6,3 aos ; o valor da probabilidade de excedêcia foi obtido por 0,5865 0,8434 0,5865. Para o segudo caso, tem-se: TR 6,3 aos ; 0,5865 O valor da probabilidade de ão excedêcia, este caso, é obtido cosiderado-se o aspecto de simetria dos dados, ou seja, como ( z ) [ P ( z > ) ] será 0,5865. Como os valores são simétricos, P( z ) P( z ) 0,5865. P é igual a 0,8434, seu complemeto e portato,

0 Tabela 4. Tabela de z cosiderado probabilidade de ão excedêcia z z F dz ). ( ( z) exp π z 0.00 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.00 0.5 0.5040 0.5080 0.50 0.560 0.599 0.539 0.579 0.539 0.5359 0.0 0.5398 0.5438 0.5478 0.557 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.574 0.5753 0.0 0.5793 0.583 0.587 0.590 0.5948 0.5987 0.606 0.6064 0.603 0.64 0.30 0.679 0.67 0.655 0.693 0.633 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.657 0.40 0.6554 0.659 0.668 0.6664 0.6700 0.6736 0.677 0.6808 0.6844 0.6879 0.50 0.695 0.6950 0.6985 0.709 0.7054 0.7088 0.73 0.757 0.790 0.74 0.60 0.757 0.79 0.734 0.7357 0.7389 0.74 0.7454 0.7486 0.757 0.7549 0.70 0.7580 0.76 0.764 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.783 0.785 0.80 0.788 0.790 0.7939 0.7967 0.7995 0.803 0.805 0.8078 0.806 0.833 0.90 0.859 0.886 0.8 0.838 0.864 0.889 0.835 0.8340 0.8365 0.8389.00 0.843 0.8438 0.846 0.8485 0.8508 0.853 0.8554 0.8577 0.8599 0.86.0 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.879 0.8749 0.8770 0.8790 0.880 0.8830.0 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.895 0.8944 0.896 0.8980 0.8997 0.905.30 0.903 0.9049 0.9066 0.908 0.9099 0.95 0.93 0.947 0.96 0.977.40 0.99 0.907 0.9 0.936 0.95 0.965 0.979 0.99 0.9306 0.939.50 0.933 0.9345 0.9357 0.9370 0.938 0.9394 0.9406 0.948 0.949 0.944.60 0.945 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.955 0.955 0.9535 0.9545.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.958 0.959 0.9599 0.9608 0.966 0.965 0.9633.80 0.964 0.9649 0.9656 0.9664 0.967 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706.90 0.973 0.979 0.976 0.973 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.976 0.9767.00 0.977 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.98 0.987.0 0.98 0.986 0.9830 0.9834 0.9838 0.984 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857.0 0.986 0.9864 0.9868 0.987 0.9875 0.9878 0.988 0.9884 0.9887 0.9890.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.990 0.9904 0.9906 0.9909 0.99 0.993 0.996.40 0.998 0.990 0.99 0.995 0.997 0.999 0.993 0.993 0.9934 0.9936.50 0.9938 0.9940 0.994 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.995 0.995.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.996 0.996 0.9963 0.9964.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.997 0.997 0.9973 0.9974.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.998.90 0.998 0.998 0.998 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.0 0.9990 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.9993 0.9993 3.0 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.30 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.40 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 Exemplo de Aplicação 4.3 Com base a série histórica de alturas pluviométricas auais de Lavras, MG, o período de 94-943, 946-949 e 95-99, obter: a) Distribuição de freqüêcia (tabela e gráfico), média, mediaa, moda, desvio padrão e coeficiete de assimetria.

b) Utilize a distribuição de Gauss para calcular os valores máximos e míimos esperados para os tempos de retoro de 0, 50, 00 e 000 aos. c) Compare as freqüêcias observada e teórica, associadas às precipitações de 068, mm e 04, mm. d) Qual a probabilidade de ocorrer de um ao com precipitação superior a 000 mm sabedo-se que já ocorreram 600 mm? Tabela 4.3 Alturas pluviométricas auais para Lavras, MG, e respectiva distribuição de freqüêcia. Ordem P F ão-exc. Ordem P F ão-exc. Ordem P F ão-exc. 747, 0,036 9 353,7 0,3858 57 696,0 0,75 83,4 0,063 30 354,7 0,39474 58 673, 0,7636 3 999, 0,03947 3 355,7 0,40789 59 683,5 0,7763 4 00,3 0,0563 3 374,4 0,405 60 686,6 0,78947 5 068, 0,06579 33 377,9 0,434 6 689,4 0,8063 6 093,5 0,07895 34 380,4 0,44737 6 705,5 0,8579 7 09,9 0,09 35 393,6 0,46053 63 79, 0,8895 8 70,6 0,056 36 398,7 0,47368 64 76,6 0,84 9 7,3 0,84 37 43, 0,48684 65 78,5 0,8556 0 83, 0,358 38 47,3 0,50 66 794,0 0,8684 84,9 0,4474 39 48, 0,536 67 86,6 0,8858 87,7 0,5789 40 430,0 0,563 68 80,3 0,89474 3 96,6 0,705 4 443,4 0,53947 69 83,7 0,90789 4 04,7 0,84 4 445,8 0,5563 70 933, 0,905 5 6, 0,9737 43 448,8 0,56579 7 938,0 0,934 6 6, 0,053 44 450,3 0,57895 7 95,8 0,94737 7 7,8 0,368 45 453,4 0,59 73 04, 0,96053 8 46,0 0,3684 46 479,5 0,6056 74 30,7 0,97368 9 63,5 0,5 47 496,3 0,684 75 485,6 0,98684 0 66,7 0,636 48 555,8 0,6358 68,6 0,763 49 567,4 0,64474 8,5 0,8947 50 584,3 0,65789 3 88,8 0,3063 5 585, 0,6705 4 30, 0,3579 5 589, 0,684 5 33,0 0,3895 53 590,0 0,69737 6 39,8 0,34 54 634, 0,7053 7 36,6 0,3556 55 634, 0,7368 8 35,8 0,3684 56 665,3 0,73684

a) Distribuição de freqüêcia por classes - úmero de classes (k) 75 8,66 8 classes - amplitude total (A) 485,6 747, 738,5-738,5 + 0, amplitude de classe (Ac) 48, 4 8 - LI classe 747, (48,4)/ 6,9 - LS classe 6,9 + 48,4 87,3 Tabela 4.4 Classes e distribuição de freqüêcia simples e acumulada. Classes N o Poto médio da F simples F acumulada observações classe ão-excedêcia ão-excedêcia 6,9 87,3 747, 0,063 0,063 87,3 9,7 3 995,5 0,06579 0,09 9,7 368, 4 43,9 0,3579 0,4079 368,- 66,5 49,3 0,8947 0,69737 66,5 864,9 6 740,7 0,053 0,9079 864,9 3,3 4 989, 0,0563 0,96053 3,3 36,7 37,5 0,036 0,97368 36,7 60, 485,9 0,036 0,98685 Moda: poto da classe com maior úmero de observações. Portato, 43,9 mm. Mediaa: valor que correspode a exatamete 50% dos dados. Na Tabela 4., 47,3 mm. Gráfico da distribuição de freqüêcia simples e acumulada.

3 Ca 0,7 Observa-se que a assimetria dos dados é pequea, sugerido-se que é possível ajustar a distribuição ormal aos dados. b) Aplicação da distribuição ormal de probabilidades x 466,0 mm e s 39, mm Equação geral de Ve Te Chow: xtr 466 + ktr 39, Para TR 0 aos tem-se, com base a defiição deste e a codição de simetria da curva ormal: P (x > x i ) 0,0; A probabilidade de ão excedêcia é: P(x < x i ) 0,90. Cosultado a tabela de z, tem-se z,8. Para calcular os valores máximos e míimos procede-se da seguite forma: - Valor máximo x TR 466 +,8 * 39, 874,6 mm - Valor míimo Pela simetria da curva ormal, tem-se z -,8 e x TR 466,8 * 39, 057,4 mm. Os demais tempos de retoro são obtidos a partir do mesmo procedimeto. c) Aplicacão da equação geral de Ve Te Chow x x 068, 466 z,5 Pr ob s 39, x x 04, 466 z,8 Pr ob s 39, ( Z,5 ) 0, 068 ( Z,8 ) 0, 96447 d) Eveto A: precipitação aual superior a 000 mm [ P( X 000 mm) ] Eveto B: precipitação aual superior a 600 mm [ P( X 600 mm) ] Busca-se estimar o eveto A codicioado ao eveto B, portato: P ( A B) P A ( B) P( B) P ( X 600 mm) P( X 000 mm) P( X 600 mm)

4 x x 000 466 z,67 P Z s 39, ( X 000 mm) 0,955 0, 0475 P (,67 ) 0, 955 x x 600 466 z 0,4 P Z s 39, P ( X 600) 0,668 0, 337 ( B) P( B) ( 0,4) 0,668 ( 600 mm) P( X 000 mm) P( X 600 mm) P A P X 0,337 0,0475 P ( A B) 0,859 0,337 Três observações sobre o exemplo são pertietes: a) À medida que TR aumeta, aumeta-se a precipitação máxima e dimiui-se a míima. Isto ocorre porque quado o TR fica maior, meor será a probabilidade com a qual o valor será maior (o caso de máximos) ou meor (o caso de míimos) que um determiado valor da variável. Isto sigifica que, como a probabilidade é cada vez meor para que o eveto ocorra, mais o extremo da curva ormal o mesmo se ecotrará. P é maior que P, assim como P`é meor que P`.: TR > TR.

5 b) Pode-se observar também que, para probabilidades meores que 0,036 e maiores que 0,98684 ão é possível obter o valor com base a freqüêcia observada, porque as freqüêcias extremas correspodem a estes valores, ou seja, o tamaho da amostra (série histórica) ão foi suficiete para que se pudesse detectar e comparar os estimados pela distribuição de probabilidades em relação às respectivas freqüêcias observadas. c) Pode-se verificar que os erros a estimativa dos evetos são pequeos, idicado que a distribuição ormal pode represetar bem o feômeo das precipitações totais auais. No etato, deve-se aplicar um teste estatístico de aderêcia para se cocluir de forma mais efetiva, o qual será tratado em tópico específico deste capítulo. 4.7.. Distribuição de Gumbel para máximos ou assitótica de valores máximos do tipo I A Fução Desidade de Probabilidade (FDP) de Gumbel é dada por: ( xµ ) eα( x ) α µ FDP α e (35) A itegração da FDP forece a fução cumulativa de probabilidades (FCP): ( x ) P x ( x µ ) eα i e (36) Esta distribuição apreseta os primeiros parâmetros de uma distribuição de probabilidades, ou seja, µ e σ, que são calculados pelas expressões abaixo, cosideradose o método dos mometos: ^,86 α (37) s ^ µ x 0,45 s (38) histórica. Em que x e s correspodem, respectivamete, à média e o desvio padrão da série

6 Para estimativa de uma variável hidrológica x em fução do TR, aplica-se a equação abaixo, fruto da maipulação da equação 36 e da cosideração de TR como fução da probabilidade de excedêcia: LN LN TR x TR + µ (39) α 4.7..3 Distribuição Geeralizada de Extremos GEV A distribuição GEV (do iglês Geeralized Extreme Value ) foi itroduzida por Jekiso (955), icorporado as 3 formas assitóticas: Gumbel (Tipo I), Fréchet (Tipo II) e Weibull (Tipo III). Sua FDP é dada por: +ξ x µ ξ x µ ξ FDP f( x) + ξ exp + ξ (40) σ σ σ Em que ξ, σ e µ são, respectivamete, os parâmetros de forma, escala e posição. Se ξ for egativo, a GEV represeta a forma assitótica de valores míimos (Tipo III) e existe apeas para x < ( µ σ) ξ (Fréchet), defiida para x > dada por:. Se ξ for positivo, a GEV represeta uma distribuição Tipo II ( µ σ) ξ. Se ξ 0, tem-se a Distribuição Gumbel. Sua FCP é x µ ξ FCP P(X xi) exp + ξ (4) σ A Distribuição GEV apreseta 3 mometos estatísticos: E σ (4) ξ [ x] x µ + [ Γ( ξ) ] Var σ ξ [ ] ( x) Γ( ξ) Γ ( ξ) 3 Γ ( ) ( 3 ξ) + 3 Γ( ξ) Γ( ξ) Γ ( ξ) [ ( ) ( )] γ CA sial de ξ (44) 3 Γ ξ Γ ξ (43)

7 Para estimar os parâmetros da Distribuição GEV deve-se iicialmete calcular o parâmetro de forma pela equação 44. Para isto, é importate observar qual sial ξ tem para a situação em estudo, o que é obtido mediate aálise do coeficiete de assimetria (distorção). Para ξ 0, γ,396; valores de γ superiores a este valor, ξ < 0; valores de γ meores que,396 implica em ξ > 0 até o valor de -/3. A estimativa de uma variável hidrológica associada a um tempo de retoro é dada por, cosiderado-se freqüêcia de excedêcia: ξ σ x TR µ + LN (45) ξ TR 4.7..4 Distribuição de Fréchet ou Log-Gumbel Também cohecida como Distribuição de Fréchet, cosiste da aplicação da Distribuição Gumbel aos valores logaritmizados da variável hidrológica. Fréchet aplicou-a para estudar as freqüêcias de vazões de cheias, sedo muito útil aos estudos que evolvem variáveis hidrológicas máximas. Sua FDP e FCP são, respectivamete: FDP f ( x) θ λ λ x θ+ λ exp x θ (46) θ λ FCP P( X xi) exp para x > 0; θ, λ > 0 (47) x Sedo F(x) a freqüêcia de excedêcia. São 3 mometos estatísticos: E ( x) µ λ Γ para θ > (48) θ Var ( x) σ λ Γ Γ x para θ > (49) θ θ Γ CV θ para θ > (50) Γ θ

8 A obteção dos parâmetros desta distribuição começa com a equação 50 a partir do coeficiete de variação; em seguida, calcula-se o parâmetro λ com a equação 48, partidose da média. A estimativa de um valor x, associado a um TR, é dada por: θ TR x TR λ LN (5) TR 4.7..5 Distribuição de Gumbel para míimos ou assitótica de valores míimos extremos do tipo I Esta distribuição de probabilidades cosiste de uma versão da Distribuição de Gumbel, com a difereça de se trabalhar com séries históricas de valores míimos, ormalmete vazões míimas. Na estimativa do parâmetro µ, troca-se o sial. A defiição dos parâmetros da distribuição, pelo método dos mometos, é dada por: ^,86 α (5) s ^ µ x+ 0,45 s (53) A FDP é defiida por: ( xµ ) eα( x ) α µ FDP α e (54) A FCP é dada pela probabilidade de ão excedêcia: e α( xµ ) P e (55) ( x x ) i Para estimativa de uma variável hidrológica x em fução do TR, aplica-se a equação abaixo, fruto da maipulação da equação 55 e da cosideração de TR como fução da probabilidade de ão excedêcia: LN LN TR x TR + µ (56) α

9 Exemplo de Aplicação 4.4 Dada uma série histórica de 6 aos de precipitação máxima diária aual para a cidade de Lavras, MG, o período de 95 a 930 (Tabela 4.5). Determiar: a) Distribuição de freqüêcia simples de ão-excedêcia dos dados; b) Aplicar as distribuições Gumbel, GEV e Fréchet e determiar a precipitação máxima diária para TR de 5, 0 e 0 aos; c) Determiar o TR para as precipitações máximas diárias auais de 80 e 90 mm; Tabela 4.5 Precipitações máximas diárias auais para Lavras, MG o período de 95 a 930 e respectivas freqüêcias observadas de ão excedêcia. Ordem Precipitação F ão exced. Ordem Precipitação (mm) (mm) F ão exced. 46, 0,0588 9 64, 0,594 50,0 0,765 0 66,9 0,5884 3 50,4 0,7647 78, 0,64706 4 57,0 0,359 78,6 0,70588 5 58,7 0,94 3 78,7 0,7647 6 60, 0,3594 4 80 0,8353 7 6,6 0,476 5 85,5 0,8840 8 63,4 0,47059 6 88,5 0,940

30 Observa-se que as distribuições se ajustaram de forma razoável às freqüêcias observadas, com destaque para a distribuição GEV para os valores mais baixos da série, Fréchet para os itermediários e Gumbel para os maiores. Cotudo, ehuma delas se ajustou bem aos dados próximos ao valor de 80 mm, uma vez que são úmeros muito próximos e com freqüêcias distitas, dificultado o ajuste da distribuição. a) Estimativa dos valores de precipitação associados aos TR s de 5, 0 e 0 aos Distribuição Gumbel Os parâmetros ajustados para esta distribuição foram: α 0,0968; µ 60,80. Aplicado-se estes parâmetros à equação 39 chega-se aos seguites valores: TR 5 aos.: X TR 76,30 mm TR 0 aos.: X TR 84,05 mm TR 0 aos.: X TR 9,50 mm Distribuição GEV Para esta distribuição, os parâmetros estimados foram: ξ 0,39; σ 0,69; µ 60,8685. Aplicado-se a equação 45, chega-se aos seguites valores: TR 5 aos. : X TR 73,56 mm; TR 0 aos. : X TR 77,94 mm; TR 0 aos. : X TR 8,4 mm; Distribuição Fréchet Os parâmetros estimados para esta distribuição foram: θ 7,33; λ 60,68. Aplicado-se a equação 5, chega-se aos seguites valores: TR 5 aos.: X TR 74,5 mm; TR 0 aos.: X TR 8,54 mm; TR 0 aos.: X TR 9,08 mm;

3 b) Estimativa de TR para as precipitações de 80 e 00 mm Distribuição de Gumbel Aplicado o iverso do complemeto da equação 36, chega-se a: P 80 mm.: TR 7 aos P 90 mm.: TR 7,4 aos Distribuição GEV Aplicado-se a iversa da equação 4, chega-se aos seguites valores: P 80 mm.: TR 0,6 aos P 90 mm.: TR 76 aos Distribuição Fréchet Aplicado-se o iverso da equação 47, chega-se aos seguites valores: P 80 mm.: TR 8, aos P 90 mm.: TR 3,4 aos Observa-se que a Distribuição GEV tede a superestimar o TR, especialmete para valores mais altos, por se caracterizar, este caso como uma distribuição Tipo III, a qual para valores máximos, cosiste de uma expoecial apeas, refletido em valores mais elevados. A partir de valores em toro de 80 mm (observar gráfico de ajuste), a distribuição GEV proporcioa ajustes mais distates dos valores de freqüêcia observados, o que ão ocorre com as outras duas distribuições. 4.7..6 Distribuição Log-ormal a parâmetros A fução desidade de probabilidades (FDP) desta distribuição a seguite: ( ) L x µ 0,5 FDP e σ (57) x σ π Os parâmetros são determiados por: i µ ( L( x) ) (58)

3 σ desvio padrão dos dados trasformados. Os valores dos parâmetros desta distribuição podem ser estimados com base a média e desvio padrão dos dados sem trasformação logarítmica. As equações são: µ 4 x L x + s (59) σ x + s L (60) x Esta distribuição se assemelha à Normal, porém, trabalhado-se com o logarítmo dos dados. A variável reduzida k TR é o próprio valor de z utilizado a Distribuição Normal. Assim, a equação geral de Ve Te Chow é trabalhada da seguite forma: µ + x TR e σ k TR (6) 4.7..7 Distribuição Log-ormal a 3 parâmetros estrutura: Neste caso, a FDP é dada em fução de 3 parâmetros, tedo-se a seguite FDP : f ( x) ( ) L xβ µ 0,5 e σ, com x β. (6) σ π ( x β) Para estimar os parâmetros da distribuição log-ormal, com base uma série histórica de dados, as seguites equações são aplicadas: s β x η y y 3 ( φ ) η (64) 3 φ ( γ + ) 4 0, 5 γ + φ (65) (63)

33 Com base o coeficiete de assimetria - Ca (equação ) calcula-se γ. Com isto, estima-se φ (equação 65), η y (equação 64) e com base este último valor e a média e desvio padrão dos dados, o parâmetro β, a equação 63. Os parâmetros calculados com base as seguites equações: µ e σ são ( ηy ) s µ L 0,5 L + (66) ηy ( ηy ) σ L + (67) Neste caso, a variável x TR é calculada por: µ + ktr σ x e + β (68) TR Exemplo de Aplicação 4.5 Determiar a precipitação provável para 0, 75 e 90% de probabilidade, com base a série histórica de precipitação associada ao o decêdio (Tabela 4.6) do mês de jaeiro, de 960 a 98, para a cidade de Lavras, MG. Calcule também, o TR para uma precipitação decedial de 30 mm os primeiros 0 dias de jaeiro. Aplique as distribuições log-ormal P, log-ormal 3P e GEV. o ) Aplicação da Distribuição Log-ormal a parâmetros A precipitação provável sugere um estudo probabilístico de valores míimos a serem garatidos, ou seja, visa-se à uma probabilidade de um dado valor x superar um xi. Esta situação diz respeito, portato, à probabilidade de excedêcia. O cálculo dos parâmetros µ e σ foi feito com base o cálculo da média dos dados logaritmizados, obtedo-se para o primeiro 4,358 e para o segudo 0,8985. - Para 0% de probabilidade, P(x>xi) 0%.: P(x<xi) 90%. Da tabela de z, o valor deste, para 90% de probabilidade, é,8. Assim, a precipitação provável associada a esta probabilidade: µ + ktr σ 4,358 +,8 0,8985 x e TR e 46,7 mm. Disto coclui-se que, com uma probabilidade de 0%, a precipitação provável para os primeiros 0 dias de jaeiro é de 46,7 mm.

34 - Para 75% de probabilidade, P(x>xi) 75%.: P(x<xi) 0,5%. Da tabela de z, obtém-se valor aproximadamete igual a 0,67. Da mesma forma aterior, a precipitação provável será 4,78 mm. Espera-se uma precipitação míima para os primeiros 0 dias de jaeiro, de 4,78 mm, com 75% de probabilidade. - Para 90% de probabilidade, P(x>xi) 90%.: P(x<xi) 0%. Da tabela de z, obtém-se este aproximadamete igual a,8. Da mesma forma aterior, a precipitação provável será 4,7 mm. Tabela 4.6 Série histórica de precipitação associada ao º decêdio de jaeiro para Lavras, MG, o período de 960 a 98, e respectivas freqüêcias observadas. Ordem Precipitação F excedêcia Ordem Precipitação (mm) (mm) F excedêcia 90 0,04545 84,8 0,54545 53, 0,0909 3 78,5 0,5909 3 89,9 0,3636 4 69,9 0,63636 4 6,8 0,88 5 53,5 0,688 5 44,8 0,77 6 5,4 0,777 6 4, 0,773 7 4, 0,7773 7 40,3 0,388 8 9, 0,888 8 35,3 0,36364 9 5,5 0,86364 9,7 0,40909 0 7,6 0,90909 0 97,8 0,45455 8,4 0,95455 95,9 0,50000 Aalisado os resultados, observa-se que quato maior a probabilidade de um eveto exceder um dado valor, meor será o eveto, uma vez que a probabilidade do valor ser superado aumeta. Em cotrapartida, quato meor a probabilidade de excedêcia, maior será o valor, haja vista que o risco assumido é maior (a probabilidade do valor ser superado é maior). Para determiar o TR para uma precipitação míima de 340 mm, com base esta série histórica, procede-se da seguite forma: Determia-se k TR e com este valor, a tabela de z, a probabilidade de ãoexcedêcia. Determia-se etão a de excedêcia, e aplica-se a defiição de TR para variáveis cujos estudos iteressam a sua superioridade.

35 x k TR TR e µ + ktr σ 340 e 4,358 + ktr 0,8985,64 Na tabela de z, obtém-se uma P(x<xi) 0,94949 e P(x>xi) 0,0505. O TR será etão igual a 9,8 aos. A probabilidade do valor de 340 mm ser igualado ou superado, pelo meos uma vez, em 0 aos, é de 0,0505. o ) Aplicado-se o modelo Log-ormal a 3 parâmetros Neste caso, o procedimeto cosiste o cálculo da média, desvio padrão e coeficiete de assimetria dos dados. Assim: x 05,95 mm s 75,07 mm Ca 0,9845 φ γ + Aplicado a equação 65, em que Ca γ, determia-se φ : 0,5 ( γ + 4) 0,9845 + ( 0,9845 + 4) 0,5 0,63 Na seqüêcia, aplicado-se a equação 64, obtém-se: η 0,63 3 ( φ ) 0, 375 y 3 φ 3 0,63 3 dados: Com a equação 63, determia-se o 3 o parâmetro, que represeta a assimetria dos s β x η y 05,95 75,07 0,375 30,47 Com estas iformações, estima-se µ e σ com as equações 66 e 67: 75,07 ( ηy + ) L 0,5 L( 0,375 + ) 5, 48 s µ L 0,5 L ηy 0,375

36 ( ηy + ) L( 0,375 + ) 0, 3099 σ L - Para P(x>xi) 0%, o valor de z, coforme exemplo aterior,,é,8. Assim, a precipitação será: - µ + k TR σ 5,48+,8 0,3099 x e TR + β e 30,47 04,7mm - Para P(x>xi) 75%, o valor de z é 0,67, e a precipitação míima será: x TR 5,7 mm - Para P(x>xi) 90%, o valor de z é de,8 e a precipitação será: x TR, mm. Cálculo de TR para 340 mm com base a distribuição com 3 parâmetros: k TR,37.: P(x<xi) 0,99 e P(x>xi) 0,0089 e TR,4 aos. Nota-se uma grade difereça etre os cálculos dos dois modelos para a estimativa deste TR. 3 o Aplicado a Distribuição GEV O cálculo da assimetria dos dados produziu um valor de 0,9845. Aplicado-se a equação 44, cosiderado sial egativo, chega-se ao valor do parâmetro de forma desta distribuição, o qual é igual a 0,074. Na seqüêcia, aplicado o mometo de seguda ordem, ecotra-se o parâmetro de escala igual a 60,587. Com a equação 4 e os demais parâmetros, é possível estimar o parâmetro de posição µ como sedo igual a 7,58. Desta forma, com a equação 4, são estimados os valores de precipitação associados aos íveis de probabilidade de excedêcia. Para Prob (x>xi) 90%: P,5 mm; Para Prob (x>xi) 75%: P 5,7 mm; Para Prob (x>xi) 0%: P 04,8 mm. Comparado-se as estimativas da precipitação pelas três distribuições ao valor obtido com base a freqüêcia observada, é possível desevolver o seguite quadro resumo dos resultados:

37 P(x>xi) LN P (mm) LN 3P (mm) GEV (mm) 0 46,7 04,7 04,8 75 4,8 5,7 5,7 90 4,7,,5 Obs.: A aálise da distribuição de probabilidades que é mais precisa pode ser obtida mediate testes estatísticos apropriados, os quais permitirão verificar a adequação da distribuição bem como iferir sobre sua precisão propriamete dito. 4.7..8 Distribuição Gama Cosiste de uma distribuição de probabilidades com ampla aplicação à hidrologia, com destaque para precipitação provável e vazões de maeira geral. Sua Fução Desidade de Probabilidades (FDP), cosiderado sua versão a parâmetros, é: ( υ) x υ β e FDP : f( x) x (69) υ β Γ Os parâmetros desta distribuição são β e υ, os quais podem ser obtidos por: s β (70) X ( X) υ (7) s A fução Gama de um úmero qualquer pode ser aproximada por : π 5 pi + 0.5 ( ) ( ) ( + 5.5 Γ p ) o + + 5.5 e (7) i + i Para esta estimativa cosiderar: p o,0000000009005; p 76,80097947460; p -86,505303946770; p 3 4,040984083090; p 4 -,37395745055; p 5,0865097386679x0-3 No etato, com auxílio do software Excel, é possível obter a fução gama de um úmero qualquer de forma rápida e precisa, utilizado a fução exp(lngama()), sedo o úmero cujo gama deseja-se obter. Trabalho desevolvido por Press et al. (99) com erro absoluto meor que x0-0 e citado por Ferreira (005).

38 A Fução Cumulativa de Probabilidades (FCP) deve ser obtida, primeiramete, etre cada um dos valores da variável x de forma ordeada, para posterior somatório. Para isto, procede-se calculado as itegrais para cada itervalo de x de forma umérica: xi+ xi ( x) dx ( x x ) [ f( x ) + f( x )] i i+ f i+ i (73) Portato, a FCP é calculada por: x ( X x) f( x) P dx (74) 0 A FDP para a versão a 3 parâmetros é: ( xµ ) ( ) ( ) υ β x µ e υ FDP : f( x) (75) υ β Γ A estimativa dos parâmetros desta equação, com base o método dos mometos, é: 4 υ as (76) as s β (77) s µ X as (78) Em que s é o desvio padrão e as é o coeficiete de assimetria. A versão desta distribuição a 3 parâmetros pode produzir melhores resultados, cotudo, os graus de liberdade do ajuste também podem ficar comprometidos. Algus estudos desevolvidos para precipitação provável têm mostrado desempeho similar destas distribuições, optadose, ormalmete pela versão a parâmetros. 4.7..9 Distribuição Weibull Esta distribuição apreseta aplicações a séries históricas de valores míimos, sedo, ormalmete trabalhada para séries de vazões míimas ou similares. A distribuição de Weibull é uma derivação da distribuição Assitótica de Valores Extremos. Sua FDP é dada por:

39 ( ) β λ β β λ x e x x f : FDP (79) A Fução Cumulativa de Probabilidades (FCP) é dada por: ( ) β λ x e x X P : FCP (80) Os parâmetros desta distribuição são λ e β, que estão associados à média e variâcia, respectivamete, por: β + Γ λ µ β X ^ (8) β + Γ β + Γ λ σ β ^ s (8) O valor da variável x associada ao tempo de retoro (TR) pode ser calculado por: β λ - TR L x (83) Exemplo de Aplicação 4.6 Com base as distribuições de probabilidade Weibull, Gumbel e GEV determiar a vazão míima de sete dias cosecutivos para os TRs de 0, 0 e 50 aos, com base uma série histórica de vazão míima com 7 dias cosecutivos, de 68 aos para o Rio Grade, sul de Mias Gerais (Tabela 4.7). Calcule também, o TR para uma vazão míima esperada de 6 m 3 s - por ambas as distribuições.

40 Tabela 4.7 Série histórica de vazões míimas com 7 dias cosecutivos do Rio Grade com seção de cotrole em Madre de Deus e respectivas freqüêcias observadas. Ordem Vazão F ão-excedêcia Ordem Vazão F ão-excedêcia 8,97 0.0449 35 9.49 0.5075 0,4 0.0899 36 9.53 0.574 3,3 0.04348 37 9.67 0.5363 4,50 0.05797 38 9.87 0.5507 5 3,0 0.0746 39 9.89 0.565 6 3,5 0.08696 40 9.98 0.5797 7 3,57 0.045 4 0. 0.5940 8 4,46 0.594 4 0. 0.60870 9 4,95 0.3043 43 0.39 0.639 0 4,95 0.4493 44 0.83 0.63768 5,66 0.594 45.08 0.657 6,04 0.739 46.6 0.66667 3 6,06 0.884 47. 0.686 4 6,8 0.090 48.6 0.69565 5 6,0 0.739 49.40 0.704 6 6,3 0.388 50.4 0.7464 7 6,39 0.4638 5.7 0.7393 8 7,00 0.6087 5.84 0.7536 9 7,0 0.7536 53 3.9 0.768 0 7,04 0.8986 54 3.79 0.786 7,04 0.30435 55 4.76 0.7970 7,48 0.3884 56 4.78 0.859 3 7,57 0.33333 57 5.6 0.8609 4 7,66 0.34783 58 5.4 0.84058 5 7,7 0.363 59 5.4 0.85507 6 7,88 0.3768 60 5.7 0.86957 7 8,09 0.3930 6 6.60 0.88406 8 8,77 0.40580 6 6.6 0.89855 9 8,79 0.409 63 6.96 0.9304 30 8,79 0.43478 64 7.90 0.9754 3 8,80 0.4498 65 9.4 0.9403 3 9,04 0.46377 66 30.30 0.9565 33 9,4 0.4786 67 3.50 0.970 34 9,48 0.4975 68 38.5 0.9855 o ) Aplicação da distribuição de Weibull Trabalhado com os dados da Tabela 4.7, calcula-se a média e desvio padrão dos dados da mesma. Assim, tem-se: x 0,0 m 3 s - s 5,76 m 3 s - Maipulado as equações 8 e 8, pode-se chegar à seguite equação:

4 σ µ Γ+ β Γ+ Γ+ β β (84) Com isto, é possível estimar o parâmetro β e a partir daí, com a média dos dados, o parâmetro λ a equação 8. Respectivamete, tem-se: β 4,83378; λ,789 x 0-6 Aplicado-se a equação 83, para todos os TR s, tem-se: TR 0 aos: Q 3 m 3 /s; TR 0 aos: Q 0,99 m 3 /s; TR 50 aos: Q 8,84 m 3 /s; Com base a equação abaixo, calcula-se TR para Q 6 m 3 s -, ou seja: TR λ x β e (85) TR 6 aos o ) Aplicação da distribuição Gumbel (série de míimos) Cálculo dos parâmetros da distribuição: ^ α ^,86 s 0,43 µ X + 0,45 s 0,0 + 0,45 5,76,38 Para TR 0 aos LN LN LN LN TR 0 x TR + µ +,38 3, m 3 /s α 0,43 Valedo-se do mesmo procedimeto, tem-se para os demais tempos de retoro: TR 0 aos: Q 0,6 m 3 s - TR 50 aos: Q 6,33 m 3 s -

4 Determiação de TR: TR P ( X xi) exp( exp( α ( x µ ))) TR 54, exp aos ( exp( 0,43 ( 6,38 ))) 3 o Aplicado-se a Distribuição GEV O coeficiete de assimetria da série histórica é igual a 0,795, gerado os seguites parâmetros da GEV: σ 0,533; α 5,707; β 8,8035. Com estes valores e aplicado a equação correspodete, tem-se: Para TR 0 aos: Q,79 m 3 /s; Para TR 0 aos: Q 0,7 m 3 /s; Para TR 50 aos: Q 7,33 m 3 /s. O cálculo de TR para uma vazão míima de 7 dias cosecutivos igual a 6 m 3 /s, produziu um valor de 78,5 aos. Observações A comparação das distribuições mostra que para valores mais altos de vazão, a estimativa da freqüêcia tede a ser próxima, especialmete Weibull e GEV. Para valores meores, observa-se discrepâcia as estimativas, com a GEV mais próxima da Distribuição Gumbel. 4.8 Estimação dos parâmetros das distribuições de probabilidades com base a Máxima Verossimilhaça 4.8. Defiições O Método da Máxima Verossimilhaça cosiste de uma metodologia desevolvida por Fisher em 9, o qual se busca a maximização da probabilidade (plausibilidade) de um parâmetro represetar uma população, maximizado a desidade cojuta dos elemetos amostrais. A fução de verossimilhaça é matematicamete defiida pelo produtório das desidades de cada valor amostral, sedo este dado por x, x, x3, etc, ou seja: ( x) f( x) f( x3 )...f ( x) f( xi) L f (86) i

43 Assim, a máxima verossimilhaça cosiste em ecotrar o poto de máximo da fução acima, derivado-a em relação a cada um dos seus parâmetros, e igualado-se a zero. Supodo uma distribuição de probabilidades com parâmetro, como, por exemplo, Poisso, tem-se: P λ e x! x ( x) λ (87) Em que λ é o parâmetro e x uma variável aleatória discreta. Uma perguta pode ser feita: Qual o melhor parâmetro λ que maximizará a probabilidade de x ser igual a 0? Assim, a idéia geral dos estimadores de Máxima Verossimilhaça é a seguite: Pelo esquema acima, percebe-se que existem vários valores do parâmetro que podem ser utilizados para calcular a probabilidade de x ser igual a 0. Matematicamete, o que maximizará esta probabilidade é o valor de λ que satisfará a equação abaixo: dp dλ 0 (88) Para distribuições cotíuas com mais de um parâmetro, tem-se uma superfície e duas outras equações, costituido um sistema para obteção dos parâmetros correspodetes ao poto de máximo. Para facilitar a solução matemática do poto de

44 máximo, é ecessário liearizar a equação 86, obtedo-se a fução logaritmo de verossimilhaça (log (L)): ( L) logf( x) + log f( x) + logf( x3) +... + log f( xi) log f( xi) log (89) i Cosiderado uma distribuição cotíua com parâmetros θ e θ, tem-se: ( ) log L θ log L θ ( ) 0 Sistema de Equações para obteção dos parâmetros θ e θ. 0 A seguir serão apresetadas as soluções do sistema acima para as distribuições de probabilidades apresetadas ateriormete. 4.8. Distribuição Normal A Distribuição Normal é caracterizada pela seguite expressão: ( ) ( x µ ) x; µ, σ exp FDP. : f (90) π σ σ Aplicado-se o coceito defiido pela equação 89, tem-se: ( x µ ) ( ) L f xi exp exp ( xi µ ) (9) i i π σ σ σ i ( π σ ) Liearizado a equação 9, tem-se: l ( L) l( π) l( σ ) ( xi µ ) (9) σ i tem-se: Fialmete, derivado-se a equação acima em relação a µ e σ, igualado-se a zero,

45 ll σ σ + ( σ ) ( xi ) µ i (93) ll µ σ ( xi ) µ i (94) Assim, igualado as equações acima a zero, é possível resolver em fução dos parâmetros µ e σ, obtedo-se sua estimativa por Máxima Verossimilhaça: xi i µ x (95) ( ) σ S (96) Observa-se que estas equações são utilizadas a maioria das vezes em que a Distribuição Normal é aplicada. 4.8.3 Distribuição Gumbel para máximos A FDP da distribuição Gumbel é dada por: α ( xµ ) e ( ) f α e (97) ( x; α, µ ) α xµ Sua fução logaritmo de verossimilhaça é: α ( xiµ ) e α( xiµ ) l L l e (98) i ( α) α ( ) ( ) + ( xiµ l L l α + ) α xi µ e (99) i i Derivado-se em relação a α e µ, igualado-se a zero, tem-se: α xi exp i X exp i ( α x ) ( α x ) i i (00)

46 ( α x ) exp i i exp( α µ ) (0) A solução deste sistema de equações é desevolvida solucioado-se a equação 00 para α e substituido-se este valor a equação 0, ecotrado-se µ. Exemplo de Aplicação 4.7 Compare o comportameto das freqüêcias estimadas pela distribuição Gumbel, com parâmetros obtidos pelos Métodos dos Mometos e da Máxima Verossimilhaça. A série histórica de chuvas máximas diárias auais apresetada a Tabela 4.8 é do muicípio de Barbacea, MG. A distribuição Gumbel ajustada com base o método dos mometos propiciou a estimativa dos parâmetros α e µ, respectivamete iguais a 0,06489 e 68,5779. Pelo método da máxima verossimilhaça obteve-se, respectivamete, 0,055739 e 67,743. Os gráficos da Figura 4.4, a seqüêcia, represetam os ajustes das freqüêcias teóricas às observadas. Figura 4.4 Ajustes da distribuição Gumbel, por Máxima Verossimilhaça (MV) e Método dos Mometos (MM), para série histórica de precipitação máxima diária aual para a cidade de Barbacea, MG.

47 Tabela 4.8 Série histórica de precipitação máxima diária para o muicípio de Barbacea, MG. Ordem h dia Ordem h dia Ordem h dia 43.0 5 73.0 49 97.0 43.80 6 74.00 50 97.60 3 47.60 7 74.0 5 00.00 4 47.60 8 75.40 5 00 5 49.00 9 77.00 53 00.0 6 49.40 30 78.0 54 0.00 7 49.80 3 79.00 55 05.50 8 50.00 3 8.00 56.50 9 50.0 33 8.00 57 6.40 0 53.0 34 8.60 58.00 57.00 35 83.00 58.00 36 86.40 3 58.40 37 88.0 4 60 38 88.0 5 63.0 39 89.00 6 65.00 40 90.00 7 65.00 4 90.40 8 65.60 4 9.60 9 66.00 43 93.00 0 66.00 44 93.0 68.00 45 95.00 70.00 46 95.00 3 7.60 47 96.0 4 7.60 48 96.60 É possível observar um melhor ajuste da distribuição Gumbel ajustada com base em parâmetros estimados pela Máxima Verossimilhaça, avaliado maior proximidade etre as freqüêcias estimadas pela distribuição e as freqüêcias observadas. Isto também pode ser comprovado pelo teste Qui-quadrado, ode obteve-se um valor de 7,3 para a distribuição ajustada por máxima verossimilhaça e 3,9 para a distribuição ajustada pelo método dos mometos, equato o Qui-quadrado tabelado é de 4,. Avalia-se que por este último método, a distribuição quase ão foi adequada e a grade difereça etre os valores de Quiquadrado reflete a precisão do ajuste 3. Detalhes da aplicação do teste de Qui-quadrado serão apresetados em tópico específico sobre Testes de Aderêcia. 3 Coforme Walpole & Mayers (978).

48 4.8.4 Distribuição Gama A distribuição Gama possui a seguite formulação, a forma icompleta, para sua FDP: ( υ) x υ β e f ( x; β, υ) x (0) υ β Γ Sua fução log-verossimilhaça é dada por: xi ( β υ ) υ ( β ) [ Γ ( υ )] + ( υ ) i l L, l l l l( xi) (03) i β As derivadas parciais de l (L) em relação a α e β igualadas a zero produz: X l (04) ( υ) ψ( υ) l X G Em que ψ(υ) correspode à fução digama de υ e XG é a média geométrica dos dados. A fução digama pode ser aproximada por uma série de potêcia da seguite forma: ψ ( υ) l( υ) + +... (05) υ 4 6 8 υ 0 υ 5 υ 40 υ A solução da equação 05 permite estimar o valor de υ e assim, calcula-se β da seguite forma: β X υ (06) 4.8.5 Log-ormal 3 parâmetros A FDP da distribuição log-ormal 3 parâmetros é dada por: ( log( xa) µ ) ( σ µ ) σ f x;a,, e (07) σ π ( x a)

49 procedimeto: Para a estimativa dos parâmetros pela Máxima Verossimilhaça, adota-se o seguite Faz-se x * x a e os parâmetros µ e σ são obtidos por: µ i * ( logxi ) (08) σ log x i * ( i µ ) (09) Assim, o parâmetro a é testado, avaliado-se a fução log-verossimilhaça, até que haja maximização desta fução. A fução de log-verossimilhaça é dada por: ( π) * * log( x ) ( log x µ ) log l L( x; µ, σ,a) log( σ) i i (0) i σ i Exemplo de Aplicação 4.8 Compare os ajustes das freqüêcias teóricas às observadas para vazões míimas auais do Rio Aiuruoca, região Alto Rio Grade, MG, produzidos pelas distribuições Gama Icompleta e Log-ormal 3 parâmetros, ajustadas por máxima verossimilhaça à série histórica apresetada a Tabela 4.9.

50 Tabela 4.9 Série histórica de vazões míimas diárias auais do Rio Aiuruoca, região Alto Rio Grade. Ordem Vazão Ordem Vazão 4,7 5 7,48 5,34 6 7,53 3 5,7 7 7,57 4 6,00 8 7,6 5 6,8 9 7,70 6 6,43 0 7,9 7 6,45 8,0 8 6,7 8,09 9 6,8 3 8, 0 6,87 4 8,77 6,95 5 8,94 7,05 6 9,75 3 7,3 7 0,5 4 7,40 8 0,69 9 7,50 É possível observar um ligeiro melhor ajuste da distribuição log-ormal 3 parâmetros, o que pode ser costatado também pelos valores de Qui-quadrado calculados para ambos, ode para a distribuição log-ormal 3 parâmetros este valor foi de 0,33 equato para distribuição Gama de 0,97. Figura 4.5 Ajustes das distribuições Gama e log-ormal 3 parâmetros, ajustadas pela Máxima Verossimilhaça, para série histórica de vazões míimas diárias auais do Rio Aiuruoca, Alto Rio Grade, MG.

5 Exemplo de Aplicação 4.9 Comparar o ajuste das distribuições Gama, Log-ormal 3 parâmetros e Gumbel, ajustadas por máxima verossimilhaça, às freqüêcias observadas da série de vazões máximas diárias auais do Rio Aiuruoca, apresetadas a Tabela 4.0. Com base os gráficos da Figura 4.6, verifica-se que a distribuição Gumbel apresetou um melhor ajustameto das freqüêcias teóricas às observadas, seguida da distribuição log-ormal 3 parâmetros. Isto pode ser comprovado pelos valores de Quiquadrado das distribuições, sedo igual a 3,43 para distribuição Gumbel; 4,048 para logormal 3 parâmetros e 4,35 para a distribuição Gama. Tabela 4.0 Série histórica de vazões máximas diárias auais do Rio Aiuruoca, região Alto Rio Grade. Ordem Vazão Ordem Vazão 53,8 5 95,5 54,3 6 98,4 3 57,8 7 05 4 66,3 8 06 5 74,9 9 0 6 75, 0 0 7 77,3 36 8 77,8 47 9 79,4 3 55 0 85,7 4 59 86,8 5 6 88,4 6 63 3 89, 7 74 4 93,8 8 79 9 79

5 Figura 4.6. Distribuições Gumbel, log-ormal 3 parâmetros e Gama, ajustadas por Máxima Verossimilhaça, para série histórica de vazões máximas diárias auais do Rio Aiuruoca, Alto Rio Grade, MG. 4.8.6 Weibull A distribuição de Weibull possui sua FDP caracterizada por: λ x β β ( x; α, β) λ x β e f () Em que: x 0 ;λ, β > 0 Aplicado-se os coceitos de máxima verossimilhaça, chega-se ao seguite sistema de equações: λ β x i i β λ i β ( xi l( xi) ) l( x i ) i () (3)

53 Utilizado-se o método de Newto-Raphso, obtém-se simultaeamete, β e λ. 4.8.7 GEV A distribuição GEV possui sua FDP dada por: ( ) σ µ + ξ σ µ + ξ σ ξ ξ +ξ x exp x x f (4) Aplicado-se os coceitos de verossimilhaça, chega-se à seguite equação: ( ) ( ) σ µ + ξ σ µ + ξ σ σ ξ µ ξ ξ +ξ i i i i i i x exp x x f,, L (5) O logaritmo da fução de verossimilhaça produz: ( ) ( ) σ µ + ξ σ µ + ξ ξ + ξ σ σ µ ξ ξ i i x i x l l,, x; l (6) Derivado-se a equação 5 em relação aos respectivos parâmetros e fazedo-se uma série de maipulações, chega-se ao seguite sistema de equações: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ σ µ σ ξ µ ξ + ξ µ σ + σ σ + ξ σ i i i i i i i i i i i i i 0 y x y x y l y 0 y y x 0 y (7) Neste caso, tem-se que:

54 xi µ y i + ξ (8) σ Para solução do sistema de equações, sugere-se iiciá-lo com base os parâmetros µ, σ e ξ oriudos do método dos mometos (equações 4, 43 e 44). Exemplo de Aplicação 4.0 Ajustar a distribuição Weibull à série histórica de vazões míimas de 7 dias cosecutivos do Rio Grade, a Região Alto Rio Grade (Tabela 4.7). Os parâmetros ajustados foram: λ 5,648 x 0-6 ; β 3,908993 e a aderêcia das freqüêcias observadas às teóricas represetada a Figura 4.7. Figura 4.7 Ajuste da Distribuição Weibull à série histórica de vazões míimas de 7 dias cosecutivos do Rio Grade, seção de Madre de Deus, MG. Exemplo de Aplicação 4. Ajustar a distribuição GEV ajustada por Máxima Verossimilhaça e Método dos Mometos para a série histórica de precipitação decedial do mês de jaeiro da Tabela 4.6.

55 Parâmetro MV MM σ 54,08 60,59 µ 70,74 7,58 ξ 0,088 0,074 Gráfico dos ajustes A estimativa de erro médio das freqüêcias estimadas pelos respectivos métodos em relação às observadas foi de 9,70% para o método dos mometos e de 9,49% para o método da Máxima Verossimilhaça, com o erro máximo de 5% para MM e de 44% para MV. Segudo algus autores, o desempeho da MV será superior quato maior a série histórica, que o caso deste exemplo, apesar de apeas dados da série histórica, esta metodologia mostrou-se ligeiramete superior. 4.9 Estimação de parâmetros das Distribuições de Probabilidades com base os Mometos L O método dos mometos L cosiste de uma abordagem estatística que permite estimar os parâmetros de uma distribuição de probabilidades com base em mais mometos estatísticos de ordem superior a 3, podedo permitir, em casos de pequeas amostras, ajustar, com maior precisão, uma distribuição de probabilidades do que o Método da Máxima Verossimilhaça.

56 Hoskig (990) mecioa que os valores uméricos de mometos amostrais, em especial de pequeas amostras, podem ser muito diferetes daqueles que de fato caracterizam uma determiada população, costituido-se em erros de elevada magitude a estimativa da freqüêcia. Desta forma, foram itroduzidos os coceitos de mometos poderados por probabilidades (MPP), apresetado a seguite expressão para estimativa dos mometos amostrais: ^ α s N i N s xi N i N s (9) Em que N é o tamaho da amostra, s é um úmero iteiro que varia de 0 a 3 e x i a variável hidrológica em questão. Os termos etre parêteses são obtidos pela aálise combiatória, ou seja: N i s ( N i)! ( N i s )! s! (0) Os mometos que podem ser estimados pela equação 9 podem ser liearizados de acordo com Hoskig (990), uma vez que, esta forma, os mometos são de difícil aplicação para modelagem (caracterização da forma e escala) de uma distribuição de probabilidades. Assim, os mometos podem etão ser estimados pelas equações, sedo cohecidos como Mometos - L: λ λ λ λ 3 4 α 0 α α α 0 0 0 α 6 α α + 6 α + 30 α 0 α 3 () O mometo L λ é equivalete à média. O coeficiete de variação, o qual está associado ao parâmetro de escala, é dado por: λ τ () λ Os coeficietes de assimetria e curtose são obtidos respectivamete, por:

57 λ3 τ 3 (3) λ λ 4 τ 4 (4) λ 4.9. Aplicação às Distribuições de Probabilidades apresetadas a) Distribuição Normal ^ µ λ α (5) ^ 0 ( α α ) σ π λ π (6) 0 b) Distribuição Gumbel para Máximos ( ) ^ l α λ (7) ^ 0, 577 µ λ (8) ^ α c) Distribuição Gumbel para Míimos ( ) ^ l α λ ^ 0, 577 µ λ + (9) ^ α d) Distribuição Gama λ λ λ β υ Γ ( υ + 0,5 ) Γ( υ + ) π (30) (3)

58 e) GEV ^ ( ) ( 7,859 C +,9554 C ) ξ (3) ( ) ( ) l C (33) 3 + τ l 3 3 ξ ( 3 ) ξ ( ) τ3 3 + (34) ^ σ Γ λ ξ ξ ( + ξ) ( ) ^ α µ λ ξ [ Γ( + ξ) ] (35) (36) f) Log-ormal ^ z σ N (37) τ + Sedo z a variável Normal padrão correspodete à probabilidade. ^ ( λ ) ( σ ) N µ N l (38) Exemplo de Aplicação 4. Compare o ajuste da distribuição GEV obtido pela Máxima Verossimilhaça (MV), Método dos Mometos (MM) e Método dos Mometos L (MML) para a série histórica de precipitação decedial do mês de jaeiro da Tabela 4.6. Os ajuste por MV e MM foram apresetados o Exemplo de Aplicação 4.. Parâmetro MV MM MML σ 54,08 60,59 60,93 µ 70,74 7,58 70,77 ξ 0,088 0,074 0,0000004

59 Gráfico dos ajustes A estimativa de erro médio das freqüêcias estimadas pelos respectivos métodos em relação às observadas foi de 9,70% para o método dos mometos, de 9,49% para o método da Máxima Verossimilhaça e 8,54% para o método dos mometos-l, com o erro máximo de 5% para MM, de 44% para MV e 46,3% para MML. O desempeho de MML ormalmete é superior, especialmete para séries históricas meores, coforme cometado ateriormete. Exemplo de Aplicação 4.3 Com base a série histórica do Exemplo de Aplicação 4.4 (série da Tabela 4.5), a qual diz respeito à precipitação máxima diária aual, ajuste a Distribuição de Gumbel pelo método dos Mometos-L (ML), comparado o ajuste ao obtido pelo Método dos Mometos (MM) e calcule a precipitação máxima diária aual para os TR s de 5, 0, 50 e 00 aos. Os respectivos ajustes produziram os seguites parâmetros, calculado-se os erros médios absolutos etre as freqüêcias observadas e estimadas em cada um dos métodos.

60 Parâmetros MM ML 0,09683 0,08930 60,7957 60,96 Erro (%) 6,8 3,64 Graficamete: TR MM ML 5 76,9 77,09 0 84,04 85,49 50 0,09 04,00 00 08,30,8 Com base os dados de erro absoluto acima, há idicativo de que o Método dos Mometos-L gerou maior precisão do que o Método dos Mometos. No etato, é importate que esta aálise possa ser coduzida com base em algum teste estatístico, permitido uma coclusão mais apropriada.

6 Exemplo de Aplicação 4.4 Ajuste as distribuições Gama P e GEV pelo método dos Mometos-L, comparado os ajustes, à mesma série histórica do Exemplo 4.3 (Série da Tabela 4.5). Os ajustes produziram um erro médio absoluto de estimativa das freqüêcias observadas de 9,94% para a Distribuição Gama e de 3,8% para a Distribuição GEV. O erro máximo observado a primeira situação foi de 4,% e para a seguda, de 37,6%, apotado para um melhor desempeho da distribuição Gama quado este método de ajuste é aplicado. Graficamete, é possível perceber o melhor ajustameto das freqüêcias estimadas às observadas pela Distribuição Gama. Exemplo de Aplicação 4.5 Com base a série histórica de vazões míimas cosecutivas de 7 dias, do Rio Grade (Tabela 4.7), ajuste as distribuições GEV e log-ormal P pelo método dos Mometos-L e calcule o valor correspodete ao TR de 0 aos por ambos os modelos. Os parâmetros ajustados para a distribuição GEV foram: 6,9x0-5 ; 4,9; 7,588 Os parâmetros ajustados da distribuição log-ormal P foram: N 0,588; N,963

6 Para um TR de 0 aos, correspodedo a valores míimos, portato, probabilidade de ão excedêcia, estima-se uma Q 7,0 para o Rio Grade a seção de cotrole de Madre de Deus, um valor de 4, m 3 /s com aplicação da GEV e de 3,9 m 3 /s aplicado-se a distribuição log-ormal P. O desempeho das distribuições é semelhate. Graficamete, tem-se: 4.0 Adequação Estatística de uma Distribuição de Probabilidades Para a aplicação de uma distribuição de probabilidades é idispesável aalisar se a mesma represeta adequadamete bem a relação fucioal etre os valores do eveto e as respectivas freqüêcias de ocorrêcia dos mesmos. Para isto, há ecessidade de se comprovar previamete se a distribuição é adequada para a série histórica a ser trabalhada. A comprovação é feita com base em testes estatísticos ão paramétricos, os quais, a seqüêcia, serão apresetados de forma detalhada aqueles mais usuais em hidrologia, sedo que também são cohecidos como Testes de Aderêcia Estatística. 4.0. Teste de Kolmogorov-Smirov Neste teste, promove-se o cálculo da difereça etre as freqüêcias observadas (amostrais) e as freqüêcias esperadas com base a distribuição de probabilidades, comparado-se a maior difereça obtida a um valor que correspodete à estatística do teste (Tabela 4.). Esta estatística é obtida em fução do tamaho da amostra () e ível

63 de sigificâcia ( α ) a ser adotado (5% a maioria das vezes). A hipótese de ulidade a ser testada é a Hipótese Ho de que a freqüêcia observada poderá ser estimada pela distribuição de pobabilidades, ou seja, como o valor tabelado é estatisticamete ulo, podese cocluir que valores meores ou iguais a este serão também estatisticamete ulos. Desta forma, tem-se: F F calculadomáximo tabela (, α) (39) Nesta situação, a distribuição de probabilidades será adequada, pois [ F] calculado máximo será ulo estatisticamete e, portato, a freqüêcia observada ão difere da esperada. Observa-se que apeas a máxima difereça etre as freqüêcias é cosiderada este teste. Desta forma, o Teste de Kolmogorov-Smirov é iteiramete qualitativo, sigificado que o mesmo permite apeas a coclusão de que a distribuição de probabilidades é adequada ou ão, ão havedo embasameto suficiete para se cocluir a respeito da precisão e comparação etre distribuições distitas. Se a equação 39 ocorrer o cotrário, a distribuição ão será adequada, devedo-se buscar o ajuste de outra.

64 Tabela 4. Valores críticos do teste de Kolmogorov-Smirov (Adaptado de Haa, 00). Tamaho da Nível de Sigificâcia Amostra (N) 0,0 0,5 0,0 0,05 0,0 0,900 0,95 0,950 0,975 0,995 0,684 0,76 0,776 0,84 0,99 3 0,565 0,597 0,64 0,708 0,89 4 0,494 0,55 0,564 0,64 0,734 5 0,446 0,474 0,50 0,563 0,669 6 0,40 0,436 0,470 0,5 0,68 7 0,38 0,405 0,438 0,486 0,577 8 0,358 0,38 0,4 0,457 0,543 9 0,339 0,360 0,388 0,43 0,54 0 0,3 0,34 0,368 0,409 0,486 5 0,68 0,83 0,304 0,338 0,404 0 0,3 0,46 0,64 0,94 0,35 5 0,0 0,0 0,40 0,64 0,30 30 0,90 0,00 0,0 0,4 0,90 40 - - - 0,0 0,50 50 - - - 0,90 0,30 60 - - - 0,70 0,0 70 - - - 0,60 0,90 80 - - - 0,50 0,80 90 - - - 0,40-00 - - - 0,40-4.0. Teste de Qui-quadrado Este teste é mais rigoroso que o aterior por agrupar os dados da série histórica em classes de freqüêcia e acumular os erros etre as freqüêcias observada e teórica, com participação de todas as classes e ão apeas a máxima difereça. A soma destes erros (obtida pela soma dos erros de todas as classes) gera o valor de λ calculado. A estatística do teste é obtida por meio da tabela de λ (Tabela 4.), adotado-se o valor tabelado com base em graus de liberdade da distribuição e ível de sigificâcia. Para que a distribuição de probabilidades teha aderêcia aos dados, o valor de λ calculado deve ser meor que o de tabela. Assim, tem-se:

65 χ calculado i ( f f ) obsi f teoricoi teoricoi (40) Em que é o úmero de classes, f obsi e f teóricoi são, respectivamete, as freqüêcias observada e teórica a classe i. As classes com meos de 3 valores devem ser agrupadas com as classes vizihas, seguido os critérios de aplicação do teste. Os Graus de Liberdade a serem adotados este teste podem ser obtidos cosiderado-se uma situação itermediária etre o úmero de classes meos e o úmero de classes meos úmero de parâmetros da distribuição meos. Por exemplo: para 6 classes, os graus de liberdade devem estar, para uma Distribuição Normal ( parâmetros) etre 5 e 3, adotado-se 4. Ressalta-se que para um pequeo úmero de classes o teste perde precisão. Para maiores detalhes para aplicação deste teste, cosultar Ferreira (005) e Haa (00). Um detalhe adicioal é de que a equação 40 represeta uma forma de cálculo do quadrado médio do erro e todas as freqüêcias participam do mesmo. Desta forma, Walpole & Myers (978) cosideram o teste de λ um cálculo de precisão do ajuste da distribuição de probabilidades.

3 Tabela 4. Quatis superiores da distribuição Qui-quadrado associados aos graus de liberdade (v) e diferetes íveis de sigificâcia (adaptado de Ferreira 005). Graus de Nível de Sigificâcia Liberdade (v) 0,995 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,00 0,050 0,00 0,005 0,000039 0,00098 0,00393 0,0579 0,053 0,455,706 3,84 6,635 7,879 0,0005 0,050636 0,0587 0,07 0,575364,386 4,605 5,99 9,0 0,597 3 0,077 0,5793 0,35843 0,584369,3,366 6,5 7,85,345,838 4 0,06989 0,48448 0,7073,064,93 3,357 7,779 9,488 3,77 4,860 5 0,474 0,83,45,60,675 4,35 9,36,070 5,086 6,750 6 0,67577,37,635,04 3,455 5,348 0,645,59 6,8 8,548 7 0,98956,690,67,833 4,55 6,346,07 4,067 8,475 0,78 8,344,80,733 3,490 5,07 7,344 3,36 5,507 0,090,955 9,735,700 3,35 4,68 5,899 8,343 4,684 6,99,666 3,589 0,56 3,47 3,940 4,865 6,737 9,34 5,987 8,307 3,09 5,88 5 4,60 6,6 7,6 8,547,037 4,339,307 4,996 30,578 3,80 0 7,434 9,59 0,85,443 5,45 9,337 8,4 3,40 37,566 39,997 5 0,50 3,0 4,6 6,473 9,939 4,337 34,38 37,65 44,34 46,98 30 3,787 6,79 8,493 0,599 4,478 9,336 40,56 43,773 50,89 53,67 40 0,707 4,433 6,509 9,05 33,660 39,335 5,805 55,758 63,69 66,766 50 7,99 3,357 34,764 37,689 4,94 49,335 63,67 67,505 76,54 79,490 60 35,534 40,48 43,88 46,459 5,94 59,335 74,397 79,08 88,379 9,95 0 83,85 9,573 95,705 00,64 09,0 9,334 40,33 46,567 58,950 63,648 40 87,34 98,984 05,35,386 4,88 39,334 68,47 77,38 93,888 300,8 480 403,949 4,89 430,98 440,745 458,754 479,334 50, 53,075 555,006 563,56 850,89 876,08 889,08 904,9 930,093 959,333 06,566 033,93 064,867 076,6

3 4.0.3 Teste de Fillibe Este teste foi itroduzido por Fillibe em 975 para testar (verificar) a hipótese H 0 de ormalidade, tedo sido adaptada para outras distribuições. Isto sigifica que o teste verificará se uma determiada amostra y, y, y3,..., yn, extraída de uma população Y com distribuição de probabilidade F(y) também poderá ser represetada pela mesma distribuição. Para isto, o teste de aderêcia estimará um coeficiete de correlação (r) etre as observações yi e os quatis teóricos wi. Os valores de wi são obtidos pela iversa da FCP, ou seja: y wi F ( qi) (4) Sedo F - y a fução iversa da distribuição F(y). Isto sigifica obter o valor da variável hidrológica associada à freqüêcia observada q. Para a distribuição Normal, o software Excel possui uma fução cohecida como INV.NORM. Para as demais, procede-se aplicado a estrutura da própria distribuição. A freqüêcia observada qi é obtida pela seguite equação: i a qi (4) N + a Sedo i a posição ocupada pelo valor a série amostrada, de preferêcia em ordem crescete, N é o tamaho da amostra e a é um parâmetro a ser adotado de acordo com a distribuição. Para a distribuição Normal e log-ormal, a 0,375; para Weibull, a 0; Gumbel, a 0,44; GEV e outras, a 0,40. O coeficiete de correlação etre wi e yi é dado por: ( y y) ( w w) i i i r (43) calc N N ( y y) ( w w) i N i i i Este valor deverá ser comparado a um valor crítico de r, cosiderado a distribuição em questão. Se r calc > r cr tic, a amostra poderá ser represetada pela respectiva distribuição. Os valores de r critic estão apresetados as Tabelas 4.3, 4.4 e 4.5, respectivamete para as Distribuições Normal (log-ormal), Gumbel (Weibull) e GEV (adaptadas de Stediger et al., 993 por Naghettii & Pito, 007).

33 Tabela 4.3 Valores de r critic para as Distribuições Normal e Log-Normal. Tamaho da Sigificâcia (α) Amostra (N) 0,0 0,05 0,0 0 0,9347 0,980 0,8804 5 0,9506 0,9383 0,90 0 0,9600 0,9503 0,990 30 0,9707 0,9639 0,9490 40 0,9767 0,975 0,9597 50 0,9807 0,9764 0,9664 60 0,9835 0,9799 0,970 75 0,9865 0,9835 0,9757 00 0,9893 0,9870 0,98 Tabela 4.4 Valores de r critic para as Distribuições Gumbel para máximos e Weibull. Tamaho da Sigificâcia (α) Amostra (N) 0,0 0,05 0,0 0 0,960 0,9084 0,8630 0 0,957 0,9390 0,9060 30 0,96 0,956 0,99 40 0,9689 0,9594 0,986 50 0,979 0,9646 0,9389 60 0,9760 0,9685 0,9467 70 0,9787 0,970 0,9506 80 0,9804 0,9747 0,955 00 0,983 0,9779 0,9596

34 Tabela 4.5 Valores de r critic para a Distribuição GEV. Valores do Parâmetro σ Sigificâcia N σ -0,30 σ -0,0 σ -0,0 σ 0 σ 0,0 σ 0,0 (α) 5 0,777 0,79 0,805 0,87 0,83 0,85 0 0,836 0,845 0,856 0,866 0,876 0,88 0,0 0 0,839 0,855 0,878 0,903 0,93 0,93 30 0,834 0,858 0,890 0,90 0,94 0,953 50 0,85 0,859 0,90 0,939 0,96 0,970 00 0,85 0,866 0,90 0,959 0,978 0,985 5 0,853 0,863 0,869 0,874 0,877 0,880 0 0,88 0,890 0,900 0,909 0,96 0,90 0,05 0 0,898 0,9 0,96 0,938 0,948 0,953 30 0,903 0,90 0,937 0,95 0,96 0,967 50 0,908 0,99 0,950 0,965 0,974 0,979 00 0,94 0,940 0,963 0,978 0,985 0,989 5 0,888 0,89 0,896 0,899 0,90 0,903 0 0,904 0,9 0,90 0,97 0,93 0,936 0,0 0 0,90 0,93 0,943 0,95 0,958 0,96 30 0,98 0,94 0,953 0,96 0,969 0,973 50 0,935 0,950 0,963 0,973 0,979 0,98 00 0,944 0,96 0,974 0,983 0,988 0,99 4.0.4 Teste de Aderso-Darlig Este teste tem grade aplicabilidade em situações as quais os dados apresetam assimetria as suas distribuições de freqüêcia, ou seja, séries históricas caracterizadas por valores extremos, tato o cotexto de míimos quato de máximos. Os demais testes aalisam e comparam as freqüêcias observadas às teóricas e ormalmete verificam distorção sigificativa apeas em freqüêcias itermediárias e ão aalisam de forma mais específica, os dados extremos (caudais). Assim, distribuições do tipo Gumbel, log-ormal, Weibull, GEV e log-gumbel, detre outras, devem ser testadas por este teste sempre que possível. Além desta aplicação, segudo Sharda et al. (008) e D Agostio & Stephes (986), este teste pode ser aplicado para aalisar a bodade do ajuste, ou seja, a precisão do mesmo quado se deseja comparar duas ou mais distribuições. A estatística deste teste é a seguite: N AD N [ ( i ) ( l( Pi ) + l( Pi ))] (44) N i

35 Em que N é o tamaho da amostra, i é a posição de cada um dos dados a série histórica posicioada em ordem crescete e P i é o correspode à probabilidade calculada pela respectiva distribuição. O valor de AD deve ser comparado a um valor crítico p, cosiderado um ível de sigificâcia α. Se AD > p (α), rejeita-se a hipótese H o de que a distribuição se ajusta de forma adequada aos dados de freqüêcia. Na Tabela 4.6 estão apresetados os valores da estatística p (α) do teste para as distribuições log-ormal (ormal), Weibull ou Gumbel, de acordo com D Agostio & Stephes (986) e Naghettii & Pito (007). Tabela 4.6 Valores críticos de p (α) para as distribuições log-ormal (ou ormal) e Weibull e Gumbel. Dsitribuição α p (α) Correção de A Normal ou log-ormal Weibull ou Gumbel para máximos 0,0 0,63 0,05 0,75 0,05 0,873 0,0,035 0,0 0,637 0,05 0,757 0,05 0,877 0,0,038 Adaptado de D Agostio & Stephes (986) e Naghettii & Pito (007). + 0,75 N,5 + N 0, + N Exemplo de Aplicação 4.6 Verificar pelos testes de adequação de Kolmogorov-Smirov, Qui-quadrado, Fillibe e Aderso-Darlig a aplicação da Distribuição Normal à série histórica de precipitação total aual do Exemplo de Aplicação 4.3.

36 a) Kolmogorov-Smirov (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Prec. (mm) z f teórica f calc. f Prec. (mm) z f teórica f calc. f 747, -,5 0,0 0,03 0,00094 47,3 0,45 0,53 83,4 -,98 0,039 0,063 0,0047 48, -0, 0,45 0,53 0,0609 999, -,46 0,07 0,0395 0,0367 430,0-0, 0,456 0,563 0,070 00,3 -,46 0,07 0,056 0,095 443,4-0,07 0,47 0,5395 0,0674 068, -,5 0,056 0,0658 0,03985 445,8-0,06 0,476 0,556 0,0766 093,5 -,7 0, 0,0789 0,0405 448,8-0,05 0,480 0,5658 0,0857 09,9 -, 0,34 0,09 0,0394 450,3-0,05 0,480 0,5790 0,0989 70,6-0,93 0,76 0,053 0,07087 453,4-0,04 0,4840 0,59 0,08 7,3-0,9 0,788 0,84 0,06036 479,5 0,04 0,560 0,6053 0,0893 83, -0,89 0,867 0,36 0,0555 496,3 0,09 0,5359 0,684 0,086 84,9-0,88 0,894 0,447 0,04468 555,8 0,8 0,603 0,636 0,03 87,7-0,87 0,9 0,579 0,0346 567,4 0,3 0,655 0,6447 0,09 96,6-0,84 0,005 0,7 0,094 584,3 0,37 0,6443 0,6579 0,036 04,7-0,8 0,06 0,84 0,089 585, 0,37 0,6443 0,67 0,068 6, -0,78 0,77 0,974 0,0003 589, 0,39 0,657 0,684 0,035 6, -0,78 0,77 0,05 0,0076 590,0 0,39 0,657 0,6974 0,0456 7,8-0,78 0,77 0,37 0,00599 634, 0,53 0,709 0,705 0,0086 46-0,69 0,45 0,368 0,0085 634, 0,53 0,709 0,737 0,07 63,5-0,63 0,643 0,5 0,0434 665,3 0,6 0,734 0,7368 0,0045 66,7-0,6 0,676 0,63 0,00446 673, 0,65 0,74 0,75 0,0079 68,6-0,6 0,676 0,763 0,0087 683,5 0,68 0,757 0,763 0,04 8,5-0,57 0,843 0,895 0,0054 686,6 0,69 0,7549 0,7763 0,04 88,8-0,56 0,877 0,306 0,049 689,4 0,70 0,7580 0,7895 0,034 30, -0,5 0,305 0,358 0,046 696 0,7 0,764 0,806 0,0384 33-0,48 0,356 0,389 0,0334 705,5 0,75 0,7734 0,858 0,044 39,8-0,46 0,38 0,34 0,0936 79, 0,79 0,785 0,889 0,0437 36,6-0,44 0,399 0,3553 0,053 76,6 0,8 0,7939 0,84 0,048 35,8-0,35 0,363 0,3684 0,0056 78,5 0,8 0,7939 0,8553 0,064 353,7-0,35 0,363 0,386 0,084 794,0,03 0,8485 0,8684 0,099 354,7-0,35 0,363 0,3947 0,0358 86,6,0 0,8643 0,886 0,073 355,7-0,35 0,363 0,4079 0,04473 80,3, 0,8665 0,8947 0,08 374,4-0,9 0,3859 0,4 0,0355 83,7,5 0,8749 0,9079 0,039 377,9-0,8 0,3897 0,434 0,04448 933,,46 0,979 0,90 0,0068 380,4-0,7 0,3936 0,4474 0,05379 938,0,48 0,9306 0,934 0,0037 393,6-0,3 0,4090 0,4605 0,0549 95,8,5 0,9357 0,9474 0,06 398,7-0, 0,468 0,4737 0,05685 04,,8 0,9649 0,9605 0,0043 43, -0,7 0,435 0,4868 0,05434 30,7,08 0,98 0,9737 0,0076 47,3-0, 0,45 0,5 0,04776 485,6 3,9 0,9993 0,9868 0,04 f calc. máximo 0,08 Da tabela de valores da estatística do teste de Kolmogorov-Smirov (Tabela 4.), tem-se que f (75,5 %) 0,55.

37 Coclusão: Como o valor calculado máximo é meor que o tabelado, coclui-se que a Distribuição Normal foi adequada a esta série histórica de precipitação total aual. b) Qui-quadrado (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Observar procedimeto estatístico desevolvido o Exemplo de Aplicação 4.3, para separação por classes de freqüêcia. Classes F obs z F teórica λ LI LS 6,9 9,7 7 -,64 -,08 0, 0,959 9,7 368, 4 -,08-0,3 8,04,968 368, 66,5-0,3 0,47,64 0,08 66,5 864,9 6 0,47,5 5,97 0,0 864,9 60, 6,5 3,58 7,9 0,463 75 3,408 Exemplo de cálculos para a º classe Com a média e o desvio padrão dos dados determia-se o valor de z para os limites superior e iferior: x 458,6 mm s 98, mm 6,9 458,6 z,64 98, 9,7 458,6 z,08 98, Na tabela de z ecotram-se as probabilidades de ão excedêcia de 0,0043 e 0,3898 respectivamete, para os limites iferior e superior. Assim, a freqüêcia teórica para esta classe será: Fteórica (0,3898 0,0043) * 75 0, O valor de λ para o itervalo de classe será dado por: λ (7 0,) 0, 0,959 Após o cálculo dos valores de λ para as demais classes, estes devem ser somados e comparados ao valor do λ tabelado. A distribuição será adequada se λ calculado λ tabelado. Os graus de liberdade deste exemplo estarão etre 4 (5 classes ) e (5 classes parâmetros ), adotado-se 3.

38 No exemplo, λ calculado 3,4 e λ tab(0,05; 3) 7,85. Portato, a Distribuição Normal é adequada a esta série histórica de precipitação total aual. c) Teste de Fillibe O valor de qi, cosiderado-se N 75 e a 0,375, para i produz valor de 0,00897, substituido i a equação 4. A iversa da Distribuição Normal, obtida pela fução INV.NORM do Excel, retora um valor de 738,4 mm para esta freqüêcia. Procede-se desta forma para os demais valores de precipitação ordeados em ordem crescete. O cálculo do coeficiete de correlação (equação 43) produz um valor de r igual a 0,975. Cosultado a Tabela de valores para r crítico da DN, para ível de sigificâcia de 0,05 e N 75, obtém-se valor de 0,984. Como r calc. < r crítico, a amostra ão poderá ser represetada pela Distribuição Normal. d) Teste de Aderso-Darlig A estatística deste teste produziu AD igual a 0,874, o qual foi corrigido para 0,883 (os dados de posição e freqüêcia teórica estão apresetados a tabela do teste de Kolmogorov-Smirov). Adotado-se p (0,05), a Tabela 4.6, ecotra-se valor de 0,75. Portato, como AD é maior que p (0,05), rejeita-se a hipótese H o de que a série histórica pode ser represetada pela Distribuição Normal. Exemplo de Aplicação 4.7 Aplicar os testes de Kolmogorov-Smirov, Qui-quadrado e Aderso-Darlig para verificação da adequação da distribuição Gumbel à série histórica de precipitação máxima diária aual do Exemplo de Aplicação 4.4.

39 a) Kolmogorov-Smirov (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Precipitação (mm) z (k TR) f teórica f calculado f 46, -,55 0,066 0,05884 0,04368 50,0 -,6 0,05937 0,7647 0,059405 50,4 -,3 0,065988 0,7647 0,588 57,0-0,74 0,3449 0,3594 0,0007 58,7-0,6 0,997 0,948 0,00034 60, -0,49 0,3490 0,3594 0,0066 6,6-0,39 0,3965 0,4765 0,0574 63,4-0,5 0,4646 0,470588 0,0089 64, -0,9 0,488444 0,594 0,04309 66,9 0,0 0,574377 0,58835 0,035 78, 0,86 0,89884 0,647059 0,83609 78,6 0,89 0,835743 0,70588 0,30658 78,7 0,90 0,837656 0,764706 0,07374 80,00 0,855703 0,8359 0,0348 85,5,4 0,93063 0,88353 0,03084 88,5,64 0,93370 0,9476 0,007346 f calc. máximo 0,84; f (6,5 %) 0,38 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição de Gumbel foi adequada para esta série histórica de precipitação máxima diária aual. b) Qui-quadrado (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Seguido-se o mesmo raciocíio apresetado o exemplo aterior, tem-se: K 4,0 Classes A 4,3 Ac 4,3 LI classe 39,3 LI classe 53,7 Reagrupado, tem-se: Classe Fobs ktr Ytr LI LS LI LS P(x xi) Fteór λ 39,3 53,7 3 -,09 -,0 -,0-0,73 0,0003 0,59,0 0,488 53,7 67,40 7 -,0 0,05-0,73 0,64 0,59 0,5900 7,43 0,04 67,40 95,67 6 0,05,8 0,64 3,38 0,5900 0,9664 6,0 0,000 6 0,53

40 Os graus de liberdade, este caso, estariam etre 0 e, portato,. No etato, como o úmero de classes, defiido de acordo com os critérios estatísticos é pequeo, pode-se cosiderar o grau de liberdade igual a. λ calculado 0,53 λ tab(0,05;) 5,99 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se, com ressalva devido ao baixo valor dos graus de liberdade, que a distribuição de Gumbel foi adequada à série histórica de precipitação máxima diária aual apreseta. c) Aderso-Darlig De acordo com os dados da tabela aplicada ao teste de Kolmogorov-Smirov, foi calculado um valor de AD igual a 0,500 que corrigido pela respectiva equação (Tabela 4.6), é igual a 0,55. Cosiderado p (0,05), o valor crítico da estatística é 0,757. Como AD é meor que p (0,05), aceita-se a hipótese H o de que a série histórica possa ser represetada pela distribuição Gumbel. Exemplo de Aplicação 4.8 Aplicar os testes de Kolmogorov-Smirov e Qui-quadrado para verificação da adequação de cada uma das distribuições de probabilidades aplicadas à série histórica de precipitação decedial do Exemplo de Aplicação 4.5, acrescidas das distribuições Normal, Gumbel e Gama.

4 Distribuição Log-ormal a parâmetros a) Kolmogorov-Smirov (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Precipitação (mm) z f teórico f calculado f 8,4 -,48 0,00656 0,045455 0,038895 7,6 -,66 0,04845 0,090909 0,04459 5,5 -,5 0,0564 0,36364 0,03074 9, -,09 0,3785 0,888 0,043968 4, -0,69 0,4509 0,773 0,0787 5,4-0,44 0,3996 0,777 0,05733 53,5-0,4 0,3374 0,388 0,09058 69,9-0, 0,454 0,363636 0,088604 78,5 0,0 0,50398 0,40909 0,094889 84,8 0,09 0,53585 0,454545 0,08305 95,9 0,3 0,59095 0,5 0,09095 97,8 0,5 0,5987 0,545455 0,05345,7 0,40 0,6554 0,590909 0,0645 35,3 0,6 0,7906 0,636364 0,09696 40,3 0,65 0,745 0,6888 0,06033 4, 0,66 0,74537 0,7773 0,08097 44,8 0,69 0,7549 0,7777 0,0787 6,8 0,8 0,79389 0,888 0,049 89,9 0,99 0,8389 0,863636 0,0476 53,,3 0,9049 0,90909 0,0049 90,46 0,9785 0,954545 0,06695 f calc. máximo 0,095; f (0,5 %) 0,94 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição Log-ormal a parâmetros foi adequada a esta série histórica de dados de precipitação decedial do mês de jaeiro. b) Qui-quadrado (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Classe Fobs LI k TR Fcalc λ LS 0, 94 0-4,0 0,,3 0,407 94 87,9 8 0, 0,98 5,33,338 87,9 375,7 3 0,98,75,60 0,06,886 Este valor foi adotado para permitir aplicação da distribuição log-ormal; Adotado devido ao fato de que para z < que -4, a probabilidade é praticamete zero, sedo o limite iferior da tabela de z.

4 λ calculado,886; λ tab(0,05,) 5,99. Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição Log-ormal a parâmetros foi adequada a esta série histórica de precipitação decedial do mês de jaeiro apresetada. Distribuição Log-ormal a 3 parâmetros. a) Kolmogorov-Smirov (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Precipitação (mm) z f teórico f calculado f 8,4 -,56 0,05938 0,045455 0,0395 7,6 -,36 0,0869 0,090909 0,003999 5,5 -,9 0,70 0,36364 0,09344 9, -, 0,564 0,888 0,05578 4, -0,86 0,9489 0,773 0,03383 5,4-0,68 0,485 0,777 0,04477 53,5-0,66 0,546 0,388 0,06356 69,9-0,38 0,3597 0,363636 0,0666 78,5-0,4 0,4056 0,40909 0,00393 84,8-0,5 0,44038 0,454545 0,0465 95,9 0,0 0,50398 0,5 0,00398 97,8 0,04 0,5595 0,545455 0,09505,7 0,3 0,59095 0,590909 4,E-05 35,3 0,53 0,7094 0,636364 0,065576 40,3 0,59 0,74 0,6888 0,04058 4, 0,60 0,7574 0,7773 0,00533 44,8 0,64 0,7389 0,7777 0,03387 6,8 0,85 0,8033 0,888 0,0585 89,9,3 0,87076 0,863636 0,0074 53,,7 0,9578 0,90909 0,04889 90,0 0,97778 0,954545 0,0335 f calc. máximo 0,066; f (6,5 %) 0,94 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição Log-ormal a 3 parâmetros foi adequada a esta série histórica de precipitação decedial.

43 b) Qui-quadrado (ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Classe Fobs LI k TR Fcalc λ LS 0, 94 0 -,76-0,0 9,59 0,08 94 87,9 8-0,0, 7,78 0,006 87,9 375,7 3,,6,7 0,03 0,055 λ calculado 0,055; λ tab(0,05,) 5,99 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição Log-ormal a 3 parâmetros foi adequada à série histórica de precipitação decedial do mês de jaeiro apresetada. Distribuição Normal a) Kolmogorov-Smirov (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Precipitação (mm) z f teórico f calculado f 8,4 -,30 0,0968 0,045455 0,05345 7,6 -,8 0,9 0,090909 0,0809 5,5 -,07 0,43 0,36364 0,005936 9, -,0 0,5386 0,888 0,07958 4, -0,85 0,9766 0,773 0,0963 5,4-0,7 0,3885 0,777 0,033877 53,5-0,70 0,496 0,388 0,076 69,9-0,48 0,356 0,363636 0,04806 78,5-0,37 0,35569 0,40909 0,05340 84,8-0,8 0,38973 0,454545 0,06485 95,9-0,3 0,4488 0,5 0,057 97,8-0, 0,456 0,545455 0,08955,7 0,08 0,5388 0,590909 0,05909 35,3 0,39 0,6573 0,636364 0,05366 40,3 0,46 0,6774 0,6888 0,004578 4, 0,47 0,6808 0,7773 0,046453 44,8 0,5 0,69846 0,7777 0,07467 6,8 0,76 0,77637 0,888 0,048 89,9, 0,86864 0,863636 0,005004 53,,96 0,975 0,90909 0,065909 90,45 0,9985 0,954545 0,038305 f calc. máximo 0,08955; f (6,5 %) 0,94 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição ormal foi adequada a esta série histórica de precipitação decedial.

44 b) Qui-quadrado (ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Classe Fobs LI k TR Fcalc λ LS 0, 94 0 -,4-0,6 7,50 0,833 94 87,9 8-0,6,09 8,94 0,099 87,9 375,7 3,09 3,59,89 0,004 0,936 λ calculado 0,936; λ tab(0,05,) 5,99 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição ormal foi adequada para a série histórica de precipitação decedial do mês de jaeiro apresetada. Distribuição Gumbel a) Kolmogorov-Smirov (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Precipitação (mm) f teórico f calculado f 8,4 0,053 0,045455 0,005775 7,6 0,07894 0,090909 0,0995 5,5 0,0879 0,36364 0,07635 9, 0,4553 0,888 0,05765 4, 0,88568 0,773 0,038705 5,4 0,4605 0,777 0,065 53,5 0,57 0,388 0,06547 69,9 0,35363 0,363636 0,00005 78,5 0,407583 0,40909 0,00508 84,8 0,446659 0,454545 0,007886 95,9 0,53357 0,5 0,03357 97,8 0,54403 0,545455 0,005,7 0,6004 0,590909 0,003 35,3 0,764 0,636364 0,0755 40,3 0,73708 0,6888 0,04989 4, 0,73503 0,7773 0,00793 44,8 0,74883 0,7777 0,0394 6,8 0,808388 0,888 0,009794 89,9 0,874674 0,863636 0,0038 53, 0,95559 0,90909 0,046499 90 0,97606 0,954545 0,056 f calc. máximo 0,0755; f (6,5 %) 0,94 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição Gumbel foi adequada a esta série histórica de precipitação decedial.

45 b) Qui-quadrado (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) P(X<xi) Classe Fobs LI LS Fcalc λ 0, 94 0 0,035 0,503 9,87 0,007 94 87,9 8 0,503 0,8708 7,74 0,0087 87,9 375,7 3 0,8708 0,9944,60 0,065 0,07 λ calculado 0,07; λ tab(0,05,) 5,99 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição Gumbel foi adequada para a série histórica de precipitação decedial do mês de jaeiro apresetada. Distribuição Gama a) Kolmogorov-Smirov (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Precipitação (mm) f teórico f calculado f 8,4 0,0058 0,045455 0,04875 7,6 0,03535 0,090909 0,055674 5,5 0,07536 0,36364 0,06047 9, 0,096836 0,888 0,08498 4, 0,799 0,773 0,04736 5,4 0,49833 0,777 0,0894 53,5 0,5746 0,388 0,0607 69,9 0,368768 0,363636 0,0053 78,5 0,44579 0,40909 0,05488 84,8 0,463693 0,454545 0,00947 95,9 0,58364 0,5 0,08364 97,8 0,538869 0,545455 0,006585,7 0,60467 0,590909 0,09558 35,3 0,7435 0,636364 0,07507 40,3 0,7960 0,6888 0,047784 4, 0,7376 0,7773 0,005487 44,8 0,745065 0,7777 0,07663 6,8 0,79975 0,888 0,08907 89,9 0,86097 0,863636 0,00666 53, 0,94434 0,90909 0,0353 90 0,96666 0,954545 0,07 f calc. máximo 0,0849; f (6,5 %) 0,94 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição Gama foi adequada a esta série histórica de precipitação decedial.

46 b) Qui-quadrado (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) P(X<xi) Classe Fobs LI LS Fcalc λ 0, 94 0 0,0 0,55 0,97 0,086 94 87,9 8 0,55 0,8635 7,6 0,099 87,9 375,7 3 0,8635 0,996,7 0,03 0,6 λ calculado 0,6; λ tab(0,05,) 5,99 Coclusão: Pode-se observar que todas as distribuições de probabilidades testadas, podem ser aplicadas à série histórica apresetada. Isto é importate, uma vez que a aplicação da distribuição de probabilidades a um cojuto de dados quaisquer (ão ecessariamete precipitação) de atureza descohecida, deve-se testar as distribuições e verificar qual possui o melhor ajuste, que pode ser aalisado com base os valores de Qui-quadrado. Neste caso, em específico, o melhor ajuste foi obtido pela distribuição log-ormal 3 P, seguida da Distribuição Gumbel, pois seus valores de Qui-quadrado calculados foram meores que os obtidos pelas outras distribuições. Exemplo de Aplicação 4.9 Aplicar os testes de Kolmogorov-Smirov, Qui-quadrado e Fillibe para verificação da adequação das distribuições Weibull, Gumbel e GEV para míimos aplicadas ao estudo de freqüêcia da série histórica de vazões míimas com 7 dias cosecutivos (Exemplo de Aplicação 4.6).

47 Distribuição Weibull a) Kolmogorov-Smirov (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Ordem Vazão Fobs. Festim. Delta F Ordem Vazão Fobs. Festim. Delta F 8.97 0.0449 0.055 0.006763 35 9.49 0.5075 0.449543 0.057703 0.4 0.0899 0.03986 0.00874 36 9.53 0.574 0.4506 0.069633 3.3 0.04348 0.056575 0.03097 37 9.67 0.5363 0.46479 0.073753 4.50 0.05797 0.060377 0.00406 38 9.87 0.5507 0.476845 0.073879 5 3.0 0.0746 0.03095 0.03063 39 9.89 0.565 0.478307 0.0869 6 3.5 0.08696 0.04699 0.0774 40 9.98 0.5797 0.484789 0.0949 7 3.57 0.045 0.89 0.0746 4 0. 0.5940 0.49464 0.09956 8 4.46 0.594 0.53046 0.03704 4 0. 0.60870 0.5078 0.0693 9 4.95 0.3043 0.743 0.043796 43 0.39 0.639 0.5504 0.0847 0 4.95 0.4493 0.7436 0.0943 44 0.83 0.63768 0.54774 0.089957 5.66 0.594 0.0848 0.048998 45.08 0.657 0.566047 0.0866 6.04 0.739 0.877 0.05464 46.6 0.66667 0.604493 0.0673 3 6.06 0.884 0.946 0.04084 47. 0.686 0.64057 0.040589 4 6.8 0.090 0.357 0.0383 48.6 0.69565 0.6443 0.054 5 6.0 0.739 0.368 0.094 49.40 0.704 0.66379 0.048766 6 6.3 0.388 0.4388 0.0404 50.4 0.7464 0.6638 0.0658 7 6.39 0.4638 0.4730 0.00094 5.7 0.7393 0.683783 0.055348 8 7.00 0.6087 0.8503 0.0633 5.84 0.7536 0.69787 0.06836 9 7.0 0.7536 0.83876 0.00854 53 3.9 0.768 0.74979 0.05337 0 7.04 0.8986 0.8554 0.00460 54 3.79 0.786 0.753934 0.08675 7.04 0.30435 0.8554 0.09094 55 4.76 0.7970 0.80447 0.03346 7.48 0.3884 0.335 0.006606 56 4.78 0.859 0.869 9.75E-05 3 7.57 0.33333 0.37937 0.05396 57 5.6 0.8609 0.8349 0.00534 4 7.66 0.34783 0.33687 0.0439 58 5.4 0.84058 0.835776 0.004804 5 7.7 0.363 0.37547 0.03477 59 5.4 0.85507 0.84475 0.00797 6 7.88 0.3768 0.3387 0.038684 60 5.7 0.86957 0.858774 0.0079 7 8.09 0.3930 0.35907 0.039397 6 6.60 0.88406 0.89573 0.0674 8 8.77 0.40580 0.39875 0.0076 6 6.6 0.89855 0.896598 0.00953 9 8.79 0.409 0.3997 0.008 63 6.96 0.9304 0.9087 0.004334 30 8.79 0.43478 0.39977 0.0350 64 7.90 0.9754 0.937555 0.0009 3 8.80 0.4498 0.40069 0.049006 65 9.4 0.9403 0.966363 0.04334 3 9.04 0.46377 0.4767 0.04650 66 30.30 0.9565 0.980734 0.04 33 9.4 0.4786 0.443878 0.034383 67 3.50 0.970 0.99558 0.0443 34 9.48 0.4975 0.44865 0.04439 68 38.5 0.9855 0.999978 0.0447 f calc. máximo 0,08; f (68,5 %) 0,60 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição Weibull foi adequada a esta série histórica de vazões míimas com 7 dias cosecutivos.

48 b) Qui-quadrado (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Classes Fobs. Prob (X<xi) Fteo. λ 6,87 5,7 0 0,00683 0,89,40 0,465 5,7 9,47 3 0,89 0,4479 7,59,664 9,47 3,67 0 0,4479 0,746 0,8 0,004 3,67 7,87 0 0,746 0,9368,96 0,676 7,87 40,47 5 0,9368,0 4,30 0,4 68,9 λ calculado,9; λ tab(0,05,3) 7,85 Coclusão: Como o valor calculado é meor que o tabelado, coclui-se que a distribuição Weibull foi adequada para a série histórica de vazão míima de 7 dias cosecutivos apresetada. c) Teste de Fillibe Ordem qi Vazão wi xi - x wi - w Produto (xi - x ) (wi - w ) 0.04493 8.97 8.0 -.0378 -.8 30.468.83899 39.755 0.08986 0.4 9.65-9.59779-0.36 99.46987 9.7659 07.4089 3 0.043478.3 0.63-8.68779-9.39 8.5583 75.4777666 88.47 4 0.05797.5.39-8.50779-8.63 73.40884 7.385607 74.4497 5 0.07464 3..0-6.90779-8.00 55.48 47.77696 63.967 6 0.086957 3.5.56-6.85779-7.45 5.083 47.09340 55.54 7 0.0449 3.57 3.05-6.43779-6.97 44.8603 4.44593 48.5567 8 0.594 4.46 3.49-5.54779-6.53 36.7 30.778096 4.640 9 0.30435 4.95 3.89-5.05779-6.3 30.9939 5.5883 37.5503 0 0.4498 4.95 4.6-5.05779-5.75 9.06 5.5883 33.66 0.594 5.66 4.6-4.34779-5.4 3.5093 8.903337 9.9 0.7393 6.04 4.94-3.96779-5.08 0.458 5.743390 5.7685 3 0.88406 6.06 5.5-3.94779-4.76 8.80739 5.5850784.6959 4 0.0899 6.8 5.55-3.8779-4.47 7.0969 4.650078 9.9483 5 0.739 6. 5.84-3.80779-4.8 5.956 4.49996 7.4833 6 0.3884 6.3 6. -3.68779-3.9 4.4097 3.599855 5.669 7 0.46377 6.39 6.37-3.6779-3.64 3.7946 3.0884343 3.7 8 0.6087 7 6.63-3.00779-3.39 0.8794 9.0468545.4730 9 0.7536 7.0 6.88 -.98779-3.4 9.378685 8.969369 9.8533 0 0.89855 7.04 7. -.96779 -.90 8.59945 8.807809 8.3960 0.304348 7.04 7.35 -.96779 -.66 7.900855 8.807809 7.0873 0.3884 7.48 7.58 -.5779 -.43 6.485 6.389743 5.956 3 0.333333 7.57 7.8 -.43779 -. 5.38033 5.948406 4.87 4 0.34786 7.66 8.03 -.34779 -.99 4.66308 5.537 3.9450 5 0.3639 7.7 8.5 -.8779 -.77 4.04763 5.34009 3.30 6 0.3768 7.88 8.46 -.779 -.56 3.3096 4.575078.40 7 0.39304 8.09 8.67 -.9779 -.35.579858 3.6779348.8096 8 0.405797 8.77 8.88 -.3779 -.4.40794.53348.938 9 0.409 8.79 9.08 -.779-0.93.3508.48305 0.8688

49 30 0.434783 8.79 9.9 -.779-0.73 0.887498.48305 0.53 3 0.44975 8.8 9.49 -.0779-0.53 0.63684.45876663 0.780 3 0.463768 9.04 9.69-0.96779-0.33 0.367 0.9366545 0.07 33 0.4786 9.4 9.89-0.59779-0.3 0.076795 0.3573578 0.065 34 0.49754 9.48 0.09-0.5779 0.07-0.03659 0.7856663 0.0048 35 0.50746 9.49 0.8-0.5779 0.7-0.3794 0.68075 0.070 36 0.5739 9.53 0.48-0.47779 0.46-0. 0.887 0.43 37 0.5363 9.67 0.68-0.33779 0.66-0.7 0.40487 0.4347 38 0.55075 9.87 0.87-0.3779 0.86-0.79 0.08987 0.73 39 0.5657 9.89.07-0.779.05-0.396 0.0387545.074 40 0.5797 9.98.7-0.0779.5-0.03473 0.000775.56 4 0.59403 0..46 0.006.45 0.47934 0.0044604.0950 4 0.608696 0..66 0.006.65 0.3396 0.040887.707 43 0.6388 0.39.86 0.3806.85 0.70585 0.460834 3.406 44 0.63768 0.83.07 0.806.05.684543 0.67605 4.976 45 0.6574.08.7.0706.5.4549.496545 5.075 46 0.666667.6.48.6006.46 3.940.56706369 6.0476 47 0.6859..68.006.67 5.6097 4.496957 7.97 48 0.69565.6.90.506.88 6.9949 4.639906 8.974 49 0.7045.4 3..3906 3.0 7.4074 5.764898 9.5877 50 0.74638.4 3.33.4006 3.3 7.966775 5.770593 0.9988 5 0.7393.7 3.56.706 3.54 9.60454 7.35606075.5403 5 0.75363.84 3.79.8306 3.77 0.6853 8.03906 4.38 53 0.7686 3.9 4.0 3.806 4.0.75395 0.64343 6.063 54 0.78609 3.79 4.7 3.7806 4.5 6.07999 4.305083 8.075 55 0.7970 4.76 4.5 4.7506 4.50.4006.5834607 0.797 56 0.8594 4.78 4.78 4.7706 4.76.7379.773949.709 57 0.86087 5.6 5.05 5.506 5.04 5.953 6.54555 5.376 58 0.84058 5.4 5.34 5.306 5.3 7.84939 7.3759784 8.330 59 0.85507 5.4 5.64 5.4006 5.6 30.380 9.83884 3.673 60 0.869565 5.7 5.96 5.706 5.94 33.9577 3.6996 35.378 6 0.884058 6.6 6.30 6.5906 6.9 4.4430 43.457784 39.5 6 0.89855 6.6 6.67 6.606 6.66 44.074 43.7666 44.3357 63 0.93043 6.96 7.08 6.9506 7.07 49.3555 48.333666 49.953 64 0.97536 7.9 7.54 7.8906 7.53 59.404 6.86937 56.65 65 0.9409 9.4 8.07 9.306 8.06 74.37843 85.33655 64.9057 66 0.9565 30.3 8.7 0.9 8.69 89.4838 05.9950 75.5903 67 0.9704 3.5 9.54.49 9.5 8.9393 56.05508 90.650 68 0.985507 38.5 30.80 8.4 0.78 96.6504 33.778075 6.078 Média 0.00779 0.0639 74.54 864.8937 7.7355 Com base os dados da Tabela acima, obteve-se um coeficiete de correlação calculado igual a 0,97 e o valor crítico deste coeficiete é de 0,969, a 5% de sigificâcia. Sedo assim, como r calc. > r crítico, aceita-se a hipótese H 0 de que a amostra pode ser represetada pela distribuição Weibull. Na Figura 4.8 é possível observar a precisão do ajuste como reflexo do teste de Fillibe.

Figura 4.8 Ajuste da distribuição Weibull pelo teste de Fillibe. 50

5 Distribuição Gumbel a) Kolmogorov-Smirov (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Ordem Vazão Fobs. Festim. Delta F Ordem Vazão Fobs. Festim. Delta F 8.97 0.04493 0.03765 0.0357 35 9.49 0.50746 0.39067 0.6575 0.4 0.08986 0.053008 0.040 36 9.53 0.5739 0.3938 0.8459 3.3 0.043478 0.065693 0.05 37 9.67 0.5363 0.40399 0.333 4.50 0.05797 0.068506 0.00535 38 9.87 0.55075 0.48869 0.3856 5 3.0 0.07464 0.0994 0.06948 39 9.89 0.5657 0.40404 0.4483 6 3.5 0.086957 0.00565 0.03608 40 9.98 0.5797 0.4744 0.5466 7 3.57 0.0449 0.079 0.00934 4 0. 0.59403 0.43774 0.56463 8 4.46 0.594 0.3565 0.09673 4 0. 0.608696 0.44543 0.637 9 4.95 0.30435 0.53 0.00875 43 0.39 0.6388 0.459857 0.6333 0 4.95 0.4498 0.5406 0.006479 44 0.83 0.63768 0.49638 0.499 5.66 0.594 0.775 0.0783 45.08 0.6574 0.57448 0.3476 6.04 0.7393 0.9643 0.0873 46.6 0.666667 0.56309 0.03648 3 6.06 0.88406 0.93484 0.005079 47. 0.6859 0.60747 0.073733 4 6.8 0.0899 0.9860 0.00496 48.6 0.69565 0.608 0.083634 5 6.0 0.739 0.99466 0.0795 49.40 0.7045 0.63378 0.07647 6 6.3 0.3884 0.0467 0.0757 50.4 0.74638 0.635006 0.08963 7 6.39 0.46377 0.0784 0.038535 5.7 0.7393 0.66568 0.07656 8 7.00 0.6087 0.3666 0.0408 5.84 0.75363 0.67994 0.08063 9 7.0 0.7536 0.37809 0.037553 53 3.9 0.7686 0.7035 0.064594 0 7.04 0.89855 0.3896 0.050894 54 3.79 0.78609 0.75565 0.06958 7.04 0.304348 0.3896 0.065386 55 4.76 0.7970 0.8383 0.0347 7.48 0.3884 0.69 0.05693 56 4.78 0.8594 0.833476 0.088 3 7.57 0.333333 0.6685 0.06648 57 5.6 0.86087 0.85967 0.03353 4 7.66 0.34786 0.7869 0.075957 58 5.4 0.84058 0.865303 0.0473 5 7.7 0.3639 0.7556 0.087063 59 5.4 0.85507 0.87638 0.045 6 7.88 0.3768 0.8468 0.0993 60 5.7 0.869565 0.894737 0.057 7 8.09 0.39304 0.96988 0.09437 6 6.60 0.884058 0.938477 0.05449 8 8.77 0.405797 0.34009 0.065768 6 6.6 0.89855 0.93945 0.040875 9 8.79 0.409 0.34078 0.079 63 6.96 0.93043 0.955 0.0398 30 8.79 0.434783 0.34555 0.0937 64 7.90 0.97536 0.97876 0.05064 3 8.80 0.44975 0.34033 0.074 65 9.4 0.9409 0.99505 0.05986 3 9.04 0.463768 0.35849 0.0577 66 30.30 0.9565 0.998946 0.0444 33 9.4 0.4786 0.384933 0.09338 67 3.50 0.9704 0.99999 0.08977 34 9.48 0.49754 0.38979 0.0305 68 38.5 0.985507 0.04493 f calc. máximo 0,633; f (68,5 %) 0,60 Coclusão: Como o valor calculado é maior que o tabelado, coclui-se que a distribuição Gumbel ão foi adequada a esta série histórica de vazões míimas com 7 dias cosecutivos.

5 b) Qui-quadrado (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Classes Fobs. Prob (X<xi) Fteo. λ 6,87 5,7 0 0,08 0,65 9,5 0,06 5,7 9,47 3 0,65 0,3889 5,39 3,763 9,47 3,67 0 0,3889 0,745 4,3 0,739 3,67 7,87 0 0,745 0,9775 5,80,9 7,87 40,47 5 0,9775,0,53 7,869 68 4,53 λ calculado 4,53; λ tab(0,05,3) 7,85 c) Teste de Fillibe Da mesma forma aterior, porém trabalhado com as equações de Gumbel para míimos para estimativa dos valores de wi, ecotra-se r calc igual a 0,930 cotra r crítico de 0,983, a um ível de sigificâcia de 5% e cosiderado uma média de valores de r crítico presetes as Tabelas para distribuição Normal e distribuição de Gumbel/Weibull. Sedo assim, pelo teste de Fillibe, a hipótese H 0 pode ser rejeitada, ou seja, a amostra ão pode ser represetada pela distribuição de Gumbel, resultado prático semelhate ao teste de Qui-quadrado. Na Figura 4.9 é possível observar o ajuste (r calc x r critic ), o qual é visualmete iferior ao obtido pela distribuição Weibull. Figura 4.9 Ajuste da distribuição Gumbel pelo teste de Fillibe.

53 Distribuição GEV a) Teste de Kolmogorov-Smirov Ordem Vazão Fobs. Festim. Delta F Ordem Vazão Fobs. Festim. Delta F 8.97 0.045 0.0338 0.093 35 9.49 0.507 0.434 0.0939 0.4 0.090 0.050 0.030 36 9.53 0.57 0.46 0.056 3.3 0.0435 0.0674 0.039 37 9.67 0.536 0.457 0.05 4.5 0.0580 0.0708 0.08 38 9.87 0.5507 0.4397 0. 5 3. 0.075 0.08 0.0357 39 9.89 0.565 0.44 0.4 6 3.5 0.0870 0.095 0.05 40 9.98 0.5797 0.4474 0.33 7 3.57 0.04 0.6 0.00 4 0. 0.594 0.4566 0.376 8 4.46 0.59 0.508 0.0349 4 0. 0.6087 0.4638 0.449 9 4.95 0.304 0.690 0.0385 43 0.39 0.63 0.4768 0.464 0 4.95 0.449 0.690 0.040 44 0.83 0.6377 0.5090 0.87 5.66 0.594 0.98 0.0386 45.08 0.65 0.576 0.45 6.04 0.739 0.50 0.04 46.6 0.6667 0.5677 0.0990 3 6.06 0.884 0.59 0.075 47. 0.68 0.6059 0.0753 4 6.8 0.09 0.5 0.086 48.6 0.6957 0.6097 0.0859 5 6. 0.74 0.5 0.005 49.4 0.70 0.68 0.080 6 6.3 0.39 0.8 0.0037 50.4 0.746 0.689 0.0957 7 6.39 0.464 0.35 0.049 5.7 0.739 0.657 0.0864 8 7 0.609 0.63 0.004 5.84 0.7536 0.669 0.097 9 7.0 0.754 0.633 0.00 53 3.9 0.768 0.6886 0.0795 0 7.04 0.899 0.644 0.055 54 3.79 0.786 0.7337 0.0489 7.04 0.3043 0.644 0.0400 55 4.76 0.797 0.8034 0.0063 7.48 0.388 0.883 0.0306 56 4.78 0.86 0.8048 0.0068 3 7.57 0.3333 0.933 0.0400 57 5.6 0.86 0.8305 0.0044 4 7.66 0.3478 0.984 0.0494 58 5.4 0.8406 0.8358 0.0048 5 7.7 0.363 0.309 0.0604 59 5.4 0.855 0.8468 0.0083 6 7.88 0.3768 0.3 0.0657 60 5.7 0.8696 0.866 0.0034 7 8.09 0.393 0.336 0.0677 6 6.6 0.884 0.959 0.039 8 8.77 0.4058 0.3657 0.040 6 6.6 0.8986 0.970 0.084 9 8.79 0.403 0.3670 0.0533 63 6.96 0.930 0.9336 0.006 30 8.79 0.4348 0.3670 0.0678 64 7.9 0.975 0.97 0.0436 3 8.8 0.4493 0.3677 0.086 65 9.4 0.940 0.9988 0.0568 3 9.04 0.4638 0.3833 0.0805 66 30.3 0.9565 0.9998 0.0433 33 9.4 0.4783 0.4079 0.0703 67 3.5 0.970 0.9999 0.089 34 9.48 0.498 0.47 0.0800 68 38.5 0.9855 0.9999 0.044 Sedo assim: f max. 0,46; f (68,5 %) 0,60 Com isto, observa-se que a hipótese H 0 do teste de Kolmogorov-Smirov pode ser aceita, ou seja, a amostra pode ser represetada pela distribuição GEV.

54 b) Qui-quadrado (Ao ível de sigificâcia de 5% de probabilidade) Classes Fobs. Prob (X<xi) Fteo. λ 6,87 5,7 0 0,07 0,87,9 0,7 5,7 9,47 3 0,87 0,40 5,66 3,440 9,47 3,67 0 0,40 0,747,6 0,075 3,67 7,87 0 0,747 0,970 6,69,68 7,87 40,47 5 0,970,0,03 4,345 68 0,67 λ calculado 0,67; λ tab(0,05,3) 7,85 c) Teste de Fillibe O valor q, cosiderado a 0,40 e N 68, é igual a 0,008798. A fução GEV iversa retora um valor de 4,95 mm. O valor de r calc. é igual a 0,94 e o r crítico para ível de sigificâcia de 0,05 é de aproximadamete 0,993. Portato, rejeita-se a hipótese H 0 de que esta série histórica possa ser represetada pela Distribuição GEV, de forma semelhate ao obtido pelo teste Qui-quadrado. Assim, observa-se que a úica distribuição aceita por todos os testes foi a de Weibull, sedo a mesma recomedada para estudos associados à vazão míima. Na Figura 4.0 tem-se o ajuste da distribuição GEV pelo teste de Fillibe, o qual se assemelha com o ajuste obtido para distribuição Gumbel.

55 Figura 4.0 Ajuste da distribuição GEV pelo teste de Fillibe. 4. Idetificação de outliers em uma série hidrológica Valores outliers uma série histórica são aqueles cosiderados atípicos, sedo que esta situação pode ser ocasioada por erros laboratoriais, equívocos de medição e ou de processameto, como ocorre com razoável freqüêcia com dados de precipitação, ou a ocorrêcia de um ao hidrológico atípico, com evetos extremos de precipitação, provocado situação idêtica o comportameto das vazões. No caso de problemas com laboratório ou tratameto e processameto equivocado dos dados, é recomedável, após idetificação, sua elimiação da aálise, uma vez que dados atípicos podem comprometer os testes estatísticos de adequabilidade e posterior aplicação das distribuições de probabilidades. No etato, quado o eveto hidrológico extremo ocorre, recomeda-se uma aálise cautelosa da série histórica, uma vez que, aturalmete, aquele valor pode fazer parte das codições climáticas e hidrológicas da região, mesmo sedo cosiderado como atípico pela estatística. Neste caso, recomeda-se mater o dado a série.

56 O teste mais aplicado para as codições de séries hidrológicas é cohecido como teste de Grubbs & Beck, descrito por Grubbs & Beck (97). Para ecotrar o meor valor cosiderado como ão-outlier aplica-se a seguite equação: X T α S (45) X I N, O valor crítico de T N,α, pode ser iferido com base a Tabela 4.7, adaptada do trabalho origial de Grubbs & Beck (97). Sedo assim, valores abaixo de X I, teoricamete, podem ser cosiderados outliers. Sua remoção ou ão depederá de uma aálise mais aprofudada da série histórica em questão. Tabela 4.7 Valores críticos de T N,α do Teste de Grubbs & Beck (97), para valores extremos iferiores, sedo N o tamaho da amostra e α, o ível de sigificâcia. Tamaho da amostra α % α 5% α 0% (N) 3,55,53,48 5,749,67,60 7,097,938,88 0,40,76,036,550,85,34 5,705,409,47 0,884,557,385,939,603,49 5 3,009,663,486 30 3,03,745,563 35 3,78,8,68 40 3,40,866,68 45 3,9,94,77 50 3,336,956,768 55 3,376,99,804 60 3,4 3,05,837 65 3,44 3,055,866 68 3,460 3,07,883 70 3,47 3,08,893 75 3,496 3,07,97 78 3,5 3,,93 80 3,5 3,30,940 85 3,543 3,5,96 90 3,563 3,7,98 00 3,600 3,07 3,07 0 3,63 3,39 3,049 0 3,66 3,67 3,078 30 3,688 3,94 3,04 40 3,7 3,38 3,9 47 3,77 3,334 3,44 Para verificar se o último valor da série pode ser cosiderado outlier, aplica-se a seguite seqüêcia de equações: S T N, α (46) S

57 Em que S é a variâcia da amostra (série histórica) sem o maior valor; S é a variâcia da amostra completa e x é média da amostra sem o último valor da série, dada por: x N ( x ) i i N (47) O valor de T N,α (equação 46) for maior que o valor crítico (Tabela 4.8), o valor ão pode ser cosiderado outlier, uma vez que o valor de T calculado ão será sigificativo. Tabela 4.8 Valores críticos de T N,α do Teste de Grubbs & Beck (97), para valores extremos superiores, sedo N o tamaho da amostra e α, o ível de sigificâcia. Tamaho da amostra α % α 5% α 0% (N) 4 0,000 0,0008 0,003 5 0,0035 0,083 0,0376 7 0,0440 0,00 0,479 0 0,44 0,305 0,863 0,043 0,996 0,355 5 0,859 0,388 0,4345 0 0,3909 0,4804 0,570 0,445 0,507 0,5550 5 0,4680 0,5495 0,5906 30 0,568 0,6008 0,6375 35 0,5730 0,6405 0,6737 40 0,604 0,674 0,705 45 0,64 0,6985 0,76 50 0,667 0,703 0,7459 55 0,6894 0,7390 0,767 60 0,7086 0,7550 0,777 65 0,753 0,7690 0,7898 68 0,7344 0,7766 0,7966 70 0,740 0,783 0,8009 78 0,7605 0,7983 0,86 80 0,7650 0,80 0,897 90 0,7853 0,890 0,8349 00 0,800 0,839 0,8475 0 0,86 0,8447 0,858 0 0,884 0,8548 0,867 30 0,8389 0,8636 0,875 40 0,848 0,87 0,88 47 0,8539 0,876 0,8865

58 Exemplo de Aplicação 4.0 Verificar se os valores extremos da série histórica do Exemplo de Aplicação 4.6 (Tabela 4.7) podem ser cosiderados outliers. Tamaho da Série: 68 dados Nível de Sigificâcia: 0% Média da série: 0,0 m 3 /s Variâcia: 7,83 m 6 /s a) Para o meor valor: T crítico,883 (Tabela 4.7) XI 0,0,883 7,83 4,80 m 3 / s Como o valor é meor que o limite iferior da série (8,97 m 3 /s), este último ão poderá ser cosiderado como outlier. b) Para o maior valor: T crítico 0,7966 (Tabela 4.8) S 3,4 m 6 /s T 68;0% 3,4/7,83 0,83 Como o valor calculado para T é maior que o valor de T crítico, etede-se que ão houve sigificâcia e o último valor da série (38,5 m 3 /s) ão pode ser cosiderado outlier. 4. Outros testes ão-paramétricos aplicados à Hidrologia Estatisticamete, a aplicação de distribuições de probabilidades a séries históricas é realizada tedo-se como referêcia uma amostra aleatória extraída de uma população úica cuja distribuição mais adequada ão é cohecida. Para que isto seja possível algumas premissas importates devem ser cosideradas, tratadas a forma de hipóteses, as quais são aalisadas mediate testes ão-paramétricos. É importate mecioar que os testes descritos ateriormete dizem respeito a testes ecessários para avaliar o grau de aderêcia da distribuição de probabilidades teórica, caracterizada pela estimativa dos parâmetros populacioais, às freqüêcias observadas, calculadas com base a série histórica (amostra). Estes testes ão avaliam se a série histórica apreseta as características ecessárias para aplicação das distribuições de probabilidades. Estas codições podem ser afetadas por vários fatores como a costrução de um barrameto, retificação e ou alteração de um curso

59 d água, alteração as codições de uso do solo, evetos extremos e extraordiários, feômeos climáticos cíclicos, detre outros. As codições mecioadas ateriormete são tratadas como hipóteses e podem ser resumidas da forma como se segue. 4.. Hipótese de Aleatoriedade Esta hipótese assume que as variações uma gradeza hidrológica são devidas a causas aturais. Na existêcia de iterferêcia atrópica, como barrametos, é provável que as observações deixem de ser aleatórias. O teste de aleatoriedade possui como hipótese H 0, que a série histórica é costituída por dados ou observações aleatórias. O comportameto de um hidrograma ao logo do tempo permite verificar a existêcia de valores máximos e míimos, cohecidos como iflexões, e a preseça deste tipo de observação, caracteriza a existêcia ou ão de aleatoriedade (Naghettii & Pito, 007). A estatística deste teste é dada por: ( ) ( Ni) Ni E Ni T (48) var Em que Ni represeta o úmero de iflexões observadas a série histórica; E(Ni) e var (Ni), são, respectivamete, a esperaça e a variâcia de Ni, sedo estimados por: ( N ) E( Ni) (49) 3 var ( Ni) 6 N 9 (50) 90 A hipótese H 0 pode ser rejeitada se T > z α, sedo α o ível de sigificâcia de z (Tabela 4.). É importate mecioar que quado N for maior que 30, Ni segue uma distribuição aproximadamete Normal, recomedado-se a aplicação do teste para séries com esta característica. 4.. Hipótese de Estacioariedade Esta hipótese estuda o comportameto de uma série histórica ao logo do tempo, aalisado se a mesma apreseta tedêcia temporal. A hipótese H 0 do teste, cohecido como Teste de Spearma, é de que os dados ão apresetam tedêcia

60 temporal, ou seja, a série é estacioária. Uma série hidrológica pode apresetar tedêcia temporal e ão estacioariedade pela existêcia de ciclos ítidos a série histórica, quado apresetar saltos a série provocados por alterações repetias o curso d água ou a própria bacia e por mudaças climáticas embora, este último caso, seja ecessário um logo período de tempo para aálise. Mudaças graduais o uso do solo de uma bacia hidrográfica também podem produzir alterações a estacioariedade da serie histórica. A estatística do teste é obtida por: cs T (5) var ( cs) O coeficiete cs é calculado por: N ( F f ) 6 i i i cs 3 N N var ( cs) (5) (53) N Na equação 5, f i deota a posição temporal da observação a série histórica e F i a posição que as observações, associadas a f i, ocupam, com a série orgaizada em ordem crescete. A hipótese H 0 pode ser rejeitada se 4..3 Hipótese de Idepedêcia T > z. α Esta hipótese cosidera que uma dada observação ão ifluecia a ocorrêcia em a ão ocorrêcia de outra observação ao logo do tempo. Isto é importate o cotexto de vazões haja vista que o escoameto subterrâeo (pequeas vazões) é iflueciado pelo armazeameto de água a bacia oriudo do período de chuvas e liberado letamete o período seco. Vazões diárias apresetam tedêcia de maior depedêcia que vazões mesais, auais ou extremas (máximos ou míimos em um dado ao). A hipótese H 0 deste teste é de que as observações são idepedetes. ( ) ( r) r E r T (54) var A estimativa de r, E(r) e var(r) pode ser realizada da seguite forma: r N ' ' ' ' Y Y i + Y YN i + (55)

6 Nesta equação, Y, Y i+, etc, cosiste da subtração dos Y valores da série histórica pela média dos dados, ou seja: Y ' Y Y (56) A esperaça de r (E(r)) e sua variâcia são obtidas por: s ( ) E r N (57) ( ) s s4 s s4 + s var r (58) N ( N ) ( N ) ( ) N Em que s e s 4 são os mometos amostrais de a e 4 a ordem, obtidos por: s N ( ) ' Y i i N ' s 4 ( ) 4 Y i i (59) (60) A hipótese H 0 pode ser rejeitada se T > z. α 4..4 Hipótese de Homogeeidade Esta hipótese sugere que uma dada série histórica de vazões máximas esteja associada a chuvas cuja freqüêcia de ocorrêcia seja ormal (esperada). Vazões de pico oriudas de evetos de chuvas históricas, ocorridas de forma atípica, causam heterogeeidade à série histórica e a observação muito provavelmete se costituirá um outlier. A hipótese H 0 deste teste cosidera que a série histórica é homogêea. Para sua aplicação é recomedável que a série histórica seja dividida em duas partes aproximadamete com o mesmo úmero de dados, costituido-se duas subamostras. A estatística deste teste é dada por: ( ) ( V) V E V T (6) var A hipótese H 0 será rejeitada se T > z. α O procedimeto para cálculo de V, E(V) e var(v) é o seguite:

6 - calcula-se o valor de V para a primeira sub-amostra: V ( N + ) N N N + H (6) Sedo N, N e H, respectivamete, o úmero de dados da a sub-amostra, o úmero de dados da a sub-amostra e a soma das ordes de classificação da série histórica da a sub-amostra (soma de Fi do teste de estacioariedade). - calcula-se o valor de V para a a sub-amostra: V N N V (63) V. O valor de V a ser adotado o cálculo de T deve ser o meor valor etre V e N N E( V) (64) var ( V) ( N + N ) N N + (65) Exemplo de Aplicação 4. Verifique se a série histórica de vazões máximas do Rio Grade, com seção de cotrole em Madre de Deus de Mias, apreseta aleatoriedade, estacioariedade, idepedêcia e homogeeidade. Cosidere ível de sigificâcia para z igual a 0,05 (z,96).

63 Ao Posição Q máxima fi Fi Y' Posição Q máxima Fi 935 4.69 4-79.8 4.69 4 936 95.46 4 0.96 95.46 4 937 3 96.34 3 43.84 3 96.34 43 938 4 94.4 4 39-0.36 4 94.4 39 939 5 70.8 5 7-3.68 5 70.8 7 940 6 83.5 6 66 88.65 6 83.5 66 94 7 6.38 7 7-68. 7 6.38 7 94 8 93.6 8 38 -.4 8 93.6 38 943 9 58.85 9 59 64.35 9 58.85 59 944 0 3. 0 9-63.8 0 3. 9 945 8.8 33 -.68 8.8 33 946 6.45 60 67.95 6.45 60 947 3 76.98 3 3-7.5 3 76.98 3 948 4 96.34 4 43.84 4 96.34 43 949 5 75.66 5 30-8.84 5 75.66 30 950 6 87.0 6 35-7.40 6 87.0 35 95 7 40.0 7-54.48 7 40.0 95 8 70.8 8 7-3.68 8 70.8 7 953 9 5.50 9 6-69.00 9 5.50 6 954 0 95.83 0-98.67 0 95.83 955 4.8 4-80. 4.8 4 956 6.58-3.9 6.58 957 3 3.50 3 50 9.00 3 3.50 50 958 4 04.70 4 48 0.0 4 04.70 48 959 5 3.54 5 53 37.04 5 3.54 53 960 6 5.78 6 8-4.7 6 5.78 8 96 7 7.45 7 63 76.95 7 7.45 63 96 8 45.35 8 57 50.85 8 45.35 57 963 9 6.70 9 5 3.0 9 6.70 5

64 964 30 30.66 30 5 36.6 30 30.66 5 965 3 44.00 3 56 49.50 3 44.00 56 966 3 79.55 3 65 85.05 3 79.55 65 967 33 94.4 33 40-0.36 33 94.4 40 968 34 34.30 34 0-60.0 34 34.30 0 969 35 6.0 35 3-3.48 Soma 00 970 36 88.45 36-06.05 97 37 97.66 37 45 3.6 97 38 5.34 38 7-4.6 973 39 6.0 39-3.48 974 40 87.0 40 34-7.40 975 4 49.70 4 6-44.80 976 4 95.0 4 4 0.5 977 43 48.38 43 5-46. 978 44 39.95 44 55 45.45 979 45 3.50 45 49 9.00 980 46 67.74 46 6-6.76 98 47 43.54 47 3-50.96 98 48 75. 48 9-9.8 983 49 57.50 49 58 63.00 984 50 59.8 50 0-34.68 985 5 75.05 5 64 80.55 986 5 66.50 5 6 7.00 987 53 6.90 53 4-3.60 988 54 65.0 54 5-9.40 989 55 87.0 55 34-7.40 990 56 0.50 56 47 8.00 99 57 78.30 57 3-6.0 99 58 437.0 58 69 4.70 993 59 4.34 59-53.6 994 60 57.6 60 9-36.88 995 6 373.0 6 68 78.70 996 6 89.30 6 37-5.0 997 63 69.0 63 6 74.70 998 64 9.90 64 8-64.60 999 65 30.60 65 67 6.0 000 66 33.30 66 54 38.80 00 67 3.46 67 3-8.04 00 68 45. 68 4-49.39 003 69 0.80 69 46 7.30

65 Resultados dos testes ão-paramétricos aplicados. Teste Parâmetros do Teste Ni N E(Ni) Var (Ni) T Aleatoriedade 39 69 44,67,94,64 Coclusão: Hipótese H 0 aceita (série aleatória) Estacioariedade cs - - Var (cs) T Coclusão: Hipótese H 0 aceita (série estacioária, sem depedêcia temporal) 0,083 0,047 0,69 Idepedêcia r - E(r) Var(r) T Coclusão: Hipótese H 0 aceita (série idepedete) -9830-380 909..690 0,0 Homogeeidade N N H V V E(v) Var (v) T Coclusão: Hipótese H 0 aceita (série homogêea) 34 35 00 585 605 595 694 0, Com base os respectivos testes ão-paramétricos, observa-se que a série histórica de vazões máximas do Rio Grade esta seção, apreseta os requisitos ecessários para aplicação de distribuições de probabilidades. A hipótese de aleatoriedade da série sigifica que as possíveis oscilações a série são devidas a causas aturais, sem iterferêcia atrópica. De fato, a motate desta seção de cotrole, ão se costata a existêcia de ehum tipo de barrameto o Rio Grade, ão verificado-se, portato, ifluêcia as vazões de jusate. A hipótese de estacioariedade demostra que a série histórica ão apreseta tedêcia temporal, ou seja, ão se verificam ciclos ao logo do tempo o comportameto das vazões, em saltos a série, sigificado que ão houve ehum tipo de alteração a calha do Rio Grade ou que esteja havedo alterações repetias e importates o uso do solo a bacia. A idepedêcia da série histórica demostra que ão há ifluêcia de uma observação em outra, ou seja, um determiado dado ão é importate a ocorrêcia em a ão ocorrêcia de outro dado. Hidrologicamete, é o que se espera de dados de vazão máxima, os quais são caracterizados por precipitações importates e a ifluêcia do escoameto base ão é da mesma magitude do escoameto superficial direto. A hipótese de homogeeidade da série demostra que os picos verificados o período ão foram provocados por evetos extraordiários de precipitação e sim por precipitações esperadas.

66 4..5 Teste de Ma-Kedall O teste de Ma-Kedall (Kedall, 975; Ma, 945) cosiste de um teste ão-paramétrico desevolvido para aplicações a serie de dados temporais com o objetivo de aalisar se a série histórica apreseta algum tipo de tedêcia. Vem sedo muito aplicado para estudos que evolvem tedêcia de dados hidrológicos e climatológicos. A hipótese H o do teste é de que uma dada amostra (série histórica) é idepedete e ideticamete distribuída, ou seja, ão há tedêcia os dados. A hipótese alterativa H é de que os dados apresetam tedêcia. A estatística do teste é processada da seguite forma: ( ) S sial x j x i (66) i i j+ Em que xj são dados seqüeciais a série histórica de tamaho. Assim, tem-se a seguite situação: se x j > xi si al( x j xi ) 0 se x j xi (67) se x j < xi Após o cálculo de S, determia-se a sua variâcia por: ( ) V S + p 8 ( ) ( + 5) tp p ( p ) ( p 5) (68) Sedo tp correspode ao úmero de agrupametos com p dados. A estatística Z padroizada do teste é dada por: S Z para S > 0 V( S) Z 0 para S 0 S + Z para S < 0 V S ( ) (69)

67 A estatística Z do teste é etão comparada aos valores de Z obtidos da Tabela de Z da distribuição Normal. Para os íveis de 0,0; 0,05 e 0,, tem-se, respectivamete,,58;,96 e,65. Quado Z < Zα a hipótese de ulidade Ho é aceita, ou seja, os dados ão apresetam tedêcia; caso cotrário, rejeitada, caracterizado-se possível preseça de tedêcia. Para todas as séries climáticas simuladas foi adotado o ível de sigificâcia de 0,05. Exemplo de Aplicação 4. Para a série histórica de precipitação máxima diária aual da localidade de Acaiaca, represetada graficamete, aplique o teste de Ma-Kedall e verifique se há algum tipo de tedêcia importate a série. Aplicado-se a seqüêcia de equações aterior, foi ecotrado um valor para S igual -50 e para V(S) de 356,67. O valor de Z estimado para a série foi de -0,59 que, cosiderado seu valor em módulo, é meor que os valores de Z para os íveis de sigificâcia mais aplicados. Isto sigifica que aceita-se a hipótese de ulidade H o de que ão há tedêcia a série histórica de precipitação máxima diária aual de Acaiaca, a qual correspode em uma série completa etre 94 e 009.

68 Exemplo de Aplicação 4.3 Aplique o teste de Ma-Kedall para a série de vazões máximas apresetada o Exemplo de Aplicação 4.. O valor de S calculado pela equação 67 foi igual a e o valor de V(S) igual a 35675,33. O valor de Z da estatística do teste foi igual a 0,64. Como este úmero é meor que os valores de Z /, coclui-se que a série ão apreseta tedêcia temporal.

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