4 HIDROLOGIA ESTATÍSTICA: conceitos e aplicações

4 HIDROLOGIA ESTATÍSTICA: coceitos e aplicações 4. Coceitos básicos de Probabilidades Um cojuto de dados hidrológicos ecessita ser previamete aalisado com base em algus idicadores estatísticos básicos para que se possa, efetivamete, desevolver a teoria das probabilidades às situações práticas desejadas. Primeiramete, este cojuto de dados hidrológicos é cohecido, o âmbito da hidrologia, como série histórica e cosiste, basicamete, de uma amostra extraída de uma população. Com base esta amostra, podemos calcular algus idicadores e medidas estatísticas importates, como média, desvio padrão (variâcia), assimetria, curtose e distribuição de freqüêcia dos dados observados a amostra. Estas medidas caracterizam apeas a amostra e ada dizem a respeito da população em si. A distribuição de freqüêcias demostra o comportameto da amostra o tocate à sua simetria e é osso objetivo, a hidrologia estatística, modelar esta distribuição de freqüêcia com base um modelo matemático, costituído de parâmetros, cohecido como Distribuição de Probabilidades. Primeiramete, é importate que caracterizemos algumas situações relativas à amostra, cotextualizada em termos da hidrologia. Podemos modelar uma distribuição de freqüêcia o cotexto de dados discretos, como por exemplo, o laçameto de uma moeda ou o sorteio de úmeros de alguma forma de loteria. No caso da hidrologia, pode-se, evetualmete, cosiderar dias chuvosos como variáveis hidrológicas discretas, mas a maioria das vezes, a hidrologia cosidera suas aálises detro do cotexto de variáveis cotíuas. Em se tratado de variáveis discretas, podemos respoder à perguta: qual a probabilidade de um úmero qualquer ser sorteado (eveto x) detro de um espaço amostral fiito S qualquer, costituído por N úmeros, sedo este um eveto aleatório. A resposta pode ser escrita da seguite forma: mx P ( x) () N Observe que todos os úmeros que costituem o espaço amostral S possuem a mesma possibilidade de ser sorteados uma situação ão viciada. É importate, o etato, difereciarmos probabilidade de freqüêcia. Esta última está associada ao úmero de vezes que um determiado eveto ocorreu, equato que probabilidade refere-se às possíveis situações de ocorrêcia, que o caso da equação, é cosiderada como de igual de probabilidade. Assim, se um sorteio de cara e coroa é realizado 0 vezes e cara for sorteado 7 vezes, sua freqüêcia será 0,7. Por lado, como

temos apeas duas possibilidades e estas são iguais (uma situação ão viciada), o úmero de vezes esperado para o sorteio de cara é 5 vezes, portato, a probabilidade seria 0,5. No etato, a hidrologia, em grade parte das vezes, os iteressa, em termos práticos, avaliar qual a possibilidade de um determiado eveto ser maior ou igual (ou meor ou igual) a um dado valor x i e isto remete ao coceito de uma variável cotíua, como por exemplo, vazões de um rio. Existem difereças importates os modelos probabilísticos para ambas as situações. No caso de variáveis discretas busca-se estimar qual a P(x) ser igual a um valor; o caso de variáveis cotíuas, qual a P(x > x i ) ou P(X<x i ). Para variáveis discretas, o modelo probabilístico pode ser ajustado com apeas um parâmetro, ormalmete viculado à média, como o caso da Distribuição de Poisso. Em se tratado de variáveis cotíuas, o modelo probabilístico ecessita de ou 3 parâmetros para seu ajuste, e estes estão viculados às medidas estatísticas de média, variâcia e assimetria, ou seja, aos mometos estatísticos de ª, ª e 3ª ordes. 4.. Probabilidade Codicioal A probabilidade de ocorrêcia de um determiado eveto A pode ser iflueciado pela ocorrêcia de outro eveto B, uma vez que haverá redução do espaço amostral S para a realização do eveto A quado B ocorre. Neste caso, tem-se a seguite defiição: ( B) P A ( B) P( B) P A () Nesta equação, ( A B) codicioada) ao eveto B, ( A B) P sigifica a probabilidade do eveto A, associada (ou P sigifica a itersecção dos evetos A e B o plao amostral S e P(B) é a probabilidade de ocorrêcia do eveto B. Graficamete, teríamos: S B A P( A B) Deste esquema, depreede-se também que:

3 P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) (3) Exemplo de Aplicação 4. a) Sabedo-se que a probabilidade de ocorrer em jaeiro uma precipitação total superior 00 mm é de 0,098, recalcule esta probabilidade sabedo-se que já ocorreram 30 mm o respectivo mês e que a probabilidade de se superar este último valor é de 0,34. Neste exemplo, o eveto A cosiste de P(A) 0,098; o eveto B é P(B) 0,34. Queremos a probabilidade do eveto A mediate a codição de que já houve 30 mm o mês de jaeiro, ou seja, P(A B): ( A B) P( B) ( ) P( A) P( B) P P B 0,098 P ( A B) 0,58 0,34 b) Cosidere evetos probabilísticos, A e B, ambos associados à possibilidade da vazão míima de um curso d água ão ateder à demada de um projeto, que é 4 m 3 /s. O eveto A implica que a probabilidade da vazão do córrego A ser iferior a m 3 /s é de 0,0547 e do córrego B é de 0,089. Qual a probabilidade do projeto ão receber a vazão míima projetada, sabedo-se que o eveto A está codicioado a B [(P B) 0,65]? P(A) 0,0547; P(B) 0,089. A possibilidade do projeto ão ser atedido implica em ( A B) P (equação 3). Como P(A B) é 0,65, da equação, tem-se: ( A B) P( A B) P( B) 0,65 0,089 0, 0579 P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0,0547 + 0,089 0,0579 0, 0859 P

4 4. Freqüêcia de Dados Hidrológicos Os feômeos hidrológicos podem ser caracterizados como aleatórios, podedo-se associar aos mesmos, um caráter probabilístico evolvedo estes feômeos. Em termos de seu comportameto há de se ressaltar que, sempre haverá possibilidade de um dado eveto hidrológico ser superior ou iferior a um valor histórico já registrado. Isto é essecial para o etedimeto das variáveis hidrológicas, uma vez que esta é uma das pricipais fuções da hidrologia, que cosiste em observar os evetos e modelar as freqüêcias de ocorrêcia, possibilitado que sejam feitas previsões assumido determiado risco. As variáveis hidrológicas, a maioria das vezes, são cosideradas cotíuas, ou seja, variáveis que em termos físicos, existem cotiuamete o tempo. Em termos estatísticos, são aplicadas distribuições que modelam este caráter, trabalhado com cálculos de áreas sob a curva de distribuição de probabilidades abaixo ou acima de determiado valor de iteresse prático ou etre valores. Percebe-se que este caso, ão se perguta qual a probabilidade de um determiado eveto ser IGUAL a um valor específico, como o sorteio de um úmero, e sim, deste eveto ser maior ou meor que este valor, ou estar etre valores específicos. Este etedimeto também é fudametal para aplicação das distribuições de probabilidades aos feômeos hidrológicos. O primeiro passo para se modelar a freqüêcia de dados hidrológicos é fazer um estudo de sua ocorrêcia, o que se estabelece um percetual com que uma variável hidrológica pode ser maior que um dado valor. Isto é chamado freqüêcia de excedêcia e é obtida diretamete de uma série histórica de dados. Cotudo, pode-se trabalhar com a freqüêcia de ão excedêcia, ou seja, aquela em que se estuda o percetual de uma variável ser meor ou igual a um dado valor. A escolha depede dos objetivos, os quais serão discutidos a seqüêcia. Deve-se ressaltar que uma é o complemeto da outra, ou seja: fexc f ão exc (4) Existem algumas defiições de freqüêcia cosiderado variáveis cotíuas, destacado-se:

5 Tabela 4. Equações para estimativa da freqüêcia observada e suas aplicações. Fórmula Autor Observações i f obs N + i 0,44 f obs N + 0, i 0,375 f obs N + 0,5 i 0,50 f obs N i 0,40 f obs N + 0,0 Weibull Aplicação ao estudo de probabilidades ão Grigorte Blom Haze eviesadas (sem tedêcia) para qualquer modelo de Distribuição. Aplicada para estudos associados às Distribuições Gumbel e GEV. Aplicada para estudos associados às Distribuições Normal e Log-ormal. Aplicada para estudos associados à Distribuição Gama 3 parâmetros. Cuae Aplicação ao estudo de probabilidades ão eviesadas (sem tedêcia) para qualquer modelo de Distribuição. O termo i, o umerador, refere-se à posição que o dado ocupa detro da série histórica, a qual deve ser ordea em ordem crescete para freqüêcias de ão excedêcia e ordem decrescete para freqüêcia de excedêcia. Por outro lado, N, o deomiador, refere-se ao tamaho da série histórica. Ressalta-se que os exemplos de aplicação aqui desevolvidos, será cosiderada apeas a equação proposta por Weibull. Com base o estudo das freqüêcias de ocorrêcia, ajusta-se uma distribuição de probabilidades e aquela que obtiver o melhor ajuste (meores difereças etre as freqüêcias observadas e estimadas) deve ser a escolhida. Note que o tamaho da série histórica tem grade importâcia haja vista que ela represetará a possibilidade de ocorrêcia, ou seja, quato maior esta, maior a represetatividade do eveto, tedo como referêcia seu registro histórico. Portato, o ajuste de uma distribuição de probabilidades busca sua aplicação para estimar as freqüêcias de evetos que aida ão foram registrados e que ormalmete são aplicados a projetos hidráulicos. A freqüêcia de excedêcia é bastate usada em hidrologia, especialmete quado os dados a serem trabalhados costituem séries históricas de precipitação. No etato, para estudos de vazões, esta situação é também é importate, sedo que, este caso, pode-se gerar um gráfico cohecido como Curva de Permaêcia. Isto sigifica que pode-se obter a percetagem de tempo (ou permaêcia) o qual um determiado eveto é superado ou igualado. Estudos com esta cootação têm várias importâcias práticas, como por exemplo, a determiação de uma vazão míima de um curso d água para abastecimeto ou irrigação, ou aida, a precipitação míima um determiado período de um mês visado ao balaço hídrico e forecimeto da lâmia de irrigação suplemetar, ambas as gradezas

6 associadas a uma probabilidade de excedêcia. A Figura 4. ilustra uma curva de permaêcia hipotética. Figura 4. Represetação gráfica de uma curva de permaêcia hipotética. No gráfico acima, para um valor y de vazão, x é a percetagem de tempo com que esta vazão é igualada ou superada, ou seja, sua permaêcia. Um valor prático extraído da curva de permaêcia é o Q 90%, o qual sigifica a vazão existete o curso d água em 90% do tempo, sedo aplicada à gestão dos recursos hídricos. Pela curva, observa-se que se trata de uma vazão pequea. O risco assumido é de que há possibilidade de 0% da mesma ser iferior ao valor estimado e este caso, problemas com o forecimeto de água ao projeto. Uma observação adicioal pode ser feita. Quato meor o itervalo de aálise dos dados (dados diários, mesais ou auais) mais segura será a iterpretação da curva de permaêcia. Isto quer dizer, por exemplo, que a aálise de dados diários de vazão de um determiado rio forece um valor meor de vazão, para uma dada permaêcia, do que dados mesais ou auais. Estes últimos geram valores superestimados, sedo mais útil para a gestão dos recursos hídricos, o estudo com observações diárias.

7 4.3 Coceito de Tempo de Retoro (TR) O tempo de retoro represeta o iverso da freqüêcia com que um eveto pode ser igualado ou superado, ou seja, reflete a probabilidade com que uma dada variável hidrológica possa ser igualada ou superada, pelo meos uma vez, um ao qualquer. Ao se ajustar uma distribuição de probabilidades aos dados de freqüêcia de uma série histórica, utiliza-se a probabilidade de excedêcia para estimar um tempo de retoro, que é obtido em aos. Por defiição, tem-se: TR (5) F ( X > xi) Ao se assumir uma distribuição de probabilidades com F (X > xi) estimado por P (X > xi), tem-se: TR (6) P ( X > xi) No etato, quado o objeto de estudo cosiste de uma série histórica de dados hidrológicos míimos ou dados que apresetem distribuição ormal, o tempo de retoro a ser estimado também está associado à probabilidade com que o valor míimo cosiderado pode ser iferior ao esperado, ou seja: TR (7) F ( X xi) P( X xi) Esta situação é comum quado se trabalha com dados de vazão míima visado à gestão dos recursos hídricos e avaliação da dispoibilidade de água para irrigação ou abastecimeto. Uma vazão específica correspode ao valor da Q 7,0, que sigifica um valor míimo de vazão em 7 dias cosecutivos, com Tempo de Retoro de 0 aos. Isto sigifica que há probabilidade de 0% de ocorrer uma vazão míima com 7 dias cosecutivos iferior ao valor estimado, sedo iterpretado como um fator de seguraça, porém associado à garatia de vazão o curso d água. Cotudo, o cálculo de TR, com base o seu coceito, ão é suficiete. Assim, é possível calcular o risco hidrológico propriamete dito, o qual está associado à probabilidade de um eveto ser igualado ou superado, porém, um itervalo de tempo N meor que TR e cuja defiição prática está associada à vida útil da obra. Na realidade, esta probabilidade pode ser calculada pesado-se a probabilidade de que o eveto ão ocorra. A liha de raciocíio é a seguite: dados que p é a probabilidade de ocorrêcia de um eveto um ao qualquer; seu complemeto é k, ou seja, a probabilidade de ão ocorrêcia. Assim: k p (8)

8 Cosidera-se que a probabilidade do eveto ão ocorrer em qualquer dos aos, um itervalo de N aos, é dada por: N K k (9) Da mesma forma, seu complemeto, o setido agora de ocorrêcia, será: R K (0) Sedo R o risco de ocorrêcia do eveto um período de N aos. Fazedo-se algumas substituições, chega-se a: N R k () N R ( p) () N R (3) TR Na realidade, esta seqüêcia de equações ada mais é do que a aplicação da Distribuição Biomial, cosiderado a probabilidade de ão ocorrêcia, ou seja, P(x0). A Distribuição Biomial apreseta a seguite estrutura: P N x (4) x Nx ( X x) p ( p) Assim, para a situação de ão ocorrêcia, ou seja, P (X0), teremos: P N 0 (5) ( X 0) p 0 ( p) N ( p ) N Para a situação de ocorrêcia: P(X N x) ( p) (6) Sedo P(Xx) o risco hidrológico R defiido ateriormete. O desdobrameto, em fução de TR, é idêtico ao apresetado ateriormete.

9 4.4 Classificação das Pricipais Séries Históricas Hidrológicas Os dados históricos relativos a um eveto hidrológico costituem uma série hidrológica, a qual pode ser classificada em: a) Série origial: costituída por todos os valores registrados. Exemplo: 30 aos de dados de precipitação mesal. A série será costituída por 30 x valores. b) Série aual: costituída por valores extremos (máximos ou míimos) de cada ao. A partir do exemplo aterior, ter-se-ia uma série com 30 valores. Normalmete, valores míimos auais dizem respeito ao comportameto de vazões em cursos d água. Este tipo de estudo visa forecer iformações para projetos de abastecimeto de água e irrigação. c) Série parcial: costituída pelos N maiores ou meores valores ocorridos os N aos de observação. A partir do exemplo iicial, ter-se-ia uma série costituída por 30 valores, os quais seriam os maiores ou meores da série origial, sem haver a viculação com o ao de ocorrêcia. Uma outra alterativa seria costituir a série com todos os maiores (ou meores) valores da série, referido-se a uma situação a qual a série histórica é pequea e há utilização de mais de um valor extremo por ao. As séries históricas mais trabalhadas em hidrologia são as seguites: a) Precipitação total aual: costituída pela soma das precipitações diárias ocorridas ao logo de ao, obtedo-se, desta forma, valor para a série. É estruturada, portato, com valores totais de cada ao. Neste caso, ormalmete objetiva-se ao estudo comportametal do ciclo hidrológico, sedo importate para estudos viculados ao balaço hídrico climatológico bem como balaço hídrico aual em bacias hidrográficas. b) Precipitação total mesal, quizeal e decedial: estas séries históricas, pode-se trabalhar cosiderado um mês específico do ao (de iteresse regioal, por exemplo) e estudar os seus totais mesal, da a e a quizeas e o, o e 3 o decêdios. Este estudo é importate quado se realiza balaço hídrico de culturas visado ao maejo de irrigação. O produto gerado é cohecido como Precipitação Provável e trabalha-se com probabilidade de excedêcia, ou seja, objetiva-se garatir um valor míimo com 75, 90 ou 95% de excedêcia, depededo da cultura em questão. Culturas de maior valor ecoômico trabalha-se com um ível de

0 probabilidade de excedêcia maior, estimado-se um valor meor de precipitação provável, devido ao risco de prejuízos mais importates. c) Precipitação máxima diária aual: este caso, toma-se, em determiado ao, a maior precipitação diária registrada, sedo este valor compoete da série histórica. É feito desta forma para vários aos, costituido-se a série histórica. Seu estudo é importate quado se deseja obter valores extremos máximos diários, visado ao estudo da freqüêcia de ocorrêcia de precipitações itesas, iclusive para geração das equações de chuvas itesas. Quado a dispoibilidade de dados históricos é pequea, pode-se trabalhar com os maiores valores auais, a fim de melhorar a represetatividade da série. d) Precipitação máxima aual correspodete a um determiado tempo de duração da precipitação: aqui, têm-se os mesmos objetivos ateriores, porém trabalhado-se com pluviogramas, separado-se o valor máximo da precipitação um determiado ao, para vários tempos de duração. Assim, costitui-se uma série histórica para cada tempo de duração. Estas séries geram resultados mais precisos para o ajuste da equação de chuvas itesas, pois trata-se de itesidades reais que ocorreram um determiado local. Valores totais diários ão expressam tal característica. e) Vazões Máximas Diárias Auais: são séries históricas aplicadas ao estudo de vazões de cheia e de projeto em cursos d água. São séries com característica assitótica, assim como as de precipitações máximas, ou seja, com acúmulo de dados à esquerda a distribuição de freqüêcias, gerado-se um caudal à direita. f) Vazões Míimas Diárias Auais: são séries históricas muito aplicadas à hidrologia, fudametais em estudos ligados à dispoibilidade de água em cursos d água para projetos e gestão de recursos hídricos. De forma semelhate às vazões máximas, são assitóticas, com acúmulo de dados à direita a distribuição de freqüêcia, gerado-se um caudal à esquerda. g) Vazões médias auais: são séries históricas aplicadas ao estudo do comportameto do deflúvio médio aual, obtida pela média aritmética dos dados. h) Evapotraspiração: séries históricas que permitem estudar o comportameto evapotraspirativo em bacias hidrográficas. Importate os estudos ligados ao

comportameto climático de regiões, bem como modelagem do balaço hídrico climatológico. 4.5 Histogramas de Freqüêcia Histogramas de freqüêcia dizem respeito à represetação gráfica (ormalmete em barras) da freqüêcia de ocorrêcia de uma dada variável, podedo ser simples ou acumulada (de excedêcia ou ão excedêcia). A curva de permaêcia é um tipo de histograma de excedêcia, com as classes acumulado-se à esquerda. A seguir será apresetada a metodologia clássica para o desevolvimeto de histogramas de freqüêcia. o ) Determiação do úmero de classes (k) - até 00 dados k - acima de 00 dados 5 log ( ) ode é o úmero de observações. k 0 o ) Amplitude total dos dados (A) A M m, em que M é o valor máximo observado e m, o meor valor. 3 o ) Amplitude de classe (Ac) A + x Ac, em que, x é a precisão de leitura (por exemplo: dados com uma casa k decimal, a precisão é de 0,). 4 o ) Limite iferior da a classe LIclasse m Ac 5 o ) Limite superior da a Classe LSclasse LIclasse + Ac 6 o ) As demais classes são computadas somado-se os limites à amplitude, e assim sucessivamete. LS classe LI classe LS classe LI classe + Ac LS classe LI classe3, e assim por diate.

4.6 Medidas estatísticas básicas aplicadas em hidrologia 4.6. Média Aritmética A média aritmétrica de um cojuto de dados é expressa por: xi i X (7) 4.6. Moda É defiida como sedo o valor que aparece com mais freqüêcia um cojuto de dados. Quado se tem um itervalo de classe, a moda será o poto médio da classe que cotiver o maior úmero de ocorrêcias. 4.6.3 Mediaa Correspode ao valor que represeta exatamete 50% das ocorrêcias. Para obtê-lo basta avaliar as freqüêcias de ocorrêcia, idepedetemete de ser de excedêcia ou ão-excedêcia. Para obter o valor exato de 50%, pode-se utilizar o procedimeto de iterpolação dos dados vizihos a este valor, quado ão for possível obtê-lo diretamete. 4.6.4 Variâcia da Amostra s xi x i (8) 4.6.5 Desvio Padrão da Amostra s s (9) Ao se avaliar tato o desvio padrão quato a variâcia, observa-se que quato maior ambos, maior a variação dos dados em toro da média. 4.6.6 Assimetria A assimetria é um parâmetro importate a medida em que avalia a forma como os dados estão distribuídos em relação à média. Para que os dados apresetem distribuição ormal, a assimetria deve ser próxima ou igual a zero. Nesta situação, a média, a moda e a mediaa são iguais. Cotudo, quado este valor for distate de zero, apresetará um padrão de distribuição com a maior quatidade de dados à esquerda (assimetria positiva) ou à direita (assimetria egativa). Em termos de dados hidrológicos, por apresetarem um padrão com limitação iferior (ormalmete, valor míimo é zero) e sem limitação superior

3 (os evetos hidrológicos podem ser superados), a assimetria é positiva. A assimetria pode ser calculada da seguite forma: 3 xi x i A (0) Na prática é mais comum a utilização do coeficiete de assimetria, que represeta a relação etre a assimetria e o desvio padrão ao cubo. Este coeficiete pode ser do tipo corrigido ou comum. O último pode ser calculado por: A 3 s Ca () O coeficiete corrigido é determiado da seguite forma: Ca 3 xi x i s ( ) ( ) 3 () Além da aálise geral dos dados, a média, o desvio padrão e o coeficiete de assimetria são extremamete importates, pois costituem-se os parâmetros que permitem o ajuste das distribuições de probabilidades. 4.6.7 Curtose Quatifica o grau de achatameto da distribuição de freqüêcia de uma determiada amostra. A referêcia para curtose é a curva ormal e pode ser calculada pela seguite equação: 4 xi x i Cu 4 s 3 (3) Se Cu for próximo a zero, a distribuição é itermediária, sedo cohecido como Mesocúrtica ; se for maior que zero, os dados estão distribuídos de forma afilada ( Leptocúrtica ); se for meor que zero, forma achatada (Platicúrtica) (Figura 4.).

4 Figura 4. Comportameto da distribuição ormal em fução do achatameto dos dados. 4.6.8 Co-variâcia amostral Quado se relacioa um cojuto de dados de uma variável com valores de outra variável que possa explicar o comportameto da primeira, aplica-se a co-variâcia amostral, ode quato maior este valor, maior a relação etre as variáveis, ou seja, mais uma variável explica a outra. Este coeficiete pode ser calculado pela equação: cov xy xi yi x y (4) i A co-variâcia pode ser egativa ou positiva. No primeiro caso, sigifica que valores mais baixos de uma variável explicam valores mais altos de outra variável. No segudo, as variáveis possuem o mesmo comportameto em termos de crescimeto. Em ambos os casos, quato maior o valor, em módulo, maior a explicação da variável depedete. 4.6.9 Coeficiete de correlação É um coeficiete que adimesioaliza a co-variâcia e busca explicar, da mesma forma aterior, a relação etre duas variáveis. Seu valor varia de a e quato mais próximo dos extremos, maior a explicação da variável. É calculada por:

5 cov xy r (5) ( sx sy ) Em que s x e s y são respectivamete, o desvio padrão das variáveis x e y. 4.7 Distribuições Cotíuas de Probabilidades em Hidrologia 4.7. Equação Geral de Ve Te Chow Há situações em que se ecessita estimar valores de evetos associados a recorrêcias muito altas, cujas freqüêcias ão foram aida obtidas, como é o caso de estruturas civis, cuja falha coloque em risco vidas humaas. Nestas codições, recomedase o uso de Distribuições Teóricas de Probabilidades, as quais devem ser adequadas para estimativa das freqüêcias observadas, sedo que estas são determiadas pelas características dos dados, especialmete se forem assitóticas. Ve Te Chow afirma que a maioria das fuções de probabilidades, aplicáveis à Hidrologia, visado associar valor (magitude) da variável à probabilidade de sua ocorrêcia, pode ser represetada pela seguite equação: XTR X + K TR S (6) Em que X TR é o valor da variável hidrológica associada à recorrêcia TR, X é a média aritmética da série histórica, S é o desvio padrão da mesma e K TR é o fator associado à freqüêcia, sedo fução de TR e da distribuição de probabilidades. É também chamado variável reduzida. Basicamete, este modelo geral é aplicado em quase todos os estudos probabilísticos em hidrologia. 4.7. Pricipais Distribuições de Probabilidades em Hidrologia As distribuições de probabilidades que serão apresetadas, com as respectivas aplicações, são as seguites: - Distribuição Normal ou de Gauss: adequada para séries origiais (Ex.: totais auais de precipitação); - Distribuição de Gumbel para máximos (ou Assitótica de Valores Máximos Extremos do tipo I): adequada para série de valores extremos máximos (série de valores máximos diários de precipitação ou vazão); Haa (00).

6 - Distribuição de Gumbel para míimos (ou Assitótica de Valores Míimos Extremos do Tipo I): adequada para valores míimos extremos (série de valores míimos de vazão); - Distribuição Log-Normal a e 3 parâmetros: aplicável tato a valores origiais quato máximos e estimativa da precipitação provável; - Distribuição Gama: aplicável para estimativa da precipitação provável e séries históricas de valores extremos; - Distribuição Weibull: aplicável a série histórica de vazões míimas; - Distribuição de Extremos de Fréchet ou Log-Gumbel: aplicação voltada para séries históricas de valores extremos máximos, especialmete vazões máximas; - Distribuição Geeralizada de Valores Extremos (GEV): distribuição que egloba as distribuições de extremos Tipo I (Gumbel), Tipo II (Fréchet) e Tipo III (Weibull). O ajuste de uma distribuição de probabilidades é coduzido com base em ou 3 parâmetros. A estimativa destes parâmetros é feita com base a Iferêcia Estatística, sedo o método dos mometos, o qual calcula os parâmetros com base os mometos estatísticos de a, a e 3 a ordem, associados, respectivamete, à média, variâcia e assimetria, o mais simples. As distribuições Normal e de Gumbel possuem apeas os primeiros parâmetros. A Log-Normal pode estar associada aos primeiros, assim como a Normal, ou aos 3 parâmetros. No etato, este método, apesar de mais aplicado, é meos preciso que outros. Os métodos da Máxima Verossimilhaça e Mometos L são também aplicados para estimativa dos parâmetros e também serão apresetados e discutidos. 4.7.. Distribuição Normal ou de Gauss A distribuição de Gauss ou Normal (DN) é uma distribuição de probabilidades para variável cotíua, caracterizada pela média e desvio padrão. Os valores de uma série que segue a DN se distribuem simetricamete em relação à média. Portato, apresetam o coeficiete de assimetria igual a zero. A relação etre os valores e a probabilidade de ocorrêcia pode ser visualizada a Figura 4.3, cuja área até determiado poto (ou valor), o setido da esquerda para direita, represeta a probabilidade de ocorrer valores meores ou iguais àquele valor (probabilidade de ão excedêcia).

7 Figura 4.3 Represetação da distribuição ormal com seus pricipais parâmetros. A fução desidade de probabilidade (FDP) é dada pela seguite equação: ( xµ ) 0,5 FDP f( x) e σ (7) σ π Em que σ é o desvio padrão e µ é a esperaça ou média, ambos da população, que serão substituídas pelo desvio padrão e média amostrais, com o o e o mometos calculados da seguite forma: ^ ^ σ s e µ X (8) A probabilidade propriamete dita é obtida pela itegração da fução desidade de probabilidade (FDP), gerado a Fução Cumulativa de Probabilidades (FCP). A probabilidade de ão-excedêcia é obtida pela itegração da FDP de a um determiado valor X. A probabilidade de excedêcia é obtida com base a equação, já que a itegração da FDP de probabilidade de ão-excedêcia: a + é igual a. Desta forma, tem-se para a

8 ( ) xµ x 0,5 FCP F( x) Pr ob( x xi ) e σ dx (9) σ π Para facilitar a geeralização desta relação (valor e probabilidade), propõem-se a distribuição ormal padrão, que utiliza a chamada variável reduzida ou padrão z, que mede o desvio de uma variável em relação à média, em termos do desvio padrão, ou seja: x x z s (30) Observa-se que z faz o papel de K TR coforme equação geral proposta por Ve Te Chow (equação 6). Verifica-se, portato, que a variável K TR é equivalete a z, o caso da DN. A distribuição ormal passa a ser DN (0,) que é a distribuição ormal padrão e sua FCP calculada por: z 0,5 z F ( z) Pr ob( Z z) e dz (3) π Em que z é a variável reduzida. Observa-se que esta itegral ão apreseta solução aalítica. Desta forma, pode-se utilizar a tabela de distribuição de Gauss ou tabela de z (Tabela 4.), a qual foi gerada a partir da solução umérica da equação 3. Esta tabela forece os valores de probabilidade, de até o valor de z que correspode ao valor da variável hidrológica X, correspodedo a uma tabela com probabilidades de ão excedêcia. Além desta metodologia, pode-se trabalhar com uma aproximação razoável, utilizado a equação abaixo: Em que: Pr ob f ( z) 3 ( Z z) f( z) ( a q + a q + a ) (3) 3 q 0,5 z e (33) π ( + a ) 0 z q (34) Os valores para as costates são: a 0 0,3367; a 0,4368; a -0,07; a 3 0,9373 Devido à simetria da curva ormal, a série pode ser dividida em valores meores que e maiores que a média. Deve-se ressaltar que variáveis afastadas da média do

9 mesmo valor (com os mesmos desvios) têm o mesmo tempo de recorrêcia, idepedete de ser meor ou maior que a média. Assim, se valores da variável X (X e X) distam da média, o mesmo desvio, tem-se o mesmo tempo de retoro para ambas. Numa situação, busca-se a possibilidade de um valor meor que a média voltar a se repetir e outra, um valor maior que a média. Nesta situação, o cálculo de TR é coduzido cosiderado-se as seguites situações: - Para valores meores que a média, objetiva-se cohecer o valor de ãoexcedêcia; - Para valores maiores que a média, objetiva a probabilidade de excedêcia; Pelas equações abaixo, tem-se, respectivamete, a forma de cálculo de TR para cada situação: TR ; se o valor da variável for meor que a média; P( x x i ) TR ; se o valor da variável for maior que a média; P( x x i ) Exemplo de Aplicação 4. Se a precipitação total aual média é de 000 mm e o desvio padrão, 00 mm, qual o TR para as precipitações de 00 mm e 800 mm. O cálculo de z por meio da equação 30 forece um valor para a primeira situação, igual a e para a seguda,. Ao se cosultar a tabela de z (Tabela 4.), ecotra-se uma freqüêcia de ão excedêcia para z, de 0,8434 e para z -, 0,5865. Para o primeiro caso, o cálculo de TR é dado pela seguda equação. Assim, tem-se: TR 6,3 aos ; o valor da probabilidade de excedêcia foi obtido por 0,5865 0,8434 0,5865. Para o segudo caso, tem-se: TR 6,3 aos ; 0,5865 O valor da probabilidade de ão excedêcia, este caso, é obtido cosiderado-se o aspecto de simetria dos dados, ou seja, como ( z ) [ P ( z > ) ] será 0,5865. Como os valores são simétricos, P( z ) P( z ) 0,5865. P é igual a 0,8434, seu complemeto e portato,

0 Tabela 4. Tabela de z cosiderado probabilidade de ão excedêcia z z F dz ). ( ( z) exp π z 0.00 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.00 0.5 0.5040 0.5080 0.50 0.560 0.599 0.539 0.579 0.539 0.5359 0.0 0.5398 0.5438 0.5478 0.557 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.574 0.5753 0.0 0.5793 0.583 0.587 0.590 0.5948 0.5987 0.606 0.6064 0.603 0.64 0.30 0.679 0.67 0.655 0.693 0.633 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.657 0.40 0.6554 0.659 0.668 0.6664 0.6700 0.6736 0.677 0.6808 0.6844 0.6879 0.50 0.695 0.6950 0.6985 0.709 0.7054 0.7088 0.73 0.757 0.790 0.74 0.60 0.757 0.79 0.734 0.7357 0.7389 0.74 0.7454 0.7486 0.757 0.7549 0.70 0.7580 0.76 0.764 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.783 0.785 0.80 0.788 0.790 0.7939 0.7967 0.7995 0.803 0.805 0.8078 0.806 0.833 0.90 0.859 0.886 0.8 0.838 0.864 0.889 0.835 0.8340 0.8365 0.8389.00 0.843 0.8438 0.846 0.8485 0.8508 0.853 0.8554 0.8577 0.8599 0.86.0 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.879 0.8749 0.8770 0.8790 0.880 0.8830.0 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.895 0.8944 0.896 0.8980 0.8997 0.905.30 0.903 0.9049 0.9066 0.908 0.9099 0.95 0.93 0.947 0.96 0.977.40 0.99 0.907 0.9 0.936 0.95 0.965 0.979 0.99 0.9306 0.939.50 0.933 0.9345 0.9357 0.9370 0.938 0.9394 0.9406 0.948 0.949 0.944.60 0.945 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.955 0.955 0.9535 0.9545.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.958 0.959 0.9599 0.9608 0.966 0.965 0.9633.80 0.964 0.9649 0.9656 0.9664 0.967 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706.90 0.973 0.979 0.976 0.973 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.976 0.9767.00 0.977 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.98 0.987.0 0.98 0.986 0.9830 0.9834 0.9838 0.984 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857.0 0.986 0.9864 0.9868 0.987 0.9875 0.9878 0.988 0.9884 0.9887 0.9890.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.990 0.9904 0.9906 0.9909 0.99 0.993 0.996.40 0.998 0.990 0.99 0.995 0.997 0.999 0.993 0.993 0.9934 0.9936.50 0.9938 0.9940 0.994 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.995 0.995.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.996 0.996 0.9963 0.9964.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.997 0.997 0.9973 0.9974.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.998.90 0.998 0.998 0.998 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.0 0.9990 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.9993 0.9993 3.0 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.30 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.40 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 Exemplo de Aplicação 4.3 Com base a série histórica de alturas pluviométricas auais de Lavras, MG, o período de 94-943, 946-949 e 95-99, obter: a) Distribuição de freqüêcia (tabela e gráfico), média, mediaa, moda, desvio padrão e coeficiete de assimetria.

b) Utilize a distribuição de Gauss para calcular os valores máximos e míimos esperados para os tempos de retoro de 0, 50, 00 e 000 aos. c) Compare as freqüêcias observada e teórica, associadas às precipitações de 068, mm e 04, mm. d) Qual a probabilidade de ocorrer de um ao com precipitação superior a 000 mm sabedo-se que já ocorreram 600 mm? Tabela 4.3 Alturas pluviométricas auais para Lavras, MG, e respectiva distribuição de freqüêcia. Ordem P F ão-exc. Ordem P F ão-exc. Ordem P F ão-exc. 747, 0,036 9 353,7 0,3858 57 696,0 0,75 83,4 0,063 30 354,7 0,39474 58 673, 0,7636 3 999, 0,03947 3 355,7 0,40789 59 683,5 0,7763 4 00,3 0,0563 3 374,4 0,405 60 686,6 0,78947 5 068, 0,06579 33 377,9 0,434 6 689,4 0,8063 6 093,5 0,07895 34 380,4 0,44737 6 705,5 0,8579 7 09,9 0,09 35 393,6 0,46053 63 79, 0,8895 8 70,6 0,056 36 398,7 0,47368 64 76,6 0,84 9 7,3 0,84 37 43, 0,48684 65 78,5 0,8556 0 83, 0,358 38 47,3 0,50 66 794,0 0,8684 84,9 0,4474 39 48, 0,536 67 86,6 0,8858 87,7 0,5789 40 430,0 0,563 68 80,3 0,89474 3 96,6 0,705 4 443,4 0,53947 69 83,7 0,90789 4 04,7 0,84 4 445,8 0,5563 70 933, 0,905 5 6, 0,9737 43 448,8 0,56579 7 938,0 0,934 6 6, 0,053 44 450,3 0,57895 7 95,8 0,94737 7 7,8 0,368 45 453,4 0,59 73 04, 0,96053 8 46,0 0,3684 46 479,5 0,6056 74 30,7 0,97368 9 63,5 0,5 47 496,3 0,684 75 485,6 0,98684 0 66,7 0,636 48 555,8 0,6358 68,6 0,763 49 567,4 0,64474 8,5 0,8947 50 584,3 0,65789 3 88,8 0,3063 5 585, 0,6705 4 30, 0,3579 5 589, 0,684 5 33,0 0,3895 53 590,0 0,69737 6 39,8 0,34 54 634, 0,7053 7 36,6 0,3556 55 634, 0,7368 8 35,8 0,3684 56 665,3 0,73684

a) Distribuição de freqüêcia por classes - úmero de classes (k) 75 8,66 8 classes - amplitude total (A) 485,6 747, 738,5-738,5 + 0, amplitude de classe (Ac) 48, 4 8 - LI classe 747, (48,4)/ 6,9 - LS classe 6,9 + 48,4 87,3 Tabela 4.4 Classes e distribuição de freqüêcia simples e acumulada. Classes N o Poto médio da F simples F acumulada observações classe ão-excedêcia ão-excedêcia 6,9 87,3 747, 0,063 0,063 87,3 9,7 3 995,5 0,06579 0,09 9,7 368, 4 43,9 0,3579 0,4079 368,- 66,5 49,3 0,8947 0,69737 66,5 864,9 6 740,7 0,053 0,9079 864,9 3,3 4 989, 0,0563 0,96053 3,3 36,7 37,5 0,036 0,97368 36,7 60, 485,9 0,036 0,98685 Moda: poto da classe com maior úmero de observações. Portato, 43,9 mm. Mediaa: valor que correspode a exatamete 50% dos dados. Na Tabela 4., 47,3 mm. Gráfico da distribuição de freqüêcia simples e acumulada.

3 Ca 0,7 Observa-se que a assimetria dos dados é pequea, sugerido-se que é possível ajustar a distribuição ormal aos dados. b) Aplicação da distribuição ormal de probabilidades x 466,0 mm e s 39, mm Equação geral de Ve Te Chow: xtr 466 + ktr 39, Para TR 0 aos tem-se, com base a defiição deste e a codição de simetria da curva ormal: P (x > x i ) 0,0; A probabilidade de ão excedêcia é: P(x < x i ) 0,90. Cosultado a tabela de z, tem-se z,8. Para calcular os valores máximos e míimos procede-se da seguite forma: - Valor máximo x TR 466 +,8 * 39, 874,6 mm - Valor míimo Pela simetria da curva ormal, tem-se z -,8 e x TR 466,8 * 39, 057,4 mm. Os demais tempos de retoro são obtidos a partir do mesmo procedimeto. c) Aplicacão da equação geral de Ve Te Chow x x 068, 466 z,5 Pr ob s 39, x x 04, 466 z,8 Pr ob s 39, ( Z,5 ) 0, 068 ( Z,8 ) 0, 96447 d) Eveto A: precipitação aual superior a 000 mm [ P( X 000 mm) ] Eveto B: precipitação aual superior a 600 mm [ P( X 600 mm) ] Busca-se estimar o eveto A codicioado ao eveto B, portato: P ( A B) P A ( B) P( B) P ( X 600 mm) P( X 000 mm) P( X 600 mm)

4 x x 000 466 z,67 P Z s 39, ( X 000 mm) 0,955 0, 0475 P (,67 ) 0, 955 x x 600 466 z 0,4 P Z s 39, P ( X 600) 0,668 0, 337 ( B) P( B) ( 0,4) 0,668 ( 600 mm) P( X 000 mm) P( X 600 mm) P A P X 0,337 0,0475 P ( A B) 0,859 0,337 Três observações sobre o exemplo são pertietes: a) À medida que TR aumeta, aumeta-se a precipitação máxima e dimiui-se a míima. Isto ocorre porque quado o TR fica maior, meor será a probabilidade com a qual o valor será maior (o caso de máximos) ou meor (o caso de míimos) que um determiado valor da variável. Isto sigifica que, como a probabilidade é cada vez meor para que o eveto ocorra, mais o extremo da curva ormal o mesmo se ecotrará. P é maior que P, assim como P`é meor que P`.: TR > TR.

5 b) Pode-se observar também que, para probabilidades meores que 0,036 e maiores que 0,98684 ão é possível obter o valor com base a freqüêcia observada, porque as freqüêcias extremas correspodem a estes valores, ou seja, o tamaho da amostra (série histórica) ão foi suficiete para que se pudesse detectar e comparar os estimados pela distribuição de probabilidades em relação às respectivas freqüêcias observadas. c) Pode-se verificar que os erros a estimativa dos evetos são pequeos, idicado que a distribuição ormal pode represetar bem o feômeo das precipitações totais auais. No etato, deve-se aplicar um teste estatístico de aderêcia para se cocluir de forma mais efetiva, o qual será tratado em tópico específico deste capítulo. 4.7.. Distribuição de Gumbel para máximos ou assitótica de valores máximos do tipo I A Fução Desidade de Probabilidade (FDP) de Gumbel é dada por: ( xµ ) eα( x ) α µ FDP α e (35) A itegração da FDP forece a fução cumulativa de probabilidades (FCP): ( x ) P x ( x µ ) eα i e (36) Esta distribuição apreseta os primeiros parâmetros de uma distribuição de probabilidades, ou seja, µ e σ, que são calculados pelas expressões abaixo, cosideradose o método dos mometos: ^,86 α (37) s ^ µ x 0,45 s (38) histórica. Em que x e s correspodem, respectivamete, à média e o desvio padrão da série

6 Para estimativa de uma variável hidrológica x em fução do TR, aplica-se a equação abaixo, fruto da maipulação da equação 36 e da cosideração de TR como fução da probabilidade de excedêcia: LN LN TR x TR + µ (39) α 4.7..3 Distribuição Geeralizada de Extremos GEV A distribuição GEV (do iglês Geeralized Extreme Value ) foi itroduzida por Jekiso (955), icorporado as 3 formas assitóticas: Gumbel (Tipo I), Fréchet (Tipo II) e Weibull (Tipo III). Sua FDP é dada por: +ξ x µ ξ x µ ξ FDP f( x) + ξ exp + ξ (40) σ σ σ Em que ξ, σ e µ são, respectivamete, os parâmetros de forma, escala e posição. Se ξ for egativo, a GEV represeta a forma assitótica de valores míimos (Tipo III) e existe apeas para x < ( µ σ) ξ (Fréchet), defiida para x > dada por:. Se ξ for positivo, a GEV represeta uma distribuição Tipo II ( µ σ) ξ. Se ξ 0, tem-se a Distribuição Gumbel. Sua FCP é x µ ξ FCP P(X xi) exp + ξ (4) σ A Distribuição GEV apreseta 3 mometos estatísticos: E σ (4) ξ [ x] x µ + [ Γ( ξ) ] Var σ ξ [ ] ( x) Γ( ξ) Γ ( ξ) 3 Γ ( ) ( 3 ξ) + 3 Γ( ξ) Γ( ξ) Γ ( ξ) [ ( ) ( )] γ CA sial de ξ (44) 3 Γ ξ Γ ξ (43)

7 Para estimar os parâmetros da Distribuição GEV deve-se iicialmete calcular o parâmetro de forma pela equação 44. Para isto, é importate observar qual sial ξ tem para a situação em estudo, o que é obtido mediate aálise do coeficiete de assimetria (distorção). Para ξ 0, γ,396; valores de γ superiores a este valor, ξ < 0; valores de γ meores que,396 implica em ξ > 0 até o valor de -/3. A estimativa de uma variável hidrológica associada a um tempo de retoro é dada por, cosiderado-se freqüêcia de excedêcia: ξ σ x TR µ + LN (45) ξ TR 4.7..4 Distribuição de Fréchet ou Log-Gumbel Também cohecida como Distribuição de Fréchet, cosiste da aplicação da Distribuição Gumbel aos valores logaritmizados da variável hidrológica. Fréchet aplicou-a para estudar as freqüêcias de vazões de cheias, sedo muito útil aos estudos que evolvem variáveis hidrológicas máximas. Sua FDP e FCP são, respectivamete: FDP f ( x) θ λ λ x θ+ λ exp x θ (46) θ λ FCP P( X xi) exp para x > 0; θ, λ > 0 (47) x Sedo F(x) a freqüêcia de excedêcia. São 3 mometos estatísticos: E ( x) µ λ Γ para θ > (48) θ Var ( x) σ λ Γ Γ x para θ > (49) θ θ Γ CV θ para θ > (50) Γ θ

8 A obteção dos parâmetros desta distribuição começa com a equação 50 a partir do coeficiete de variação; em seguida, calcula-se o parâmetro λ com a equação 48, partidose da média. A estimativa de um valor x, associado a um TR, é dada por: θ TR x TR λ LN (5) TR 4.7..5 Distribuição de Gumbel para míimos ou assitótica de valores míimos extremos do tipo I Esta distribuição de probabilidades cosiste de uma versão da Distribuição de Gumbel, com a difereça de se trabalhar com séries históricas de valores míimos, ormalmete vazões míimas. Na estimativa do parâmetro µ, troca-se o sial. A defiição dos parâmetros da distribuição, pelo método dos mometos, é dada por: ^,86 α (5) s ^ µ x+ 0,45 s (53) A FDP é defiida por: ( xµ ) eα( x ) α µ FDP α e (54) A FCP é dada pela probabilidade de ão excedêcia: e α( xµ ) P e (55) ( x x ) i Para estimativa de uma variável hidrológica x em fução do TR, aplica-se a equação abaixo, fruto da maipulação da equação 55 e da cosideração de TR como fução da probabilidade de ão excedêcia: LN LN TR x TR + µ (56) α

9 Exemplo de Aplicação 4.4 Dada uma série histórica de 6 aos de precipitação máxima diária aual para a cidade de Lavras, MG, o período de 95 a 930 (Tabela 4.5). Determiar: a) Distribuição de freqüêcia simples de ão-excedêcia dos dados; b) Aplicar as distribuições Gumbel, GEV e Fréchet e determiar a precipitação máxima diária para TR de 5, 0 e 0 aos; c) Determiar o TR para as precipitações máximas diárias auais de 80 e 90 mm; Tabela 4.5 Precipitações máximas diárias auais para Lavras, MG o período de 95 a 930 e respectivas freqüêcias observadas de ão excedêcia. Ordem Precipitação F ão exced. Ordem Precipitação (mm) (mm) F ão exced. 46, 0,0588 9 64, 0,594 50,0 0,765 0 66,9 0,5884 3 50,4 0,7647 78, 0,64706 4 57,0 0,359 78,6 0,70588 5 58,7 0,94 3 78,7 0,7647 6 60, 0,3594 4 80 0,8353 7 6,6 0,476 5 85,5 0,8840 8 63,4 0,47059 6 88,5 0,940

30 Observa-se que as distribuições se ajustaram de forma razoável às freqüêcias observadas, com destaque para a distribuição GEV para os valores mais baixos da série, Fréchet para os itermediários e Gumbel para os maiores. Cotudo, ehuma delas se ajustou bem aos dados próximos ao valor de 80 mm, uma vez que são úmeros muito próximos e com freqüêcias distitas, dificultado o ajuste da distribuição. a) Estimativa dos valores de precipitação associados aos TR s de 5, 0 e 0 aos Distribuição Gumbel Os parâmetros ajustados para esta distribuição foram: α 0,0968; µ 60,80. Aplicado-se estes parâmetros à equação 39 chega-se aos seguites valores: TR 5 aos.: X TR 76,30 mm TR 0 aos.: X TR 84,05 mm TR 0 aos.: X TR 9,50 mm Distribuição GEV Para esta distribuição, os parâmetros estimados foram: ξ 0,39; σ 0,69; µ 60,8685. Aplicado-se a equação 45, chega-se aos seguites valores: TR 5 aos. : X TR 73,56 mm; TR 0 aos. : X TR 77,94 mm; TR 0 aos. : X TR 8,4 mm; Distribuição Fréchet Os parâmetros estimados para esta distribuição foram: θ 7,33; λ 60,68. Aplicado-se a equação 5, chega-se aos seguites valores: TR 5 aos.: X TR 74,5 mm; TR 0 aos.: X TR 8,54 mm; TR 0 aos.: X TR 9,08 mm;

3 b) Estimativa de TR para as precipitações de 80 e 00 mm Distribuição de Gumbel Aplicado o iverso do complemeto da equação 36, chega-se a: P 80 mm.: TR 7 aos P 90 mm.: TR 7,4 aos Distribuição GEV Aplicado-se a iversa da equação 4, chega-se aos seguites valores: P 80 mm.: TR 0,6 aos P 90 mm.: TR 76 aos Distribuição Fréchet Aplicado-se o iverso da equação 47, chega-se aos seguites valores: P 80 mm.: TR 8, aos P 90 mm.: TR 3,4 aos Observa-se que a Distribuição GEV tede a superestimar o TR, especialmete para valores mais altos, por se caracterizar, este caso como uma distribuição Tipo III, a qual para valores máximos, cosiste de uma expoecial apeas, refletido em valores mais elevados. A partir de valores em toro de 80 mm (observar gráfico de ajuste), a distribuição GEV proporcioa ajustes mais distates dos valores de freqüêcia observados, o que ão ocorre com as outras duas distribuições. 4.7..6 Distribuição Log-ormal a parâmetros A fução desidade de probabilidades (FDP) desta distribuição a seguite: ( ) L x µ 0,5 FDP e σ (57) x σ π Os parâmetros são determiados por: i µ ( L( x) ) (58)

3 σ desvio padrão dos dados trasformados. Os valores dos parâmetros desta distribuição podem ser estimados com base a média e desvio padrão dos dados sem trasformação logarítmica. As equações são: µ 4 x L x + s (59) σ x + s L (60) x Esta distribuição se assemelha à Normal, porém, trabalhado-se com o logarítmo dos dados. A variável reduzida k TR é o próprio valor de z utilizado a Distribuição Normal. Assim, a equação geral de Ve Te Chow é trabalhada da seguite forma: µ + x TR e σ k TR (6) 4.7..7 Distribuição Log-ormal a 3 parâmetros estrutura: Neste caso, a FDP é dada em fução de 3 parâmetros, tedo-se a seguite FDP : f ( x) ( ) L xβ µ 0,5 e σ, com x β. (6) σ π ( x β) Para estimar os parâmetros da distribuição log-ormal, com base uma série histórica de dados, as seguites equações são aplicadas: s β x η y y 3 ( φ ) η (64) 3 φ ( γ + ) 4 0, 5 γ + φ (65) (63)

33 Com base o coeficiete de assimetria - Ca (equação ) calcula-se γ. Com isto, estima-se φ (equação 65), η y (equação 64) e com base este último valor e a média e desvio padrão dos dados, o parâmetro β, a equação 63. Os parâmetros calculados com base as seguites equações: µ e σ são ( ηy ) s µ L 0,5 L + (66) ηy ( ηy ) σ L + (67) Neste caso, a variável x TR é calculada por: µ + ktr σ x e + β (68) TR Exemplo de Aplicação 4.5 Determiar a precipitação provável para 0, 75 e 90% de probabilidade, com base a série histórica de precipitação associada ao o decêdio (Tabela 4.6) do mês de jaeiro, de 960 a 98, para a cidade de Lavras, MG. Calcule também, o TR para uma precipitação decedial de 30 mm os primeiros 0 dias de jaeiro. Aplique as distribuições log-ormal P, log-ormal 3P e GEV. o ) Aplicação da Distribuição Log-ormal a parâmetros A precipitação provável sugere um estudo probabilístico de valores míimos a serem garatidos, ou seja, visa-se à uma probabilidade de um dado valor x superar um xi. Esta situação diz respeito, portato, à probabilidade de excedêcia. O cálculo dos parâmetros µ e σ foi feito com base o cálculo da média dos dados logaritmizados, obtedo-se para o primeiro 4,358 e para o segudo 0,8985. - Para 0% de probabilidade, P(x>xi) 0%.: P(x<xi) 90%. Da tabela de z, o valor deste, para 90% de probabilidade, é,8. Assim, a precipitação provável associada a esta probabilidade: µ + ktr σ 4,358 +,8 0,8985 x e TR e 46,7 mm. Disto coclui-se que, com uma probabilidade de 0%, a precipitação provável para os primeiros 0 dias de jaeiro é de 46,7 mm.

34 - Para 75% de probabilidade, P(x>xi) 75%.: P(x<xi) 0,5%. Da tabela de z, obtém-se valor aproximadamete igual a 0,67. Da mesma forma aterior, a precipitação provável será 4,78 mm. Espera-se uma precipitação míima para os primeiros 0 dias de jaeiro, de 4,78 mm, com 75% de probabilidade. - Para 90% de probabilidade, P(x>xi) 90%.: P(x<xi) 0%. Da tabela de z, obtém-se este aproximadamete igual a,8. Da mesma forma aterior, a precipitação provável será 4,7 mm. Tabela 4.6 Série histórica de precipitação associada ao º decêdio de jaeiro para Lavras, MG, o período de 960 a 98, e respectivas freqüêcias observadas. Ordem Precipitação F excedêcia Ordem Precipitação (mm) (mm) F excedêcia 90 0,04545 84,8 0,54545 53, 0,0909 3 78,5 0,5909 3 89,9 0,3636 4 69,9 0,63636 4 6,8 0,88 5 53,5 0,688 5 44,8 0,77 6 5,4 0,777 6 4, 0,773 7 4, 0,7773 7 40,3 0,388 8 9, 0,888 8 35,3 0,36364 9 5,5 0,86364 9,7 0,40909 0 7,6 0,90909 0 97,8 0,45455 8,4 0,95455 95,9 0,50000 Aalisado os resultados, observa-se que quato maior a probabilidade de um eveto exceder um dado valor, meor será o eveto, uma vez que a probabilidade do valor ser superado aumeta. Em cotrapartida, quato meor a probabilidade de excedêcia, maior será o valor, haja vista que o risco assumido é maior (a probabilidade do valor ser superado é maior). Para determiar o TR para uma precipitação míima de 340 mm, com base esta série histórica, procede-se da seguite forma: Determia-se k TR e com este valor, a tabela de z, a probabilidade de ãoexcedêcia. Determia-se etão a de excedêcia, e aplica-se a defiição de TR para variáveis cujos estudos iteressam a sua superioridade.

35 x k TR TR e µ + ktr σ 340 e 4,358 + ktr 0,8985,64 Na tabela de z, obtém-se uma P(x<xi) 0,94949 e P(x>xi) 0,0505. O TR será etão igual a 9,8 aos. A probabilidade do valor de 340 mm ser igualado ou superado, pelo meos uma vez, em 0 aos, é de 0,0505. o ) Aplicado-se o modelo Log-ormal a 3 parâmetros Neste caso, o procedimeto cosiste o cálculo da média, desvio padrão e coeficiete de assimetria dos dados. Assim: x 05,95 mm s 75,07 mm Ca 0,9845 φ γ + Aplicado a equação 65, em que Ca γ, determia-se φ : 0,5 ( γ + 4) 0,9845 + ( 0,9845 + 4) 0,5 0,63 Na seqüêcia, aplicado-se a equação 64, obtém-se: η 0,63 3 ( φ ) 0, 375 y 3 φ 3 0,63 3 dados: Com a equação 63, determia-se o 3 o parâmetro, que represeta a assimetria dos s β x η y 05,95 75,07 0,375 30,47 Com estas iformações, estima-se µ e σ com as equações 66 e 67: 75,07 ( ηy + ) L 0,5 L( 0,375 + ) 5, 48 s µ L 0,5 L ηy 0,375