PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO MATEMÁTICA Rosane Soares Morera Vana, Luz Cláudo Perera, Lucy Tem Takahash, Olímpo Hrosh Myagak QUESTÕES OBJETIVAS Em porcentagem das emssões totas de gases do efeto estufa, o Brasl é o quarto maor poludor, conforme a tabela abao: Classfcação País Porcentagem o Estados Undos 5,8 o Chna,9 o Brasl 5, 7 o Japão, 9 o Malása, o Canadá,8 (Apocalpse já Veja, São Paulo, n 96, p 8, 6 jun 6 Adaptado) É CORRETO afrmar que a porcentagem de gases emtdos juntamente por Japão e Canadá, em relação aos gases emtdos pelo Brasl, é apromadamente: a) 9,% b) 9,7% c) 9,% d) 9,6% e) 9,5% NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Porcentagem RESPOSTA: Letra (d) Pela tabela acma tem-se que Japão e Canadá juntos emtem 5 % do total de gases do efeto estufa Como o Brasl emte 5,%, decorre, por uma regra de três smples, que 5 de 5, correspondem a 5 9,6%, 5, que é a porcentagem de gases emtdos juntamente por Japão e Canadá, em relação aos gases emtdos pelo Brasl
RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 7 No jogo abao, o jogador precsa descobrr em quas dos otenta e um quadradnhos estão colocadas bombas No quadradnho onde aparece um número é certeza que não há uma bomba Por sua vez, o número que aparece dentro do quadradnho ndca quantas bombas há nos oto quadradnhos que o cercam Por eemplo, o número ndca que há duas bombas espalhadas nos oto quadradnhos que cercam o número Consdere Q a regão delmtada pelo quadrado que contém o número, formada por nove quadradnhos; e R a regão delmtada pelo retângulo que contém os números e, formada por dezoto quadradnhos Baseado nestas nformações, assnale a afrmatva INCORRETA: a) As bombas podem estar dstrbuídas na regão Q de 8 maneras dstntas b) A probabldade de o jogador escolher um quadradnho que não contenha bomba é maor na regão R do que na regão Q c) A probabldade de o jogador escolher um quadradnho na regão Q que contenha uma bomba é gual a,5 d) A probabldade de o jogador escolher um quadradnho que não contenha uma bomba na regão R é gual a,75 e) As bombas podem estar dstrbuídas na regão R de 8 maneras dstntas ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE Cálculo combnatóro: combnações Probabldade: concetos báscos RESPOSTA: Letra (b) a) Na regão Q há duas bombas, b e b, espalhadas nos oto quadradnhos que cercam o número Como, por eemplo, uma dstrbução na qual b está no prmero quadradnho e b no segundo representa a mesma dstrbução que aquela onde b está no segundo quadradnho e b no prmero, temos uma combnação de oto quadradnhos tomados dos a dos Dessa forma, o número de maneras dstntas é dado por: 8! 8! 6! 7 8 7 8 C 8, 8! 8!! 6!! 6! Portanto, a afrmatva (a) é CORRETA ( ) b) Na regão R, há quatro bombas que estão dstrbuídas em dezesses quadradnhos Logo, o número de casos favoráves a não encontrar uma bomba é Assm, a probabldade do jogador escolher um quadradnho que não contenha uma bomba na regão R é,75 6
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO Por outro lado, na regão Q há duas bombas que estão dstrbuídas em oto quadradnhos Logo, o número de casos favoráves a não encontrar uma bomba é 6 e, portanto, a probabldade do jogador escolher um quadradnho que não contenha uma bomba na regão Q é 6,75 8 Deste modo a probabldade é a mesma nas regões R e Q Portanto, a afrmatva (b) é INCORRETA c) Utlzando o tem (b) tem-se que a probabldade do jogador escolher um quadradnho na regão Q que contenha uma bomba é gual a,75,5 Portanto, a afrmatva (c) é CORRETA d) Pelo tem (b) segue que a probabldade de escolher um quadradnho que não contenha uma bomba na regão R é,75 Portanto, a afrmatva (d) é CORRETA e) O número de maneras dstntas de dstrbur três bombas nos oto quadradnhos que cercam o número é dado por C 8, e o número de maneras dstntas de dstrbur uma bomba nos oto quadradnhos que cercam o número é dado por C 8, Pelo prncípo multplcatvo, as bombas podem ser dstrbuídas na regão R de Portanto, a afrmatva (e) é CORRETA 8! 8! 8 7 6 C8, C8, 8 8 maneras!! 6 ( 8 )!! ( 8 ) Seja Ω { A,B, C,D,E,F, G,H,I, J,K,L, L, X,Y,Z }, conjunto das letras do alfabeto braslero (nclundo K, W, Y) Consdere Ω um subconjunto de RI e f : Ω Ω a função defnda por f ( A), f ( B) 7, f ( C), f ( D) 87 e assm por dante Suponha, anda, que f é bjetora e que f é sua nversa Calculando 9 5 f () f ( ) f ( ) f ( ) e mantendo esta ordem, obtém-se a palavra: a) A N E L b) A L G O c) A L E M d) A M E I e) A N I L FUNÇÕES Função Inversa RESPOSTA: Letra (c)
RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 7 De acordo com o enuncado, temos que f (A) f ( B ) f (C) f (D) M 7 87 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) Como a dsposção dos elementos de Ω é a ordem das letras do alfabeto braslero (nclundo K, W e Y), a letra A está na posção, a B na posção, a C na posção, a D na posção, e assm sucessvamente Portanto, a função pode ser dada de acordo com a segunte regra: Desta forma, tem-se [ (posção da letra) ] f (letra) f ( ) f ( ) A, que é a letra na posção ( f ) f ( ) L, que é a letra na posção ( 9 5 f ) f ( ) E, que é a letra na posção 5 ( 5 Mantendo esta ordem, obtém-se a palavra: A L E M f ) f ( ) M, que é a letra na posção Com uma chapa de aço na forma de um setor crcular AOB, de ângulo central α AOB radanos e rao r, constró-se um recpente na forma de um cone crcular reto, unndo os segmentos OA e OB, conforme lustra a fgura abao A B A B A B α O O O α r O volume do cone assm obtdo é V α Dmnundo em % o valor de r e mantendo constante o ângulo central α, a capacdade do recpente, em porcentagem, dmnu em: a) 5,% b) 58,8% c) 9,8% d) 8,8% e) 5,% GEOMETRIA NO ESPAÇO Volumes dos sóldos: cone (e respectvos troncos) NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Porcentagens RESPOSTA: Letra (d)
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO 5 Tem-se que V α α r é o volume do recpente Dmnundo em % o valor de r, obtém-se um novo cone de rao,8 r e volume V dado por ( ) V,5 (,8),8 V α α α α r r Assm, o novo recpente tem capacdade de 5,% do orgnal Portanto, a capacdade do recpente, em porcentagem, dmnu em 8,8% 5 A área do polígono cujos vértces são as raízes compleas da equação ) ( z é gual a: a) 9 b) 8 c) d) 6 e) CONJUNTOS NUMÉRICOS Números reas: potencação e radcação Números compleos: forma polar, raízes n-ésmas de números compleos, representação geométrca dos números compleos GEOMETRIA PLANA Área de polígonos RESPOSTA: Letra (e) Consdere z w Logo ) ( z w Devemos determnar CI k z tal que + k k w z, onde CI k w e k w Como a forma trgonométrca do número compleo é ( ) + sen cos, segue pela segunda fórmula de De Movre que + + + sen cos k k w k, onde k assume os valores,, ou Logo, as raízes quartas do número compleo são: w + + + sen cos o w + + + sen cos w + 5 sen 5 cos w + 7 sen 7 cos
6 RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 7 Desta forma, as raízes compleas da equação ( z ) são: z o wo + +, cujo afo é o ponto P o (,) z w + +, cujo afo é o ponto P (,) z w +, cujo afo é o ponto P (, ) z w +, cujo afo é o ponto P (, ) Como os pontos P o, P, P e P são vértces de um quadrado de lado, a área do polígono formado é de undades quadradas 6 Sob duas ruas paralelas de uma cdade serão construídos, a partr das estações A e B, passando pelas estações C e D, dos túnes retlíneos, que se encontrarão na estação X, conforme lustra a fgura abao X túnel túnel C D rua km,5 km A B rua A dstânca entre as estações A e C é de km e entre as estações B e D, de,5 km Em cada um dos túnes são perfurados m por da Sabendo que o túnel demandará 5 das para ser construído e que os túnes deverão se encontrar em X, no mesmo da, é CORRETO afrmar que o número de das que a construção do túnel deverá anteceder à do túnel é: a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5 GEOMETRIA PLANA Paralelsmo Semelhança e congruênca de fguras planas UNIDADES DE MEDIDAS Meddas de comprmento Transformações das undades de meddas RESPOSTA: Letra (c) Como o túnel demandará 5 das para ser construído e são perfurados metros por da, podemos afrmar que o túnel mede 5 metros da estação A até a X Logo, a dstânca da estação C até a X é metros ( km m) Pelo Teorema de Thales, segue que CX DX DX DX metros AC BD 5 Assm, o túnel mede 5 metros da estação B até a estação X Então sua construção demandará 5 75 das Portanto, para que os túnes encontrem-se em X, no mesmo da, a construção do túnel deverá anteceder à do túnel em 75 5 5 das
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO 7 7 Sejam a e b números reas tas que a reta de equação ( b + a) + y + b é paralela ao eo das abscssas e ntercepta a bssetrz dos quadrantes pares no ponto de abscssa 6 O valor de a é: a) 9 b) 6 c) d) 9 e) GEOMETRIA PLANA Paralelsmo GEOMETRIA ANALÍTICA As equações da reta Posções relatvas de retas MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES Dscussão e resolução de sstemas de equações lneares RESPOSTA: Letra (d) b + a b A forma reduzda da equação da reta ( b + a) + y + b é y Logo, o coefcente b + a angular dessa reta é m Sendo que a reta é paralela ao eo das abscssas e que ntercepta a bssetrz dos quadrantes pares no ponto de abscssa 6, para determnar o valor de a, basta resolver o sstema b + a b + a Desta forma, segue que b e a 9 ( 6 ) b 6 b + a b 6 6 8 Uma empresa de entrega de mercadoras possu váras flas em uma cdade A fm de mamzar a dstrbução, a empresa dvdu a cdade em 5 setores, desgnando um número natural a cada setor A tabela abao mostra parte do quadro de dstrbução de uma das flas desta empresa, sendo que os demas setores seguem a forma de dstrbução apresentada Das da Semana Setor Segunda 7 Terça 6 Quarta 8 Qunta 5 Seta 9 5 Sábado O da da semana em que essa flal atenderá o setor 75 é: a) sábado b) qunta c) segunda d) seta e) quarta
8 RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 7 CONJUNTOS NUMÉRICOS Números naturas e nteros: operações fundamentas RESPOSTA: Letra (b) Note que no quadro de dstrbução há 6 das da semana e que, ao dvdr um número natural n por 6, obtém-se um quocente q e um resto r de tal forma que n q + r r,,,,, 5 Observe 6, onde { } também que na segunda, terça, quarta, qunta, seta e sábado estão os setores cujos números, ao serem dvddos por 6, deam resto,,, 5, e, respectvamente Como a dvsão de 75 por 6 dea resto 5, conclu-se que o setor 75 está na qunta 9 Consdere f : IR IR uma função real defnda por cartesano que melhor representa a função f é: cos f ( ) det sen O gráfco sen cos a) y b) y c) y d) y e) y MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES Prncpas propredades de determnantes FUNÇÕES Gráfco de função TRIGONOMETRIA Funções Crculares: funções seno, cosseno
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO 9 RESPOSTA: Letra (a) Desenvolvendo a epressão da função f tem-se cos f ( ) det sen cos sen + sen cos sen cos cos sen cos() sen cos Note que o arco eecuta uma volta completa no cclo se vara entre e Isso sgnfca que o período da função f é Além dsso, tabelando alguns valores da função f tem-se: f ( ) cos() Portanto, o gráfco cartesano que melhor representa a função f é: y Um satélte descreve uma órbta elíptca em torno da Terra Consderando a Terra como um ponto na orgem do sstema de coordenadas, a equação da órbta do satélte é dada por 9 + 5 y 88 96, onde e y são meddos em mlhares de qulômetros Nessas condções, é CORRETO afrmar que: a) a menor dstânca do satélte à Terra é 6 km b) a dstânca do ponto ( 6,) da órbta do satélte à Terra é 8 km c) a maor dstânca do satélte à Terra é 6 km d) a órbta do satélte passa pelo ponto de coordenadas (,6) e) a ecentrcdade da órbta do satélte é CÁLCULO ALGÉBRICO Operações com epressões algébrcas Produtos notáves CONJUNTOS NUMÉRICOS Números reas: valor absoluto GEOMETRIA ANALÍTICA Seções côncas: elpse RESPOSTA: Letra (c)
RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 7 A órbta do satélte é descrta pela equação 9 + 5 y 88 96 Nesta equação, completando, separadamente, o quadrado perfeto nas varáves e y, segue que 9 + 5 y 88 96 9 + 5 y 88 96 9 ( ) + 5 y 96 9 ( + 6 ) + 5 y 9 6 + 96 9 ( 6) + 5 y 6 ( 6) ( y ) + ( ) A epressão ( ) é a equação reduzda da elpse que representa a órbta do satélte Como a Terra está na orgem do sstema de coordenadas e o eo maor da órbta está ao longo do eo das abscssas, a maor dstânca ocorre no ponto de coordenadas ( a, ) sobre a elpse, conforme o esboço abao Terra ( a,) Substtundo as coordenadas do ponto ( a, ) na equação ( ), tem-se ( a 6) ( ) + ( a 6) a 6 a + 6 6 ou a + 6 Portanto, a maor dstânca do satélte à Terra, em mlhares de qulômetros, é 6 ou, equvalentemente, 6 km Se a, b, e c são raízes reas do polnômo p ( ) + + 9 +, então log( a + b + c ), onde log denota logartmo decmal, é: a) b) c) d) e) POLINÔMIOS Equações polnomas: relações de Grard FUNÇÃO LOGARÍTMICA Defnção e propredades RESPOSTA: Letra (e)
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO De acordo com as relações de Grard, tem-se que abc, 9 ab + ac + bc, a + b + c Como ( a + b + c) a + b + c + ( ab + ac + bc), segue que consegunte, log( a + b + c ) log log 9 a + b + c ( ) e, por Mona verfcou que o preço de um televsor era R$ 8, Após uma semana, retornou à mesma loja e constatou que o preço da mesma televsão fora reajustado em mas 5% O desconto que Mona deve receber para que o valor da televsão retorne ao preço anteror é, apromadamente, de: a) % b),5% c) % d),5% e) 5% NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Regra de três smples e composta Porcentagens RESPOSTA: Letra (a) 5 Como 5% de 8 representam 8 6, o novo preço do televsor passará a ser, em reas, 8 + 6 966 Por uma regra de três smples, decorre que 6 de 966 correspondem, em porcentagem, a 6, que vale apromadamente % 966 Dzemos que ( a, f ( a)) é um ponto fo do gráfco de uma função real f : IR IR se f ( a) a Se f ( ) + 8 + 6, então a dstânca entre os pontos fos do gráfco de f é: a) 7 b) c) 8 d) 5 e) 6 CÁLCULO ALGÉBRICO Operações com epressões algébrcas FUNÇÃO DO O ANALÍTICA Dstânca entre dos pontos GRAU Zeros GEOMETRIA
RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 7 RESPOSTA: Letra (d) De acordo com o enuncado, ( a, f ( a)) é ponto fo do gráfco da função f se a satsfaz à condção f ( a) a, ou seja, a + 8 a + 6 a Desta epressão, obtém-se a equação a + 7 a + 6, cujas raízes são a e a 6 Deste modo, os pontos fos do gráfco de f são (, ) e ( 6, 6) Portanto, a dstânca entre os pontos fos do gráfco de f é ( 6 + ) + ( 6 + ) 5 Sejam f e g funções reas tas que f ( g ( )) + e g ( ), para todo IR A partr dessas nformações, consdere as seguntes afrmatvas, atrbundo V para a(s) verdadera(s) e F para a(s) falsa(s): ( ) As raízes de f são e ( ) O produto de f () e g ( f (7)) é gual a 6 ( ) O resto da dvsão de f ( g ( ) ) por g () é gual a ( ) Para todo tem-se que f ( g ( )) A seqüênca CORRETA é: a) F, F, V, F b) V, F, V, F c) F, V, V, F d) V, V, F, V e) F, V, F, V FUNÇÕES Composção de funções FUNÇÃO DO O GRAU Zeros FUNÇÃO DO O GRAU Inequações produto CÁLCULO ALGÉBRICO Operações com epressões algébrcas POLINÔMIOS Teorema do Resto RESPOSTA: Letra (b) Sendo a, temos que a + Agora, de acordo com o enuncado, f ( ) + a + a + consegunte, f ( a ) + e, desenvolvendo esta epressão, obtém-se partr dsso pode-se analsar cada uma das afrmatvas: ( V ) As raízes de f são e De fato, as raízes de f são as soluções da equação f ( a), ou seja, os números e ( F ) O produto de f () e g ( f (7)) é gual a 6 Por f ( a) a A 7 Com efeto, f (7) e f () Logo g ( f ( 7 ) ) g( ) e, conseqüentemente, f ( ) g( f (7))
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO ( V ) O resto da dvsão de f ( g ( ) ) por g () é gual a De fato, pelo Teorema do Resto, tem-se que o resto da dvsão de f ( g ( ) ) por g () é gual a f g Como g, segue que ( F ) Para todo tem-se que f ( g ( )) f g () f Com efeto, f ( g ( ) ) + ( ) De acordo com o dspostvo prátco abao snal de : snal de : snal de ( ): + + conclu-se que f ( g ( )) é válda para todo + + + Portanto, a seqüênca CORRETA é: V, F, V, F 5 Um pecuarsta fca sabendo que seus anmas devem ngerr daramente 6 g do nutrente A e g do nutrente B Este pecuarsta dspõe de três tpos de ração, com as seguntes característcas, por qulograma: A ração I contém 5 gramas do nutrente A e 8 gramas do nutrente B; custa R$, A ração II contém 5 gramas do nutrente A e gramas do nutrente B; custa R$, A ração Ш contém 5 gramas do nutrente A e 8 gramas do nutrente B; custa R$ 8, O pecuarsta pretende msturar as rações І, II e Ш, de manera que seus anmas possam ngerr a quantdade de nutrentes recomendada Se, além dsso, ele deseja gastar eatamente R$,, é CORRETO afrmar que: a) é mpossível o pecuarsta fazer a mstura de modo que seus anmas possam ngerr daramente 6 g do nutrente A, g do nutrente B e gastar eatamente R$, b) é possível o pecuarsta fazer a mstura combnando kg da ração I, kg da ração II e kg da ração Ш c) a mstura deve ser feta combnando kg da ração I, kg da ração II e kg da ração Ш d) estem váras formas de fazer a mstura de modo que seus anmas possam ngerr daramente 6 g do nutrente A, g do nutrente B e gastar eatamente R$, e) a mstura deve ser feta combnando kg da ração I, kg da ração II e kg da ração Ш MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES Dscussão e resolução de sstemas de equações lneares RESPOSTA: Letra (a) Os dados do problema podem ser organzados, conforme a tabela abao: Nutrente A Nutrente B Preço/kg ração I 5 g 8 g R$, ração II 5 g g R$, ração Ш 5 g 8 g R$ 8,
RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 7 Sejam, y e z as quantdades, em kg, das rações І, II e Ш, respectvamente, que devem ser msturadas De acordo com o enuncado, para consegur a quantdade recomendada dos nutrentes A e B, gastando eatamente R$,, as ncógntas, y e z devem satsfazer o segunte sstema de equações: ou, equvalentemente, 5 + 5y + 5z 6 8 + y + 8z + y + 8z + y + z + y + z + y + 8z () ( ) ( ) Subtrando, membro a membro, as equações ( ) e ( ), obtém-se z Por outro lado, multplcando, membro a membro, a equação ( ) por e subtrando, membro a membro, da equação ( ), tem-se z Como, decorre que o sstema não tem solução, ou seja, é mpossível o pecuarsta fazer a mstura do modo requerdo QUESTÕES DISCURSIVAS Em computação gráfca, quando um programa altera a forma de uma magem, está transformando cada ponto de coordenadas (, y), que forma a magem, em um novo ponto de coordenadas ( a, b) A fgura ao lado lustra a transformação da magem na magem (, y) ( a, b) Um dos procedmentos que consste em transformar o ponto (, y) no ponto ( a, b) é realzado, através de operações com matrzes, de acordo com as seguntes etapas: Fe duas matrzes nvertíves M e E, de ordem, e consdere M a matrz nversa de M Etapa : Etapa : Tome P e Q as matrzes cujas entradas são as coordenadas dos pontos (, y) e ( a, b), a respectvamente, sto é, P e Q y b magem Etapa : Obtenha Q a partr de P por meo da epressão Q E M P magem Consderando estas etapas e as matrzes a) a nversa de M M e E, determne: b) o ponto ( a, b) que é obtdo do ponto (, ) por meo da epressão Q E M P MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES Multplcação de matrzes Inversão de matrzes Resolução de sstemas de equações lneares
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO 5 u v a) Consderando M, segue, por defnção, que z w u v M M z w Efetuando o produto e utlzando a gualdade de matrzes, obtêm-se os sstemas: cujas soluções são u + z u + z z, u, w e 6 e v Portanto, 6 6 M 6 v + w v + w b) Pelo tem a) decorre que Q 6 6 Efetuando o produto de matrzes obtém-se epressão Q E M P é o ponto (, ) Q Portanto, a magem do ponto (, ) por meo da Uma fábrca deseja produzr uma chapa retangular a partr de uma chapa metálca que tem a forma de um trângulo sósceles Suponha que A, B e C são os vértces da chapa trangular; que D, E, F e G são os vértces da chapa retangular; e que AB AC m e A BC ˆ 6o, conforme lustra a fgura ao lado Determne: a) o coefcente angular da reta que passa pelos pontos A e B G y A D b) a área S da chapa retangular em função de o, onde o é a abscssa do ponto D C F E 6 o B c) as dmensões, em metros, da chapa retangular para que sua área seja máma TRIGONOMETRIA Seno, cosseno e tangente Relações trgonométrcas em trângulo retângulo CÁLCULO ALGÉBRICO Operações com epressões algébrcas CONJUNTOS NUMÉRICOS Números reas: operações fundamentas FUNÇÃO DO O GRAU Estudo do vértce da parábola: coordenadas do vértce, valor mámo ou valor mínmo a) O coefcente angular da reta que passa pelos pontos A e B é dado por tgo tg6o
6 RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 7 b) O ponto E tem coordenadas ( o, ), pos o é a abscssa do ponto D Além dsso, como o trângulo ABC é sósceles, o ponto F tem coordenadas ( o, ) Deste modo, a largura da chapa é EF o ( o ) o Agora, sejam ( b, ) as coordenadas do ponto B e O a orgem do sstema de coordenadas Como o trângulo AOB é retângulo e AB m, tem-se que OB cos 6o b b AB Por outro lado, o trângulo BDE é retângulo e BE o, pos B (, ) e E( o, ) Assm, DE DE tg6o, BE e, por consegunte, a altura da chapa é DE ( ) Como a chapa tem a forma de um retângulo, sua área S em função de o é dada por S EF DE ( ) c) A área da chapa retangular é máma no vértce da parábola de equação S o ( o ) Como a abscssa do vértce é o ponto médo das raízes de S, segue que + v Portanto, a chapa retangular de área máma tem largura e altura, em metros, guas a EF e DE ( ) o o o o Durante uma tempestade, um pequeno avão sau da cdade A com destno à cdade C, dstante 95 km Quando o avão estava no ponto D, dstante 7 km do ponto de partda, o ploto detectou que o avão se desvara do seu curso segundo a trajetóra AE, conforme lustra a fgura ao lado Sendo α o o ângulo para um curso paralelo a AC e β o ângulo tal que α + β é o ângulo de correção para que o avão chegue à cdade C, calcule: (Consdere, 7 ) a) a dstânca entre B e D C B β α D E b) o ângulo de correção GEOMETRIA PLANA Paralelsmo e perpendcularsmo TRIGONOMETRIA Seno, cosseno, tangente Relações trgonométrcas em um trângulo retângulo A a) Uma vez que o curso determnado pelo ângulo α o é paralelo a AC, conclu-se que o ângulo CAD ˆ é gual a o e o ângulo BCD ˆ é gual a β Como o trângulo ABD é retângulo e AD 7, segue que Portanto, BD BD sen o AD 7 BD 7 5
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO 7 b) Note que Conseqüentemente, e, uma vez que AC 95, AB AB cos o AD 7 AB 7 5,7 595 BC AC - AB 95 595 5 Como o ângulo BCD ˆ é gual a β e o trângulo BCD é retângulo, tem-se que BD 5 tg β BC 5 Assm, β 5o e, por consegunte, o ângulo de correção requerdo é α + β o + 5o 75o A fm de medr a magntude de um terremoto, os ssmólogos Charles Francs Rchter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Rchter em 95 Nesta escala, o maor terremoto já regstrado fo o Grande Terremoto do Chle, em 96, atngndo a magntude de 9,5, segudo do ocorrdo na Indonésa, em, que atngu a magntude de 9, Na escala Rchter, a magntude M é dada por M log A log A onde log denota logartmo decmal, A é a ampltude máma medda pelo ssmógrafo e A é uma 7 ampltude de referênca padrão Sabe-se também que a energa E, em ergs ( erg Joules), lberada em um terremoto está relaconada à sua magntude M por meo da epressão A partr das nformações acma, faça o que se pede: log E,8 +, 5 M a) Sabendo que no ltoral do Brasl, em 955, fo regstrado um terremoto de magntude 6, na escala Rchter, determne a razão entre as energas lberadas nos terremotos ocorrdos na Indonésa e no Brasl b) Consderando A a ampltude máma de um terremoto e E sua energa, e A a ampltude máma de outro terremoto e E sua energa, determne k tal que k A E A E CONJUNTOS NUMÉRICOS Números reas: operações fundamentas FUNÇÃO LOGARÍTMICA Defnção e propredades CÁLCULO ALGÉBRICO Operações com epressões algébrcas a) Sejam E e E b as energas lberadas nos terremotos ocorrdos na Indonésa e no Brasl, respectvamente Então, de acordo com o enuncado, Deste modo, e, conseqüentemente, log E,8 +,5 9, 5,75 e log E,8 +,5 6,, 5 E log log E log Eb,5 E b E E b,5 b
8 RESOLUÇÃO PROCESSO SELETIVO 7 b) Consdere M a magntude de um terremoto e M a magntude do outro De acordo com o enuncado, e, por consegunte, Além dsso, Assm M log A log A e M log A log A A M log M log A log A ( ) A log E + M E + M,8, 5 e log,8, 5 E log log E log E,5 ( M M ) ( ) E Das epressões ( ) e ( ), segue que E A E log,5 log log E A E A log A Portanto, k A log A A A E E A log A E log E E log E / / 5 Durante um tratamento médco verfcou-se que a concentração C, em mlgramas por ltro, de um certo medcamento na corrente sanguínea satsfaz a desgualdade ( C) C C a) Verfque se a concentração do medcamento na corrente sanguínea pode ser gual a,5 mlgramas por ltro Justfque, mostrando seus cálculos b) Determne o menor valor da concentração deste medcamento na corrente sanguínea Justfque, mostrando seus cálculos CONJUNTOS NUMÉRICOS Números reas: operações fundamentas, valor absoluto FUNÇÃO MODULAR Equações e nequações modulares CONJUNTOS Representação de um conjunto Operações com conjuntos: unão Sabemos que C se C C e C se C < a) Fazendo C,5 e utlzando a defnção de módulo, obtém-se C se C C C se C < ( C) C C (,5),5,5,5,5,5,75 que não satsfaz a nequação ( C) C C Logo a concentração do medcamento na corrente sanguínea não pode ser gual a,5 b) Como C então a desgualdade dada é equvalente a Neste caso temos de analsar duas possbldades: ( C) C C
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO 9 (I) Se C <, tem-se que C > e ( C) C C ( C) C ( C) ( C) (C ) Assm, C < e C Daí, S {C IR C < } (II) Se C, tem-se que C e ( C) C C ( C) C ( C ) ( C ) ( C ) Assm, C e C Daí, S Então, a solução da nequação dada é S < S S {C IR C } Portanto, o menor valor da concentração deste medcamento na corrente sanguínea é