Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo 5 Aula 9 Mudança de Variáveis na Integral Tripla Objetivo Aprender a faer mudança de variáveis em integrais triplas Estudar a mudança de variáveis ciĺındricas Aqui temos um resultado similar à mudança de variáveis em integral dupla: ) f,,) ddd u,v,w),u,v,w),u,v,w) J dudvdw onde é o jacobiano da mudança de variáveis e uvw ϕ) uvw f J,,) u,v,w) ϕu,v,w),,) u,v,w),u,v,w),u,v,w) ) Um caso particular de mudança de variáveis Coordenadas ciĺındricas
Cálculo III-A Módulo 5 2 As coordenadas ciĺındricas r, θ, ) são definidas por rcosθ rsenθ 2 + 2 r 2 com r, θ θ θ +2π, para algum θ e R θ r P As coordenadas r e θ são as mesmas que as coordenadas polares e, portanto, as suas variações são encontradas na projeção de no plano A variação de é encontrada diretamente no sólido Supondo que 1,) 2,), então a variação de será 1 rcosθ,rsenθ) 2 rcosθ,rsenθ) Calculando o jacobiano da transformação ciĺındrica, encontramos Logo, J,,) r,θ,) r Verifique!) f,,) ddd rθ f rcosθ,rsenθ,)r drdθd é a fórmula da integral tripla em coordenadas ciĺındricas Eemplo 1 Calcule 2 + 2 ) ddd, sendo o sólido limitado pelo cilindro 2 + 2 1, pelo plano e pelo paraboloide 4 2 2 Solução: De 4 2 2 e 2 + 2 1, temos Isso significa que as superfícies apresentam interseção no plano O esboço de é: Passando para coordenadas ciĺındricas, temos rcosθ rsenθ ddd r drdθd 2 + 2 r 2
Cálculo III-A Módulo 5 4 4 2 2 P,,) 1 1 Seja P,,) Uma reta por P, paralela ao eio, intercepta a fronteira de em e 4 2 2 4 r 2 Logo, 4 r 2 Como a projeção de no plano é o disco 2 + 2 1, então r 1 e θ 2π Logo o conjunto rθ é dado por: r 1 rθ : θ 2π 4 r 2 Temos, 2 + 2) ddd 2 + 2) ddd r 2 rdrdθd rθ r drdθd rθ π r 2π r [ 2 2 4 r 2 ] 4 r 2 2π ddθdr r 4 r 2 ) 2 dr dθdr
Cálculo III-A Módulo 5 4 π π 67π 24 16r 8r 5 +r 7) dr [ 4r 4 4r6 + r8 8 ] 1 Aula 1 Integral Tripla em Coordenadas Esféricas Objetivo Estudar a mudança de variáveis esféricas As coordenadas esféricas ρ, φ, θ) são definidas por ρsenφcosθ ρsenφsenθ 2 + 2 + 2 ρ 2 ρcosφ com ρ, φ π, θ θ θ +2π, para algum θ θ φ ρ P A coordenada ρ mede a distância do ponto P à origem portanto ρ ) A coordenada θ éamesma queacoordenadaciĺındrica esuavariaçãoéencontrada naprojeção de noplano Acoordenada φ é o ângulo entre o eio positivo onde φ ) e a semirreta OP A variação máima de φ é φ π Calculando o jacobiano da transformação esférica, temos: Logo, J,,) ρ,φ,θ) ρ2 senφ Verifique!) f,,)dv ρφθ f ρsenφcosθ,ρsenφsenθ,ρcosφ)ρ 2 senφ dρdφdθ
Cálculo III-A Módulo 5 5 é a fórmula da integral tripla em coordenadas esféricas Eemplo 1 Calcule o volume da esfera : 2 + 2 + 2 a 2, a > ) Solução: O esboço de é: a a a Passando para coordenadas esféricas, temos ρsenφcosθ ρsenφsenθ ρcosφ dv ddd ρ 2 senφdρdφdθ 2 + 2 + 2 ρ 2 A equação da esfera 2 + 2 + 2 a 2 fica ρ a Logo, o conjunto ρφθ é dado por: ρ a ρφθ : φ π θ 2π
Cálculo III-A Módulo 5 6 Como V) ddd então: V) ρφθ ρ 2 senφdρdφdθ a 2π ρ 2 π a 2π [ cosφ ] π [ 4π 2π senφ dθdφdρ π ρ 2 senφdφdρ ] a ρ 4πa uv a ρ 2 dρ Eemplo 2 Calcule o volume do elipsoide : 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 1, a,b,c > ) Solução: Façamos a mudança de variáveis Temos Logo, O elipsoide : 2 + 2 a 2 V) ddd, então: J,,) u,v,w) b 2 + 2 V) J dudvdw abc uvw au bv cw a b c ddd J dudvdw abcdudvdw abc c 2 1 é transformado na esfera uvw : u 2 + v 2 + w 2 1 Como uvw dudvdw abcv uvw ) abc 4 π 1 4 πabc
Cálculo III-A Módulo 5 7 Eercício 1: Calcule 2 + 2) dv, onde é a região interior ao cilindro 2 + 2 1 e à esfera 2 + 2 + 2 4 Eercício 2: Calcule 2 + 2 dv, onde é a região limitada por 2 + 2 4 e 4 2 2 Eercício :Useaintegraltriplaparacalcularovolumedosólido acimadoparaboloide 2 + 2 e abaio do cone 2 + 2 Eercício 4: Calcule 2 + 2 + 2) dv, sendo a região limitada superiormente pela esfera 2 + 2 + 2 16 e inferiormente pelo cone 2 + 2 Eercício 5: Calcule o volume do sólido que está dentro da esfera 2 + 2 + 2 4, acima do plano e abaio do cone 2 + 2 Eercício 6: Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral π/ 2π secφ ρ 2 senφ dρdθdφ Eercício 7: Verificar que o centro de massa de uma esfera de raio 1 coincide com o seu centro, sabendo-se que a sua distribuição de massa é homogênea Eercício 8:Calculeomomento deinérciaemrelaçãoaoeio dosólidolimitadopor 4 2 2 e, sabendo que a densidade em um ponto é proporcional à distância de P ao plano