0 SÉRIE EM APOSTILA de MATEMÁTICA BÁSICA para FÍSICA
MATEMÁTICA BÁSICA Professor Afonso Oliveira (www.afonsofisica.wordpress.com) ALUNO: N o : ÍNDICE GERAL I. Conjuntos numéricos; II. As quatro operações fundamentais (números decimais); III. Números relativos; IV. Frações ordinárias; V. Potências; VI. Radicais; VII. Operações algébricas; VIII. Equações do º grau; IX. Equações do º grau; X. Equações irracionais; XI. Inequações do º grau; XII. Proporcionalidade; XIII. Relações Trigonométricas; XIV. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções); XV. Noções de Geometria Plana e Espacial;
I - CONJUNTOS NUMÉRICOS Q Racionais São todas as decimais eatas ou periódicas diferente de zero Q = {...,,,...} Esta figura representa a classe dos números. Veja a seguir: I Irracionais São todas as decimais não eatas, não periódicas e não negativas I = {...,,,,...} 7 N Naturais São todos os números positivos inclusive o zero N = {0,,,,,,...} Não há números naturais negativos Z Inteiros São todos os números positivos e negativos inclusive o zero Z = {..., -, -, -, 0,,,,...} Não há números inteiros em fração ou decimal R Reais É a união de todos os conjuntos numéricos, todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real) Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo e o índice par
II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS DECIMAIS) ) Adição Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é a soma + = Parcelas Adição Soma Eemplos:, +, +,9 = 8,09 0 + + = 60 ou 67 =,66 60, 6,8 0,0 + + = = 9 9,66 Isto significa que qualquer número que for colocado no denominador seguindo o processo, chegará à mesma resposta. Com o MMC (mínimo múltiplo comum) você facilita seu trabalho ) Subtração Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a operação a subtração, e o resultado é o minuendo Subtração, +,,9 parcelas 8,09 soma Observe que as parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula. = Minuendo Subtraendo Diferença
Eemplos: As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar os mesmos eemplos apenas alterando a operação ) Multiplicação Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o resultado é o produto * = 66 Fatores Multiplicação Produto 8 6 8 * * = =,6 6 Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baio pelo de baio) ) Divisão Na divisão os números são chamados de dividendo (a parte que está sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte está sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente Eemplo: Divisão 7, *, = 9,00 7 / =,7 7, *, 660 6 7 9,00 fatores produto Na multiplicação começa-se operar da esquerda para a direita. Quando a multiplicação envolver números decimais (como no eemplo ao lado), soma-se a quantidade de casas após a vírgula. Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q) Eemplo: Eiste na divisão, o que pode-se chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é eata irá sempre sobrar um determinado valore, veja no eemplo a seguir:
8 / = 68 resto (r) Para verificar se o resultado é verdadeiro basta substituir os valores na seguinte fórmula: D = d * q + r 8 = * 68 + c),, = d) 8, = e), *, = f) 8, * 0,0 = g), *,00 = ) Casos particulares da multiplicação e divisão h) 8,708 /,6 = i) 68,9 / 0, = Multiplicação N * = N N * 0 = 0 Divisão j) 80, / 0 = 0, * 0, k) (FUVEST) =,,0 l) 0,0 *, * 0,0 m) 0,08 / 0, N / = N N / N = 0 / N = 0 N / 0 = n) o),*,8, 0,0*, 0,8 6) Eercícios a), +,08 +, = b),0 + 00 +, =
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o III - NÚMEROS RELATIVOS Definição: É o conjunto dos números positivos, negativos e o zero, que não possuem sinal. 7) Valor absoluto ou Módulo É um número desprovido de seu sinal. Suprimindo o sinal de um número relativo, obtemos um número aritmético, que se denomina valor absoluto ou módulo desse número relativo, sendo representado pelo símbolo. 9 9 Eemplos: 0 0 7 7 8) Soma e subtração algébrica Sinais iguais: Soma-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum. sinal do maior. Eemplos: a) + = 6 b) = 6 c) = d) + = e) + = = f) + + = = 9) Multiplicação e divisão algébrica Sinais iguais resposta positiva Sinais diferentes resposta negativa Isto é: Eemplos: ( ) *( ) ( ) ( ) *( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) *( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) *( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 6
reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os a) * = 6 sinais dos termos internos. b) (-) * (-) = 6 c) * (-) = - Eemplo: d) (-) * = -6 e) f) g) h) = 0 = - ( ) ( 0) = ( ) (0) = - a) + [ ( + ) ] = + [ ] = + [ 6 ] b) + { [ + ( + ) ] + 8 } = c) { [ * : ( ) ] } + = { [ : * ] } + = { [ 6 ] } + ) Decomposição de um número em um produto de fatores primos A decomposição de um número em um produto de fatores primos 0) Epressões numéricas Para resolver epressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos eemplos a seguir. Eemplos: epressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os eteriores. Quando à frente do sinal da 7
0 0 = * * 0 7 7 = * 7 OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número. ) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles. Eemplo: a) Calcular o m.m.c. entre, 6 e \ \ 06 \ 08 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 0 \ 0 \ 0 70 O m.m.c. entre, 6 e é 70 b) m.m.c. (; ) = c) m.m.c. (; ; 8) = 0 d) m.m.c. (8; ) = 8 e) m.m.c. (60; ; 0, ) = 60 ) Eercícios a) + = b) + 8 = c) 8 + = d) * (-) = e) (-) * (-) = f) (-0) * (-) = 8
g) (-) * (-) * (-) = b. 8, 0 e 0 h) = c., 8 e i) 8 = j) 0 = k) ( ) * ( ) = IV - FRAÇÕES ORDINÁRIAS l) m) ( - ) *( - 7) = ( * - * - ) = Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. n) { - [ - ( *:) ]} = o) 8-{- 0[ ( - ):( -8 )] ( -)} = As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um inteiro, e ao dividir formam as frações p) 0, * 0, : 0, = q) 0,6 : 0,0 * 0,0 = r) : 0 = s) : 8 * 0, = t) Calcule o m.m.c. entre: a. 6 e 60 9
=0, =0,7 a) b) c) 0 0 = pois possui resto 7 7 7 8 8 = pois possui resto = =0, =0, 8 d) = 7 e) - = - 7 = 0,87 8 ) Propriedade Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à A fração é própria quando o numerador é menor do que o inicial. Eemplos: 0 denominador:,,, etc. 0 A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representa-la por um número misto e reciprocamente. Eemplos: a) b) c) 0 0 * * * * 0:0 0:0 0 0
d) : - - - 8 8: Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores. ) Soma algébrica de frações Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores. OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores. Eemplos: a) b) c) d) - 6-6 - 6 6 6-6 6 9-6 - 6 6-6 - 9 6 - - 6-7 8 8 8-8 - - - - 6) Multiplicação de frações - Eemplos: a) b) c) * d) e) * 0-8 * * * - 7 6 * * 8 7) Divisão de frações Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora. Eemplos:
a) b) c) d) e) * - * * * 6-7 9-7 - - * 9 7 b) c) = 00 = Transforme em fração ordinária: a) b) c) = = 0 = 0 Simplifique as frações: 8) Eercícios Transforme em número misto: a) b) = 9 = 7 a) = c) = 8
Comparar as frações (sugestão: reduzi-las ao menor denominador e comparar os numeradores). OBS.: a < b lê-se a é menor do que b a > b lê-se a é maior do que b a), b), 6 c), 7 8 Resolva: a) 0 b) - c) - 6 d) - e) * f) * * 7 g) - * - 6 h) * - i) j) : - k) : * l) : m) : n)
o) * p) 8 7 - - : 8 Simplifique: a) b) 9 : 7
V - POTÊNCIAS Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A. n A é a A A *A *A *A*... n é o epoente da n vezes base da potência; potência, que determina o seu grau. e) Toda potência de epoente ímpar tem o sinal da base: ³ = 7 ; (- )³ = - 7 = ; (- ) = - 9) Multiplicação de potências de mesma base Mantém-se a base comum e soma-se os epoentes. Assim: ³ = * * = 8 ³ = 8 (- ) = (- ) * (- ) * (- ) * (- ) = (- ) = Realmente: Eemplo: ³* ² * * * * vezes vezes vezes CASOS PARTICULARES: ² * 7 = 9 = * * * * * * * * = 9 a) A potência de epoente (º grau) é igual à base: A = A; = b) Toda potência de é igual a : ² = ; ³ = c) Toda potência de 0 é igual a 0: 0² = 0; 0³ = 0 d) Toda potência de epoente par é positiva: (- ) = 6; = 6; (- )² = 9; ² = 9 0) Divisão de potências de mesma base Mantém-se a base comum e diminuem-se os epoentes. 6 vezes 6 ***** 6 - Realmente: *** vezes
Eemplo: 7 : = = * * * = 8 ) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes) Multiplicam-se as bases e conserva-se o epoente comum. Realmente: ² * 7² = * * 7 * 7 = ( * 7)² Eemplo: ³ * ³ = * * * * * = ( * )³ = ³ = 7 ) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes) Dividem-se as bases e conserva-se o epoente comum. 0 Eemplo: 9 09 ) Epoente nulo Toda potência de base diferente de zero e epoente zero é igual a unidade. - 0 a :a a a 0 Realmente: a a :a Eemplo: (- ) 0 = Realmente: 7 Eemplo: 8³ : ³ = ³ = 6 * * 7 *7 7 7 7 ) Epoente negativo Qualquer número diferente de zero, elevado a epoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo epoente com o sinal positivo. ) Potenciação de potência Eleva-se a base ao produto dos epoentes. * ou vezes 6 * 6 Realmente: 6
Realmente: Eemplo: 7 * - 7-7 * - Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com epoente negativo, com tantas unidades no epoente quantas são as ordens decimais. Realmente: - 0,00 *0 0 000 0 6) Potências de 0 Efetuam-se as potências de 0 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do epoente. Eemplos: a) 0² = 00 b) 0 7 = 0 000 000 c) 00 = * 00 = * 0² d) 000 = * 0³ e) 00 000 = * 0 f) * 0 8 = 00 000 000 7) Números decimais 7 Eemplos: a) 0,00 = 0 - b) 0,00 = * 0 - c) 0,00008 = 8 * 0 - d), = * 0 - e) * 0 - = 0,00 8) Eercícios a) ³ = b) 0 = c) (- )³ = d) (- )³ =
e) (- ) = f) (- ) = g) ³ * = h) ² * * = i) : = j) : ² * = k) * = l) (- ) * (- ) = m) : = n) (- 6 ) : 6 = o) (³) = p) (³) = q) ³ = r) [ (³)² ]² = s) ( * )³ = t) (² * * ) = u) = v) = w) * ) ( * ²) 0 = y) - = z) * - = aa) = bb) ( - * - ) - = cc) + * = dd) * = ee) : = Eprimir, utilizando potências de 0: a) 0 000 = b) 800 000 = c) 0,0 = d) 0,0000 = Efetuar, utilizando potência de 0: = 8
a) b) 000* 8 000 80 8* 0,0000 0,0000 = = 9) Propriedade É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o epoente do radicando pelo índice do radical. Eemplos: VI RADICAIS Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou epressão que, elevado à potência n reproduz A. OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo n A Assim: n - índice da raiz A - radicando - radical a) * b) 80 * * 6 8 c) * * * d) 8 8: Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplicase o epoente do fator pelo índice do radical. Assim: * a) 6 porque ² = 6 b) 8 porque ³ = 8 c) 8 porque = 8 0) Adição e subtração de radicais semelhantes Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. 9
Eemplos: a) -0 8-0 - b) 6 - - 9-6 ) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum. Eemplo: a) * * 6 6 6 b) c) * * ** 0 * d) ) Potenciação de radicais Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice. 7 a) * * b) ) Radiciação de radicais * Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando. Eemplos: a) * b) ) Epoente fracionário Uma potência com epoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do epoente, sendo o numerador o epoente do radicando. Eemplos: Eemplo: 0
a) p q a q a p d) 6 * 6 * 6 6 6 *6 0 b) a a c) d) 6 6 ) Racionalização de denominadores º Caso: O denominador é um radical do º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração. Eemplo: º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela epressão conjugada do denominador. OBS: A epressão conjugada de a + b é a b. Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo: (a + b) * (a b) = a² - b² Assim: ( + ) * ( ) = ² - ² = 9 = 6 a) b) c) * * * * 9 * * 6 9 6 * 6 Eemplos: * - - - - a) * - - b) * - * - - * - - - * - * - * -
6) Eercícios Efetuar: a) - 0 b) - 8 c) - 79 d) * 6 e) - * - 8 f) g) 6 h) * i) Dar a resposta sob forma de radical, das epressões seguintes: a) = b) = c) = * = d) 6 Racionalizar o denominador das frações seguintes: a) b) = = 7 j) k) l) c) d) = - =
e) - = Simplifique: a) 0-8 = VII OPERAÇÕES ALGÉBRICAS b) = c) - - 7) Epressões algébricas São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números. Eemplos: a) a b b) a² + b + c c) 7a²b OBS: No eemplo, onde não aparece indicação de soma ou de diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico e a²b é a parte literal.
8) Operações com epressões algébricas I. Soma algébrica Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. Eemplo: ²y y² + 7y² + ²y = 8²y + y² II. Multiplicação Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-se os termos semelhantes. Eemplo: (a²y) * (ay) = 6a³y² III. Divisão º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo º coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para divisão de potências de mesma base. º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor. Eemplo: (a³b ) : (7a²) = 6a²b² 9) Produtos notáveis Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles: I. Quadrado da soma de dois termos: (a + b)² = a² + ab + b² O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Eemplo: ( + )² = ² + * + ² = + + ²
II. Quadrado da diferença de dois termos: (a - b)² = a² - ab + b² O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Eemplo: ( ) = ² + * * (- ) + (- )² = ² - 6 + 9 III. Produto da soma de dois termos por sua diferença: (a + b) * (a b) = a - b O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. Eemplo: ( - ) * ( + ) = ² - ( )² = = - 0) Fatoração Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado. Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máimo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os menores epoentes. Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o º é o fator comum e o º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum. Eemplos: a) Fatorando o polinômio a² + 8a²³ + a³ tem-se: a² 8a²³ a³ a² 8a²³ a³ a a a² a² a a a b) Fatorar: ²y + y³ + ². O fator comum é ². Assim: ²y + y³ + ² = ² (y + ²y³ + ) ) Eercícios
Efetuar: a) a - 7ab b - a ab - b = b) y - 7 y y - y -8 y y c) 7y * -8 y* y d) a b c* a - b = e) - y * - y = = = = f) 6 - - : = g) a bc a b c abc: abc - = h) i) y 8a = j) ab c* ab c = VIII EQUAÇÕES DO º GRAU UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO Fatorar: a) a² - 0ab = b) a² 6b² + = As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 0. Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que era mensagens escritas com a substituição de letras por numerais. Desta 6
forma Viète teve uma idéia simples mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para representar os números nas equações. O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde (matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele não eistiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas. Um outro matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu colega e começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades são iguais: Eemplo: 00 cm m Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas equações de Viète. Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram epressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade. A notação de Viète significou o passo mais decisivo e fundamental para construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, Fraçois Viète é conhecido como o Pai da Álgebra. ) Equação Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; mistério. (Dicionário Silveira Bueno Editora LISA) Eemplo: a) - só é verdade para = 7 º membro º membro b) + y = 7 só é verdade para alguns valores de e y, como por eemplo = e y = ou = e y =. Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-se raízes da equação. Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior epoente dessa incógnita for então a equação é dita equação do º grau a uma incógnita. ) Resolução de uma equação do º grau a uma incógnita 7
Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma equação do º grau a uma incógnita, consegue-se resolve-la isolando-se a incógnita no º membro, transferindo-se para o º membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação). Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra: Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. encontrado por cada um dos denominadores e multiplicamse os resultados pelos respectivos numeradores. Eemplos: a) + = 7 + = 7 = b) = 0 + = 0 + = 8 c) 8 * d) * Os passos seguintes são descritos no eemplo a seguir: - - - 6 º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver: m.m.c. (; ; ) = 0 Logo: * ( ) 0 * ( + ) = 6 * ( 6) Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém, utilizar as operações dos sinais (capítulo III Números relativos): - -8-8 - - º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações indicadas: 0 0 0 = 6 8
º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o º membro, e os independentes (os que não contém a incógnita) para o º, efetuando as operações necessárias: 0 = - 6 + 0 + 0 ) Sistema de equação do º grau com duas incógnitas A forma genérica de um sistema é: a by c onde a, b, c, m, n, p (Reais) m ny p º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro: -9 = º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o está sendo multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita: 9 9-9 6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a ser negativa também: - 9 VERIFICAÇÃO OU PROVA REAL Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Os valores numéricos devem ser iguais a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas admite infinitas soluções. Por eemplo, a equação y = é verificada para um número ilimitado de pares de valores de e y; entre estes pares estariam: ( = ; y = ), ( = ; y = 0), ( = -; y = -6), etc. b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um sistema de suas equações a duas incógnitas é determinar os valores de e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações. Por eemplo o sistema: y 6 tem solução para y y Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às duas igualdades. (Verifique!) 9
Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um sistema, são eles: Substituição, comparação e adição. SUBSTITUIÇÃO 0 y y 9y 8 y * 8 y y y 8 equação º) Seja o sistema: y equação º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por eemplo, o valor de na equação : y 8 8 y 8 y equação º) O valor obtido para y é levado à equação (em que já está isolado) e determina-se : 8 * 8 6 6º) A solução do sistema é: = e y = º) Substitui-se da equação pelo seu valor (equação ): 8 - y * y equação º) Resolve-se a equação determinando-se o valor de y: º) Seja o sistema: COMPARAÇÃO 7 y y 7 º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações: 0
y e 7 7 y ADIÇÃO º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais ( = ): - y 7 y 7 º) Resolve-se a equação e determina-se y: * y 7 * 7 y 6 y 9 y 9y 6 y º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que está isolado e determina-se o valor de : - y * 7 7 6º) A solução do sistema é: = e y = 7 7 Este método consiste em somar, membro a membro, as duas equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das incógnitas serem simétricos. Eemplos: y equação a) y 0 equação Somando, membro a membro, vem: Substituindo o valor de na equação (ou na equação, fica a critério do aluno), vem: y y y 7 y 7 b) y *() 0 - y 6 Somando, membro a membro, vem:
Substituindo o valor de na ª equação (ou na ª, fica a critério do aluno), vem: * y 7 y 7 y y k) 6 l) 9 8 6 ) Eercícios Resolver as seguintes equações: a) 8 b) 0 c) 7 8 d) 7 e) 6 f) 8 7 7 g) h) 0 i) 9 j) * * 7 0 Resolver os seguintes sistemas de equações: a) b) c) d) y y 6y 9 7 y y y y y Considere o problema:
A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 0 anos atrás, a idade do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho? IX EQUAÇÕES DO º GRAU Equação do º grau na incógnita, é toda igualdade do tipo: a. ² + b. + c = 0 onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a 0). A equação é chamada de º grau ou quadrática devido à incógnita apresentar o maior epoente igual a. Se tivermos b 0 e c 0 teremos uma equação completa. Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta. 6) Resolvendo Equações de º Grau Quando a equação de º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja: º caso: b = 0 e c = 0; temos então: Eemplo: ² = 0 ² = 0 = 0 S = {0} º caso: c = 0 e b 0; temos então: Eemplo: ² - = 0. ( ) = 0 = 0 ou = 0 = = S = {0; } º caso: b = 0 e c 0; temos então: Eemplo: ² - = 0 ² = = = e = - S = {-; } a. ² = 0 a. ² + b. = 0 a. ² + c = 0 A resolução da equação completa de º grau é obtida através de uma fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático
hindu nascido em ; por meio dela sabemos que o valor da 7) Eercícios incógnita satisfaz a igualdade: Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas: Fórmula de Bhaskara b b².a.c.a a) 7 6 0 A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo rmulas; veja: b *a *c > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes = 0 têm-se duas raízes reais e iguais < 0 têm-se duas raízes imaginárias e b) 8 0 c) 0 d) 6 6 0 e) 6 0 f) 8 0 g) h) 8 0 b *a i) Prever a natureza das raízes das equações: OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não eistirá a equação de segundo grau visto que o ² seria anulado. a) 0 b) 0
c) 0 Determinar mentalmente as raízes das equações: a) 6 0 b) 0 c) 0 d) 0 0 e) 0 0 Resolver as seguintes equações: a) a b b) 8 X EQUAÇÕES IRRACIONAIS Definição: Uma equação é denominada irracional quando apresenta incógnita sob radical ou incógnita com epoente fracionário. 8) Resolução de uma equação irracional Durante o processo de solução de uma equação irracional com índice do radical igual a (ou outro qualquer) é necessário elevar ao quadrado (ou em caso de epoente diferente de, eleva-se ao que se fizer necessário) ambos os membros da equação e esta operação pode provocar o aparecimento de raízes estranhas, isto é, valores que realmente não verificam a
6 equação original. Este fato obriga que toda raiz obtida deve ser verificada na equação original e verificando a igualdade. Eemplos: a) Determinar as raízes da equação: 0 Isola-se o radical em um dos membros: Elevam-se ambos os membros ao quadrado, para eliminar a raiz: 6 Determina-se e verifica-se na equação original. Verificação: 0 0 0 6 0 b) Determinar as raízes da equação: Isolando o radical no º membro: Elevando-se ambos os membros ao quadrado: 0 As raízes da equação do º grau são: - 0 0 e 0 Verificando as raízes na equação irracional: Para =0 0 0 0 0 0 Para =-
Observe que apenas =0 verifica a igualdade, assim a raiz da equação original é 0. 9) Eercícios a) 0 b) 0 c) 0 d) e) 7 f) 9 g) h) 9 7
XI INEQUAÇÕES DO º GRAU 0) Símbolos de desigualdades São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas. a > b (a é maior do que b) a < b (a é menor do que b) a b (a é maior ou igual a b) a b (a é menor ou igual a b) Eemplos: a) 7 > (7 é maior do que ). b) < 6 ( é menor do que 6). c) ( é menor ou igual a ). d) y (y é maior ou igual a ). e) < ( é maior do que e menor ou igual a ). ) Inequação do º grau Inequação do º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de º grau. Eemplo: > A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de. Observa-se que o º membro será maior do que o º membro quando se atribui a qualquer valor maior do que. Isto é: > > indica um conjunto de valores denominado solução da inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma inequação do º grau isola-se no º membro de forma à solução de uma equação do º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da desigualdade. Eemplos: a) 8
b) ) Eercícios 0 0 Resolver as seguintes inequações: a) b) c) 6 d) 7 e) f) 7 7 g) 9 7 XII PROPORCIONALIDADE ) Razão Seja dois números genéricos a e b. A razão entre a e b é a representada por, a/b ou a : b, sendo b 0. b ) Proporção Proporção é a igualdade de duas razões. Seja a proporção: a c ou a : b c : d ou a : b :: c : d. b d Seus elementos se denominam: a - primeiro termo a e b - etremos b - segundo termo b e c - meios c - terceiro termo a e c - antecedentes d - quarto termo b e d - conseqüentes 9
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos etremos. Diretamente proporcionais: quando a razão entre e y é constante. k ou ky y Considerando as proporções: a c então a *d b* c b d 8 então *6 * 8 6 então * * A principal aplicação desta propriedade é a determinação de um elemento desconhecido na proporção. Eemplificando: Determine na proporção: 0 então * * 0 ou 6 ) Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais Duas grandezas e y são denominadas: Inversamente proporcionais: quando o produto delas é constante. * y k ou k y Sendo k denominada constante de proporcionalidade. Eemplos: a) Seja um carro que se desloca com velocidade constante em trajetória retilínea. A tabela mostra o deslocamento do carro em função do tempo. Tempo (s) Deslocamento (m) A pergunta é: tempo e 0 deslocamento são 0 grandezas diretamente ou 60 inversamente 80 proporcionais? 0
00 0 00 Chamado de o deslocamento e t o tempo, observa-se que a razão t 0 0 é constante. t 60 80 00 00 0 0 Assim e t são grandezas diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade vale 0 (que é a velocidade do carro). 00 Note que PV é constante. PV 0.0 0.0 80. 00. 00. 00. 00 Assim: P e V são grandezas inversamente proporcionais com constante de proporcionalidade igual a 00. 6) Regra de três simples Utilizamos regra de três simples na solução de problemas que envolvem grandezas proporcionais. Eemplos: b) Um gás é mantido à temperatura constante em um recipiente de volume variável. Quando se altera o volume do gás a sua pressão também se modifica. Registraram-se em uma tabela os valores correspondentes da pressão (P) e volume (V). Pressão Volume 0 0 P e V são grandezas 0 0 diretamente ou 80 inversamente 00 proporcionais? 00 a) Um automóvel se desloca com velocidade constante percorrendo 0 km em hora. Qual o tempo gasto para percorrer 00 km? SOLUÇÃO As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Teremos então uma regra de três simples e direta. Dispomos os dados do problema colocando frente `frente aqueles que se correspondem. Marcamos no local do valor procurado: 0 km... h 00 km...
Sendo a regra de três simples e direta, tem-se: 0 (as grandezas são dispostas na mesma ordem de 00 correspondência). Aplicando a propriedade fundamental das proporções, vem: 0* *00, horas 7) Eercícios Resolva os seguintes eercícios: b) Dois litros de gás eercem uma pressão de 0, atm. Cinco litros do mesmo gás, à mesma temperatura, eercerão que pressão? SOLUÇÃO As grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, teremos uma regra de três simples e inversa. Dispondo os dados do problema: litros... 0, atm litros... Sendo a regra de três inversa, as grandezas são dispostas de forma que na proporção os termos do º membro ficam invertidos. ou *0, * 0,6 atm 0, a) Uma bomba eleva 7 litros de água em 6 minutos. Quantos litros elevará em hora e 0 minutos? b) Doze operários levaram dias para eecutar uma determinada obra. Quantos dias levarão 0 operários para eecutar a mesma obra? c) Num livro de 00 páginas há 0 linhas em cada página. Se houvesse linhas em cada página, quantas páginas teria o livro? d) Metade de uma obra foi feita por 0 operários em dias. Quantos tempo levarão para terminar essa obra com operários a mais?
e) Com uma certa quantidade de cobre fabricam-se 600 B metros de fio com seção de mm². Se a seção for de a c 8 mm², quantos metros de fio poderão ser obtidos? C b A No triângulo retângulo ao lado consideremos o ângulo C formado pelo lado b e a hipotenusa a. O lado b denomina-se cateto adjacente ao ângulo C. (É o cateto XIII RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 8) Triângulo retângulo Um triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto (90º). que faz parte da constituição do ângulo). O lado c denomina-se cateto oposto ao ângulo C. Os lados do triângulo e um dos ângulos (não o reto), podem ser relacionados por: B c A a b C Z y Y z X S t R r s T sen C cateto oposto hipotenusa c a Em um triângulo retângulo temos: a) Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto. Nas figuras acima são hipotenusas: a, e r. cos C cateto adjacente hipotenusa b a b) Catetos: são os outros dois lados do triângulo. Nas figuras são catetos: b, c; y, z e s, t. 9) Relações trigonométricas no triângulo retângulo tgc sen C cos C cateto oposto cateto adjacente c b
Eistem tabelas que fornecem os diversos valores de senos, cosenos e tangentes dos mais diversos ângulos. Assim, conhecido um ângulo de um triângulo retângulo e um dos lados, pode-se determinar os demais lados. A seguir temos uma tabela com os valores das funções trigonométricas para os ângulos de 0º, º e 60º. sen 60º c * m b cos 60º b a cos 60º a b * c a c a sen 60º m C a b B 60º c A Eemplos: Seno Co-seno Tangente 0 graus graus 60 graus b) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede ª ) ª ) m e um dos catetos, m. Determinar o ângulo formado pela hipotenusa e por esse cateto. Determine o outro cateto. c, cos a da tabela 60º b a sen *sen 60º * b, A m a) Em um triângulo retângulo a hipotenusa vale m c =,m b e dos ângulos agudos vale 60º. Determine os dois B a =m C catetos do triângulo.
60) Eercícios c) Em um triângulo retângulo os lados valem m, m e m. Determine o seno, o co-seno e a tangente do ângulo formado entre o lado de m e o de m. sen 0,8 cos 0,6 tg, m m m Todo triângulo de lado, e, ou múltiplos destes valores, é denominado Triângulo Pitagórico. a) Dado o triângulo retângulo abaio, calcular: ii. cos iii. tg b) Um ângulo de um triângulo mede 0º e o cateto que se opõe a este ângulo vale cm. Calcular a hipotenusa e o outro cateto. c) Num triângulo retângulo a hipotenusa mede cm e um dos ângulos agudos vale º. Calcular a medida comum dos catetos. d) Num triângulo retângulo, as medidas dos dois catetos são iguais. Calcular a medida comum dos ângulos agudos. e) Calcular os ângulos formados pelos catetos com a hipotenusa de um triângulo retângulo sabendo que um dos catetos é a metade da hipotenusa. i. sen f) Calcular e y na figura a seguir:
y 6 0 º 6 m Um ponto situado em um plano cartesiano tem sua posição definida por um par de números (coordenadas do ponto). y XIV PLANO CARTESIANO (SEU PRODUTO, RELAÇÕES E FUNÇÕES) 6) Os eios cartesianos Dois eios graduados, perpendiculares entre si, com origens coincidentes, são denominados eios cartesianos. y (eio das ordenadas) - - - - - 0 (eio das abscissas) origem - - - - - 6) Um ponto no plano cartesiano P P P P,, - 0, - -, 0 - - - - P - P O primeiro valor numérico representa a abscissa do ponto e o segundo a ordenada do ponto. 6) Uma reta no plano cartesiano Um conjunto de pontos representados em um plano cartesiano pode resultar em uma reta. Tal fato acontece quando atribuímos os mais diversos valores a em uma equação característica (a seguir representada) e obtemos os valores de y correspondentes. - - - - - P P 6
y = a * + b Esta equação é denominada equação reduzida da reta, sendo que a e b necessariamente são valores constantes. b) Reta paralela ao eio O coeficiente angular (a) é igual a zero. y A equação fica y = b A sua representação gráfica nos mostra que: 0 b 0 y a = tg (coeficiente angular). b = valor de y onde a reta intercepta o eio das ordenadas (coeficiente linear). c) Reta paralela ao eio y O valor de é constante. y 6) Casos particulares 0 a) Reta que passa pela origem O coeficiente linear (b) é igual a zero. Eemplos: y A equação fica: y = a * a) Representar graficamente a equação y *. Solução: O coeficiente angular é. Como tg 60º = 0, o ângulo que a reta forma com o eio é 60º. 7
Ainda, a reta não apresenta coeficiente linear, isto é, a reta passa pela origem. Representando-a: y y 60º 0 b) Representar graficamente y = 0. Solução: Como y é constante a reta deve perpendicular ao eio y. y 0 ser C D A 0, - B, 0, -, - - - - - - - - - - - b) Dê as coordenadas dos pontos P, Q, R e S da figura a seguir. y 0 Q 6) Eercícios a) Situe os pontos A, B, C e D no plano cartesiano a seguir. - - - - - R - - - - P S - 8
c) Qual a representação gráfica da reta de equação y y y e. 0º 0 a. y 60º 0 d) O gráfico da reta y = é: y b. - y 0º a. 0 y 0 º c. 60º 0 y 0 60º b. y d. - c. 0 9
y XVI NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL d. 0 º y GEOMETRIA PLANA e. º 0 66) Definição e apresentação da Geometria Plana Geometria Plana possui como sua principal característica pertencer ao R, isto é, possui duas dimensões sendo estas e y como em um plano cartesiano, também conhecidas como base (b) e altura (h). OBS: o b da base e o h da altura provem do inglês onde base = base e altura = height. Na Geometria Plana podemos encontrar a área (A) e o perímetro (P) das figuras, onde: Perímetros pode-se definir como sendo o comprimento do contorno de uma figura. Área é o região do plano limitado pelo perímetro 0
Toda figura plana possui uma fórmula para encontrar o valor de seu perímetro e sua área, veja: Losango 67) Apresentação das figuras planas e suas fórmulas Quadrado A = b * h mas como b = l e h = l A = l * l logo A = l² D *d A P = * l Retângulo P = l + l + l + l P = * l Paralelogramo A b * h P = * a + * b A = b * h P = * a + * b Trapézio A B* b* h P = a + b + c + d
A * r Triângulo Qualquer b * h A Circunferência P = a + b + c A * * R Triângulo Eqüilátero l A P = * l GEOMETRIA ESPACIAL 68) Definição e apresentação da Geometria Espacial Círculo
Geometria Espacial possui como sua principal característica pertencer ao R³, isto é, possui três dimensões sendo estas, y e z como no espaço, também conhecidos como base (b) e altura (h) e espessura (e). Pirâmide Na Geometria Espacial podemos encontrar o volume (V) e a área lateral (S), onde: V * B* h B é a área da base da pirâmide 69) Apresentação das figuras espaciais e suas fórmulas Cilindro circular reto Cubo V = * r² * h V = b * h * e r S * * r * h S = 6 * l² Cone circular reto V * * r * h S * r * r h
Esfera K epsilon zeta eta teta iota kapa lambda mi O ALFABETO GREGO CURIOSIDADE V * * r S * * r v ni csi ômicron pi ro sigma tau ipsilon alfa beta gama delta fi qui psi omega