ONDAS ELETROMAGNÉTICAS Aula 6 META Intoduzi aos alunos conceitos básicos das ondas eletomagnéticas: como elas são poduzidas, quais são suas caacteísticas físicas, e como desceve matematicamente sua popagação. Apesenta as pincipais caacteísticas das ondas eletomagnéticas hamônicas. Discuti o tanspote de enegia e momento po ondas eletomagnéticas, e defi ni intensidade da onda. OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deveá: Entende o que é onda eletomagnética é como ela é poduzida. Entende as popiedades geais das ondas eletomagnéticas. Desceve matematicamente a popagação das ondas eletomagnéticas hamônicas. Entende como a enegia e o momento são tanspotados pela onda eletomagnética, e qual é o significado da intensidade. PRÉ-REQUISITO Tigonometia básica; cálculo difeencial básico; vetoes; eletomagnetismo básico.
Intodução Uma das mais impotantes descobetas do século 19 foi a descobeta das ondas eletomagnéticas. A pimeia pevisão teóica da existência dessas ondas foi feita, em 164, pelo físico escocês, James Clek Maxwell. Ele euniu os conhecimentos existentes e descobiu as coelações que havia em alguns fenômenos, dando oigem à teoia de que eleticidade, magnetismo e óptica são de fato manifestações difeentes do mesmo fenômeno físico. Maxwell conseguiu pova teoicamente que uma petubação eletomagnética devia se popaga no vácuo com uma velocidade igual à da luz, ou seja, 3. km/s. A pimeia veificação expeimental foi feita po Henich Hetz, em 17 quando ele poduziu ondas eletomagnéticas po meio de cicuitos oscilantes e, depois, os detectou po meio de outos cicuitos sintonizados na mesma fequência. Seu tabalho foi homenageado posteiomente colocando-se o nome "hetz" paa unidade de fequência. A impotância das ondas eletomagnéticas na nossa vida é indiscutível. Elas estão pesentes quando enxegamos os objetos a nossa volta, quando ligamos a TV, quando estouamos pipocas no fono de micoondas e em mais uma gande gama de exemplos. 6.1 Equações de Maxwell e oigem das ondas eletomagnéticas Po centenas de anos filósofos e cientistas questionaam sobe a natueza da luz. Isaac Newton (164-177) aceditava que a luz consistia de um feixe de patículas, enquanto o físico holandês Chistian Huygens (169-1695) assumia que a luz ea um tipo de movimento ondulatóio. A disputa sobe a natueza e compotamento da luz foi finalmente esolvida pelos tabalhos do físico inglês James Clek Maxwell (131-179) (figua 6.1). Maxwell mostou que todas as popiedades conhecidas da luz podeiam se explicadas atavés de quato equações, conhecidas como as equações de Maxwell. Ele povou que a luz visível, assim como outas fomas de adiação, tal como a luz ultavioleta e as ondas de ádios, são ondas fomadas po campos elético e magnético, denominadas ondas eletomagnéticas, que se popagam no espaço. 13
Figua 6.1: James Clek Maxwell (131-179). Você já apendeu que todos os fenômenos mecânicos podem se descitos em temos de somente tês famosas leis de Newton. Similamente, todos os fenômenos da eleticidade e magnetismo podem se analisados em temos de somente cinco equações: quato delas são denominadas como equações de Maxwell, e uma é a equação que desceve a foça de Loentz. Abaixo listaemos e discutiemos bevemente essas equações no vácuo, com objetivo de usá-las paa explica como as ondas eletomagnéticas podem se ciadas e como se popagam pelo espaço. A pimeia equação de Maxwell não é nada mais do que a genealização da lei de Gauss, S Q E ds = ε (6.1) que diz o seguinte: o fluxo do campo elético E atavés de qualque supefície fechada S é igual a azão ente a caga elética confinada dento da supefície e a pemissividade de vácuo ε. Essa equação pemite a existência de um monopólo elético, i.e., a existência sepaada de cagas positivas e negativas. A segunda equação de Maxwell é a lei de Gauss paa o magnetismo, S B ds = (6.) e diz seguinte: qualque que seja supefície fechada S escolhida, e qualque que seja conteúdo dento do volume cecado po essa supefície (distibuição de cagas) o fluxo de campo magnético B atavés dessa supefície seá zeo. Isso significa que o númeo de linhas do campo magnético que enta e sai do volume é sempe igual, i.e., os monopólos magnéticos não podem existi. Teceia lei de Maxwell é a lei de indução de Faaday, 139
l dφ E dl = dt B (6.3) com a seguinte intepetação: a integal de linha do campo elético E em tono de qualque tajetóia fechada (chamada foça eletomotoa) é igual a taxa de vaiação de fluxo magnético Φ B = B ds atavés de qualque supefície limitada po esta tajetóia. Peste atenção, Φ B não é zeo pela segunda lei de Maxwell poque a supefície pela qual a integal é feita não é uma supefície fechada. A conclusão mais impotante que segue da teceia equação do Maxwell é que o campo magnético vaiável cia o campo elético! Veja, se o B não depende do tempo, então a taxa de vaiação de fluxo magnético seá zeo (lado dieito de (6.3)) e o campo elético ao longo da tajetóia l não existiá! Quata equação de Maxwell expessa lei de Ampèe genealizado, dφe B dl = μi + εμ (6.4) dt l onde μ é pemeabilidade do vácuo. A conclusão mais impotante que pode se tiada dessa equação é que a coente elética I, ou um campo elético vaiável, ciam um campo magnético. Se a taxa do fluxo elético Φ E = E ds não fo zeo, ou I, então o B no lado esquedo da equação (6.4) também não seá zeo. Finalmente, a foça de Loentz: F = qe+ qv B (6.5) é uma foça que os campos elético e magnético execem sobe uma caga pontual q. As quato equações de Maxwell pemitem analisa a inte-elação ente o movimento de cagas e a ciação de coespondentes campos eléticos e magnéticos. Com uma análise desse tipo chega-se às seguintes conclusões: Caga em epouso cia o E estático (que não vaia com tempo) e não poduz B. Caga em movimento unifome poduz E e B estáticos. Caga em movimento aceleado poduz E e B que vaiam com tempo. Vamos analisa com mais detalhes o último caso. Imagine uma caga que oscila paa cima e paa baixo em um cicuito elético. Essa caga exece movimento aceleado e, potanto, poduz um campo elético E vaiável. Esse campo elético seá capaz de gea um campo magnético, em acodo com a quata equação de Maxwell (6.4), que po sua vez, também é vaiável. Esse campo magnético vaiável seá capaz de gea outo campo elético em acodo com a teceia equação de Maxwell (6.3), e esse novo campo elético iá cia outo campo magnético e, assim, sucessivamente. A sucessão de campos magnéticos e eléticos que alimentam um ao outo, fomaá uma petubação eletomagnética, que iá se popaga pelo espaço de foma 14
autônoma e independente da fonte que o ciou, sem pecisa qualque meio mateial paa esta popagação! As caacteísticas da popagação dessa petubação podem se deteminadas atavés das equações de Maxwell. Paa satisfaze as pimeias duas (6.1) e (6.), mosta-se que os campos E e B devem se pependiculaes ente si, e ao mesmo tempo ambos têm que se pependiculaes em elação à dieção de popagação da petubação. Também se mosta que as equações (6.3) e (6.4) deteminam a elação ente as magnitudes dos campos E e B : de (6.3) segue: E = c B, (6.7) de (6.4) segue: B = ε μce, (6.) onde c é a velocidade de popagação da petubação. Paa que ambas as equações sejam satisfeitas simultaneamente, essa velocidade tem que assumi o valo: 1 c = ε μ c i.e., 1 c = (6.9) ε μ 1 7 Sabendo que ε =,5 1 C Nm e μ = 4π 1 N A, o cálculo de c esulta em: c= 3, 1 m s, que é exatamente a velocidade de popagação da luz no vácuo. Potanto, concluímos que uma petubação eletomagnética popaga-se atavés do espaço com a velocidade igual à velocidade de luz. Essa conta, feita pela pimeia vez no século XIX, foi pimeia indicação claa que a luz tem natueza eletomagnética. Se assumimos que a petubação eletomagnética se popaga ao longo de eixo x, então campo elético seá diecionado ao longo de eixo y e campo magnético ao longo do eixo z. Os campos mudam duante a popagação, potanto dependem de x e t : Ext (, ) = Ext (, ) ey B( xt, ) = Bxt (, ) ez Mosta-se, a pati das equações de Maxwell (6.3) e (6.4), que os campos E e B que compõem a petubação satisfazem seguintes equações difeenciais: Ext (, ) Ext (, ) = εμ x t B( xt, ) Bxt (, ) = εμ x t (6.1) Reconhecemos imediatamente que as equações (6.7) exibem a foma da equação geal de onda: y 1 y = x v t 141
Com isso, finalmente podemos afima que a petubação eletomagnética descita acima se popaga atavés do espaço como uma onda, com velocidade v= 1 εμ = c, que é o esultado consistente com (6.9). O nome dessa onda, que eflete sua natueza física, é simplesmente onda eletomagnética. Como consequência do fato de que os campos E e B sejam deteminados pelas equações difeenciais lineaes (6.1), a onda eletomagnética obedece ao pincípio de supeposição. Isso pode se facilmente deduzido. Se E 1 e E foem soluções da equação (6.1), sua combinação linea ce 1 1+ ce também seá solução da mesma. O mesmo vale paa o campo magnético B. Potanto, somando duas ondas eletomagnéticas, cia-se uma nova onda eletomagnética cujos campos são a soma dos campos das ondas individuais. Em outas palavas, as ondas eletomagnéticas obedecem ao pincípio de supeposição, que pemite a possibilidade de ocoeem váios fenômenos ondulatóios, como intefeência e difação, po exemplo. Todo conhecimento sobe as ondas eletomagnéticas que adquiimos até agoa, foi adquiido teoicamente, somente analisando as equações do Maxwell. As popiedades discutidas são completamente geais e aplicam-se paa qualque tipo de onda eletomagnética. As pincipais conclusões tiadas a pati desta análise são eunidas abaixo. 1. A oigem das ondas eletomagnéticas é eletomagnética. Qualque caga elética em movimento aceleado iadia (cia) ondas eletomagnéticas.. Ondas eletomagnéticas são ondas tansvesais. O que oscila nelas não são patículas do meio, como no caso das ondas mecânicas, mas os campos E e B. Os últimos são pependiculaes mutuamente, e também em elação à dieção de popagação. A onda se popaga na dieção e sentido deteminados pelo veto E B. 3. A azão ente os módulos (magnitudes) dos campos E e B é constante: E = c B. Isso significa que esses campos sempe oscilam em fase: quando E =, necessaiamente B = ; quando E exibe valo máximo, o mesmo acontece com B. 4. Ondas eletomagnéticas se deslocam no vácuo com velocidade constante, igual à velocidade da luz. 5. Não se pecisa nenhum meio mateial paa que as ondas eletomagnéticas se popagem. 6. Ondas eletomagnéticas obedecem ao pincípio de supeposição. 6. Descição matemática das ondas eletomagnéticas A descição matemática das ondas eletomagnéticas é muito simila a descição matemática das ondas mecânicas. No caso das ondas mecânicas, suas caacteísticas foam definidas em elação à função de deslocamento das patículas do meio ao longo da tajetóia ondulatóia yxt. (, ) As caacteísticas das ondas eletomagnéticas, po outo lado, são definidas em elação à mudança do campo elético ao longo da tajetóia Ext (, ), exatamente da mesma maneia feita no caso das ondas mecânicas. 14
O compimento de onda λ de uma onda eletomagnética é a distância ente dois pontos consecutivos nos quais o veto E (ou B ) tem mesmo módulo e mesmo sentido. Simplesmente, λ é distância ente dois máximos ou mínimos consecutivos da onda. O peíodo T da onda eletomagnética é o intevalo de tempo necessáio paa a onda caminha uma distância que coesponde a um compimento de onda. Como a velocidade de popagação é c, vale: c= λ T. A fequência f de uma onda eletomagnética é o inveso do peíodo. Ela epesenta o númeo de peíodos existentes em unidade de tempo: f = 1 T. Levando em conta a definição do peíodo, a elação ente f e λ é: c= f λ, exatamente a mesma como no caso das ondas mecânicas. Sob a amplitude de uma onda eletomagnética, usualmente se considea a amplitude do seu campo elético E. A dieção e o sentido de popagação de uma onda eletomagnética são deteminados pelo veto E B, i.e., pela ega da mão dieita, iniciando do veto E e teminando no veto B (veja figua do lado). A polaização de uma onda eletomagnética é uma popiedade conectada com o plano em que o campo elético E oscila. Po enquanto, nós vamos considea somente ondas lineamente polaizadas. Estas são ondas cujo campo elético sempe oscila em um único plano que não muda duante a popagação. Na ilustação acima o campo elético oscila no plano XY. A fente de uma onda eletomagnética pode assumi váias fomas, dependendo do tipo da fonte que a poduz ou das popiedades do meio de popagação (onda esféica, cilíndica...). Aqui nós vamos discuti somente as ondas eletomagnéticas mais simples, que são ondas planas. Estas são ondas cujas fentes são planos. Neles, as dieções dos campos magnéticos e eléticos estão, em qualque ponto, pependiculaes à dieção de popagação. Ondas não planas podem se apoximadas po ondas planas nas egiões muito distantes da fonte, como já foi mencionado na Aula. 143
Figua 6.: Uma onda plana que se popaga ao longo de eixo x. Em cada ponto num plano deteminado, os valoes de E e B são iguais. 6.3 Ondas eletomagnéticas hamônicas A solução mais simples das equações da onda (6.1) desceve uma onda hamônica, no qual os campos E e B oscilam de acodo com funções seno ou cosseno. Esse tipo de onda exibe o mesmo papel das ondas hamônicas mecânicas: qualque onda eletomagnética não hamônica pode se epesentada em temos de supeposição das ondas hamônicas (teoema de Fouie). No caso das ondas hamônicas eletomagnéticas, poém, temos que leva em conta natueza vetoial dos campos que as compõem. Vamos supo que uma onda plana hamônica se popaga ao longo de eixo x, no sentido positivo ( x cescente). Neste caso, campo elético oscila ao longo de eixo y, e campo magnético ao longo de eixo z. Mas, como veto E B tem que aponta sempe paa o sentido de popagação, quando E fica no lado positivo de eixo y ( E > ), o B também pecisa esta no lado positivo do eixo z ( B > ), e vice-vesa, E < implica B < (figua 6.3). Figua 6.3: Ilustação de uma onda hamônica que se popaga ao longo de eixo x, no sentido positivo. Campos eléticos e magnéticos oscilam senoidalmente nos planos XY e XZ, espectivamente. As equações que descevem a vaiação dos campos nesse caso são as seguintes: Ext (, ) = Emax ey sen( ωt kx) B( xt, ) = B e sen( ωt kx) max z (6.11) Note que as fómulas efletem o fato de que os dois campos estão sempe em fase (difeença de fase é zeo). Elas descevem uma onda plana, lineamente polaizada com plano de polaização XY (pois nesse plano o E oscila) e com dieção de popagação: E B ey ez =+ ex. Os E max e B max são amplitudes dos campos eléticos e magnéticos, espectivamente. A intepetação de ω e k é a mesma como no caso das ondas mecânicas: ω é a fequência angula ( ω = π f ), e k é o númeo de onda ( k = π λ ). 144
Caso onda hamônica se popagasse ao longo de eixo x, mas no sentido negativo, a descição matemática mudaia um pouquinho. Paa que o veto E B sempe aponte paa dieção e x, quando E pemanece no lado positivo do eixo y ( E > ) o B pecisa esta no lado negativo do eixo z ( B < ), e vice-vesa; E < implica B > (figua 6.4). Figua 6.4: Ilustação de uma onda hamônica que se popaga ao longo do eixo x, no sentido negativo. As equações que descevem a vaiação dos campos nesse caso são: Ext (, ) = Emax ey sen( ωt kx) B( xt, ) = B e sen( ωt kx) max z (6.1) pois E B e ( e ) = e, que é a dieção de popagação ceta. y z x 6.4 Enegia e momento tanspotados pela onda eletomagnética; intensidade Como qualque outa onda, a onda eletomagnética também tanspota enegia e momento atavés do espaço. Este fenômeno é de gande impotância e tem sido usado em difeentes aplicações tecnológicas, como no tanspote de infomações e de enegia de um ponto paa o outo. O Sol, em paticula, é uma gande fonte de ondas eletomagnéticas e sua impotância é indiscutível em nosso dia-a-dia. Devido ao fato que estas ondas tanspotam enegia, a supefície do nosso planeta é quente e pode acomoda a vida. Paa desceve matematicamente esse tanspote, notaemos que qualque egião do espaço onde existem os campos eléticos e magnéticos contém ceta quantidade de densidade de enegia igual a: 1 1 u = ε E + B (6.13) μ (essa fómula vem do cuso do eletomagnetismo). Quando uma onda eletomagnética passa po esta egião, sabemos exatamente qual é a elação ente seus campos eléticos e magnéticos: E = c B. Colocando esse esultado em (6.13), junto com a expessão (6.9), segue: 145
1 1 u = ε E + ε μ E μ u = εe (6.14) A equação (6.14) expessa a densidade de enegia (enegia po unidade de volume) de uma onda eletomagnética no vácuo. Como o campo elético vaia com a posição e o tempo, E = Et (, ), o mesmo vale paa a densidade de enegia também, u = u(, t). O tanspote dessa quantia de enegia usualmente é descito em temos de fluxo da enegia po unidade de tempo e po unidade de áea pependicula à dieção de popagação. Vamos analisa a passagem de uma onda eletomagnética atavés de uma supefície pependicula com áea A (veja figua 6.5). Figua 6.5: Onda eletomagnética atavessando uma áea A. Vamos ainda supo que no instante t = a fente de onda fomava um plano deteminado, e que depois do intevalo de tempo dt a fente da onda pogediu paa o plano seguinte, na distância dx = c dt a pati do pimeio. O volume dv ente esses dois planos contém a enegia eletomagnética du : du = u dv = ε E Ac dt Essa enegia é tanspotada atavés da áea A. O fluxo dela, po unidade de áea e tempo é dado po: du S = =ε ce Adt Usando as elações (6.7) e (6.9), podemos tansfoma a última expessão: 1 S = εce cb = εc EB = ε EB εμ e chega a fómula final: EB J S =, com dimensão μ s m (6.15) 146
Esse esultado pode se facilmente genealizado paa inclui ainda mais infomações sobe o tanspote de enegia. Podemos defini uma gandeza vetoial que desceve o módulo, dieção e sentido do fluxo de enegia tanspotada po ondas eletomagnéticas: 1 S = E B μ (6.16) O veto S denomina-se como veto de Poynting, e foi intoduzido pelo físico inglês John Poynting (15-1914). Ele fonece a dieção e sentido da popagação de onda (atavés de E B ) e, consequentemente, dieção e sentido do fluxo da enegia. Além disso, como E e B são pependiculaes, o módulo do veto S é igual a EB μ, que é a magnitude de fluxo da enegia po unidade de tempo e da áea pependicula, de acodo com a equação (6.15). Paa medi e avalia a taxa de tansfeência de enegia em uma onda eletomagnética (sabe quanto ela é enegética), poém, o veto de Poynting não tem muita utilidade pática. Isso poque os campos E e B vaiam muito ápido com tempo, é, potanto o S também. As 14 fequências de oscilação dos campos são da odem de 51 Hz paa a luz visível, po exemplo, e não existe nenhuma instumentação que pode egista eventos tão ápidos. O que nós ealmente medimos e pecebemos é o valo médio da taxa com a qual a enegia atinge a instumentação (ou nossos olhos). Po esta azão, intoduz-se uma nova quantidade física que leva em conta esta ealidade. Ela se chama intensidade I, e é definida como média tempoal do veto de Poynting: I = St (, ) t (6.17) As unidades de medida da intensidade são as mesmas que se usa paa desceve o veto de Poynting: joule po segundo e meto quadado ( J ( s m )), i.e., watt po meto quadado ( W m ). Paa calcula a intensidade de uma onda eletomagnética, pecisamos sabe como os campos eléticos e magnéticos vaiam com a posição e com o tempo. Potanto, faemos isso no caso das ondas hamônicas, paa os quais isso é conhecido (fómulas (6.11) ou (6.1)). Como I é uma quantidade escala e não negativa, não pecisamos nos peocupa com sinais dos campos: ExtBxt (, ) (, ) E B Sxt t kx max max (, ) = sen ( ω ) μ = μ onde as fomas de E e B foam substituídas das fómulas (6.11). Agoa podemos tansfoma o quadado do seno utilizando a identidade tigonomética cos α = cos α sen α = 1 sen α. Com isso, a equação acima fica: E B Sxt t kx μ [ ω ] max max (, ) = 1 cos{( )} A intensidade da onda hamônica é o valo médio dessa expessão: I = S( x, t) t. Segue: 147
1 cos{( ωt kx)} = 1 cos{( ωt kx)} = 1 = 1 pois a média tempoal das funções cosseno e seno é sempe zeo (metade do tempo essas funções são positivas e na outa metade negativas). Com isso, o esultado final é: I E B μ max max = (6.1) A pati da elação geal (6.7): E = c B, no caso das ondas hamônicas, segue a elação ente amplitudes dos campos: E max = c B (6.19) max Levando em conta essa elação, bem como a elação εμ = 1 c tansfomada em divesas fómulas:, a equação (6.1) pode se Emax Bmax Emax 1 ε 1 I = = = Emax = ε cemax (6.) μ μ c μ Qualque uma das fómulas (6.) desceve a intensidade de uma onda eletomagnética hamônica popagando-se pelo vácuo. Quanto maio fo a intensidade de uma onda, maio é a enegia tanspotada po ela. Além da enegia, uma onda eletomagnética também tansfee momento linea p. O último é uma popiedade do campo e não é associado com a existência de nenhuma massa. Isso significa que as ondas eletomagnéticas podem exece pessão sobe uma supefície na hoa da incidência. Na discussão seguinte vamos assumi que a supefície seja pependicula à dieção de popagação, e que a onda tansfee paa a supefície uma enegia total U duante o intevalo de tempo t. Caso a supefície absovesse toda enegia no dado intevalo, Maxwell mostou que o momento total p tansfeido tem magnitude: U p = (absoção completa) (6.1) c A pessão P ad execida sobe a supefície é igual à foça F dividida pela áea da supefície A. Se combinamos essa expessão com a segunda lei de Newton F = dp dt, obtém-se: Substituindo p da equação (6.1), temos: P ad F = = A 1 dp A dt P ad 1 d U 1 du dt = = Adt c c A 14
Nessa fómula econhecemos a expessão ( du dt) A como a enegia da onda tansfeida na unidade de tempo e po unidade da áea pependicula, que é a magnitude do veto de Poynting S. Como já foi dito anteiomente, o efeito da tansfeência pode se egistado somente em média tempoal. Potanto, pessão da adiação sobe a supefície pefeitamente absovente é igual a: P ad = S I c c (6.) Se a supefície tivesse a popiedade de efleti completamente a onda incidente nomal (como espelho, po exemplo), o momento p tansfeido paa supefície num intevalo dt seia duas vezes maio do que no caso da supefície absovedoa. O momento tansfeido da onda incidente seia p = U c, e da onda efletida também p = U c (pois a vaiação do momento é p ( p) = p). Potanto, o momento total tansfeido seia: U p = (eflexão completa) (6.3) c Essa tansfeência esultaia em uma pessão de adiação duas vezes mais elevada do que no caso da supefície absovedoa: P ad = S I c c (6.4) Pessão da adiação execida sobe a supefície que não é nem efletoa nem absovedoa pefeita, e na qual a onda eletomagnética incide sob um ângulo qualque, enconta-se ente os valoes extemos descitos pelas equações (6.) e (6.4). A pessão de adiação é usualmente extemamente pequena. Paa se te uma idéia, a intensidade de luz sola dieta, antes de enta na atmosfea da Tea, é apoximadamente igual a 1,4 kw m. Isso coesponde a uma pessão sob supefície totalmente absovedoa de: P ad 3 I 1, 4 1 W m = = = 4,7 1 c 3, 1 m s 6 Pa 1 que é apoximadamente 1 atmosfeas. Emboa essa pessão seja muito pequena, ela pode se medida com instumentos suficientemente sensíveis. A Agência Espacial Note-Ameicana (NASA) exploa seiamente as possibilidades lança naves espaciais paa outos planetas utilizando como combustível a pessão da adiação sola. Tata-se de um conceito de velejamento sola, que não está somente no de 149
domínio da ficção científica. No ano 1973, engenheios da NASA já se apoveitaam da pessão sola que atingia painéis solaes da nave Maine 1, e efetuaam pequenas coeções da sua tajetóia quando ele passava peto de Mate. Bibliogafia consultada Alonso, M. S. e Finn, E. J., Física, Ed. Edgad Bluche Editoa, São Paulo, 1999. Young, H. D. e Feedman, R. A. Física III - Eletomagnetismo, Peason Education do Basil (qualque edição). Halliday, D., Resnick, R, Walke, J Fundamentos de Física - Eletomagnetismo, Livos Técnicos e Científicos Editoa S.A. (qualque edição). Questões 1. Qual é a oigem da adiação eletomagnética? Como ela é poduzida?. Um fio conectado aos teminais de uma bateia emite ondas eletomagnéticas ou não? Explique. 3. Desceva o significado físico do veto de Poynting. 4. Liste o maio númeo de semelhanças e difeenças ente ondas sonoas e ondas luminosas que você pude. 5. Quando a luz (ou outa foma da adiação eletomagnética) atavessa uma deteminada egião, o que é que se move? Execícios -- Ondas eletomagnéticas 1. (a) A distância até a estela pola do Hemisféio Note, Polais, é de apoximadamente 1 6, 44 1 m. Se Polais se apagasse hoje, em qual ano nós a veíamos desapaece? (b) Quanto tempo leva paa a luz sola atingi a Tea? (c) Quanto tempo leva paa um sinal de micoondas de ada popaga-se da Tea até a Lua e volta? (d) Quanto tempo leva paa uma onda de ádio da uma volta na Tea em um gande cículo póximo à supefície do planeta? (e) Quanto tempo leva paa a luz de um aio atingi você se ele caiu a 1, km de onde você se enconta? Resposta 15
(a) Sabemos que a velocidade da luz que vem da Polais é de c= 31 m/ s, e a distância 1 Polais-Tea é d = 6,44 1 m. Potanto, o tempo que a luz da Polais pecisa paa chega 1 aos nossos olhos é: tp = d / c=,1467 1 s. Como um ano tem 365 dias, um dia tem 4 hoas e uma hoa tem 36 segundos, podemos calcula quantos segundos tem um ano: 1 7 ano = 365 4 36 = 3,1536 1 s. Se dividimos o tempo t P po este númeo, obteemos o t P expesso em anos, em vez de segundos: 1,1467 1 s 3 tp = anos =, 6 1 anos = 6 anos 7 3,1536 1 s Potanto, paa que a luz da Polais chegasse à Tea, pecisaia de 6 anos. Se o apagamento da Polais acontecesse hoje, nós o veíamos somente no ano 7 (1 (ano atual) + 6 = 7). Na vedade nós nem veíamos este evento, pois não estaíamos vivos naquele ano. (b) A distância média ente a Tea e o Sol é sola chegue aos nossos olhos, pecisa de: d 11 1,496 1 m. Potanto, paa que a luz 11 1,496 1 m 3 499 d ts = = =, 499 1 s = 499 s= min =,3min c 31 m/ s 6 i.e., minutos e segundos. (c) A distância média ente a Tea e a Lua é é pecoida pelas micoondas pelo tempo: d 3,4 1 m. A distância Tea-Lua-Tea t L d 3,4 1 m = = =,56 s c m s 31 / (d) O compimento do gande cículo em volta da Tea é apoximadamente igual d = 4km. Potanto, uma onda de ádio levaá t R 7 d 41 m = = =,13s c m s 31 / (e) Como d 3 = 1 km = 1 m, você veá a luz do aio depois de 3 d 1 m t = = =,34 1 c 31 m/ s i.e., paticamente instantaneamente. 5 s 151
. A velocidade de uma onda eletomagnética popagando-se atavés de uma substância tanspaente não magnética é v = 1 κε μ, onde κ é a constante dielética da substância. Detemine a velocidade da luz na água, que tem uma constante dielética em fequências ópticas de 1,7. 3. Uma onda eletomagnética no vácuo tem uma amplitude de campo elético de V/m. Calcule a amplitude do campo magnético coespondente. 4. Em unidades SI, o campo elético em uma onda eletomagnética é descito po: E = x t y 7 1 sen(1, 1 ω ) Enconte (a) a amplitude das oscilações do campo magnético coespondente, (b) o compimento de onda λ e (c) a fequência f. Resposta Emax 1 V m Vs (a) Usando a fómula (6.19): Bmax = = = = c 31 m s m 7 1 π 3,14 (b) Como k = 1, 1 m 7, segue: λ = = m= 6, 1 m. 7 k 1 c 31 m s 7 1 (c) f = = =, 4 1 s. 7 λ 6, 1 m 33,34 1 33,34 T (Tesla). -- Tanspote da enegia pelas ondas eletomagnéticas 5. Quanta enegia eletomagnética po meto cúbico está contida na luz sola, se a intensidade da luz sola na supefície da Tea sob um céu azoavelmente clao é 1 W/m? Resposta A densidade de enegia eletomagnética é: u = ε E, pela fómula (6.14). Assumindo que E = Emax sin( kx ωt) segue: u = ε Emax sin ( kx ωt). O valo médio de u é: 1 1 u = ε Emax, pois sin( kx ωt) =, como foi comentado no texto acima. Agoa, a 1 intensidade da onda é igual a: I = ε cemax pela fómula (6.). Se nesta fómula 1 substituímos ε Emax pela u, obteemos: I = c u. Potanto, a esposta do execício é: I 1 W m 333,34 1 J u = = =. 3 c 31 m s m 15
6. Qual é a magnitude média de um veto de Poynting a 5, milhas de um tansmisso de ádio tansmitindo isotopicamente com uma potência média de 5 kw? Resposta Quando se diz que a tansmissão é isotópica, isso significa que a onda eletomagnética se popaga da mesma maneia em todas as dieções do espaço. Neste caso, a fente de onda foma uma supefície esféica. Potanto, a potência da onda a uma distância = 5, milhas = 5, 1,61 km =,5 km a pati da fonte é distibuída sobe a áea de supefície de uma esfea com aio. Como a intensidade de onda é definida como potência po unidade de áea, e a magnitude média do veto de Poynting é igual a intensidade (fómula (6.17)), segue: S P W = I = i.e., 4π m S 3 5 1 W W = =,473 43,14,51 m m 3 7. Uma comunidade planeja constui uma instalação paa convete adiação sola em enegia elética. Ela necessita de 1, MW de potência e o sistema a se instalado tem uma eficiência de 3,% (ou seja, 3,% da enegia sola incidente sobe a supefície são convetidos em enegia elética). Qual deve se a áea efetiva de uma supefície absovedoa pefeita usada em uma instalação como essa, supondo-se uma intensidade constante de 1 W/m? Resposta [,3 ] P = I A, onde A é áea da supefície absovedoa. Potanto, 6 P 1, 1 W A= = = 3333,34 m 3,3 I,3 1 W m. Em uma egião de vácuo os campos elético e magnético num instante de tempo são E = (,i + 3, j 64, k) N/C e B = (, i +, j +, 9 k) μ T. (a) Moste que os dois campos são pependiculaes ente si. (b) Detemine o veto de Poynting paa esses campos. Dica (a) Mosta que o poduto escala E B = (b) Ache o poduto vetoial E B e divida o com μ (fómula (6.16)). 9. A que distância de uma fonte pontual de onda eletomagnética de 1 W temos E max = 15 V/m? Dica 153
P 1 Po um lado temos que: I =, onde P = 1W, e po outo: I = ε cemax, onde 4π E = V m. Combine estas duas fómulas, e detemine a distância. max 15 -- Momento e pessão de adiação 1. Uma onda eletomagnética plana de intensidade de 6, W/m atinge um pequeno espelho de bolso com 4, cm de áea, posicionado pependiculamente à onda que se apoxima. (a) Qual momento a onda tansfee paa o espelho a cada segundo? (b) Enconte a foça que a onda exece sobe o espelho. Resposta Assumindo que o espelho é um efleto ideal (eflete totalmente), o momento tansfeido I paa ele em cada segundo pode se calculado a pati da fómula: Pad =. Como c F Δp I I Pad =, segue: F = = A, i.e., Δ p = A Δ t, onde Δ t = 1, s. Substituindo os A Δt c c valoes numéicos: 6, W m Δ p= 4, 1 m 1, s = 1,6 1 31 ms J s m 11. Uma onda de ádio tansmite 5, W/m de potência po unidade de áea. Uma supefície plana de áea A é pependicula à dieção de popagação da onda. Calcule a pessão de adiação sobe a supefície se ela fo um absovedo pefeito. Dica P ad I =, onde I = 5, W. c m 1. Um possível meio de vôo espacial é coloca uma placa aluminizada pefeitamente efletoa em óbita ao edo da Tea e, então, usa a luz do Sol paa empua essa "vela sola". Suponha 5 que uma vela de áea de 6, 1 m e massa de 6 kg seja colocada em óbita voltada paa o Sol. (a) Qual foça é execida sobe a vela? (b) Qual é a aceleação da vela? (c) Quanto tempo a vela leva paa chega à Lua, a 3,4 1 m de distância? Despeze todos os efeitos gavitacionais, suponha que a aceleação calculada no item (b) pemaneça constante e suponha uma intensidade sola de 134 W/m. Resposta 154
(a) (b) I 134W m 5 F = A= 6, 1 m = 5,36 N. c 31 m s a F 5,36 N,9 1 m m 6 kg s 4 = = =. (c) Como a = const, a distância s pecoida pelo tempo t é calculada a pati da fómula: 1 s = at + vt+ s, onde v é velocidade inicial (em t = s) e s posição inicial (em t = s). Assumindo que s = (oigem de nosso sistema de coodenadas é colocado na supefície da Tea), e v = (a vela começou se locomove a pati de epouso), segue: 6 s 3,4 1 m 6,99 1 s t = = =,99 1 s = = 1, 75 dias 4 a,9 1 m s 4 6 6 s dia Resumo da aula Chama-se onda eletomagnética um conjunto de campos eléticos e magnéticos popagando-se pelo espaço. Esses campos oscilam em fase, são pependiculaes ente si, e, ao mesmo tempo, pependiculaes em elação à dieção de popagação da onda. As ondas eletomagnéticas não pecisam um meio paa se popaga, e se popagam com velocidade igual a velocidade da luz. São poduzidas po cagas eléticas aceleadas ou desaceleadas. Ondas eletomagnéticas são descitas em temos de amplitude dos campos eléticos e magnéticos, da fequência e peíodo de oscilação desses campos, de compimento de onda, dieção de popagação e polaização. Sua descição matemática é muito paecida com aquela usada paa ondas mecânicas, com exceção do fato de que a função de onda mecânica desceve a petubação das patículas do meio, enquanto a função de onda eletomagnética desceve a petubação de campos eléticos e magnéticos no espaço e tempo. Em uma onda eletomagnética hamônica, os campos eléticos e magnéticos vaiam de acodo com as funções seno e cosseno. No caso da popagação ao longo de eixo x, no sentido de x cescente: Ext (, ) = Emax ey sen( ωt kx) B( xt, ) = B e sen( ωt kx) max z i.e., em qualque instante o veto E B detemina a dieção e sentido de popagação da onda. Duante sua popagação, a onda eletomagnética tanspota enegia e momento linea. A quantidade física que desceve esse tanspote é o veto de Poynting: 155
1 S = E B μ que fonece a dieção e sentido da popagação da onda (atavés de E B ) e cujo módulo é a magnitude do fluxo de enegia po unidade de tempo e da áea pependicula à dieção de popagação. O valo médio tempoal do veto de Poynting I = St (, ) t chama-se intensidade da onda eletomagnética. A intensidade desceve a quantidade da enegia que passa po deteminado ponto do espaço po unidade de tempo e a unidade da áea pependicula à dieção de popagação. No caso das ondas hamônicas, a intensidade depende do quadado da amplitude do campo elético: Emax Bmax Emax 1 ε 1 I = = = E = ε ce μ μ c μ max max Atavés de tanspote do momento linea as ondas eletomagnéticas podem exece pessão sobe uma supefície na hoa da incidência. A pessão execida pela onda é: P ad S I = c c caso a supefície seja absovedoa da adiação, ou P ad I = c caso a supefície seja efletoa completa da adiação incidente. Conclusão Nessa aula começamos a estuda as ondas eletomagnéticas. Apendemos qual é a sua natueza física (campos eléticos e magnéticos que vibam e se popagam pelo espaço), qual é a sua oigem (cagas aceleadas e desaceleadas), e como podemos desceve seu movimento. Estas ondas, bem como as ondas mecânicas, não caegam matéia, mas tanspotam enegia e momento linea atavés do espaço, com velocidade igual a velocidade da luz. Apendemos como desceve matematicamente esse fato, expessando a intensidade de uma onda eletomagnética e a sua pessão em temos de quantidades físicas usadas paa caacteizá-la: amplitude do campo elético e velocidade de popagação. Infomações sobe a póxima aula 156
Na póxima aula apofundaemos o conhecimento sobe ondas eletomagnéticas. Classificaemos todos os tipos dessas ondas (ondas de ádio e TV, micoondas, luz infavemelha, visível e ultavioleta, aios X e gama) pelas suas faixas de fequências, em um esquema chamado especto eletomagnético. Definiemos as equações do efeito Dopple paa ondas eletomagnéticas, e discutiemos a fomação e descição de ondas eletomagnéticas estacionáias. 157