Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear

Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Maio de

Índice Parte I (Aulas teóricas e chas de exercícios) Matrizes e sistemas de equações lineares a cha de exercícios para as aulas de problemas a cha de exercícios facultativos9 Determinantes a cha de exercícios para as aulas de problemas9 Espaços lineares (ou Espaços vectoriais) a cha de exercícios para as aulas de problemas a cha de exercícios facultativos Transformações lineares a cha de exercícios para as aulas de problemas88 Valores próprios e vectores próprios Diagonalização98 a cha de exercícios para as aulas de problemas a cha de exercícios facultativos Produtos internos e ortogonalização a cha de exercícios para as aulas de problemas a cha de exercícios facultativos Produto externo e produto misto Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal Formas quadráticas Mínimos quadrados a cha de exercícios para as aulas de problemas Bibliogra a Parte II (Resoluções das chas de exercícios) Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas Resolução da a cha de exercícios facultativos8 Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas Resolução da a cha de exercícios facultativos8 Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas9 Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas8 Resolução da a cha de exercícios facultativos8 Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas8 Resolução da a cha de exercícios facultativos Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas9

Matrizes e sistemas de equações lineares De nição (i) Sejam m; n N Uma matriz A, do tipo m n (lê-se m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas: a a a n a a a n A : a m a m a mn Usa-se também a notação A (a ij ) mn ou simplesmente A (a ij ), na qual a ij é a entrada (i; j) da matriz A Se m n, diz-se que A é uma matriz quadrada do tipo n n (ou de ordem n) e as entradas a ; a ; :::; a nn formam a chamada diagonal principal de A Se m n, diz-se que A é uma matriz rectangular (ii) A matriz linha i de A é: a i a i a in, para i ; :::; m A matriz coluna j de A é: a j a j para j ; :::; n a mj (iii) À matriz do tipo m n cujas entradas são todas iguais a zero, chama-se matriz nula e representa-se por mn ou simplesmente por Por exemplo e (iv) À matriz do tipo n n a a a nn tal que a ij se i j para todos os i; j, isto é, à matriz cujas entradas fora da diagonal principal são todas nulas, chama-se matriz diagonal (v) À matriz do tipo n n, chama-se matriz identidade e representa-se por I nn ou simplesmente por I

(vi) À matriz do tipo n n a a a n a a n a nn cujas entradas por baixo da diagonal principal são todas nulas, isto é, tais que a ij se i > j, chama-se matriz triangular superior À matriz do tipo n n a a a a n a n a nn cujas entradas por cima da diagonal principal são todas nulas, isto é, tais que a ij se i < j, chama-se matriz triangular inferior Uma matriz diz-se triangular se fôr triangular superior ou triangular inferior Exemplo As matrizes A, B, C e D são dos seguintes tipos: A é, B é, C é, D é Tem-se, por exemplo, a, b, c e d Observação Uma matriz (real) A do tipo m n é uma aplicação: A : f; :::; mg f; :::; ng! R (i; j)! a ij Notação O conjunto de todas as matrizes reais (complexas) do tipo mn é denotado por M mn (R) (M mn (C)) Tem-se M mn (R) M mn (C) De nição Duas matrizes são iguais se forem do mesmo tipo e se as entradas correspondentes forem iguais, isto é, A (a ij ) mn e B (b ij ) pq são iguais se m p, n q e a ij b ij, para i ; :::; m e j ; :::; n De nição A soma de duas matrizes do mesmo tipo A (a ij ) mn e B (b ij ) mn é a matriz A + B (a ij + b ij ) mn

Exemplo Sejam A, B 9, C p e D p : A + B, C + D e não é possível, por exemplo, somar B com C De nição O produto de um escalar (número real ou complexo) por uma matriz A (a ij ) mn é a matriz: A (a ij ) mn Notação A matriz ( )A será denotada por A Exemplo Seja A Tem-se, por exemplo, A 8 Observação A A, A (matriz nula), A + A A, A + {z ::: + A } na n vezes De nição A diferença entre duas matrizes A e B do mesmo tipo é de nida por ou seja, é a soma de A com o simétrico de B A B A + ( B), De nição (i) O produto AB de duas matrizes A e B só pode ser efectuado se o número de colunas da a matriz, A, fôr igual ao número de linhas da a matriz, B Nesse caso, o produto AB de A (a ij ) mp por B (b ij ) pn é de nido por:! px AB (a i b j + ::: + a ip b pj ) mn a ik b kj, k mn isto é, a a p a i a ip a m a mp b b j b n b p b pj b pn pp a k b k k pp a mk b k k pp a ik b kj k pp a k b kn k pp a mk b kn k

Note que sendo b ; :::; b p as colunas da matriz B, então AB A b b p Ab Ab p e sendo a ; :::; a p as linhas da matriz A, então AB a a m B a B a m B (ii) Sejam A uma matriz do tipo n n e p N A potência p de A é de nida por A p A:::A {z } p vezes e para p de ne-se (se A fôr não nula) A I (iii) Diz-se que duas matrizes A e B comutam se AB BA Exemplo (i) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8 8 (ii) p ( ) + + ( ) p p (iii) p ( ) ( ) ( ) ( ) p p ( ) p ( ) p p p (iv) n N, a a a nn n (a ) n (a ) n (a nn ) n Observação (i) O produto de matrizes não é comutativo Por exemplo, para A e B tem-se AB e BA Logo AB BA (ii) CD ; (C ou D ), pois, por exemplo, para C e D ; CD : (iii) Se A (B) tem uma linha (coluna) nula então AB tem uma linha (coluna) nula

De nição (i) A transposta de uma matriz A (a ij ) mn é a matriz A T (a ji ) nm, isto é T a a a n a a a m a a a n a a a m : a m a m a mn a n a n a mn (ii) Sendo A (a ij ) mn M mn (C), à matriz A (a ij ) mn chama-se matriz conjugada de A (iii) Sendo A (a ij ) mn M mn (C), à matriz A H A T chama-se matriz transposta conjugada de A Exemplo T + i i H i i : Teorema Sejam A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, e escalares São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais (a) (Comutatividade da soma) A + B B + A (b) (Associatividade da soma) A + (B + C) (A + B) + C (c) (Elemento neutro da soma) Existe uma única matriz do tipo m n tal que A + + A A, para toda a matriz A do tipo m n (d) (Simétrico) Para cada matriz A existe uma única matriz B tal que A+B B+A Esta matriz B denota-se por A (e) (Associatividade do produto por escalares) (A) () A (f) (Distributividade) ( + ) A A + A (g) (Distributividade) (A + B) A + B (h) (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) (AB) C (i) (Distributividade) A (B + C) AB + AC e (B + C) D BD + CD (j) (AB) (A) B A (B) (k) AI A e IB B, para todas as matrizes A (a ij ) mn e B (b ij ) nm, onde I é a matriz identidade do tipo n n (l) A e B, para todas as matrizes A (a ij ) mn e B (b ij ) nm, onde é a matriz nula do tipo n n (m) A T T A: A H H A:

(n) (A + B) T A T + B T (A + B) H A H + B H (o) (A) T A T (A) H A H (p) (AB) T B T A T (AB) H B H A H (q) (A A :::A n ) T A T n:::a T A T, com A, A, :::, A n matrizes de tipos apropriados (A A :::A n ) H A H n :::A H A H De nição 8 Uma matriz A do (tipo n n) diz-se invertível se existir uma matriz B (do tipo n n) tal que AB BA I À matriz B chama-se matriz inversa de A e denota-se por A Exemplo é invertível e Observação (i) Sendo A a matriz inversa de A, então A é invertível e a sua inversa é a própria matriz A, isto é, (A ) A (ii) A matriz nula não é invertível No entanto, a matriz identidade I é invertível tendo-se I I (iii) Se uma matriz quadrada tiver uma linha ou uma coluna nula então não é invertível Teorema A inversa de uma matriz invertível é única Dem Sejam B e C as inversas de A Então, B BI B (AC) (BA) C IC C De nição 9 (i) Uma matriz A diz-se simétrica se A A T, isto é, se a ij a ji, para i; j ; :::; n Diz-se que A é anti-simétrica se A A T, isto é, se a ij a ji, para i; j ; :::; n (ii) Uma matriz A M mn (C) diz-se hermitiana (ou hermítica) se A H A Diz-se que A é anti-hermitiana se A H A (iii) Uma matriz A M nn (R) diz-se ortogonal se fôr invertível e se A A T (iv) Uma matriz A M nn (C) diz-se unitária se fôr invertível e se A A H (v) Uma matriz A diz-se normal se A H A AA H Exemplo é uma matriz simétrica T 8

+ i i é uma matriz hermitiana + i i cos sen é uma matriz ortogonal ( R): sen cos i i é uma matriz unitária i i H i i i + i i é uma matriz normal Teorema (i) Se A (a ij ) nn e B (b ij ) nn são duas matrizes invertíveis, então AB é invertível e (AB) B A (ii) Sendo um escalar não nulo e A uma matriz invertível então A é invertível e (A) A (iii) Seja m N Se A (a ij ) nn é uma matriz invertível, então A m é invertível e (A m ) (A ) m e escreve-se A m (A m ) (iv) Seja A (a ij ) nn uma matriz Se existir l N tal que A l invertível então A não é (v) Sejam A e B matrizes com A invertível tais que AB Então B (vi) Sejam A e B matrizes com B invertível tais que AB Então A (vii) Sejam A, B e C matrizes com A invertível tais que AB AC Então B C (viii) Sejam A, B e C matrizes com B invertível tais que AB CB Então A C (ix) A (a ij ) nn é uma matriz invertível se e só se A T é invertível e A T (A ) T : (x) A (a ij ) nn é invertível se e só se A H é invertível e A H (A ) H : (xi) Se A (a ij ) nn é uma matriz simétrica invertível, então A é simétrica (xii) Se A (a ij ) nn é uma matriz hermitiana invertível, então A é hermitiana (xiii) Se A (a ij ) nn é uma matriz ortogonal, então A T e A são matrizes ortogonais (xiv) Se A (a ij ) nn é uma matriz unitária, então A H e A são matrizes unitárias (xv) Se A e B são duas matrizes ortogonais então AB é uma matriz ortogonal (xvi) Se A e B são duas matrizes unitárias então AB é uma matriz unitária (xvii) Se A e B são duas matrizes simétricas então AB é uma matriz simétrica se e só se A e B comutarem (xviii) Se A e B são duas matrizes hermitianas então AB é uma matriz hermitiana se e só se A e B comutarem 9

De nição Uma equação linear com n incógnitas x ; x ; :::; x n é uma equação da forma a x + a x + ::: + a n x n b; em que a ; a ; :::; a n e b são constantes (reais ou complexas) A b chama-se termo independente De nição Um sistema de m equações lineares com n incógnitas é um conjunto de equações da forma 8 a x + a x + ::: + a n x n b >< a () x + a x + ::: + a n x n b ::: >: a m x + a m x + ::: + a mn x n b m em que a ij e b k são constantes (reais ou complexas), para i; k ; :::; m e j ; :::; n Usando o produto de matrizes de nido na secção anterior, o sistema de equações lineares acima pode ser escrito como uma equação matricial AX B em que A a a a n a a a n a m a m a mn, X x x x n e B b b b m A matriz A é a matriz dos coe cientes do sistema, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes A matriz a a a n j b a a a n j b [A j B] a m a m a mn j b m associada ao sistema () chama-se matriz aumentada do sistema MUITO IMPORTANTE: Note que AX a a x + a a x + ::: + a n a n x n a m a m a mn

De nição Uma solução do sistema de equações lineares () de variáveis reais, é o elemento (s ; s ; :::; s n ) R n : f(a ; a ; :::; a n ) : a ; a ; :::; a n Rg tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos x s ; x s ; :::; x n s n (No caso das variáveis serem complexas ter-se-ia soluções em C n ) Note que isso equivale a dizer que s s S s n satisfaz a equação matricial AX B, isto é, fazendo X S tem-se a condição verdadeira AS B Ao conjunto de todas as soluções do sistema chama-se conjunto solução ou solução geral do sistema Exemplo 8 O sistema linear de duas equações e duas incógnitas ser escrito do seguinte modo: x y x + y x + y pode A solução geral do sistema acima é dada por f(x; y) : x + y e x + y g f( ; )g, isto é, X é a única matriz que satisfaz AX B, com A e B Teorema Sejam A uma matriz do tipo m n e B uma matriz do tipo m Se o sistema de equações lineares AX B tem duas soluções distintas X e X (X X ), então terá in nitas soluções Dem Basta veri car que X ( qualquer R ) X + X é solução do sistema AX B, para De nição A um sistema de equações lineares da forma 8 a x + a x + ::: + a n x n >< a x + a x + ::: + a n x n ::: >: a m x + a m x + ::: + a mn x n chama-se sistema linear homogéneo Este sistema pode ser escrito na forma AX

Observação solução trivial: (i) Todo o sistema linear homogéneo AX admite pelo menos a X x x x n Assim, todo o sistema linear homogéneo tem solução Além disso, ou tem apenas a solução trivial ou tem in nitas soluções (ii) Como iremos ver num próximo capítulo, à solução geral do sistema linear homogéneo AX dá-se o nome de núcleo de A e escreve-se N (A) Teorema Se A (a ij ) mn é tal que m < n, então o sistema linear homogéneo AX tem in nitas soluções Dem Como o sistema tem menos equações do que incógnitas (m < n), o n o de linhas não nulas r da matriz em escada de linhas obtida da matriz aumentada do sistema também é tal que r < n Assim, há r pivots e n r incógnitas livres as quais podem assumir qualquer valor Logo, o sistema linear homogéneo AX tem in nitas soluções Teorema Sejam A (a ij ) mn e ; escalares (i) Se Y e W são soluções do sistema AX, então Y + W também o é (ii) Se Y é solução do sistema AX, então Y também o é (iii) Se Y e W são soluções do sistema AX, então Y + W também o é (iv) Sejam Y e W soluções do sistema AX B Se Y + W (para quaisquer escalares ; ) também é solução de AX B, então B (Sugestão: basta fazer ) Teorema Seja A uma matriz do tipo m n e B uma matriz do tipo m Qualquer solução X do sistema AX B escreve-se na forma X X + Y onde X é uma solução particular do sistema AX B e Y é uma solução do sistema linear homogéneo AX Assim: solução geral de AX B solução particular de AX B + solução geral de AX Dem Sendo X uma solução particular do sistema AX B e Y uma solução qualquer de AY então A (X + Y ) AX B pelo que X + Y é também uma solução de AX B e não há solução de AX B que não seja deste tipo uma vez que, se X fôr uma solução qualquer de AX B tem-se AX B AX, A (X X ) e assim X X Y é solução de AY tendo-se X X + Y

Teorema 8 Seja A uma matriz do tipo n n (i) O sistema AX B tem solução única se e só se A fôr invertível Neste caso a solução geral é X A B: (ii) O sistema homogéneo AX tem solução não trivial se e só se A fôr não invertível Teorema 9 (i) Sejam A e B duas matrizes do tipo n n Se AB é invertível, então A e B são invertíveis (ii) Se A é uma matriz do tipo n n tal que AB I então BA I e B A : Dem (i) Considere o sistema (AB) X Se B não fosse invertível, então pelo teorema anterior existiria X tal que BX Logo, X seria solução não trivial de ABX, o que contraria o teorema anterior uma vez que por hipótese AB é invertível Assim, B é invertível Finalmente, A é invertível por ser o produto de duas matrizes invertíveis: A (AB) B (ii) Atendendo à alínea anterior, B é invertível Logo B também é invertível e A AI A BB (AB) B IB B, isto é, A é invertível e A (B ) B De nição (i) Às seguintes operações que se podem aplicar às equações de um sistema de equações lineares, chamam-se operações elementares (a) Trocar a posição de duas equações do sistema; (b) Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero; (c) Substituição de uma equação pela sua soma com um múltiplo escalar de outra equação (ii) Dois sistemas de equações lineares que se obtêm um do outro através de um número nito de operações elementares, dizem-se equivalentes Observação (i) Dois sistemas de equações lineares que se obtêm um do outro através de um número nito de operações elementares, têm o mesmo conjunto solução (ii) Quando aplicamos operações elementares às equações de um sistema de equações lineares, só os coe cientes e os termos independentes do sistema são alterados Logo, aplicar as operações elementares anteriores às equações de um sistema linear () equivale a aplicar às linhas da matriz aumentada as seguintes operações [A j B] a a a n j b a a a n j b a m a m a mn j b m

De nição As operações elementares que podem ser aplicadas às linhas (i e j) de uma matriz são: (i) Trocar a posição de duas linhas (i e j) da matriz: L i $ L j (ii) Multiplicar uma linha (i) da matriz por um escalar () diferente de zero: L i! L i (iii) Substituição de uma linha (j) pela sua soma com um múltiplo escalar () de outra linha (i): L i + L j! L j Teorema Se dois sistemas lineares AX B e CX D são tais que a matriz aumentada [C j D] é obtida de [A j B] através de uma ou mais operações elementares, então os dois sistemas são equivalentes De nição Uma matriz A (a ij ) mn diz-se em escada de linhas se: (i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) estão por baixo das linhas não nulas; (ii) Por baixo (e na mesma coluna) do primeiro elemento não nulo de cada linha e por baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas Esse primeiro elemento não nulo de cada linha tem o nome de pivot Exemplo 9 As seguintes matrizes estão em escada de linhas: A ; A ; A p De nição O método de resolver sistemas lineares que consiste em aplicar operações elementares às linhas da matriz aumentada do respectivo sistema de modo a que essa matriz que em escada de linhas, chama-se método de eliminação de Gauss Exemplo O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y e z 8 < : x + z x + y + z y + z é equivalente a x y z Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: j j j j! j! j L j +L!L j L +L!L j

Logo, 8 < : x + z y + z z 8 < x, y : z Neste exemplo o sistema tem a solução única f(; ; )g e diz-se possível e determinado 8 < : Exemplo O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y; z e w x z 9w 9 x + y z + w é equivalente a y z x + y z + w w Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: 9 j j j! 8 j 9! L $L j L 9 j +L!L! L +L!L L!L j j 9 j! L +L!L j j j Logo, x + y z + w z + w x y w, z w + As incógnitas y e w são livres e as incógnitas x e z são não livres A solução geral do sistema é: 9 8> s t < s > t + >: : s; t R >; t isto é, o conjunto solução é dado por: f( s t ; s; t + ; t) : s; t Rg Neste exemplo o sistema tem in nitas soluções e diz-se possível e indeterminado Exemplo Seja a R O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y e z 8 < x + y + z x x + y z é equivalente a y : x + y + (a ) z a a z a Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: j j j! j! a L j a +L!L L +L!L a L j a +L!L

! L +L!L j j (a ) (a + ) j a Se a, então o sistema é possível e indeterminado: x + y + z y z, x z + y z +, a incógnita z é livre, as incógnitas x e y são não livres e a solução geral do sistema é 8 9 < t + t + : t R : ; t isto é, o conjunto solução é dado por: f(t + ; t + ; t) : t Rg Assim, se a, o sistema tem in nitas soluções e diz-se possível e indeterminado Se a, o sistema não tem solução e diz-se impossível Se a e a, o sistema tem a solução única a+ ; a ; a+ a+ a+ e diz-se possível e determinado Observação (Como inverter matrizes invertíveis do tipo n n) Seja A uma matriz do tipo n n e consideremos a equação AX B Se A fôr invertível temos AX B, X A B, isto é, AX IB, IX A B Assim, para determinar a inversa de A, iremos transformar a matriz aumentada [A j I] na matriz [I j A ], por meio de operações elementares aplicadas às linhas de [A j I]: [A j I]! I j A ::: Este método tem o nome de método de eliminação de Gauss-Jordan e consistirá na continuação do método de eliminação de Gauss agora aplicado a [matriz triangular superior j ], efectuando-se as eliminações de baixo para cima de modo a obter-se [I j A ] Exemplo Vejamos que! L +L!L j j! L +L!L j j : Tem-se j j! L!L L!L j! L +L!L j Isto é De facto I

Exemplo (i) Seja A Logo, [A j I] Veri que(!) que: AA I (ii) Seja A Tem-se j j! ::: j 9 8 [A j I] Logo, A não é invertível Tem-se 9 8 j j j! ::: j j j : j j j (iii) Sejam A B 8 C 8 Determine-se X tal que A I X T B C: Tem-se A I X T B C, I X T A CB, I X T A CB,, X T I B C A, X I A T C T B T,, X 8 8!, X : De nição 8 (Ver-se-á mais adiante a consistência desta de nição) Seja A uma matriz em escada de linhas Ao n o de colunas de A que não contêm pivots chama-se nulidade de A e escreve-se nul A Ao n o de pivots de A, isto é, ao n o de linhas não nulas de A, dá-se o nome de característica de A e escreve-se car A Se A fôr a matriz em escada de linhas obtida de C através de operações elementares então diz-se que a característica de C é car A, tendo-se car C car A e diz-se que a nulidade de C é nul A, tendo-se nul C nul A

Exemplo Considere-se as matrizes do exemplo 9 Pivot de A : Pivots de A : ; Pivots de A : ; ; Tem-se: car A, car A e car A Além disso: nul A, nul A e nul A De nição 9 Uma matriz A (a ij ) nn diz-se não singular se após o método de eliminação de Gauss esta fôr transformada numa matriz triangular superior cujas entradas da diagonal principal sejam todas não nulas Uma matriz A (a ij ) nn diz-se singular se após o método de eliminação de Gauss existir (pelo menos) uma linha nula na matriz obtida de A Teorema Seja A (a ij ) nn Tem-se isto é, A é invertível, A é não singular, car A n,, para todo o B o sistema AX B tem uma única solução (X A B), A não é invertível, A é singular, car A < n,, existe pelo menos um B para o qual o sistema AX B não tem solução Observação 8 Seja [A j B] a matriz aumentada associada a um sistema de equações lineares com n incógnitas (i) Se car A car [A j B] n então o sistema é possível e determinado (tem uma única solução) (ii) Se car A car [A j B] < n então o sistema é possível e indeterminado (tem um n o in nito de soluções) (iii) Se car A < car [A j B] então o sistema é impossível (não tem solução) (iv) As incógnitas livres (podem tomar valores arbitrários) do sistema são aquelas que correspondem às colunas, que não contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A através de operações elementares (v) As incógnitas não livres do sistema são aquelas que correspondem às colunas, que contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A através de operações elementares (vi) car A n o de linhas não nulas da matriz em escada de linhas obtida de A n o de pivots n o de incógnitas não livres: nul A n o de incógnitas livres: (vii) Seja A uma matriz do tipo m n Então car A min fm; ng e car A + nul A n: 8

De nição Uma matriz elementar é uma matriz do tipo n n obtida da matriz identidade I (do tipo n n) através de uma única operação elementar (i) A matriz P ij, chamada matriz de permutação, é a matriz elementar obtida por troca da linha i com a linha j da matriz I Tem-se: P ij i j (ii) A matriz E i () é a matriz elementar obtida da matriz I através do produto do escalar pela linha i da matriz I Tem-se: E i () i (iii) A matriz E ij () é a matriz elementar obtida da matriz I por soma da linha j com um múltiplo escalar da linha i Por exemplo para i < j tem-se: E ij () i j 9

Observação 9 (i) As matrizes elementares E ij (), com i < j, são matrizes triangulares inferiores (ii) As matrizes elementares E ij () e E ik () comutam, isto é, E ij ()E ik () E ik ()E ij () Exemplo Sejam ; escalares com As matrizes elementares do tipo são: P P, E (), E (), E () e E () Teorema Sejam E uma matriz elementar do tipo m m e A uma matriz qualquer do tipo m n Então, EA é a matriz obtida de A através da mesma operação elementar que originou E Isto é, aplicar uma operação elementar a uma matriz corresponde a multiplicar essa matriz à esquerda por uma matriz elementar Exemplo Considere-se a matriz aumentada A operação elementar: 9 j j! L $L j corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): 9 j j j A operação elementar: j j! 9 j L!L corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): j j 9 j A operação elementar: j 8 j 9! L 9 j +L!L 9 j j j j j 9 j, j j 9 j j 8 j 9 9 j, j 8 j 9 9 j j j 9 j,

corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): j 8 j 9 9 j Finalmente, a operação elementar: j j! L 9 j +L!L corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): j j 9 j Tem-se então: E () E ( ) E P j j 9 j j j j 9 j j j, j j j j j j Teorema Toda a matriz elementar é invertível e a respectiva inversa é também uma matriz elementar Tem-se: (i) (P ij ) P ij (ii) (E i ()) E i (), para (iii) (E ij ()) E ij ( ) Teorema Uma matriz A é invertível se e só se fôr igual ao produto de matrizes elementares Observação O teorema anterior indica um modo alternativo para calcular a matriz inversa de uma matriz invertível Teorema (Factorização triangular) Duas consequências do método de eliminação de Gauss: (i) Seja A uma matriz do tipo m n Então ou A admite a factorização A LU ou existe uma matriz de permutação P tal que P A admite a factorização P A LU, onde L é uma matriz triangular inferior com as entradas da diagonal principal todas iguais a e U é uma matriz em escada (ii) Seja A uma matriz não singular do tipo n n Então ou A admite a factorização única A LU ou existe uma matriz de permutação P tal que P A admite a factorização única P A LU, onde L é uma matriz triangular inferior com as entradas da diagonal principal todas iguais a e U é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal

principal são os pivots que resultam de aplicar o método de eliminação de Gauss à matriz A Logo, Exemplo 8 Seja A Isto é, com Logo Isto é, com Tem-se: E ()E ( )E ( )A A (E ( )) (E ( )) (E ()) A E ()E ()E ( ) L E ()E ()E ( ) Exemplo 9 Seja A 8 E ( ) P A, ou ainda, A LU, e U Tem-se P A P A (E ( )) P A E () P P, L E () 8 8 8 8, ou ainda, P A LU, e U e 8 :

a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Veri que que: 9 (i) (ii) I (iv) + (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) a (xi) c T b d A a coluna de T p d b (se ad bc ) ad bc c a 9 é 9 cos sen (xiii) é ortogonal ( R) Isto é, sen cos (iii) I p 9 p + T T cos sen cos sen cos sen cos sen I sen cos sen cos sen cos sen cos p p p p p (xiv) é ortogonal (xv) i i é unitária Isto é, (xvi) p p i i i i p i i i i i i i i i i H é uma matriz normal Isto é, i i i H i i i i i i i i i H i i i H i i i (xvii) As constantes a; b e c que de nem a função y ax + bx + c cujo grá co passa pelos pontos (x ; y ) ; (x ; y ) e (x ; y ) (de abcissas distintas entre si), constituem a a x x j y solução b do sistema linear cuja matriz aumentada é dada por: x x j y c x x j y i I

Efectue, sempre que possível, as seguintes operações (i) (ii) + (iii) (iv) (v) p (vii) (viii) @ p T A (ix) B @ (x) T T (xi) 8 9 p (vi) p C A T T Pretende-se arrumar livros em caixas Ao colocar livros em cada caixa, ca um livro de fora Ao colocar 8 livros por caixa, há uma caixa que só tem livro Quantos livros se pretende arrumar? Quantas caixas existem? C Celsius, F Fahrenheit A partir do ponto de congelação (C; F ) (; ) e do ponto de ebulição (C; F ) (; ), deduza a equação linear F 9 C + : Veri que que o único valor comum a ambas as escalas é Escreva a matriz A (a ij ) M (R) em cada um dos seguintes casos: 8 < se i > j a) a ij j ( ) i+j b) a ij : caso contrário, i+j 8 i se i j 8 >< < a ji para todo i; j c) j se j i + d) a ij : j se j > i >: i j caso contrário, Veri que se a matriz (a ij ) M (R) de nida por a ij i + j, para todo i; j ;, é simétrica Determine as características e as nulidades das seguintes matrizes reais, identi cando os respectivos pivots (i) (ii) (iii) (iv) 8 9

(v) (viii) (vi) (ix) 9 8 9 (x) (vii) 8 Quais das seguintes equações são equações lineares em x; y e z? 8 8 (a) x + p y + z (b) x + z (c) x + y z (d) x yz 9 Diga qual dos seguintes pontos: (; ) ; (; ) ; (; ) ; ( ; ) é a solução do seguinte sistema de equações lineares nas variáveis x; y 8 < : x + y x y x y Diga quais dos seguintes pontos: (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; ; 9; ; são soluções do sistema de equações lineares nas variáveis x; y; z e w x y z x + y + z p (i) Determine os coe cientes a; b; c e d da função polinomial p(x) ax + bx + cx + d, cujo grá co passa pelos pontos P (; ); P (; ); P (; ) e P (; ) (ii) Determine os coe cientes a; b e c da equação da circunferência x + y + ax + by + c ; que passa pelos pontos P ( ; ); P ( ; ) e P (; ) Seja R Em função do parâmetro, calcule a característica e a nulidade das seguintes matrizes Em cada alínea, indique ainda (se existirem), justi cando, os valores de para os quais essas matrizes são invertíveis: (i) (iv) (ii) (v) (iii) (vi) + Determine valores para x; y; z e w de modo a que nas reacções químicas seguintes os elementos químicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equação (a) xc H 8 + yo! zco + wh O (b) xco +yh O! zc H O + wo

Resolva os seguintes sistemas de equações lineares x + y x + y (a) (b) x + y x + y 8 8 < x + y z < (d) x y + z (e) : : x y z 8 < (f) : 8 < (h) : 8 >< (j) >: (a) x + y + z x + y + 8z x + y + z x + y z + w x + y + z + w 9 x + y z + 8w x + x x x + 9x x + x x + x x + x x 8 < (g) : 8 < (i) : (c) x + y z x y + z x y + z x + y x y x + y x y x + y x + y + z w x y + z + w x + y + z w 8 < x y + z w (k) x y + z + w : x + y 9z + w Discuta em função do parâmetro real os seguintes sistemas de equações lineares (nas variáveis x; y e z) Nos casos em que existirem soluções, determine-as 8 8 < < : 8 < (d) : x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z (b) x + y + z x + y + 8z (c) : 8 < x + y + z (e) x + y z : x + y + z + x + y + z x + y + z x + y z Discuta os seguintes sistemas de equações lineares em termos dos parâmetros reais e Nos casos em que existirem soluções, determine-as 8 8 z + w 8 < x + y + z >< < x + y z + w x + y + z + w (a) x + y z (b) (c) x y + z + w : x + y + z + w : x + y + z >: x y + z + ( + ) w x + y + z + w Diga para que valores de a; b e c têm soluções os sistemas 8 8 < x + y z a < x y + z a (a) x y + z b (b) x + y z b : : x y + 8z c x + y + z c 8 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja: (a) S f( + t; t) : t Rg (b) S f(t; t; ) : t Rg (c) S f(t; t; t) : t Rg (d) S f(t s; t + s ; s t + ) : s; t Rg (e) S f(t s; t + s ; s + ; t ) : s; t Rg (f) S f( s; s t; s; t ) : s; t Rg (g) S?

9 Determine todas as matrizes reais que comutam com a matriz Existem matrizes só com e nas respectivas entradas Quantas são invertíveis? Seja A M nn (R) tal que A + A + I :Veri que que A é invertível e determine a sua inversa Sejam A; B; X M nn (R) matrizes invertíveis tais que (AB) Em cada 9 um dos seguintes casos, determine a matriz X que satisfaz a equação (i) AXB + AB (ii) BXA A B Determine A M (R) tal que I (A ) T Determine (se existirem) as inversas das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) [] (iv) (v) (vi) (vii) 8 9 (viii) (xi) (xiii) k k k k 8 (ix) 8, com k (xii) 8 (i) Seja A M nn (R) tal que para algum k Nn fg Veri que que cos (x) sen A k k k k k (xiv) : sen cos, com k ; k ; k ; k (ii) Calcule (I A) I + A + ::: + A k :

Seja A (i) Veri que que A (ii) Calcule (I A) (I + A + A ) : Para cada parâmetro real, considere o sistema de equações lineares de variáveis reais cuja matriz aumentada é dada por: j j j a) Discuta em termos de a existência ou não de solução do sistema de equações lineares anterior b) Para, determine o conjunto solução do sistema de equações lineares correspondente 8 Seja A ; +, com ; R: + + (a) Determine a característica e a nulidade de A ; em função de e (b) Determine os valores dos parâmetros e para os quais A ; é invertível 9 Seja A 8, com R (a) Determine a característica e a nulidade de A em função do parâmetro e diga, justi cando, quais são os valores de para os quais A é invertível (b) Para ; determine a inversa da matriz A a Seja B a;b a a b, com a; b R: (a) Determine a característica e a nulidade de B a;b em função de a e b (b) Para a e b calcule a matriz inversa da matriz B ;, isto é, (B ; ) (c) Determine a solução geral do sistema linear B ; X C, C T (d) Para b, determine a solução geral do sistema linear B a; X D, em que D é o simétrico da a coluna de B a; 8

a Ficha de exercícios facultativos Sendo A; B; C matrizes de tipos apropriados, mostre que: (i) (AB) C A (BC) (ii) A (B + C) AB + AC (iii) (AB) T B T A T Sendo A uma matriz do tipo m n, mostre que se A T A então A Sendo A, determine todos os u tais que Au u Obtenha, por indução, uma fórmula para A n onde A é dada por: (i) (ii) (iii) (iv) (v) cos sen sen ( R) cos Mostre que se AB A e BA B então A A e B B Sendo A uma matriz ortogonal, isto é, tal que AA T A T A I, mostre que cos sen cos sen A ou A ; ( R): sen cos sen cos Diga de que tipos deverão ser as matrizes A e B de modo a poderem ser efectuados os seguintes produtos e desenvolva esses mesmos produtos (i) (A + B)(A B) (ii) (AB) (iii) (A + B) 8 (i) Veri que que as matrizes A e B não satisfazem a relação: AB ) A ou B O que pode concluir? E no caso de A ser invertível, o que concluiria acerca da veracidade da relação anterior? (ii) Veri que que as matrizes A, B e C não satisfazem a relação: AB AC ) B C O que pode concluir? E no caso de A ser invertível, o que concluiria acerca da veracidade da relação anterior? 9 Sejam A uma matriz do tipo n n e B uma matriz do tipo m n quaisquer (i) Prove que se A é simétrica (isto é A A T ) então BAB T tambem é simétrica (ii) Prove que se A é normal (isto é A H A AA H ) e B é unitária então BAB H é normal (iii) Prove que B T B e BB T são matrizes simétricas e que B H B e BB H são matrizes hermitianas 9

Uma matriz A do tipo n n diz-se anti-simétrica se A T A Mostre que: (i) Os elementos da diagonal principal de uma qualquer matriz anti-simétrica são todos nulos (ii) Para qualquer matriz A do tipo n n, a matriz A A T é anti-simétrica (iii) Escrevendo A (A + AT ) + (A AT ), toda a matriz quadrada pode ser decomposta de modo único pela soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica a b Veri que que todas as matrizes X que satisfazem a equação X c d I são: I; c b ; Observe assim que a equação matricial X I tem um número in nito de soluções em contraste com a equação escalar x que tem apenas duas soluções ( e ) Mostre que: ; a a b fx M (R) : XA AX; para todo o A M (R)g b a : R Isto é, as matrizes que comutam com todas as matrizes são múltiplos escalares da matriz I Sendo A uma matriz do tipo m n, seja N (A) fx : AX g Mostre que: (i) Sendo A e B matrizes de tipos apropriados, então N (B) N (AB) (ii) Sendo A M mn (R), tem-se N A T A N (A) : (iii) Sendo A e B matrizes do tipo m n com m < n tais que AB T é invertível, então B T A não é invertível Além disso, nenhuma linha de B pertence a N (A) (iv) Sendo A M mn (R) tal que para todo o B R m ; o sistema AX B é possível, então N A T fg Sejam A; B M nn (R) tais que que Au Bu para qualquer u M n (R) Prove que A B Sejam A; B matrizes não nulas do tipo n Determine a característica de AB T Justi que Sendo A uma matriz do tipo m n tal que car A m, mostre que existe B do tipo n m tal que AB I Duas matrizes A e B do tipo n n dizem-se semelhantes se existir S invertível tal que A SBS Mostre que: (i) Sendo A ou B invertíveis então AB e BA são semelhantes (ii) Sendo A e B semelhantes então X N (A) se e só se S X N (B)

8 Seja A uma matriz quadrada (do tipo n n) Mostre que: (i) Se A fôr invertível então A tambem é invertível e (A ) A (ii) Se A fôr invertível então A T tambem é invertível e (A T ) (A ) T (iii) Se A fôr invertível e simétrica então A tambem é simétrica 9 Sejam A e B matrizes do tipo n n Mostre que: (i) Se A; B forem invertíveis então A + B não é necessariamente invertível (ii) Se A; B e A + B forem invertíveis então A + B é invertível e (A + B ) A(A + B) B B(A + B) A Sugestão: comece por veri car que I + B A B (A + B) e I + A B A (A + B): Seja A do tipo n n tal que A A (A diz-se idempotente) Mostre que: (i) I A é idempotente (ii) A I é invertível e (A I) A I Além disso, se A fôr simétrica então A I é uma matriz ortogonal (iii) Se car A n, então A I Uma matriz B (do tipo n n) diz-se idempotente se B B Mostre que A I, (I + A) é idempotente Sendo A (a ij ) uma matriz invertível e B (b ij ) a inversa da A, mostre, para k, a matriz (k i j a ij ) é invertível e a sua inversa é (k i j b ij ) a b Seja A uma matriz do tipo Mostre que A é invertível se e só se c d ad bc No caso de A ser invertível, utilize o método de eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa de A Que condições devem ser veri cadas para que a seguinte matriz diagonal do tipo n n k k D k n seja invertível? Qual é a sua inversa?

Para matrizes quadradas A (a ij ) nn de ne-se o traço de A, tr(a), como sendo a soma de todas as entradas da diagonal principal de A, isto é, tr(a) nx a ii : i Sejam A (a ij ) nn e B (b ij ) nn duas matrizes do tipo n n e um escalar Mostre que (i) (ii) (iii) (iv) tr(a + B) tr(a) + tr(b); tr(a) tr(a); tr(a T ) tr(a); tr(ab) tr(ba): Esta última igualdade continua a ser verdadeira se A (a ij ) mn e B (b ij ) nm Para cada matriz A do tipo n n, veri que que não existe X do tipo n n tal que AX XA I Sejam A e B matrizes do tipo nn tais que A é simétrica e B é anti-simétrica Mostre que tr(ab) : 8 Seja A M mn (R) Mostre que tr(a T A) se e só se A 9 Sejam u; v M n (R) tais que u T v Seja Veri que que A é invertível e que A I + uv T Além disso veri que que A I + u T v uvt u T v tr uv T

Determinantes De nição Dados os números naturais ; ; :::; n chama-se permutação desses n números a qualquer lista em que os mesmos sejam apresentados por ordem arbitrária De nição Seja (i i :::i n ) uma permutação dos números naturais ; ; :::; n Diz- -se que um par (i j i k ) é uma inversão quando (j k) (i j i k ) < (isto é, quando i j e i k aparecerem na permutação por ordem decrescente) De nição Uma permutação (i i :::i n ) diz-se par (ímpar) quando o n o máximo de inversões incluídas fôr par (ímpar) Exemplo A permutação () é ímpar pois o n o máximo de inversões nela incluídas é ímpar: (); () e () De nição Seja A uma matriz do tipo n n Chama-se determinante de A, e escreve-se jaj ou det A, o número que se obtém do seguinte modo: (i) Formam-se todos os produtos possíveis de n factores em que intervenha um elemento de cada linha e, simultaneamente, um elemento de cada coluna de A (ii) Afecta-se cada produto do sinal + ou do sinal conforme as permutações (dos números naturais ; ; :::; n) que guram nos índices de linha e de coluna tenham a mesma paridade ou não (iii) Somam-se as parcelas obtidas Em resumo: xando, por exemplo, a permutação (i i :::i n ) de ; ; :::; n X jaj ( ) a i j a i j :::a injn, em que (j j :::j n) permutação de ;;:::;n 8 < se (i i :::i n ) e (j j :::j n ) têm a mesma paridade : se (i i :::i n ) e (j j :::j n ) têm paridade diferente Observação Pode ainda escrever-se jaj X (j j :::j n) permutação de ;;:::;n 8 < ( ) a j a j :::a njn, em que : se (j j :::j n ) é par se (j j :::j n ) é ímpar

ou jaj X (i i :::i n) permutação de ;;:::;n 8 < ( ) a i a i :::a inn, em que : se (i i :::i n ) é par se (i i :::i n ) é ímpar De nição Seja A (a ij ) nn O traço de A, tr(a), é a soma de todas as entradas da diagonal principal de A, isto é, nx tr(a) a ii : Teorema Sejam A (a ij ) nn e B (b ij ) nn duas matrizes do tipo n n e um escalar Tem-se i (i) (ii) (iii) (iv) tr(a + B) tr(a) + tr(b); tr(a) tr(a); tr(a T ) tr(a); tr(ab) tr(ba): Teorema (i) Se A é do tipo, então jaj a a a a a a a a (ii) Se A é do tipo, então jaj a a a a a a a a a Só no caso (tr A) tr A : a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Observação (i) Se A é uma matriz do tipo n n então jaj tem n! parcelas (ii) O determinante de cada um dos três tipos de matrizes elementares é dado por det P ij ; det E i () ; det E ij () :

Exemplo (i) (ii) ( ) ( ) : ( )( ) + + 8 ( ) ( ) : De nição Seja A (a ij ) uma matriz do tipo n n, com n > Seja A ij a matriz do tipo (n )(n ) que se obtem de A suprimindo a linha i e a coluna j de A Chama-se a A ij o menor-ij da matriz A Teorema 8 (Fórmula de Laplace) Seja A uma matriz do tipo n n, com n > Tem-se nx det A a ij ( ) i+j det A ij, com i f; :::; ng xo: j Observação Seja A uma matriz do tipo n n, com n > Tem-se det A nx a ij ( ) i+j det A ij, com j f; :::; ng xo: i Exemplo ( )( ) + + ( )( )+ ( )( ) + ( ) + ( ) ( ) ( )( ) ( ) + [( ) ( )] 8 Teorema 9 Sejam A e B matrizes do tipo n n Seja um escalar (i) det A T det A (ii) Se A fôr uma matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior então o determinante de A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de A (iii) Se A tiver uma linha (ou coluna) nula então det A (iv) Se B fôr obtida de A trocando duas linhas (ou colunas) de A então det B det A

(v) Se B fôr obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por um escalar então det B det A (vi) Se duas linhas (ou colunas) de A forem iguais então det A (vii) Se B fôr obtida de A somando a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo escalar de uma outra linha (ou coluna) de A então det B det A (viii) det A se e só se A é invertível (ix) det (A) n det A (x) det (EA) det E det A, em que E é uma matriz elementar (P ij ; E i () ou E ij ()) (xi) det (AB) det A det B (xii) det (A A :::A l ) det A det A ::: det A l, em que A ; A ; :::; A l são l (l N) matrizes do tipo n n (xiii) Se A fôr invertível det (A ) det A (xiv) det (AB) ) det A ou det B (xv) det (AB) det (BA) Exemplo 9 9 9 8 Observação Sendo A e B matrizes do tipo n n, em geral: ja + Bj jaj + jbj e ja Bj jaj jbj Por exemplo, se n é par, A I e B I, tem-se ja + Bj n é par + ( ) n jaj + jbj :

De nição Seja A (a ij ) uma matriz do tipo n n, com n > Seja a ij ( ) i+j det A ij onde A ij é o menor-ij da matriz A Chama-se a a ij o cofactor-ij da matriz A e à matriz cof A (a ij) do tipo n n, com n >, a matriz dos cofactores de A Teorema Para qualquer matriz A do tipo n n, com n >, tem-se Se det A então A é invertível e A (cof A) T (cof A) T A (det A) I A det A (cof A)T B @ det A ( )j+i det A ji C A {z } entrada (i;j) de A nn a Exemplo (i) Seja A c Note que ad bc det A b tal que det A Então A é invertível e d A d b ad bc c a (ii) Podemos usar o teorema anterior para calcular não só a inversa de uma matriz (não singular) mas também (e sobretudo) entradas concretas dessa inversa Seja A 8 9 A entrada (; ) da matriz A é dada por (A ) (cof A) T det A det A ( )+ det A det 8 9 Note que apesar da entrada (; ) de A ser nula, a entrada (; ) de A não é nula (iii) Para calcular A a partir do teorema anterior, é preciso calcular (cof A) T Assim, usando por exemplo A da alínea anterior, tem-se 8 9 9 8 cof A 8 9 9 8 8

pelo que e assim (cof A) T A det A (cof A)T 8 8 De facto 8 9 Teorema (Regra de Cramer) Seja A uma matriz do tipo n n tal que A é não singular Então a única solução do sistema de equações lineares AX B é dada por X A B det A (cof A)T B Isto é, sendo X x ::: x n T e B b ::: b n T tem-se, para j ; :::; n, x j det A nx a jib i i det (B j ) T det A det B j det A, onde B j é a matriz obtida de A substituindo a coluna j de A pela matriz coluna B dos termos independentes Exemplo O sistema de equações lineares 8 < y + z 8 x + y z : x z pode ser resolvido usando a regra de Cramer: x 8, y 8 8 e z 8 8

a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Classi que quanto à paridade as seguintes permutações de números de a : (i) () (ii) () (iii) () (iv) () (v) () (vi) () (vii) () (viii) () Na expressão do determinante de uma matriz do tipo diga qual o sinal que afecta cada uma das seguintes parcelas: (i) a a a a a a (ii) a a a a a a (iii) a a a a a a (iv) a a a a a a Veri que que a (i) a a a a a a a a (ii) (iii) det a n a n a n n a n a nn a a a a a a a a a a ( n )n a n :::a n a n a a a a Calcule os seguintes determinantes e diga quais são as matrizes singulares: (i) (ii) 8 8 8 (iii) + p p + p p (iv) cos sen sen cos (v) (vi) 8 8 (vii) (viii) (ix) (x) 8 9 8 (xi) (xii) (xiii) 8 a b (xiv) b a (xv) (xvi) b a b a b a 9

(xvii) (xx) 8 9 (xviii) (xxi) 9 8 n n n n (xix) 8 p 9 (i) Veri que que a matriz a e b f c g d h não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h R (ii) Diga, para que valores de a; b; c; d; e; f; g; h; i; j R, é invertível a seguinte matriz a f b g c h d i e j Determine todos os valores do escalar para os quais a matriz A I é não invertível, onde A é dada por: (i) (ii) (iii) (iv) Indique três matrizes A do tipo tais que tr A det A nn 8 Seja A ; com R a) Diga, justi cando, quais são os valores de para os quais A é invertível b) Seja n N Calcule det (A ) n + (A ) n+ c) Considerando os valores de para os quais A é invertível, calcule a entrada (; ) da matriz inversa de A

9 Use a fórmula de inversão de matrizes para inverter: (i) (ii) (iii) Sejam A 9 B (i) Sem calcular A e B, determine as entradas (; ) de A e (; ) de B (ii) Veri que que det (A + B) det A + det B e det (A B) det A det B Use a regra de Cramer para calcular as soluções dos sistemas: 8 < x + y x + y (i) (ii) x + z x + y : x + y + z Sejam C e D 9 8 Veri que que C e D são invertíveis e calcule: (i) det (C ) (ii) det C (C) (iii) det C T C (iv) det C T C (v) det (C + D) (vi) det C T D D T C Sugestão: Sejam m N, escalar, A; B e S matrizes n n com S invertível, tem-se (a) det (AB) (det A) (det B) (b) det (B) n det B (c) det A T det A (d) det (A ) det A (e) (B) T B T (f) S m (S ) m Sejam A e B matrizes tais que det A p e det B Calcule det(at B ) a b c Sejam a; b; c; d; e; f R Sabendo que d e f g h i ; calcule: x y z d e f a b c a + d b + e c + f (i) g h i (ii) d e f (iii) d e f a b c g h i g h i i h g a g d (iv) f c e b d a (v) b h e c b a c i f

a b c Sejam a; b; c R Sabendo que ; calcule: a b c a b c (i) (ii) a + b + c a + b + c + a b c (iii) (iv) a + b + c + Sejam ; R Sabendo que ; calcule + + + Seja R Veri que que + + + + + + + + + + + + + + 8 Seja R Calcule o determinante da seguinte matriz do tipo n n + + + + 9 Sejam e A (a ij ) nn Mostre que det A det i j a ij Que condições devem os parâmetros reais a; b e c veri car para que a matriz seja invertível? a a b b c c Veri que que (i) det x y y (y x ) (y x ) x x y (x ) (x ) x (ii) det (x ) (x ) x (x ) (x ) x (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x ) (x ) x

Mostre que: b + c c + a b + a (i) a b c (ii) b + c b + c b + c c + a c + a c + a a + b a + b a + b a b c a b c a b c a + b a b c (iii) a + b a b c a + b a b c a b c a b c a b c a b a + b + c (iv) a b a + b + c a b a + b + c a b c a b c a b c Veri que que a + b c + d a + b c + d a c a c + a c b d + b d a c + b d b d : Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x e x se tem x x Sem calcular o determinante, diga qual o coe ciente de x na expressão x x x x 9 8 x Resolva as seguintes equações x (i) (ii) x x x x x x x x x x x x x (iii) x x x x Sabendo que ; e 8 são múltiplos de, justi que que 8 é também múltiplo de, sem calcular o determinante 8 8 Sem calcular o determinante, veri que que é múltiplo de 9 Seja A (a ij ) nn com n ímpar e tal que a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n: Mostre que A não é invertível Isto é, toda a matriz anti-simétrica de ordem ímpar não é invertível Mostre que se uma matriz fôr ortogonal então o seu determinante ou é ou é E se a matriz fôr unitária?

Espaços lineares (ou Espaços vectoriais) De nição 8 Um conjunto não vazio V é um espaço linear (real) se existirem duas operações associadas a V, uma soma de elementos de V e um produto de escalares (números reais) por elementos de V, com as seguintes propriedades: (a) (Fecho da soma) Para quaisquer u; v V u + v V: (b) (Fecho do produto por escalares) Para quaisquer R e u V u V: (c) (Comutatividade da soma) Para quaisquer u; v V, u + v v + u: (d) (Associatividade da soma) Para quaisquer u; v; w V, u + (v + w) (u + v) + w: (e) (Elemento neutro da soma) Existe um elemento de V designado por tal que, para qualquer u V, u + u: (f) (Simétrico) Para cada (qualquer) u V existe v V tal que u + v : A v chama-se o simétrico de u e denota-se por u (g) (Associatividade do produto por escalares) Para quaisquer ; R e u V, (u) () u: (h) (Distributividade em relação à soma de vectores) Para quaisquer R e u; v V, (u + v) u + v: (i) (Distributividade em relação à soma de escalares) Para quaisquer ; R e u V, ( + ) u u + u: (j) Para qualquer u V, u u:

Observação Aos elementos de V chamaremos vectores Exemplo Exemplos de espaços lineares Seja R (i) R n f(x ; :::; x n ) : x ; :::; x n Rg, com as operações usuais: (u ; :::; u n ) + (v ; :::; v n ) (u + v ; :::; u n + v n ), (u ; :::; u n ) (u ; :::; u n ) (ii) M mn (R) (conjunto de todas as matrizes reais do tipo m n), com as operações (usuais): A + B e A (iii) O conjunto de todas as funções reais de variável real de nidas num conjunto S R, com as operações usuais: (f + g)(x) f(x) + g(x), (f)(x) f(x) (iv) O conjunto P fa + a t + ::: + a s t s : a ; a ; :::; a s R e s N g de todos os polinómios reais de variável real, com as operações usuais (v) Seja n N xo O conjunto P n fa + a t + ::: + a n t n : a ; a ; :::; a n Rg de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais (a + a t + ::: + a n t n ) + (b + b t + ::: + b n t n ) a + b + (a + b ) t + ::: + (a n + b n ) t n (a + a t + ::: + a n t n ) a + (a ) t + ::: + (a n ) t n Observação Existem espaços lineares com operações não usuais: (i) O conjunto dos números reais R, com a soma de nida por u v u + v +, e o produto por escalares de nido por u u +, é um espaço linear (Neste caso o elemento neutro é ) (ii) O conjunto dos números reais maiores do que zero, com a soma de nida por u v uv, e o produto por escalares de nido por u u, é um espaço linear (Neste caso o elemento neutro é )

Observação Alterações nos conjuntos considerados anteriormente podem resultar em conjuntos que não são espaços lineares (i) O conjunto f(x; y) R : x e y g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, os simétricos não estão no conjunto (ii) O conjunto V fa + a t + ::: + a n t n : a ; a ; :::; a n R e a n g de todos os polinómios reais de grau igual a n, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, para n > : t n ; t n + t V, mas t n + ( t n + t) t V (iii) O conjunto U ff : R! R tais que f() g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, se f ; f U, Logo, f + f U (f + f ) () f () + f () + De nição 9 Seja V um espaço linear Diz-se que S é um subespaço de V se S é um subconjunto de V e se S, com as operações de V, fôr um espaço linear Observação 8 No entanto, para mostrar que um certo conjunto S V é um subespaço do espaço linear V, não será necessário veri car as propriedades da de nição de espaço linear, como se pode ver no seguinte teorema Teorema Um subconjunto não vazio S de um espaço linear V é um subespaço de V se e só se: (i) Para quaisquer u; v S tem-se u + v S (ii) Para quaisquer R e u S tem-se u S Exemplo Exemplos de subespaços: (i) Os únicos subespaços do espaço linear R, com as operações usuais, são fg e R (ii) Os subespaços do espaço linear R, com as operações usuais, são: f(; ; )g, R, todas as rectas que passam pela origem e todos os planos que passam pela origem (iii) O conjunto de todas as matrizes (reais) triangulares superiores (do tipo n n) é um subespaço do espaço linear M nn (R), com as operações usuais (iv) O conjunto de todas as funções reais de nidas e contínuas em I R (I é um intervalo) é um subespaço do espaço linear de todas as funções f : I! R, com as operações usuais