Aálse Multvarada Aula 6: Aálse Dscrmate AD Prof. Admr Atoo Betarell Juor Juz de Fora
Aálse Dscrmate Essa técca comara as dfereças searação etre os ruos e classfca o ovo objeto como ertecete ao ruo com erfl mas semelhate. Ao cotráro da AA essa técca é recso cohecer revamete os ruos ara obter uma fução dscrmate usada ara alocar os ovos objetos. Basea-se de uma varável cateórca como deedete omal ou ão métrca e de múltlas varáves métrcas como deedetes ara a dstrbução dos ruos. A varável deedete ode ter mas de cateoras.
Aálse Dscrmate Eemlo: uma fábrca de cortador de ramas está teressa em detfcar as ersectvas das suas vedas avalado aos redmetos e do tamaho do lote das famílas roretáras ou ão desta máqua.
Objetvos eras Determar se estem dfereças estatstcamete sfcatvas etre os dos ou mas ruos já defdos. Idetfcar a mortâca relatva de cada var. deedete a revsão de art. em um ruo. Estabelecer o e comosção das dmesões de dscrmação etre os ruos formados a artr do cojuto de varáves deedetes. Ou seja quado há mas de dos ruos você deve eamar e omear cada fução dscrmate sfcatva. Desevolver rocedmetos ara classfcar objetos em ruos e em seuda eamar a acuráca redtva da fução dscrmate ara ver se a mesma é acetável.
Quado usar? Quado a reocuação rcal é elorar as dfereças de ruos dsttos de observações que foram revamete defdos ara em seuda ermtr a classfcação mas rovável de ovas observações em um dos ruos.
Rera de classfcação É ecessáro costrur uma rera matemátca ou de classfcação ara decdr qual é ruo mas rovável que o ovo objeto ertecerá. Fudameta-se a robabldade de ertecer a um dos ruos que mmze o custo de classfcação correta.e. o erro em afrmar que um objeto ertece um ruo quado a verdade ertece a outro.
Rera de classfcação Sejam e f f as fuções de desdade assocadas ao vetor X ara as oulações e. O esaço amostral R é o cojuto de valores ara a qual se classfca os objetos ertecetes ao ruo ao asso que ao ruo. R Assume-se que é a robabldade a ror de e _ é a de em que.
Rera de classfcação As robabldades lobas de classfcação correta e correta dos objetos são: : Icorretamete classfcadocomo : Corretamete classfcado como : Icorretamete classfcadocomo : Corretamete classfcado como P P R X P P P R X P P P R X P P P R X P
Rera de classfcação Os custos de classfcações corretas estão a matrz: Classfca como: Poulação verdadera: 0 C C Assm o custo médo de classfcação correta ECM é: ECM C P C P Uma rera razoável de classfcação tera um ECM tão equeo quato ossível.
Rera de classfcação As reões que mmzam ECM são defdas or valores ara qual matem-se as seutes desualdades: R : f f C C R : f f C C a razão da fução desdade avalada em uma ova observação ; 0 a razão dos custos; e a razão de robabldade a ror. Usa-se arbtraramete ara classfcação: C / C / É ossível orar os custos e escolher as reões mmzam o total de robabldade de erro de classfcação TPM: TPM que é equvalete a mmzar ECM quado os custos são uas. R f d f d R
Classfcação de oulações ormas Assume-se que e sedo ara as oulações com um vetor de observações fo tem-se: Sedo e são cohecdos alca-se a RV: ~ N f ~ N f ] [ X X X X ] [. e f e e e f f
Classfcação de oulações ormas Assm as reões que mmzam ECM são: Tomado o loartmo atural: e : e : C C R C C R l l ] l[
Classfcação de oulações ormas Se a fução dscrmate será quadrátca. Se tem-se fução dscrmate de Fsher 936: em que : ] l[ a a a m a a a m
Classfcação de oulações ormas Cosequetemete: R R : a : a C m l[ ] 0 l C C m l[ ] 0 l C mas rómo de mas rómo de que que. é m / a uma costate que delmta a reão de classfcação e é combação lear das médas. ara a terretação recomeda-se a adrozação:. a* a a' a
Classfcação de oulações ormas Na rátca e são descohecdos e ortato cosderam-se e a fd: S S l l ] l[ S S S S 0. ] l[ : e 0 ] l[ : Loo: e que : tal ; em que : ] l[ a S a S S a S S S S S S S S a m y R m y R y y y y m y m
Classfcação de oulações ormas Ou melhor a rera de ECM mímo estmada ara duas oulações ormas leva em cota uma arorada combação lear ara as observações de ambas as oulações e etão classfca uma ova observação deededo se y 0 a 0 ca ara a dreta ou ara esquerda do oto médo etre as médas y e y. m
Classfcação de oulações ormas
Classfcação de oulações ormas Eemlo.3. 593 que dfereca as mulheres etre dos ruos de oulações: ruo ormal mulheres que ão carream um ee hemofílco A; ruo ortadores obratóros - mulheres e mães que carream o fator hemofílco A.
Classfcação de oulações ormas Cosequetemete : y 37.6 Além dsso y y O oto médo etre essas duas médas é : m 0.0065.0390 y S 8.9 y S S a a a 0.48 0.483.06 37.6 37.6 0.88 0.0 4.6 S 3.58.065 90.43 0.0065 8.9.0390 0.483 8.9.06 3.58 90.43 90.43 08.47 0.88 0.0 90.43 08.47
Classfcação de oulações ormas Assm : R R : se :se y m y m 4.6; 4.6; 0 0 será alocado oruo ormal será alocado o ruo de ortadora obratóra Se 0.0.044 y a 37.6 8.9 0.0.044 Portato classfca - se a mulher o ruo de ortadora obratóra. 0 6.6 4.6 y D 0.98 S S a 37.6 8.9 0.48 3.58.065 90.43 90.43 0.48 08.47.065
Classfcação de oulações ormas Observa-se que a mesma fca detro de uma estmada robabldade de cotoro de 0.50 do ruo e 0.95 do ruo.
Classfcação de oulações ormas A searação sfcatva ão mlca ecessaramete uma boa classfcação. A efcáca de um rocesso de classfcação ode ser avalada de forma deedete de qualquer teste de searação. Por outro lado se a searação é ão sfcatva a busca or uma rera de classfcação útl rovavelmete rá revelar frutífera.
Rera de classfcação quadrátca
Rera de classfcação quadrátca S S ou de mas dmesões e ode erar resultados desaradáves + dados ão forem ormas. Sedo C / C / em dstrbuções ormas com varâcas dferetes. essa rera quadrátca leva uma reão R em dos cojutos descoeos
Rera de classfcação quadrátca a cauda sera meor que a revsta or uma dstrbução ormal o que ode ter sfcatvas taas de erro. Há ortato fraquezas da rera quadrátca os a mesma é sesível aos desvos de ormaldade.
Dstrbução ormal multvarada Dados que ão seuem dstrbução ormal há oções: Fução quadrátca: estraha com mas de dmesões. Trasformados em quase ormas e deos testar S S ara verfcar se a rera lear ou a rera quadrátca é arorada; aalsar os modelos lear de Fsher e quadrátco e aquele que resultar em meores roorções de erros de classfcação será o melhor. Se rómos deve-se escolher o modelo lear os a matrz de covarâca cojuta é estmada com um maor de tes.
Qualdade de ajuste Para cada tem das oulações é calculado o seu escore a fução dscrmate. A aálse dos escores ermtrá avalar a qualdade da fução em termos de erro de classfcação e caacdade de dscrmação. Se esta qualdade é boa os escores de são dferecados dos de.
Qualdade de ajuste Teste de Hotell: e os escores alcados aos vetores de médas amostras. A dstrbução F tem raus de lberdade. Se F> F c ara α fo rejeta-se a H 0 de ualdade das médas dos escores das oulações. 0 em que : Utlza - se a estatítca abao : : : y y T T F y y H y y H y y
Qualdade de ajuste Probabldade de classfcações corretas: Para avalar o rocesso de classfcação calcula-se a sua taa de erro. O total de robabldade de erro de classfcações é: TPM R P R P O meor TPM é a taa de erro ótma OER. equvalete a mmzar ECM quado. C / C Quato robabldades de erro de classfcação melhor é a fução dscrmate. Desdades: cohecdas ão cohecdas. f d f d
Qualdade de ajuste Desdade oulacoal cohecdas: Hóteses: o termo é uma combação lear:. Loo as suas médas e varâca são: / ~ ~ C C N f N f m y R m y R m y : : ] l[ y a y Y Y a a a a Y
Qualdade de ajuste Desdade oulacoal cohecdas: Tem-se: em que : Y P m Y P P P P TPM mímo TPM a fução de dstrbução acumulada de Z. sedo P Y OER Y P m Y P P Z P Y Y
Qualdade de ajuste Desdade oulacoal cohecdas: Assm se: OER.56.60.56.60 0.80 0. 9 A rera de classfcação ótma tera alocado corretamete cerca de % dos tes em uma oulação ou em outra.
Qualdade de ajuste Desdade ão cohecdas: Neste caso a taa de erro ótma ão ode ser calculada. Estma a taa de erro aarete APER defda em fução de observações a amostra que estão mal classfcadas ela fução dscrmate. Nela os mesmos elemetos artcam da estmação da rera dscrmate e da estmação dos erros de classfcação.
Qualdade de ajuste Desdade ão cohecdas: As frequêcas de classfcações corretas e corretas estão a matrz de cofusão. Poulação classfcada ela rera π π Total Poulação de orem π C M = - C π M = C C : tes de orem π e classfcados corretamete em π ; M : tes de orem π e classfcados corretamete em π.
Qualdade de ajuste Desdade ão cohecdas: A taa de erro aarete é: M M APER : M P P M Os escores de cada elemeto em π e π são calculados sedo a rera dscrmate utlzada ara classfcar os = +. Tede a subestmar a APER e roblema ode desaarecer se os tamahos amostras forem bem rades. Tal roblema ocorre orque os dados ara costrur a FD são também utlzados ara avala-los. Pode servr como uma etaa cal de avalação os se o valor de APER for muto elevado é sal que a FD deve ser reformulada.
Qualdade de ajuste Desdade ão cohecdas: Coforme o eemlo.5 em Johso e Wcher 00.60: Poulação classfcada ela rera π π Total Poulação de orem π C = 0 M = = π M = = 0 = APER : 4 M M 0.67 P 0.67 P 4 0.67
Qualdade de ajuste Desdade ão cohecdas: A taa de erro aarete é: M M APER : M P P M Os escores de cada elemeto em π e π são calculados sedo a rera dscrmate utlzada ara classfcar os = +. Tede a subestmar a APER e roblema ode desaarecer se os tamahos amostras forem bem rades. Tal roblema ocorre orque os dados ara costrur a FD são também utlzados ara avala-los. Pode servr como uma etaa cal de avalação os se o valor de APER for muto elevado é sal que a FD deve ser reformulada.
Qualdade de ajuste Método Holdout: A amostra cojuta = + é artda em duas artes: Costrução da rera de dscrmação; Estmação das rob. de classfcações corretas. P e P Para tato: a faz seleção aleatóra dos tes de π e π deado-os fora da amostra ; b testa a FD feta elos demas tes os sabe-se o ruo dos tes retrados; c comuta as roorções de classfcações corretas como o método tradcoal e ateror. P e P ão são vesadas mas o tamaho da amostra ara a estmação da FD é reduzdo que ode ível de cofabldade. Deve-se dear de fora de 5 a 50% dos tes da amostra cojuta oral.
Qualdade de ajuste Método Holdout de Lachebruch: mas utlzado e cosste uma valdação cruzada elos assos: a retrar um vetor de tes da amostra e utlzar os +- tes restates ara costrur a FD; b utlzar a FD feta ara classfcar o tem retrado verfcado se a rera de dscrmação acertou a sua real rocedêca; c retorar o tem retrado e retrar outro reetdo a e b. Tas assos são reetdos ara Ɏtes da amostra e obtém: E AER : H H H M M M P P H M
Qualdade de ajuste Eemlo.6 de Johso e Wcher 00.603: l[ ] S S Poulação classfcada ela rera π π Total APER 6 0.33 Poulação de orem π C = M = = 3 π M = = = 3
Qualdade de ajuste Eemlo.6 de Johso e Wcher 00.603: Retrado a º tem da [ ] matrz X etão: H É mas rádo ara classfcá-lo com base as suas dstâcas ao quadrado a artr das médas. É o mesmo or comutar o valor de y ah H e comará-lo com : / S m H H H H Como a dstâca H H < H H classfca X H = [ ] Є π está correto.
Qualdade de ajuste Eemlo.6 de Johso e Wcher 00.603: Retrado a º tem : H [4 0] Como a dstâca H H > H H classfca X H = [4 0] Є π está correto. Esse rocedmeto sera feto ara: H [3 8] => correto em π ; H [5 7] => correto em π ; H [3 9] => correto em π ; H [4 5] => correto em π ; E AER : 3 3 H H M M 0.5
Classfcação de váras oulações Ao eeralzar ara > ão é ossível retrar coclusões eras que deedem da localzação das oulações. Dee ara f ~ à e c 0se : N P P f d com P - R Tem-se o custo eserado codcoal ECM de classfcações corretas em relação à π orem : ECM c P c3 P3 c P Obtém-se também o custo eserado codcoal de classfcações corretas. ECM ECM3 ECM c P
Classfcação de váras oulações Multlcado cada ECM or sua resectva robabldade a ror tem-se ECM lobal: Da mesma forma que = a classfcação ótma se dá ela mecm. As reões que mecm são defdas alocado ara a oulação π em que: P c ECM ECM ECM ECM ECM 3 3 é o meor ossível. P c
Classfcação de váras oulações Se ocorrer um emate etre as oulações etão ode ser atrbuído a qualquer das oulações vculadas. Se todos os custos são uas tem-se: O que sfca dzer que o termo omtdo é maor. Ou seja é alocado em π se: A rera de classfcação é dêtca que ma a rob.: é o meor ossível. f f f f f f f f l l f f P refere-se que rovém de π dado que fo observado.
Classfcação de váras oulações O eemlo.9 em Johso e Wcher 00.65:
Classfcação de váras oulações O eemlo.9 em Johso e Wcher 00.65: Loo alca-se o mímo ECM sedo : o é alocado em π P c
Classfcação de váras oulações O eemlo.9 em Johso e Wcher 00.65: Se todos os custos são uas bastara atrbur 0 de acordo com f f ou melhor: o é alocado em π 3
Classfcação de váras oulações O eemlo.9 em Johso e Wcher 00.65: Equvaletemete ode-se calcular as robabldades osterores:
Classfcação oulações ormas Matedo e etão classfca-se _ em _ se for o mámo. Desde: A costate é orada desde que uas ara π. O escore de dscrmação quadrátca ara -ésma oulação: ~ N f c 0 c l f f e ma l l l l l f f l d Q l l
Classfcação oulações ormas Usado o escore dscrmate ecotra-se a rera de classfcação.e. é alocado em se: Na rátca quado são descohecdos usa-se : Se assumr que as matrzes são uas ou rómas: c Q Q Q Q d d mámo d d S d Q l l S S S S S S
Classfcação oulações ormas Tem-se o escore dscrmate lear com : Os rmeros termos são os mesmos ara todo π : Tem-se a rera de classfcação.e. é alocado em π se: S d l l S S S S d l S S d d mámo d d
Classfcação oulações ormas Os escores dscrmates leares odem ser comarados dos de cada vez. Usado os valores de cada é ossível detectar que será maor etre : d d d d d l l Adcoado ambos oslados l l 0 0 S S S S
Classfcação oulações ormas Essa codção defe as reões de classfcação R R or R laos. Se há =3 etão: R d l l : 3. 0 se Para o rocedmeto de Lachebruch a taa de erro atual eserada é:. E AER : H M
Classfcação oulações ormas
Dscrmates caôcas de Fsher Fsher 956 elaborou fuções dscrmates a artr de combações leares das varáves oras. Sua etesão ermte: a reresetações coveetes das oulações em uma dmesão meor. Há erda de formação; b lotar as médas das rcas combações leares ajudado a mostrar as relações e os ossíves aruametos das oulações. c costrur um ráfco de dsersão dos rmeros comoetes dcado rováves outlers. Objetvo: searar as oulações mas ode classfcar as observações mesmo que as oulações ão sejam ormas multvaradas.
Dscrmates caôcas de Fsher Suoha varáves aleatóras oulações ão ecessáro ara dscrmação e. As s combações leares s m- são: Cosequetemete o valor eserado altera quado muda a oulação de _. oulações. ara todasas ; ara a oulação : em forma matrcal e e e X e e X X e e e Cov Y Var E Y E Y y y Y s s Y e X
Dscrmates caôcas de Fsher A méda lobal é: E forma a razão: : soma de rodutos cruzados etre ruos; : varabldade detro dos ruos. Busca-se mamzar razão cujo vetor de coefcetes será os autovetores da matrz tal que. e e e Y Y Varâca dey de Y oulações em relação a méda lobal soma das dstâcas ao quadrado das e e e e B e e e e e e e e e e Y Y B B ee
Dscrmates caôcas de Fsher Suodo amostra aleatóra de tamaho de toda a oulação π =... etão: A matrz W é a matrz da soma de rodutos cruzados detro dos ruos: Cosequetemete que é a matrz de covarâcas amostral combada.. ; j j j j j B j j j S W W / S
Dscrmates caôcas de Fsher Como W é uma costate vezes S loo o mesmo: e e Be e Be que mamza também mamza e Se e We Portato essa razão mede a varabldade etre ruos de em relação à varabldade comum detro dos ruos. Os autovetores ê de W B satsfazem W Be e e S Be e tal que. e We e e e e j j j
Dscrmates caôcas de Fsher Como em ACP a combação lear y e X chamada de rmero dscrmate amostral detém o maor autovalor da matrz W B. Isto sfca que tem o maor oder dscrmate que as sucessvas fuções dscrmates: y e X y e X y e 3 3 X. Y Portato há uma ordeação em termos de mortâca da searação dos ruos. s
Dscrmates caôcas de Fsher O eemlo.3 em Johso e Wcher 00.63 calcula as dscrmates amostras de Fsher ara 3 oulações:
Dscrmates caôcas de Fsher Para calcular os s m-=m= autovalores de : W B Desse modo as dscrmates são: e e.386.938.495. y y e e.386.495.386.938..938..495
Dscrmates caôcas de Fsher Aós a costrução das dscrmates ara cada elemeto j é ossível obter os seus escores elo seu vetor de varáves j : De maera semelhate obtém os escores das dscrmates a artr dos vetores de médas ara π =... : Assm as dstâcas eucldaas etre e são comutadas sedo o corresode elemeto j classfcado a oulação cuja dstâca é a meor. j s j j j y e e e s y e e e j ŷ ŷ
Dscrmates caôcas de Fsher Ou melhor j é classfcado em π coforme a rera baseada sobre os rmeros r s dscrmates amostras: r j j j r j j j r j j j r j j j y y y y ou e e em que j ê é defdo em e We e Be j j y ê e s r.
Dscrmates caôcas de Fsher Retomado os valores do eemlo.3 em Johso e Wcher 00.63:..938.495.386 y y e e
Dscrmates caôcas de Fsher Retomado os valores do eemlo.3 em Johso e Wcher 00.63:
Dscrmates caôcas de Fsher Cometáros fas: É comum aeas a ª dscrmate fazer a classfcação dos objetos os ossu o maor oder de dscrmação. Todava um melhor resultado será obtdo se o usuáro utlzar as fuções dscrmates caôcas mas mortates. Essa escolha oder ser feta como em ACP. Não deede trscamete do ressuosto de ormaldade. Ou seja é smlar à ACP.
Fuções dscrmates loístcas Estem stuações que há varáves quattatvas e qualtatvas ara cada observação. Numa varável bára a robabldade de é um arâmetro de teresse que rede: méda : 0.. varâca : 0.. Loo a varâca ão é costate :. 5.5;.8.6. Se Y for uma varável bára etão em um modelo lear: 0 E Y X X Havera ortato alumas desvataes ara esse modelo: os valores redtos de Y oderam ser maor que ou feror a 0 os a eressão lear ara o valor eserado é lmtado; a varâca ão sera costate.
Fuções dscrmates loístcas É ecessára outra abordaem ara troduzr X.e. o modelo Lot. Em vez de modelar a robabldade dretamete em um modelo lear cosdera-se calmete a razão de chace RC: Y RC Y 0 Cotudo há uma falha de smetra os. 8 4 e. 4. Para evtar esse roblema toma-se l eatamete 4.386 e l 4.386 o oosto. Nesse setdo a reressão loístca modela-se: l l RC tal que : β e X X X l βx 0 X
Fuções dscrmates loístcas Alcado-se o atloarítmo tem-se: RC X X e βx 0 X e 0 βx e βx 0 Os valores do vetor de arâmetros a curva loístca determa o quato rádo X muda com o vetor X. Não obstate a terretação ão é tão smles como a reressão lear os a relação ão é lear.
Fuções dscrmates loístcas Rera de classfcação loístca: Seja Y uma varável resosta que: tem valor se a observação j com o vetor X ertece à π ou valor 0 se ela for da π. Assm tal observação j será alocada à π caso: P Y X X RC e 0 X X X ou l P Y 0 X X X X RC l X X X 0 sedo o vetor estmado β or máma verossmlhaça [ X] [ X] ou equvalet emete X X etão RC 0
Cosderações dos modelos e quado se tem varáves qualtatvas Modelo loístco: sofre fluêca da correlação etre as varáves elcatvas afetado as estmatvas obtdas ara os arâmetros do modelo multcoleardade. Não requer dstrbução ormal multvarada. Arorada ara varáves são cotíuas e qualtatvas. Modelo de Fsher: ode erar resultados obres ou satsfatóros deededo das correlações etre as varáves qualtatvas e cotíuas. A baa correlação em uma oulação mas uma alta correlação a outra ou até mesmo uma mudaça de sal das correlações etre as oulações ode dcar codções desfavoráves ara a fução de Fsher.
Seleção de varáves A qualdade da fução dscrmate deede: a detfcação da dstrbução de robabldade de X em cada oulação; b As varáves escolhdas ara a classfcação devem ossur valores bem dferetes etre as oulações ara dstu-las. Se há mutas varáves => subcojuto equeo de varáves com tata formação quato o oral. A escolha de um subcojuto de varáves é reocuate se a classfcação é o rcal objetvo da esqusa. Os roblemas com a seleção de varáves são amlados se houver altas correlações das varáves ou etre combações leares das varáves. Imortate: aumeto do úmero de varáves ão eleva a caacdade de dscrmação.
Seleção de varáves Aálse da varâca uvarada Comara-se a varâca etre ruos em relação à cada varável searadamete ANOVA. As varáves com valores da estatístca F mas sfcatvos serão as mas mortates ara dscrmar os ruos. Tal rocedmeto ão cosdera a correlação etre as varáves.
Seleção de varáves Foward etrada de varáves. ajusta-se uma aálse de varâca ara cada varável searadamete. No modelo etra aquela de maor sfcâca. Se ão houver qualquer varável sfcatva o alortmo é terromdo.. busca-se uma ova varável sfcatva cosderado a varável caddata a etrar como resosta VD e a que já etrou como elcatva VI elo asso. Isto é feto ara todas as varáves caddatas e escolhe a de maor sfcâca. 3. reete-se ara as varáves caddatas restates cosderado as varáves que etraram o asso e como elcatvas. O rocesso se reete até que ão esta mas varáves sfcatvas ara etrar o modelo.
Seleção de varáves Bacward saída de varáves. testa a sfcâca de cada varável elmado as de meor sfcâca meor oder de dscrmação. Para tato cada varável é tratada como resosta e as - demas como elcatvas. A estatístca F é calculada ara cada varável e se o valor F for meor do que o valor de referêca ara a saída das varáves a varável é elmada;. em cada asso retra a varável de meor sfcâca. Se uma varável é removda o rocedmeto busca uma seuda varável ara remoção cosderado como varável resosta como fução das - varáves restates. O rocedmeto é reetdo até que ão haja mas varáves ara serem removdas.
Seleção de varáves Stewse comba Foward e Bacward eemlo 7.5 da Mot 005.. utlza-se cada varável X XX3X4 como resosta da varável detfcadora do ruo X5 varável elcatva: X =fx5... X4 =fx5. Como em Forward os valores de F arcas e suas sfcâcas são calculados. No eemlo X3 =fx5 se destacou.. A varável X3 etra o modelo como elcatva e alca-se: X=fX3 X5 X=fX3 X5 e X4=fX3 X5. No eemlo as varáves X e X se destacram sedo X a de maor sfcâca.
Seleção de varáves Stewse comba Foward e Bacward eemlo 7.5 da Mot 005. 3. A varável X etra o modelo ara testar a saída da varável X3 como o método Bacward. No eemlo X3=fX X5 é sfcatva e etão ela ermaece o modelo; 4. Por fm como X=fX3 X5 e X3=fX X5 foram sfcatvas etão elas etram como elcatvas e testam-se as demas varáves como resosta: X=fX X3 X5 X4=fX X3 X5. No eemlo tato X quato X4 ão foram estatstcamete sfcatvas. 5. Portato o modelo fal será comosto or X e X3.
Seleção de varáves Stewse comba Foward e Bacward eemlo 7.5 da Mot 005. Portato em cada asso é feto um teste de etrada e saída das varáves. Johso 998 recomeda que ara o método bacward seja cosderado um α=% equato que ara stewse etre 5 a 50% ara etrada e 5% ara saída. Geralmete recomeda-se o uso do método bacward e/ou stewse. Ada assm deve-se semre aalsar a qualdade do ajuste robabldades de erro de classfcação deos da costrução da fução dscrmate.