Departameto de Matemática, IST Secção de Probabilidades e Estatística Complemetos de Probabilidades e Estatística Exame de a. Época / 2o. Teste 2o. Semestre 2009/0 Duração: 3 horas / hora e 45 miutos Se pretede fazer o exame deve resolver todos os grupos. 22/06/200 9 horas Se pretede fazer o 2o. teste deve resolver apeas os grupos III, IV, V e VI. Nesse caso as cotações passam a ser o dobro das idicadas. Justifique coveietemete todas as respostas. Atete que o euciado desta prova tem três págias e é costituído por seis grupos. Grupo I 5.0 valores. Seja X Beta(α, ), α > 0. Prove que: (a) α l(x) Expoecial(); Distribuição X Beta(α, ), α > 0 (.5) F.d.p. f X (x) form Cotradomíio de X IR X (0, ) Nova v.a. Y g(x) α l(x) (fução bijectiva) Cotradomíio de Y IR Y g(ir X ) IR + Iversa y α l(x) g (y) e y α Derivada dg (y) dy α e y α F.d.p. de Y f Y (y) form f X [g dg (y) (y)] dy α ( ) e y α α y α e α B(α,) xα ( x) α x α, 0 < x < 0, c.c. e y, y IR Y IR +
Coclusão Y Expoecial(). (b) 2α l(x) χ 2 (2), recorredo para o efeito à fução geradora de mometos. (.0) Outra v.a. Z 2α l(x) F.g.m. Coclusão Z χ 2 (2). M Z (t) E ( e tz) E ( e t 2Y ) M Y (2t) 2t form 2 t < /2 t, 2 M Gama(2/2,/2) (t) 2. Cosidere um taque cúbico de combustível com capacidade igual a 000 litros. Por questões de seguraça, uca se armazeam mais de 750 litros de combustível. É também sabido que a úica face do taque sujeita a corrosão é lateral e que a altura X (em metros) a que ocorre um furo essa face possui distribuição Uiforme(0, ). (a) Defia a variável aleatória Y, que represeta o combustível que resta o taque, caso ocorra um furo à altura X a referida face e todo o combustível acima do furo vaze. Nota: Limite-se a defiir Y à custa de X e a classificar Y quato ao seu tipo. (.0) V.a. X altura (me metros) a que se ecotra o furo o taque cúbico de m 2 Distribuição X Uiforme(0, ) Outra v.a. Y combustível que resta o taque X, se 0 < X < 0.75 0.75, se 0.75 X mi{x, 0.75} Classificação de Y É uma v.a. mista com: 2
ramo discreto degeerado em 0.75 Y d d 0.75; peso associado ao ramo discreto igual a α P (0.75 X ); ramo absolutamete cotíuo em (0, 0.75) Y d a X 0 < X < 0.75; peso associado ao ramo absolutamete cotíuo igual a α P (0 < X < 0.75). (b) Obteha o valor esperado de Y. Valor esperado de Y E(Y ) α E(Y d ) + ( α) E(Y a ) P (0.75 X ) 0.75 +[ P (0.75 X )] E[Uiforme(0, 0.75)] 0.25 0.75 + ( 0.25) 0 + 0.75 2 0.46875. (.5) Grupo II 3.0 valores Admita que um rectâgulo possui dimesões aleatórias comprimeto X e largura Y que costituem um par aleatório com fução de desidade de probabilidade cojuta xy f X,Y (x, y), 0 y x 2 2 0, c.c. (a) Determie a moda do comprimeto. (.5) Par aleatório (X, Y ) X comprimeto Y largura F.d.p. cojuta xy f X,Y (x, y), 0 y x 2 2 0, c.c. Cotradomíio de (X, Y ) IR X,Y {(x, y) : 0 y x 2} F.d.p. margial de X f X (x) + x xy 0 f X,Y (x, y) dy dy x ( y 2 x 2 4 0 0, c.c. ) x 3 4, 0 x 2 3
Moda de X Tratado-se x3 4 de uma fução crescete para 0 x 2, coclui-se que mo mo(x) : f X (mo) max X(x) x IR mo 2. (b) Calcule a probabilidade de o perímetro do rectâgulo ser superior a 4. (.5) Nova v.a. Z 2 (X + Y ) perímetro do rectâgulo Prob. pedida P (Z > 4) P [2 (X + Y ) > 4] P (Y > 2 X) f X,Y (x, y) dy dx (esquema!) {(x,y): y>2 x} ( 2 y 2 x ) x dx 4 2 5 6. (x 2 x) dx 2 x Grupo III 2.5 valores Seja (X,..., X ) uma a.a. de dimesão proveiete da população X Beta(α, ), α > 0. (a) Atededo ao facto de o estimador de máxima verosimilhaça de α ser igual a l(m g ) i l(x i ) e à distribuição amostral 2 α l(m g ) χ 2 (2), prove que l(m g) é um estimador cosistete de α. (2.0) V.a. X i i.i.d. Beta(α, ), α > 0 Estimador de MV de α EMV(α ) l(m g ) i l(x i ) V.a. fulcral para α Z 2 α l(m g ) 2 α EMV(α ) χ 2 (2), Reescrita de EMV(α ) EMV(α ) l(m g ) Z 2 α 4
Características de EMV(α ) E [ EMV(α ) ] ( ) Z E 2 α 2 α E [ ] χ 2 (2 form 2 α 2 Coclusão α V [ EMV(α ) ] ( ) Z V 2 α (2 α) V [ ] χ 2 2 (2 form 4 2 α 4 2 α 2 lim EMV(α ) ] + lim + α 2 0 Atededo a que EMV(α ) é um estimador cetrado de α, logo assitoticamete cetrado, e EMV(α ) possui variâcia assitótica ula, pode cocluir-se que EMV(α ) é um estimador cosistete de α, i.e., EMV(α ) P α. (b) Será que o estimador de máxima verosimilhaça de α é também um estimador cosistete? (0.5) Estimador de MV de α A fução g(x) x é bijectiva em IR +, pelo que pode ivocar-se a propriedade da ivariâcia dos estimadores de MV e afirmar-se que EMV(α) EMV[g(α )] g [ EMV(α ) ]. Averiguação da cosistêcia do estimador de MV de α Se tivermos presete que a covergêcia em probabilidade é fechada para fuções cotíuas em IR e já agora em IR +, como é o caso de g(x) x pode cocluir-se que EMV(α ) P α EMV(α) g [ EMV(α ) ] P g(α ) α i.e., EMV(α) é um estimador cosistete de α. 5
Resolução alterativa Podia averiguar-se da cosistêcia do estimador de MV de α, tirado partido dos seguites factos: Z χ 2 (2) Gama(, /2); EMV(α) 2 α; Z E ( ) Z 2 + 0 f Gama(,/2) (z) dz ; 2( ) E ( ) ( Z 2) 2 + 2 ( )( 2) 0 f Gama( 2,/2) (z) dz V ( ) Z [ ] 2 4( )( 2) 2( ). 4( ) 2 ( 2) Assim, E [EMV(α)] E ( 2 α Z lim + E [EMV(α)] α V [EMV(α)] V ( 2 α Z lim + V [EMV(α)] 0, ) 2 α E ( Z ) (2 α) 2 V ( Z 4( )( 2) ; ) 2 α 2( ) α ) 4 2 α 2 4( ) 2 ( 2) 2 α 2 ( ) 2 ( 2) pelo que se coclui que EMV(α) é um estimador cosistete de α. Grupo IV 2.5 valores Um estudo, elaborado em parceria com o NIST (EUA), teve por objectivo caracterizar a resistêcia X (em ksi 0 3 psi) de determiada fibra de vidro polida usada as jaelas de aeroaves. (a) Um egeheiro do NIST obteve o diagrama extremos-e-quartis abaixo à esquerda, para um cojuto de 3 observações. 45 40 35.0 30 0.8 0.6 25 0.4 0.2 20 0.2 25 30 35 40 45 Comete tal diagrama. (0.5) Natioal Istitute of Stadards ad Techology. 6
Cometários ao diagrama extremos-e-quartis Para além da ligeira assimetria positiva sugerida pelo diagrama, refira-se que: mi x i < 20; Q o. quartil 25; me mediaa 30; Q 3 3o. quartil > 35; max x i > 45. (b) Tal egeheiro decidiu testar o ajustameto da distribuição de Weibull tri-paramétrica com fução de distribuição igual exp [ ( ) x 5.9 2.3 ], x 5.9, 6.92 ao ível de sigificâcia de 5%, tedo para o efeito elaborado o gráfico acima à direita. Idetifique o teste de ajustameto a que recorreu o egeheiro e descreva detalhadamete o procedimeto utilizado. Que decisão terá tomado o egeheiro? (2.0) V.a. de iteresse X resistêcia de fibra de vidro polida Hipóteses [ H 0 : X com f.d. F 0 (x) exp H : H 0 Nível de sigificâcia α 0 5% Estatística de teste ( x 5.9 6.92 ) 2.3 ], x 5.9 O egeheiro está a executar graficamete o teste de Kolmogorov-Smirov, cuja estatística de teste é D sup F (x, X) F 0 (x). x IR Região de rejeição de H 0 para valores da estatística de teste Trata-se de uma cauda à direita W, α0 (c, α0, + ), ode c, α0 F D H 0 ( α 0 ). Cocretamete, c, α0 c 3, 5% tabela 0.2379. 7
Região de rejeição de H 0 para valores da f.d. empírica da amostra, F (x, x) Não rejeitaremos H 0, se i.e., se d sup F (x, d) F 0 (x) 0.2379, x IR F 0 (x) 0.2379 F (x, x) F 0 (x) + 0.2379. Caso cotrário, devemos rejeitar H 0 ao.s. de α 0 5%. Decisão Uma vez que o egeheiro traçou F 0 (x), F (x, x) badas com limites F 0 (x) ± 0.2379 e ao que tudo idica F (x, x) [F 0 (x) 0.2379, F 0 (x) + 0.2379], x [x (), x () ], ão devemos rejeitar H 0 ao.s. de 5% em a qualquer outro.s. iferior a 5%. Grupo V 3.5 valores Uma psicóloga tem vido a estudar a proporção (X) de tempo reservado por alu@s uiversitári@s para a preparação para determiado teste de aptidão. Depois de uma aálise prelimiar de dados, esta especialista etedeu adoptar o modelo {Beta(α, ), α > 0}, cuja fução de desidade de probabilidade é dada por α x α, 0 x f(x α) 0, c.c. (a) Mostre que a média geométrica da amostra aleatória, M g suficiete para o modelo. ( i X i ) /, é uma estatística (.0) V.a. X proporção de tempo reservado para a preparação para teste Distribuição X Beta(α, ) F.d.p. α x α, 0 x f(x α) 0, c.c. 8
Parâmetro α descohecido Espaço de parâmetro Θ IR + Estatística M g ( i X i ) Averiguação da suficiêcia de Mg Para x i [0, ], i,...,, f(x α) f(x i α) i α xi α i ( ) α ( α ) x i x i i i ( ) α (mg) α x i i g(mg, α) h(x), ode, obviamete, g(mg, α) α (mg) α e h(x) ( i x i ) são fuções ão egativas. Coclusão Pelo critério de factorização (de Halmos-Savage-Bahadur), cocluímos que M g é uma estatística suficiete para α. (b) Para testar as hipóteses H 0 : α α 0 e H : α α (α > α 0 ) a psicóloga decidiu usar a estatística de teste 2 α 0 l(m g ) H0 χ 2 (2). Mostre que a cauda à esquerda W (0, 0.85) é a região de rejeição de H 0 mais potete de tamaho 5% escrita para valores da estatística de teste quado 0. (2.0) Hipóteses H 0 : α α 0 vs. H : α α (α > α 0 ) Tamaho do teste 0 Estatística de teste T 2 α 0 l(mg) H0 χ 2 (2) 9
Região de rejeição mais potete (RRMP) de tamaho 0 (i) Aspecto da RRMP É sabido que Ora, RRMP 0 (α α 0, α α ) f(x α ) c f(x α 0 ) α (mg) α ( i x i ) α0 (mg) α 0 ( i x i ) c ( ) α (mg) (α α 0 ) c α 0 (α α 0 ) l(mg) c { x : f(x α } ) f(x α 0 ) c ( α α 0 ) c 2 α 0 l(mg) 2α 0 (α α 0 ) c c, pelo que a RRMP de tamaho 0, escrita para valores da estatística de teste T 2 α 0 l(mg), é defiida por RRMP 0 (α α 0, α α ) {t : t 2 α 0 l(mg) c }, uma cauda à esquerda (ou ão fosse a estatística de teste uma fução decrescete de EMV(α) e a hipótese alterativa do tipo H : α α (α > α 0 )). (ii) Poto crítico É aida ecessário defiir o poto crítico c ou, equivaletemete, c, tedo em cosideração que T 2 α 0 l(mg) H0 χ 2 (2) : Dode c : P [ T RRMP 0 (α α 0, α α ) α α 0 ] 0 P (T c α α 0 ) 0 F χ 2 (2) (c ) 0 c F χ 2 (2)( 0 ). RRMP 0 (α α 0, α α ) { } t : t 2 α 0 l(mg) c F χ (2)( 2 0 ). Ao cosiderar-se 0 e 0, tem-se c F (0.05) tabela 0.85 e W (0, 0.85) χ 2 (20) é, efectivamete, a região de rejeição de H 0 mais potete de tamaho 5% escrita para valores da estatística de teste. 0
(c) Será H 0 : α α 0 4 cosistete com a média geométrica amostral m g ( 0 i x i ) /0 0.7843, ao ível de sigificâcia de 5%? (0.5) Decisão O valor observado da estatística de teste é t 2 α 0 l(mg) 2 0 4 l(0.7843) 9.435972 W (0, 0.85), logo ão se deve rejeitar H 0 a qualquer.s. meor ou igual a 5%. Grupo VI 3.5 valores. No âmbito de um estudo de 979 ititulado Marijuaa use i college, foram classificad@s estudates uiversitári@s de acordo com a frequêcia com que fumavam marijuaa (X), bem como de acordo com a frequêcia com que os respectivos progeitores igeriam álcool e substâcias psicotrópicas (Y ), tedo-se obtido a seguite tabela de dados: Igestão de álcool e substâcias psicotrópicas (Y ) Nuca Ocasioal ou regular Fumo de marijuaa (X) Nuca 4 85 Ocasioal ou regular 94 25 (a) Teste a hipótese de iexistêcia de associação etre as variáveis X e Y, recorredo ao valor p. (.5) V.a. categorizadas, se @ estudate uca fumou marijuaa X 2, se @ estudate fuma ocasioal ou regularmete marijuaa, se @ estudate uca igeriu bebidas alcoólicas Y 2, se @ estudate igere ocasioal ou regularmete bebidas alcoólicas Modelo multiomial θ ij P (X i, Y j) descohecido θ i P (X i) s j θ ij descohecido θ j P (Y j) r i θ ij descohecido N ij Freq. abs. observável da célula(i, j), i, j, 2 N (N i,j ) i,j,2 Multiomial 2 2 (, θ (θ i,j ) i,j,2 )
Hipóteses H 0 : θ ij θ i θ j, i,..., r e j,..., s vs. H : (i, j) : θ ij θ i θ j Estatística de teste ( r s Nij N i N j T i j N i N j ) 2 a H0 χ 2 (r )(s ), já que pretedemos efectuar teste de idepedêcia o cotexto do modelo multiomial. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) É uma cauda à direita W (c, + ). Decisão por recurso ao valor p Atededo a que Y ij 2 i X 4 85 226 2 94 25 29 j 235 20 o valor observado da estatística é igual a ( r s ij ) 2 i j t i j ( 4 226 235 226 235 i j ) 2 + ( 85 226 20 226 20 ) 2 + ( 94 29 235 29 235 ) 2 + ( 25 29 20 29 20 ) 2 (4 9.35)2 + 9.35 6.90487. (85 06.65)2 06.65 + (94 5.65)2 5.65 + (25 03.35)2 03.35 E como a região de rejeição de H 0 é uma cauda direita, o valor p deste teste é dado por p value P (T > t H 0 ) Uma vez que F χ 2 () (6.90487) F χ 2 ()(0.9995) 2.2 < t 6.90487 0.9995 < F χ 2 () F χ 2 (6.90487) () < 0.9995 0.0005, podemos adiatar que devemos rejeitar H 0 (hipótese de iexistêcia de associação etre as v.a. X e Y ) a qualquer.s. α 0 99.95%, omeadamete a quaisquer dos.u.s. (%, 5%, 0%). 2
(b) Obteha uma estimativa que lhe pareça razoável para a chace de fumar marijuaa o grupo de estudates com progeitores que uca igeriram álcool ou substâcias psicotrópicas. (0.5) Chace pedida θ2 P (X2 Y ) θ P (X Y ) θ θ 2 θ θ Estimativa da chace pedida ˆθ 2 ˆθ 2 2 2 94 4 2 3. 2. O tamoxifeo é utilizado o tratameto do cacro da mama. Em 978, averiguou-se a ifluêcia da idade (X) de pacietes, que tomavam tamoxifeo, a variação (Y ) do ível de globulias fixadoras de cortisol. 2 sumariados abaixo: Os resultados respeitates a 26 pacietes foram 26 i x i 63, 26 i (x i x) 2 3756.96, 26 i y i 28.9, 26 i (y i ȳ) 2 465.34, 26 i x i y i 637. Assumido que (X, Y ) possui distribuição cojuta ormal bivariada com vector de valores esperados µ descohecido e matriz de covariâcias Σ descohecida, obteha e comete um itervalo aproximado de cofiaça a 90% para a correlação etre X e Y. (.5) Par aleatório (X, Y ) X idade da paciete Y variação do ível de globulias fixadoras de cortisol Modelo (X, Y ) Normal 2 (µ, Σ) µ (µ X, µ Y ), vector de valores esperados descohecido σ Σ X 2 ρ σ X σ Y, matriz de covariâcia descohecida; ρ σ X σ Y σ 2 Y Passo V.a. fulcral para ρ W 3 [Z(R) Z(ρ)] a Normal(0, ) i ode R X iy i XȲ i (X i X) form 2 é estimador de ρ e Z(R) l ( ) +R i (Y i Ȳ )2 2 R tah (R). Passo 2 Quatis de probabilidade (a, b) : P (a W b) α a b b Φ ( α/2) 2 Etre as fuções do cortisol, mecioe-se a mauteção da produção de glucose e as acções ati-iflamatórias e a regulação imuoógica, real e muscular. 3
Passo 3 Iversão da dupla desigualdade P (a W b) α P (a 3 [Z(R) Z(ρ)] b) α... P { Z [ Z(r) Φ ( α/2) 3 Passo 4 Cocretização ] ρ Z [ Z(r) + Φ ( α/2) 3 ]} α. A expressão para o itervalo assitótico de cofiaça a ( α) 00% para ρ é [ ] [ ]] IC(ρ) [Z Z(r) Φ ( α/2) ; Z Z(r) + Φ ( α/2). 3 3 Tedo em cota que 26 ( α) 00% 90% α 0. Φ ( α/2) Φ (0.95) tabela.6449 i r x iy i xȳ 637 26 63 26 28.9 26 i (x i x) 2 i (y i ȳ) 2 375696 465.54 0.845278 tem-se [ ] [ ]] IC(ρ) [Z Z(r) Φ ( α/2) ; Z Z(r) + Φ ( α/2) 3 3 Cometário [ [ ( ) 0.845278 Z 2 l + 0.845278.6449 ] ; 26 3 [Z (.582363); Z ( 0.896392)] [tah(.582363); tah( 0.896392)] [ 0.98970; 0.74537]. [ ( ) 0.845278 Z 2 l +.6449 ] + 0.845278 26 3 Uma vez que ρ 0 0 IC(ρ) pode cocluir-se que ρ 0 0 ão é um valor razoável para ρ. Assim sedo, deve rejeitar-se H 0 : ρ ρ 0 0 (i.e., a hipótese de idepedêcia etre X e Y ) a qualquer.s. maior ou igual a 00% 90% 0%. 4