Capítlo 5. ermoelasticidade linear D permanente 65 Capítlo 5. RMOASICIDAD INAR D RMANN Neste capítlo, o modelo matemático é composto por das eações diferenciais: a problema térmico; e a problema elástico. Consideraremos: coordenadas cartesianas nidimensionais; regime permanente; propriedades constantes; condições de contorno do tipo Dirichlet; e malhas niformes. 5. MODO MAMÁICO 5.. roblema érmico d dx + 5. condições de contorno de Dirichlet 5. ste problema é m caso simplificado daele apresentado na seção.. ara isso, basta considerar e S constante 5.
Capítlo 5. ermoelasticidade linear D permanente 66 onde taa de geração de calor por nidade de volme /m condtividade térmica do sólido /m.k comprimento do domínio de cálclo m ste problema pode representar, por eemplo, a condção de calor nma barra metálica através da al passa ma corrente elétrica e dissipa calor por efeito Jole. 5.. roblema lástico Será considerado m estado nidimensional de tensões N/m a isto é, [ σ ] [ σ ] 5.4 ortanto, σ σ 5.5 y z onde σ, σ y e σ z são as tensões nas direções X, Y e Z, respectivamente. Neste caso, as deformações adimensionais são dadas por [ ] [ ] 5.6 5.7 y z onde 5.8 X v y 5.9 Y
Capítlo 5. ermoelasticidade linear D permanente 67 w z 5. Z com, v e w representando os deslocamentos m nas direções X, Y e Z, respectivamente. resmem a ara este problema nidimensional, as eações de eilíbrio estático balanço de forças se dσ dx 5. A partir da lei de Hooe para materiais isotrópicos, homogêneos e elásticos, com efeito térmico, obtém-se σ θ 5. onde módlo de elasticidade, módlo elástico o módlo de Yong N/m coeficiente de epansão térmica K - θ diferença de temperatra em relação a m valor de referência K θ 5. direção X: Com as s. 5.8 e 5. em 5., pode-se obter a eação do deslocamento na d dx d 5.4 dx O modelo matemático é fechado considerando-se as segintes condições de contorno de Dirichlet: 5.5 O problema termoelástico consiste em resolver a. 5.4. Mas como ela depende da temperatra, primeiro é necessário resolver a. 5.. Caso seja de interesse, posteriormente,
Capítlo 5. ermoelasticidade linear D permanente 68 pode-se obter a tensão σ e a deformação a partir das s. 5. e 5.8. As eações da teoria da elasticidade linear tridimensional, com efeito térmico, podem ser obtidas no apêndice C do livro de Hebner et al.. 5.. Variáveis de Interesse, a partir da. 5., a partir da. 5.4 variáveis primárias, a partir da. 5.8 σ, a partir da. 5. variáveis secndárias F e F onde F e F são as forças e atam em X e X, na direção X, dadas por 5.6 F σ A F σ A 5.7 onde A é a área da seção transversal à direção X do sólido, e é considerada constante. 5. SOUÇÃO ANAÍICA ara, a solção analítica do problema térmico, s. 5. e 5., reslta em + X + X X 5.8 o, com a definição da. 5., θ X + X X 5.9
Capítlo 5. ermoelasticidade linear D permanente 69 Com a. 5.9, a solção analítica do problema elástico, s. 5.4 e 5.5, reslta em + 6 X X X 5. Deve-se notar e mesmo se, se. Com a. 5. em 5.8, + 6 X X 5. Com as s. 5.9 e 5. em 5., obtém-se σ., com as s. 5.6 e 5.7, A F F 6 5. 5. SOUÇÃO NUMÉRICA A discretização do problema térmico,. 5., pode ser vista na seção..4. ntretanto, deve-se considerar e, S S S 5. A discretização do problema elástico,. 5.4, pode ser obtida com a sbstitição das aproimações nméricas dadas na..6, para a derivada de a ordem de, e na..8, para a derivada de a ordem de. Isso reslta em + h h 5.4 o h + 5.5 o, ainda,
Capítlo 5. ermoelasticidade linear D permanente 7 a a + a + b 5.6 A. 5.6 é válida para a variável em cada nó interno da malha, isto é,,,..., N-. or comparação com a. 5.5, nota-se e ses coeficientes e termos fontes são dados por a, a a, b, + h 5.7 sendo e a Fig.. também se aplica ai. No caso dos dois contornos, isto é, e N, para e sejam satisfeitas as condições de contorno da. 5.5, deve-se sar a, a a b 5.8 Após a obtenção da solção nmérica de, isto é, após a solção do sistema de s..6 o 4., a deformação pode ser obtida pela aproimação nmérica da. 5.8. No caso dos nós internos da malha,,..., N-, pode-se sar a aproimação dada na..6, o e reslta em,,..., N- 5.9 h ara manter a mesma ordem a de aproimação da. 5.9, deve-se sar no contorno eserdo a..9, 4 5. h e no contorno direito, a.., isto é,
Capítlo 5. ermoelasticidade linear D permanente 7 N + N 4 N N 5. h A tensão pode ser obtida com a sbstitição da. 5. em 5.. A discretização desta última reslta em σ [ ] 5. as forças podem ser obtidas com a. 5. nas s. 5.6 e 5.7. o seginte: 5.. Algoritmo de Solção Um possível algoritmo para resolver o problema termoelástico apresentado neste capítlo é er os dados do problema:,,,,, N,,, A. Discretizar o domínio de cálclo, isto é, obter h da..4. Calclar os coeficientes a a, a e os termos fontes b, do sistema de eações do, problema térmico, com as s..4,.9 e.. 4 Resolver o problema térmico com o método DMA, descrito na seção... 5 Calclar os coeficientes a a, a e os termos fontes b, do sistema de eações do, problema elástico, com as s. 5.7 e 5.8. 6 Resolver o problema elástico com o método DMA. 7 Calclar as deformações com as s. 5.9 a 5.. 8 Calclar as tensões σ com a. 5.. 9 Calclar as forças nos contornos com as s. 5.6 e 5.7. Gravar os resltados de interesse. Visalizar os campos de,,, σ verss X. 5.4 XRCÍCIOS ercício 5. Implemente m programa comptacional para resolver, analiticamente e nmericamente, o problema termoelástico Dp do capítlo 5. Adote o algoritmo descrito na seção 5... Use os segintes dados: o C o C 5 4 /m
Capítlo 5. ermoelasticidade linear D permanente 7 Resltados a apresentar: 4 /m.k m N nós 6-6 K - 9 N/m A -4 m Um gráfico de verss X com as solções analítica e nmérica. Um gráfico de verss X com as solções analítica e nmérica. Um gráfico de verss X com as solções analítica e nmérica. 4 Um gráfico de σ verss X com as solções analítica e nmérica. 5 Solções analítica e nmérica de F. ercício 5. Através de ma estimativa de erro a priori, determine as ordens verdadeiras e assintóticas do erro de trncamento das segintes eações diferenciais discretizadas:.., da seção., para os dados do eercício 5.. 5.4. 5.9 4. 5.