Simulação do Resfriamento de Chapas de Aço em Laminação Controlada. Cooling Simulation of Steel Sheets under Controlled Rolling

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1 SSN Revista Matéria, v. 9, n., pp. 4 54, Simlação do Resfriamento de Chapas de Aço em Laminação Controlada RESUMO Sanderson L. G. de Oliveira, Jorge C. Araújo, van N. Bastos, João Flávio V. de Vasconcellos e Antônio J. Silva Neto nstitto Politécnico, UERJ, Caia Postal 978, CEP , Nova Fribrgo RJ Brasil. Neste trabalho é desenvolvida ma solção analítica do resfriamento forçado de ma chapa de aço a diferentes velocidades de laminação. A solção da eqação diferencial governante da transferência de calor foi obtida sando o método da variação dos parâmetros, adaptada às condições de contorno de laminação controlada. A solção nmérica foi desenvolvida por diferenças finitas, com diferenças centradas para a derivada segnda e diferenças atrasadas para a derivada primeira para a sitação de regime permanente. Os resltados obtidos dos dois procedimentos foram comparados entre si, com ótima concordância. Esta formlação pode, em princípio, ser empregado no monitoramento de temperatra drante o processamento de laminação controlada de aços. Palavras chaves: simlação de resfriamento, laminação controlada, solção analítica, solção nmérica. ABSTRACT Cooling Simlation of Steel Sheets nder Controlled Rolling n this work an analytical soltion of forced cooling of a steel plate at different rolling speeds was obtained. A soltion of the governing differential eqations of heat transfer employed the method of parameter variations, adapted to control rolling bondary conditions. The nmerical soltion was obtained by finite differences, with centered differences for the second derivative and backward differences for the first derivative for steady state sitation. The reslts obtained from both procedres were compared, and good agreement was attained. This procedre may be, at first, be employed in the monitoring of temperatre dring the controlled rolling process of steels. Keywords: cooling simlation, controlled rolling, analytical soltion, nmerical soltion. NTRODUÇÃO Drante a fabricação e o processamento dos aços, o controle estrito da temperatra eerce m papel fndamental na garantia das propriedades destes materiais. Os desempenhos mecânico, elétrico, magnético, de resistência à corrosão, dentre otras propriedades, são afetados por este controle, pois a microestrtra depende fortemente das condições termocinéticas eistentes drante o processamento. Em geral os resfriamentos forçados de aço objetivam a formação de martensita [], a precipitação o não de fases [], e assegrar propriedades mecânicas satisfatórias. Em aços sbmetidos à laminação controlada a predição local da temperatra a cada região da placa, torna-se primordial na obtenção da microestrtra desejada [3,4,5]. A solção das eqações de transferência de calor governantes envolve a resolção de eqações diferenciais [6, 8] adaptada ao caso real. Atalmente, pela facilidade de se empregar solções nméricas, pocos pesqisadores são motivados a desenvolver a Solção Analítica SA, qe em geral reqer m conhecimento mais aprofndado de métodos matemáticos e conseqüentemente demandam mais esforço. Ainda assim, qando é possível encontrá-la, deve-se bscá-la, pois, a solção analítica geralmente descreve melhor o problema. O resltado final pode até mesmo ser simples, o qe a torna ainda mais atraente e tilizável. Desta forma, neste trabalho é desenvolvida ma solção analítica da eqação diferencial ordinária de transferência de calor por condção e convecção. O resltado analítico para as condições semelhantes à de laminação controlada é comparada com ma Solção Nmérica SN. Os métodos foram aplicados para obtenção das temperatras para o problema de condção de calor, em regime permanente, em ma placa nidimensional sem geração de energia e com condições de contorno de º Dirichlet e º Nemann tipos [6] Ator Responsável: Sanderson L. G. de Oliveira

2 d T h dt [ T T ], 0 L d kt d T T 0 0 dt d 0, L 3 Os símbolos empregados nas Eqs. -3 são descritos na Tabela. Na Fig. pode-se observar ma representação esqemática do problema qe está sendo resolvido neste trabalho. MATERAS E MÉTODOS A resolção proposta considero as condições de contorno eistentes para ma placa de açocarbono sob laminação sjeita à troca térmica pelos mecanismos de convecção e condção, qando sbmetido a m resfriamento forçado de ma cortina d ága com comprimento de 0,7 m. Embora ma chapa real seja contína, considero-se aqi qe ao final de 6m a temperatra alvo para qalqer velocidade de laminação deveria ser obtida. Na Tabela estão apresentados os parâmetros adotados nas solções nmérica e analítica. Tabela : Valores dos Parâmetros Empregados na Simlação Parâmetros do Processo Comprimento da chapa, L Temperatra ambiente, T Valores 6 m 35 o C, 308 K Temperatra em 0, T0 00 o C, 373 K Condtividade térmica, k 63,9 W/mK Espessra da chapa, t 0,0 m Difsividade térmica, 8, m /s Coeficiente de troca térmica, h 00 W/m K Coeficiente de troca térmica, h 500 W/m K Coeficiente de troca térmica, h 3 5 W/m K Velocidade de laminação, 0; 0,036; 0,; 0,36; 0,50;,0; 3,6; 5,0m/s Posição dos resfriadores, l e l 0,3 e,0 m Os teoremas matemáticos tilizados na a obtenção da solção analítica da eqação diferencial governante do problema estão referenciados ao longo do desenvolvimento. A solção nmérica foi implementada na lingagem de programação C++, empregando o método de diferenças finitas. 3 FORMULAÇÃO MATEMÁTCA E SOLUÇÕES ANALÍTCA E NUMÉRCA 3. Desenvolvimento Analítico da Eqação Diferencial Ordinária de Segnda Ordem Não- Homogênea As Eqs. a 3 formam m problema de valor inicial [7]. A Eq. pode ser escrita conforme a Eq. 4 h h y'' - y' y T kt kt, onde y = T 4

3 Sendo a Eq. 4 ma eqação diferencial ordinária de segnda ordem com coeficientes constantes, pode-se escrever ma eqação característica para encontrar as raízes linearmente independentes associadas à Eq. 5 ay '' by' cy 0 5 onde a, h b, c 3, 3h kt, conforme Tabela. 6a, b, c As raízes da eqação homogênea são dadas por r 4 * h kt e r 4 * h kt 7a, b A Eq. pode ser transformada em ma eqação homogênea empregando T T d T d d e d dt d d 8a, b, c d No entanto, a solção analítica foi desenvolvida diretamente, conforme demonstração a segir. Desta forma, obtém-se: y c e r a 9 y c e r b 9 r r y ce ce y p 0 onde y é a solção geral da Eq.. Pelo teorema a segir, encontra-se y p : Seja y p ma solção particlar de ma eqação diferencial ordinária não homogênea EDONH e sejam y e y solções linearmente independentes da eqação homogênea associada, então toda solção de ma EDONH é da forma y c y c y y [7]. De fato, y y p c y c y é solção da p eqação diferencial ordinária homogênea e y é solção da EDONH. Para encontrar y p foi tilizado o método da variação dos parâmetros [7] y - y p by d y W y, y by d W y, y onde W y, y é o Wronskiano de y e y e

4 T h b 09, 546h kt Devido à solção geral de ma eqação diferencial ordinária ser feita da combinação linear das sas solções, o W y, y será sempre diferente de 0 zero [7] r, r r r r r W y y c c r e ccr e cce r r 3 Sbstitindo as Eqs. e 3 na Eq.,tem-se: y p T h kt e r r r e r r e r e r r T h kt r r r r 4 Sbstitindo a Eq. 4 na Eq. 0, obtemos a solção geral da eqação diferencial ordinária de segnda ordem não-homogênea y r r c e c e 5 onde T h kt 6 r r r r A Eq. 5 fornece ma família de solções para a eqação original, porém o qe interessa é a solção particlar, dada pelas condições de contorno dadas pelas Eqs. e 3 qe constitem ma fnção escada vide Eq. 7. Assim, não é possível resolvê-las aplicando as condições de contorno dada pela Eq. 5. { 00 W/m K para 0 < l h = { 500 W/m K para l < < l { 5 W/m K para l L 7 Portanto, devem-se encontrar as constantes c e c para cada ma das três regiões. Então, têm-se 6 constantes a serem determinadas, qe serão as incógnitas de m sistema linear determinado. Para simplificar a notação, chama-se a fnção da região anterior à zona de resfriamento como T, para a zona de resfriamento como T e a região após a zona de resfriamento como T r r c e T c e 8a T c e r r c e 8b T c e r r c e 8c

5 Os parâmetros Eq. 6, r Eq. 7a e r Eq. 7b dependem de h, e este assme m valor diferente em cada ma das três regiões. Para a generalização do problema tem-se então, referem à região anterior à zona de resfriamento; r, r,, referentes à região após à zona de resfriamento. r, r r, r qe se referentes à zona de resfriamento; e Logo, as incógnitas são c, c, c, c, c, c. A primeira eqação é obtida sando a Eq.8 a com a condição de contorno da Eq.. c c T0 9 onde a constante é dada pela Eq.6 trocando-se h por h. A segnda eqação é dada pela continidade de temperatras, isto é, a temperatra no nó l da região anterior à zona de resfriamento vide Fig. deve ser igal à temperatra no nó l da zona de resfriamento. Das Eqs. 8a-b, tem-se r l rl T l ce ce 0 r l l r T l c e c e galando as Eqs. 0 e, obtém-se r l rl r l l r c e ce - c e c e A terceira eqação também é dada pela condição de continidade de temperatras, isto é, a temperatra no nó l da zona de resfriamento vide Fig. deve ser igal à temperatra no nó l da região após a zona de resfriamento. Da Eq. 8c, tem-se r l r l T l c e c e 3 galando as Eqs. e 3, tem-se r l l l l c e r c e r - c e r c e 4 A qarta eqação é dada pela condição de contorno fornecida pela Eq. 3. Empregando a Eq. 8c, dt L 0 d, o r L r c r e c r e L 0 5 A qinta eqação é dada pela continidade do flo de calor, fornecida pela lei de Forier [6], aplicada no nó l dt l k d dt l k d 6 A constante k da Eq. 6 é a constante de proporcionalidade [6], isto é, a condtividade térmica. Derivando as Eqs. 0e em fnção de e sbstitindo-se na Eq. 6, obtém-se

6 r l rl r l r l c r e c r e c r e c r e 0 7 A seta e última eqação também é dada pela condição de continidade do flo de calor, fornecida pela lei de Forier [6], agora aplicada no nó l r l r l r l r l c r e c r e c r e c r e 0 8 O conjnto das Eqs. 9,, 4, 5, 7 e 8 formam m sistema linear determinado, com seis eqações e seis incógnitas, pois o conjnto das linhas da matriz desse sistema é linearmente independente [7]. Levando as Eqs. 7a-b na Eq. 6, obtém-se após algmas maniplações algébricas 8T ktb 8 8ktb 64 T 9 Desse modo foram encontradas as três solções dadas pelas Eqs. 8a-c, cada ma representando ma das segintes regiões: zona de resfriamento e as regiões anterior e posterior. 3. Condição de Convergência Uma solção nmérica foi desenvolvida para permitir o tratamento de problemas mais gerais, e esta solção foi validada comparando-a com a solção analítica. O método nmérico escolhido foi por diferenças finitas [6]. Eistem diversas aproimações das derivadas por diferenças finitas, como, por eemplo, pode-se escolher diferenças centradas, com ordem de erro de aproimação O, ainda diferenças atrasadas e diferenças avançadas, com ordem de erro de aproimação O é a distância entre dois nós da malha comptacional empregada na discretização do domínio físico. Opto-se inicialmente por escolher diferenças centradas, tanto para a derivada primeira, qanto para a derivada segnda. sto faz com qe reslte no seginte conjnto de eqações: ATi BTi CTi D, i L 30a onde L é o número de nós da malha comptacional, Ti é a temperatra nestes nós, e A, B h, C kt, D ht kt 30b, c, d, e onde B é o elemento da diagonal principal e A e C são os elementos fora da diagonal principal, na mesma linha de B. Utilizando-se a condição de contorno fornecida pela Eq., obtém-se A C T BT D 30f L L obtendo-se m sistema linear tridiagonal L L. Para qe o sistema linear tenha ma solção iterativa, o seja, ao se obter ma matriz de coeficientes de m sistema linear determinado do tipo tridiagonal

7 [6], para qe o sistema convirja, deve-se sar o critério de Scarborogh, qe estipla a seginte condição sficiente para a convergência do método de Gass-Seidel [8] p nb A A e p nb A A 3a-b onde a Eq. 3a deve ser atendida para todas as linhas e a Eq. 3b para pelo menos ma linha da matriz dos coeficientes. sto eqivale a afirmar qe a matriz do sistema deve ser diagonal dominante. Pode-se provar qe o sistema tem ma solção iterativa se: h kt 3a o ainda, kt h 3b Para a Eq. 30a, pode-se escrever: C A 33a devido à propriedade da desigaldade trianglar 33b Das desigaldades 3b e 33b reslta: B kt h C A 33c

8 portanto tem-se: A C B 33d Para a Eq. 30f A C 33e h kt B Da Eq. 33e reslta A C B 33f Logo, o método das diferenças centradas, tanto para a derivada primeira, qanto para a derivada segnda é condicionalmente estável e a solção nmérica depende do espaçamento, o seja, torna-se necessário condicioná-la ao número de Peclet P e. 34 Devido a estas condições, foi implementada a aproimação por diferenças atrasadas na derivada primeira e das diferenças centradas na derivada segnda por ser incondicionalmente estável [6] Desenvolvimento Nmérico Utilizando diferenças centradas para a derivada segnda e diferenças atrasadas para a derivada primeira [6], são obtidas as segintes aproimações em diferenças finitas. d T T d 35 i Ti T i O

9 dt d Ti T 36 i O Sbstitindo as Eqs. 35 e 36 na Eq., obtém-se ATi BTi CTi D, i L 37 onde os coeficientes A, B e C são dados por A 38 h, B kt, C, D ht kt Na Eq. 37, i = => BT CT D AT0 primeira linha 39 As condições de contorno são fornecidas pelas Eqs. e 3. A aproimação em diferenças finitas, sando diferenças atrasadas para a derivada primeira da Eq. é dada por dt TL TL L 0 d 40 Usando a Eq. 37 para o nó i = L-, obtém-se 4 AT BT L L CT L D Combinando a Eq.40 com a Eq.4 reslta AT B C T 4 L L D Das Eqs. 37 e 4, obtém-se m sistema linear L-L-. A matriz dos coeficientes deste sistema linear é tridiagonal, portanto, o algoritmo TDMA [6] pode ser tilizado.

10 Como p nb A A para os nós interiores pela própria definição destes números e na linha L-, B+C > A. Logo, o sistema linear é determinado e incondicionalmente estável convergente pelo critério de Scarborogh [8] Resltados As solções implementadas consideram ma chapa sbmetida a m resfriamento forçado como apresentado na Fig. para oito velocidades de laminação 0,0; 0,036; 0,; 0,36; 0,5;,0; 3,6 e 5,0 m/s. Para cada velocidade de laminação, é apresentada a comparação dos resltados da solção analítica com a nmérica. Na Fig., observa-se qe as menores velocidades de laminação apresentam maior decaimento da temperatra = 0,0; 0,036 m/s e assim por diante. As solções representando o decaimento das temperatras para as solções analítica e nmérica, para ma mesma velocidade, estão, o mito próimas, o sperpostas qando a diferença entre ambas é mito peqena. Figra Esqema da chapa nm processo de laminação sbmetido a m resfriamento forçado As solções foram testadas e comparadas com ma discretização de 70 nós na malha comptacional, sendo 40 nós na região anterior à zona de resfriamento, 0 nós na zona de resfriamento e 0 nós na região posterior à zona de resfriamento. Como esperado, com ma discretização maior, obtém-se aproimações melhores. Por eemplo, com discretização de 000 nós para cada ma das três regiões, o erro absolto fico mito próimo a 0 zero, isto é, 0-8. Testes para h coeficiente de troca térmica constante deram erro absolto também próimo a 0 zero, mesmo com a discretização grosseira de 70 nós. Testes com diferentes temperatras ambientes T =5 o C, 0 o C, 5 o C apresentaram os mesmos desempenhos. sto pode ser melhor observado para a velocidade de laminação =0,0 m/s, pois as temperatras decaem para T.

11 Observa-se na Fig. qe qanto maior a velocidade de laminação mais próimas são as temperatras obtidas com a solção analítica e com o método nmérico. Qando a velocidade de laminação é lenta, a região após a Zona de Resfriamento é a qe apresenta maior diferença de temperatras entre a solção analítica com o método nmérico. Mesmo assim, as diferenças não ltrapassam 9 o C, o qe pode ser considerado desprezível para aplicações de controle em laminação. Os resltados da Fig. encontram apoio nas segintes propriedades matemáticas. Se mltiplicarmos a Eqação por α obteremos após troca de notação da Eq. 4 αy hα y t = y 48 fazendo α = 8,8 0 6 m K 0, obteremos ma simplificação da eqação acima y = 0 49 cja solção, considerando se as condições de contorno dadas pelas Eqs. e resltam em y = T 0 ºC 50 Esta solção matemática limite parece se ajstar parcialmente ao problema físico com as considerações anteriormente feitas, pois m material com valor de difsibilidade térmica igal a zero, significa qe a capacidade de armazenamento térmico é elevada enqanto a condtividade térmica é baia. Deste modo, as temperatras da chapa no domínio físico em qestão, responderiam de forma lenta ao eqilíbrio de temperatra às mdanças nas condições térmicas qe o problema impõe. Este fato parece sgerir a temperatra constante de T 0 como ma solção adeqada para o problema proposto qando a velocidade é elevada por eemplo, >5,0 m/s. Embora a velocidade de resfriamento dt/dt nó a nó da chapa não tenha sido apresentada ela pode ser facilmente obtida de ambas as solções apresentadas. Esta velocidade tem grande interesse, pois permite avaliar as reações metalúrgicas no estado sólido decorrentes do resfriamento, qe determinam a microestrtra final do aço. Além disto, tendo sido validada a consistência física da solção, a adaptação para valores de parâmetros operacionais torna-se ma tarefa corriqeira.

12 Temperatra o C ,0 m/s 3,6 m/s,0 m/s 0,5 m/s 0,36 m/s ,0 m/s 00 0,036 m/s 0,00 m/s Espaçamento m, - analítica, - nmérica Figra : Solções analítica SA e nmérica SN com diferentes velocidades em m/s de laminação 3.. Discssão sobre o Efeito das Velocidades de Laminação Para a velocidade de laminação =0,0 m/s, pode-se visalizar qe as solções analítica e nmérica, a partir da zona de resfriamento, tiveram respostas igais para as temperatras nos nós da malha comptacional. Esse fato pode ser jstificado pelo efeito elíptico da difsão, isto é, as temperatras nos etremos do domínio físico do problema contribíram igalmente para o perfil das temperatras na malha comptacional. Para a velocidade limite de =0,0, as temperatras caem para T =35 o C já ao final da região anterior à zona de resfriamento. A Tabela mostra qe, mesmo com a discretização grosseira de 0 nós na região posterior à zona de resfriamento, a diferença não ltrapassa 6 o C, para =0,036 m/s, o C para =0, m/s, 0 o C para =0,36 m/s, 4 o C para =,0 m/s,, o C para =3,6 m/s. Na velocidade de laminação =0,5 m/s, observa-se qe as temperatras dominantes T 0 refletem a condção de calor da temperatra fia da região após a zona de resfriamento. Mesmo a velocidade =0,5 m/s pode ser considerada elevada para o problema em qestão, pois os 6 metros da chapa são percorridos em menos de 0 segndos. Neste caso, o efeito difsivo da temperatra na lâmina no nó etremo =6,0m não é transmitido de forma intensa no sentido oposto à velocidade. A Tabela mostra qe, mesmo com a discretização grosseira de 0 nós na região posterior à zona de resfriamento, a maior diferença para a velocidade =0,5 m/s fica em 7,4 o C. As observações da seção estão de acordo com os resltados obtidos para os testes da velocidade de laminação =5,0 m/s. Para esta velocidade, as solções analítica e nmérica tiveram resltados com ma diferença máima menor qe ºC na região após a zona de resfriamento. Na Fig. é possível notar qe com o amento da velocidade de laminação, o efeito térmico do resfriamento mesmo com m coeficiente de troca térmica elevado h na lâmina foi redzido. sto é, os valores de temperatras caem menos. A Tabela 8 mostra qe, mesmo com a discretização grosseira de 0 nós na região posterior à zona de resfriamento, a diferença é de 0,74 o C.

13 m/s 0,0 0,036 0, 0,36 0,5,0 3,6 5,0 Tabela : Comparação entre solções analítica e nmérica para oito velocidades de laminação nó etremo da região solção analítica solção nmérica diferença analítica - nmérica anterior à zona de resfriamento 0,3m 40,3 o C 36,3 o C 4 o C final da zona de resfriamento,0m 35 o C 35 o C 0 o C final da região posterior à zona de 35 o C 35 o C 0 o C resfriamento 6,0m anterior à zona de resfriamento 0,3m 049 o C 049,8 o C -0,8 o C final da zona de resfriamento,0m 0,3 o C 3, o C -0,97 o C final da região posterior à zona de 83,59 o C 98,9 o C -5,3 o C resfriamento 6,0m anterior à zona de resfriamento 0,3m 08,4 o C 080, o C,3 o C final da zona de resfriamento,0m 48,4 o C 434,9 o C -6,49 o C final da região posterior à zona de 384,8 o C 406,6 o C -,79 o C resfriamento 6,0m anterior à zona de resfriamento 0,3m 094,8 o C 094,7 o C 0, o C final da zona de resfriamento,0m 84,6 o C 84,5 o C 0, o C final da região posterior à zona de 86,64 o C 86, o C -9,56 o C resfriamento 6,0m anterior à zona de resfriamento 0,3m 096,4 o C 085,4 o C 0,84 o C final da zona de resfriamento,0m 907,66 o C 907, o C 0,46 o C final da região posterior à zona de 887,36 o C 894,5 o C -7,4 o C resfriamento 6,0m anterior à zona de resfriamento 0,3m 098, o C 098, o C 0,0 o C final da zona de resfriamento,0m 999,04 o C 998,6 o C 0,44 o C final da região posterior à zona de 987,76 o C 99,5 o C -3,74 o C resfriamento 6,0m anterior à zona de resfriamento 0,3m 099,5 o C 099,5 o C 0,0 o C final da zona de resfriamento,0m 070,93 o C 070,7 o C 0,3 o C final da região posterior à zona de 067,56 o C 068,6 o C,04 o C resfriamento 6,0m anterior à zona de resfriamento 0,3m 099,6 o C 099,6 o C 0,0 o C final da zona de resfriamento,0m 078,98 o C 078,9 o C 0,08 o C final da região posterior à zona de 076,56 o C 077,3 o C -0,74 o C resfriamento 6,0m 4 CONCLUSÕES Foi desenvolvida ma solção analítica da transferência de calor sob condições de laminação controlada de aços de alta resistência mecânica sob regime permanente. A solção analítica para o problema proposto foi resolvida pelo método da variação dos parâmetros. Uma solção nmérica foi desenvolvida para permitir o tratamento de problemas mais gerais, e esta solção foi validada comparando-a com a solção analítica. O método nmérico escolhido foi por diferenças finitas. No caso da velocidade de laminação =0,0 m/s, as solções analítica e nmérica tiveram resltados praticamente idênticos em toda a malha comptacional. Entretanto, com a velocidade =0,36 m/s os algoritmos descreveram temperatras com ma diferença inferior a 0 o C temperatras desta ordem de grandeza podem ser consideradas negligenciáveis para o processo de laminação. Mesmo para ma discretização grosseira com 70 nós e com L=6 m, isto com relação às temperatras da solção analítica no nó central da chapa, mostrando ser ma solção robsta para tratar o problema. Desde modo, estes resltados podem ser empregados no monitoramento da temperatra do processo de laminação controlada de aços de alta resistência mecânica permitindo inferir as transformações de fases dependentes do ciclo térmico. 5 AGRADECMENTOS Os atores agradecem ao CNPq e à FAPERJ pelo apoio financeiro.

14 6 REFERÊNCAS [] ASM Handbook, ASM nternational, vol., EUA, 996. [] FAULKNER, R. G. Combined Grain Bondary Eqilibrim and Non-Eqilibrim Segregation in Ferritic/Martensitic Steels, Acta Metall.,, pp , 987. [3] RCHARDSON, A D.; DORMAND, J. R., The Simlated Cooling of the Hot-Rolled Strctral Steel Sections, Compters Math. Applic., 3, N.8, pp , 996. [4] CUNHA, J. P.; MENEZES, W. M.; SLVA, O M.; NETO, C. M. Análise de Variáveis Termocinéticas na Formação de Martensita em Aços Mltifásicos Tipo ARBL, n: 58º CONGRESSO DA ABM, São Palo, pp , 003. [5] TENS, H. M.; TOTTEN, G. E.; CANALE, L. C.; The Qench Process: An Overview of the Fndamental Physical Properties of Liqid Qenching, n: 58º CONGRESSO DA ABM, São Palo, pp , 003. [6] SLVA NETO, A. J.; VASCONCELLOS, J. F. V. Uma ntrodção aos Métodos de Diferenças Finitas e Volmes Finitos com Aplicações em Transferência de Calor e Massa, LEMA, PRJ, Nova Fribrgo, RJ, 00. [7] EDWARDS Jr., C.H.; PENNEY, D. E. Eqações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno. 3 a. Edição. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 995. [8] MALSKA, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Flidos: Fndamentos e Coordenadas Generalizadas. a Edição. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 995.