Prof. Antônio F M Santos

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1 Prof. Antônio F M Santos Profa. Rosenda Valdés Arencibia Maio, 011

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3 Sexo: Masclino, Feminino Calvície: Calvo, Não calvo A associação entre das o mais variáveis implica qe o conhecimento de ma altera a probabilidade de algm resltado da otra. Por exemplo, se ma pessoa é calva, sabemos qe, provavelmente, esta pessoa é m homem. Assim, as variáveis sexo e calvície encontram-se associadas. Créditos: UFSC

4 O fato de das variáveis estarem associadas não implica qe ma delas seja a casa da otra. Pode existir otra(s) variável(is) inflenciando as das. Créditos: UFSC

5 ± (c) c b ± (b) Como estimar a incerteza do valor de ma grandeza qe é calclada através de operações matemáticas em fnção de variáveis correlacionadas? A = b. c (A) =? Metodologia.

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7 Erro Incerteza Erro Resltadodemedição- VVC

8 Qando se relata o resltado de medição de ma grandeza física, é obrigatório qe seja dada algma indicação qantitativa da qalidade do resltado, de forma tal qe aqeles qe o tilizam possam avaliar sa confiabilidade. Exemplo Incerteza de medição Diâmetro = 89,5 ± 0, mm Temperatra = 0,0 ± 0,9 ºC

9 Segndo o VIM (009) Parâmetro não negativo qe caracteriza a dispersão dos valores atribídos a m mensrando, com base nas informações tilizadas.

10 Classificação dos erros Sistemáticos Aleatórios Permanecem constantes o variam de acordo com ma lei definida. Podem ser corrigidos. Correção não é perfeita deixando ma dúvida Não repetitivos, imprevisíveis, diferem a cada leitra, só podem ser avaliados estatisticamente, apenas podem ser conhecidos ses limites, sempre estão presentes. Também haverá ma dúvida INCERTEZA

11 A incerteza do resltado de ma medição reflete a falta de conhecimento exato do valor do mensrando. A Incerteza de Medição é indicador do desempenho do instrmento e da qalidade da medição.

12 Incerteza de Medição q Somente em 1993 com a pblicação do ISO GUM foi possível chegar-se a m consenso mndial sobre como estimar a incerteza de medição. q O ISO GUM foi tradzido em 1997 para o portgês sob o títlo Gia para expressão da incerteza de medição

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14 Para estimar a incerteza: 1. Amplos conhecimentos sobre o sistema e o processo de medição.. Amplos conhecimentos sobre estatística.

15 Passos na avaliação e expressão da incerteza Expressar o mensrando em fnção das grandezas X i (escrever o modelo matemático). Determinar x i estatisticamente o por otros meios. Classificar cada estimativa em tipo A o B e estimar a incerteza padrão.

16 Determinar a incerteza padrão combinada. Determinar a incerteza expandida. - Estimar o gra de liberdade efetivo - Definir o valor de k Relatar o resltado da medição conjntamente com a incerteza expandida, o valor de k e a probabilidade de abrangência.

17 A incerteza de medição pode ser dividida em Incerteza padrão Incerteza expandida UP Incerteza padrão combinada c

18 Método de avaliação da incerteza padrão Avaliação Tipo A o incerteza padrão do Tipo A Avaliação Tipo B o incerteza padrão do Tipo B

19 Avaliação Tipo A Avaliação Tipo B Obtida estatisticamente, a Estimada a partir de partir de n medições o considerações de efeitos observações repetidas de físicos qe afetam os ma dada grandeza, resltados. assmindo ma distribição normal o otra qalqer.

20 Incerteza padrão do Tipo A Para n observações repetitivas do mensrando n x x x L å n x x x s n i i n x x x x n 1 L + + n x s x s x

21 Incerteza padrão do Tipo A x s x s x n Para n medições a incerteza padrão corresponde ao desvio padrão da média.

22 Estimar a incerteza padrão associada à medição do comprimento, com micrômetro, na oficina (T = 6 C). Operador 93,168 mm 93,168 mm 93,170 mm x 93,16780 mm 93,17 mm 93,161 mm s 0,00415 mm x 0,00415 s x n 0, mm 0,00 mm 5 mm

23 Incerteza tipo B Há várias sitações onde não é prático o possível sar procedimentos estatísticos para estimar o desvio padrão experimental associado a ma fonte de incertezas. Otras informações devem ser sadas. Ex. Resolção da trena: 0,5 mm. Ex. Incerteza calibração da trena: ± 1 mm. Ex. Resolção do paqímetro: 0,0 mm. Ex. Incerteza calibração do paqímetro: ± 0,05 mm.

24 Incerteza tipo B Há várias sitações onde não é prático o possível sar procedimentos estatísticos para estimar o desvio padrão experimental associado a ma fonte de incertezas. Otras informações devem ser sadas. A incerteza tipo B é estimada a partir de m jlgamento científico, baseada nas informações relevantes sobre o instrmento e o processo de medição.

25 Incerteza tipo B O conjnto de informações pode inclir: Dados de medições prévias. Experiência o conhecimento geral do comportamento e propriedades de materiais e instrmentos relevantes. Especificações do fabricante. Dados fornecidos em certificados de calibrações o otros certificados. Incertezas relacionadas a dados de referências extraídos de manais.

26 Incerteza tipo B 1- Qando é possível estimar somente fronteiras (limite sperior e inferior) para x i para reafirmar qe a probabilidade de x i estar dentro do intervalo (a- ; a+) é 1 e fora é zero. a/ a a Se não há conhecimento sobre os valores de x i dentro do intervalo assme-se distribição retanglar. a - a + m t

27 Incerteza tipo B 1- A incerteza padrão tipo B é dada por: Exemplos de variáveis ( x) Valor 3 Gradientes de temperatra, diferenças de temperatra com relação a 0 0 C, resolção do instrmento se analógico, histerese, etc.

28 Incerteza tipo B 1- Para a distribição retanglar Número de gras de liberdade: (infinito) Porqe dentro do intervalo a estimativa pode assmir qalqer valor.

29 Incerteza tipo B 1- Cálclo da incerteza padrão associada à resolção de m micrômetro analógico milesimal. Informação R= 0,001 mm Avaliação do Tipo B. Distribição retanglar. - gras de liberdade. R Microm. Valor Resolção 0,001 mm 0, mm

30 Incerteza tipo B - Em mitos casos é mais realista esperar qe valores perto dos limites sejam menos prováveis do qe os valores qe estejam perto do ponto médio. Então assme-se distribição trianglar simétrica. a a 1/a a - m t a +

31 Incerteza tipo B - Incerteza padrão para distribição trianglar. (x) a 6 Exemplos: Desvio de planeza das sperfícies de medição de m micrômetro, paralelismo entre as sperfícies de medição para externos do paqímetro, etc.

32 Estimadas as incertezas padrão para cada fonte de incertezas, estas devem ser combinadas. Incerteza padrão combinada (c)

33 Incerteza padrão combinada ( c ) N 1 X,,X X f Y L ) r(xi,x j x j xi 1 N 1 i N 1 i j j x f x i f (xi) N 1 i x i f (y) c ö ç ç è å å å

34 Incerteza padrão combinada ( c ) Qando r = 0 não há correlação entre as variáveis e o segndo termo da eqação desaparece. ) (x x f y) ( i N 1 i i c å ö ç ç è

35 Incerteza padrão combinada ( c ) Qando r 0 há correlação entre as variáveis.

36 Incerteza padrão combinada ( c ) Qando r = +1 há correlação direta perfeita entre as variáveis. Neste caso, aplica-se a seginte eqação, segndo o ISO GUM. segndo o ISO GUM. ) ( ) ( ) ( c c A b b A A c ö ç è + ö ç è ) ( ) ( ) ( c b b c A c +

37 Incerteza Expandida U P Consiste na descrição da incerteza de medição através de intervalos qe representam os valores esperados para os erros de medição, com ma probabilidade conhecida. U p k c k fator de abrangência c Incerteza padrão combinada

38 O fator de abrangência k é escolhido em fnção do nível de abrangência especificado. (Distribição normal). k = para 95,5 % k = 3 para 99,7 %

39 Qando a amostra for peqena n < 30 tiliza-se o teorema do valor central jnto com a t-stdent para fornecer m fator de abrangência. v efetivo å 4 c ç è ( 4 i y) (x v i i ) ö

40 Qanto mais ingredientes diferentes forem mistrados à mesma sopa, mais e mais o se gosto se aproximará do gosto único, típico e inconfndível do "sopão. Créditos: UFSC

41 Qanto mais variáveis aleatórias forem combinadas, tanto mais o comportamento da combinação se aproximará do comportamento de ma distribição normal (o gassiana).

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43 r(x,y) cov(x,y s ) X. s Y Onde: r(x,y) é o coeficiente de correlação entre X e Y. cov(x, Y) é a covariância entre X e Y. Covariância de das variáveis aleatórias é m parâmetro estatístico qe expressa a sa dependência múta. s X é o desvio padrão da variável aleatória X. s Y é o desvio padrão da variável aleatória Y.

44 Correlação positiva Correlação perfeita ρ(x, Y) = +1,00

45 Correlação negativa (inversa) Correlação negativa perfeita ρ(x, Y) = -1,00

46 Asência total de correlação ρ(x, Y) = 0,00

47 A área de m qadro foi calclada a partir da largra e do comprimento. Ambas variáveis foram medidas com ma trena de aço inox (Faixa nominal de 5,0 m e Resolção de 0,5 mm).

48 A área de m qadro foi calclada a partir da largra e do comprimento. Ambas variáveis foram medidas com m paqímetro de aço inox (Faixa nominal de 600 mm e Resolção de 0,0 mm).

49 1) Do certificado de calibração da trena: - Incerteza da trena: ± 1 mm. - k= e 95,45 % de abrangência. ) Do certificado de calibração do paqímetro: - Incerteza do paqímetro: ± 0,05 mm. - k= e 95,45 % de abrangência.

50 Modelo matemático A bc b L + R + Tb Tb IC Tb c L + R + Tc Tc IC Tc

51 Incerteza padrão leitras: Cinco leitras (n=5); Tipo A; Distribição normal; GL n-1 Trena b 300,0 mm 99,5 mm 95,5 mm 95,5 mm 95,5 mm b ( LT ) c ( LT ) s n s n Trena c 365,5mm 370,0mm 365,5mm 365,5mm 365,5 mm,3345mm 1,04403mm 5,0146mm 0,90000mm 5 Paqímetr o b 99,90 mm 98,60 mm 99,10 s b ( LT ) mm n 98,60 s c ( LT ) mmn 98,4 0,6016mm 5 0,5556mm 5 Paqímetr o c 369,mm 368,0 mm 368,4 mm 0,6903mm 368,84 mm 0,4847mm 369,4 mm

52 Incerteza padrão resolção Resolção Trena = 0,5 mm Resolção Paqímetro = 0,0 mm. Tipo B Distribição retanglar Infinitos GL Trena Resolção 0,5 mm ( R ) 0,8868mm 3 3 T Paqímetro Resolção 0,0 mm ( RP ) 0, mm

53 Incerteza padrão calibração Incerteza calibração = ± 1 mm Incerteza calibração paqímetro = ± 0,05 mm Tipo A Distribição normal Infinitos GL Trena ICT 1mm ( ICT ) 0,50000mm k Paqímetro ICP 0,05mm ( ICP ) 0,0500mm k

54 Incerteza padrão dos lados b e c (Trena) c c ( b) L b + RT (1, , mm) mm ( b ) 1, mm c c ( c) ( c) Lc + RT 1,143333mm 1,06968mm IC + T ICT (0,90000mm) + + (0,8868 mm) (0,8868mm) + + (0,50000 mm) (0,50000mm)

55 Incerteza padrão dos lados b e c (Paqímetro) c ( b) L b + PT + (0,6903 mm) IC P + (0,01155 mm) + (0,0500 mm) 0, mm c ( b ) 0,70434 mm c c ( c) ( c) L c + RP 0,49989mm ICP (0,4847mm) + 0,06494mm + (0,01155mm) + (0,0500mm)

56 Incerteza padrão combinada da Área 4 538, ) ( 89979,608 mm) (1,06968 (95,50000 mm) mm) (1, mm) (365,5000 ) ( ) ( ) ( mm A mm c b b c A TRENA c c ,5854 ) ( 1551,5738mm mm) ( 0,49989 mm) (98,6000 mm) (0,70434 mm) (368,8400 ) ( ) ( ) ( mm A c b b c A PAQUÍMETRO c c + +

57 Incerteza expandida 14,5854 ) ( 538, ) ( mm A PAQUÍMETRO mm A TRENA c 14,5854 ) ( mm A c c k Up å ö ç ç è i i 4 i 4 c efetivo v ) (x y) ( v

58 Incerteza expandida 3,05947 ) ( ) ( 4 4 ö ç å i i c efetivo x y v TRENA 3,1963 ) ( ) ( 4 4 ö ç ç è ç ç è å å i i i c efetivo i i i v x y v PAQUÍMETRO v

59 Interpolação 95,45 % Determina-se k

60 Incerteza expandida Área TRENA Up k c 3,8 (538,497547) 1768, mm A , ,3 mm 1,64 %

61 Up Incerteza expandida Área 0,36 k c PAQUÍMETRO 3,(14,5854) 401,609mm A ,58 401,6mm %

62 Grandez a Tabela. Incerteza associada à medição de Área Trena Estimativ Gras de a liberdade b,3345 mm Distribiç ão probabili dade Coeficient e de sensibilida de Incerteza padrão Normal 1 4 1, mm c,0146 Normal 1 4 1,069 mm mm Incerteza padrão combinada ( c ) da Área em mm 538,5 Gra de liberdade efetivo (v eff ) 3,06 Fator de abrangência (95,45 %) k= 3,8 Incerteza expandida (Up) em mm 1768,3 Incerteza expandida em relação a Área média 1,64 %

63 Tabela. Incerteza associada à medição de Área Paqímetro Gras de liberdade Grandeza Estimativa Distribiç ão probabilid ade b c 0,6016 mm 0,5556 mm Coeficiente de sensibilida de Normal 1 4 Incerteza padrão 0,70434 mm Normal 1 4 0,4998mm Incerteza padrão combinada ( c ) da Área em mm 14,59 Gra de liberdade efetivo (v eff ) 3,0 Fator de abrangência (95,45 %) k= 3, Incerteza expandida (Up) em mm 401,6 Incerteza expandida em relação a Área média 4,5 vezes menor qe a Trena 0,36%

64 Apresentação dos resltados TRENA A= ,3 ± 1.768,3 mm Up = ± 1,64 % em relação à Área média. Para k=3,8 e 95,45 % de abrangência. PAQUÍMETRO A= ,58 ± 401,6 mm Up = ± 0,36 % em relação à Área média. Para k=3, e 95,45 % de abrangência.

65 - Gia para a Expressão da Incerteza de Medição. Terceira edição brasileira em línga portgesa - Rio de Janeiro: ABNT, INMETRO, Link W. Metrologia Mecânica. Expressão da incerteza de medição. da edição VIM, 009 Vocablário internacional de termos fndamentais e gerais de metrologia INMETRO.

66 º Seminário de Metrologia Agradecimentos