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1 SIMULAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE REATORES CONTÍNUOS DE MISTURA PERFEITA CONTENDO ENZIMAS IMOBILIZADAS EM MATRIZES POROSAS PARA A CINÉTICA COM INIBIÇÃO POR SUBSTRATO PROBLEMA ENVOLVENDO MÚLTIPLOS ESTADOS ESTACIONÁRIOS F. M. PEREIRA 1, L. C. BARBOSA 1, G. S. MENEZES 1 e S. C. OLIVEIRA 1 Escola de Engenharia de Lorena, USP-Universidade de São Palo, Departamento de Engenharia Qímica Facldade de Ciências Farmacêticas, UNESP-Universidade Estadal Palista, Departamento de Bioprocessos e Biotecnologia para contato: felixmpereira@sp.br; sameloliveira@fcfar.nesp.br RESUMO Neste trabalho, foi realizada a simlação do comportamento de reatores contínos de mistra perfeita (CSTR), contendo enzimas imobilizadas, para cinética de reação com inibição pelo sbstrato, a fim de verificar a possibilidade de ocorrência de múltiplos estados estacionários para a operação do reator. A simlação envolve a resolção do problema de valor no contorno (PVC) para a obtenção do perfil de concentração de sbstrato no interior da partícla catalítica. Para a resolção do PVC e a simlação do comportamento do reator foi tilizado o método da colocação ortogonal em elementos finitos. Para a determinação dos múltiplos estados estacionários foram tilizadas diferentes estimativas iniciais para o método da colocação ortogonal em elementos finitos, as qais foram obtidas a partir das solções analíticas do PVC relativo à cinética de primeira ordem. A análise apresentada visa contribir para projetos mais precisos e otimizados de reatores enzimáticos heterogêneos. 1. INTRODUÇÃO A Biotecnologia Indstrial se caracteriza pelo so de agentes biológicos, como enzimas, céllas e microrganismos em processos indstriais de transformação (Edet et al., 013). Em reatores contínos, o so de enzimas livres em solção pode levar à perda de biocatalisador devido ao flxo de saída do reator. Nesses casos, a imobilização das enzimas em sportes sólidos torna-se interessante, pois o biocatalisador pode ser facilmente retido no interior do reator, o qe pode proporcionar a redção dos cstos envolvidos com a aqisição da enzima, mão de obra, matéria-prima e sbstrato (Illanes, 008).

2 Visando contribir com o projeto de reatores enzimáticos heterogêneos, estdos sobre a modelagem e a simlação de processos envolvendo fenômenos de difsão e reação vêm sendo desenvolvidos (Pereira et al., 015; Pereira, 008; Oliveira, 1999). No estdo de sistemas reacionais heterogêneos, como é o caso daqeles qe tilizam enzimas imobilizadas, m parâmetro importante a ser analisado é o fator de efetividade (η), o qal representa a razão entre a velocidade média de reação no interior da partícla catalítica e aqela avaliada nas condições de sperfície. O fator de efetividade indica o qanto a resistência difsional do sbstrato no interior da partícla afeta a taxa de reação, estando compreendido na maioria dos casos entre 0 e 1. Geralmente, o fator de efetividade é único para ma determinada condição de difsão-reação. Porém, em algns casos particlares, como mostrado na Figra 1, para ma reação de primeira ordem em ma partícla catalítica esférica não isotérmica (Fogler, 006), podem ocorrer múltiplos fatores de efetividade (η) para ma mesma condição de difsão-reação dada pelo módlo de Thiele (φ). Por exemplo, para φ0,4 e β0,4 na Figra 1, observa-se qe existem três valores distintos para η, os qais correspondem a três diferentes estados estacionários para a operação do reator. Figra 1 Fator de efetividade em fnção do módlo de Thiele (φ) para ma reação de primeira ordem em ma partícla catalítica esférica não isotérmica (Fonte: Fogler, 006).

3 Pereira e Oliveira (006) analisaram a ocorrência e a estabilidade de múltiplos estados estacionários para a operação de m reator contíno de mistra perfeita no qal ma reação enzimática homogênea, sjeita à inibição por sbstrato, era hipoteticamente condzida. Em otro trabalho, Pereira et al. (015) analisaram a ocorrência de múltiplos fatores de efetividade em partíclas catalíticas contendo enzimas imobilizadas, realizando a análise para o caso da cinética de reação com inibição pelo sbstrato. Para a resolção do PVC gerado pela formlação do balanço de massa de sbstrato no interior da partícla, os atores tilizaram o método shooting e para a determinação das múltiplas solções foi tilizado m algoritmo genético. A metodologia tilizada foi capaz de determinar certas condições de difsão-reação qe levam a ocorrência de múltiplos fatores de efetividade em partíclas catalíticas retanglares, cilíndricas e esféricas. Apesar de o método shooting ser de fácil programação e rápida convergência, este não se mostra convergente para determinadas condições de difsão-reação, principalmente para aqeles casos de cinéticas de reação não lineares. Nesses casos, o método mais confiável para a resolção do problema é o método da colocação ortogonal em elementos finitos (MCOEF). No MCOEF é necessário fornecer ma estimativa inicial para o perfil de concentração na partícla, o qal pode ser obtido a partir das solções analíticas do problema de difsão-reação para as cinéticas de ordem zero e m (Pereira, 008). O presente trabalho visa analisar a ocorrência de múltiplos estados estacionários em m CSTR hipotético no qal ma reação enzimática heterogênea, sjeita à inibição por sbstrato, é realizada.. MODELAGEM MATEMÁTICA E MÉTODOS NUMÉRICOS A modelagem matemática dos fenômenos de difsão e reação de sbstratos no interior de partíclas catalíticas porosas é baseada na eqação da continidade, a qal, para estado estacionário e cinética de reação com inibição pelo sbstrato (Eqação ), assme a seginte forma adimensional (Pereira, 008): d s dx ( α 1) ( ) 1+ β + 1 βi ( β + s + s β ) + α φ (1) x ds dx s i ( s) vmaxs K + s + s v K i () Nas Eqações (1) e (), α é o parâmetro relacionado à geometria da partícla, sendo α 1 para geometria retanglar, α para geometria cilíndrica e α 3 para geometria esférica; s s( x)/ s0 é a concentração de sbstrato adimensional; s(x) é a concentração de sbstrato em m ponto no interior da partícla (x); s 0 é a concentração de sbstrato na sperfície da partícla; x x / xl é a coordenada espacial adimensional; x L corresponde ao raio para as geometrias cilíndrica e esférica e à semi-

4 espessra para a geometria retanglar; K s ; β ; { V v( s ) [( A D s ) ( V A )]} 0, 5 β / 0 i K i / s0 φ é o P 0 p ef 0 p p módlo de Thiele; V p é o volme da partícla; A p é a área sperficial da partícla; D ef é o coeficiente de difsão efetivo do sbstrato no interior da partícla; é a velocidade de consmo de sbstrato, s é a concentração de sbstrato no interior da partícla; v max é a velocidade máxima de reação enzimática; K é a constante de dissociação do complexo enzima-sbstrato e K i é a constante de inibição pelo sbstrato (Illanes, 008; Bailey e Ollis, 1986); As condições de contorno tilizadas para a solção da Eqação (1) são dadas pelas Eqações (3)-(5) (Pereira, 008). ds dx 0 para x a (problema com núcleo morto) (3) ds dx 0 para x 0 (problema sem núcleo morto) (4) s 1 para x 1 (5) Núcleo morto é definido como a região no interior da partícla catalítica na qal não ocorre reação porqe a concentração de sbstrato nesta região é nla, sendo a o valor de x qe define a extensão do núcleo morto (Pereira, 008). O fator de efetividade η, definido como a razão entre a velocidade média de reação no interior da partícla v 0 e aqela na sperfície v(s 0 ), foi calclado tilizando-se a Eqação (6) (Pereira, 008). v η v 0 1 ds ( s0 ) αφ dx 1 x (6) Na modelagem matemática do reator ideal considero-se qe a enzima imobilizada ficava retida no interior do reator pelo so de m dispositivo de separação sólido-líqido, qe, geralmente, é m filtro. O reator era continamente alimentado com ma corrente contendo sbstrato não reagido a ma concentração s e, obtendo-se ma corrente contína de prodto, livre de catalisador, conforme esqematizado na Figra. O balanço de massa de sbstrato na forma adimensional em m CSTR ideal contendo enzimas imobilizadas é representado pela seginte eqação: v τ T s X e ( β β ) max + η i onde: Τ é m parâmetro adimensional; X é a conversão do sbstrato no reator (X1-s 0 /s e ); τ é o tempo de residência ( τ εv R F ); ε é a fração de vazios; V R é o volme de meio; F é o flxo volmétrico de alimentação do reator (igal ao de saída para o CSTR no estado estacionário). (7)

5 A Eqação 7 mostra qe caso existam múltiplos fatores de efetividade para ma mesma condição de difsão-reação no interior da partícla, estes serão decorrentes da mltiplicidade de estados estacionários possíveis para a operação do reator. Figra Esqema da operação de m CSTR com enzimas imobilizadas. Para a resolção do PVC formlado neste trabalho tilizo-se o método da colocação ortogonal em elementos finitos, o qal foi programado no software Scilab tilizando o algoritmo descrito por Pereira (008). A bsca pelos múltiplos estados estacionários foi realizada tilizando-se estimativas iniciais do perfil de concentração de sbstrato na partícla obtidas a partir das solções analíticas referentes ao caso da cinética de primeira ordem para geometria retanglar, cilíndrica e esférica (Eqações (8) a (10), respectivamente). Drante a bsca vario-se o módlo de Thiele nessas eqações para cada condição de difsão-reação testada. ( x ) cosh s φ cosh( φ) (8) Ι s Ι ( x φ) ( φ ) 0 0 (9) s senh(3xφ) x senh ( 3φ ) (10) onde: I 0 é a fnção de Bessel modificada de primeiro tipo e ordem zero. A fim de testar a metodologia proposta, foi escolhida ma das condições de inibição, β i 0,01, para a qal, múltiplos estados estacionários poderiam ocorrer.

6 3. RESULTADOS E DISCUSSÕES Utilizando-se a metodologia proposta e adotando-se β0,01 e β i 0,01, resolve-se o problema de valor no contorno obtendo-se os perfis de concentração de sbstrato mostrados na Figra 3. s 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 Retanglar (φ0,65) η 1,9 9; Τ8 8,6 6 η 3, ; Τ33 33,07 η 4,379; 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 Τ3,09 s 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 Cilíndrica (φ0,55) 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 η 1,316; Τ76,8 η 1,85 85; Τ55 55,40 η 3,389; Τ9,83 s 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 Esférica (φ0,44) 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 η 1,193; Τ84,74 η 1,609; Τ6,83 η, ; Τ36 36,39 39 x x x Figra 3 Possíveis perfis de concentração de sbstrato no interior de partíclas catalíticas com geometrias clássicas (β0,01 e β i 0,01). Na Figra 3 observa-se a possibilidade de ocorrência de três perfis de concentração de sbstrato no interior do biocatalisador. Cada m dos três perfis leva a obtenção de m determinado valor do fator de efetividade e de T. Para os perfis de menores concentrações de sbstrato são obtidos os maiores fatores de efetividade e os menores valores de T, o qe pode ser explicado pelo fato de qe, em tais condições, menor é o efeito de inibição do sbstrato sobre o processo de conversão. Observa-se também a ocorrência de fatores de efetividade maiores qe 1 o qe sgere qe as restrições difsionais impostas pela imobilização da enzima podem melhorar o desempenho do reator, na medida em qe estas podem contribir para a redção do efeito de inibição sobre a cinética de reação. A Figra 4 mostra as crvas de efetividade verss T para o projeto e operação de m CSTR ideal em fnção de β e φ considerando geometria retanglar e β i 0,01. As discssões a segir sobre a Figra 4 podem ser generalizadas para otros valores de β i e otras formas geométricas do biocatalisador. Analisando-se a Figra 4 verifica-se qe, em determinadas condições de difsão-reação (por exemplo, para β entre 0,01 e 1), é possível obter mais de ma condição de operação para o reator. Isto pode ser vantajoso ma vez qe em tais condições, podem ser obtidos menores valores de T, o qe significa, segndo a Eqação (7), menores volmes do reator, maiores conversão do sbstrato o maiores concentrações de reagente na alimentação. Porém, deve-se ressaltar a necessidade de se comprovar na prática a possibilidade de se atingir o estado estacionário com a maior efetividade, além de verificar a sa estabilidade.

7 1000 β100 β10 β1 β0,01 _ η T (vmax τ)/(sex) ,1 0, φ β0,01 β1 β10 β100 Figra 4 Crvas de efetividade e do parâmetro adimensional v max t/s e X em fnção de βe φ considerando geometria retanglar e β i 0, CONCLUSÕES Partindo da metodologia proposta neste trabalho, foi possível simlar o comportamento de reatores contínos de mistra perfeita contendo enzimas imobilizadas para cinética de reação com inibição por sbstrato. Os resltados obtidos permitiram verificar qe é possível ocorrer múltiplos estados estacionários para determinadas condições de difsão-reação praticadas no reator. Em tais condições, foram obtidos fatores de efetividade maiores qe 1, indicando qe o desempenho do reator pode ser melhorado pela imobilização da enzima devido a este procedimento acarretar limitações difsionais qe minimizam o efeito de inibição sobre a cinética de reação. A análise apresentada pode contribir para projetos mais precisos e otimizados de reatores contínos nos qais são tilizadas enzimas imobilizadas. Entretanto, por se tratar de ma análise teórica, os resltados obtidos necessitam de comprovação prática no qe diz respeito à ocorrência e à estabilidade dos múltiplos estados estacionários possíveis para a operação do reator.

8 5. REFERÊNCIAS BAILEY, J. E., OLLIS D. F. Biochemical engineering fndamentals, nd ed. New York: Mc. Graw Hill, EDET, E., NTEKPE, M., OMEREJI, S. Crrent Trend in Enzyme Immobilization: A Review, International Jornal of Modern Biochemistry, v. (1), p , 013. FOGLER, H. S. Elements of Chemical Reaction Engineering. 4. ed. Englewood Cliffs: Prentice-Hall International, 006. ILLANES, A. Enzyme Biocatalysis: Principles and Applications, Springer Science & Bsiness Media, 008. OLIVEIRA, S. C. Evalation of effectiveness factor for immobilized enzymes sing Rnge-Ktta- Gill method: how to solve mathematical ndetermination at particle center point? Bioprocess Engineering, v.0. p , PEREIRA, F. M. Modelagem e simlação do núcleo morto em partíclas catalíticas contendo enzimas imobilizadas e sas conseqências no projeto e operação de reatores enzimáticos f. Tese (Dotorado em Biotecnologia Indstrial), Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São Palo, 008. PEREIRA, F. M.; MAGALHÃES, J. V. B. B.; OLIVEIRA, S. C. Ocorrência de múltiplos fatores de efetividade em partíclas catalíticas contendo enzimas imobilizadas: análise para a cinética com inibição por sbstrato. Blcher Biochemistry Proceedings: V Simpósio de Bioqímica e Biotecnologia, v., p , 015. PEREIRA, F. M., OLIVEIRA, S. C. Análise da existência e da estabilidade de múltiplos estados estacionários para a hidrólise enzimática da sacarose em reator CSTR. In: Congresso Brasileiro de Engenharia Qímica, 16, 006, Santos. Anais. Santos: Universidade de São Palo/Universidade de Campinas/Associação Brasileira de Engenharia Qímica, p , 006.