Análise do Escoamento ao Redor de um Corpo Oscilante na Presença de uma Superfície Plana

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Análise do Escoamento ao Redor de m Corpo Oscilante na Presença de ma Sperfície Plana Ator: Washington Hmberto de Mora Orientador: Prof. Dr. Liz Antonio Alcântara Pereira Co-Orientador: Prof. Dr. Migel Hiroo Hirata Itabá, Jnho de 007

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Análise do Escoamento ao Redor de m Corpo Oscilante na Presença de ma Sperfície Plana Ator: Washington Hmberto de Mora. Orientador: Prof. Dr. Liz Antonio Alcântara Pereira Co-Orientador: Prof. Dr. Migel Hiroo Hirata Crso: Mestrado em Engenharia Mecânica Área de Concentração: Dinâmica dos Flidos e Máqinas de Flxo Dissertação sbmetida ao Programa de Pós-Gradação em Engenharia Mecânica como parte dos reqisitos para obtenção do Títlo de Mestre em Engenharia Mecânica. Itabá, Jnho de 007 M.G. Brasil

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Análise do Escoamento ao Redor de m Corpo Oscilante na Presença de ma Sperfície Plana Ator: Washington Hmberto de Mora Composição da Banca Examinadora: Profa. Dra. Maria Regina de Oliveira Pereira de Araúo - ENERBRASIL Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva UNIFEI Prof. Dr. José Egênio Rios Ricci - UNIFEI Prof. Dr. Migel Hiroo Hirata (Co-Orientador) FAT/UERJ Prof. Dr. Liz Antonio Alcântara Pereira (Orientador) - UNIFEI

4 Dedicatória Aos mes pais, Jales Mora e Maria C. Mora. À minha esposa, Fabiana, qe sempre me apoio com mita paciência e compreensão pela privação dos momentos de lazer e do convívio familiar.

5 Agradecimentos Ao me Orientador, Professor Dr. Liz Antonio Alcântara Pereira, pela competência, dedicação, paciência e grandeza na condção deste trabalho. Ao Professor Ph.D. Migel Hiroo Hirata, pela sa valiosa ada na co-orientação deste trabalho. Ao Professor Dr. José Egênio Rios Ricci, por se apoio e por me apresentar ao grpo de trabalho de Método de Vórtices. À UNIFEI pela oportnidade concedida de desenvolver este trabalho.

6 A escada da sabedoria tem os degras feitos de números Blavatsky.

7 Resmo MOURA, W. H. (007), Análise do Escoamento ao Redor de m Corpo Oscilante na Presença de ma Sperfície Plana, Itabá, 9p. Dissertação (Mestrado em Dinâmica dos Flidos e Máqinas de Flxo) - Institto de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itabá. Este trabalho tiliza o método de vórtices para simlar nmericamente o escoamento bidimensional, incompressível e em regime não-permanente. O flido é Newtoniano com propriedades constantes qe incide sobre m corpo oscilante de forma qalqer e conhecida na presença de ma sperfície plana. A amplitde de oscilação do corpo é considerada como sendo peqena comparada com o comprimento representativo do corpo e, portanto, como ma primeira aproximação, as condições de contorno na sperfície do corpo são transferidas da posição real para ma posição média na sa sperfície discretizada. As sperfícies sólidas são discretizadas e representadas por painéis planos sobre os qais se distribem fontes com densidade constante para, assim, garantir a condição de impenetrabilidade. Vórtices discretos de Lamb são gerados nas proximidades dos painéis planos para garantir a condição de escorregamento-nlo. As cargas aerodinâmicas distribídas e integradas são calcladas tilizando-se ma formlação integral derivada de ma eqação de Poisson para pressão. Apresenta-se ma análise do efeito de oscilação no mecanismo de geração de vorticidade sobre m cilindro de seção circlar e na evolção das cargas aerodinâmicas atantes. Palavras-chave Método de Vórtices, Método de Painéis, Efeito Solo, Peqenas Amplitdes, Cargas Aerodinâmicas, Descrição Lagrangiana.

8 Abstract MOURA, W. H (006), Analysis of the Flow Arond an Oscillating Circlar Cylinder in the Vicinity of a Grond Plane, MSc. Dissertation - Institto de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itabá, 9p. The present work deals to the vortex method to simlate nmerically two-dimensional, incompressible and nsteady flow of a Newtonian flid with constant properties, arond an oscillating body of arbitrary and know shape in the presence of grond plane. The amplitde of the oscillatory motion is considered to be small when compared with the body length. as the first approximation one is allowed to transfer the body bondary condition from the actal position to a mean position of the body srface. The impermeability condition is imposed throgh the application of a sorce panels method. Lamb vortices are generated along the srfaces, whose strengths are determined to ensre that the no-slip condition is satisfied and that the circlation is conserved. The aerodynamics loads are compted sing an integral formlation derived from the pressre Poisson eqation. The analysis of oscillation effect on the mechanism of circlar cylinder lift generation is presented. Keywords Vortex Method, Panels Methods, Grond Effect, Small Amplitde, Aerodynamics Loads, Lagrangian Description.

9 i Smário SUMÁRIO I LISTA DE FIGURAS IV LISTA DE TABELAS VII SIMBOLOGIA VIII LETRAS LATINAS VIII LETRAS GREGAS IX SUPERESCRITOS X SUBSCRITOS X ABREVIATURAS X SIGLAS XI CAPÍTULO INTRODUÇÃO CAPÍTULO 7 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 7.. O PROBLEMA O MÉTODO DE VÓRTICES CAPÍTULO 3 8 FORMULAÇÃO GERAL DO PROBLEMA DEFINIÇÕES HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS Hipóteses Relativas à Geometria Hipóteses Relativas às Propriedades do Flido Hipóteses Relativas aos Aspectos Cinemáticos EQUAÇÕES QUE GOVERNAM O ESCOAMENTO

10 ii 3.4. ADIMENSIONALIZAÇÃO DO PROBLEMA TRANSFERÊNCIA DA CONDIÇÃO DE CONTORNO NO CORPO CAPÍTULO 4 8 MÉTODO DE SOLUÇÃO: MÉTODO DE VÓRTICES DISCRETOS O MÉTODO DE VÓRTICES A EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DA VORTICIDADE ALGORITMO DE SEPARAÇÃO DA PARTE VISCOSA DA EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DA VORTICIDADE CONVECÇÃO DA VORTICIDADE Campo de Velocidades Contribição do Escoamento Incidente Contribição do Corpo e da Sperfície Plana: O Método de Painéis Contribição da Nvem de Vórtices Esqemas de Avanço Convectivo DIFUSÃO DA VORTICIDADE O Método de Avanço Randômico GERAÇÃO DE VORTICIDADE CARGAS AERODINÂMICAS CAPÍTULO 5 47 ALGORITMO DE IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DE VÓRTICES 47 CAPÍTULO 6 56 ANÁLISE DOS RESULTADOS PARÂMETROS UTILIZADOS NA SIMULAÇÃO NUMÉRICA Parâmetros Relacionados com o Método Nmérico Parâmetros Relacionados com o Fenômeno Físico CILINDRO CIRCULAR SEM OSCILAÇÃO CILINDRO CIRCULAR COM OSCILAÇÃO E SEM EFEITO SOLO Número de Strohal Associado à Oscilação do Corpo O EFEITO SOLO Cilindro Circlar Parado Cilindro Circlar com Efeito de Oscilação CAPÍTULO 7 86 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 86

11 iii REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 90 APÊNDICE A 97 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DA VORTICIDADE 97 APÊNDICE B 0 DISTRIBUIÇÃO DA VORTICIDADE E DA VELOCIDADE INDUZIDA 0 B. O VÓRTICE POTENCIAL B. O VÓRTICE LAMB APÊNDICE C 07 VELOCIDADE INDUZIDA POR UMA NUVEM DE VORTICES 07

12 iv Lista de Figras Figra Geometria e definições Figra - Distribição constante de fontes sobre o eixo x (Katz & Plotkin, 99) Figra 3 Representação de m painel genérico do corpo (Katz & Plotkin, 99) Figra 4 Geração de vorticidade Figra 5 Representação do Vórtice de Lamb Figra 6 Algoritmo de implementação do programa OSCILLA_GP.FOR Figra 7 Representação esqemática do corpo e da sperfície plana Figra 8 Comparação entre os resltados experimentais e nméricos de Cp para o cilindro circlar. (A= 0, λ= 0, Re= 0 5 ) Figra 9- Evolção das cargas aerodinâmicas integradas ao longo do tempo para o cilindro circlar (λ= 0, A= 0, Eler, Mb = 50, Mg = 50 Δt = 0,05, σ 0 = eps = 0,009, Figra 0 Cilindro Circlar: distribição do Coeficiente de Pressão ao longo do tempo ( h ; λ = 0 ;A = 0) 5 Re = 0 ) Figra Comportamento do campo de velocidades nas proximidades do cilindro circlar parado sem a presença do efeito solo para Re = Figra Posição dos vórtices na esteira no instante t= 40. (λ= 0, A= 0, Eler, Mb = 50, Mg = 50 Δt = 0,05, σ 0 = eps = 0,009, 5 Re = 0 ) Figra 3 Determinação da freqüência de emissão de vórtices Figra 4 Cálclo da amplitde média do C L Figra 5 - Variação do coeficiente de sstentação em fnção da amplitde (λ = 0,05) Figra 6 - Variação do coeficiente de sstentação em fnção da amplitde (λ =,5) Figra 7 - Evolção das cargas aerodinâmicas integradas ao longo do tempo para o cilindro circlar (λ=,3; A= 0,05, Eler; Mb = 50 ; Mg = 50 ; Δt = 0,05 ; σ 0 = eps = 0,009 ;

13 5 Re = 0 ) Figra 8 Distribição do Coeficiente de Pressão ao longo do tempo ( h ; λ =,3 ; A = 0,05) Figra 9 - Comportamento do campo de velocidades nas proximidades do cilindro circlar oscilando sem a presença do efeito solo para Re = 0 5 (ponto A) Figra 0 - Comportamento do campo de velocidades nas proximidades do cilindro circlar oscilando sem a presença do efeito solo para Re = 0 5 (ponto C) Figra Posicionamento dos módlos da sperfície plana Figra Coeficiente de sstentação médio para m corpo cilíndrico parado em fnção do afastamento do cilindro da sperfície Figra 3 Resltados experimentais para o coeficiente de sstentação médio (Lei et al.,999) Figra 4 Evolção das esteiras para h= 0,7 nos passos de tempo 84, 98, 540 e Figra 5 - Coeficiente de sstentação médio para m corpo cilíndrico oscilando em fnção do afastamento do cilindro da sperfície (A=0,05 e λ=,0) Figra 6 Distribição de pressão em torno do cilindro para h= 0,7 na sitação de corpo parado (λ =0, A= 0) Figra 7 Comportamento das cargas aerodinâmicas integradas ( h 0,7 ; λ = 0 ;A = 0) Figra 8 Gráfico de Pressão Instantânea ( h 0,7 ; λ = 0 ;A = 0) v = = Figra 9 Detalhe do campo de velocidades no ponto A (t = 3,; h = 0,7; λ = 0 e A = 0) Figra 30 - Detalhe do campo de velocidades no ponto C (t = 5,3; h = 0,7; λ = 0 e A = 0) Figra 3 Detalhe do campo de velocidades no ponto D Figra 3 - Detalhe do campo de velocidades no ponto F Figra 33 - Comportamento das cargas aerodinâmicas integradas(h= 0,7; λ=,3; A= 0,05)--8 Figra 34 - Gráfico de Pressão Instantânea ( h 0,7 ; λ =,3 ;A = 0,05) = Figra 35 - Detalhe do campo de velocidades no ponto A(t= ; h= 0,7; λ=,3 e A= 0,05)--83 Figra 36 - Detalhe do campo de velocidades no ponto C Figra 37 - Detalhe do campo de velocidades no ponto D Figra 38 - Detalhe do campo de velocidades no ponto E Figra 39 Velocida indzida pelo escoamento incidente niforme Figra 40 Velocidade indzida pelo vórtice potencial

14 Figra 4 Velocidade indzida pelo vórtice de Lamb vi

15 vii Lista de Tabelas Tabela Valores médios da força de arrasto, sstentação, amplitde média do coeficiente de sstentação e número de Strohal para m cilindro circlar sem oscilação Tabela : Pontos para análise instantânea de pressão Tabela 3 Parâmetros tilizados para o cilindro circlar Tabela 4 Resltados nméricos obtidos na presente simlação para Strohal e C, C, números de L D A tilizando λ = 0, CL Tabela 5 - Resltados nméricos obtidos na presente simlação para Strohal e C, C, número de L D A tilizando λ=, CL Tabela 6 Pontos para análise instantânea de pressão Tabela 7 Parâmetros tilizados para o corpo cilíndrico na presença da sperfície Tabela 8 Valores obtidos de Tabela 9 - C L h para o corpo parado na presença da sperfície C L h para o corpo oscilando na presença da sperfície Tabela 0: Pontos para análise instantânea de pressão Tabela : Pontos para análise instantânea de pressão

16 viii Simbologia Letras Latinas A C C D C L C p d D f h L M M b M g N n p R 0 r Amplitde de oscilação do corpo Comprimento característico do problema Coeficiente de arrasto Coeficiente de sstentação Coeficiente de pressão Diâmetro do cilindro Força de arrasto Freqüência de oscilação do corpo Distância vertical entre a linha de simetria do corpo e a sperfície plana (efeito solo) Força de sstentação Número total de painéis planos Número total de painéis qe representam a sperfície discretizada do corpo cilíndrico Número total de painéis qe representam a sperfície discretizada da sperfície plana Número total de vórtices discretos presentes na esteira Vetor nitário na direção normal a ma sperfície sólida em cada ponto Campo de pressões Raio da circnferência Raio vetor posição

17 Re S T t U v x x y Y z p Número de Reynolds Define as fronteiras da região flida Período de oscilação Referente ao tempo Velocidade do escoamento incidente Campo de velocidades Componente em x da velocidade total indzida em m vórtice discreto Componente em y da velocidade total indzida em m vórtice discreto Coordenada em x do vórtice discreto Vetor posição Coordenada em y do vórtice discreto Trabalho específico Deslocamento randômico ix Letras Gregas η ε τ Δt Γ ρ ω Referente ao contorno do corpo Parâmetro de pertrbação Referente à direção tangencial Incremento de tempo discreto Circlação total na região flida Massa específica Campo de vorticidades π 3, Δs θ Ω σ 0 σ(x) Relativo ao comprimento dos painéis planos Ânglo do painel Domínio flido Raio do núcleo do vórtice de Lamb Distribição constante de fontes em x

18 υ Σ α Δr k Δθ k λ Coeficiente de viscosidade moleclar Representa m somatório Ânglo de ataqe Avanço radial de m vórtice arbitrário k Avanço circnferêncial de m vórtice arbitrário k Velocidade anglar x Sperescritos Composição de sperfícies Infinito Designa variável adimensional Sbscritos τ n p Referente à direção tangencial Referente à direção normal Referente ao deslocamento randômico do vórtice Abreviatras COUPP Elemento da matriz de inflência de pressão COUPS Elemento da matriz de inflência de fontes COUPV Elemento da matriz de inflência de vórtices RHSP Vetor colna lado direito - pressão RHSS Vetor colna lado direito - fontes

19 RHSV Vetor colna lado direito - vórtices xi Siglas IEM Institto de Engenharia Mecânica

20 Capítlo INTRODUÇÃO A análise e a compreensão de escoamentos viscosos ao redor de corpos tem sido fndamental para o desenvolvimento de mitas áreas do conhecimento e, em particlar, da tecnologia. O desenvolvimento tecnológico propicia, também, o aparecimento de novas áreas de conhecimento. Entre estas novas áreas e entre aqelas á tradicionalmente estabelecidas pode-se identificar, com freqüência cada vez maior, a necessidade do conhecimento e da análise de escoamentos ao redor de corpos com geometria complexa. Como geometrias complexas aqi se entendem: m aerofólio se movimentando na presença de ma sperfície plana, com o sem movimento de oscilação do corpo; o movimento das pás no interior de ma máqina de flxo; o escoamento ao redor de m arrano de cilindros, etc. Esta necessidade é encontrada nas aplicações de peqenas escalas e se estende até aqelas aplicações qe se inserem nas maiores escalas. Entre as aplicações caracterizadas pelas peqenas escalas pode-se mencionar o resfriamento de componentes eletrônicos (qe possem ma forma rombda), exigindo a movimentação do ar sobre eles. Nas maiores escalas mencionam-se o escoamento da ága através dos grandes sistemas oceânicos tilizados para a exploração do petróleo no mar, o movimento do ar através dos conglomerados de edifícios, etc.; e nas escalas intermediárias, os exemplos são mitos: o cálclo das cargas aerodinâmicas qe atam sobre os veíclos atomobilísticos, sobre os cabos e torres das linhas de transmissão de energia, a análise do escoamento no interior das máqinas de flxo, etc.

21 Na engenharia mecânica, os trocadores de calor do tipo casco/tbo, devido ao escoamento externo do flido apresentam peqenas oscilações; escoamento este, ao redor dos tbos ca geometria permite classificá-los como de forma rombda. Este trabalho, de forma simplista, é m início para a compreensão deste fenômeno, ma vez qe o corpo será representado por m cilindro circlar com peqenas oscilações na presença de ma sperfície plana, não apresentando assim a interferência dos demais corpos posicionados próximos ao mesmo. Para o estdo do mesmo, em m ftro, cabe a compreensão gradal do fenômeno, extendendo-se às trbomáqinas, as qais apresentam m aspecto relacionado com sitações onde as fronteiras possem movimento relativo. O conhecimento das pecliaridades deste escoamento mais simples permitirá, portanto, em estdos posteriores, bscar o entendimento para o complexo escoamento desenvolvido no interior das Máqinas de Flxo. Com o contíno avanço da área comptacional, simlações nméricas mais refinadas de escoamentos viscosos ao redor de corpos com geometria complexa são tilizadas para investigar os fenômenos associados ao movimento dos flidos integrando-se às ferramentas analíticas e experimentais disponíveis para análise de escoamentos. Os métodos nméricos clássicos tilizam em geral ma descrição eleriana, a qal exige ma malha para a discretização do domínio flido. Este trabalho tiliza m método pramente lagrangiano, o Método de Vórtices, o qal simla com vantagens realmente atrativas escoamentos viscosos. Este método está em desenvolvimento no Institto de Engenharia Mecânica da UNIFEI, desde 998, e vários novos aspectos vem sendo atacados visando tornar mais realistas as simlações nméricas. Dentre os estdos realizados no grpo de Método de Vórtices da UNIFEI podem-se mencionar: - interferência entre fronteiras sólidas com o sem movimento relativo entre elas; - efeitos de oscilação de corpos; - aspectos de trblência; - efeitos de interação térmica. O Método de Vórtices compreende m connto de técnicas nméricas qe tilizam ma descrição lagrangiana para simlar nmericamente os mecanismos de convecção e de

22 3 difsão da vorticidade representando-a por ma nvem de vórtices discretos. Cada vórtice discreto qe compõe a nvem é acompanhado individalmente, desde a sa geração até o fim da simlação nmérica, o qe caracteriza ma descrição pramente lagrangiana. Um dos grandes desafios no desenvolvimento do Método de Vórtices está relacionado com o elevado tempo de simlação nmérica, ma vez qe a solção do problema da convecção da vorticidade envolve o cálclo do campo de velocidades do escoamento sobre cada vórtice discreto em cada instante de tempo. Este cálclo é composto por três etapas: a contribição do escoamento incidente, a contribição das fronteiras sólidas presentes no problema e a contribição da nvem de vórtices discretos; nesta última, cada vórtice indz velocidade em todos os otros vórtices presentes no escoamento. Esta última contribição se revela como a mais onerosa em termos de tempo de simlação, ma vez qe o Método de Vórtices Discretos possi m contador de operações, por incremento de tempo, qe é proporcional a N, onde N é o número total de vórtices presentes no escoamento. Este fato acarreta m alto tempo de simlação para valores elevados de N. A solção para o desafio mencionado consiste no emprego da técnica da comptação paralela, o qe torna possível a tilização simltânea de vários processadores drante os cálclos e, como conseqüência, a extensão do método para o espaço tridimensional. O presente trabalho, dentro do contexto das atividades desenvolvidas pelo grpo de Método de Vórtices da UNIFEI, consiste na análise do escoamento bidimensional, incompressível e em regime não-permanente de m flido Newtoniano com propriedades constantes qe se realiza ao redor de m corpo de forma qalqer e conhecida. Este corpo se apresenta com m movimento de oscilação linear de peqena amplitde na direção perpendiclar ao escoamento incidente e está na presença de ma sperfície plana (o efeito solo). Especificamente, o qe está sendo analisado neste trabalho é a inflência qe o movimento oscilatório de peqena amplitde na presença de ma sperfície plana, representando o efeito solo, exerce sobre as cargas aerodinâmicas atantes sobre o corpo. A amplitde de oscilação do corpo é considerada como sendo peqena comparada com o comprimento representativo do corpo e, portanto, como ma primeira aproximação, as condições de contorno sobre a sperfície do corpo são transferidas da posição real para ma posição média da sa sperfície, qe é discretizada em painéis planos. Para a simlação nmérica deste estdo, baseo-se em dois trabalhos anteriores, também, desenvolvidos dentro do Grpo de Método de Vórtices da UNIFEI:

23 4 - No segndo trabalho, Ricci (00) analiso o escoamento de m flido Newtoniano e homogêneo em torno de m corpo de forma arbitrária, qando disposto nas proximidades de ma sperfície plana. A sperfície plana foi simlada com a tilização do Método de Imagens, o qal apresenta resltados mais precisos, porém, demanda m tempo maior de simlação, ma vez qe, também, os vórtices imagens devem ser levados em consideração no cálclo do campo de velocidades. - No primeiro trabalho, Silva (004) analiso o escoamento de m flido Newtoniano e homogêneo sobre m corpo oscilante, o qal se movia com velocidade constante. A amplitde do movimento oscilante era considerada como sendo peqena comparada com o comprimento do corpo, e, portanto, como ma primeira aproximação pode-se transferir as condições de contorno do corpo da posição real para ma posição média da sa sperfície discretizada. A sperfície discretizada do corpo foi representada por painéis planos sobre os qais se distribíram fontes com densidade constante. Uma geração adicional de vórtices de Lamb ao redor da sperfície discretizada do corpo se torno necessária para a imposição da condição de escorregamento-nlo. A simlação do escoamento ao redor de corpos, qando se incli a geração e o transporte de vorticidade sobre toda a sa sperfície, apresenta algmas alternativas. Uma alternativa natral consiste na tilização do Método dos Painéis (Katz & Plotkin, 99) para o cálclo da inflência das fronteiras sólidas no campo de velocidades. A grande vantagem da tilização do Método de Painéis consiste na possibilidade de se simlar corpos com forma qalqer e conhecida. O Método de Painéis possi a desvantagem de se satisfazer às condições de contorno (impenetrabilidade e/o escorregamento nlo) fora da sperfície real de m corpo e sobre m único ponto, isto é, o ponto de controle de cada painel. A imprecisão do cálclo da contribição das fronteiras sólidas (corpo e sperfície plana no caso do presente trabalho) no campo de velocidades qando se tiliza o Método de Painéis pode ser corrigida por meio de ma camada protetora (vea item. e o trabalho de Ricci, 00). Nesta linha de procedimento Lewis (99) tiliza painéis planos sobre os qais se distribem vórtices, sendo o efeito desta distribição representado, na simlação nmérica, por m único vórtice eqivalente, colocado no ponto médio dos painéis. Este procedimento simplificado, em mitas sitações, não apresenta boa precisão; para contornar parcialmente estas dificldades ele desenvolve m esqema qe tiliza sbpainéis. Kamemoto et al.(995)

24 preferem distribir fontes sobre os painéis. 5 O presente trabalho, portanto, distribi fontes com densidade constante sobre os painéis planos para satisfazer a condição de impenetrabilidade. Para garantir a condição de escorregamento nlo distribem-se vórtices de Lamb nas vizinhanças dos painéis planos. As cargas aerodinâmicas são calcladas a partir do esqema apresentado no trabalho de Shintani & Akamats (994), o qal calcla a pressão diretamente das eqações de Navier- Stokes. Inicialmente é tomado o divergente das eqações de Navier-Stokes, chegando-se a ma eqação de Poisson em termos de pressão, a qal é resolvida tilizando elementos de contorno. Neste esqema a pressão é calclada levando-se em conta a contribição de toda a vorticidade distribída no domínio flido, e não apenas a vorticidade instantânea distribída sobre o corpo (Lewis, 99). No capítlo apresenta-se ma revisão bibliográfica referente à evolção do Método de Vórtices com ênfase no escoamento de m flido viscoso ao redor de m corpo na presença do efeito solo. No capítlo 3 é mostrada a formlação geral do modelo matemático tilizado e os principais aspectos qe definem a geometria do problema, assim como as hipóteses simplificadoras e a adimensionalização das eqações qe governam o escoamento de m flido viscoso sobre m corpo oscilante na presença do efeito solo. No capítlo 4 apresentam-se os fndamentos do Método de Vórtices: a eqação do transporte da vorticidade, o algoritmo de separação da sa parte viscosa (Chorin, 973) com a solção do problema pramente convectivo e a solção do problema pramente difsivo. Também, são disctidas as características marcantes do Método de Vórtices. No capítlo 5 encontra-se m algoritmo qe explica a estrtra do programa comptacional, bem como a fnção de cada rotina presente no código. No capítlo 6 são realizadas as análises dos resltados obtidos, as conclsões e as sgestões para melhorar a presente implementação nmérica em trabalhos ftros. No apêndice A encontra-se m procedimento matemático para a obtenção da eqação de transporte da vorticidade. No apêndice B são disctidos os comportamentos da velocidade tangencial indzida e

25 da distribição de vorticidade para o modelo do vórtice potencial e para o modelo do vórtice de Lamb. 6 No apêndice C é apresentado m algoritmo acelerador (Alcântara Pereira, 999), eficaz tilizado para o cálclo da interação vórtice-vórtice. Este cálclo consome o maior tempo de ma simlação nmérica.

26 Capítlo REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.. O PROBLEMA Os trabalhos qe serão disctidos a segir mostram a evolção do Método de Vórtices no contexto da análise do escoamento de m flido viscoso ao redor de m corpo na presença do efeito solo. O estdo das características de m perfil aerodinâmico, qando se desloca nas proximidades de ma sperfície plana, tem sido realizado por vários atores nas últimas décadas com o obetivo de analisar o efeito solo. Este efeito se tradz em ma alteração na força de sstentação atante sobre o perfil aerodinâmico. Panaras (987) estdo ma interação nvem/aerofólio apresentando resltados qe demonstram qe esta interação afeta de maneira considerável o comportamento das cargas aerodinâmicas. Foram realizadas simlações tilizando nvens incidentes com formato senoidal e circlar e aerofólios Jokowsky. A simlação fico restrita aos aspectos potenciais, sem considerar os efeitos difsivos da viscosidade e o efeito solo. Lee & Smith (99) analisaram dois casos. No primeiro caso simlaram m escoamento bidimensional e em regime não-permanente incidindo sobre m aerofólio NACA 00. Um vórtice potencial foi localizado inicialmente a montante do perfil aerodinâmico e foi simlada a sa interação com o aerofólio. Um segndo caso estdado simlo a interação de múltiplos vórtices com o mesmo perfil. Diferentemente do presente trabalho, os atores tilizaram o

27 8 modelo de vórtice de Rankine para representar a vorticidade ca característica é qe a vorticidade distribi-se niformemente no interior do núcleo. A dificldade na tilização deste modelo está associada à descontinidade presente na derivada da distribição da velocidade (Hirata & Alcântara Pereira, 999). Um esqema de primeira ordem foi tilizado para simlar a convecção e m esqema de segnda ordem, Rnge-Ktta, foi tilizado para simlar a difsão. Não foi inclída a presença do efeito solo. Chacaltana et al. (994) consideraram os efeitos de m vórtice livre movendo-se nas vizinhanças de m aerofólio na presença do efeito do solo. O efeito solo, para aerofólios delgados, foi bem analisado, porém, não se considero a convecção do vórtice. A modelagem do problema foi potencial e restrita a corpos delgados. A formação da esteira foi levada em conta com m desprendimento local de vórtices a partir do bordo de fga do aerofólio. Não foi feita, portanto, ma geração de vórtices nto à sperfície do solo. Uma evolção do presente trabalho em relação ao trabalho de Chacaltana et al. (994) está na imposição da condição de escorregamento-nlo nto ao solo, através da geração de vórtices discretos de Lamb nas proximidades do mesmo. Chacaltana et al. (995) adotaram o mesmo modelo do trabalho anterior, porém permitiram ao vórtice se deslocar por convecção através da tilização de m esqema lagrangiano de avanço no tempo. O problema foi formlado sob o ponto de vista potencial. O comportamento observado pelos atores, sem a inflência do vórtice livre (vórtice com intensidade nla) é semelhante ao observado por Plotkin & Kennell (98). Fonseca et al. (997) analisaram através da aplicação do Método de Vórtices, a inflência do solo sobre m escoamento bidimensional e não-permanente em torno de m aerofólio. Os efeitos difsivos não foram considerados. Foi previsto o desenvolvimento de ma esteira, porém a geração de vórtices foi feita apenas no bordo de fga do perfil. A sperfície do solo foi simlada com a tilização do Método de Imagens. Mstto (998) em sa dissertação de mestrado investigo nmericamente o escoamento bidimensional, incompressível, em regime não permanente e de alto número de Reynolds (0 5 ) em torno de m cilindro de seção circlar para das configrações diferentes: cilindro fixo e cilindro com rotação. No caso particlar de m cilindro com rotação, verifico-se a presença da força de sstentação perpendiclar ao eixo de rotação, o bem mais conhecido como efeito Magns. A metodologia tilizada se baseo no Método de Vórtices. Simlo-se o processo de geração de vorticidade em toda a sperfície do cilindro, em todos os instantes de

28 9 tempo, através da introdção de vórtices de Lamb próximos à sperfície do corpo de forma a satisfazer a condição de escorregamento-nlo sobre algns pontos na sperfície. O Teorema do Círclo (Milne-Thompson, 955) foi tilizado de modo a garantir a condição de impenetrabilidade na sperfície real do cilindro. O movimento convectivo foi simlado por m esqema de primeira ordem de Eler, enqanto qe o movimento difsivo foi simlado tilizando o Método do Avanço Randômico. Neste esqema a pressão foi calclada em fnção da vorticidade instantânea distribída sobre o corpo (Lewis, 99). Utilizam-se os resltados do trabalho de Mstto (998) para axiliar na validação do presente código; comparam-se os valores médios das forças de arrasto, de sstentação e do número de Strohal para m cilindro circlar sem oscilação, vea no capítlo 6, Tabela. Os resltados nméricos da presente simlação e o resltado nmérico de Mstto (998) são comparados com os resltados experimentais de Blevins (984). Lei et al. (999) apresentaram m artigo sobre a análise experimental em m túnel de vento do escoamento ao redor de m cilindro circlar posicionado a ma distância h de ma sperfície plana (efeito solo). Foi analisada ma sitação na qal a sperfície plana era disposta sem nenhm gerador de trblência, e otra, ca passagem de camada limite laminar para trblenta era antecipada através da tilização de estimladores de trblência colocados à montante do escoamento. Estes experimentos foram realizados com Reynolds variando de,3 0 4 a, Medeiros et al. (00) desenvolveram m modelo qe permiti simlar a sitação em qe m aerofólio se deslocava com velocidade constante na presença de ma nvem de vórtices discretos. A nvem de vórtices discretos de Lamb incidente era gerada no primeiro instante de tempo da simlação a montante do corpo e possía ma forma circlar. O aerofólio foi discretizado e a sa sperfície foi representada por painéis planos com distribição niforme de vórtices. O flido era Newtoniano e homogêneo e o escoamento foi considerado incompressível e bidimensional. Para este estdo tilizo-se Re= na simlação. Foram apresentados os resltados obtidos para esteiras e para o coeficiente de sstentação. Ricci (00) tilizo o Método de Vórtices para analisar o escoamento de m flido Newtoniano e homogêneo em torno de m corpo de forma arbitrária, qando disposto nas proximidades de ma sperfície plana. A sperfície do chão foi simlada com a tilização do Método de Imagens, no qal a condição de impenetrabilidade era satisfeita atomaticamente

29 0 em todos os pontos da sperfície, porém demandava maior tempo de simlação. O presente trabalho tiliza o Método de Painéis, onde a condição de impenetrabilidade é satisfeita apenas nos pontos de controle dos painéis planos representados por ma distribição de fontes com densidade constante. Silva (004) desenvolve m algoritmo do Método de Vórtices para simlar o escoamento de m flido Newtoniano e homogêneo sobre m corpo oscilante, o qal se movia com velocidade constante. A amplitde do movimento oscilante foi considerada como sendo peqena comparada com o comprimento do corpo e, portanto, como ma primeira aproximação, foi possível transferir as condições de contorno sobre o corpo da posição real para ma posição média na sa sperfície discretizada. Sobre a sperfície discretizada do corpo presente no escoamento foi simlada ma geração constante de vórtices de Lamb e tilizada ma distribição de singlaridades do tipo fontes com densidade niforme. O fenômeno do lock-in, onde a freqüência de emissão de vórtices se igala a freqüência de oscilação do corpo, foi identificado nos resltados apresentados. Os resltados obtidos ficaram restritos a m perfil NACA 00 com incidência nla. A presença do efeito solo não foi levada em consideração. O presente trabalho, portanto, contribi com o estdo apresentado por Silva (004) através da inclsão de ma análise do efeito solo. Silva de Oliveira et al. (004) tilizaram o Método de Vórtices para simlar nmericamente o escoamento bidimensional, incompressível e em regime não-permanente de m flido Newtoniano com propriedades constantes qe incidia sobre m aerofólio NACA 00. Foi considerada ma distribição de vórtices com densidade niforme sobre a sperfície discretizada do corpo. Simlo-se também a interação do perfil com ma geração contína de vórtices discretos de Lamb a partir de ma fila qe se movia com velocidade constante e estava localizada a montante do corpo. A vantagem desta metodologia, qando comparada com aqela apresentada por Medeiros et.al. (00), estava na geração constante de vórtices discretos nma fila posicionada a montante do corpo. A etapa convectiva tilizo m esqema lagrangiano de segnda ordem (Adams-Bashforth) e a etapa difsiva foi simlada através do algoritmo do Método de Avanço Randômico. Para o cálclo das cargas aerodinâmicas tilizo-se da formlação de Shintani & Akamats (994) na qal a pressão era calclada em fnção de toda a vorticidade distribída no campo de vorticidade. O efeito solo não foi levado em consideração. Silva de Oliveira et al, (005) simlaram a interação de m perfil NACA 00 com ma

30 sperfície plana (inclsão do efeito solo) na presença de ma geração contína de vórtices nma fila qe se movia com velocidade constante e ficava posicionada a montante do corpo. As sperfícies sólidas foram representadas por painéis de fontes com densidade niforme. Distribíram-se vórtices nascentes de Lamb nas proximidades dos pontos de controle. A etapa convectiva so m esqema lagrangiano de segnda ordem (Adams-Bashforth) e a etapa difsiva foi simlada através do algoritmo do Método de Avanço Randômico. Para o cálclo das cargas aerodinâmicas tilizo-se da formlação de Shintani & Akamats (994) na qal a pressão é calclada em fnção de toda a vorticidade distribída no domínio flido. Foi investigado o comportamento do campo de velocidades nas proximidades do bordo de ataqe do perfil, porém não foram oferecidos detalhes sobre o comportamento do ponto de estagnação sobre a sperfície do corpo na presença do efeito solo. Este trabalho traz ma peqena contribição dentro do niverso de possibilidades para a simlação nmérica do escoamento viscoso ao redor de m corpo na presença de otras fronteiras sólidas. O obetivo principal é a análise do escoamento bidimensional, incompressível e em regime não-permanente de m flido Newtoniano com propriedades constantes qe se realiza ao redor de m corpo de forma qalqer e conhecida na presença do efeito solo. O corpo se apresenta com m movimento de oscilação linear e de peqena amplitde na direção perpendiclar ao escoamento incidente. Especificamente o qe está sendo analisado neste trabalho é a inflência qe o movimento oscilatório de peqena amplitde na presença de ma sperfície plana, representando o efeito solo, exerce sobre as cargas aerodinâmicas. O campo de pressões é calclado a partir do esqema apresentado no trabalho de Shintani & Akamats (994), o qal calcla a pressão diretamente das eqações de Navier- Stokes. Inicialmente é tomado o divergente das eqações de Navier-Stokes, chegando-se a ma eqação de Poisson em termos de pressão, a qal é resolvida tilizando elementos de contorno. Neste esqema a pressão é calclada em fnção de toda a vorticidade distribída no domínio flido, e não apenas em fnção da vorticidade instantânea distribída sobre o corpo (Lewis, 99). A amplitde de oscilação do corpo é considerada peqena qando comparada com o comprimento do corpo (vea a hipótese H4). É feita ma transferência das condições de contorno sobre a sperfície de m cilindro circlar da posição real para ma posição média. Das fronteiras sólidas estão presentes no escoamento com geração constante de vórtices

31 discretos de Lamb. Singlaridades do tipo fontes com densidade niforme são, adicionalmente, distribídas sobre as das fronteiras sólidas. A inflência da presença de ma geração constante de vórtices discretos de Lamb à montante do corpo (Silva de Oliveira et al, 005) não será obeto de estdo, porém, poderá ser implementada em trabalhos ftros. A simlação da esteira de m corpo qe interfere no comportamento aerodinâmico de otro corpo localizado nas sas vizinhanças pode ser representada, de ma maneira aproximada, por ma geração contína de vórtices nma fila qe se move com velocidade constante e qe se localiza a montante de m corpo (Silva de Oliveira et al., 004). Esta estratégia ntamente com a análise de peqenas oscilações sobre m corpo na presença de ma sperfície plana representa ma sitação simplificada do escoamento no interior das máqinas de flxo. Recentemente, Recicar (007) analiso o escoamento bidimensional, incompressível e em regime não-permanente ao redor de m cilindro circlar oscilante qe se movia com velocidade constante nm flido Newtoniano com propriedades constantes. A oscilação do corpo era perpendiclar à direção do escoamento. Em relação ao trabalho de Silva (004) e ao presente trabalho, Recicar (007) considero os efeitos de oscilação de qalqer amplitde. A técnica tilizada consisti na mdança de coordenadas do corpo drante toda a simlação nmérica. No caso do cilindro circlar oscilando foram identificadas três regiões qando se comparo a freqüência de oscilação do corpo com a freqüência de emissão de vórtices. A região (I) apresento ma sitação em qe a amplitde e freqüência de emissão de vórtices se comportavam como a de m corpo parado. A região (II) era ma região de transição. Na região (III) identifico-se o fenômeno do lock-in, onde a freqüência de emissão de vórtices se igalava à freqüência de oscilação do corpo. Através da análise de três sitações de amplitdes de oscilação do corpo foi possível identificar a dependência da freqüência de lock-in com esta amplitde de oscilação do corpo. Concli-se qe qanto maior a amplitde de oscilação do corpo menor a freqüência de lock-in. O efeito solo não foi levado em consideração no movimento oscilatório do corpo.

32 .. O MÉTODO DE VÓRTICES 3 Na presente simlação nmérica tiliza-se o Método de Vórtices, o qal tem se apresentado como ma alternativa para os métodos elerianos na simlação de escoamentos viscosos ao redor de corpos. As versões, se assim pode-se denominar, classificam-se em pramente lagrangiana e híbrida (eleriana / lagrangiana, vea, por exemplo, Meneghini & Bearman, 995). Uma referência, considerada básica, é representada pelo livro do Lewis (99), assim como os trabalhos apresentados por Sarpkaya (989) e por Kamemoto (994, 004). Hirata & Alcântara Pereira (999) apresentaram, de forma concisa, os fndamentos do Método de Vórtices, o qal tiliza ma nvem de vórtices discretos para simlar a dinâmica da vorticidade no meio flido. Na apresentação do método, partiram da formlação geral das eqações qe governam o movimento de m flido viscoso e, com a tilização da eqação do transporte da vorticidade, apresentaram o algoritmo proposto por Chorin (973), o qal permite separar os efeitos de convecção e de difsão da vorticidade, na simlação nmérica. Expressões para o cálclo do campo de pressões e dos valores das cargas aerodinâmicas (Lewis, 99) foram fornecidas. Apresentaram, ainda, em ma forma bastante didática, m algoritmo tilizado para a implementação nmérica, o qal foi descrito em detalhes. Hirata (000) apresento de ma forma geral o Método de Vórtices, disctindo diferentes algoritmos e sas principais características. O trabalho mostro qe parte considerável das atividades de interesse se manifestam nas grandes estrtras do escoamento, podendo ser analisadas tilizando-se m número razoável de vórtices discretos; os fenômenos qe se manifestam nas micro-escalas devem ser modelados de forma apropriada. A formlação apresentada torna viável a análise das grandes estrtras do escoamento, considerando a inflência dos fenômenos associados à trblência. Este trabalho é ma referência básica para a inclsão da modelagem da trblência nos métodos pramente lagrangianos (Alcântara Pereira et al, 00). Alcântara Pereira (999) em sa dissertação de mestrado apresento ma metodologia para a representação de m corpo, na qal tilizava painéis planos sobre os qais eram distribídos vórtices com densidade constante. Neste esqema, ao final de cada avanço no tempo, toda a vorticidade tilizada para representar o corpo era, em m mecanismo denominado de difsão primária, difndida na forma de vórtices discretos de Lamb. Estes

33 vórtices eram posicionados a ma peqena distância sobre a normal qe passa pelo ponto de controle do painel. 4 A velocidade, qando indzida por corpos circlares pode ser calclada a partir do Teorema do Círclo (Mstto et al, 997; Mstto, 998 e Mstto et al, 000), o qando indzida por corpos de forma arbitrária pode ser calclada pela aplicação do Método dos Painéis (Katz & Plotkin, 99; Lewis, 99; Alcântara Pereira, 999). O Teorema do Círclo tem a vantagem de apresentar a solção exata para todo o campo do escoamento, contdo está restrito a corpos circlares o a formas resltantes da técnica da transformação conforme. Por sa vez, o Método dos Painéis apresenta ma solção aproximada, em fnção da discretização da sperfície do corpo em painéis, mas com a grande vantagem de resolver o problema independentemente da forma do corpo. A tilização do Método dos Painéis apresenta ma dificldade, a qal está relacionada ao número de painéis adotados; amentando-se este número, a precisão dos resltados é melhorada; porém, em fnção do amento do número de vórtices gerados em cada passo de tempo (m vórtice para cada painel), os reqisitos impostos sobre o desempenho dos comptadores (o esforço comptacional é proporcional ao qadrado do número de vórtices presentes na nvem) é fortemente onerado. Por otro lado, o Método dos Painéis apresenta excelentes resltados, qando a velocidade é calclada no ponto de controle dos painéis (solção do escoamento potencial). No entanto, qando aplicado no Método de Vórtices é necessário calclar a velocidade fora dos painéis e, em mitas vezes, em pontos mito próximos destes. Nesta sitação, o erro cometido pode assmir valores elevados, comprometendo os resltados. Procrando ma melhora, foi estendida para o contexto do Método de Vórtices a indicação de Manzanares Filho (994), feita para o caso do escoamento potencial e relativa ao deslocamento do ponto de controle. O ponto de controle, onde são aplicadas as condições de contorno, deve ser deslocado para ma posição intermediária entre o painel e a sperfície real do corpo. Com este artifício hove ma melhora nos resltados obtidos no cálclo das velocidades indzidas pelo corpo sobre vórtices discretos localizados nas sas imediações. Através de simlações nméricas Ricci & Hirata (00) mostraram qe, no contexto do Método de Vórtices, é necessário introdzir correções no cálclo das velocidades indzidas pelo corpo, qando este é simlado por m número finito de painéis. Estas correções se fazem necessárias, especialmente qando se desea calclar a velocidade nas vizinhanças do corpo.

34 5 As velocidades indzidas pelo corpo não estarão corretamente calcladas para pontos de controle extremamente próximos aos vórtices discretos. Utilizando-se painéis de fontes os erros conservam-se da ordem de %, qando o ponto de controle é deslocado para 3% da distância entre o painel e a sperfície do corpo, para pontos sitados fora de ma camada protetora qe corresponde a ma distância ao painel igal o sperior a 40% do se comprimento (Ricci, 00). Nestas sitações m número grande de painéis se torna necessário se as correções não forem implementadas. A tilização de m número elevado de painéis torna a simlação nmérica mito onerosa ma vez qe, em cada incremento de tempo, gera-se m número de vórtices igal ao número de painéis; a este fato deve-se acrescentar qe o esforço comptacional no Método de Vórtices é proporcional ao qadrado no número de vórtices presentes na nvem. Conforme citado na literatra, o Método de Avanço Randômico é o mais tilizado para simlar a difsão da vorticidade qando se tiliza m esqema lagrangiano pro, tal como o Método de Vórtices. O método consiste em se calclar m deslocamento difsivo individal para cada vórtice. Este procedimento foi desenvolvido por Chorin (973), em analogia aos deslocamentos randômicos qe ocorrem em moléclas, e qe foram estdados por Einstein (956). De maneira independente, Porthose & Lewis (98), analisando a difsão da vorticidade a partir de m ponto, desenvolveram m algoritmo eqivalente ao de Chorin (973). Segndo este algoritmo, para cada incremento de tempo, cada vórtice deve sofrer m deslocamento randômico. Beale & Mada (98) apresentaram as bases teóricas qe fndamentam o Método de Vórtices, tilizando o Método de Avanço Randômico para simlar a difsão da vorticidade. Ghoniem & Sherman (985), observando a fnção de Green da eqação de difsão, mostraram qe a solção desta eqação representa a distribição da fnção erro e qe o flxo é representado pela distribição Gassiana. Desenvolveram m algoritmo capaz de simlar a evolção de ma grandeza qando esta é representada por ma nvem de partíclas. Vários trabalhos, Smith & Stansby (988), Kamemoto et al. (995), Mstto et al. (998), Hirata & Hirata (998), Hirata & Alcântara Pereira (999), entre otros, tilizam o Método de Avanço Randômico para simlar os efeitos difsivos.

35 6 Ogami & Akamats (99) propseram o Método da Velocidade de Difsão e o tilizaram para simlar vários tipos de sitações, inclindo escoamentos com números de Reynolds mito baixos. O método tiliza vórtices livres de raio constante no tempo e ma correção se torna necessária (Kempka & Strickland, 993). Referente às cargas aerodinâmicas, pode-se classificá-las como cargas distribídas (por exemplo, a pressão) e cargas integradas (aqelas resltantes da ação integrada das cargas distribídas, como por exemplo, as forças de arrasto e de sstentação). Lewis (99) argmento qe após ser considerado os efeitos de convecção e difsão, implementados a partir da eqação da vorticidade, as eqações de Navier-Stokes poderiam ser tilizadas, com ma argmentação análoga, de modo a separar o termo de pressão. Assim a pressão foi determinada em cada ponto de controle dos painéis e, em segida, por integração das pressões, as forças de arrasto e sstentação. O cálclo das cargas aerodinâmicas integradas pode, no entanto, ser efetado sem qe haa a necessidade da integração da pressão sobre a sperfície de m corpo isolado. Podem-se obter as cargas a partir de elementos conhecidos drante a simlação nmérica, o sea, a intensidade dos vórtices discretos presentes na esteira e as componentes da velocidade nos pontos por eles ocpados (Graham, 980; Sarpkaya, 989). Shintani & Akamats (994) propseram m método para calclar a distribição de pressões no escoamento de m flido viscoso em regime não-permanente. Tomando-se o operador divergente nas eqações de Navier-Stokes, aplicáveis ao escoamento bidimensional, eles obtiveram ma eqação de Poisson, em termos da pressão. Em segida mltiplicaram esta eqação pela fnção de Green e integraram no domínio do escoamento. As integrais foram discretizadas e resolvidas nmericamente, em fnção de valores pertinentes ao campo do escoamento como, velocidade, posição dos vórtices no campo e vorticidade gerada sobre a sperfície. As pressões, qando calcladas por este método, praticamente não apresentam rído, o qe representa ma grande vantagem. Este fato se deve, principalmente, em fnção dos valores das pressões serem calclados considerando a vorticidade distribída em todo o domínio flido, e não apenas da vorticidade gerada sobre o corpo, como no esqema de Lewis (99). He & S (999) apresentaram ma formlação para a determinação da distribição de pressões isolando o termo de pressão das eqações de Navier-Stokes e acrescentando o termo de aceleração convectiva, não considerado por Lewis (99).

36 Kamemoto et al. (000) apresentaram ma revisão do Método de Vórtices descrevendo a importância do desenvolvimento de modelos de trblência para os métodos lagrangianos. 7 O trabalho de Alcântara Pereira et al. (00) foi preparado visando à realização de simlações nméricas mais refinadas envolvendo os aspectos de trblência. Como contribições principais deste trabalho têm-se: ma modelagem sb-malha de trblência tilizando-se o modelo da Fnção Estrtra de Velocidade de Segnda Ordem adaptada ao Método de Vórtices Discretos e o desenvolvimento e implementação de m algoritmo nmérico, para inclir, no contexto do Método de Vórtices, a modelagem de trblência. Apresentaram-se resltados para o escoamento ao redor de m cilindro de seção circlar e foram feitas comparações entre os resltados nméricos obtidos, com e sem modelagem de trblência, com resltados nméricos e experimentais disponíveis na literatra para valores de coeficiente de arrasto e do número de Strohal. Santiago & Bodstein (006) implementaram qatro métodos de simlação da difsão: avanço randômico, redistribição da vorticidade, velocidade de difsão e crescimento do raio do núcleo do vórtice modificado. Utilizando-se como referência a solção analítica pramente difsiva para o vórtice de Lamb, os qatro métodos foram comparados do ponto de vista de acrácia e csto comptacional visando à aplicação ao Método de Vórtices. Os atores conclíram qe o método do crescimento do raio do núcleo modificado mostra acrácia sperior ao método de avanço randômico no problema convectivo/difsivo da simlação do desenvolvimento da camada limite de Blasis sobre ma placa plana.

37 Capítlo 3 FORMULAÇÃO GERAL DO PROBLEMA Neste capítlo apresenta-se a formlação matemática necessária para a simlação nmérica do escoamento bidimensional, incompressível e em regime não-permanente de m flido Newtoniano com propriedades constantes ao redor de m corpo oscilando com peqena amplitde na presença de ma sperfície plana (efeito solo). Escolhe-se o cilindro de seção circlar, embora sea possível analisar m corpo de forma arbitrária e conhecida. É feita a formlação geral do problema e são apresentadas as hipóteses simplificadoras como, também, as condições de contorno e, finalmente, a adimensionalização do problema. 3.. DEFINIÇÕES Figra Geometria e definições

38 9 Considere o escoamento de m flido viscoso qe se realiza ao redor de m cilindro circlar na presença de ma sperfície plana (efeito solo). O cilindro circlar oscila com ma amplitde A peqena e com ma velocidade anglar constante λ conforme mostrado na figra. Nesta figra, (x, 0, y) representa o sistema inercial de referência e (η, 0, ξ) representa o sistema de coordenadas fixo no corpo, este sistema de coordenadas oscila em torno do eixo x conforme a eqação (3.): y c = A cos(λt), (3.) onde, π λ =. (3.a) T A sperfície do corpo oscilante é definida pela fronteira S, a sperfície plana é definida pela fronteira S e a sperfície a grandes distâncias dos corpos é representada pela fronteira S 3. O domínio flido Ω é delimitado pela sperfícies = S S S, sendo S 3 3 a fronteira no infinito representada conforme eqação (3.): r = x + y. (3.) Considere a segir m sistema de coordenadas (ξ,η) preso ao corpo com a origem coincidindo com o centro do cilindro. Se o corpo for m cilindro de seção circlar, então: F ( ξ, η) ξ + η R 0 = (3.3) 0 = Como: x c = ξ (3.3a) yc 0 + = y η, (3.3b) então:

39 ( x, y) x + ( y y ) R 0 S : F = c c 0 0 = (3.4) 0 Para aplicações ftras defini-se a posição média da sperfície do corpo como: ( x, y) = x + y R 0 S : F c c 0 = (3.5) Se o corpo for simétrico: F (x, y) = η ± φ(ξ) 0, (3.6) c = onde φ(ξ) representa a espessra do corpo. A sperfície S é definida de acordo com a seginte eqação: y = h, < x < (3.7) Na eqação (3.7), h corresponde à altra da linha de centro do cilindro ao solo. Se h tem-se m corpo oscilando nm domínio semi-infinito, vea na figra. 3.. HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS As hipóteses apresentadas a segir serão tilizadas com o intito de simplificar as eqações qe governam o fenômeno. Estas hipóteses são agrpadas de acordo com as sas características Hipóteses Relativas à Geometria H O escoamento é realizado em das dimensões e a região flida se encontra definida no semi-plano positivo e se estende a grandes distâncias do corpo e da sperfície

40 plana Hipóteses Relativas às Propriedades do Flido H O flido é Newtoniano com propriedades constantes. Portanto, desprezam-se os efeitos de interação térmica Hipóteses Relativas aos Aspectos Cinemáticos H3 A velocidade característica U é admitida como mito menor do qe a velocidade de propagação do som no meio flido. Isto é, assme-se qe os efeitos da compressibilidade possam ser desprezados; em temos práticos assme-se qe o número de Mach é menor qe a nidade. H4 Admite-se qe o corpo oscila com peqena amplitde ao redor do eixo x, isto é, A admite-se qe = O () ε, onde o parâmetro de pertrbação é ε 0. Desta forma: C Assme-se qe λ = O (). A= amplitde de oscilação do corpo. C = comprimento característico, qe para o cilindro circlar C = d (diâmetro do cilindro). O escoamento analisado é considerado em regime não-permanente, ma vez qe a esteira oscilante, qe será acompanhada ao longo do tempo, se apresenta com este comportamento. Embora as análises qe serão feitas considerem número de Reynolds elevado, os aspectos de trblência não serão levados em consideração. O modelo da Fnção Estrtra de Velocidade de Segnda Ordem poderá ser incorporado na formlação do problema (Alcântara, 00) para levar em conta estes aspectos e será assnto de investigações ftras.

41 3.3. EQUAÇÕES QUE GOVERNAM O ESCOAMENTO Os fenômenos, no âmbito da Mecânica dos Flidos, são governados pelos princípios físicos gerais: - Princípio de Conservação da Massa (P.C.M.) - Princípio de Conservação da Qantidade de Movimento Linear (P.C.Q.M.L.) - Princípio de Conservação de Energia (P.C.E.) O P.C.M. e o P.C.Q.M.L. são expressos matematicamente pelas eqações da continidade e do movimento respectivamente. Tendo em vista as hipóteses simplificadoras, estas eqações são escritas como: - P.C.M.: Eqação da continidade, = 0 (3.8) - P.C.Q.M.L.: Eqações de Navier Stokes, + = p + ν t ρ, (3.9) onde = i+v representa o campo de velocidades, ρ é a massa específica, p é o campo de pressões e ν é o coeficiente de viscosidade cinemática. Na tilização das eqações de Navier-Stokes depara-se com ma dificldade, a qal é representada pela presença do termo de pressão. Contdo, estas podem ser manipladas, assmindo a forma da eqação de transporte da vorticidade (Batchelor, 967): ω + ω = ν ω t (3.0) Nesta forma, a hipótese de escoamento plano á foi tilizada ma vez qe ω z = ω, representa o único componente não-nlo do vetor vorticidade, o qal é definido como

42 ω =, e o termo de pressão não se faz presente; vea mais detalhes no item 4.. Observase, também, qe o termo correspondente à variação da vorticidade, devido à deformação dos tbos de vorticidade, não se faz presente (vea no Apêndice A). 3 Uma vez qe, por hipótese, o flido é Newtoniano, em S e S deve ser verificada a condição de aderência, portanto, no corpo ( S ) tem-se (vea figra ): ( n) = ( V n), sobre S, representa a condição de impenetrabilidade, ( τ) = (V τ), sobre S, representa a condição de escorregamento-nlo, (3.a) (3.b) onde n e τ são, respectivamente, os vetores nitários normal e tangencial e o vetor V (Vx, Vy) refere-se a velocidade da sperfície do corpo. Na sperfície plana ( S ) deve-se verificar: ( n) = 0, sobre S, qe representa a condição de impenetrabilidade, ( τ) = 0, sobre S, qe representa a condição de escorregamento-nlo. (3.a) (3.b) Em S assme-se qe o escoamento em estdo tende para o escoamento não-pertrbado 3 U. (3.3) Desta maneira o fenômeno investigado fica governado pelas eqações (3.8), (3.0), (3.a ), (3.b), (3.a), (3.b) e (3.3) ADIMENSIONALIZAÇÃO DO PROBLEMA A adimensionalização do problema em estdo é importante em vista das simplificações estabelecidas e da generalização dos resltados. Além disso, ada na apresentação dos resltados mostrando ma relação fncional entre as grandezas e sgerindo como estas devem

43 ser apresentadas. 4 De modo a se realizar a adimensionalização do problema, as segintes escalas o grandezas características de comprimento, velocidade e de tempo, são escolhidas: comprimento característico: d (diâmetro do cilindro); velocidade característica: U (velocidade do escoamento incidente); tempo característico: d U Chega-se, desta forma, às segintes grandezas adimensionais: d d = = d A A = d x = x d, y = y d y yo d o = = O (ε) ΔtU Δ t = d U = U U =, v = U v U p p = ρu

44 dλ λ = U 5 Γ = Γ du = d ; = d ρud Ud Re = =, μ ν d St = f = U λ d U Com estas definições, as eqações, expressas pelas eqações (3.8) a (3.3), podem ser escritas na forma adimensional: = 0 (3.4) + = p + t Re (3.5) ω + ω = ω (3.6) t Re A eqação (3.a) pode ser reescrita como: ( n) = (V n) sobre S (3.7) indicando = ( n) e V = (V n), n n e a eqação (3.7) pode ser escrita na forma mais conveniente, n (x c, yc, t) = Vn (x c, yc, t). (3.7a) A eqação (3.b) pode ser reescrita como: ( τ) = (V τ) sobre (3.8) S indicando = ( τ) e V = (V τ), τ τ

45 6 a eqação (3.8) é escrita na forma mais conveniente: τ (x c, yc, t) = Vτ (x c, yc, t). (3.8a) Observar qe o asterico (), qe denota grandeza admensionalizada, foi omitido das eqações por comodidade de digitação TRANSFERÊNCIA DA CONDIÇÃO DE CONTORNO NO CORPO As condições de contorno apresentadas nas eqações (3.a) e (3.b) foram especificadas sobre a sperfície atal do corpo, S. Esta posição da sperfície varia no tempo, e é definida conforme eqação (3.4). Sendo o movimento oscilatório considerado de peqena amplitde, a condição de contorno pode ser transferida da posição atal para a posição média, o sea: S : F ( x, y, t) ; S : F ( x, y, t) c c c c Expandindo as grandezas presentes nas eqações (3.7a e 3.8a) em série de Taylor, obtém-se: x,η( x ),t n ( ) ( ) c c (x, y,t) = x, y + η,t = x,η(x ),t + y + n c c n c 0 n c c 0 (3.9) y x, η( x ),t τ = ( + η ) = ( η ) + c c (x, y,t) x, y,t x, (x ),t y + τ c c τ c 0 τ c c 0. (3.0) y Sbstitindo-se, nas eqações (3.7a) e (3.8a), têm-se os componentes da velocidade especificados na posição atal (S ). Uma análise da ordem de grandeza dos termos mostra qe:

46 7 n ( x c, yc, t) = n (x c, yc, t) + O (y0 ) (3.) τ ( x c, yc, t) = τ (x c, yc, t) + O (y0 ) (3.) V x, y, t) = V (x, y, t) O(y ) (3.3) n ( c c n c c + 0 V x, y, t) = V (x, y, t) O(y ). (3.4) τ ( c c τ c c + 0 Logo, em primeira aproximação tem-se qe: x, y, t) = V (x, y, t) (3.5) n ( c c n c c x, y, t) = V (x, y, t), (3.6) τ ( c c τ c c o sea, as condições de contorno especificadas sobre a sperfície do corpo podem ser transferidas da posição atal (S ) para a posição média ( S ) e o erro cometido é da ordem de [ y O () ε ] y 0 0 =, ε 0.

47 Capítlo 4 MÉTODO DE SOLUÇÃO: MÉTODO DE VÓRTICES DISCRETOS A inclsão dos efeitos viscosos e a presença da vorticidade impedem qe o problema proposto tenha solção analítica. Neste capítlo são apresentados os fndamentos do método nmérico conhecido como Método de Vórtices Discretos, com comentários sobre as características marcantes deste método, qando comparado com os métodos nméricos clássicos. 4.. O MÉTODO DE VÓRTICES O Método de Vórtices constiti-se nm caso particlar de ma categoria de métodos nméricos qe poderiam ser denominados de Métodos de Partíclas. A característica principal desta categoria de métodos nméricos consiste na discretização de ma propriedade dos flidos, representando-a por ma nvem de partíclas. Cada partícla é acompanhada e estdada individalmente desde sa geração até o fim da simlação nmérica, o qe caracteriza ma descrição pramente lagrangiana. No caso particlar do Método de Vórtices esta partícla é representada por m vórtice discreto. Os cálclos são feitos contemplando apenas as regiões onde a vorticidade está presente

48 simlando de maneira discreta a vorticidade presente no escoamento. 9 Os métodos nméricos tradicionais tilizam à descrição eleriana e, por esta razão, necessitam-se da discretização da região flida em sb-regiões, onde as eqações qe governam o fenômeno em estdo são aproximadamente satisfeitas. O Método de Vórtices tilizado para simlar o escoamento de m flido viscoso tiliza a descrição lagrangiana. Com a tilização de m esqema lagrangiano para descrever o escoamento, não se faz necessário a tilização de ma malha de discretização da região flida. O Método de Vórtices, em vista de ser lagrangiano, permite qe as condições de contorno nos limites da região flida seam satisfeitas com maior exatidão, em virtde da característica de marchar no tempo e, a cada instante, atalizar a posição dos vórtices. Assim sendo, cidados especiais para o tratamento das instabilidades nméricas qe se fazem presentes qando se tilizam os métodos elerianos, principalmente qando o número de Reynolds assme valores elevados, não se fazem necessários. Desta forma, o Método de Vórtices direciona a sa atenção para as regiões de grandes atividades do escoamento, qe são aqelas onde se concentra a vorticidade, isto é, na camada limite e na esteira do corpo. Os métodos elerianos, por otro lado, consideram simltaneamente toda a região flida, independentemente do fato de qe haa regiões de menor importância nas qais nenhma atividade, realmente relevante, se faz presente. 4.. A EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DA VORTICIDADE Tomando-se o rotacional nas eqações de Navier-Stokes e com axílio da eqação da continidade, obtém-se a eqação do transporte da vorticidade: + ( )ω = (ω ) + t Re ω ω (4.) onde: ω taxa de variação local da vorticidade regime não-permanente; t

49 ( )ω taxa de variação convectiva da vorticidade; 30 ( ω ) taxa de deformação dos tbos de vorticidade este termo só é aplicado à escoamentos tridimensionais; ω taxa de variação difsiva da vorticidade. Re O desenvolvimento da vorticidade é governado pela eqação (3.6), capítlo 3, transcrita abaixo: ω + ω = ω. (3.6) t Re É natral qe a formlação matemática do método tenha esta eqação como ponto de partida, ma vez qe: nesta forma a hipótese qe o movimento é plano á foi tilizada ma vez qe ω representa o único componente não-nlo do vetor vorticidade, e é definido como: ω = (4.) o termo correspondente à variação da vorticidade, devido à deformação dos tbos de vorticidade, não se faz presente. O Método de Vórtices adota m algoritmo nmérico qe separa o efeito convectivo do efeito difsivo (efeito viscoso). A segir é mostrada a essência deste algoritmo.

50 4.3. ALGORITMO DE SEPARAÇÃO DA PARTE VISCOSA DA EQUAÇÃO DO TRANSPORTE DA VORTICIDADE 3 Analisando a eqação (3.6) verifica-se qe os termos presentes no se lado esqerdo correspondem ao transporte de vorticidade por convecção, enqanto qe o lado direito contém os termos qe governam a difsão da vorticidade. Com estas observações em mente, estabelece-se o algoritmo de separação da parte viscosa da eqação (3.6), inicialmente proposto por Chorin, (973) com o nome de "Viscos Splitting Algorithm". Segndo este algoritmo, nm mesmo incremento de tempo, a convecção da vorticidade é governada pela eqação: ω + ω = 0, (4.3a) t enqanto qe, a difsão é governada pela eqação: ω = ω. (4.3b) t Re A grande vantagem deste algoritmo nmérico esta no fato de se calclar, em separado, os fenômenos de convecção e de difsão da vorticidade dentro de m mesmo incremento de tempo. As das eqações anteriores convergem para a eqação original qando o incremento de tempo tende a zero CONVECÇÃO DA VORTICIDADE De acordo com o algoritmo de separação da parte viscosa, a convecção da vorticidade é governada pela eqação (4.3a), a qal mostra qe a vorticidade é transportada por convecção como se fosse ma partícla de flido. Assim sendo, a traetória de m vórtice discreto é definida pela eqação diferencial:

51 3 d x = ( x, t) (4.4) dt onde (x,t) representa o vetor velocidade. O Método de Vórtices simla a evolção da vorticidade, com a tilização de ma nvem de vórtices discretos e, portanto, neste contexto a eqação (4.4) é reescrita para cada vórtice p da nvem com N vórtices como: dx dt dy dt p p = (x (t), t), p =, N (4.4.a) p p = v (y (t), t), p =, N (4.4.b) p p O problema convectivo é resolvido em das etapas. Inicialmente deve ser obtido o valor da velocidade indzida em cada m dos N vórtices discretos qe formam a nvem de vórtices. Em segida, a partir da velocidade p (x p (t),t); v p (y p (t),t) e do incremento de tempo Δt adotado, o deslocamento convectivo é determinado. Na eqação (4.4) dois aspectos essenciais para a solção, chamam a atenção de imediato: (, t) - O primeiro refere-se ao cálclo do vetor velocidade ( t) p x p, qe deve ser repetido para cada vórtice da nvem; à este cálclo é creditada a maior parte do esforço comptacional necessário para a simlação nmérica devida a interação-vórtice-vórtice. - De posse da velocidade, apresenta-se o segndo problema; este consiste na obtenção da solção da eqação (4.4). Na solção do problema da convecção, portanto, deve-se determinar o campo de velocidades, o qal é escrito como: i v c = + (4.5) (x, y,t) + i v c = v + v v (4.6) v (x, y, t) +

52 onde: 33 i i i = i + v (velocidade do escoamento incidente) (4.7) c c c = i + v (velocidade indzida pelos corpos) (4.8) v v v = i + v (velocidade indzida pela nvem de vórtices discretos) (4.9) Campo de Velocidades Contribição do Escoamento Incidente O escoamento incidente é representado por: i = i + 0 (4.0) logo, de forma imediata: i = v i = Contribição do Corpo e da Sperfície Plana: O Método de Painéis A tilização deste método se poplarizo, provavelmente com os trabalhos de Hess & Smith (966) e Martensen (97). Segndo o Método dos Painéis (Katz & Plotkin, 99), a sperfície de m corpo de forma arbitrária é dividida em M elementos de sperfície, os painéis, de forma genérica. Sobre cada painel distribem-se singlaridades de forma a garantir a validade das condições de contorno em cada ponto de controle dos painéis. Esta característica garante as condições de contorno em m único ponto e não em todo o comprimento do painel. As singlaridades apresentam-se como concentrada, constante o linear ao longo de cada painel plano. Neste trabalho tiliza-se ma distribição constante de

53 fontes para garantir a condição de impenetrabilidade. 34 Considere ma distribição constante de fontes ao longo do eixo x, onde se tiliza m referencial fixo nm painel, conforme mostrado na figra. Como o referencial está fixo em cada painel plano torna-se necessária ma mdança no sistema de coordenadas para calclar a contribição da velocidade total indzida pelos painéis sobre m ponto localizado no domínio flido. A distribição de fontes com densidade niforme em cada painel garante a condição de impenetrabilidade e deve ser tilizada drante cada incremento de tempo da simlação nmérica para representação do corpo e da sperfície plana. Figra - Distribição constante de fontes sobre o eixo x (Katz & Plotkin, 99) Os componentes e v da velocidade indzida por ma distribição niforme de fontes sobre m ponto P são: = σ π x x x0 dx0 (x x0) + y x (4.) x σ y v = dx0. (4.) π (x x0) + y x

54 35 Na figra 3 identificam-se: y θ k = tan k =, x x k (4.3) r ( x x ) + y k, = (4.4) k k = Os componentes da velocidade obtidos em m referencial local são: σ r σ r = ln ln (4.5) π r 4π r = σ = (θ θ ). (4.6) π v Figra 3 Representação de m painel genérico do corpo (Katz & Plotkin, 99) A eqação matricial para a geração das fontes [ COUPS ] { SIGMA } ={ RHSS } é, então, estabelecida. Na forma de coeficientes tem-se a seginte versão para a eqação matricial de fontes:

55 36 0,5 K K 3... K m K K K 0, m K σ RHSS m K σ RHSS m K σ = RHSS 3m ,5 σ m RHSS 3 m (4.7) onde: [ COUPS ] é a matriz de inflência de fontes. O coeficiente K i, representa a velocidade normal indzida no ponto de controle de m painel genérico i por ma distribição niforme de fontes com densidade nitária localizada sobre o painel ; { SIGMA } é o vetor incógnita associado à densidade de fontes; { RHSS } é o vetor colna lado direito de fontes, qe para o escoamento potencial, leva em conta apenas a contribição do escoamento incidente, ma vez qe ainda não existem vórtices discretos no escoamento (vea mais detalhes no capítlo 5) Contribição da Nvem de Vórtices Uma das etapas qe consome o maior tempo de CPU relaciona-se com a interação vórtice-vórtice. O número de operações realizadas por m processador é da ordem do qadrado do número total de vórtices discretos presentes no escoamento. De maneira geral, os componentes nas direções x e y da velocidade total indzida no vórtice k pelos demais vórtices são calclados pelas expressões (vea mais detalhes nos Apêndices B e C): v k N k N N = Γ U V, k k, (4.8) = N = Γ V = Vk,, k. (4.9) Como m vórtice discreto não indz velocidade sobre ele mesmo pode-se elaborar m

56 algoritmo eficiente para o cálclo da interação vórtice-vórtice. Assim, o componente x da velocidade indzida em m vórtice k por m vórtice (de intensidade nitária) é igal ao componente x da velocidade indzida no vórtice pelo vórtice k com sinal contrário. De forma análoga, o componente y da velocidade indzida em m vórtice k por m vórtice (de intensidade nitária) é igal ao componente y da velocidade indzida no vórtice pelo vórtice k com sinal contrário. Observando esta particlaridade, Alcântara Pereira (999) desenvolve m algoritmo (vea o Apêndice C) qe calcla apenas os componentes em x e em y da velocidade indzida no vórtice k pelo vórtice, com Γ =, o sea: 37 U = U V, k Vk, (4.0) V = V V, k Vk,. (4.) Para saber a velocidade total indzida no vórtice arbitrário k, basta somar as contribições do escoamento incidente, da nvem de vórtices livres e do corpo. Assim, os componentes nas direções x e y da velocidade total indzida no vórtice k são dados respectivamente por: () t + ( t) ( t) t = k k + N km (4.) () t v + v ( t) v ( t) v t = k k + N km. (4.3) Esqemas de Avanço Convectivo Obtido o campo de velocidades, a posição de cada vórtice em cada incremento de tempo na etapa convectiva pode ser calclada por diversos esqemas de avanço: esqema de primeira ordem (esqema de Eler), esqema de segnda ordem (Adams-Bashforth o Rnge-Ktta) o esqemas de ordem sperior. O cálclo pelo esqema de segnda ordem de Adams-Bashforth (Ferziger, 98) permite qe se tilizem incrementos de tempo maiores, redzindo o tempo de simlação. Porém, este esqema possi a desvantagem de ter qe se conhecer a velocidade indzida em cada vórtice livre no instante anterior àqele em qe se desea conhecer a nova posição. Assim, por este esqema, a nova posição de m vórtice arbitrário k, após m incremento de tempo Δt, nas direções x e y é dada respectivamente por:

57 x k yk + k [ t k t ]Δt (4.4) ( t Δt) = x ( t) +,5 ( t) 0,5 ( t Δt) ( t Δt) = y ( t) +,5v ( t) 0,5v ( t Δt) k + k [ t t ]Δt (4.5) k k 38 Neste trabalho tilizo-se m esqema de avanço de primeira ordem de Eler qe corresponde a ma primeira aproximação à solção da eqação do avanço convectivo: ( t Δt) = x (t) ( x ( t), t) Δt x k + k + k k (4.6) ( t Δt) = y (t) v ( y ( t), t) Δt yk + k + k k. (4.7) 4.5. DIFUSÃO DA VORTICIDADE De acordo com o algoritmo de separação da parte viscosa, a difsão da vorticidade é governada pela eqação (4.3b), a eqação da difsão, qe é transcrita abaixo: ω = ω. t Re Vários são os algoritmos nméricos qe podem ser tilizados para se obter a solção desta eqação. A simlação do efeito difsivo da vorticidade no presente trabalho é feita com a tilização do Método de Avanço Randômico (Lewis, 99). Este não é o único método tilizado para simlar o efeito difsivo; ele é tilizado por sa simplicidade de implementação e é apropriado para a simlação de escoamentos qe se realizam com valores elevados do número de Reynolds. Existem várias técnicas qe simlam a difsão da vorticidade, entre elas, o Método da Variação do Núcleo do Vórtice (Kamemoto, et al., 990) e o Método da Velocidade de Difsão (Ogami & Akamats, 99). Neste trabalho, conforme comentado, será implementado o Método de Avanço Randômico tilizando a metodologia de cálclo proposta por Lewis (99), vea a segir.

58 4.5.. O Método de Avanço Randômico. 39 O Método de Avanço Randômico é, provavelmente, o mais tilizado para simlar a difsão da vorticidade qando se tiliza o Método de Vórtices. Ele foi mito empregado por Lewis (99) e mostra-se particlarmente útil qando o número de Reynolds assme valores elevados (Mstto e al., 997, 998) e (Alcântara Pereira, et al., 00). O Método de Avanço Randômico, tilizado para simlar o processo de difsão da vorticidade, consiste em se impor, a cada vórtice da nvem, m deslocamento difsivo em adição ao deslocamento convectivo (Chorin,973). Porthose & Lewis (98) analisando a difsão da vorticidade desenvolveram m algoritmo eqivalente ao de Chorin, (973). De acordo com este algoritmo, para cada incremento de tempo, cada vórtice p deve sofrer m deslocamento randômico ζ p = (ξ,η) p, com os componentes definidos como: ξ p (t) = (Δr) cos θ (direção x) (4.8) η p (t) = (Δr) sin θ (direção y). (4.9) Nas eqações (4.47) e (4.48) Δr p e Δθ p são calclados da seginte forma: 4Δt Δr p = ln (4.30) Re P Δ θ p = πq. (4.3) Onde nas eqações (4.48) e (4.49) P e Q são números randômicos entre 0 e. Desta forma, se a fórmla de Eler o a de Adams Bashforth for tilizada para simlar o avanço convectivo, tem-se respectivamente: x (t + Δt) = x (t) + (x (t), t)δt z (t) (4.3) p p p p + p

59 p [ ] Δt z ( t) ( t Δt) = x ( t) +,5 0,5 ( t Δt) x + +, (4.33) onde z p (t) (ξ p (t),η p (t)). p p p p GERAÇÃO DE VORTICIDADE Necessita-se qantificar de maneira apropriada a vorticidade criada nas sperfícies sólidas. Para se desenvolver m algoritmo com esta finalidade é necessário entender o mecanismo de geração da vorticidade. Considere, por m breve intervalo de tempo, a ação da convecção qe desloca a vorticidade presente no flido e, em especial perto de ma sperfície; reslta nma nova distribição da vorticidade a qal irá indzir m campo de velocidades ligeiramente diferente daqele anteriormente existente. A condição de escorregamento-nlo será violada, indzindose ma velocidade tangencial τ. Para qe isto não aconteça (a condição de contorno deve ser obedecida) o escoamento desenvolve ma sperfície de vorticidade, nto à sperfície, ca densidade é o sficiente para anlar esta velocidade tangencial. A vorticidade gerada na sperfície do corpo é, inicialmente, difndida para o interior do flido (o flido encontra-se parado relativamente ao corpo) formando a camada limite para em segida ser advectada; o resltado destes dois mecanismos compreende a convecção da vorticidade. Uma alternativa de implementação consiste na geração de vórtices nascentes nas vizinhanças do corpo de modo a satisfazer a condição de escorregamento-nlo; afinal, qando se calclo o componente da velocidade associada à pertrbação indzida pelo corpo, a única condição exigida foi de impenetrabilidade. Uma das conseqüências mais conhecidas da viscosidade é o desenvolvimento da camada limite nto das paredes, onde a vorticidade se faz presente. A fim de analisar a vorticidade presente no escoamento, observa-se o comportamento de fltadores posicionados em ma região flida limitada por paredes planas e paralelas, conforme a figra 4. Nas proximidades da parede (interior da camada limite) o perfil de velocidade do escoamento é parabólico devido à ação da viscosidade. Devido a isso, o fltador sperior gira no sentido anti-horário e o fltador inferior gira no sentido horário.

60 4 Além disso, nota-se qe a partir de certa distância das paredes (fora da camada limite) o perfil de velocidades do escoamento é retanglar e o fltador não sofre rotação, demonstrando qe fora da camada limite o escoamento é potencial. Figra 4 Geração de vorticidade Uma otra característica qe não é ilstrada na figra acima, mas qe se deve ao qe foi comentado anteriormente, é o fato de o fltador central possir maior velocidade de translação do qe os fltadores periféricos, característica essa, observada devido à presença da viscosidade nas regiões onde tais fltadores periféricos se encontram e, conseqüentemente, devido à geração de vorticidade nas paredes. A vorticidade é gerada a cada incremento de tempo Δt para anlar o componente normal da velocidade. Devido à presença da viscosidade, a vorticidade gerada na sperfície do corpo sofre m processo chamado de difsão primária, o qal consiste em fazer com qe toda a vorticidade presente em cada painel sea transformada em m único vórtice discreto qe será transportado pelo escoamento de acordo com os processos de convecção e difsão. Na implementação nmérica este processo é eqivalente à tilização da condição de escorregamento-nlo. Para garantir a condição de escorregamento-nlo sobre o ponto de controle de cada painel distribem-se vórtices nascentes de Lamb (vea mais detalhes no Apêndice B), de acordo com a figra 5.

61 4 Figra 5 Representação do Vórtice de Lamb De maneira similar a montagem da eqação matricial de fontes, eqação 4.4, tem-se a seginte eqação matricial para a geração dos vórtices discretos de Lamb [ COUPV ]{ GAMMA } ={ } a eqação matricial de vórtices: RHSV. O, na forma de coeficientes tem-se a seginte versão para K K K... K 3 m K K K K 3... m K K K K m m 3m... mm Γ RHSV Γ RHSV Γ3 = RHSV Γ m RHSV 3 m (4.34) onde: [ COUPV ]: é a matriz de inflência de vórtices. O coeficiente K i, representa a velocidade tangencial indzida no ponto de controle de m painel genérico i por m vórtice de Lamb com intensidade nitária localizado nas proximidades do painel ; { GAMMA }: é o vetor incógnita intensidade de vórtices;

62 { RHSV }: é o vetor colna lado direito de vórtices, qe para o escoamento potencial, leva em conta a contribição do escoamento incidente, ma vez qe ainda não existem vórtices discretos presentes no escoamento. A partir da presença de vórtices discretos no meio flido, este vetor é atalizado. Vea mais detalhes no capítlo CARGAS AERODINÂMICAS A ação do flido sobre a sperfície de m corpo é exercida através da tensão sperficial, a qal pode ser decomposta nas direções normal (pressão) e tangencial. A integração da tensão sperficial (cargas distribídas) dá origem às cargas aerodinâmicas integradas, representadas pelas forças e momentos aerodinâmicos. As forças aerodinâmicas decompõem-se em das direções; ma associada à força de sstentação e otra associada à força de arrasto. A força de sstentação é resltante da integração do componente normal (a pressão) da tensão sperficial, e ata em ma direção normal ao escoamento incidente, dependendo da forma e da orientação do corpo. A força de arrasto, por sa vez, é resltante da integração dos componentes normal e tangencial da tensão, atando sempre na direção do escoamento e opondo-se ao mesmo; esta força depende da forma e orientação do corpo e das características do escoamento incidente. Em corpos esbeltos qe operam com peqeno ânglo de incidência, não ocorre a separação do escoamento e a esteira qe se forma pode ser desprezível, sendo a força de arrasto originada da integração da tensão tangencial, o sea, depende apenas dos efeitos viscosos. De posse do campo de velocidades do escoamento dado pelas eqações (4.33) e (4.34), procede-se ao cálclo da pressão e das cargas aerodinâmicas. Neste trabalho é calclada a força de arrasto originada da integração da pressão (arrasto de forma). Dois métodos nméricos para o cálclo da pressão serão comentados. Lewis (99) tiliza m procedimento qe permite calclar as cargas com base apenas nos vórtices nascentes em cada incremento de tempo discreto. Shintani & Akamats (994) propseram ma metodologia qe considera a inflência de todos os vórtices discretos presentes na esteira. Devido à precisão dos resltados obtidos qando se calcla as cargas por meio da segnda formlação, tal modelo será tilizado no cálclo da pressão neste trabalho. No trabalho de Ricci (00) pode-se encontrar a dedção da eqação qe permite determinar o

63 44 valor da pressão no ponto i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = Ω i i i i i i i y i x As i ωdω y y x x y y x x v π YdS y y x x y y n x x n π αy ( ) ( ) ( ) ( ) + As i i i x i y ωds y y x x y y n x x n π Re, (4.35) onde, α= 0,5 na fronteira sólida, α=,0 no domínio flido, e o trabalho específico Y é definido por: p Y + =, = (4.36) A eqação (4.35), discretizada para ser resolvida nmericamente, apresenta-se como: ( ) ( ) ( ) ( ) = = M i ; i i i y i x i Y ΔS y y x x y y n x x n π αy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = N M i ; i i i x i y i i i i γ ΔS y y x x y y n x x n πre Γ y y x x y y x x v π. (4.37) A eqação (4.37) será resolvida tilizando m Método de Painéis. O lado esqerdo a eqação (4.37) será representado pela matriz de inflência COUPP. O lado direito da mesma eqação será representado pelo vetor colna lado direito RHSP. Assim, a eqação (4.37) pode ser escrita como: ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + + = N M i, i i i i M i, γ Ad Γ y y x x y y x x v π Y COUPP π. (4.38)

64 O lado direito da eqação anterior, pelas definições anteriores, pode ser escrito como: ( x x i ) ( y yi ) ( x x ) + ( y y ) N M v R HSPi = Γ + Adi, γ. (4.39) π = i i = 45 A aplicação da eqação (4.39) nos M painéis qe discretizam a sperfície do corpo e do chão condz a seginte eqação matricial para a pressão: [ ]{ Y} { RHSP} COUPP =. (4.40) Conhecidos os valores da incógnita Y para os M painéis, obtêm-se os valores do coeficiente de pressão para cada segmento: C = Y, (4.4) P i i + ma vez qe a velocidade sobre a sperfície do corpo é nla, vea a eqação (4.36). As forças aerodinâmicas são obtidas pela integração da pressão ao longo do corpo. A força de arrasto ata sobre o corpo na direção do escoamento incidente, ao passo qe a força de sstentação ata na direção normal ao corpo. Assim, as referidas forças são obtidas a partir de cada painel plano de comprimento ΔS resltando: M ( p p ) D = ΔS n (4.4) = M ( p p ) =, L = ΔS n, (4.43), onde: p é a pressão no ponto de controle do painel, p é a pressão do escoamento não-pertrbado, n, representa o seno do ânglo do painel, n, representa o cosseno do ânglo do painel.

65 Adimensionalizando as eqações anteriores obtém-se os coeficientes de arrasto e sstentação, qe podem ser dados respectivamente por: 46 M = M ( p p ) ΔS n, = C = C ΔS n, (4.44) D M = = M ( p p ) ΔS n, = = P, C = C ΔS n. (4.45) L P,

66 Capítlo 5 47 ALGORITMO DE IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DE VÓRTICES Para a simlação nmérica do problema formlado nos capítlos 3 e 4 foi desenvolvido o programa comptacional OSCILLA_GP.FOR em lingagem de programação FORTRAN. O algoritmo de implementação do Método de Vórtices Discretos para a solção do problema é mostrado na figra 6. INPUT DATAPREPGP DATAPREPSB COUPS GENERATION COMP_UM_VM RHSS RHSS 5 4 GAUSSPIV (S) COUPV RHSV MODCOUP COMP_UC_VC PRESSURE GAUSSPIV (P) GAUSSPIV (S) 9 GAUSSPIV (V) 0 M 7 8 DIFUSION CONVEC A 9 REFLECS I N 0 REFLECT PRINT COMP_UM_VM _ REFLECS CONVERT 3 RHSV 4 CONSERV 5 GAUSSPIV (V) 6 MOD_M AVERAGE 7 Figra 6 Algoritmo de implementação do programa OSCILLA_GP.FOR

67 A segir será explicada a finalidade de cada rotina tilizada no programa OSCILLA_GP.FOR para qe ele possa ser compreendido por m sário. 48 ROTINA INPUT.FOR Esta rotina tem como finalidade a leitra de todos os dados necessários para a simlação nmérica do escoamento ao redor de m corpo oscilante de forma qalqer e conhecida na presença de ma sperfície plana localizada na parte inferior do mesmo a ma distância h qalqer (vea a figra ). O arqivo de entrada INPUT.DAT é aberto pela rotina para a leitra dos segintes parâmetros tilizados no programa comptacional mb número total de painéis qe representam a sperfície discretizada do corpo. lm comprimento de cada módlo da sperfície plana com m comprimento igal ao diâmetro do cilindro (vea a figra 7). nm número total de módlos qe representam a sperfície plana (vea a figra 7); cada módlo possi comprimento igal a nidade. np número total de painéis para discretizar cada módlo. stop número total de incrementos de tempo. save intervalo de tempo para salvar os arqivos de saída. start instante de tempo para o início do cálclo das cargas aerodinâmicas. alpha ânglo de ataqe do escoamento incidente. vel velocidade do escoamento incidente. delt incremento de tempo. eps posição de desprendimento dos vórtices sobre cada painel plano (vea a figra 5). pro espessra da camada protetora; esta espessra é tilizada para remover vórtices discretos de Lamb qe estiverem localizados nas proximidades dos painéis (Ricci, 00). gap deslocamento de cada ponto de controle do corpo em direção a sperfície real (Ricci,

68 00). 49 core raio do núcleo do vórtice de Lamb. x distancia horizontal entre o ponto (0,0) e o bordo de ataqe do corpo. h distancia vertical entre a linha de simetria do corpo e a sperfície plana (efeito solo). A amplitde de oscilação do corpo. λ velocidade anglar. Re número de Reynolds. Figra 7 Representação esqemática do corpo e da sperfície plana. Esta rotina faz a geração da sperfície plana e em segida no arqivo PANELS.DAT são lidas as coordenadas dos pontos extremos de cada painel do corpo. ROTINA DATAPREPGP.FOR A rotina DATAPREPGP.FOR recebe o valor dos pontos extremos dos painéis tilizados para a representação da sperfície plana. Em segida a rotina calcla o valor do ponto de controle, do ânglo de orientação, do comprimento e do ponto de desprendimento do vórtice discreto referentes a cada painel. Estes valores são impressos no arqivo SURFACE.DAT. ROTINA DATAPREPSB.FOR

69 A rotina DATAPREPSB.FOR recebe o valor dos pontos extremos dos painéis tilizados para a representação do corpo. Em segida a rotina calcla o valor do ponto de controle, do ânglo de orientação, do comprimento e do ponto de desprendimento do vórtice discreto referentes a cada painel. Estes valores são impressos no arqivo BODY.DAT. Esta rotina, também, realiza o deslocamento do ponto de controle de cada painel em relação à sperfície plana (Ricci, 00). 50 ROTINA COUPS.FOR A próxima etapa consiste do cálclo dos coeficientes da matriz de inflência de fontes pela rotina COUPS.FOR. Estes coeficientes são mostrados na eqação matricial (4.7), qe pode ser escrita, também, como: [ COUPS]{ σ } { RHSS(S )} =. (5.) k Na eqação matricial (5.), [ COUPS ] é ma matriz de inflência, onde cada coeficiente K i, representa a indção de velocidade normal sobre o ponto de controle do painel genérico i por m painel de fontes com densidade nitária. Os coeficientes da matriz de inflência de fontes não sofrem variação ao longo da simlação, porqe dependem apenas da geometria do problema. No presente trabalho os coeficientes da matriz de inflência de fontes são calclados no sistema de coordenadas fixo ao corpo. A matriz de inflência é montada impondo-se a condição de impenetrabilidade sobre o ponto de controle de cada painel do corpo e da sperfície plana. ROTINA RHSS.FOR O lado direito da eqação matricial (4.7) é m vetor colna de M elementos, qe leva em consideração a velocidade normal indzida pelo escoamento incidente e pela nvem de vórtices livres sobre o ponto de controle de cada painel. Para m painel genérico k, o valor de RHSS(S k ) na primeira vez em qe ele é calclado, no instante t = 0( Δt), considera apenas a indção de velocidade normal do escoamento incidente, ma vez qe não existe vórtice livre no meio flido. Drante o processo iterativo, este lado da eqação corresponde ao somatório da

70 velocidade normal indzida pelo escoamento incidente e pelos vórtices livres no ponto de controle dos painéis. No problema analisado tem-se a seginte eqação para o vetor colna lado direito de fontes: 5 RHSS(S { U sin(θ ) ( V + y ) cos(θ ) + sin(θ ) v cos(θ )} k ) = k & o k k, k k, k, (5.) onde o efeito de oscilação de peqena amplitde é levado em consideração a partir da seginte relação inicial: ( λt) y 0 = A cos (5.3a) ( λt) y& 0 = Aλsen (5.3b) ROTINA COUPV.FOR A próxima etapa consiste no cálclo dos coeficientes da matriz de inflência vórtices pela rotina COUPV.FOR. Estes coeficientes são mostrados na eqação matricial (4.34), qe pode ser escrita como: [ COUPV]{ Γ } { RHSV(S )} =. (5.4) k Na eqação matricial (4.34), [ COUPV ] é ma matriz de inflência onde cada coeficiente K i, representa a velocidade tangencial indzida no ponto de controle de m painel genérico i por m vórtice de Lamb com intensidade nitária localizado nas proximidades de m painel. No instante inicial, t = 0( Δt), e a cada novo incremento de tempo, Δt, há a geração de vorticidade sobre as sperfícies do corpo e do chão. Esta vorticidade é representada por m número M de vórtices discretos de Lamb. O valor da intensidade dos vórtices de Lamb ao longo dos painéis é obtido de modo a satisfazer a condição de escorregamento-nlo em todos os pontos das sperfícies discretizadas. Deste modo, o sistema de M eqações algébricas e M incógnitas mostrado na eqação (5.4) deve ser resolvido. Os coeficientes da matriz de inflência de vórtices não sofrem variação ao longo da

71 simlação, porqe dependem apenas da geometria do problema. A matriz de inflência é montada impondo-se a condição de escorregamento nlo sobre o ponto de controle de cada painel. 5 ROTINA RHSV.FOR O lado direito da eqação matricial (4.34) é m vetor colna de M elementos. Para m painel genérico m, o valor de RHSV(S m ) na primeira vez em qe ele é calclado, no instante t = 0( Δt), considera apenas a indção de velocidade tangencial do escoamento incidente, ma vez qe não existe vórtice livre no meio flido. Em todos os incrementos de tempo segintes, este vetor é atalizado devido aos Z vórtices discretos presentes na esteira, qe indzem velocidade tangencial no ponto de controle de m painel genérico m. No problema analisado tem-se a seginte eqação para o vetor colna lado direito de vórtices: { cos(θ ) ( v + y ) sin(θ ) cos(θ ) v sin(θ )} RHSV(Sm ) = k & o k k, k k, k (5.5) onde y& 0 é representado pela eqação (5.3) e consiste na inclsão do efeito de oscilação de peqena amplitde. ROTINA MODCOUP.FOR Esta rotina acrescenta linhas e colnas na matriz de inflência de vórtices, eqação (5.4), para imposição da conservação global da circlação e obedece a seginte eqação: m Z ( ) + ( Γ ) vórtices nascentes k 0 = 0 vórtices livres = k= 0 0 K i Γ. (5.6) Aproveita-se essa rotina para calclar, também, os coeficientes da matriz de pressão M M M M Corpo Corpo

72 COUPP. Esta matriz corresponde ao termo do lado esqerdo da eqação (4.40). 53 ROTINA GAUSSPIV.FOR As eqações matriciais (5.), (5.4) e (4.40) são resolvidas pela rotina GAUSSPIV.FOR, qe tiliza o Método de Eliminação de Gass com Condensação Pivotal Parcial. ROTINA GENERAT.FOR Cada vórtice discreto gerado possi m núcleo viscoso e o modelo qe vem sendo tilizado é o modelo do vórtice de Lamb (Panton, 984). A rotina GENERAT.FOR realiza o processo de desprendimento dos vórtices discretos ao longo da sperfície discretizada do corpo e da sperfície plana. ROTINA COMP_UM_VM.FOR A rotina COMP_UM_VM.FOR é acionada para calclar os componentes da velocidade indzida no ponto de controle dos painéis planos devidos à presença dos vórtices discretos desprendidos e dos vórtices discretos presentes na nvem de vórtices. Estes componentes são definidos como U v,k e V v nas eqações (4.0) e (4.).,k ROTINA COMP_UC_VC.FOR A rotina COMP_UC_VC.FOR realiza o cálclo da velocidade indzida em cada vórtice da nvem, levando-se em conta a inflência do escoamento incidente, dos corpos presentes no escoamento (Método de Painéis) e de todos os vórtices discretos qe formam a nvem em cada instante de tempo. Nesta rotina tem-se o cálclo, portanto, do campo de velocidades. ROTINA PRESSURE.FOR O cálclo das cargas aerodinâmicas integradas e distribídas é feito pela rotina PRESSURE.FOR, qe calcla a pressão atante no ponto de controle de cada painel mais as forças de arrasto e sstentação. Este cálclo é baseado na formlação de Shintani & Akamats (994), descrita no capítlo 3 de acordo com a eqação matricial (4.40).

73 ROTINA DIFFUS.FOR 54 A rotina DIFFUS.FOR realiza o processo de difsão dos vórtices discretos através do Método de Avanço Randômico (Lewis, 99). Em cada instante de tempo, cada vórtice discreto da nvem tem associado dois números randômicos P e Q entre 0.0 e.0. Vea as eqações (4.3) e (4.33). ROTINA CONVEC.FOR De posse do campo de velocidades (cálclo dos componentes da velocidade total indzida em cada vórtice discreto da nvem) o avanço convectivo de cada vórtice discreto é simlado com a tilização de m esqema de avanço de primeira ordem de Eler definido pelas eqações (4.6) e (4.7). ROTINA REFLECT.FOR As velocidades indzidas pelos painéis não estarão corretamente calcladas para vórtices discretos mito próximos aos painéis, qe representam as sperfícies discretizadas dos corpos. Ricci (00) em se trabalho mostro qe ao se tilizarem painéis de fontes os erros conservam-se da ordem de %, qando o ponto de controle é deslocado para 3% ( gap = 0.3 ) da distância entre o painel e a sperfície de m corpo para pontos sitados fora de ma camada protetora qe corresponde a ma distância ao painel igal o sperior a 40% do se comprimento ( pro = 0.40 ). Ao se realizar a simlação nmérica dos efeitos de difsão e de convecção da vorticidade algns vórtices discretos podem migrar para o interior do corpo. O reposicionamento (reflexão) destes vórtices acima da camada protetora é realizado pela rotina REFLECS.FOR e REFLECT.FOR Esta rotina imprime no arqivo CONSERV.DAT, os valores do instante de tempo (step) e da circlação global de acordo com a eqação (5.6). ROTINA PRINT.FOR A rotina PRINT.FOR realiza a gravação em arqivos de saída dos resltados instantâneos importantes da simlação nmérica. Estes arqivos referem-se à posição de cada

74 vórtice da nvem, à distribição de pressões ao redor da sperfície discretizada do corpo e aos valores das cargas aerodinâmicas integradas (força de arrasto e força de sstentação). 55 ROTINA CONSERV.FOR Para realizar a conservação da circlação do escoamento, a rotina CONSERV.FOR faz M=M+ e atribi o valor igal a zero para RHSV(M) e RHSV(M ) no vetor colna do lado direito de vórtices. ROTINA MODM.FOR Após a resolção da eqação (5.4), com as novas condições descritas anteriormente, a rotina MOD_M.FOR é acionada para realizar a correção do número M de painéis, qe foi alterado pela rotina anterior (CONSERV.FOR). Esta rotina, também, imprime no arqivo CONTROL.DAT, os valores do instante de tempo (step) e dos dois valores extras obtidos na resolção da eqação matricial de vórtices devido a imposição da conservação da circlação (vea a eqação 5.6). ROTINA AVERAGE.FOR Assim qe o último incremento de tempo for conclído, a rotina AVERAGE.FOR é acionada. Esta rotina é a responsável pelo cálclo e impressão dos coeficientes de arrasto e sstentação médios atantes sobre o corpo e da distribição de pressões médias sobre a sperfície discretizada do corpo (valores médios calclados entre START e STOP).

75 Capítlo 6 ANÁLISE DOS RESULTADOS Neste capítlo apresentam-se os resltados da simlação nmérica do escoamento bidimensional, incompressível e em regime não-permanente de m flido newtoniano com propriedades constantes incidindo sobre m cilindro circlar oscilante na presença de ma sperfície plana. A sperfície do corpo e a sperfície plana são aproximadas por segimentos de retas (painéis planos) sobre os qais se distribem fontes com densidade constante para, assim, garantir a condição de impenetrabilidade sobre o ponto de controle de cada painel. A condição de escorregamento-nlo é satisfeita sobre o ponto de controle de cada painel distribindo-se vórtices discretos de Lamb nas proximidades de cada painel. Como o movimento oscilatório do corpo é considerado como sendo de amplitde peqena transferemse as condições de contorno, anteriormente mencionadas, de ma posição real para ma posição média. Inicialmente analisa-se o escoamento considerando-se o corpo parado, o sea, sem oscilação e a grandes distâncias da sperfície plana e, em segida, seito a ma oscilação (figra ). As cargas aerodinâmicas são calcladas e, apresentam-se os resltados da simlação nmérica do escoamento ao redor do corpo na presença da sperfície plana (efeito solo).

76 6.. PARÂMETROS UTILIZADOS NA SIMULAÇÃO NUMÉRICA 57 Nas simlações nméricas, consideram-se das classes de parâmetros: os parâmetros relacionados com o método nmérico e os parâmetros afetos ao fenômeno Parâmetros Relacionados com o Método Nmérico a) Número de Painéis Planos As fronteiras sólidas presentes no problema são discretizadas e representadas por m número M finito de painéis planos co comprimento está adimensionalizado pelo diâmetro do cilindro. A sperfície do cilindro é discretizada em 50 painéis (Mb= 50) o 00 painéis (Mb=00) e a sperfície plana em 0 módlos (Nm= 0) e cada módlo é dividido em 5 painéis (Np= 5), vea a figra 7, sobre os qais se distribem singlaridades do tipo fontes. A discretização da sperfície do corpo em m número menor de painéis acarreta m erro, o qal pode ser minimizado com a tilização de m número maior de painéis. Este procedimento, no entanto, onera o tempo de simlação e o csto comptacional, pois após cada incremento de tempo Δt, M novos vórtices discretos de Lamb são gerados e desprendidos ao longo das sperfícies, nas vizinhanças de cada ponto de controle. b) Incremento de tempo Δt Para a escolha de m valor apropriado para o incremento de tempo Δt algns critérios podem ser encontrados na literatra (Lewis, 99 e Mstto, 998). Opto-se neste trabalho por m valor de incremento de tempo igal a Δt= 0,05. O incremento de tempo foi calclado pela expressão fornecida por Mstto et al, (998): kπ Δt = 0 < k, (6.) M onde M é o número de painéis qe discretizam a sperfície do corpo.

77 c) Posição de desprendimento dos vórtices discretos e raio do núcleo do vórtice de Lamb 58 Nas simlações nméricas realizadas tilizaram-se valores igais para o raio do núcleo do vórtice de Lamb ( σ 0 = 0,009) e para a posição de geração dos vórtices discretos nas proximidades dos painéis planos (ε= 0,009). Estes parâmetros adotados permitem qe os vórtices nascentes esteam sempre posicionados tangenciando o ponto de controle de m painel plano. Ricci (00) em se trabalho mostro qe há m erro no cálclo da velocidade indzida por m painel sobre m ponto (m vórtice discreto) localizado mito próximo deste painel. Ao se tilizarem painéis de fontes com densidade niforme os erros conservam-se da ordem de %, qando o ponto de controle é deslocado para 3% ( gap = 0.3 ) da distância entre o painel e a sperfície real do corpo. Também, tiliza-se do artifício de se reposicionar vórtices discretos mito próximos aos painéis para pontos sitados fora de ma camada protetora. Esta camada protetora corresponde a ma distância ao painel igal o sperior a 40% do se comprimento ( pro = 0,40 ) Parâmetros Relacionados com o Fenômeno Físico a) Número de Reynolds (Re) O valor adotado para o número de Reynolds foi de 0 5 ; este valor é considerado alto e sficiente para prodzir os efeitos da simlação nmérica do processo difsivo. b) Ânglo de ataqe (α) Nas simlações nméricas realizadas o escoamento niforme apresenta ânglo de incidência nlo. c) Distância vertical entre a linha de simetria do corpo e a sperfície plana (h) Este parâmetro caracteriza a inflência do efeito solo no problema. É apresentado na figra o comportamento do coeficiente médio de sstentação em fnção de h; a partir deste gráfico escolhe-se m valor de h qe fosse representativo para análise do movimento oscilatório do corpo na presença do efeito solo. d) Amplitde de oscilação (A) É apresentado m estdo da validação para valor da amplitde de oscilação do corpo no

78 contexto de m movimento oscilatório com transferência das condições de contorno; o sea, identifica-se m valor crítico acima do qal a amplitde de oscilação não pode ser tilizada qando se transferem as condições de contorno de ma posição real para ma posição média sobre a sperfície discretizada do corpo. 59 e) Velocidade anglar (λ) A velocidade anglar é m parâmetro variável drante as análises do efeito de oscilação do cilindro circlar definida por: π λ =, onde T é o período. T 6. CILINDRO CIRCULAR SEM OSCILAÇÃO O programa OSCILLA_GP.FOR foi tilizado inicialmente para a análise do escoamento ao redor de m cilindro de seção circlar considerando-se o caso sem rotação, sem oscilação, com ânglo de ataqe igal a zero e sem a inflência do efeito solo (o sea, com o corpo posicionado a grandes distâncias da sperfície plana). Os resltados nméricos obtidos para as cargas aerodinâmicas integradas (força de arrasto e de sstentação) e para o campo de pressões foram comparados com otros resltados nméricos e com resltados experimentais disponíveis na literatra. Na tabela são apresentadas comparações entre os resltados nméricos e os experimentais para as forças aerodinâmicas e para o número de Strohal, St, com Re= 0 5. Adicionalmente apresenta-se ma comparação para a amplitde média de oscilação do coeficiente de sstentação. Todas as simlações realizadas neste trabalho tilizaram m esqema de avanço de primeira ordem de Eler com 800 avanços no tempo e com Δt = 0,05. Os resltados médios foram calclados entre os instantes t= 0 e t= 40, vea na figra 9. Na tabela comparam-se os valores nméricos obtidos na presente simlação com os resltados experimentais de Blevins (984), com 0% de incerteza, e com os resltados obtidos através de diferentes simlações nméricas realizadas por Mstto et al. (998),

79 Alcântara Pereira et al. (00) e Recicar (007). 60 Tabela Valores médios da força de arrasto, sstentação, amplitde média do coeficiente de sstentação e número de Strohal para m cilindro circlar sem oscilação Re = 0 5, A = 0 e λ = 0 C L C D S t A CL Blevins (984) Mstto et al. (998) Alcântara Pereira et al.(00) Recicar (007) 0,07, 0,0,0 Presente simlação , Mstto et al. (998) representaram a contribição da sperfície do cilindro circlar no cálclo do campo de velocidades através do Teorema do Círclo. Neste cálclo tem-se a garantia da satisfação da condição de impenetrabilidade sobre todos os pontos da sperfície real do cilindro. Alcântara Pereira et al. (00) tilizaram o Método de Painéis (painéis planos com distribição de vórtices com densidade niforme) para representar a sperfície do cilindro circlar em associação à m modelo de trblência (modelo da Fnção Estrtra de Velocidade de Segnda Ordem adaptado ao Método de Vórtices). Recicar (007) tilizo o mesmo tipo de distribição de singlaridade do presente trabalho (fontes com densidade niforme e camada protetora para a correção do cálclo da velocidade indzida por m painel plano sobre m vórtice discreto localizado mito próximo deste painel). Para o cálclo da pressão, Mstto et al. (998) tilizo a formlação de Lewis (99), qe leva em consideração apenas a vorticidade associada aos vórtices nascentes em cada incremento de tempo. O cálclo do coeficiente de pressão é realizado sobre cada ponto da sperfície do cilindro tilizado como ponto de controle no esqema de geração de vórtices novos. O algoritmo nmérico inicia o cálclo do coeficiente de pressão instantâneo ma vez sperado o transiente nmérico necessário para a formação da esteira viscosa. O algoritmo para o cálclo do coeficiente de pressão inicia ma procra pela primeira passagem ascendente do coeficiente de sstentação pelo valor zero, sendo o cálclo feito até a última passagem ascendente por este valor. Nos demais resltados nméricos para o coeficiente de pressão tilizo-se a formlação proposta por Shintani & Akamats (994), qe leva em conta, também, a presença da vorticidade associada à nvem de vórtices discretos.

80 Na tabela os valores nméricos apresentados para o coeficiente de arrasto são speriores ao valor experimental de Blevins (984). Este tipo de resltado é característico de ma simlação nmérica bidimensional, ma vez qe, os efeitos tridimensionais são negligenciados. O número de Strohal, no entanto, mostra-se insensível à asência desses efeitos. 6 O número de Strohal é m parâmetro relacionado com a freqüência de emissão de vórtices para formar a esteira do cilindro, sendo definido como: d π d d d St = λ = = f St = f (6.) U T U U U Na figra 8 é apresentada ma análise do comportamento da distribição do coeficiente médio de pressão sobre a sperfície discretizada do corpo parado (A= 0 e λ= 0). É feita ma comparação com o resltado da teoria potencial, com o resltado nmérico de Mstto et al. (998) e com o resltado experimental de Blevins (984). Os valores crescentes para o ânglo θ, qe correspondem aos pontos onde o coeficiente de pressão é calclado, são gerados de acordo com a indicação na figra 8. Observa-se ma diferença nos resltados entre a presente simlação nmérica e a experimental na região de descolamento. Um dos fatores qe contribiram para esta diferença relaciona-se com a maneira como a sperfície discretizada é representada nesta região. Amentando-se o número de painéis e tilizando-se painéis com comprimentos menores nesta região espera-se ma melhor concordância, porém esta estratégia onera o tempo comptacional. Otra solção para ma melhor concordância entre os resltados pode ser obtida através de m melhor tratamento para a geração dos vórtices discretos de Lamb. No presente trabalho todos os vórtices são gerados com o mesmo valor para o raio do núcleo e são igalmente posicionados em relação ao ponto de controle. O resltado de Mstto et al. (998) apresenta-se com erro significativo, concli-se, portanto, qe há a existência de processos nméricos qe inflenciam nma obtenção errônea dos resltados para o coeficiente de pressão. A figra 9 mostra a evolção das cargas aerodinâmicas integradas ao longo do tempo. O mecanismo de desprendimento de vórtices, qe caracteriza o escoamento em torno de m cilindro circlar, pode ser detectado nas oscilações dos coeficientes de arrasto e sstentação.

81 Após terminado o transiente nmérico e estabelecido o regime permanente periódico, o coeficiente de sstentação oscila em torno do valor igal a zero (o corpo é rombdo e apresenta ma esteira generosa a sa sante, vea a figra ). O coeficiente de arrasto apresenta-se com m valor médio igal a,; este valor está próximo do valor experimental, qe é de,0 (Blevins, 984). 6 A crva qe representa o coeficiente de arrasto oscila com o dobro da freqüência da crva qe representa o coeficiente de sstentação, o qe é ma característica intrínseca do cilindro circlar..00 Teoria Potencial Experimental (Blevins, 984) Simlação Nmérica (Mstto, 998) Presente Simlação θ 0.00 Cp Theta Figra 8 Comparação entre os resltados experimentais e nméricos de Cp para o cilindro circlar. (A= 0, λ= 0, Re= 0 5 ) A estrtra da esteira de vórtices discretos para o cilindro circlar parado ( A= 0 e λ=0) após 800 avanços no tempo é mostrada na figra, onde se pode identificar a formação e o desprendimento de grandes estrtras vorticosas. Este processo acontece alternadamente nas sperfícies sperior e inferior do cilindro. Observa-se, também, a formação de pares de vórtices rodando em sentidos opostos e conectados, m ao otro, por ma folha de

82 vorticidade. Os pares contra-rotativos de vórtices encontram-se mais próximos na parte central da cada esteira. Observam-se, também, a presença de pares contra-rotativos escapando para fora da esteira, sendo este comportamento observado na esteira trblenta para Re > 400 em trabalhos experimentais realizados com filmes finos de sabão (Coder & Basdevant, 986). Desta forma, os valores obtidos para o coeficiente de arrasto, o coeficiente de sstentação e o número de Strohal fornecem resltados bastante próximos aos experimentais. 63 Figra 9- Evolção das cargas aerodinâmicas integradas ao longo do tempo para o cilindro 5 circlar (λ= 0, A= 0, Eler, Mb = 50, Mg = 50 Δt = 0,05, σ 0 = eps = 0,009, Re = 0 ). Para a sitação de corpo parado ( λ 0 e A = 0) = apresenta-se o comportamento da distribição do coeficiente de pressão médio entre t= 0 e t= 40 sobre a sperfície discretizada do corpo, representado na figra 8. Valores instantâneos desta distribição podem ser vistos na figra 0. Os instantes de tempo e os ses respectivos pontos estão identificados na tabela. Tabela : Pontos para análise instantânea de pressão. Ponto A B C D E F Tempo 6,5 8, 9,4 0, 3 5

83 64 Figra 0 Cilindro Circlar: distribição do Coeficiente de Pressão ao longo do h ; λ = 0 ;A = 0 tempo ( ) Na figra identificam-se das posições instantâneas do comportamento do campo de velocidades nas proximidades do cilindro. (a) t = 6,5 (ponto A) (b) t = 9,4 (ponto C) Figra Comportamento do campo de velocidades nas proximidades do cilindro circlar parado sem a presença do efeito solo para Re = 0 5. Na figra (a) ponto A da figra 0 observa-se o início do desprendimento, a partir da sperfície sperior do cilindro, de ma estrtra vorticosa qe faz com qe apareça ma

84 distribição de pressão diferente da sperfície inferior. Na figra (b) ponto C da figra 0 ocorre o início do desprendimento de ma segnda estrtra vorticosa para formar com a primeira m par contra-rotativo. Nesta segnda sitação a distribição de pressão na sperfície inferior torna-se diferente daqela da sperfície sperior. 65 O tempo de CPU necessário para obtenção da esteira visalizada na figra foi de 8,5 horas tilizando m PENTIUM 4 HT 3.0. Figra Posição dos vórtices na esteira no instante t= 40. (λ= 0, A= 0, Eler, Mb = 50, 5 Mg = 50 Δt = 0,05, σ 0 = eps = 0,009, Re = 0 ). Considera-se, assim, qe o código comptacional desenvolvido está validado e parte-se para novas simlações nméricas levando-se em conta os aspectos de oscilação do corpo com peqena amplitde e o efeito solo. 6.3 CILINDRO CIRCULAR COM OSCILAÇÃO E SEM EFEITO SOLO 6.3. Número de Strohal Associado à Oscilação do Corpo O número de Strohal tilizado anteriormente (eqação 6.) e associado com a freqüência de emissão de vórtices será relacionado, agora, com m segndo número de Strohal. Este segndo número de Strohal é associado à freqüência de oscilação do corpo e definido por:

85 66 df C St C = U (associado à freqência de oscilação do corpo) (6.3) A freqüência de emissão de vórtices é calclada a partir do gráfico da força de sstentação em fnção do tempo, conforme mostrado na figra 3. Primeiro é calclado o período médio da crva da força de sstentação e posteriormente a freqüência de emissão de vórtices..00 Forca de Sstentacao Cargas Aerodinamicas Integradas T T T N Tempo Figra 3 Determinação da freqüência de emissão de vórtices Utilizam-se as segintes definições para o período médio e para a freqüência média de oscilação: T + T TN T = (6.4) N f =. (6.5) T

86 A freqüência de oscilação do corpo é calclada a partir da velocidade anglar λ, a qal é m parâmetro tilizado nas simlações. Assim: 67 λ f C =. (6.6) π A amplitde média do coeficiente de sstentação corresponde ao valor médio das amplitdes positivas e negativas do mesmo e é obtida a partir do gráfico da força de sstentação em fnção do tempo, conforme mostra a figra 4. Têm-se as segintes definições: A + A A N A + = N (6.7) A A + A A ' ' ' N' = ' (6.8) N A CL = A A + +. (6.9).00 Forca de Sstentacao Cargas Aerodinamicas Integradas A A AN C L A A A N Tempo C L Figra 4 Cálclo da amplitde média do Realizo-se ma simlação nmérica com o obetivo de definir a máxima amplitde de oscilação permissível para o corpo e a ser tilizada para este programa; ma vez qe a

87 condição de contorno deve ser transferida da posição real para a posição média. Para tal, é 68 feita a comparação dos resltados obtidos de C L com os obtidos por Recicar (007). Os mesmos são apresentados graficamente nas figras 5 e 6. Para eliminar a contribição da sperfície plana na presente simlação considero-se ma altra h ( h 000), ma vez qe o obetivo de Recicar (007) foi analisar oscilações de grandes amplitdes nm corpo qe se movia com velocidade constante não considerando a presença de sperfície plana. Os parâmetros tilizados para as simlações nméricas são apresentados na tabela 3. Tabela 3 Parâmetros tilizados para o cilindro circlar. Número de painéis para o cilindro circlar 00 Número de avanços no tempo 800 Incremento de tempo (Δt) 0,05 Eps (deslocamento primário) 0,03 Gap 0,3 Pro (camada protetora) 0,4 Core (Raio do núcleo do vórtice de Lamb) 0,03 Número de Reynolds 0 5 Os resltados apresentados por Recicar (007) foram importantes para a comparação qe será feita nas tabelas 4 e 5 a segir. Tabela 4 Resltados nméricos obtidos na presente simlação para Strohal e A tilizando λ = 0,05. CL Recicar (007) C, C, números de L D Presente simlação Amplitde C L C D St St c A CL C L C D St St c A CL 0.0-0,05,33 0,96 0,008,50 0,07,5 0,06 0,008, ,069,95 0,98 0,008,07 0,008,47 0,98 0,008, ,07,84 0,07 0,008,05-0,0,40 0,5 0,008, ,067,58 0,08 0,008,75 0,086,35 0,97 0,008, ,4,85 0,93 0,008,5 0,09,56 0,99 0,008, ,6,09 0,0 0,008,97 0,33,00 0,09 0,008 0, ,69,5 0, 0,008,03 0,65,03 0,0 0,008, ,33,09 0,008 0,,58 0,07 0,008,07.0 0,496,06 0,008 0,53,45 0,94 0,008,056 Desta forma, os valores para a amplitde de oscilação do corpo foram variados e

88 69 obtiveram-se os segintes resltados apresentados nas tabelas 4 e 5 para forças aerodinâmicas, números de Strohal e amplitde média de oscilação do coeficiente de sstentação. Na tabela 4 o valor da amplitde de oscilação é considerado peqeno comparado com o valor de amplitde de oscilação para a tabela 5. Observa-se qe o fenômeno de lock-in (St = St c ) não ocorre. Tabela 5 - Resltados nméricos obtidos na presente simlação para Strohal e A tilizando λ=, 5. CL Recicar (007) C, C, número de L D Presente Simlação Amplitde C L C D St St c A CL C L C D St St c A CL 0.0 0,08,78 0,03 0,38,86 0,056,37 0,0 0,38, ,009,095 0,40 0,38,083 0,086,76 0,3 0,38, ,054 0,886 0,40 0,38,89 0,00,99 0,38 0,38, ,03 0,63 0,40 0,38,45 0,006,3 0,39 0,38, ,008 0,347 0,39 0,38,444-0,07 0,986 0,37 0,38, ,044 0,7 0,38 0,38,805 0,089 0,658 0,37 0,38, ,0-0,40 0,39 0,38,56 0,7 0,594 0,07 0,38, ,9-0, , ,9 0,753 0,36 0,38, ,046 -, , ,99 0,788 0,40 0,38,738 Baseando-se nos resltados obtidos de C e nas análises apresentadas no trabalho de L Recicar (007) gero-se as figras 5 e 6. Para ma freqüência de oscilação considerada peqena ( λ = 0,05) o erro obtido para o número de Strohal é menor qe 0% e não há lockin e para ma freqüência de oscilação maior ( λ =,5) o corpo se encontra em ma região de lock-in a partir de ma amplitde A= 0,05. λ= 0,05 + Presente simlação + Recicar (007) Figra 5 - Variação do coeficiente de sstentação em fnção da amplitde (λ = 0,05).

89 70 Observa-se na figra 5, qe a simlação com peqena velocidade anglar, a partir de ma amplitde de 0,3, apresenta-se com diferenças consideráveis. λ=,5 + Presente simlação + Recicar (007) Figra 6 - Variação do coeficiente de sstentação em fnção da amplitde (λ =,5). De forma análoga à sitação de corpo parado ( λ 0 e A = 0) = apresenta-se o comportamento da distribição do coeficiente de pressão sobre a sperfície discretizada do corpo para valores instantâneos qe podem ser vistos na figra 8. A figra 7 representa o comportamento das cargas aerodinâmicas entre os instantes t = 0 e t = 40, assim como a identificação dos pontos tilizados para a constrção da figra 8. Os instantes de tempo e os ses respectivos pontos estão identificados na tabela 6 Tabela 6 Pontos para análise instantânea de pressão. Ponto A B C D E F Tempo 6,5 8, 9,4 0, 3 5

90 7 C D.5 A X: 6.5 Y:.40 Cargas Aerodinâmicas Integradas B X: 8. Y: D X: 0. Y: E X: 3 Y: F X: 5 Y: Corpo C X: 9.4 Y: -.53 C L Tempo Figra 7 - Evolção das cargas aerodinâmicas integradas ao longo do tempo para o cilindro circlar (λ=,3; A= 0,05, Eler; Mb = 50 ; Mg = 50 ; Δt = 0,05 ; σ 0 = eps = 0,009; 5 Re = 0 ). Figra 8 Distribição do Coeficiente de Pressão ao longo do h ; λ =,3 ; A = 0,05 tempo ( )

91 7 Na figra 9 observa-se ma estrtra vorticosa desprendida anteriormente presente na nvem e, na parte inferior do cilindro, a formação de ma nova estrtra instante antes de se desprendimento. Neste ponto, o movimento do corpo é de descida (vide figra 7) e a maior pressão é observada na sperfície inferior do cilindro. O ânglo theta (0-360 ) refere-se ao ânglo do painel plano. Figra 9 - Comportamento do campo de velocidades nas proximidades do cilindro circlar oscilando sem a presença do efeito solo para Re = 0 5 (ponto A) Na figra 0, observa-se o fenômeno de desprendimento ocorrendo na parte sperior do cilindro. O cilindro está na posição de oscilação próximo de máximo positivo (figra 7) e a maior pressão é observada na sperfície sperior do cilindro. Figra 0 - Comportamento do campo de velocidades nas proximidades do cilindro circlar oscilando sem a presença do efeito solo para Re = 0 5 (ponto C)

92 6.4. O EFEITO SOLO Cilindro Circlar Parado A sperfície plana, simlada pelo Método de Painéis, tem a condição de impenetrabilidade (imposta através de ma distribição de fontes com densidade niforme) e a condição de escorregamento-nlo (imposta através da geração de vórtices discretos de Lamb) verificadas apenas em cada ponto de controle nos painéis. Estes painéis estão distribídos ao longo de cinco módlos, cada qal com m comprimento igal ao diâmetro do cilindro. O posicionamento destes módlos em relação ao corpo é mostrado na figra e são distribídos da seginte maneira: o primeiro é posicionado antes do corpo, o segndo embaixo do mesmo e os três últimos na seqüência. Cada módlo foi discretizado em dez painéis. Figra Posicionamento dos módlos da sperfície plana As simlações nméricas com o cilindro circlar disposto nas proximidades de ma sperfície, foram realizadas com a tilização dos parâmetros apresentados na tabela 7. Em m primeiro instante, com os parâmetros apresentados na tabela 8 fixos, procrose variar o valor de h (vide figra ). Desta maneira foram obtidos os valores para o coeficiente de sstentação médio, qe estão apresentados na tabela 8 e na figra.

93 74 Tabela 7 Parâmetros tilizados para o corpo cilíndrico na presença da sperfície. Número de painéis do corpo cilíndrico 50 Número de avanços no tempo 800 Comprimento de cada módlo (lm) Número total de módlos (nm) 5 Número de painéis em cada módlo (np) 0 Incremento de tempo (Δt) 0,05 Eps (deslocamento primário) 0,009 Gap 0,3 Pro (camada protetora) 0,4 Core (Raio do núcleo do vortice de Lamb) 0,009 Número de Reynolds λ (freqüência anglar) 0 A (amplitde) 0 Tabela 8 Valores obtidos de C L h para o corpo parado na presença da sperfície. h 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,90 0,95,00,0,00,50 CL 0,6 0, -0,3-0,8-0,33-0,08-0,04-0,0 0,0 0,09 0,07 A figra se mostra em ma distribição coerente, apresentando ma certa oscilação em torno de zero, resltado este qe concorda razoavelmente com valores experimentais apresentados por Lei et al. (999) desenvolvidos em m túnel de vento. Estes resltados são apresentados na figra 3. Nesta figra G= h 0,5D compreende a distância da face inferior do cilindro à sperfície plana. Os casos BL-, e 3 correspondem a ma sitação na qal a sperfície plana é disposta sem nenhm gerador de trblência. Já nos casos BL-4, 5 e 6, a passagem de camada limite laminar para trblenta é antecipada através da tilização de estimladores de trblência colocados à montante do escoamento. Estes experimentos foram realizados com Reynolds variando de,3 0 4 a, A tilização destes resltados é feita de forma qalitativa devido à diferença no valor do número de Reynolds.

94 CL h/d Figra Coeficiente de sstentação médio para m corpo cilíndrico parado em fnção do afastamento do cilindro da sperfície. Figra 3 Resltados experimentais para o coeficiente de sstentação médio (Lei et al.,999). Como ilstração da simlação do cilindro parado (A= 0 e λ= 0) é apresentado na figra 4 a evolção das das nvens de vórtices drante os passos de tempo, 84, 98, 540 e 800 para h = 0, 7. Observa-se a forte interação entre a esteira formada à partir do cilindro e a

95 esteira formada a partir da sperfície. A esteira gerada a partir do corpo impõe ma scção na esteira gerada nas imediações da sperfície conforme observado por Ricci, Tabela 9 - C L h para o corpo oscilando na presença da sperfície A= 0,05 e ω=,0 h 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,7, C -0, -0,0-0,9 0,03-0,9 0,0 0,04 0,0 L t=84 t=98 t=540 t=800 Figra 4 Evolção das esteiras para h= 0,7 nos passos de tempo 84, 98, 540 e 800 Uma segnda sitação analisada foi para o cilindro circlar disposto na proximidade de

96 ma sperfície, sob a inflência de ma peqena amplitde de oscilação e ma determinada freqüência conforme apresentado na tabela A figra 5 apresenta o comportamento do coeficiente de sstentação médio ( C) para o cilindro circlar (A=0,05 e λ=,0) em fnção do afastamento do mesmo em relação à sperfície plana. Observa-se ma oscilação dos resltados em torno de zero, com tendência de menor variação conforme maior distância entre o corpo e a sperfície. L CL h d Figra 5 - Coeficiente de sstentação médio para m corpo cilíndrico oscilando em fnção do afastamento do cilindro da sperfície (A=0,05 e λ=,0). Na presente simlação a discretização do cilindro se dá no sentido horário, sendo assim, observa-se na figra 6 qe a menor pressão para h= 0,7 ocorre para θ em torno de 70, o sea, na parte inferior do cilindro. Ao diminir a área de escoamento amenta-se a velocidade e por conseqüência dimini-se a pressão.

97 θ 0.00 Cp Theta ( ) Figra 6 Distribição de pressão em torno do cilindro para h= 0,7 na sitação de corpo parado (λ =0, A= 0). Para a sitação de corpo parado ( λ 0 e A = 0) =, apresenta-se o comportamento da distribição pressão sobre a sperfície discretizada do corpo, representado na figra 6, a qal ilstra ma distribição média entre t= 0 e t= 40. Na figra 7 são escolhidos seis pontos importantes, na crva do coeficiente de sstentação C L em fnção do tempo, para a análise da distribição de pressão correspondente a cada m destes pontos. Estes pontos são identificados como A, B, C, D, E e F. Os instantes de tempo e os ses respectivos pontos estão identificados na tabela 0 e a distribição do coeficiente de pressão sobre a sperfície discretizada do corpo para valores instantâneos podem ser vistos na figra 8. Tabela 0: Pontos para análise instantânea de pressão. Ponto A B C D E F Tempo 3, 4,7 5,3 7,4 8,3 9,5 Na figra 7 observa-se o comportamento das cargas aerodinâmicas integradas, onde o

98 coeficiente de sstentação oscila em torno de m valor médio igal a -0,8 (vide tabela 9), o qe representa a inflência do efeito solo no problema C D CL Corpo CD Cargas Aerodinâmicas Integradas X: 3. Y:.0 A B X: 4.7 Y: 0.5 C X: 8.3 Y: X: 5.3 Y: X: 7.4 Y: D E X: 9.5 Y: F - Corpo C L Tempo Figra 7 Comportamento das cargas aerodinâmicas integradas ( h = 0,7 ; λ = 0 ;A = 0) Figra 8 Gráfico de Pressão Instantânea ( h = 0,7 ; λ = 0 ;A = 0)

99 80 Na figra 9, observa-se qe no ponto A (o mesmo ponto da figra 7), ocorre o desprendimento de ma estrtra vorticosa na sperfície sperior do cilindro circlar e ma forte interação entre a nvem gerada no cilindro e a nvem gerada na sperfície representando ma região de maior atividade. A região de maior pressão para o cilindro circlar encontra-se na sperfície sperior. Figra 9 Detalhe do campo de velocidades no ponto A (t = 3,; h = 0,7; λ = 0 e A = 0). A figra 30, mostra o cilindro circlar e a sperfície plana em se comprimento total. A esteira gerada a partir do corpo impõe ma scção na esteira gerada nas imediações da sperfície plana. Figra 30 - Detalhe do campo de velocidades no ponto C (t = 5,3; h = 0,7; λ = 0 e A = 0). Na figra 3 observa-se m par contra rotativo a sante do escoamento. A esteira

100 8 gerada a partir do corpo impõe ma scção na esteira gerada nas imediações da sperfície plana porém na região imediatamente abaixo do cilindro esta interação não se apresenta tão intensa como na região imediatamente após o cilindro. A maior pressão está na região sperior do cilindro (vide figra 8). Na parte sperior do cilindro observa-se também a ocorrência do desprendimento de ma nova nvem vorticosa. Figra 3 Detalhe do campo de velocidades no ponto D (t = 7,4; h = 0,7; λ = 0 e A = 0). Com base na figra 7, o ponto F representa m instante de C L máximo, onde o desprendimento de ma nvem de vórtice é observado (figra 3) e a região de maior pressão encontra-se na parte inferior do cilindro (figra 8) devido a sperfície plana. Figra 3 - Detalhe do campo de velocidades no ponto F (t = 9,5; h = 0,7; λ = 0 e A = 0) Cilindro Circlar com Efeito de Oscilação Na figra 5, apresenta-se o comportamento das cargas aerodinâmicas atantes sobre

101 m cilindro circlar em fnção do tempo considerando a presença de ma fronteira sólida (efeito solo), porém, o mesmo possi m movimento de oscilação. 8.5 A X: Y:.565 E X: 7. Y:.433 CL CORPO CD Cargas Aerodinâmicas Integradas B X:.8 Y: 0.50 D X: 6. Y: -0.6 F X: 7.9 Y: C X: 4 Y: Tempo Figra 33 - Comportamento das cargas aerodinâmicas integradas(h= 0,7; λ=,3; A= 0,05) Utilizando o mesmo princípio de análise para o corpo parado na presença da sperfície, também são escolhidos seis pontos importantes na crva do coeficiente de sstentação C L em fnção do tempo (figra 7), para a análise da distribição de pressão correspondente a cada m destes pontos. Estes pontos são identificados como A, B, C, D, E e F. Os instantes de tempo e os ses respectivos pontos estão identificados na tabela Tabela : Pontos para análise instantânea de pressão. Ponto A B C D E F Tempo,8 4 6, 7, 7,9

102 83 Figra 34 - Gráfico de Pressão Instantânea ( h = 0,7 ; λ =,3 ;A = 0,05) A figra 35 mostra o comportamento da nvem em m instante correspondente à C L máximo (ponto A- figra 33). O corpo encontra-se na posição de oscilação de máximo negativo, a região de maior pressão encontra-se na sperfície inferior do cilindro. Observa-se m novo desprendimento ocorrendo na região sperior do cilindro e na região imediatamente abaixo do cilindro não ocorre ma interação tão intensa entre a esteira formada pelo cilindro e a esteira formada pela sperfície como em ma região à sante do cilindro. Figra 35 - Detalhe do campo de velocidades no ponto A(t= ; h= 0,7; λ=,3 e A= 0,05)