3 Metodologia e Confiabilidade da Simulação Numérica

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1 3 Metodologia e Confiabilidade da Simlação Nmérica No presente trabalho, o medidor ltrassônico é simlado como m dispositivo qe mede velocidades médias em retas inclinadas com relação ao eixo do dto. lém das simplificações no medidor, há limitações geradas pelos modelos de escoamento e mesmo pela amostragem das trajetórias. ssim, é aqi apresentada a descrição da metodologia e, também, ma avaliação do impacto das simplificações impostas ao medidor e das limitações da simlação nmérica Simlação com base no Perfil de Velocidade Nesse item são apresentadas as simlações realizadas com planilhas Excel, tilizando perfis de velocidade. Essas simlações foram feitas inicialmente com o intito de validar a tilização de simlação nmérica na análise dos medidores ltrassônicos Simlação da Velocidade em ma Trajetória proposta é simlar m medidor ltrassônico segindo o esqema da Figra 2-1, mas ao invés de medir diferença de tempo, é calclada a velocidade média nas trajetórias pelas eqações de Nikradse, Boge-Metzner, Kays o lei de potência, conforme descrito no item Os perfis de velocidades foram calclados para ága (com µ = 8, kg.m -1.s -1 ; ρ = 997 kg.m -3 ), em dto de 0,25 m de diâmetro, para Re igal a 5,0 10 4, 1,5 10 5, 4, e 3,0 10 6, o qe corresponde à velocidade média na seção transversal ( ) de, respectivamente, 0,18 m/s, 0,53 m/s, 1,50 m/s e 10,5 m/s. Para a lei de potência foi tilizado n = 7 para Re = 5, e Re = 1,5 10 5, n = 8 para Re = 4,3 10 5, e n = 10 para Re = 3,

2 99 Figra 3-1 e a Figra 3-2 mostram os gráficos de (indicado como /U) em fnção da distância ao eixo normalizada pelo diâmetro para Re igal a 5, e 3,0 10 6, respectivamente. Verifica-se a descontinidade do modelo de Nikradse e da lei de potência, a mesma velocidade máxima para Nikradse e de Kays e as diferenças nos perfis em fnção de Re. Perfil de velocidades para Re = ,25 1,20 / U 1,15 1,10 Nikradse BogeMetzner Kays Lei de Potência 1,05 1,00 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5 y / D Figra 3-1: Detalhe dos perfis para Re = Perfil de velocidades para Re = ,25 1,20 / U 1,15 1,10 Nikradse BogeMetzner Kays Lei de Potência 1,05 1,00 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5 y / D Figra 3-2: Detalhe dos perfis para Re = Figra 3-3 apresenta a velocidade média na trajetória normalizada pela velocidade média na seção transversal ( T ) para os perfis trblentos. Tabela 3-1 apresenta os valores encontrados para max,. max e T

3 100 Velocidade Média na Linha UT / U 1,12 1,11 1,10 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1, Re (x10 3 ) Nik BM Ks LP JS Figra 3-3: Velocidade normalizada para Nikradse (Nik), Boge-Metzner (BM), Kays (Ks), lei de potência (PL) e Jng-Seong (JS) Tabela 3-1: Velocidade máxima e média para diferentes modelos trblentos. Número de Reynolds Velocidade Modelo trblento 5, , , , Nikradse 0,2130 0,6285 1, ,1759 max (m/s) max T Boge-Metzner 0,2156 0,6359 1, ,3101 Reichardt 0,2130 0,6285 1, ,1759 Power Law 0,2186 0,6558 1, ,3711 Nikradse 1,1929 1,1735 1,1585 1,1368 Boge-Metzner 1,2076 1,1873 1,1716 1,1493 Reichardt 1,1929 1,1735 1,1585 1,1368 Power Law 1,2245 1,2245 1,1953 1,1550 Nikradse 1,0638 1,0594 1,0556 1,0496 Boge-Metzner 1,0719 1,0651 1,0599 1,0523 Reichardt 1,1070 1,0981 1,0907 1,0793 Power Law 1,0713 1,0713 1,0623 1,0498 Na Figra 3-3, são inclídos também os resltados de obtidos T através da eqação de Jng & Seong (2005): T = 1,082 0, log(re) (3-1) Essa eqação foi desenvolvida a partir de eqações de diferentes pesqisadores, comparada com as eqações de Nikradse, para Re entre 2, e 1, e verificada através de experimentos. Jng & Seong (2005) indica qe as diferenças com relação à eqação de Nikradse ficaram em torno de 2%. Figra

4 , mostra a diferença entre Jng-Seong e Nikradse na faixa de 0,8% e 1,8% para Re entre 2, e velocidade máxima normalizada pela velocidade média na seção transversal ( max ) é apresentada na Figra 3-4 para os perfis trblentos. variação de max com é aqi apresentada, pois é tilizada na análise do desenvolvimento dos perfis trblentos em CFD. Velocidade Máxima na Linha 1,24 max / U 1,22 1,20 1,18 1,16 1,14 1, Re (x10 3 ) Nik BM Ks LP Figra 3-4: Velocidade máxima normalizada para Nikradse (Nik), Boge-Metzner (BM), Kays (Ks) e lei de potência (PL). de m canal, e velocidade média T representa o resltado de m medidor ltrassônico indica a velocidade média na seção transversal. variação em T, enqanto é mantido constante, mostra qe a sensibilidade desses medidores ao perfil de velocidades e a necessidade de eleger m perfil para a análise desses medidores, pois em fnção do perfil de velocidades, os resltados podem ser diferentes. Yeh e Mattingly (1997) comparam o resltado do mapeamento do escoamento de ága do circito de testes do NIST com as distribições de Boge- Metzner, de Reichardt, Log e lei de potência. O mapeamento foi realizado com velocímetro laser-doppler (LDV) e a distribição de Boge-Metzner foi a qe mais se aproximo dos resltados do experimento, portanto eles tilizaram Boge-Metzner para avaliar os resltados das modelagens obtidas por CFD. O modelo Boge-Metzner não apresenta descontinidades e foi o modelo qe gero valores coerentes com o comportamento dos qatro modelos

5 102 trblentos, para max e para T. ssim, no presente trabalho, fico definido a tilização do modelo de Boge-Metzner para a análise do desenvolvimento do escoamento ao longo do dto em simlação nmérica de dtos para análise de medidores ltrassônicos. Tendo como referência o modelo de Boge-Metzner, o resltado do modelo de Kays para qe mais se distancio da referência. Tabela 3-2 apresenta, para T, indicado no gráfico da Figra 3-3, foi o resltado os erros (em percental) nas velocidades obtidas para diferentes Re tomando como referência a velocidade para Re = 3, Para Re = 5,0 10 4, essa variação é de 1,36% para Nikradse, 1,86% para Boge-Metzner, 2,57% para Kays e 2,05% para a lei de potência. no valor de T Pelo Boge-Metzner, qando Re varia de 5, para 1,5 10 5, a alteração T é de 0,65% qe é significativo se comparado com o erro máximo admissível dos medidores de vazão de 0,2%. Essa faixa de variação de Re é sal na medição de hidrocarbonetos líqidos. Tabela 3-2: Diferença (percental) na velocidade média em ma trajetória com referência aos valores para Re = 3, Modelo Número de Reynolds Velocidade trblento 5, , , T Nikradse 1,36 0,94 0,57 Boge-Metzner 1,86 1,21 0,72 Kays 2,57 1,74 1,05 Power Law 2,05 2,05 1, Erro devido à mostragem e ao Método de Integração O erro máximo admissível do medidor ltrassônico, na classe de exatidão mais rigorosa, é de 0,2%. Se o erro devido à amostragem ao cálclo da velocidade na linha qe simla a trajetória do plso ltrassônico ficar abaixo de 0,02%, não inflenciará de forma significativa os resltados. avaliação do erro de amostragem foi realizada com escoamento completamente desenvolvido para o perfil laminar e para os modelos trblentos de Nikradse, Boge-Metzner, Kays e lei de potência. lém do número de pontos

6 103 de amostragem (n), também contribi com erros nméricos o método tilizado para distribir os pontos na linha e o método para cálclo da média. Os pontos de amostragem foram distribídos de forma a ficarem igalmente espaçados entre si. Pelo método do trapézio, cada ponto representa a região a se redor, com os pontos centrais associados a ma área inteira e os pontos das fronteiras associados à meia-área. velocidade média calclada pelo método do trapézio ( trapézio método de Simpson ( Simpson ) segi as eqações (Scheid, 1968): ( ) ( ) n 2 + 2n 1 n n 1 ) e pelo 1 trapézio = K + (3-2) 2 1 Simpson = K + (3-3) 3 ( ) ( ) n 2 + 4n 1 n n 1 Nessa análise, foi tilizada a relação média na linha calclada pela eq. (3-2) o eq.(3-3), e T, onde T seção transversal. Nas simlações, é dado de entrada. é a velocidade é a velocidade média na Para o perfil parabólico, é imediato chegar ao erro, pois o resltado é conhecido. Como apresentado na Tabela 3-3, com 101 pontos de amostragem o erro de integração tilizando o método do trapézio é de 0,01%, e com 201 pontos, fica em 0,0025%. Utilizando-se o método Simpson, esse erro é praticamente zero, com apenas 101 pontos. Tabela 3-3: Erro de amostragem em perfil parabólico. Integração Simpson Trapézio n , , , , , T 0, , , , , T Erro (%) 0,0000 0,0100 0,0025 0,0004 0,0001 Para escoamento trblento, a análise do erro gerado pela amostragem e integração, tiliza como referência o valor de para n = Figra 3-5 apresenta o gráfico do erro em fnção do número de pontos de amostragem, para os perfis de Nikradse, Boge-Metzner, Kays e lei de potência, para a integração pelo método do trapézio. Foram inclídos os resltados para Re igal a 5, e 3, T

7 104 Gráfico semelhante é apresentado na Figra 3-6, mas com a integração pelo método Simpson. Integração pelo Método do Trapézio 0 Erro (%) -0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0,6-0, Nik 50 BM 50 Ks 50 LP 3000 Nik 3000 BM 3000 Ks 3000 LP Número de Pontos Figra 3-5: Erro para Nikradse (Nik), Boge-Metzner (BM), Kays (Ks) e lei de potência (PL), Re = e , integração pelo trapézio. Integração pelo Método Simpson 0,2 Erro (%) 0,1 0-0,1-0,2-0,3-0,4-0, Nik 50 BM 50 Ks 50 LP 3000 Nik 3000 BM 3000 Ks 3000 LP Número de Pontos Figra 3-6: Erro para Nikradse (Nik), Boge-Metzner (BM), Kays (Ks) e lei de potência (PL), Re = e , integração pelo Simpson. De modo geral, os erros obtidos pelo método Simpson foram menores do qe os erros pelo método do trapézio. Para Re igal a 3, e com 101 pontos, a integração pelo método do trapézio gero diferenças de mais de 0,6%, enqanto qe com o método Simpson estas diferenças ficaram menores qe 0,4%. Com 2001 pontos, os resltados com o trapézio o Simpson na integração indicam diferenças menores qe 0,03%.

8 105 Na análise do item 3.1.1, a amostragem tilizo 2001 pontos e a integração foi feita pelo método do trapézio. Figra 3-7 apresenta os erros, em fnção de Re, para 201 pontos de amostragem. Com Re igal a , os erros estão mais dispersos, mas com o amento de Re, a inflência do modelo de trblência dimini e a inflência do método de integração fica mais significativa. Os erros de amostragem amentam com o amento de Re. Erro de mostragem (n =201) Erro (%) Re (x10 3 ) Trap Nik Trap BM Trap Ks Trap LP Simp Nik Simp BM Simp Ks Simp LP Figra 3-7: Erro: Nikradse (Nik), Boge-Metzner (BM), Kays (Ks) e lei de potência (PL), pelo trapézio (Trap) e Simpson (Simp), n = 201. De modo geral, os desvios diminem com o amento do número de pontos de amostragem. Entretanto, há fontes de erro qe podem ser identificadas como, por exemplo, o limite da faixa qe considera + = y +. Os perfis de Nikradse, Boge-Metzner e Kays foram calclados com a velocidade + igal a y +, para y + é menor o igal a 10,8. ssim, o fato de o primeiro ponto (sem contar a própria parede) ficar em ma distância da parede maior qe y +, o perfil será, pelos cálclos realizados, todo logarítmico, inclsive na parede. Essa inflência fica maior nas malhas com menor número de pontos Simlação do Medidor Mlticanal Paralelo Nas simlações nméricas de medidores mlticanais, foram tilizados o modelo laminar (item ) e o modelo trblento de Boge-Metzner (item ), e a integração foi feita pelo método Gass-Legendre (item ).

9 106 s posições x j de cada ma das m trajetórias paralelas (como indicado na Figra 3-8) são determinadas por Gass-Legendre. partir dos x j e do raio R, são calcladas a altra H j, as altras h ij e as distâncias ao eixo y ij,o seja, o y i da linha j, de acordo com as eqações 1 : ij H = R (3-4) 2 2 j x j H j yij hij = (3-5) R y = r = h + x (3-6) ij 2 ij 2 j partir dos y ij, as velocidades ij nos n pontos das m linhas são calcladas tilizando o perfil de Boge-Metzner. velocidade média em cada trajetória ( Tj ) é integrada pelo trapézio, e a velocidade média do escoamento é calclada pela integração de Gass-Legendre ( GL ). Os valores de velocidades foram normalizados pela velocidade média do escoamento na seção transversal ( ), qe é dado de entrada. y H h i y i R x x j Figra 3-8: Parâmetros tilizados na criação das linhas qe simlam as trajetórias do medidor ltrassônicos Escoamento Laminar Para o perfil laminar foi tilizada a eq. (2-50), descrita no item Os resltados da simlação da velocidade média adimensional em cada canal 1 O índice i se refere ao i-ésimo ponto da linha e o índice j se refere à j-ésima linha.

10 107 ( Tj ) para medidores de 1, 2, 3, 4 e 5 canais são apresentados na Tabela 3-4. Tabela 3-5 apresenta os valores encontrados para. max Tabela 3-4: Velocidade média nas trajetórias com relação à velocidade média na seção transversal ( ), em escoamento laminar. Tj Total Canais 1 1 e 2 1 e e 4 2 e 3 1 e 5 2 e 4 3 n = 101 1, , , , , , , , , n = , , , , , , , , , eq. (3-9) 1, , , , , , , , , Tabela 3-5: Velocidade máxima nas trajetórias com relação à velocidade média na seção transversal ( ), em escoamento laminar. max 1 canal 2 canais 3 canais 4 canais 5 canais 1 1 e 2 1 e e 4 2 e 3 1 e 5 2 e 4 3 2, , , , , , , , , Para validar os resltados nméricos, é feita a comparação com os modelos analíticos. partir da eq. (2-50), a velocidade integração na linha e a velocidade laminar, chega-se a: T é calclada pela pela integral na área. Para escoamento 2 T = max (3-7) 3 max = (3-8) 2 No resltado da simlação indicado Tabela 3-5, é igal a 2,0 para a trajetória qe corta o eixo do dto, o qe está de acordo com o resltado da eq. (3-8). Também, o resltado dos canais qe passam pelo eixo da tblação, na Tabela 3-4, é igal a 1,33333, o qe está de acordo com a eq. (3-7) e eq. (3-8). velocidade verificação dos resltados das amostragens é feita pela Tabela 3-4 e a T, cja eqação está no item e pode ser escrita como: T 2 ( 1 x ) 4 j = (3-9) 3 Foram encontradas diferenças máximas de 0,01% para as trajetórias com 101 pontos de amostragem e praticamente de zero para as trajetórias com 2001 pontos de amostragem. ssim, ficam validados os resltados de cálclo de velocidade média em cada canal. max

11 108 plicando Gass-Legendre nos valores indicados na Tabela 3-4, para n igal a 101 e 2001, chega-se aos resltados da Tabela 3-6. Esses valores correspondem à velocidade média calclada por Gass-Legendre normalizada pela velocidade média na seção transversal ( GL ). O resltado obtido é independente do número de canais. Os polinômios e pesos tilizados estão descritos no item Tabela 3-6: Velocidade por Gass-Legendre com relação à velocidade média na seção transversal ( GL ), em escoamento laminar. Total de canais 2 canais 3 canais 4 canais 5 canais n = 101 0, , , , n = , , , , Verifica-se qe GL não é igal a, por qe o cálclo realizado foi da integral das velocidades médias nas trajetórias ( Tj necessariamente igal à integral de ij na área. ) na linha, o qe não é Para validar o cálclo realizado com base em Gass-Legendre, foram tilizadas as velocidades max ao invés de Tj na montagem das planilhas. Isto corresponde a calclar a integral das velocidades de m pontos ij em ma trajetória qe corta o eixo do dto. O resltado obtido está na Tabela 3-7 e, verifica-se, é praticamente igal ao resltado do cálclo da velocidade média em ma linha com 2001 pontos. ssim, é validada a integração por Gass- Legendre. Tabela 3-7: Velocidade por Gass-Legendre sando as velocidades máximas para escoamento laminar. 2 canais 3 canais 4 canais 5 canais 1, , , , Para jstificar analiticamente o resltado da Tabela 3-6, foi calclada a integral as velocidades médias em cada linha ( T (x) ) ao longo do eixo x (de R a R), com base na eq. (2-103): R 1 GL = T ( x) dx (3-10) R 0

12 109 Desta forma, Tabela 3-6. R x = GL max 1 dx 2 R 3 0 R GL (3-11) 4 GL = max (3-12) 9 é igal a 0,888889, o qe valida o resltado da ssim, para escoamento laminar, a diferença entre o resltado da integração de Gass-Legendre e a velocidade média na seção transversal fica em 11,1%. Esse erro pode ser corrigido fazendo = 1,125 GL Escoamento Trblento Para escoamento trblento, as simlações foram realizadas tilizando o modelo de trblência de Boge-Metzner, e escoamento com número de Reynolds igal a 5,0 10 3, 1,5 10 4, 4, e 3, O cálclo da velocidade média nos canais e o cálclo da velocidade média no medidor pela integração de Gass-Legendre segiram o procedimento para escoamento laminar qe foi descrito e validado no item anterior. Tabela 3-8 apresenta as velocidades resltados para GL e a Tabela 3-9 apresenta os Tj. integração foi validada no escoamento laminar. Estão inclídos os resltados tilizando 101 pontos de amostragem e 2001 pontos de amostragem para avaliar o erro nmérico devido à amostragem em medidores mlticanais. s diferenças para a amostragem com 101 pontos ao invés de 2001 pontos de amostragem ficaram entre 0,4% a 0,6% e praticamente não se alteram com o número de canais. Devido às diferenças no so de menos pontos de amostragem, as simlações com planilha Excel passo a ser realizada neste trabalho com 2001 pontos. Figra 3-9 apresenta o gráfico com o resltado da integração de Gass- Legendre, para 2001 pontos de amostragem. No escoamento laminar a integração por Gass-Legendre é praticamente independente do número de canais. Entretanto, no escoamento trblento, as diferenças variam em fnção do número de canais.

13 110 Tabela 3-8: Velocidade em cada trajetória ( Tj ) para escoamento trblento. Total 1 canal 2 canais 3 canais 4 canais 5 canais Canais - 1 e 2 1 e e 4 2 e 3 1 e 5 2 e 4 3 n Re 1,0000 1,0000 0,5556 0,8889 0,3479 0,6521 0,2369 0,4786 0,5689 5, ,0673 0,9811 0,9037 1,0673 0,8451 1,0370 0,7976 0,9922 1,0673 1, ,0600 0,9814 0,9119 1,0600 0,8596 1,0325 0,8172 0,9915 1,0600 4, ,0544 0,9817 0,9182 1,0544 0,8708 1,0289 0,8324 0,9910 1,0544 3, ,0463 0,9821 0,9273 1,0463 0,8869 1,0239 0,8544 0,9903 1, , ,0719 0,9851 0,9072 1,0719 0,8481 1,0414 0,8002 0,9963 1,0719 1, ,0651 0,9861 0,9160 1,0651 0,8632 1,0374 0,8205 0,9962 1,0651 4, ,0599 0,9868 0,9228 1,0599 0,8750 1,0343 0,8363 0,9962 1,0599 3, ,0523 0,9879 0,9327 1,0523 0,8919 1,0298 0,8591 0,9961 1,0523 Tabela 3-9: Velocidade obtida por Gass-Legendre ( GL ) para escoamento trblento. n Re 1 canal 2 canais 3 canais 4 canais 5 canais 5, ,0673 0,9811 0,9764 0,9702 0,9677 1, ,0600 0,9814 0,9777 0,9723 0,9699 4, ,0544 0,9817 0,9787 0,9739 0,9717 3, ,0461 0,9821 0,9802 0,9762 0, , ,0719 0,9851 0,9804 0,9741 0,9715 1, ,0651 0,9861 0,9823 0,9768 0,9744 4, ,0599 0,9868 0,9837 0,9789 0,9766 3, ,0523 0,9879 0,9859 0,9819 0,9798 1,08 Resltado da Integração de Gass-Legendre (n=2001) Velocidade Normalizada 1,06 1,04 1,02 1,00 0,98 1canal 2canais 3canais 4canais 5canais 0, Re (x10 3 ) Figra 3-9: Velocidade média em medidores mlticanais para n=2001

14 111 relação GL não é igal a 1,00, porqe como visto para o escoamento laminar, GL é igal a integral de T (x) de R a R, qe não é igal à integral de ij na área. diferença entre GL e, para o medidor, são erros sistemáticos e, dessa forma, devem ser corrigidos com m fator de correção. Nesse caso, o fator do medidor, qe é o inverso da velocidade normalizada, será menor qe 1,0 para o medidor com m canal e maior qe 1,0 para os mlticanais. Essas diferenças, para Re igal a 1,5 10 5, estão em 1,9%, 2,2%, 2,8% e 3,0% para medidores de 2, 3, 4 e 5 canais, respectivamente. O módlo do erro dimini com o amento do número de Reynolds. Figra 3-10 apresenta os erros percentais de para Re igal a 3, com referência ao resltado GL 2,50 2,00 Efeito de Re no resltado de Gass-Legendre (Referência: Re= ; Boge&Metzner; n=2001) Diferenças (%) 1,50 1,00 0,50 0,00-0,50-1, Re (x10 3 ) Figra 3-10: Efeito do Re em mlticanais (n=2001). 1canal 2canais 3canais 4canais 5canais Esses erros ficam em 1,8% para m medidor de 1 canal e em 0,8% para m medidor de 5 canais se o medidor. Esse erro vai aparecer, por exemplo, se m medidor for calibrado com Re igal a 3, e operar com Re igal a 5, e, no caso das simlações, é importante inclir nas análises a inflência do Re.

15 Cálclo da Velocidade Média ao invés de Intervalo de Tempo Nas simlações a velocidade média ao longo da trajetória é calclada por m somatório de velocidades. Entretanto, o medidor ltrassônico chega à velocidade T a partir dos tempos de propagação t 12 e t 21, como descrito no item 2.1.1, pela eq. (2-1) e eq. (2-2), o qe corresponde às integrais: t 12 = t 2 L dt = t1 0 t d l t21 = dt = dl (3-13) No presente item, é comparada nmericamente a velocidade média na trajetória T calclada pela velocidade média ( TV ), com a velocidade média na trajetória calclada pelo somatório dos tempos ( TT ). partir do ânglo de inclinação (θ) da linha qe simla o canal acústico e dos intervalos de comprimento ( l = L ( n 1) ), é calclada a velocidade média * i em cada intervalo ( ) e a velocidade TV : t3 L * i + i i = +1 (3-14) n TV = i n 1 i= 1 Os intervalos de tempo ( t 12 e (3-15) i t 21 i ), os tempos de ida e volta dos plsos ao longo das linhas inclinadas (t 12 e t 21 ) e a velocidade média do plso calclada pelo somatório dos tempos ( TT ) são também calclados: t 12i = c 0 l + * i cosθ t 21i = c 0 l * i cosθ (3-16) 1 1 n t12i 1 i= n t 12 = t 21 = t21i (3-17) n n 1 i= TT L t21 t = 2cosθ t12t (3-18) Os erros foram calclados considerando como referência a medição de velocidade pela média do tempo ( TT ). Para escoamento laminar, os erros são apresentados na Tabela Foi verificado nmericamente qe esse erro é fnção do número de Mach (Ma), sendo maior para Ma maiores.

16 113 Esses erros praticamente não mdam na tilização de 101, o mesmo pontos de amostragem. Para Ma igal a 0,2, os erros são significativos. Entretanto, para Ma igal a 0,02 esses erros podem ser desprezados nas simlações. Tabela 3-10: Erro na determinação da velocidade média pela média das velocidades para escoamento laminar. Ma Erro (%) 0,2 0,523 0,1 0,128 0,02 0,005 0,01 0,001 Para o escoamento trblento (Tabela 3-11), esses erros variam com o modelo, com Re (maiores erros para menores Re) e com Ma (maiores erros para maior Ma). Para m amento do número de pontos de amostragem (n) a diferença entre VT e TT também dimini, mas essa variação é peqena (para Re = passaria de 0,031% para 0,033%) e não altera as conclsões. Tabela 3-11: Erro na velocidade pela média das velocidades ao invés da média no tempo em escoamento trblento com n = Erro (%) n Re Modelo Ma = 0,2 Ma = 0,1 Ma = 0,05 Ma = 0,02 Nik -0,0251-0,0062-0,0015-0,0002 BM -0,0310-0,0076-0,0019-0, Ks -0,0200-0,0049-0,0012-0,0002 PL -0,0307-0,0076-0,0019-0, Nik -0,0129-0,0032-0,0008-0,0001 BM -0,0175-0,0043-0,0011-0, Ks -0,0104-0,0026-0,0006-0,0001 PL -0,0162-0,0040-0,0010-0,0002 Os erros apresentados na Tabela 3-10 e Tabela 3-11 não existem nos medidores ltrassônicos, aparecem apenas nas simlações. Os resltados obtidos validam a tilização da média da velocidade na simlação do medidor ltrassônico.

17 Diferenças devido ao Tempo de Propagação na Cavidade Os transdtores dos medidores ltrassônicos em geral estão em posição retraída formando cavidades, como descrito no item 2.1.5, e o procedimento tilizado nas simlações não considera o efeito da cavidade. Com as cavidades, a distância entre o centro das faces dos transdtores (L) incli não só o comprimento da trajetória correspondente a m diâmetro (L D ), como também as distâncias L C das faces dos transdtores ao ponto qe fica a D/2 do centro do dto. Da mesma forma, o tempo t 12 de propagação do plso de T1 a T2 e o tempo t 21 de propagação de T2 a T1 inclirão os tempos de propagação t 12D e t 21D na região do tbo (distante até D/2 do eixo) e os tempos de propagação nas cavidades (t 12 C e t 21C ): L = L D + 2L C (3-19) D L D = (3-20) senθ t12 = t12d + 2t12C t21 t21d + 2t21C = (3-21) t 12D = c 0 LD + cosθ t 21D LD = (3-22) c cosθ 0 t 12 = c 0 LD + cos t LC = (3-23) c 12C t21c = 2L 0 2L C D C + t21 = + θ c0 c0 cosθ c0 L (3-24) O medidor mede o t 12 descrito na eq. (3-24), enqanto qe a eqação sal nas simlações é a eq. (2-3), descrita em velocidade sem considerar o tempo do plso nas cavidades é proporcional à diferença de tempos de trânsito da seginte forma: D LD = 2 cosθ ( t t ) 21D t 12D t 12D 21D (3-25) Enqanto qe a velocidade medida com o tempo do plso nas cavidades apresenta a seginte relação de tempos: D+ 2C = ( L + 2L ) ( t t ) D 2 cosθ Então, considerando qe t = ( t t ) = ( t ) C 21 t 12 t : 21D 12D 21 t12 (3-26)

18 115 D D+ 2 C = L D ( LD + 2LC ) t D t D t t (3-27) Com as eqações para os tempos de propagação, definindo a razão de comprimentos de trajetórias Ma = c 0, então: D D+ 2C = k = L L e tilizando o número de Mach: LCD ( + 2k ) ( Ma) 2 C D 2 ( k LCD ) ( ) ( 2cos 1+ 2k )2 1 θ LCD LCD (3-28) Considerando qe k LCD será sempre menor qe 1,0 e Ma em geral mito menor qe 1,0, então, a última parcela pode ser desprezada: D D+ 2C = ( 1+ 2k ) LCD (3-29) Diferença na velocidade média da linha por não considerar a cavidade do transdtor (as linhas indicam diferentes diâmetros do medidor) Diferença (%) ,10 m 0,20 m 0,30 m 0,40 m 0,50 m 0,60 m 0,70 m 0,80 m 0,90 m 1,00 m profndidade da cavidade (mm) Figra 3-11: Efeito do tempo de propagação do plso ltrassônico nas cavidades do transdtor na medição de velocidade. Verifica-se pela eq. (3-29) qe pode haver ma diferença significativa entre a velocidade tilizada em ma simlação ( D ) e a velocidade medida pelo medidor ltrassônico ( D 2C + ). Figra 3-11 apresenta o erro em não considerar o tempo de propagação do plso ltrassônico na cavidade dos transdtores, para cavidade de 1 mm a

19 mm e para medidores de diâmetros internos de 0,10 m a 1,00 m. Esses erros são compensados nos cálclos e na calibração dos medidores ltrassônicos Malha, Modelagem e Simlação tilizando CFD s simlações descritas neste item tilizaram o software CFX, inicialmente com a versão 11.0, mas ao longo do trabalho passo a ser tilizada a versão 12.0 (NSYS, 2009). Foram tilizadas malhas criadas pelo CFX/Workbench, nas versões 11.0 e 12.0 e pelo software ICEM. O CFX tiliza o método de volmes finitos, no qal os vértices da malha correspondem aos nós dos elementos, e o volme de controle é constrído ao redor dos nós das malhas (NSYS, 2009). Na elaboração da malha há m comprometimento entre a exatidão esperada (das modelagens e simlações) e os cstos (software, tempo de comptador na simlação). s primeiras malhas foram feitas com base em malhas tilizada em otras pesqisas e citadas na literatra (Mattingly & Yeh, 1999; Moore et al., 2000a). No presente trabalho são tilizadas as geometrias: trecho reto; fatia, ma crva, das crvas no mesmo plano, das crvas em planos perpendiclares, degra simples e degra dplo. Para cada geometria foram feitas várias malhas, algmas das qais são citadas a segir. simlação dos medidores ltrassônicos exige traçar linhas inclinadas no pós-processamento sobre a modelagem realizada. Então, o parâmetro velocidade média em ma reta inclinada foi tilizado para avaliar as modelagens antes de gastar tempo com as simlações dos medidores. Entretanto, para avaliar as modelagens, traçar linhas inclinadas fica poco eficiente e a velocidade na linha de centro, qe é m parâmetro fácil de obter, se mostro bastante eficiente Malha, Timescale e Modelos de Trblência Nas primeiras modelagens em dto circlar, com escoamento trblento, axialmente simétrico, em regime permanente, com perfil de velocidades niforme na entrada, era esperado qe a velocidade na linha de centro se elevasse

20 117 continamente até chegar a m valor assintótico, a ma distância entre 40 a 100 diâmetros da entrada, qando o escoamento poderia ser considerado completamente desenvolvido. Entretanto, foi encontrada ma fltação na velocidade na linha de centro, antes de atingir o desenvolvimento. Essa distorção ocorre em diversos parâmetros além da velocidade, como pressão e parâmetros de trblência. análise da malha, timescale 2 e modelos de trblência apresentados neste item foram realizadas antes de a casa da distorção ter sido identificada. Entretanto, as distorções não afetam as conclsões aqi apresentadas, pois essa análise da malha e timescale tomo por base os resltadas a 80D, onde o perfil de velocidades está completamente desenvolvido. Visando diminir o tempo de processamento do CFX, foi tilizada como geometria ma fatia, com simetria nas paredes laterais. O parâmetro tilizado foi a velocidade adimensional no eixo do dto (W LC ), qe corresponde à velocidade na linha de centro (w LC ) dividida pela velocidade média configrada na entrada ( w ). O gráfico da Figra 3-12 apresenta W LC ao longo do dto (em diâmetros) para os modelos de trblência k-epsilon, k-omega, SST e RNG-k-epsilon. O flido das modelagens é ága e o número de Reynolds foi fixado em Para esqema de advecção, foi mantida a configração defalt high resoltion, o qe significa tilizar high resoltion para as eqações de continidade e momento, e pwind para as eqações de trblência. Foi configrado timescale igal ao diâmetro (D) dividido pela velocidade média na seção transversal ( w ). s modelagens qe tilizaram modelos de das eqações obtiveram com facilidade convergência com resído r.m.s. de O escoamento foi considerado completamente desenvolvido a 80D da entrada. Entretanto, neste ponto, W LC fico na faixa de 1,140 a 1,145 para os qatro modelos de trblência avaliados. Como calclado no item e apresentado na Figra 3-4, para Reynolds de , o valor de w ax w para a 2 No CFX, o intervalo de tempo em regime permanente, é configrado pelo parâmetro timescale. O CFX resolve m problema em regime permanente tilizando a formlação de transiente. Uma indicação para determinar o timescale é a relação entre comprimento característico e velocidade média.

21 118 distribição de Nikradse e de Kays é igal a 1,159; e para a distribição de Boge-Metzner, chega a 1,169. 1,25 Compara modelos 1,20 W LC 1,15 1,10 1,05 1, diâmetros Figra 3-12: Velocidade na linha de centro: k-epsilon (vermelho), SST (azl), k-omega (verde) e RNG-k-epsilon (rosa). Timescale = D/ w. O máximo de W LC ocorre entre os 30 e 38 diâmetros. Esse máximo é mais acentado e mais distante da entrada para o modelo SST; e menos acentado e mais próximo da entrada no modelo k-epsilon. Essa velocidade máxima é aproximadamente 5% maior do qe W LC a 80D. Qanto ao esqema de advecção, foi verificado qe com esqema de primeira ordem (pwind), high resoltion, o fator de blend 0,0 o 1,0 não há mdança significativa nos resltados. Logo, não havendo problema de convergência, o esqema de advecção tilizado foi o high resoltion, pois proporciona melhor exatidão. Considerando a recomendação, para o esqema high resoltion, de so de peqeno timescale, por exemplo, de ¼ a ⅓ do timestep físico, qe, por sa vez, pode ser calclado pela divisão do comprimento característico pela velocidade característica, as modelagens com modelo SST (com timescale = D/ w ) foram refeitas para tilizar m timescale menor.

22 119 Para timescale menores, a velocidade adimensional no eixo do dto, a 80D da entrada se aproxima da velocidade máxima dos modelos trblentos, chegando a 1,160 com timescale igal a (D/ w )/20. Como mostra a Figra 3-13, com timescale igal a (D/ w )/2, (D/ w )/4 e (D/ w )/8 a velocidade a 80D é de 1,143, 1,153 e 1,156, o qe significa qe timescale de (D/ w )/8 é sficiente. 1,25 Compara timescale para modelo SST 1,20 W LC 1,15 1,10 1,05 1, diâmetros Figra 3-13: Velocidade na linha de centro com o SST. Timescale: D/ w (vermelho), (D/ w )/4 (azl), (D/ w )/8 (verde), e (D/ w )/20 (rosa). O gráfico da Figra 3-14 é semelhante ao gráfico da Figra 3-12, com a diferença de qe o timescale qe, no anterior era de (D/ w ), neste agora é de (D/ w )/20. Há amento da velocidade na linha de centro a 80D, passando para a faixa de 1,152 a 1,160 e se aproximando dos perfis trblentos estdados. O valor de velocidade máxima no eixo praticamente se mantém em termos de posição (entre 30D e 38D) e de valor. s modelagens da Figra 3-12, Figra 3-13 e Figra 3-14 foram realizadas com a malha (fatia) 2D2.cmdb, com cerca de elementos. Para mostrar a inflência das malhas são apresentados a segir os resltados obtidos com malhas mais grossas na direção xy e na direção axial.

23 120 1,25 Compara modelos 1,20 W LC 1,15 1,10 1,05 1, diâmetros Figra 3-14: Velocidade na linha de centro: k-epsilon (vermelho), SST (azl), k-omega (rosa) e RNG-k-epsilon (verde). Timescale=(D/ w )/20. Qanto à inflência da malha da seção transversal, novas modelagens foram constrídas com a nova malha (também fatia) 2DMG.cmdb, com cerca de , mais grossa do qe a vinha sendo tilizada. Figra 3-15 apresenta a malha de entrada dessas fatias. Essas malhas foram extrdadas na direção axial. Figra 3-16 apresenta a velocidade na linha de centro com a malha xy grossa (linha vermelha) e com a malha xy fina (linha verde). Essas modelagens foram configradas com modelo de trblência SST com timescale igal a (D/ w )/20. Figra 3-15: Malha de entrada para 2D2.cmdb (acima) e 2DMG.cmdb (abaixo).

24 121 O valor da velocidade média em escoamento completamente desenvolvido (para z = 80D) pioro com a malha xy grossa (passo de 1,56 para 1,3), distanciando-se dos valores de Nikradse e Kays (1,57) o Boge-Metzner (1,69). O valor da distorção de velocidade na malha grossa dimini para esse modelo SST. 1,25 Compara malhas 1,20 W LC 1,15 1,10 1,05 1, diâmetros Figra 3-16: Velocidade na linha de centro (SST): Malhas: fina de 100D (verde), grossa de 100D (vermelho) e grossa de 50D (azl). linha azl da Figra 3-16 descreve a velocidade na linha de centro de ma modelagem com a mesma configração das otras modelagens da mesma figra, mas tilizo com a malha xy grossa com o comprimento de 50D, o qe significa qe o domínio foi encrtado, mas a malha manteve o mesmo número de elementos. O valor e a posição do máximo da linha azl coincidem com valor e posição do máximo da linha vermelha, ambos com malha xy grossa. Entretanto, a 50D, os valores de velocidade na linha de centro dessas das modelagens diferem significativamente, devido à inflência da saída do domínio. Essa inflência da saída do domínio nos resltados ocorre também com os otros modelos de trblência. Figra 3-17 apresenta a velocidade na linha de centro de das modelagens com a mesma configração, mas com modelo k- epsilon e com malhas de diferentes comprimentos: com 50D (linha azl) e 100D

25 122 (linha vermelha). velocidade na linha de centro com a malha com o comprimento encrtado tem valores maiores para z > 30D. Nesses exemplos o número de elementos se manteve, o qe mdo foi a proximidade da saída. Essa diferença é de 2%. 1,25 Compara malhas 1,20 W LC 1,15 1,10 1,05 1, diâmetros Figra 3-17: Velocidade na linha de centro (k-omega): malha de 50D (azl) e 100D (vermelho). inflência da diminição no comprimento do domínio pode ser verificada comparando-se o gráfico da velocidade na linha de centro das modelagens com a malha de 50D (Figra 3-18) com o gráfico das modelagens com malha de 100D (Figra 3-19). Essas modelagens tilizaram a malha xy grossa e foram configradas para os modelos k-epsilon (vermelho), SST (azl), k-omega (rosa) e RNG-k-epsilon (verde). O comprimento do domínio inflencia sensivelmente os resltados a 80D. modelagem qe gero o gráfico da Figra 3-19 tilizo a malha xy grossa e a modelagem da Figra 3-14, malha xy fina. Verifica-se qe os resltados a 80D, com a malha xy grossa se afastam do esperado, o qe mostra qe a malha não deve ser tilizada a malha xy grossa, pois pode gerar diferenças nos resltados. O pior resltado foi realmente com o modelo SST, mais sensível a variações na camada limite.

26 123 1,25 Compara modelos 1,20 W LC 1,15 1,10 1,05 1, diâmetros Figra 3-18: Velocidade na linha de centro: k-epsilon (vermelho), SST (azl), k-omega (rosa) e RNG-k-epsilon (verde). Malha xy grossa. 1,25 Compara modelos 1,20 W LC 1,15 1,10 1,05 1, diâmetros Figra 3-19: Velocidade na linha de centro: k-epsilon (vermelho), SST (azl), k-omega (rosa) e RNG-k-epsilon (verde). Malha xy grossa.

27 124 1,25 Inflência do número de nós em z para k-omega 1,20 W LC 1,15 1,10 1,05 1, diâmetros Figra 3-20: Velocidade na linha de centro (k-omega): malha xy fina, com malha z fina (vermelho) e malha z grossa (azl). 1,25 Inflência do número de nós em z para SST 1,20 W LC 1,15 1,10 1,05 1, diâmetros Figra 3-21: Velocidade na linha de centro (SST): malha xy fina, variando a malha z fina (vermelha) e malha z grossa (azl).

28 125 Para avaliar o efeito da variação da malha na direção z com malha xy fina, é apresentado na Figra 3-20 o resltado das modelagens para o modelo k-omega tilizando malha com nós e malha nós. Na Figra 3-21, o resltado das modelagens para o modelo SST tilizando malha com nós e malha com nós. Não foi obtido resltado significativamente melhor do qe com a malha 2D2.cmdb. Qanto ao comprimento do trecho reto, recomenda-se qe o escoamento esteja completamente desenvolvido dos últimos 10D para qe a saída não inflencie os resltados. maior distorção no escoamento ocorre com o modelo SST e as menores, com os modelos k-epsilon e RNG-k-epsilon Rídos em Malha de Trecho Reto Foi planejado trabalhar com malha de 100D. Inicialmente, a malha disponível, com elementos tinha apenas 25D de comprimento. Portanto, teve qe ser refletida qatro vezes para chegar aos 100D. Na análise da inflência da malha foram verificados peqenos picos qe aparecem ao longo do domínio. Na Figra 3-22, esses picos aparecem negativos na velocidade adimensional no eixo do dto. Dimensionless Velocity W diameters Figra 3-22: Velocidade no eixo do dto ao longo dos 100D para a malha MM.cfx5. Na verdade, esses picos coincidem com as bordas das malhas primitivas. s malhas da entrada e da saída das malhas primitivas são igais e coincidentes. velocidade nos picos gerados nessas bordas é aproximadamente 0,04% menor

29 126 qe a tendência se não hover os picos. ssim, esse rído não afeta as simlações e ses resltados. Na análise da malha, foi verificada distorções nos contornos de energia cinética trblenta (k) na seção transversal ao longo de todo o domínio. Foi verificado também qe essas distorções segem o desenho da malha na seção transversal. Figra 3-23 mostra a malha de entrada, qe é a mesma em todo o domínio e foi constrída com o software ICEM em cinco blocos. Figra 3-23: Malha de entrada do MM.cfx5. s modelagens foram configradas com modelo de trblência RNG-kepsilon, com fnção escalonável de parede. Esse foi o modelo de trblência configrado na maioria das modelagens apresentadas no presente trabalho e é m modelo qe, pela literatra, mais tem sido tilizado em simlações de medidores ltrassônicos. Figra 3-24 apresenta o contorno de k ao longo do domínio para modelagem com ága; Re = Figra 3-25 mostra qe o contorno de velocidade não sofre inflência da malha. Seção transversal a 20D Seção transversal a 80D Figra 3-24: Contorno da energia cinética trblenta (k).

30 127 Seção transversal a 20D Seção transversal a 80D Figra 3-25: Contorno de w [m/s] na seção transversal a 80D. pesar das distorções encontradas em k, devido a não ter sido encontrada distorções na velocidade, foi considerado qe os resltados obtidos com essa malha qanto à simlação de medidores ltrassônicos, poderiam ser tilizados. Posteriormente, otras malhas sbstitíram essa malha inicial Inflência dos Perfis de Entrada s modelagens iniciais apresentaram distorções significativas devido à configração do perfil de entrada, o qe poderia inflenciar nos resltados do trabalho. Por isso, foi feito m estdo mais detalhado, identificando formas de minimizar o eliminar esta distorção. Foram definidos parâmetros para qantificar a distorção do perfil e parâmetros para qantificar o erro gerado na simlação, e foram traçadas recomendações para as configrações das modelagens (Ferreira, 2009). metodologia tilizada na continação do trabalho segi as conclsões e recomendações deste item Diferenças nas Modelagens em fnção do Perfil de Entrada O domínio para o estdo da inflência da entrada era m tbo reto de 25 m com diâmetro de 0,250 m, o qe eqivale a m cilindro com 100 diâmetros (100D) de comprimento. malha, com elementos, foi constrída com a malha da entrada (532 elementos) extrdada ao longo do cilindro. O software ICEM foi tilizado na montagem da geometria e da malha e, nas modelagens, foi tilizado o CFX 11.0.

31 128 O domínio foi configrado com ága, com massa específica de 997 kg.m -3 e viscosidade dinâmica de kg.m -1.s -1, pressão de referência de 1 atm, número de Reynolds de saída foi configrada com pressão estática média de 0 Pa, e a parede lisa sem deslizamento. Foi mantido o defalt para sistema de advecção (high resoltion) e para o controle do timescale, a opção foi o ato-timescale. O critério de convergência foi r.m.s. de Para mostrar a inflência do perfil de entrada, foram selecionadas as segintes modelagens configradas com diferentes condições na entrada e modelo de trblência k-epsilon (Lander & Spalding, 1974) o RNG-k-epsilon (Yakhot & Orszag, 1986): PLX: Entrada com perfil pela lei de potência (1/7) e intensidade trblenta de 5%; e domínio com modelo k-epsilon. PL: Entrada com perfil pela lei de potência (1/7), com intensidade trblenta de 5%; e domínio com modelo RNG-k-epsilon. UVWKEX: Entrada com perfis, v, w, k e ε importados; e domínio com modelo k-epsilon. UVWKE: Entrada com perfis, v, w, k e ε importados; e domínio com modelo RNG-k-epsilon. UVW: Entrada com perfis, v e w importados e intensidade trblenta de 5%; e domínio com modelo RNG-k-epsilon. PLKE: Entrada com perfil pela lei de potência (1/7) e perfis k e ε importados; e domínio com modelo RNG-k-epsilon. FLT: Entrada com perfil de velocidade niforme e intensidade trblenta de 5%; e domínio com modelo RNG-k-epsilon. FLTKE: Entrada com perfil de velocidade niforme e perfis k e ε; e domínio com modelo RNG-k-epsilon. s velocidades, v, w correspondem às velocidades na direção x, y e z, e o eixo z coincide com o eixo da tblação. Figra 3-26 apresenta o desenvolvimento dos perfis de velocidade adimensional W LC ( W = w w ) pela posição Y ( Y = y D ) ao longo dos 100D LC LC para a modelagem PL (perfil pela lei de potência na entrada), e os perfis da Figra 3-27 são de UVWKE (com perfis, v, w, k e ε importados na entrada). velocidade média da seção transversal ( w ) de 0,5355m/s é igal para todas as

32 129 modelagens, para garantir o mesmo Re. Todos os perfis podem ser considerados simétricos com relação ao eixo do tbo. No presente item, a expressão velocidade máxima (W max ) está sendo tilizada como a maior velocidade de ma dada modelagem ao longo dos 100D. Na Figra 3-26, a velocidade máxima fica em torno de 1,33 e o perfil da velocidade máxima (linha lilás) fica em z = 23D. Para analisar o perfil a 23D, deve ser considerado qe o domínio foi configrado com o modelo RNG-kepsilon. O perfil de entrada (linha azl), qe é m perfil de velocidades pela lei de potência, tem o máximo em 1,22. O perfil a 80D (linha amarela) é considerado completamente desenvolvido e tem velocidade no eixo de 1,18. O perfil a 40D (linha azl claro) é o perfil com a menor velocidade no eixo, em torno de 1,16. Perfis de Velocidade 1,4 W 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Y = y / D Linha 0D Linha 1D Linha 5D Linha 10D Linha 20D Linha 40D Linha 60D Linha 80D Linha 100D Linha 23D Figra 3-26: Perfis de velocidade ao longo dos 100D para PL. Por otro lado, a Figra 3-27 mostra qe as variações dos perfis ao longo dos 100D para a modelagem UVWKE não são significativas. Figra 3-28 apresenta o gráfico da velocidade na linha de centro adimensional (W) as modelagens listadas acima em fnção da distância da seção transversal à entrada em número de diâmetros ( Z = z D ). Os valores de velocidade adimensional na linha de centro em 0D (W 0 ) identificam o perfil de entrada tilizado: FLT e FLTKE, com perfil niforme

33 130 na entrada, têm W = 1, 0 00 ; PL, PLX e PLKE, com W = 1, 0 22, têm perfil de entrada pela lei de potência; UVW e UVWKE, qe importaram o perfil de m escoamento de modelo RNG-k-epsilon, apresentam W = 1, 0 18 ; e UVWKEX, qe importo o perfil de m escoamento de modelo k-epsilon, tem W = 1, Os valores indicados estão na Tabela Perfis de Velocidade 1,4 W 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Y = y / D Linha 0D Linha 1D Linha 5D Linha 10D Linha 20D Linha 40D Linha 60D Linha 80D Linha 100D Figra 3-27: Perfis de velocidade ao longo dos 100D para UVWKE. Velocidade na Linha de Centro 1,35 W 1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 PLX PL vwkex vwke vw PLke flat flatke 1, diâmetros Figra 3-28: Velocidade adimensional na linha de centro ao longo dos 100D para diferentes modelagens.

34 131 Tabela 3-12: Velocidade na linha de centro e sa distorção no ponto 0D, 80D, máximo e mínimo, para diferentes modelagens. Modelagem w W max W min W 80 E max (%) E min (%) E total (%) PLX 1,218 1,316 1,148 1,161 13,39-1,16 14,55 PL 1,218 1,331 1,157 1,178 13,18-1,57 14,76 UVWKEX 1,162 1,164 1,160 1,161 0,30-0,08 0,38 UVWKE 1,177 1,180 1,176 1,177 0,23-0,08 0,31 UVW 1,178 1,295 1,160 1,179 9,84-1,61 11,64 PLKE 1,218 1,218 1,173 1,177 3,48-0,34 3,82 FLT 1,000 1,232 1,168 1,176 4,76-0,68 5,44 FLTKE 1,000 1,215 1,170 1,175 3,40-0,42 3,82 s modelagens PL e PLX apresentaram W max em torno de 17D e 25D, e UVW qe importo o perfil de velocidades, mas não importo k e ε também apresento ma distorção significativa. Isso mostra qe não é sficiente importar os perfis de velocidade, e devem ser importados também os perfis dos parâmetros de trblência. Os piores resltados foram com as modelagens qe tilizaram intensidade trblenta média (5%), qe é o defalt do CFX. Foram feitas também modelagens com diferentes intensidades trblentas, de 0,5% a 20%, mas o resltado foi praticamente o mesmo da intensidade de 5%. PLKE foi configrado com o perfil de velocidades pela lei de potência na entrada e o perfis trblentos k e ε importados, e mostro m resltado significativamente melhor, enqanto qe UVW, qe importo os perfis de velocidade, mas tilizo a intensidade trblenta de 5%, apresento ma modelagem qe prejdicaria as simlações de medidores ltrassônicos. Os valores de velocidade adimensional em 80D (W 80 ) indicam o modelo de trblência configrado no domínio. O valor para o modelo RNG-k-epsilon fica em 1,18 e para o modelo k-epsilon, em 1,16. modelo de trblência inflencia também na distorção: W max fico em 23D para PL; e em 17D para PLX. Figra 3-28 mostra também a distorção no desenvolvimento do FLT e FLTKE qe é semelhante à distorção de PL, o qe indica qe a casa não é do perfil de velocidades propriamente dito, mas de m conjnto de parâmetros qe estão em conflito da mesma forma nas das modelagens. Entretanto, em fnção da simlação qe será feita, a distorção de PL pode ser até maior do qe a distorção em FLT. Otra qestão é o fato de mitas vezes ser aceito o até desejado qe haja m desenvolvimento do perfil de velocidades e tiliza-se o perfil niforme na entrada, mas este desenvolvimento pode estar incorreto.

35 Qantificação da Distorção té aqi foram tilizados os parâmetros adimensionais W 0 (velocidade na linha de centro, a 0D), W max (maior velocidade na linha de centro ao longo dos 100D) e W 80 (velocidade na linha de centro em 80D). Mas esses valores não são sficientes para definir a distorção, pois se há interesse, por exemplo, no desenvolvimento da modelagem FLT, não seria correto considerar na contabilização da distorção a variação de W 0 até W max, assim, é definido W min (menor velocidade ao longo dos 100D a partir da velocidade máxima). São definidos, então, os parâmetros desvio de W max (E max ), o desvio de W min (E min ) e o desvio total o distorção (E total ): E max = W (3-30) max W 80 E min = W (3-31) min W 80 E max = W W (3-32) max Os modelos de Nikradse, Boge-Metzner, Kays e lei de potência presspõem qe o escoamento esteja completamente desenvolvido. velocidade adimensional no eixo do dto para Re igal a é igal a 1,174 para Nikradse, 1,187 para Boge-Metzner, 1,174 para Kays e 1,225 para a lei de potência de 1/7, como apresentado no item Pela Tabela 3-12, o valor de W 80 para o modelo de trblência k-epsilon é 1,161, enqanto qe para o modelo RNG-k-epsilon fica em torno de 1,177. Portanto, a velocidade máxima para perfis completamente desenvolvidos na modelagem tilizando o modelo RNG-k-epsilon fico mais próxima da média dos modelos Nikradse, Boge-Metzner e Kays, do qe tilizando o modelo k-epsilon. O W 80 para a modelagem com o RNG-k-epsilon é 0,84% menor do qe a velocidade máxima de Boge-Metzner e 0,26% maior do qe a velocidade máxima de Nikradse e Kays. O valor de W 80 para as modelagens com lei de potência na entrada difere do Tabela 3-12 valor do perfil pela lei de potência configrado diretamente na entrada em 0,57%. Essa diferença é nmérica, ocorre basicamente devido à malha e pode ser redzida melhorando a malha. min

36 133 diferença entre W 80 e a velocidade no eixo do dto para m perfil pela lei de potência de 1/7 é de 3,8% para PL (modelo RNG-k-epsilon) e 4,5% para PLX (modelo k-epsilon). Desta forma, segindo o critério de considerar o escoamento completamente desenvolvido se o parâmetro analisado variar menos de 1% da referência, o perfil pela lei de potência de 1/7 não seria considerado completamente desenvolvido. Mas o perfil de UVW importado seria considerado completamente desenvolvido, o qe mostra a inconsistência em definir o desenvolvimento de perfil tilizando apenas m parâmetro. Tabela 3-12 indica qe a distorção de PLX e de PL fico acima de 14% e a distorção para UVW fico acima dos 11%. Esses valores são elevados e não apenas para simlações relacionadas com medidores ltrassônicos. s melhores modelagens para obter m perfil completamente desenvolvido ao longo do dto tilizaram perfis importados, mas a própria importação introdz erros nméricos. O perfil a 80D de PLX foi exportado para UVWKEX e o perfil a 80D de PL foi exportado para UVWKE e UVW, e diferenças de qase 0,08% podem aparecer se qando é comparada a velocidade a 80D de PLX com a velocidade na entrada de UVWKEX, o a velocidade a 80D de PL com a velocidade na entrada de UVWKE o UVW. Os desvios da velocidade máxima e da mínima ocorreram em 18D e 36D para PLX, e 23D e 42D para PL e UVW. No caso de desenvolvimento de perfil niforme, os desvios da velocidade máxima e da mínima ocorreram próximo a 34D e 58D, respectivamente. Os valores de W 0 são diferentes, mas apresentam inclinações semelhantes nos primeiros 20D. distorção para a modelagem FLT foi de 5,44%, e a distorção em FLTKE foi de 3,82%. Entretanto, a importação dos parâmetros de trblência não é a solção, pois a diferença ainda é significativa. Para as modelagens FLT e FLTKE, os parâmetros k e ε foram importados do perfil de PL e PLKE, a 80D. Tabela 3-12 pode ser analisada visando escoamento completamente desenvolvido em todo o dto, o considerando qe o escoamento estaria em desenvolvimento. s modelagens com perfil niforme na entrada visaram comparar os resltados com a literatra, o escoamento na entrada não está sendo considerado completamente desenvolvido e a determinação do desvio da velocidade mínima, só incli as velocidades a partir de 25D.

37 134 Modelagens como a PLX, PL UVWKEX, UVWKE e UVW costmam ser tilizadas como escoamento completamente desenvolvido ao longo de todo o dto e, com esse foco, os valores mínimos e máximos foram determinados considerando todo o domínio. Entretanto, se for considerado qe o perfil da lei de potência não está desenvolvido, o desvio da velocidade máxima da modelagem PLKE e a distorção passariam para 0,08% e 0,42%, respectivamente. modelagem UVWKE difere da PL apenas pela configração da entrada, com a importação dos perfis, v, w, k e ε, todas as otras configrações da modelagem permaneceram constantes e a distorção vario de 14,76% para 0,31%. Baseado no critério de permitir ma variação máxima de ±1% na velocidade no eixo, os escoamentos modelados só seriam considerados completamente desenvolvidos a partir de: 42D para PLX; 52D para PL; 51D para UVW; 6D para PLKE; 45D para FLT; e 43D para FLTKE. s modelagens UVWKEX E UVWKE, por esse critério, estão completamente desenvolvidas ao longo dos 100D e estariam completamente desenvolvidas mesmo qe fosse mdado o critério para a faixa de ±0,5% Parâmetros de Pressão e Trblência variação qe aparece no perfil de velocidades não ocorre de forma isolada, otros parâmetros apresentam também variações. Figra 3-29 ilstra a pressão estática (em vermelho) e a pressão total (em azl) ao longo dos 100D para as modelagens UVWKE e PL. pressão total (p tot ) tilizada é m parâmetro disponibilizado pelo CFX. É definida como a pressão qe existiria em m ponto se a energia dinâmica do flido devido ao escoamento fosse convertida, sem perdas, em pressão. Para escoamentos de flidos incompressíveis, a pressão total é dada pela soma da pressão estática (p stat ) e da pressão dinâmica: p p + ( U U ) 2 tot = ρ. s pressões, estática e total diminem continamente na modelagem UVWKE, mas para a modelagem PL, permanece praticamente constante até 23D, o seja, enqanto a velocidade no eixo do dto é ascendente. Da mesma forma, a energia cinética trblenta mostra alterações em se desenvolvimento ao longo do dto se for tilizado o perfil da lei de potência. energia cinética trblenta permanece praticamente constante, variando de 6, m 2 /s 2 a 6, m 2 /s 2, para a modelagem UVWKE; entretanto, a stat

38 135 modelagem PL, k varia significativamente, de 1, m 2 /s 2 a zero, retornando a 6, m 2 /s 2, após 50D. Estas variações são apresentadas na Figra Pressão (UVWKE) Pressão (PL) P ressão [P a] P ressão [P a] diâmetros diâmetros Pressão [ Pa ] Pressão Total [ Pa ] Pressão [ Pa ] Pressão Total [ Pa ] Figra 3-29: Pressão total (azl) e pressão estática (vermelha) para UVWKE (esqerda) e PL (direita). Energia Cinética Trblenta [m 2.s -2 ] (UVWKE) Energia Cinética Trblenta [m 2.s -2 ] (PL) 6,3E-04 1,6E-03 6,2E-04 1,2E-03 8,0E-04 6,1E-04 4,0E-04 6,0E diâmetros 0,0E diâmetros Figra 3-30: Energia cinética trblenta (k) para UVWKE (esqerda) e PL (direita). variação significativa de k aparece em todas as modelagens com variação significativa na velocidade. Nas modelagens do CFX, o padrão de desenvolvimento da viscosidade trblenta (µ t ) fico bastante semelhante ao desenvolvimento de k. Nos primeiros 23 diâmetros da modelagem PL, a velocidade no eixo do dto amenta continamente, enqanto qe a pressão total permanece constante e a energia cinética trblenta cai para zero. ssim, a modelagem está indicando

39 136 qe não há trblência no eixo do dto nesses primeiros diâmetros. O escoamento para a modelagem UVWKE é trblento em todo o domínio. O padrão de desenvolvimento de ε no eixo do dto é mito próximo do padrão de k: para UVWKE ε permanece praticamente constante no eixo do dto, mas para a modelagem PL, ε cai rapidamente para zero, permanece em zero até aproximadamente 23D e sobe e, a 80D chega a m valor em torno de 10 4 m 2 /s 4, como visto na Figra Dissipassão Trblenta [m 2.s -3 ] (UVWKE) Dissipassão Trblenta [m 2.s -3 ] (PL) 1,42E-04 1,6E-02 1,40E-04 1,2E-02 1,38E-04 8,0E-03 1,36E-04 4,0E-03 1,34E ,0E diâmetros diâmetros Figra 3-31: Dissipação trblenta (ε) para UVWKE (esqerda) e PL (direita). O comportamento k e ε ao longo dos 100D dos modelos PLX e UVW sege m mesmo padrão do modelo PL, enqanto qe o comportamento de k e ε dos modelos UVWKEX e PLKE sege o padrão de UVWKE. Especificamente, PLX e PL mostram distorções em k e ε ao longo do eixo do dto acima de 100%, enqanto qe as distorções de UVWKEX e UVWKE no eixo do dto não chegam a 5%. Nos casos em qe os k e ε não foram importados, a entrada foi configrada com a entrada defalt de intensidade média de 5%. Configrando a entrada com intensidade média de 1% o 10%, os resltados praticamente se mantêm. O comportamento de k e ε ao longo do eixo do dto para a modelagem FLT mostra m padrão próximo de PLX e PL. O modelo FLT, como mostrado na Figra 3-32, apresenta nos perfis de 0D, 1D, 5D e 10D, m peqeno arqeamento na região central com a concavidade voltada para cima, ao invés da concavidade para baixo como é o sal.

40 137 O perfil de velocidades mais alto apresentado no gráfico de FLT fica a 40D e os perfis mais distantes da origem, então, vão aos tomando a forma do perfil completamente desenvolvido. Também na Figra 3-32, o gráfico à direita mostra o desenvolvimento do perfil de pressão total. Próximo à parede, a pressão total cai continamente ao longo do dto, mas no centro do dto, permanece constante até de 23D. Perfis de Velocidade Perfis de Pressão 1, W 1,17 1,12 1,07 1,02 0,97 0D 1D 5D 10D 20D 40D 60D 80D 100D Pressão Total [Pa] D 1D 5D 10D 20D 40D 60D 80D 100D 0,92 0-0,50-0,25 0,00 0,25 0,50-0,50-0,25 0,00 0,25 0,50 Y = y / D Y = y / D Figra 3-32: Perfis de velocidade (esqerda) e perfis de pressão total (direita) para FLT Velocidade Média nas Linhas Inclinadas Pesqisas anteriores (Yeh & Mattingly, 1997; Moore et al., 2000b) mostram qe os medidores ltrassônicos são inflenciados pelo perfil de velocidades. Desta forma, ma distorção na modelagem pode gerar erros nas simlações. Para avaliar esse erro, 100 linhas inclinadas 45º foram traçadas ao longo dos 100D das modelagens, e foi calclada a velocidade média em cada ma dessas linhas ( w T ). s distorções foram calcladas tilizando como referência o valor da velocidade média na linha a 80D. O gráfico da Figra 3-33 mostra as distorções na velocidade média nas linhas inclinadas para PLX, PL, UVWKEX, UVWKE, UVW e PLKE. correlação entre as distorções na velocidade média das linhas e na velocidade máxima, da Figra 3-28, é significativa. Tabela 3-13 apresenta os

41 138 valores dos desvios da velocidade máxima e mínima de E Tmax e E Tmin,e das distorções em w T e em W. w T, respectivamente Velocidade Média na Trajetória WT 1,11 1,10 PLX 1,09 PL 1,08 vwkex vwke 1,07 vw 1,06 PLke 1, diâmetros Figra 3-33: Velocidade média nas linhas inclinadas (WT= w T ) ao longo dos 100D. Tabela 3-13: Distorções nas velocidades das linhas ao longo dos 100D para modelagens de escoamento completamente desenvolvido. Modelagem E Tmax (%) E Tmin (%) Distorção em w T (%) Distorção em W LC (%) PLX 3,45-0,41 3,86 14,55 PL 3,25-0,60 3,85 14,76 UVWKEX 0,14-0,03 0,17 0,38 UVWKE 0,12-0,03 0,15 0,31 UVW 2,62-0,51 3,13 11,64 PLKE 0,67-0,13 0,80 3,82 Velocidade dimensional 1,09 1,07 Erro (%) 1,05 1,03 1,01 flat flatke 0, diâmetros Figra 3-34: Velocidades nas linhas ao longo dos 100D para m modelo de escoamento com perfil niforme na entrada.

42 139 s modelagens UVWKEX e UVWKE mostraram os melhores resltados, com distorção de 0,38% e 0,31% em W LC e 0,17% e 0,15% em w T, qe são valores qe já ficam na mesma ordem de grandeza dos 0,2% de erro máximo admissível, o qe é ma indicação interessante para continar o trabalho. Caso o objetivo seja obter m escoamento completamente desenvolvido ao longo de todo o domínio, a distorção acima de 3% em w T em PLX, PL e PLKE é excessiva. Para a modelagem com perfil niforme na entrada, se escoamento for considerado completamente desenvolvido, a simlação com linha inclinada 45º teria m erro de 5,4%, como mostra a Figra 3-34 e a Tabela Mas se for considerado qe está em desenvolvimento, a distorção passa para 1,1% e 1,4%. Tabela 3-14: Distorções nas velocidades das linhas ao longo dos 100D para modelagens de escoamento com perfil niforme na entrada. Modelagem E Tmax (%) E Tmin (%) Distorção em w T (%) Distorção em W LC (%) FLT 1,16-0,21 1,37 5,44 FLTKE 0,91-0,17 1,08 3, Recomendações para Configração do Perfil de Entrada partir dos resltados desta investigação sobre a inflência do perfil de entrada nas simlações de medidor ltrassônico, foram tiradas as segintes recomendações para a configração das modelagens para simlação de medidores ltrassônicos: Qando for necessário colocar na entrada m perfil completamente desenvolvido, a melhor opção deixar o escoamento se desenvolver em m trecho reto de 80D. Se não for possível manter esse trecho reto a montante do domínio, ma opção recomendável é tilizar perfis completamente desenvolvidos de, v, w, k e ε. O perfil completamente desenvolvido pode ser obtido a partir de ma modelagem inicial da qal possam ser exportados os perfis da seção transversal a 80D. configração da entrada apenas com perfis importados de velocidade sem a importação dos perfis trblentos não é sficiente para garantir m perfil completamente desenvolvido nas simlações de medidores ltrassônicos.

43 140 configração da entrada com perfis de velocidade pela lei de potência e perfis de k e ε gera ma modelagem de trecho reto com escoamento completamente desenvolvido com menos distorções do qe a configração da entrada com perfis de velocidade importados e tilização da intensidade média defalt. s distorções no desenvolvimento da velocidade na linha de centro são maiores do qe as distorções no desenvolvimento das linhas inclinadas, mas a correlação entre elas se mostro significativa. Na configração da modelagem, deve ser levado em consideração qe a configração do CFX precisa de coerência entre os perfis de velocidade, trblência e pressão. O desenvolvimento da velocidade nos primeiros diâmetros do dto está relacionado com o desenvolvimento dos parâmetros de trblência e com o desenvolvimento da pressão, assim, se não for possível a configração, na entrada, dos perfis de trblência deve ser bscado a configração do perfil de pressão. s distorções da modelagem de m perfil completamente desenvolvido têm a mesma ordem de grandeza qe o erro máximo admissível para medidores de vazão, assim, é recomendável qe a análise dos resltados bsqe comparações ao invés de valores absoltos Geometrias com cidentes s geometrias foram elaboradas visando reprodzir sitações qe podem ocorrer na indústria e, ao mesmo tempo, qe sejam genéricas e permitam ma análise sistemática. ssim, foram inclídos os segintes acidentes: crva simples, das crvas no mesmo plano, das crvas em planos perpendiclares, degra simples e degra dplo. Foram elaboradas várias malhas para cada m desses acidentes. Para padronizar e facilitar as simlações, as malhas foram posicionadas de modo qe o eixo do medidor coincidisse sempre com o eixo z e o escoamento segisse no sentido positivo de z. Figra 3-35 esqematiza o posicionamento das malhas no set-p. Na malha com ma crva, a entrada fica no plano zx com o escoamento no sentido do

44 141 eixo y, a crva direciona o escoamento para o sentido do eixo z e a saída fica no plano xy. x y z Figra 3-35: Convenção nas modelagens: ma crva (linha contína), das crvas (linha tracejada e linha contína). Na malha com das crvas no mesmo plano, a entrada fica no plano xy, o flido sege no sentido de z, passa para o sentido y, para segir novamente no sentido z, e a saída acaba também no plano xy. Na malha com das crvas em planos perpendiclares, a entrada fica no plano yz, o flido sege no sentido de x, vai para o sentido de y e no sentido de z e a saída fica no plano xy. ssim, a saída fica sempre no plano xy, o sentido do escoamento é sempre positivo e o medidor simlado fica sempre posicionado com relação ao eixo z. Para avaliar a inflência das crvas, foram traçados 100 medidores em série ao longo do eixo z de modo a qantificar a sensibilidade do medidor em fnção da distância ao acidente. posição da entrada, em fnção da discssão do item 3.2.3, foi colocada sempre qe possível após m trecho reto de 80D, o após o perfil importado de, v, z, k e ε.

45 142 Otro tipo de acidente avaliado no presente trabalho, o degra, corresponde a ma diferença no diâmetro interno de m tbo. s geometrias do degra são axialmente simétrica. Figra 3-36 ilstra o qe está sendo denominado de degra simples convergente, qando o diâmetro do trecho a jsante do degra (onde o medidor é simlado) é menor do qe o diâmetro do trecho a montante. Figra 3-37 ilstra m degra simples divergente, com o diâmetro do trecho a jsante do degra maior do qe o diâmetro do trecho a montante. Degra convergente Dto Medidor Figra 3-36: Esqema de m degra convergente. Degra divergente Dto Medidor Figra 3-37: Esqema de m degra divergente. Para qantificar o degra, é definida a diferença percental (deg%) do diâmetro do trecho onde é traçado o medidor (D med ) com relação ao diâmetro do dto (D dto ):

46 143 Dmed Ddto deg % = 100 (3-33) D dto ssim, se D dto = 0,3174m e D med = 0,3060m (Figra 3-36), a diferença será igal a 3,73% e se D dto = 0,3060m e D med = 0,3174m (Figra 3-37), a diferença fica em 3,73%. Otra possibilidade de qantificação do degra, qe é tilizada na montagem da malhas com degra é o fator do degra (f deg ), mantendo como referência o dto: D med f deg = (3-34) Ddto Para o degra da Figra 3-36, f deg será igal a 0,964 e para o degra da Figra 3-37, f deg será igal a 1,037. pós o degra, foram traçadas 100 grpos de linhas inclinadas simlando medidores em série ao longo de z. Uma sitação específica qe pode gerar diferenças na medição é a instalação de m medidor com diâmetro interno diferente do diâmetro interno do trecho reto a montante e do trecho reto a jsante. Nesse caso, haveria m degra logo a montante do medidor e otro logo a jsante, qe está sendo denominado aqi de degra dplo. Figra 3-38 e Figra 3-39 apresentam esqema de degra dplo, com o diâmetro do medidor respectivamente menor e maior qe o diâmetro do dto. Só foram realizadas simlações de degra dplo com o trecho reto a montante com o mesmo diâmetro do trecho reto a jsante. denominação de convergente o divergente faz referência ao degra a montante do medidor. trecho reto medidor trecho reto Figra 3-38: Esqema de m degra-dplo convergente.

47 144 trecho reto medidor trecho reto Figra 3-39: Esqema de m degra dplo divergente. Na simlação com degra dplo, o arranjo do medidor é montado entre os degras, e o medidor é simlado em ma única posição. O degra dplo é a única geometria deste trabalho qe incli m acidente a jsante do medidor Criação das Trajetórias Para simlar as trajetórias, foram traçadas linhas retas, inclinadas com relação ao eixo do dto em 45º o 60º, qe são inclinações sais nos medidores ltrassônicos comerciais. Por convenção, o eixo do dto coincide com o eixo z e o ânglo de inclinação das linhas (θ) é sempre positivo e menor qe 90º, como apresentado na Figra O ânglo qe define a posição da linha no plano xy é o ânglo β qe, por definição, é zero qando a projeção da trajetória na seção transversal coincidir o for paralela ao eixo x. trajetória 2 trajetória 1 θ y z Figra 3-40: Linhas simlam trajetórias com inclinação θ: trajetória 1 com β = 0º; e trajetória 2 com β = 180º.

48 145 O ânglo β varia de zero a 360º, no sentido anti-horário. s das trajetórias da Figra 3-40 apresentam o mesmo ânglo θ com relação ao eixo z, mas estão distantes 180º no plano xy. Em algmas simlações, como no caso do degra, o perfil de escoamento fica deformado com relação ao perfil completamente desenvolvido, mas mantém a simetria axial. Nesses casos, não é tilizada a inclinação β e apenas definir a inclinação θ é sficiente. Os medidores ltrassônicos precisam qe as trajetórias tenham ma inclinação para medir as diferenças de tempo de trânsito, mas nas simlações, se o escoamento for completamente desenvolvido, o resltado da velocidade média em ma reta inclinada o em ma reta vertical será o mesmo. Nas simlações em planilha Excel as retas foram traçadas verticalmente, entretanto, nas simlações com CFX, qe envolvem escoamento axialmente assimétrico, as linhas foram traçadas sempre com ma inclinação θ com relação ao eixo do tbo. posição das trajetórias é definida sobre o eixo x, com o β igal a 90º, de forma seqencial. Para m medidor de m canais, o canal 1 na posição mais negativa e o canal m na posição mais positiva, como representado na Figra y x 2 canais 3 canais 4 canais 5 canais Figra 3-41: Indicação da nmeração dos canais paralelos. Em geral, as trajetórias de m mesmo medidor com canais paralelos apresentam a mesma inclinação θ, mesmo em planos crzados. Em medidores com canais paralelos em plano único, a inclinação β é a mesma para todos os canais, mas em planos crzados, os canais de m plano estarão defasados 180º com relação aos canais do otro plano. Figra 3-42 apresenta o rebatimento na seção transversal dos canais de medidores de 3 canais paralelos. Não é possível saber se os canais dessa figra são de plano único. ssim, no exemplo (a) os canais podem ter β igal a 90º o 270º,

49 146 no exemplo (b) β pode ser igal a 45º o 135º e no exemplo (c) β pode ser igal a 0º o 180º. y y y x x x (a) (b) (c) Figra 3-42: Inclinação dos canais com relação ao plano xy: (a) β = 90º o 270º; (b) β = 45º o 135º; e (c) β = 0º o 180º. Para traçar ma trajetória qalqer é necessário ter definido: a inclinação com relação ao eixo (θ), a inclinação no plano xy (β), a distância do ponto médio do medidor à origem (z 0 ), o número de canais m e as posições η j de Gass- Legendre. Figra 3-43 apresenta o esboço da constrção de ma trajetória de m medidor com m canais e a ma distância z 0 da origem. Cada linha j tem sa posição x j obtida diretamente pela mltiplicação dos zeros (η j ) da integração de Gass-Legendre pelo raio do medidor (R). Cada linha para ser definida precisa de apenas m ponto na direção x, mas há necessidade de dois pontos na direção y e dois na direção z, para qe seja definido o início da linha (y j1 e z j1 ) e o final da linha (y j2 e z j2 ). Foi convencionado qe o início fica a montante. O cálclo das posições y j1, y j2, z j1 e z j2 tiliza o x j e o ânglo de inclinação θ. De acordo com os gráficos nos planos yz e xy da Figra 3-43, são escritas as eqações: y = R x (3-35) 2 2 j1 j y = + R x (3-36) 2 2 j2 j y j1 z j1 = (3-37) tan( θ )

50 147 y j2 z j2 = (3-38) tan( θ ) y y θ y j2 y j2 R y j1 z y j1 x z j1 z j2 x j1 x j2 z 0 Figra 3-43: Criação das linhas na simlação de medidor com canais paralelos com CFX. Os parâmetros normalizados por R (raio do medidor) permitem qe as constantes das posições sejam tabeladas. s linhas foram inicialmente traçadas para medidor de 1 canal, com θ = 45º. ssim, a primeira linha inicia em 0D e termina a 1D, onde inicia o próximo medidor. Entretanto, em simlações posteriores, em especial para os mlticanais, as linhas foram traçadas deixando ma distância entre o início do trecho reto e o início das linhas semelhante à distância qe existe nos medidores ltrassônicos comerciais de carretel. indicação de qe o primeiro medidor fica a 0D significa qe o ponto inicial do medidor fica entre 0D e 1D. Essa noção é importante para a análise dos gráficos com os resltados das simlações. constrção das linhas com base em ânglos permite a montagem de softwares mais flexíveis, em especial qando há necessidade de tilizar o ânglo β. O ânglo base é formado por se ponto de início da linha e o eixo x. Esses ânglos (α j ) são calclados pela eqação: α = acos( x R) = acos( η ) (3-39) j j O ânglo do ponto inicial e final das linhas, respectivamente, α j1 e α j2 são, então, descritos por: α j 1 = α j π 2 (3-40) α j 2 = α j π 2 (3-41) j

51 148 sbtração de π 2 da eq. (3-40) e da eq. (3-41) visa qe o ânglo resltante corresponda a β igal a zero, e o sinal negativo acrescentado à eq. (3-41) se deve ao segndo ponto da linha ter o mesmo x j, mas com o valor de y j negativo. partir dos ânglos α j1 e α j2, e do z inicial (z 0 ), são calclados os x j1, x j2, y j1, y j2, z j1 e z j2 : x x y y = R cos( α 1 ) (3-42) j1 j = R cos( α 2 ) (3-43) j2 j = Rsen( α 1 ) (3-44) j1 j = Rsen( α 2 ) (3-45) j2 j y j1 z j1 = z0 + (3-46) tan( θ ) y j 2 z j2 = z0 + (3-47) tan( θ ) Para avaliar o desempenho do medidor ao longo do trecho reto a jsante de m acidente, β é fixado e são constrídos medidores para diversos valores de z. Para avaliar o desempenho do medidor variando o ânglo na seção transversal, z 0 fica fixo e os medidores são constrídos para diferentes valores de β Cálclo da Velocidade Média em ma Linha Nas simlações com CFX, o escoamento tem três dimensões e, portanto, é r r r tilizada neste item a nomenclatra, v, w e Vel, onde 3 : r r r Vel = + v + w (3-48) ssim, a velocidade média na seção transversal será indicada por velocidade média na linha por Vel e a Vel T. introdção da variável Vel é necessária, pois na análise de acidentes, os vetores r e v r não podem ser desprezados. Os medidores ltrassônicos medem primeiramente a velocidade média na direção da linha componente na direção z é Vel T para depois mltiplicar pelo cos(θ) e chegar à Vel T. w T, cja 3 No CFX, o vetor resltante é denominado Velocity.

52 149 L t21 t12 VelT = (3-49) 2 t t ssim, é calclado internamente pelo medidor ltrassônico: Vel = cos( θ ) (3-50) T w T pós m acidente, as componentes de velocidade nas direções x e y também precisam ser consideradas e, para ma trajetória com inclinação θ com relação ao eixo do dto e ma inclinação β com relação ao eixo x, a eqação geral de m ponto no domínio é: Vel T = cos( β ) sen( θ ) + v sen( β ) sen( θ ) + w cos( θ ) (3-51) linha tem n pontos de amostragem, e o cálclo da velocidade média na direção da linha será a integração na linha, da variável Vel T (i), onde: ( ( i) cos( β ) + v( i) sen( β )) sen( θ ) w( i) cos( ) Vel T ( i) = + θ (3-52) ssim para β = 0: w T é calclado por: ( cos( ) + v sen( β )) tg( θ w w T = β ) + (3-53) Define-se a variável swirl: O parâmetro ( cos( β ) v sen( β )) tg( θ ) swirl = + (3-54) w T = swirl + w (3-55) w T é calclado em fnção dos ânglos β tilizados: w T = tg(θ ) + w (3-56) para β = π/2: para β = π: para β = 3π/2: w T = v tg(θ ) + w (3-57) w T = tg(θ ) + w (3-58) w T = v tg(θ ) + w (3-59) No presente trabalho os resltados do medidor a 80D após o acidente foi a referência das simlações Resolção Nmérica em Linhas e Planos no CFX configração das linhas e planos criados no CFX pode afetar a exatidão dos resltados. s linhas podem ct o sample. Uma linha ct é estendida em ambas as direções até a fronteira do domínio e tem pontos onde intercepta a face de m elemento de malha. Uma linha sample é criada entre dois pontos, qe precisam ser definidos, é independente da malha, e o número de pontos de amostragem (n) é dado de entrada.

53 150 Os planos podem ser slice o sample. Um plano slice é limitado pelas fronteiras do domínio e ses pontos são posicionados nos locais intercepta ma aresta da malha. O plano sample é m conjnto de pontos planos niformemente espaçados e independe da malha. Como parâmetro para definir limites de aceitação do erro nmérico, deve ser considerado qe os menores erros máximos admissíveis para os medidores de vazão qe, para líqidos é 0,2%; e, para gás, 0,5%. avaliação da resolção nmérica das simlações realizadas foi feita com o valor da área da seção transversal (4, m 2 ) e velocidade média na seção transversal (5, m/s) definidos no pré-processamento. Foram, então, comparados os valores calclados com os valores de entrada. O erro no cálclo da área de m plano sample perpendiclar ao eixo do dto (seção transversal) com amostras foi de 0,06% e com amostras foi de 0,02%. Figra 3-44 mostra o gráfico do erro em fnção de n em x e y de a O erro não varia com a distância à crva, mas há variação por ser slice o sample e com número de pontos de amostragem (n). Com plano tipo slice, o erro no cálclo da área foi praticamente constante em toda a escala, em torno de 0,54%. Este erro é significativamente maior do qe o erro com plano tipo sample. De acordo com o gráfico da na Figra 3-45, o erro no cálclo da velocidade média em seção transversal varia com a distância z e com n. Na amostragem de até é identificada ma tendência e, na análise de até , o erro pode ser visto como apresentando m valor fixo, em torno de 0,05%. o longo dos 100D do gráfico, o menor erro em módlo foi obtido com amostras. O resltado da análise mostra qe deve ser esperado m erro em torno de 0,05% para a amostragem, mas a conclsão não pode ser generalizada considerando esse ser m valor sistemático fixo o generalizada qanto a tilizar amostras, pois foi avaliado apenas m caso específico. Em plano slice, o erro do cálclo da velocidade média na seção transversal é de 0,37% em 0D, fica em torno de 0,33% a partir de 4D, qe são valores elevados se comparados com os resltados do plano sample.

54 151 Erro nmérico no cálclo da área da seção transversal Erro (%) 0,00-0,05-0,10-0,15-0,20-0,25-0,30-0,35-0,40-0, amostras em cada coordenada Figra 3-44: Erro nmérico do cálclo do CFX da área da seção transversal, em plano sample, em fnção de n. Erro nmérico do CFX no cálclo da velocidade w na seção transversal 0,15 0,10 Erro (%) 0,05 0,00-0, , distância à crva (em diâmetros) Figra 3-45: Erro nmérico na área da seção transversal, em fnção de z (de 0D a 100D) e de n (de 41 a 201). Para avaliar o erro de amostragem em retas inclinadas passando pelo eixo de m trecho reto com ma crva a montante, a velocidade média foi calclada com amostragem com 51 e 201 pontos. Como mostra a Figra 3-46, o erro com 201 pontos de amostragem fico entre 0,02% e 0,04%, o qe é m resltado satisfatório. Com 51 pontos, o erro fico entre 0,18% e 0,35%, o qe é m valor elevado.

55 152 Erro de mostragem (para beta = 0 o, 90 o e 270 o ) Erro (%) 0,00-0,05-0,10-0,15-0,20-0,25-0,30-0,35-0, posição do medidor (diâmetros) 0_51 0_201 90_51 90_ _51 270_201 Figra 3-46: Erro na velocidade média na linha inclinada em fnção de z (de 0D a 100D), de n (51 o 201) e de β (0º, 90º o 270º). O ânglo β indica a posição na linha com relação ao plano xy. Com β igal a 0º, a linha está no plano perpendiclar ao plano da crva. Para β igal a 90º o 270º, a linha está no plano da crva. Próximo da crva, com o perfil de velocidades com assimetria significativa e presença de redemoinhos, o erro apresenta ma dispersão também significativa. Isso mostra qe o erro é fnção também do perfil. O perfil em 80D é considerado completamente desenvolvido e mostra erro de 0,02% com 201 pontos e 0,23% com 51 pontos. Em geral esses erros são verificados para perfil considerado completamente desenvolvido, e esse gráfico mostra qe para perfil assimétrico esse erro pode ser 65% maior do qe o erro calclado para perfil completamente desenvolvido. Com a opção ct o erro com 201 pontos de amostragem chego a 0,3% e com 51 pontos fico em 0,9% e, portanto não é ma opção para esse trabalho. opção ct tem também ma desvantagem significativa qe é a dificldade em sistematiza os cálclos. Devido às dificldades nos cálclos com linhas ct e planos slice e aos erros nméricos encontrados, foram tilizadas apenas linhas e planos sample. Em cada linha foram tilizados 201 pontos de amostragem. Foram evitados cálclos de comprimentos e áreas, e os resltados foram analisados com base em erros relativos.

56 Desenvolvimento do Trabalho Modelagens com Malha em Crva presente análise é qalitativa e tem por objetivo contribir na avaliação dos resltados apresentados a segir. s modelagens foram configradas com escoamento incompressível. O comprimento a jsante da crva é 100D. malha tilizada tem elementos, trecho reto de 1,7D a montante da crva e m trecho reto de 100D a jsante. malha da seção transversal com 765 elementos é a mesma em todo o domínio. Para avaliar o efeito da crva, foram feitas das modelagens para escoamento trblento com entradas distintas: com perfil niforme na entrada, e com perfil pela lei de potência de 1/7. configração de ambas incli ága com propriedades constantes (ρ = 997 kg/m 3 ; µ = 8, kg/(m.s)); sem transferência de calor; sem gravidade; modelo de trblência RNG-k-epsilon, com fnção de parede escalável; Re igal a ; velocidade média igal a 0,536 m/s; ato-timescale; critério de convergência r.m.s. de 10-6 ; entrada com intensidade trblenta média; saída com pressão estática média de 0 Pa; e tbo liso e sem deslizamento. Figra 3-47 e a Figra 3-48 apresentam o contorno no plano axial da variável Velocity para as modelagens com a entrada configrada com perfil niforme e com perfil da lei de potência, respectivamente. Velocity é ma variável do CFX igal ao módlo da soma vetorial de, v e w. Na crva com a entrada pela lei de potência, da mesma forma qe com entrada niforme, o Velocity o valor máximo fica também próximo à parede do lado interno da crva. O trecho qe aparece nas figras a jsante da crva tem cerca de 7D. Os perfis não estão desenvolvidos. s linhas amarelas perpendiclares ao eixo do dto, no plano da crva e perpendiclares ao plano da crva, foram traçadas a 0D até 100D da crva. Estas linhas são a base dos perfis de velocidades qe aparecem nos gráficos da Figra 3-

57 e da Figra 3-50, qe apresentam o desenvolvimento perfil de Velocity para modelagem com a entrada configrada com a lei de potência. Figra 3-47: Contorno da Velocity no plano yz, com entrada niforme e Re = Figra 3-48: Contorno da Velocity no plano yz com lei de potência na entrada e Re = Os perfis da Figra 3-49, no plano da crva, ocorrem em x = 0 e y entre R a +R. Os perfis da Figra 3-50, no plano perpendiclar ao plano da crva, ficam em y = 0 e x entre R a +R. Para ambas as modelagens, os perfis a 60D a jsante da crva (linha laranja) ainda mostram diferenças com relação aos perfis a 80D (linha verde).

58 155 Figra 3-49: Perfil de Velocity, no plano da crva, com y de 0,5 a 0,5, com perfil da lei de potência na entrada. Figra 3-50: Perfil de Velocity no plano perpendiclar à crva, com x de 0,5 a 0,5 e lei de potência na entrada.

59 156 Os perfis da Figra 3-49, qe estão no plano da crva, apresentam ma assimetria acentada. Entretanto, os perfis da Figra 3-50, no plano perpendiclar à crva, são perfis simétricos. mbas as modelagens mostram mdanças significativa nos cinco primeiros diâmetros após a crva. Nos gráficos, essa variação pode ser constatada pelas linhas a 0D (vermelha), a 1D (azl) e a 5D (verde claro). Foi feita, também, ma simlação com escoamento laminar com perfil parabólico na entrada, flido com propriedades constantes (óleo-300 com ρ = 910 kg/m 3 ; µ = 0,30 kg/(m. s)), Re igal a 500. Na modelagem com escoamento laminar, foram mantidas a geometria e a velocidade média, e foi alterada a viscosidade do óleo. Figra 3-51 e a Figra 3-52 apresentam os gráficos com os perfis da Velocity no plano da crva e no plano perpendiclar ao plano da crva para o escoamento laminar. Da mesma forma qe nas modelagens com perfil trblento, a deformação do perfil de velocidades logo após a crva é acentada, para ambas as modelagens. No plano perpendiclar ao plano da crva, os perfis são axialmente simétricos, e no plano da crva, são assimétricos. Figra 3-51: Perfil de Velocity, no plano da crva, para perfil laminar na entrada e Re = 500.

60 157 Figra 3-52: Perfil de Velocity, no plano perpendiclar à crva, para perfil laminar na entrada e Re = D 5D 20D 80D Figra 3-53: Linhas de corrente na seção transversal.

61 158 Entretanto, para o escoamento laminar, o perfil a 40D já está bastante próximo do perfil desenvolvido e, a 60D coincide com o perfil a 80D. crva contribi diretamente para a formação de vórtices qe prejdicam a medição ltrassônica. Para avaliar os vórtices gerados, a Figra 3-53 apresenta as linhas de corrente nas seções transversais, a 0D, 1D, 5D e 80D a jsante da crva, para a modelagem pela lei de potência. Figra 3-53 mostra qe dois grandes vórtices já estão formados a 0D e, a 80D, ainda permanecem. Na verdade, permanecem até os 100D. Entretanto, a 20D sa intensidade e contribição na distorção do perfil já não é significativa Constrção dos Medidores Na simlação, foram traçados grpos de retas inclinadas, cada grpo simlando m medidor ltrassônico. No caso das simlações com crvas, foram constrídas qatro seqencias de 100 medidores a jsante da crva. Cada seqencia para m β específico: 0º, 90º, 180º e 270º, totalizando 400 diferentes posições. Também, para as posições 0D, 5D, 20D e 100D, cada grpo de retas inclinadas foi girado pelos 360º, e a cada 15º ses resltados foram registrados. Esse procedimento foi feito para medidores com diversos arranjos, de 1, 2, 3, 4, 5 e 8 canais. Nas modelagens com degras, o escoamento é sempre axialmente simétrico, portanto, o ânglo β não foi considerado, mas foram inclídas simlações para todos os medidores acima citados. No caso do degra simples, para cada arranjo de medidor, foi montada ma seqencia com 100 medidores após o degra. Para o degra dplo, só há ma posição para sitar o medidor. Para m medidor de m canal com θ igal a 45º, a constrção de 100 medidores após a crva corresponde a 100 retas inclinadas, ma reta a cada diâmetro. s linhas traçadas para simlar medidores de 5 canais paralelos, todos com a mesma inclinação e no mesmo plano estão representadas na Figra 3-54 e Figra 3-55, para β igal a 0º e 90º. Medidores de 3 e 5 canais terão a trajetória central igal à trajetória do medidor de 1 canal.

62 159 Figra 3-54: Cinco trajetórias com β = 0º (amarelas), linha qe corta as trajetórias pelo centro (roxa), eixo do dto a jsante da crva (rosa). Figra 3-55: Cinco trajetórias com β = 90º (amarelas), linha qe corta as trajetórias pelo centro (roxa), eixo do dto a jsante da crva (rosa).