Capítulo Estudo de uções F9 Pág. 7.. Domíio da ução : D = { 0; 0,5; ;,5; ;,5; ; } Cotradomíio da ução : D ' = { ; 0,5; 0; ;,5 } Domíio da ução g: D = { 0; 0,5; ;,5; ;,5; ; } g Cotradomíio da ução g: D ' = { ; 0,5; 0; 0,5; } g.. a) ( + g )( 0) = ( 0) + g ( 0) = 0 + 0 = 0 b) ( g ) g + 0,5 = 0,5 + 0,5 = 0 + 0 = 0 +,5 =,5 +,5 = + = c) ( + g )( ) = ( ) + g ( ) = + = d) ( g ) g e) ( g ) g + = + = 0 + 0 = 0 ) ( g ) g +,5 =,5 +,5 = + = 5 + = + = + = + = g) ( g ) g h) ( g ) g + = + = 0 + 0 = 0.. Cotradomíio da ução + g: 5 ' + g =,, 0,, D ou D ' { ; ; 0;,5;,5} + g = Pág. 8.. x 0 0,5,5,5 (x) 0 0 0,5 0,5 0 g(x) 0 0 0,5 0,5 0 0 ( g) (x) 0 0 0,5 ( 0,5) = 0,5 = 0,5 0 ( g) (x) 0 0 0,5 ( 0,5) = 0, 5,5 =,5 0 (x) 0 0 0,5 = 0,5 = = 0,5 = 0,5 0 =,5 =,5 0 0 ( ) = =,5,5 0 Capítulo Págia
.5..6. Cotradomíio de g : D ' g =, 0, Cotradomíio de g : D ' = { 0; 0,5; ;,5 } g Cotradomíio de : D ' = { 0; 0,5; ;,5} { : 0}.7. Sabe-se que D x D D g ( x ) = g g Assim, D = { ;,5;,5; } g g g g x x = x D g x, g,5,5 = = = g,5 0,5,5 = = =,5 g Assim, D ' = { ;,5; } g g g 0,5 = = = g 0,5,5,5 = = = g,5.. ( c + t )( Aoso) correspode ao total de gastos do Aoso o ciema e o teatro durate o segudo semestre do ao de 0. ( c t ) c t + Aoso = Aoso + Aoso = 5 + 9,5 = 7,5.. Determiemos: ( c t ) c t + Marta = Marta + Marta = 88,5 ( c t ) c t + João = João + João = 8 Assim, D ' { 7,5; 8; 88,5} = c+ t.. D { } m a + + j = julho, agosto, setembro, outubro, ovembro, dezembro Determiemos o cotradomíio da ução m + a + j: ( m a j ) m a j + + julho = julho + julho + julho = + 0,50 + 7,00 = 8,5 Capítulo Págia
( m a j ) m a j + + agosto = agosto + agosto + agosto =,5 + 6,50 + 5,50 =,5 ( m a j )( setembro) m ( setembro) a ( setembro) j ( setembro) + + = + + = = 6,50 + 9,00 + 5,00 = 0,50 ( m a j ) m a j + + outubro = outubro + outubro + outubro =,50 + 9,00 + 6,00 = 6,5 ( m a j )( ovembro) m ( ovembro) a ( ovembro) j ( ovembro) + + = + + = =,00 + 8,50 + 6,50 = 8 ( m a j )( dezembro) m ( dezembro) a ( dezembro) j ( dezembro) + + = + + = = 5,00 + 0,50 +,00 = 66,5 Logo, D ' { 8;,5; 6,5; 8,5; 0,5; 66,5} m+ a+ j =.. a) Ambas as uções e g são costates. Logo, ( x ) = e g ( x ) = b) ( g )( x) ( x) g ( x) + = + = + = ( g )( x) ( x) g ( x) = = = + = Logo, D = D = {,,,, } + g g D ' + = { } e D' = { } g c) ( x) g ( x) d) g = = + 6 = 8 F0 Pág. 9.. Observado o gráico, coclui-se que o Mauel esteve a descasar durate 0 miutos e o Joaquim durate hora. Portato, quem descasou mais tempo oi o Joaquim... O Mauel estava a 5 km da cidade B... Ates do descaso, o Mauel percorreu 00 km em horas e 0 miutos. Depois do descaso, o Mauel percorreu 00 km em 0 miutos. Portato, o Mauel adou mais depressa depois do descaso. Capítulo Págia
Pág. 50 + g x = x + g x = x +,5 x =,5 x = 0,5,5 x = x = x.. a) Portato, ( + g )( x) = x g x = x g x = x,5 x = x +,5 x = +,5 x = 0,5 +,5 x = x b) Logo, ( g )( x) = x g x = g x x =,5 x x =,5 x =,5 0,5 x = x c) g x = x Assim, ( ) d) g + x = x g x + = x +.. a) + h x = x + h x = x +, b) + g + h x = x + g x + h x = x + x +, = x +, c) h g = x h x g x = x, x = 6, x x = 9, x d) g h x = x g x h x = x x, = 5x, e) ( ) ( ) g + h x = x g x + h x = x x +, = 5x +, ) (( h) h g )( x) ( ( x) h ( x) ) h ( x) g ( x ) = =.. a) = x,, x = 6, x 0, x = 9, x 0, x = x + x = x + x = x Logo, é uma ução aim de coeiciete e termo idepedete, pois para todo x Q, x = x. g x = x x + = x x + = x x + = x x + = b) Logo, g é uma ução costate deiida pela expressão c) g ( x ) =. x x x h x = x,5 + = x +,5 + = x +,5 + = x = x + +,5 = x + 0,5x + 0 =,5 x Assim, h é uma ução liear deiida pela expressão h ( x) =,5 x. i x = x x = x x + = x x + = 0 d) Portato, i é uma ução costate igual a 0. Capítulo Págia
9 = = = = =.. a) ( ) ; g ( ) ; h ( ) ; i ( ) ; j ( ).. b) Como as uções represetadas são lieares, etão são deiidas pela expressão 9 ax, a Q. Assim, ( x) = x; g ( x ) = x; h ( x) = x; i ( x) = x e j ( x) = x. x (x) (x, (x) ( ) = = (, ) ( ) = ( ) = (, ) F Pág. 5 Como os potos que deiem o gráico de uma ução deiem uma reta, ão vertical em horizotal, que cotém o poto (0, 0)... ( ) = ( ) = = = = = 0,5 0,5 0 ( 0) = 0 + = 0 = = = = (,5 ) =,5 = = Portato, D ' = {,, 0,, } Pág. 5.... a) A ução g é deiida pela expressão g ( x) = x. g ( ) = ( ) = ; g ( 0) = 0 = 0 ; g ( 0,5) = 0,5 = ; g = = g (,5 ) =,5 = Logo, ' = {, 0,,, } D. g Capítulo Págia 5
b).. Dado que ( ) = h ( x) h e sedo h uma ução liear, tem-se que o coeiciete da ução é dado por a = = = x.. h ( 0) = 0 = 0 e = =. Logo, h ( x) = x. h..... O jogo ter-se-ia realizado às 5 horas... Observado o gráico, coclui-se que até às h tiham etrado 000 adeptos diamarqueses. Uma hora depois já estavam o estádio 6000 adeptos. Portato, etre as h e as h etraram o estádio 000 adeptos... Ora, se o estádio estavam 000 adeptos, etão o úmero de adeptos da seleção é dado pela diereça 500 000, ou seja, 00. O úmero de adeptos da seleção acioal que assistiram ao desaio o estádio oi 00... Hora do dia 5 6 N. de diamarqueses o estádio 0 500 000 6000 000 000 Capítulo Págia 6
F Pág. 5.. Vejamos se o quociete y x é costate: 6 7 = = = =,5 5,5. Logo, as gradezas são diretamete proporcioais. A costate de proporcioalidade direta é... *8 * * x 6 y 9 8 6 8 * * * 6 Como 6 8, etão as gradezas x e y ão são diretamete proporcioais... As gradezas x e y ão são diretamete proporcioais, pois o quociete y x ão é costate, já que,6,... *0 *6 *8 x 6 8 0 y 0,, 0,96 *6 *,8 *0 Portato, como,8 8 etão as gradezas x e y ão são diretamete proporcioais... a) a ( l ) = 5 l b) A ução a é uma ução de proporcioalidade direta, pois o quociete l costate, para qualquer l positivo. A costate de proporcioalidade é... a) p ( l ) = l + 5 = l + 0 a ( l ) b) A ução p ão é uma ução de proporcioalidade direta, pois o quociete costate, qualquer que seja l positivo. é p ( l ) l, ão é Capítulo Págia 7
Pág. 5.. Se o descoto a eetuar é de 0%, etão o preço do casaco com descoto pode ser dado por: 0,90 60 = 5. O preço do casaco com descoto é 5... O preço da camisola sem descoto pode ser dado por:,5 : 0,90 = 55. O preço da camisola sem descoto é 55... a) ( v ) = 0,9 v b) d é uma ução de proporcioalidade direta, pois para qualquer valor v, costate. d ( v ) v é.. Preço em de jaeiro ( ) 50 80 00 00 Aumeto o mês de jaeiro ( ) 0,0 0,6 0,0 0,0 Preço em de evereiro ( ) 50,0 80,6 00,0 00,0 Cálculos auxiliares: Determiemos os aumetos o mês de jaeiro: 0,00 50 = 0,0; 0,00 80 = 0,6; 0,00 00 = 0,0; 0,00 00 = 0,0.. i ( p) =,00 p.. A ução i é uma ução de proporcioalidade direta, pois o quociete qualquer que seja p positivo... O preço do artigo o dia de março é dado por: preço o dia de março (,00 0),00 =,00 0 = 0,808 preço o dia de evereiro O preço do artigo o dia de março é, aproximadamete, 0,8. i ( p) =,00, p.5. O preço do artigo o dia de abril é dado por: preço o dia de abril (,00 0),00 =,00 0 = 0,96096 preço o dia de março O preço do artigo o dia de abril é, aproximadamete, 0,96. Capítulo Págia 8
F Pág. 55.. Completemos a tabela eetuado os cálculos: Preço iicial ( ) 50 69 99 :, = 90 00 Preço com aumeto ( ) 50, = 55 69, = 75,9 99 00, = 00.. a ( p) =, p.. a ( 75) =, 75 = 8,5 Sigiica que um passe que custe atualmete 75 passará a custar 8,5... a ( p ) =. Pretede-se determiar o preço total do passe, sabedo que o próximo mês custará com o aumeto. Assim, :, = 0. Logo, a ( p ) = equivale a p = 0... p = = 5 0,75 5,75. O preço com descoto será de,75 euros... Sim. Para um qualquer preço de veda, v euros, o quociete.. A cada embalagem de detergete á aplicado um descoto de 5%. p ( v ) = 0,75 v é costate... Sim, pois o quociete etre dois valores correspodetes é costate e igual a 0,5. Pág. 56.. Determiemos o valor do aumeto: 800 0,05 = 0. Logo, o valor do salário atual do colaborador é dado por ( 800 + 0 ), ou seja, 80... O valor do salário do colaborador, aterior ao aumeto é dado pelo quociete 8,5 :,05 = 50. O valor do salário do colaborador, aterior ao aumeto, é 50... A( s) =,05 s.. A ução A é uma ução de proporcioalidade direta, pois o quociete e igual a,05, qualquer que seja o valor s positivo. A( s) s é costate.. Sim, pois o quociete etre os valores correspodetes das duas gradezas é costate e igual a,6. A variável depedete é o úmero de quilómetros. A variável idepedete é o úmero de milhas. Capítulo Págia 9
.. k ( m) =,6 m.. k = = 0,6 0 8. 0 milhas correspodem a 8 km. 5.. A variável idepedete é o tempo, em segudos, etre o relâmpago e o trovão. 5.. A variável depedete é a distâcia, em quilómetros, a que ocorreu a trovoada. 5.. A imagem de 0 é 6,8. O objeto que tem por imagem 0, é 0. 5.. A tabela represeta uma situação de proporcioalidade direta. Logo, se para um valor de 0 s correspode uma distâcia de 0, km, etão para,5 miutos, ou seja, 90 segudos, correspode uma distâcia três vezes superior, isto é, 0, km que equivale a 0,6 km. F Pág. 57.. a) A sequêcia é costituída por quatro termos: Cosideremos a opção (A):.. termo " =, =. termo " =, = 6 e ão. Logo, exclui-se a opção (A). Cosideremos a opção (B): 5 +. termo " =, 5 + = 5 + = (e ão ). Logo, exclui-se a opção (B). Cosideremos a opção (C): + 5. termo " =, + 5 = + 5 = (e ão ). Logo, exclui-se a opção (C). Fialmete, cosideremos a opção (D):. termo " =, 5 8 = 5 8 Capítulo Págia 0
. termo " =, 5 8 = 0 8 =. termo " =, 5 8 = 5 8 = 7. termo " =, 5 8 = 0 8 = Resposta: (D) b) Para = 0, tem-se 5 0 8 = 00 8 = 9. Seria o úmero 9... a). termo, = : a = = = 5 0 0 0 0. termo, = : a = = = 5 0 0 0 0 6. termo, = : a = = = 5 0 0 0 0 Os três primeiros termos da sequêcia são:,, 0 0 0. b) Sabe-se que os três primeiros termos da sequêcia são:,, 0 0 0 8 5 O. termo é dado por: a = = = = 5 0 0 0 0 5 0 7 O 5. termo é dado por: a 5 = = = 5 0 0 0 0 6 9 O 6. termo é dado por: a 6 = = = 5 0 0 0 0 Se o último termo da sequêcia é 9 0 etão a sequêcia tem seis termos... a) a = + = + = a = + = + = 6 a = + = 6 + = 8 a = + = 8 + = 0 Os quatro primeiros termos da sequêcia ( a ) são:, 6, 8 e 0. 6 7 b) b = = = = b b b = = = = 9 8 9 = = = = 5 = = 6 = = Os quatro primeiros termos da sequêcia 7 9 5 b são:,, e. Capítulo Págia
c) c = + = + = c = + = 6 + = c = + = 9 + = 7 c = + = + = 0 Os quatro primeiros termos da sucessão ( c ) são:,, 7 e 0. d) d = = = 5 d = = 8 = = 6 d = = 7 = 8 = 8 d = = 6 = 9 = 9 Os primeiros quatro termos da sucessão ( d ) são: 5, 6, 8 e 9. e) e = = e = = = e = 9 e = = 6 Os quatro primeiros termos da sucessão ( e ) são:,, 9 e 6. ) = + = + = = + = + = 6 = + = 9 + = = + = 6 + = 0 Os quatro primeiros termos da sucessão ( ) são:, 6, e 0. Pág. 58.. a = 6 a = 8 a = 0.. Os três primeiros termos da sucessão 6, 8 e 0... a = 6, a = 8, a = 0, a =, a 5 =, a 6 = 6 + + + + + Portato, o sexto termo da sequêcia é 6. Capítulo Págia
.. 7,,, 8 + 7 + 7 + 7 Logo, uma expressão para o termo geral da sequêcia é 7... - 5, 0, 5, 0 + 5 + 5 + 5 Logo, uma expressão para o termo geral da sequêcia é 5... -, - 5, - 7, - 9 + 5 + 5 + 5 = Mas como o. termo é, etão uma expressão para o termo geral é...,,, Os quatro termos da sequêcia são obtidos pelo quociete etre e, sedo =,,,. Assim, uma expressão para o termo geral da sequêcia é... Veriiquemos a opção (A).. termo, = " 95 = 95 = 9 ( 65 ) Exclui-se a opção (A). Opção (B):. termo, = " 5 + 60 5 + 60 = = 65 5 + 60 0 + 60 70. termo, = " = = ( 5) Exclui-se a opção (B). Opção (C):. termo, = " 55 0 = 55 + 0 = 5 ( 65 ) Opção D: 60. termo, = " 5 + = 5 + 60 = 65 60. termo, = " 5 + = 5 + 0 = 5 60. termo, = " 5 + = 5 + 0 = 5. termo, = " + = + = 60 5 5 5 0 Capítulo Págia
60 5. termo, = 5 " 5 + = 5 + = 7 5 Resposta: (D). 60 6. termo, = 6 " 5 + = 5 + 0 = 5 6 60.. Atededo, à questão aterior, para = 0, 5 + = 5 + 6 =. 0 A Joaa obterá potos. F5 Pág. 59.. a) De acordo como o modelo, tem-se: Logo, os úmeros da 5. a liha são:,, 6,,. Os úmeros da 6. a liha são:, 5, 0, 0, 5,. b) b ) Atededo os úmeros de cada liha, tem-se:,,, 8, 6,. b ) para = 0, tem-se: s 0 9 0 = = = 5.. a) Os três primeiros termos da sucessão ( P ) são: 5, 8,. Os três primeiros termos da sucessão ( R ) são: 6,, 6. b) Determiemos uma expressão para o termo geral da sucessão ( P ) : P = 5 P = 8 P =!! + + P = +, pois o primeiro termo é 5 ( + ) e a diereça etre dois termos cosecutivos é. Capítulo Págia
Determiemos uma expressão para o termo geral da sucessão ( R ) : R = 6 R = R = 6!! + 5 + 5 R = 5 +, pois o primeiro termo é 6 ( 5 + ) e a diereça etre dois termos cosecutivos é costate e igual a 5. Assim, P + R = + + 5 + = + 5 + + = 8 + Em sumo, tem-se: P = + ; R = 5 + ; P + R = 8 + Pág. 60.. a) Os três primeiros termos da sucessão desta sucessão são:,, 6. + 6 + 0 b) T = = = = 0 ; T T 6 6 + 6 6 + 6 = = = = 5 5 + 5 5 + 5 0 = = = = 5 Logo, os termos de ordem, 5 e 6 são: 0, 5 e... a) Os três primeiros termos desta sucessão são:,, e 9. b) Q = = 6 ; Q 5 = 5 = 5 ; Q 6 = 6 = 6 Logo, os termos de ordem, 5 e 6 são 6, 5 e 6... a) Os três primeiros termos desta sucessão são:, 5,. b) ( ) ( ) P = = = = 5 5 5 5 5 P5 = = = = 5 7 = 5 ( ) ( + ) 6 6 6 8 P 6 = = = 7 = 5 Os termos de ordem, 5 e 6 são:, 5 e 5... De acordo com o modelo, tem-se: 6 : : : Logo, os quatro primeiros termos da sucessão são:,,, e 6. Capítulo Págia 5
.. Seguido o modelo aterior, tem-se: 6 5. termo: : = Portato, 0 6. termo da sucessão é 6. 6. termo: : = 6. A Pág. 6. Cosideremos a opção (A): 5 5 5 5 ( ) = = = = ( 5) = 5 = = = 7 ( ) Exclui-se a opção (A). Cosideremos a opção (B): 5 5 6 ( ) = = = = ( ) Exclui-se a opção (B). Cosideremos a opção (C): 6 6 6 0 5 5 5 5 5 6 0 6 6 5 5 5 5 5 ( ) = + = + = = ( 5) = 5 + = + = ( ) Exclui-se a opção (C). Por último, cosideremos a opção (D): 5 9 5 9 5 9 5 9 6 5 5 ( ) = + = + = = = + = + = = Logo, Resposta (D). x 0 0 0 5.. ( x) = + = x +. É uma ução aim, pois = + x Q. 0 + x 0 x 5 5 5 5 x x, qualquer que seja 0 5 g ( x) = = + = x +. É uma ução aim, pois = + seja x Q. + h x = x + h x = x + + x = x x + = 0 5 5 0 5 5.. a) = x 8 x + = 7 x + 0 0 5 0 5 g x x, qualquer que 5 Capítulo Págia 6
g h x = g x h x = x + x = x + + x = 5 5 5 5 b) 7 g h x = x + 5 Logo,.. Taria : ( 5 7,5 ) = 7,5 Taria : ( 5 6 + 8 ) = 0 + 8 = 8 = x + x + = x + 6 x + = 7 x + 5 5 5 5 5 Na taria, o custo de cico caixas de maçãs é 7,5, equato que a taria é 8. A opção mais barata é comprar as maçãs com a taria... ( x) = 7,5x ; g ( x) = x + 6 8.. ( 0) = 7,5 0 = 75 g = + = + = 0 6 0 8 60 8 78 ( ) = 7,5 = 8,5 g = + = + = 6 8 66 8 8 ( ) = 7,5 = 90 g = + = + = 6 8 7 8 90 ( 0) = 7,5 0 = 50 g = + = + = 0 6 0 8 0 8 8 Se o cosumidor comprar até caixas de maçãs, a taria é mais vatajosa. Se o cosumidor comprar mais que caixas de maçãs parece ser mais vatajosa a taria. Se o cosumidor optar por comprar caixas de maçãs, o cosumidor paga 90 em ambas as tarias... Ora, 95 : 7,5 =, ( 6 ). Portato, com 95 o cosumidor poderá comprar o máximo caixas de maçãs a taria, sobrado 5. Por outro lado, 95 8 = 77. Portato, o cosumidor icará com 77 para comprar as caixas de maçãs. Ora, 77 : 6 =,8 ( ). Logo, poderá comprar o máximo caixas de maçãs a taria, sobrado 5. Cocluido, ambas as tarias permitem comprar o máximo caixas de maçãs, sobrado 5. Pág. 6.. Se em cico garraas o cliete paga três dessas garraas, etão o descoto é, ou seja, 5 0%. Capítulo Págia 7
.. Na promoção, o cliete paga três em cada cico garraas. A expressão que deie a ução d que ao preço v, az correspoder o valor a pagar com descoto é d( v) = v. 5 Logo, cosiderado a ução que ao valor atual da garraa az correspoder o valor que o 5 cliete terá de pagar quado acabar a promoção, tem-se que ( v) = v. 5.. 5.. Cosideremos a opção (A):. termo: + = + = ( 0 ) Exclui-se a opção (A). Aalisemos a opção (B):. termo: = 0. termo: =. termo: = 9 = 8. termo: = 6 = 5 5. termo: 5 = 5 = 6. termo: 6 = 6 = 5 Logo, a opção correta é (B). 5.. Para = 0, tem-se: = 0 = 00 = 99. Para = 0, tem-se: = 0 = 00 = 99. O termo de ordem 0 seria 99 e o termo de ordem 0 seria 99. 6.. A = ; A = ; A = V = ; V = ; V = L = L = L = Portato, os três primeiros termos da sucessão Os três primeiros termos de V são:,, e. Os três primeiros termos de L são:,, e. A são:,,. 6.. A = ; V = ; L = 6.. S = A + V + L = + + = + Capítulo Págia 8