Físca Módulo 1 Vetores, escalares e movmento em 2-D
Vetores, Escalares... O que são? Para que servem? Por que aprender?
Escalar Defnção: Escalar Grandea sem dreção assocada. Eemplos: Massa de uma bola, 0.25 g. Tempo para a massa se mover uma dstânca Temperatura (lda no termômetro) Energa de um corpo. Carga elétrca. lgumas grandeas escalares são sempre postvas (massa). Outras podem ter os dos snas.
Defnndo um Vetor... lgumas grandeas não podem ser descrtas por escalares. velocdade, por eemplo, é uma grandea físca em que a dreção do movmento é tão mportante quanto seu valor (magntude). s quantdades descrtas por uma magntude (sempre postva) e uma dreção (sentdo mplícto) são chamadas de VETORES.
Defnndo sua posção em um mapa Você está no ponto do mapa. Deve andar 20 passos na dreção nordeste, até o ponto T. Isto é um vetor! O vetor deslocamento. T * Este vetor é representado por (negrto) ou por. Magntude de é ; ou *
Soma de Vetores soma dos deslocamentos e é dada por um deslocamento R R R R Note que Propredade comutatva...
Soma de Vetores Como somar mas de um vetor? C Note que S C S ( ) C ( C) S S C R S R S R C C
Subtração de Vetores subtração dos vetores e R - (-) R - Um vetor cua resultante é 0 (ero) é chamado vetor nulo (- ) 0 Multplcação por escalar - C 2-0.5 C 2 C - 0.5
Decompondo um vetor O vetor pode ser decomposto em uma soma da forma Se defnmos vetores untáros e podemos escrever onde e são escalares defndos como as componentes do vetor. Os vetores untáros também são conhecdos como versores e podem ser representados por ˆ e ˆ. Logo, ˆ ˆ X
Decompondo um vetor em coordenadas cartesanas θ X Sabendo que senθ / O vetor pode ser decomposto em uma soma da forma cosθ / cosθ senθ
Representação polar s componentes e do vetor. são as chamadas coordenadas cartesanas Podemos anda defnr um outro conunto de coordenadas para descrever um vetor no plano. Estas são as coordenadas polares, dadas pelo módulo do vetor 2 2 e pelo seu ângulo polar como θ tan 1 θ
Soma de vetores usando suas componentes Queremos somar os vetores e C Isto é somar as suas componentes C C ( ) ( ) ou C ( ) ( ) C C C
Produto escalar O produto escalar de dos vetores e é o resultado do produto do comprmento (também chamado de norma ou módulo) de pela proeção escalar de em.. cosθ Geometrcamente, proeta-se na dreção de e multplca-se por. Então, ( cosθ) ou ( cosθ) θ cosθ Note que.. Importante: O produto escalar nos fornece um número, não um vetor.
em termos das componentes cartesanas (em 3 dmensões). Produto escalar ) ( ) ( Devdo à dstrbutvdade do produto escalar, podemos escrevê-lo em termos das suas componentes cartesanas como... 1 e... 0 Mas como teremos
Produto vetoral Defnção; C, cuo módulo é dado por C C sn θ e que tem ) a sua dreção perpendcular ao plano formado por e ; ) o seu módulo gual à área do paralelogramo formado por e. ) e obedece a regra da mão dreta θ θ Note que o produto vetoral não é comutatvo - - C
Produto vetoral Devdo à dstrbutvdade do produto vetoral, podemos escrevê-lo em termos das suas componentes cartesanas como ) ( ) ( 0,, Mas como e teremos ) ( ) ( ) (
Produto vetoral Outra forma de se escrever o produto vetoral de dos vetores e é através do determnante da matr formada pelos untáros, e e pelas componentes cartesanas dos vetores e ao longo das suas lnhas ( ) ( ) ( )
Vetores dependentes do tempo Na naturea há números eemplos de grandeas vetoras que varam no tempo! No momento estamos nteressados nos seguntes eemplos; Posção e deslocamento de um corpo em movmento (b ou tr-dmensonal) Velocdade e aceleração deste corpo ou partícula
Posção e deslocamento traetóra é o camnho percorrdo por um obeto (planeta, cometa, foguete, carro..). Qualquer ponto da traetóra pode ser descrto pelo vetor posção que denotamos por r(t). O deslocamento r entre os pontos r P e r Q é dado por r r Q r P Note que r não depende da orgem e que o vetor deslocamento não nos dá nenhuma nformação sobre a traetóra.
Posção e deslocamento O vetor posção, num plano 2-D ( e, por eemplo) é defndo em termos das suas coordenadas cartesanas por r(t) (t) (t) No caso espacal, 3-D, temos r(t) (t) (t) (t)
O Vetor Deslocamento Um eemplo smples... Um carro anda 3 m para leste e depos 4 m para o norte. Qual o deslocamento resultante e qual sua dreção? Como os deslocamentos formam um trângulo retângulo, podemos encontrar o deslocamento utlando o Teorema de Ptágoras... C 2 2 2 (3 m) 2 (4 m) 2 25 m 2 2 C 25m 5m N 3 m 4m Encontramos o módulo do vetor resultante gora precsamos encontrar sua dreção. Se θ for o ângulo entre o eo leste e o deslocamento, temos que 4 m tgθ 1,33 1 o θ tg 1,33 53,1 3m O deslocamento resultante é de 5 m drgdo a 53,1 o ao norte da dreção leste. θ E
O Vetor Deslocamento Um eemplo smples... Uma pessoa anda 3 m para leste e depos 4 m numa dreção ao norte do leste. Qual o deslocamento resultante? 3 m 0 (4 m) cos 60 0 (4 m)(0,5) 2 m (4 m) sen 60 0 (4 m)(0,866) 3,46 m C 3 m 2 m 5 m C 0 m 3,46 m 3,46 m C C C (5m) (3, 46m) 37m 2 2 2 2 2 2 2 C 37m 6,1m C 3, 46 m tgθ 0,692 C 5m θ tg 0,692 34,7 1 o
O Vetor Velocdade Quando estamos em um carro e este marca 50m/h no velocímetro este valor é o módulo da velocdade naquele nstante. No entanto, este valor não ndca a dreção do movmento. Se a partícula estver num ponto (,), o vetor posção é com orgem em 0 O vetor deslocamento é a varação do vetor posção r r r 2 1 raão entre o vetor deslocamento e o ntervalo de tempo t é o vetor velocdade méda: v m r r t 0 r 1 P 1 em t 1 P 2 em t 2 r s r2
O Vetor Velocdade velocdade méda pode ser escrta em termos de suas componentes r( t t) r( t) r vm t t t t velocdade nstantânea é o lmte do vetor v m quando t tende a ero r( t t) r( t) dr v lm t 0 t dt Neste lmte, podemos escrever d d v ι dt dt ou v v v O r 1 r P 2 P P 1 2 r P 2 r r2
O Vetor Velocdade Outro eemplo smples... componente da velocdade na dreção é dada por: componente da velocdade na dreção é dada por: ssm, o módulo do vetor velocdade méda é E a dreção da velocdade méda é obtda tomando
O Vetor celeração O vetor aceleração méda é defndo como a raão entre a varação do vetor velocdade nstantânea v e o ntervalo de tempo t. v( t t) v( t) v v v am t t t t O vetor aceleração nstantânea, por sua ve, é defndo como o lmte do vetor aceleração méda quando o ntervalo de tempo t tende a ero. a v( t t) v( t) dv lm t 0 t dt
O Vetor celeração Lembrando que v d ( t) r dt, podemos escrever a dv d dr t d r t 2 dt dt dt dt 2 ( ) ( ) Podemos anda escrever o vetor aceleração em termos de suas componentes d v( t) dv dv a dt dt dt a ou a a
Componentes da aceleração Componentes cartesanas Componentes tangencal e perpendcular
O problema nverso Conhecda a aceleração, podemos ntegrá-la e a (t) obter a velocdade, que se ntegrada nos fornece a posção v( t) v0 r ( t) r0 t t t 0 t 0 a( t ) v( t ) dt dt Este processo deve ser efetuado para cada componente cartesana do vetor consderado
O Vetor celeração É mportante observar que o vetor velocdade pode varar em módulo, em dreção, ou em ambos. Se o vetor velocdade varar, de qualquer forma, a partícula sofrerá uma aceleração. Isto sgnfca que uma partícula pode estar em movmento com velocdade de módulo constante (valor constante) e anda assm estar acelerada, se a dreção do vetor velocdade estver se alterando. Um caso especal dessa stuação é o do movmento crcular, que veremos mas a frente.
O Vetor celeração Um eemplo smples... Um carro está vaando a 60 m/h para leste. Entra numa curva e, 5s depos, está vaando para o norte, a 60 m/h. char a aceleração méda do carro. N fgura ao lado mostra os vetores velocdade ncal v1 e velocdade fnal v2. varação em v é dada por v 2 aceleração é dada por O módulo da aceleração méda é v 1 Dados: v 1 60 m/h v 2 60 m/h E Observe que o carro sofre uma aceleração mesmo tendo v constante.
Para o prómo encontro... tenção: Estudem os eemplos dados nesta aula. Refaçam-os no caderno. Estudem, estudem, estudem...