MAT2454 - Cálculo II - POLI - 2 a Lista de Eercícios 2 o semestre de 2004. Calcule os seguintes ites, caso eistam. Se não eistirem, justifique por quê: (a) (b) (c) (d) (e) y 2 + y 2 (f) 2 y cos( 2 + y 2 ) 2 + y 2 (g) 3 + y 3 2 + y 2 (h) 2 y 2 4 + 2 y + y 2 (i) 2 2 + 3y + 4y 2 3 2 + 5y 2 (j) 2 y 4 + y 2 y 3 y 4 sen( 2 + y 2 ) 4 + y 2 ( + y) 3 2 + y 2 2 2 + y 2 sen ( ) y 2 + y 2 2. Verifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justifique: Sejam f(, y) = 2y 2 2 e γ(t) = (t, t). Como + y4 f( γ(t) ) = 0, então f(, y) = 0. t 0 3. Use um computador para esboçar o gráfico da função f(, y) = sen(2 + y 2 ) 2 + y 2 f(, y). e calcule 4. Determine os pontos de continuidade da seguinte função: 2 y 2 ( ) 2 f(, y) = 2 + y 2 ( ) 2 + (y ) 2 se (, y) (0, 0) e (, y) (, ), se (, y) = (0, 0), 0 se (, y) = (, ). 5. Ache as derivadas parciais de primeira ordem das funções: ( y (a) f(, y) = arctan (b) f(, y, z, t) = ) y z t 6. Seja f : R R uma função derivável. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de: (a) u(, y) = f ( ) y (b) u(, y) = f(a + by), onde a e b são constantes. 7. Dada a função f(, y) = ( 2 +y 2 ) 3 2 e sen( 2y), ache (, 0). (Dica: dá menos trabalho usar a definição de derivada parcial como ite do que aplicar as regras de derivação.)
8. Verifique que a função u(, y) = ln 2 + y 2 é solução da equação de Laplace bidimensional 2 u 2 + 2 u 2 = 0. 9. Verifique que a funcão u(, y, z) = ( 2 + y 2 + z 2 ) 2 é solução da equacão de Laplace tridimensional 2 u 2 + 2 u 2 + 2 u z 2 = 0. 0. Sejam f e g funções de R em R, deriváveis até 2 a ordem. (a) Mostre que u(, t) = f( + at) + g( at) satisfaz a equacão 2 u t 2 = a2 2 u 2. (b) Mostre que u(, y) = f( + y) + yg( + y) é solucão da equacão 2 u 2 2 2 + 2 u 2 = 0.. Seja f(, y) uma função de classe C 2 e sejam a, b, c, d constantes tais que a 2 + b 2 =, c 2 + d 2 = e ac + bd = 0. Seja g(u, v) = f(au + bv, cu + dv). Mostre que: 2 g u 2 (u, v) + 2 g v 2 (u, v) = 2 f 2 (au + bv, cu + dv) + 2 f (au + bv, cu + dv). 2 y 2 2. Seja f(, y) = 2 + y 4 se (, y) (0, 0), 0 se (, y) = (0, 0). (a) Mostre que as derivadas parciais e (b) f é contínua em (0,0)? (c) f é diferenciável em (0,0)? 3 3. Seja f(, y) = 2 + y 2 se (, y) (0, 0), 0 se (, y) = (0, 0). (a) Mostre que f é contínua em (0,0). (b) Calcule (0, 0) e (0, 0). (c) É f diferenciável em (0, 0)? (d) São e contínuas em (0, 0)? eistem em todos os pontos. 2
( ) ( 4. Considere f(, y) = 2 + y 2 )sen, (, y) (0, 0), 2 + y 2 0 (, y) = (0, 0). (a) Mostre que f é diferenciável em (0, 0). (b) São contínuas e em (0, 0)? y 2 y 2 5. Seja f(, y) = 2, se (, y) (0, 0), + y2 0 se (, y) = (0, 0). (a) Verifique que (0, y) = y para todo y, e que (, 0) =, para todo. (b) Verifique que 2 f (0, 0) = e que 2 f (0, 0) =. 6. Mostre que não eiste nenhuma função diferenciável f : R 2 R cujo gradiente é dado por: f(, y) = ( 2 y, y 2 ), (, y) R 2 7. Calcule w t e w pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição u seguida de aplicação das regras de derivação parcial. (a) w = 2 + y 2 ; = t 2 + u 2, y = 2tu. (b) w = 2 ; = t cos u, y = tsenu. + y2 (c) w = 2 + y 2 + z; = tu, y = t + u, z = t 2 + u 2. 8. O raio de um cilindro circular está decrescendo à taa de,2cm/s enquanto sua altura está crescendo à taa de 3cm/s. A que taa o volume do cilindro está variando quando o raio vale 80 cm e a altura vale 50 cm? 9. Um carro A está viajando para o norte a 90km/h e um carro B está viajando para o oeste a 80km/h. O carro A está se aproimando e o carro B está se distanciando da intersecção das duas estradas. Em um certo instante, o carro A está a 0,3km da intersecção e o carro B a 0,4km. Neste instante, estão os carros se aproimando ou se distanciando um do outro? A que velocidade? 3
20. Sejam f : R 2 R, diferenciável em R 2, com f( 2, 2) = (a, 4) e g(t) = f(2t 3 4t, t 4 3t). Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa seja paralela à reta y = 2 + 3. 2. Seja f : R 3 R uma função diferenciável em R 3. As derivadas parciais de f nos pontos ( ) da hélice γ(t) = (cos t, sent, t) são: (γ(t)) = cos t, (γ(t)) = sent e γ(t) = z t 2 + t 2. Para t [ π, 2π], em quais pontos da hélice f pode atingir seu máimo? E seu mínimo? 22. (a) Sendo v(r, s) uma função de classe C 2 em R 2, defina u(, t) = v( + ct, ct), onde c é constante. Verifique que: u tt (, t) c 2 u (, t) = w( + ct, ct), onde w(r, s) = 4c 2 v rs (r, s). (b) Mostre que todas as soluções da equação u tt = c 2 u são da forma u(, t) = F ( + ct) + G( ct), onde F e G são funções de R em R. 23. Sendo u(, y) função de classe C 2 em R 2, defina v(r, θ) = u(r cos θ, rsenθ). Verifique que 2 v r 2 + v r r + 2 v r 2 θ 2 = u(r cos θ, rsenθ), onde, por definição, u = u + u yy. 24. (a) Sendo u(, y, z) função de classe C 2, defina v(r, θ, ϕ) = u(rsenθ cos ϕ, rsenθsenϕ, r cos θ). Verifique que Lv = u(rsenθ cos ϕ, rsenθsenϕ, r cos θ), onde, por definição, Lv = [ r 2 senθ ( r 2 v ) + ( senθ v ) + 2 v ] senθ r r θ θ senθ ϕ 2 e u = u + u yy + u zz. (b) Dada a função de uma variável f(r), de classe C 2, mostre que u (, y, z) = f( 2 + y 2 + z 2 ) é harmônica (i.e. satisfaz u = 0) se, e somente se, f (r) + 2 r f (r) = 0. 25. Uma função f : R 2 R é homogênea de grau λ se satisfaz f(t, ty) = t λ f(, y) para todo t > 0, () onde λ é um número real fiado. Suponha que f é uma função de classe C 2 que é homogênea de grau λ. Prove que: 4
(a) + y = λf; (b) 2 2 f 2 + 2y 2 f + y2 2 f = λ(λ )f(, y); 2 (c) As funções e são homogêneas de grau λ. (d) Verifique que as funções abaio são homogêneas e determine o grau: (i) f(, y) = 5 2 + 2y y 2 (ii) f(, y) = e y (iii) f(, y) = Dicas: 3 + y 3. (a) derive () em relação a t e faça t = ; 2 + y 2 (b) derive () duas vezes em relação a t e faça t = ; (c) derive () em relação a e em relação a y. 26. (a) Suponha que a equação F (, y, z) = k (k constante) define implicitamente cada uma das variáveis, y e z como função das outras: z = f(, y), y = g(, z), = h(y, z). Se F é diferenciável e se F, F y e F z são não-nulas, mostre que z z =. (b) Verifique por meio de um cálculo direto a equação acima para os casos particulares: (i) a + by + cz = d, a, b e c não-nulos; (ii) P V = kt, k constante, P, V e T positivos; (iii) 2 + y 2 + z 2 =, (, y, z) no primeiro octante. 27. Seja F (r, s) = G(e rs, r 3 cos(s)), onde G é uma função de classe C 2. (a) Calcule 2 F (r, s) em função das derivadas parciais de G. r2 (b) Determine 2 F G (, 0) sabendo que r2 (t2 +, t + ) = t 2 2t + 3. 28. Ache a equacão do plano tangente e a equacão da reta normal a cada superfície no ponto indicado: 5
(a) z = e 2 +y 2 no ponto (0, 0, ), (b) z = ln(2 + y) no ponto (, 3, 0), (c) z = 2 y 2 no ponto ( 3, 2, 5), (d) z = e ln y no ponto (3,, 0). 29. Determine o plano que passa por (,, 2) e (,, ) e que seja tangente ao gráfico de f(, y) = y. Eiste mesmo só um? 30. Se f(, y) = 2 +4y 2, ache o vetor gradiente f(2, ) e use-o para achar a reta tangente à curva de nível f(, y) = 8 no ponto (2,). Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente. 3. Seja f : R 2 R uma função diferenciável em R 2. Para um determinado ponto P = ( 0, y 0 ) R 2, sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0, y 0, f( 0, y 0 ) ) tem equação 2 + 2y z + 3 = 0. Determine, entre as curvas abaio, uma que não pode ser a curva de nível de f que contém o ponto P : (a) γ(t) = ( t 5 (b) γ(t) = ( t, t ) ; 5, 2t3 3 + 3t (c) γ(t) = (t 2, t 3 + t). ) ; 32. Seja f : R 2 R, f com derivadas parciais contínuas em R 2 e tal que 2 + y + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0, 2, f(0, 2) ). Seja g(u, v) = u f ( sen(u 2 v 3 ), 2u 2 v ). Determine a R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto (,, g(, ) ) seja perpendicular ao plano 4 + 2y + az + 9 = 0. 33. Seja f : R R derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície z = ( ) f passam pela origem. y 34. Seja f : R 2 R uma função diferenciável tal que as imagens das curvas γ(t) = (2t, t 2, t 3 ) e µ(t) = (2, t, t 2 ) estejam contidas no gráfico de f. Determine o gradiente de f no ponto (2, ). 6
35. Considere a função f : R 2 R definida por: 3 + y 3 f(, y) = 2 + y 2 se (, y) (0, 0), 0 se (, y) = (0, 0). (a) Calcule o gradiente de f no ponto (0, 0). (b) Mostre que d dt f( γ(t) ) f ( γ(t) ) γ (t) em t = 0, onde γ(t) = ( t, t). (c) f é diferenciável no ponto (0, 0)? 7
RESPOSTAS. (a) não eiste (f) não eiste (b) 0 (g) não eiste (c) 0 (h) 0 (d) não eiste (i) 0 (e) não eiste (j) 0 2. Falsa. 3.. 4. {(, y) R 2 (, y) (0, 0)}. 5. (a) (, y) = y 2 + y 2 ; (, y) = 2 + y 2. (b) (, y, z, t) = z t ; (, y, z, t) = t z ; (, y, z, t) = y z (z t) 2 ; (, y, z, t) = y t (z t) 2 6. (a) u (, y) = yf ( ) y ; u (, y) = y 2 f ( ). y (b) u (, y) = af (a + by); u (, y) = bf (a + by). 7. -2 2. (b) Não é contínua em (0,0). (c) Não é diferenciável em (0,0). 3. (b) (0, 0) = e (0, 0) = 0. (c) não é diferenciável em (0, 0). (d) nenhuma das derivadas parciais é contínua em (0, 0). 8
4. (b) nenhuma das derivadas parciais é contínua em (0, 0). 8. 9600π cm 3 /s; 9. distanciando-se a uma taa de 0km/h. 20. a = 3. 2. O máimo de f é atingido em γ( ) = ( cos( ), sen( ), ) ou em γ(2π) = (, 0, 2π), e o mínimo é atingido em γ( π) = (, 0, π) ou γ(2) = (cos 2, sen2, 2). 25. (d) (i) grau 2; (ii) grau ; (iii) grau 3 2. 27. (a) 2 F r 2 = s2 e 2rs 2 G 2 + 6r2 e rs s cos s 2 G + 9r4 cos 2 s 2 G 2 + s2 ers G + 6r cos s G ; (b) 0. 28. (a) z = ; X = (0, 0, ) + λ(0, 0, ), λ R. (b) 2 + y z = 0; X = (, 3, 0) + λ(2,, ), λ R. (c) 6 4y + z + 5 = 0; X = ( 3, 2, 5) + λ(6, 4, ), λ R. (d) e 3 y z e 3 = 0; X = (3,, 0) + λ(0, e 3, ), λ R. 29. + 6y 2z 3 = 0 (sim, só um). 30. f(2, ) = (4, 8) e a reta é + 2y 4 = 0. 3. (c). 32. a = 4. 34. ( 2 ), 2. 35. (a) (, ), (c) Não é. 9