Integral Queremos calcular a integral definida I = b a f(x)dx. O valor de I será associado a uma área. Veremos dois métodos (por enquanto) Método do Trapezóide Método de Simpson 1
Método do Trapezóide Uma aproximação para a área sob uma curva complicada pode ser obtida pela substituição da função original por uma mais simples. A linha reta é a função mais simples e essa aproximação leva à regra do trapezóide. 2
Chamando de T 0 a área abaixo da linha reta entre os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), temos T 0 = 1 2 [f(a) + f(b)] (b a) }{{}, (1) x 0 De acordo com a expansão em série de Taylor, ao aproximarmos uma função por uma reta, a ordem de grandeza do erro que estamos cometendo, ou seja, a ordem de grandeza do maior termo desprezado, é dada pela segunda derivada da função, multiplicada por x 2. No caso do integrando, ainda multiplicamos x, então o erro cometido é O( x 3 f ). 3
Certamente o cálculo de I seria bem melhor se tivéssemos dividido o intervalo (b a) em duas partes iguais, levando à construção de dois painéis como na figura (b). Nesta aproximação { } { } 1 1 I T 1 = 2 [f(a) + f 1] x 1 + 2 [f 1 + f(b)] x 1 ou onde (2) T 1 = 1 2 [f(a) + 2f (b a) 1 + f(b)], (3) }{{ 2 } x 1 f 1 = f(x 1 = a + x 1 ) (4) 4
As aproximações de um e dois painéis estão relacionadas: e então T 1 = 1 2 [f(a) + 2f (b a) 1 + f(b)], (5) }{{ 2 } x 1 T 0 = 1 2 [f(a) + f(b)] (b a) }{{} x 0 T 1 = T 0 2 + x 1f 1. (6) Para aumentar a acurácia, dividimos o intervalo em um número ainda maior de painéis. Para n = 2 k painéis temos I T k = x k 2 f(a) + 2 n 1 j=1 f j + f(b), onde x k = (b a)/2 k 5 (7)
onde f j é a função calculada nos pontos internos: f j = f(x = a + j x k ). (8) Dizemos então, que T k é o cálculo de ordem k para I. É claro que quanto maior for o número de painéis, mais próximo de I será a área calculada. Mas como determinar o número de painéis adequado? A melhor maneira é utilizar um critério de convergência. A idéia é, partindo de T 0, calcular consecutivamente T 1, T 2, etc, até que o valor da área tenha atingido a saturação, ou seja, quando a próxima subdivisão trouxer uma melhoria desprezível. Para implementar esse procedimento, o idealé calcular cada ordem em função da anterior, aproveitando o que já foi calculado. Queremos então escrever a equação 7 nos moldes da equação 6, isto é T k em função de T k 1. 6
Vamos substituir k = 2 (n = 2 k = 4 painéis) na equação 7: T k = x k 2 f(a) + 2 n 1 j=1 f j + f(b) T 2 = x 2 2 [f(a) + 2(f 1 + f 2 + f 3 ) + f(b)] Lembrando que x 2 = x 1 /2 T 2 = 1 2 x 1 2 [f(a) + 2(f 1 + f 2 + f 3 ) + f(b)] generalizando: T k = T k 1 2 T 2 = T 1 2 + x 1 2 (f 1 + f 3 ) n 1 + x k j(impar)=1 f(a + j x k ) (9) 7
O procedimento para o uso da (9) é então 1. Calcular T 0 usando a equação (1) 2. Aplicar a equação (9) repetidamente para k = 1, 2, 3... até que a acurácia desejada seja conseguida. O critério para parar a subdivisão em painéis pode ser expresso matematicamente como Se T k T k 1 T k 1 < ε pare. (10) O critério (10) não é o único que determina o fim da subdivisão. De acordo com o Numerical Recipes, não se deve ultrapassar a ordem k = 20 para evitar o acúmulo de erros de arredondamento. Assim a subdivisão deve prosseguir enquanto a convergência não foi atingida e o número de painéis não ultrapassar 2 20. 8
Exercício Copiar o programa trapez.c o qual utiliza a função trapezd do Numerical Recipes para calcular π/2 0 x 2 (x 2 2)sen(x)dx Faça o gráfico da função no gnuplot. Repare que a integral entre esses limites com 1 painel apenas dá um resultado positivo (errado). Entenda o programa e obtenha o resultado. 9
Regra de Simpson regra do trapezóide segmentos de reta para aproximar uma função, regra de Simpson usa segmentos de parábolas Uma parábola genérica pode ser escrita como y(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 A área sob a parábola, desde x = a até x = b, é b ( ) b a A = y(x)dx = [6c 0 + 3c 1 (b + a) + 2c 2 (b 2 + ab + a 2 )], (11) 6 a ou, escrevendo em termos de y(x), A = 1 ( ) [ ( ) b a a + b y(a) + 4y 3 2 2 10 ] + y(b). (12)
A área sob uma parábola genérica pode ser escrita em termos do valor da parábola nos extremos e no centro do intervalo. Usaremos a expressão (11) para calcular a área sob uma curva qualquer f(x), aproximando f(x), no respectivo intervalo, por uma parábola cujos coeficientes foram determinados de forma a que esta passe pelos pontos extremos do intervalo e pelo ponto central 11
Como o método de Simpson leva em conta a curvatura, precisamos de pelo menos 3 pontos, ou dois painéis para iniciar o cálculo da integral. Adotando uma notação análoga à que usamos na regra do trapezóide, A ( última equação A = 1 b a ) [ ( 3 2 y(a) + 4y a+b ) ] 2 + y(b) pode ser escrita como I = b a f(x)dx S 1 = 1 3 x 1 [f(a) + 4f 1 + f(b)] Como no caso da regra do trapezóide, podemos dividir o intervalo de integração em n = 4(= 2 k=2 ) painéis e obtemos S 2 da seguinte forma: S 2 = 1 3 x 2 [f(a) + 4f 1 + f 2 ] + 1 3 x 2 [ f2 + 4f 3 + f ( b) ] = S 2 = 1 3 x 2 [f(a) + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + f(b)] 12
generalizando esta última para n painéis S 2 = 1 3 x 2 [f(a) + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + f(b)] S k = x k 3 f(a) + 4 n 1 j(impar)=1 f(a + j x k ) + 2 n 2 i(par)=2 f(a + i x k ) + f(b) +O( (13) A computação da integral pela regra do trapezóide ou pela de Simpson envolve as mesmas grandezas e os dois resultados podem ser relacionados S k = T k + T k T k 1 3 O critério de convergência (10) pode ser igualmente aplicado:. (14) 13
Enquanto k < KMAX, KMAX = 20, Se S k S k 1 S k 1 < ε pare. (15) Exercício Modifique o seu programa para calcular a integral usando o método de Simpson também. 14
Cálculo do Período do Pêndulo Simples para Qualquer Amplitude de Oscilação mglsenθ = ml 2 θ θ = g l senθ Não é muito simples de resolver e costumamos resolver apenas para pequenas oscilações (θ π/2) l cuja solução é θ = g l θ, (16) m onde ω = ( g l θ = θ m cos(ωt + α), (17) ) 1/2, (18) e θ m e α são constantes arbitrárias que determinam a amplitude e a fase da oscilação. Nesta aproximação a freqüência é independente da amplitude. 15
Para resolver o problema sem a restrição de pequena amplitude, vamos utilizar a integral que dá a energia total do sistema. A energia potencial da massa m quando esta se encontra com um deslocamento angular θ é dada por V (θ) = mgl cos θ onde estipulamos V (π/2) = 0. A energia total é então E = 1 2 ml2 θ2 mgl cos θ. (19) ( E mgl + cos θ = l θ 2 2g ) 1/2 ( E mgl + cos θ = ( 2g l l 2g ) 1/2 dθ dt ) 1/2 dt = dθ E mgl +cos θ ( ) 1/2 2g θ (t t 0 ) = l θ 0 dθ 16 (20) E mgl + cos θ
Vamos considerar apenas o movimento oscilatório (E < mgl). Já que θ = 0 para θ = θ m, podemos escrever a energia E em função da amplitude do movimento como E = mgl cos θ m. (21) Definimos a variável ϕ, que varre o intervalo entre 0 e 2π para um ciclo de oscilação de θ como onde sen ϕ sen θ/2 sen θ m /2 = 1 a sen θ 2, (22) a = sen θ m 2. (23) Substituindo (21) em (20), fazendo t 0 = 0 e usando a nova variável ϕ, podemos mostrar que (20) pode ser reescrita como ϕ 0 dϕ (1 a 2 sen 2 ϕ ) 1/2 = ( g l 17 ) 1/2 t. (24)
De acordo com a = sen θ m 2, o limite para pequenas oscilações corresponde a um valor de a pequeno, e pode ser obtido através da expansão do integrando em uma série de potências de a 2. Fazendo essa expansão e integrando termo a termo obtemos ϕ + 1 8 a2 (2ϕ sen 2ϕ) + = O período τ do movimentoé encontrado fazendo-se ϕ = 2π: τ = 2π ( g l ) 1/2 t. (25) ( ) 1/2 ) l (1 + a2 g 4 +. (26) Numa aproximação de ordem zero em a 2, obtemos o já conhecido período do movimento harmônico do pêndulo simples (τ 0 = 2π (l/g) 1/2 ). A primeira correção a essa expressão indica que, para uma amplitude de oscilação qualquer, o período depende da amplitude. 18
Tarefa 1. Use o gnuplot para observar o comportamento do integrando em (24) para um dado valor de a. Analise a sua simetria e explique porque se escolhemos os limites de integração como 0 e 2π, e usamos o critério de convergência < ε, obtemos um resultado errado pela T k T k 1 T k 1 regra do trapezóide. Considere g/l = 1s 2. 2. Use o método de Simpson para calcular numericamente o período de oscilação através da equação (24) para diversos valores de a (0.1 < a < 0.9). Use ε = 10 5 no critério de convergência. O integrando deve ser definido em uma função própria. Indique quantos intervalos foram utilizados no cálculo. 3. Compare o período calculado numericamente (pelo método de Simpson) com o calculado analiticamente com o uso da equação (26). Verifique a partir de que valor de amplitude a primeira correção a τ 0 é 19
relevante, considerando que o valor numérico obtido pela integração é o real. (Dica: faça seu programa escrever uma tabela com colunas correspondendo às expressões usadas para calcular o período). 4. Escreva seu relatório usando L A TEX. Ele deve conter no mínimo: (a) Uma explicação resumida dos métodos do trapezóide e de Simpson para integração numérica. (b) Uma explicação resumida do problema que se deseja resolver incluindo a expressão para a integral (24) e para a expansão (26). (c) O gráfico pedido no primeiro item e a resposta a este item. (d) A tabela pedida no item 3. 20
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