E.E. Dona ntônia Valadares MTEMÁTIC 1º NO TEORI DOS CONJUNTOS PROFESSOR: LEXSNDRO DE SOUS http://donaantoniavaladares.comunidades.net
Conjuntos: Não existe uma definição formalizada do que vem a ser um conjunto. O que temos é uma ideia ou uma noção do que vem a ser um conjunto. De uma maneira geral, temos que um conjunto é tudo aquilo que nos dá uma ideia de lista,coleção, agrupamento ou classe de objetos bem definidos Objetos: Qualquer coisa: números, pessoas, letras, rios, etc.... Elementos ou membros de um conjunto
Elementos e Conjuntos Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto.
Elementos e Conjuntos Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto.
Exemplo 1. Os números 1, 3, 7 e 10 2. s vogais do alfabeto: a, e, i, o e u 3. s pessoas que habitam a Terra 4. Os alunos que faltaram à aula 5. Os times de futebol do estado de Minas Gerais 6. Os números 2, 4, 6, 8,...
Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma classe torcem: rasiliense, Gama, Ceilândia finito Conjunto dos dias em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira finito Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8... infinito
Notação: Conjuntos: Letras maiúsculas:,, X, Y,... Prof. lexsandro de Sousa Elementos: Letras minúsculas: a, b, c, d... Por Extensão, Tabular ou Enumerativa: Descrição pela citação dos elementos: Por Propriedade Característica: = { x I x é uma pessoa que habita a Terra } Representamos o conjunto através de uma propriedade = { x I x é um rio do rasil } característica de seus X = { x I x é um número primo positivo } elementos. V { x x é vogal} S { x R5x 10 0}
Diagrama de Euler - Venn: a e o u i 1 3 7 10
Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10} 2 M 5 M... se lê 2 pertenece ao conjunto M... se lê 5 não pertenece ao conjunto M
a b e a pertence ao conjunto b NÃO pertence ao conjunto w 2 X X = { x I x é um número primo positivo } 8 X 13 X 1 X 1 Não é um número primo
CONJUNTO VZIO: É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { } = ou = { } se lê: é o conjunto vazio ou é o conjunto nulo Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } 1 P = { x / 0 } X
CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um só elemento. Exemplos: 2 x / x 4 x 0 F = { x / 2x + 6 = 0 } G = ; CONJUNTO FINITO É o conjunto com limitado número de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x 2 = 4 }
CONJUNTO INFINITO É o conjunto com ilimitado número de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par } CONJUNTO UNIVERSL É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U Exemplo: de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS.
INCLUSÃO Um conjunto está incluso em outro conjunto, se e somente se, todo elemento de for também elemento de. NOTÇÃO : Se lê : está incluso em, é subconjunto de, está contido em, é parte de. REPRESENTÇÃO GRÁFIC :
PROPRIEDDES: I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. II) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. III) está incluido em ( que contém ( ) ) equivale a dizer IV) Se não está incluido em ou não é subconjunto de significa que pelo menos um elemento de não pertence a. ( ) V) Simbolicamente: x x
Conjuntos Iguais : Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos Ex: = { a, b, c, d, e } = { a, b, c, d, e } = = { 1, 2, 3, 4 } = { 3, 1, 4, 2 } = C = { 5, 6, 5, 7 } D = { 7, 5, 7, 6 } C = D 1 5 9 7 10 1 5 8 7 10
Subconjuntos : é subconjunto de se cada elemento do conjunto é também elemento do conjunto. é subconjunto de U 7 9 10 1 5 é subconjunto de está contido em contém
U d c a b é subconjunto de está contido em e contém C = { 5, 6, 3, 2 } D = { 3, 5, 7, 6 } C não é subconjunto de D C não está contido em D
Subconjuntos {2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9} {6, 9, 6, 5} {9, 6} {2, 8} {2, 8}
Conjunto das Partes: Chamamos de conjunto das Partes do conjunto e representamos por P(), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto. Escrever todos os subconjuntos do conjunto = {0, 5, 7, 9}. -Subconjunto com nenhum elemento: -Subconjuntos com um elemento: {0}; {5}; {7}; {9} -Subconjuntos com dois elementos: {0,5}; {0,7}; {0,9}; {5,7}; {5,9}; {7;9} -Subconjuntos com três elementos: {0,5,7}; {0,5,9}; {0,7,9}; {5,7,9} -Subconjuntos com quatro elementos: {0,5,7,9} O número total de subconjuntos é igual a 16.
O conjunto unão que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a, a ou a ambos os conjuntos. Exemplo: ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e = {5, 6, 7, 8, 9} 1 3 2 4 7 5 6 7 5 6 8 9 1;2;3;4;5;6;7;8;9 x / x x
Diagramas de Venn representativos da união entre e. logo, logo,
O conjunto intersecção que se representa o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a e pertencem a. Exemplo: ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e = {5, 6, 7, 8, 9} é 3 1 4 2 7 5 6 7 5 6 8 9 5;6;7 x / x x
Diagramas de Venn representativos da intersecção entre e. logo, logo,
O conjunto menos que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a e não pertencem a. Exemplo: ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e = {5, 6, 7, 8, 9} 3 1 4 2 7 5 6 7 5 6 8 9 1;2;3;4 x / x x
Prof. lexsandro de Sousa O conjunto menos que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a e não pertencem a. Exemplo: ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e = {5, 6, 7, 8, 9} 3 1 4 2 7 5 6 7 5 6 8 9 8;9 x / x x
Diagramas de Venn representativos de -. log o, Diagramas de Venn representativos de -. log o,
Complementar: MTEMÁTIC Prof. lexsandro de Sousa Sejam dois conjuntos e tais que, chama se complementar de em relação a ao conunto. C, se Exemplo: {0, 2, 4, 6, 7, 8} {4, 6, 7} C {0, 2, 8}
Prof. lexsandro de Sousa Diagrama de Venn para C
MTEMÁTIC Prof. lexsandro de Sousa Problemas Envolvendo Conjuntos. Exemplos: s provas de recuperação em matemática e física de uma escola foram feitas no mesmo dia e durante a prova, observou-se a presença de 42 alunos. Sabendo-se que 25 alunos fizeram a prova de matemática e 32 fizeram a de física, determine: a) O número de alunos que fizeram as duas provas; b) O número de alunos que fizeram apenas a prova de matemática; c) O número de alunos que fizeram apenas a prova de física.
Numa pesquisa sobre a qualidade dos serviços oferecidos pelas MTEMÁTIC Prof. lexsandro de Sousa empresas de fornecimento de água (), energia elétrica (E) e TV por assinatura (T) de um bairro, obteve-se um grande número de reclamações. tabela a seguir expressa o número de reclamações de 300 entrevistados durante a pesquisa. Com base na tabela, determine: a) O número de pessoas que não reclamaram de nenhum serviço; b) O número de entrevistados que reclamaram apenas do serviço oferecido pela empresa de fornecimento de água; c) O número de entrevistados que reclamaram de apenas um serviço; d) O número de entrevistados que reclamaram de pelo menos dois serviços.