Métodos Numéricos Métodos de Newto Professor Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei
Poliomil Revisão No eemplo só se cohece fução pr 5 vlores de - ós de iterpolção Desej-se cohecer o vlor d fução em potos itermediários
Poliomil Revisão poliomil cosiste em se oter um poliômio p ( que psse por todos os + potos { i,f( i } ddos, isto é: p ( =f( p ( =f( (Equção p ( =f( ( + potos 3
p ( é deomido de poliômio iterpoldor f p f p f p... f p 4 Poliomil Revisão
Poliomil Forms Revisão Há um vriedde de forms mtemátics em que o poliômio pode ser epresso. Estudremos somete dus forms:. o poliômio de Lgrge (Ruggiero, seção 5.3. (já estuddo. o poliômio de Newto (Ruggiero, seção 5.3.3 5
Form de Newto 6
Form de Newto Form Gerl Sej um cojuto de + potos { i,f( i }. Ecotrr um poliômio iterpoldor p ( que stisfç Equção (, isto é, psse por todos os potos. A form gerl pr + potos é p (...... Tmém deomido de Difereçs Dividids 7
Form de Newto Form gerl de ª ordem Form lier ( =. Cohecedo potos: (, f( e (, f(. p(...... p( ( ode f( f( f( y (,f( y=p ( (,f( 8
Form de Newto Form gerl de ª ordem Form qudrátic (=. Cohecedo 3 potos: (, f(, (, f(, (, f(. p(...... p( ( (( ode y (,f( (,f( f( f( f( f( f( f( f( (,f( y=p ( 9
( ( ( f( f( f( f( ( ( ( f( f( f( f( f( ( ( ( ( f( (f( ( ( f( (f( ( ( f( f( ( f( f( ( ( ( ( f( (f( ( f( (f( f( (f( ( ( f( (f( ( ( ( ( f( (f( ( ( f( f( f( (f( Form de Newto Form gerl de ª ordem dedução de ( ( ( f(
Form de Newto Otedo form gerl de ª ordem ( ( ( p p ( ode f f[ f[ f(,, ], f f ] f[,] f[, ] f( f( f( f( Difereçs Dividids (Difereçs Dividids Fiits rescrevedo p ( f[ ] f[, ]( f[,, ]( (
Form de Newto Otedo form gerl Ddos + potos. p ( (... ( (...( ode f[ f[ f[ f[ ] f(,,, ], ],..., f[] f[ f[ ],] f[ f[ ],, ],...,] f[,,..., ] Ordem zero Ordem Ordem Ordem
Form de Newto Método prático pr oter form de 3ª ordem Ddos 4 potos. p3( f[] f[,]( f[,,](( f[,,,3]((( f( f[,] f( f[,,] f[,] 3 f[3,,,] f( f[3,,] 3 f( 3 f[3,] http://umericlmethods.eg.usf.edu Difereçs Dividids 3
Ddos 4 potos. Form de Newto Eemplo 3ª ordem Profudidde z (m ( Tempertur T ( o C (y -9 9,9-8,7-7 7,6-6 8, T(z (zz (zz(zz 3(zz(zz(zz z 9, 9,9,8 z 8,,7,5 3 5,9,5667 z 7, 7,6,65,6 Difereçs Dividids z 3 6, 8, http://umericlmethods.eg.usf.edu 9,9,8,5 3,5667 cotiu... 4
Form de Newto Eemplo 3ª ordem... cotiução T(z (zz (zz(zz 3(zz(zz(zz 9,9 T(z,8,5,5667 (zz (zz(zz 3(zz(zz(zz 9,9,8(z 9,5(z 9(z 8,5667(z 9(z 8(z 7, 9 z 6 z 65,9 6,58z 35,55z,5667z, 9 z 6 T 3 Pr z 7,5, T 7,5 9,9,8 7,5 9,5 7,5 9 7,5 8 o,5667 7,5 9 7,5 8 7,5 7 4,75 C... Cotiução INCLUIR GRAU DO PLINOMIO O erro otido etre os resultdos dos poliômios de º e 3º grus é 4,75 4,38 3,9898% http://umericlmethods.eg.usf.edu 4,75 cotiu... 5
Form de Newto Eemplo 3ª ordem... cotiução Tel de erros pr z = -7,5 m Gru do Poliômio 3 T(-7,5 4,65 4,38 4,75 Erro Asoluto Reltivo Aproimdo ---------- 3,65 % 3,9898 % http://umericlmethods.eg.usf.edu 6
Form de Newto Eemplo 3ª ordem Ddos 4 potos. Tempertur Cocetrção T ( o C ( Cp(T (y 4 479 5 486 8 499 47 Cp(T (T T (T T (T T 3(T T (T T (T T T 4, 479 T 5, 486,7,43333 T 8, 499,86 Difereçs Dividids 3 6,6667 3 T 3, 47 http://umericlmethods.eg.usf.edu 3,849 4 479,7 3 6,6667 3 3,849 4 cotiu... 7
Form de Newto Eemplo 3ª ordem... cotiução Cp(T (T T (T T (T T 3(T T (T T (T T 479,7 3 6,6667 3 3,849 4 Cp(T (T T (T T (T T 3(T T (T T (T T Pr T 6, O erro 479,7(T 4 6,6667 3,849 C p 3,849 4 3 (T 4(T 5 T 4T 5T 84 T (6 479,7(6 4 6,6667 4 6 46 56 8 3 (6 4(6 5 J 49, kg otido etre os resultdos dos poliômios de º e 3º grus é 49, 49,,795% http://umericlmethods.eg.usf.edu 49, C cotiu... 8
Form de Newto Eemplo 3ª ordem... cotiução Tel de erros pr T = 6 Gru do Poliômio 3 C p 6 489, 9 49, 49, Erro Asoluto Reltivo Aproimdo ----------,363 %,795 % http://umericlmethods.eg.usf.edu cotiu... 9
Form de Newto Eemplo Diferetes Grus/Ordes... cotiução gru gru gru 3 6 o C
Ddos 5 potos. Form de Newto Eemplo 3 4ª ordem y 3 3 5 4 4 3 4 = y= (3-/(-= (--/(-=-3/ ( - -3//(3-=7/6 (-4/3 7/6/(4-=-5/8 = y=3 (-3/(-=- (3 - -/(3-= (--/(4-=-4/3 = y= (5-/(3-=3 (--3/(4-=- =3 y=5 (4-5/(4-3=- =4 y=4 Difereçs Dividids cotiu...
Form de Newto Eemplo 3 4ª ordem... cotiução y( ( (( 3((( 4((((3 3 7 3 6 5 4 8 y y p 4 3 4 p ( 4 3 7 5 ( ( ( (( (( ( 3 6 8 5 95 8 59 5 8 cotiu...
Form de Newto Eemplo 3 4ª ordem... cotiução y 5 95 8 59 3 4 p ( 5 8 4 cotiu... 3
Form de Newto Eemplo 3 Diferetes Grus/Ordes... cotiução gru 3 gru gru 4 gru 4
Erros Poliomil 5
Erros Poliomil Sim, proimdo!!!, ms o que é um o proimção? É evidete que um o proimção deve ser tl que o erro etre verddeir fução e fução proimção deve ser muito pequeo. Além disso, fução proimd deve ter s seguites proprieddes:. A fução deve ser fácil de determir. Deve ser fácil de diferecir 3. Deve ser fácil de vlir 4. Deve ser fácil de itegrr 6
Erros Poliomil poliomil pode levr grdes erros (especilmete pr poliômios de lto gru..5 poliômio th order iterpoltig iterpoldor polyomil de gru.5 Verddeir true fuctio fução -.5-5 -4-3 - - 3 4 5 7
Erros Poliomil Teorem Qudo um poliômio de iterpolção de -ésimo gru é usdo, o erro está relciodo com (--ésim derivd. Teorem Sej f( um fução tl que f ( ( é cotíu em, e f ( ( M. Sej p qulquer poliômio de potos igulmete espçdos em gru, iterpoldor de f (icluido os potos em etremos. Etão : Fzedo h f(-p( Erro Erro Mh 4 M 4( tome M m f, ( ( 8
Erros Poliomil Teorem Eemplo Eemplo Supoh que temos potos com igul espçmeto o itervlo [,6875] e que desejmos justr um poliômio de gru 9 estes potos (p 9 (. Y,,8447,7639,885,578,939,97,94,3556,9653,3894,98,45833,99368,5347,99935,6,9999,6875,993 cotiu... 9
Erros Poliomil Teorem Eemplo... cotiução Eemplo Usdo s difereçs dividids pr determir o poliômio p 9 ( p 9 ( =,8447 +,57658748658(- + (-,43955638439697(-(-,7639 + + (-,7856697573(-(-,7639(-,578 + +,7346549385689(-(-,7639(-,578(-,97 + + (-,547574398845(-(-,7639(-,578(-,97(-,3556 + +,4883693358936(-(-,7639(-,578(-,97(-,3556(-,3894 + + (-,533995558(-(-,7639(-,578(-,97(-,3556(-,3894(-,45833 + +,99696494467(-(-,7639(-,578(-,97(-,3556(-,3894(-,45833(-,5347 + +,73469988434(-(-,7639(-,578(-,97(-,3556(-,3894(-,45833......(-,5347(-,6 http://www.mth.ucl.edu/~romiech/yan/divdiff.html cotiu... 3
Erros Poliomil Teorem Eemplo... cotiução Eemplo Gráfico de p 9 (, se( e os potos oservdos. f( p 9 ( f( = se( cotiu... 3
Erros Poliomil Teorem Eemplo... cotiução Eemplo Gráfico de p 9 (, se( e os potos oservdos. f( p 9 ( f( = se( cotiu... 3
Erros Poliomil Teorem Eemplo... cotiução Eemplo Supohmos que verddeir fução sej f( = se(. f ( pr f(-p 9 ( M 4( M, 9 f 9 -p f p,34 9 M 4( O mior erro etre o vlor clculdo prtir de p 9 ( e se( é,34-9. 9,6875 4( 9 33
Poliomil Sumário O poliômio iterpoldor é úico. Diferetes métodos podem ser usdos pr oter o poliômio iterpoldor. Método de Newto (Newto s divided differece Método de Lgrge Outros O poliômio iterpoldor pode ser sesível os ddos. Sejmos cuiddosos, qudo poliômios de lto gru são usdos. 34
Poliomil Sites Iteresstes http://m.mthforcollege.com/topics/ewto_divided_differece_method.html http://m.mthforcollege.com/topics/lgrge_method.html http://m.mthforcollege.com/topics/direct_method.html http://www.iitg.c.i/krth/ce6/lectureslides.htm http://phet.colordo.edu/pt_br/simultio/projectile-motio http://fculty.kfupm.edu.s/coe/mudwr/cise3/lectures/ide.htm http://www.mth.ucl.edu/~romiech/yan/divdiff.html 35