Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Resolver os exercícios 45, 4, 47, 46 e 49 das páginas 5 a 57 45. Considere as funções f e g definidas por 45.. Determinemos os zeros e o mínimo de f. Comecemos por determinar os zeros de f f(x) = x 6x e g(x) = f(x) +. f(x) = 0 x 6x = 0 x(x 6) = 0 x = 0 x 6 = 0 x = 0 x = 6 O mínimo é f(3) = 3 6 3 = 9 8 = 9 45.. Representemos graficamente as funções f e g 45.. Indiquemos as da parábola representativa da função g. Podemos obter o gráfico da função g através de uma translação do gráfico de f associada ao vector ( 0, ), devido a esse facto o eixo de simetria é x = 3, e a abcissa do vértice 3. A ordenada do vértice é g(3) = f(3) + = 9 + = 7. As da parábola do gráfico de g são V ( 3, 7). 4. Consideremos a função f definida por encontra representada graficamente na figura. f(x) = x + x e que se 4.. Determinemos as coordenadas de A e B Como as abcissas de A e de B são os zeros da função vamos calculá-los: ± ± f(x) = 0 x + x = 0 x = x = x = x = 4 ( ) 9 Então A(,0) e B(,0). 4.. Calculemos a área do triângulo: 4... [ ABC ] Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/00
Como OC = f(0) = 0 + 0 = e AB = ( ) = 3 AB OC 3 A área pedida é A[ ABC] = = = 3 4... [ ABV ] Para determinar a área pedida necessitamos da ordenada do vértice. Os zeros da função são e pelo que a abcissa o vértice é A ordenada do vértice é 9 3 AB h 7 Á área pedida é A 4 [ ABV] = = = 8 8 9 f( ) = + = = = 4 4 4 4.3. Determinemos o e escrevamos uma equação do eixo de simetria. Como vimos na alínea anterior as são 9 V, 4 9 Então D =, + 4 simetria é x = porque a concavidade está virada para cima e a equação do eixo de 47. r a função definida por r(x) = x + 8x 47.. Determinemos as da parábola representativa da função r. Para facilitar o cálculo vamos considerar a função zeros. f(x) = x + 8x e determinar os seus f(x) = 0 x + 8x = 0 x(x 4) = 0 x = 0 x 4 = 0 x = 0 x = 4 Assim, a abcissa do vértice das duas funções é 0 + 4 = Como r() = + 8 = 8 + 6 = 7 então V (,7 ) 47.. Indique o de g A concavidade da parábola está voltada para baixo e V (,7 ) então D = ],7] 47.3. Indique um intervalo onde a função é crescente A função é crescente no intervalo ],] 46. Consideremos as funções quadráticas: y = x 6x, y = x + x +, y = 3x + x, y = x 5x e x y = + 3 Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/00
Para cada função, determinemos: 46.. as da parábola associada à função; 46.. O eixo de simetria 46.3. O y = x 6x x 6x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x 3 = 0 x = 0 x = 3 0 + 3 3 h = = e 3 3 3 9 8 9 k = y = 6 = = 3 9 eixo de simetria 3 x = 9 D =, + y = x + x + ( ) + = + = = = x x 0 x x 0 x 0 x 0 + h = = e ( ) V (, ) eixo de simetria x = ],] k = y = + + = y = 3x + x Utilizando o zoom decimal obtemos A função não tem zeros. Para determinar as vamos considerar a função y 3x x = +. (porque as abcissas dos vértices das parábolas representativas dos gráficos das duas funções são iguais). Comecemos por determinar os zeros desta função = + = + = = + = = = 3 y 0 3x x 0 x( 3x ) 0 x 0 ( 3x ) 0 x 0 x Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 009/00
+ 0 3 h = = e 6 k = y = 3 + = 6 6 6 6 eixo de simetria x = 6, y = x 5x ( ) x 5x = 0 x x 5 = 0 x = 0 x = 5 5 + 0 h = e 5 5 5 33 k = y = 5 = 4 5 eixo de simetria x = 5 33 4 33, + 4 x y = + 3 A função não tem zeros V ( 0,3 ) eixo de simetria x = 0 [ 3,+ [ 49. Uma bola é lançada na vertical de baixo para cima. A altura h, em metros, a que se encontra do solo, t segundos após o lançamento é dada por 49.. A altura inicial da bola é h(t) = 5t + 30t + h(0) = 5 0 + 30 0 + = metro 49.. h() = 5 + 30 + = 4 metros e significa que no fim de segundos a bola situava-se a 4 metros do solo. 49.3. A altura máxima da bola é 46 m porque Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 009/00
Consideremos a função f(t) = 5t + 30t e determinemos os seus zeros f(t) = 0 5t + 30t = 0 5t(t 6) = 0 t = 0 t = 6 Obtemos uma altura máxima quando x = 3 que é h(3) = 5 3 + 30 3 + = 46. 49.4. A bola encontra-se a mais de 6 metros de altura durante 4 segundos 49.5. A bola atingiu o solo ao final de 6 segundos, aproximadamente. Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 009/00