3 - Subespaços Vetoriais Laura Goulart UESB 16 de Agosto de 2018 Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 1 / 10
Denição Um subespaço vetorial é um subconjunto de um e.v.r. que ele próprio é também um e.v.r. com as operações "herdadas do espaço vetorial inicial. Assim, os elementos do subespaço vetorial já satisfazem os axiomas V1 até V8; bastando vericar que tal subconjunto seja fechado em relação à soma e a multiplicação por escalar. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 2 / 10
Denição Um subespaço vetorial é um subconjunto de um e.v.r. que ele próprio é também um e.v.r. com as operações "herdadas do espaço vetorial inicial. Assim, os elementos do subespaço vetorial já satisfazem os axiomas V1 até V8; bastando vericar que tal subconjunto seja fechado em relação à soma e a multiplicação por escalar. Teorema (3.1) Seja V um e.v.r. e considere W V subespaço de V sse: (i) O W. (ii) (iii) u, v W u + v W α R, u W αu W não vazio. Então, W é um Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 2 / 10
Corolário (3.1.1) W é um subespaço de V sse: (i) 0 W (ii) u, v W e α R αu + v W Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 3 / 10
Exemplos 3.1) Todo e.v.r. admite pelo menos dois subespaços: o subespaço nulo W = {0} e o próprio espaço vetorial W = V. Esses subespaços são ditos subespaços triviais. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 4 / 10
Exemplos 3.1) Todo e.v.r. admite pelo menos dois subespaços: o subespaço nulo W = {0} e o próprio espaço vetorial W = V. Esses subespaços são ditos subespaços triviais. 3.2) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} é um subespaço de R 2 Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 4 / 10
Exemplos 3.1) Todo e.v.r. admite pelo menos dois subespaços: o subespaço nulo W = {0} e o próprio espaço vetorial W = V. Esses subespaços são ditos subespaços triviais. 3.2) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} é um subespaço de R 2 3.3) W = {(x, y) R 2 /x = k(k 0)} é um subespaço de R 2? Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 4 / 10
Exemplos 3.1) Todo e.v.r. admite pelo menos dois subespaços: o subespaço nulo W = {0} e o próprio espaço vetorial W = V. Esses subespaços são ditos subespaços triviais. 3.2) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} é um subespaço de R 2 3.3) W = {(x, y) R 2 /x = k(k 0)} é um subespaço de R 2? 3.4) W = {(x, y) R 2 /y = x 2 } é um subespaço de R 2? Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 4 / 10
Exemplos 3.1) Todo e.v.r. admite pelo menos dois subespaços: o subespaço nulo W = {0} e o próprio espaço vetorial W = V. Esses subespaços são ditos subespaços triviais. 3.2) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} é um subespaço de R 2 3.3) W = {(x, y) R 2 /x = k(k 0)} é um subespaço de R 2? 3.4) W = {(x, y) R 2 /y = x 2 } é um subespaço de R 2? 3.5) W = {(x, y, z) R 3 /x = 0 e y 3z = 0} é um subespaço do R 3. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 4 / 10
Exemplos 3.1) Todo e.v.r. admite pelo menos dois subespaços: o subespaço nulo W = {0} e o próprio espaço vetorial W = V. Esses subespaços são ditos subespaços triviais. 3.2) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} é um subespaço de R 2 3.3) W = {(x, y) R 2 /x = k(k 0)} é um subespaço de R 2? 3.4) W = {(x, y) R 2 /y = x 2 } é um subespaço de R 2? 3.5) W = {(x, y, z) R 3 /x = 0 e y 3z = 0} é um subespaço do R 3. 3.6) W = {A M 2 3(R)/a 13 = a 12 a 23 } é subespaço de M 2 3(R). Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 4 / 10
Exemplos 3.7) W = {A M 2 (R)/A é anti-simétrica } é subespaço de M 2 (R). Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 5 / 10
Exemplos 3.7) W = {A M 2 (R)/A é anti-simétrica } é subespaço de M 2 (R). 3.8) W = {at 2 + bt + c P 2 (R)/c = 2a 3b} é um subespaço de P 2 (R). Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 5 / 10
Exemplos 3.7) W = {A M 2 (R)/A é anti-simétrica } é subespaço de M 2 (R). 3.8) W = {at 2 + bt + c P 2 (R)/c = 2a 3b} é um subespaço de P 2 (R). 3.9) W = {f C[0, 1]/f ( 1 2) = 0} é um subespaço de C[0, 1]. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 5 / 10
4 - Subespaços gerados Seja V um e.v.r. e considere S V conjunto: não vazio. Considere o seguinte [S] = {α 1 v 1 +... + α n v n /α i R e v i S para i = 1,..., n}. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 6 / 10
4 - Subespaços gerados Seja V um e.v.r. e considere S V conjunto: não vazio. Considere o seguinte [S] = {α 1 v 1 +... + α n v n /α i R e v i S para i = 1,..., n}. Proposição (4.1) [S] é um subespaço vetorial de v chamado de subespaço gerado por S e os seus elementos são ditos combinação linear dos vetores v 1,..., v n. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 6 / 10
Propriedades SG1) Por convenção, [ ] = {0}. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 7 / 10
Propriedades SG1) Por convenção, [ ] = {0}. SG2) S [S] e S 1 S 2 [S 1 ] [S 2 ]. (trivial) Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 7 / 10
Propriedades SG1) Por convenção, [ ] = {0}. SG2) SG3) S [S] e S 1 S 2 [S 1 ] [S 2 ]. (trivial) [S] é o menor subespaço que contém S, ie, qualquer outro subespaço W que contém S teremos [S] W. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 7 / 10
Propriedades SG1) Por convenção, [ ] = {0}. SG2) SG3) S [S] e S 1 S 2 [S 1 ] [S 2 ]. (trivial) [S] é o menor subespaço que contém S, ie, qualquer outro subespaço W que contém S teremos [S] W. Como consequência temos que se para qualquer subespaço W, existirá vetores v 1,..., v n V, chamados de geradores de W, tais que [v 1,..., v n ] = W. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 7 / 10
Propriedades SG1) Por convenção, [ ] = {0}. SG2) SG3) S [S] e S 1 S 2 [S 1 ] [S 2 ]. (trivial) [S] é o menor subespaço que contém S, ie, qualquer outro subespaço W que contém S teremos [S] W. Como consequência temos que se para qualquer subespaço W, existirá vetores v 1,..., v n V, chamados de geradores de W, tais que [v 1,..., v n ] = W. SG4) Seja S = {v 1,..., v n } V e suponha que v j [S {v j }] para algum v j S, então [S] = [S {v j }]. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 7 / 10
Exemplos 4.1) Tome S = {( 1, 2, 3); ( 1, 1, 2); (1, 0, 1)} e ache [S]. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 8 / 10
Exemplos 4.1) Tome S = {( 1, 2, 3); ( 1, 1, 2); (1, 0, 1)} e ache [S]. 4.2) Diremos que um vetor v é combinação linear de v 1,..., v n V se existem α 1,..., α n R tais que n v = α i v i. i=1 Vamos vericar se v = ( 1, 1, 3) é combinação linear de v 1 = (1, 1, 1); v 2 = (0, 1, 2) e v 3 = (1, 1, 0). Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 8 / 10
Exemplos 4.1) Tome S = {( 1, 2, 3); ( 1, 1, 2); (1, 0, 1)} e ache [S]. 4.2) Diremos que um vetor v é combinação linear de v 1,..., v n V se existem α 1,..., α n R tais que n v = α i v i. i=1 Vamos vericar se v = ( 1, 1, 3) é combinação linear de v 1 = (1, 1, 1); v 2 = (0, 1, 2) e v 3 = (1, 1, 0). 4.3) Tome S = {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} e observe que [S] = R 3. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 8 / 10
Exemplos 4.1) Tome S = {( 1, 2, 3); ( 1, 1, 2); (1, 0, 1)} e ache [S]. 4.2) Diremos que um vetor v é combinação linear de v 1,..., v n V se existem α 1,..., α n R tais que n v = α i v i. i=1 Vamos vericar se v = ( 1, 1, 3) é combinação linear de v 1 = (1, 1, 1); v 2 = (0, 1, 2) e v 3 = (1, 1, 0). 4.3) Tome S = {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} e observe que [S] = R 3. S gera V ou V é gerado por S. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 8 / 10
4.1 - Espaços Finitamente Gerados Um e.v.r. V é dito nitamente gerado quando existe S = {v 1,..., v n } tal que [S] = V. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 9 / 10
4.1 - Espaços Finitamente Gerados Um e.v.r. V é dito nitamente gerado quando existe S = {v 1,..., v n } tal que [S] = V. São exemplos de espaços nitamente gerados R n, M n m (R) e P n (R). Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 9 / 10
4.1 - Espaços Finitamente Gerados Um e.v.r. V é dito nitamente gerado quando existe S = {v 1,..., v n } tal que [S] = V. São exemplos de espaços nitamente gerados R n, M n m (R) e P n (R). Observação (4.1) P(R) não é nitamente gerado. Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 9 / 10
4.2 - Geradores de subespaços 4.2.1) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 10 / 10
4.2 - Geradores de subespaços 4.2.1) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} 4.2.2) W = {(x, y, z) R 3 /x = 0 e y 3z = 0} Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 10 / 10
4.2 - Geradores de subespaços 4.2.1) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} 4.2.2) W = {(x, y, z) R 3 /x = 0 e y 3z = 0} 4.2.3) W = {A M 2 3(R)/a 13 = a 12 a 23 } Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 10 / 10
4.2 - Geradores de subespaços 4.2.1) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} 4.2.2) W = {(x, y, z) R 3 /x = 0 e y 3z = 0} 4.2.3) W = {A M 2 3(R)/a 13 = a 12 a 23 } 4.2.4) W = {A M 2 (R)/A é anti-simétrica } Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 10 / 10
4.2 - Geradores de subespaços 4.2.1) W = {(x, y) R 2 /x = 2y} 4.2.2) W = {(x, y, z) R 3 /x = 0 e y 3z = 0} 4.2.3) W = {A M 2 3(R)/a 13 = a 12 a 23 } 4.2.4) W = {A M 2 (R)/A é anti-simétrica } 4.2.5) W = {at 2 + bt + c P 2 (R)/c = 2a 3b} Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 10 / 10