Natal RN, 25 a 28 de outubro de 2015 IDENTIFICAÇÃO DE UM SECADOR DE GRÃOS UTILIZANDO MODELO DE WIENER E O MÉTODO DO RELÉ Moisés Tavares da Silva, Péricles Rezende Barros Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Campina Grande Campina Grande, Paraíba, Brasil Emails: moisessilva@eeufcgedubr, prbarros@deeufcgedubr Abstract A grain drying system is used to control humidity and treatment of stored seeds It is presented in this paper the identification of the inverse nonlinear static function Wiener model for a grain dryer in laboratory scale It is applied the relay feedback under conditions of nonlinearity to the grain dryer in order to ensure a symmetrical relay feedback output and rejects the effects of static disturbance and nonlinearity effectively The evaluation of the estimation quality is performed based on the estimated inverse nonlinear static function From results it is apparent that methodology used is capable to characterize the nonlinear behavior of the grain drying system Keywords Relay feedback, Grain Drying, Systems Identification Resumo Um sistema de secagem de grãos é utilizado para controle da umidade e no tratamento das sementes armazenadas Neste artigo é realizada a identificação da função estática não linear inversa do modelo de Wiener para um secador de grãos em escala de laboratório É aplicado o método do relé sob condições de não linearidade ao secador de grãos com objetivo de garantir uma saída simétrica do relé e rejeitar os efeitos das perturbações estáticas e não linearidade de forma eficaz A avaliação da qualidade da estimativa é realizada a partir da função estática não linear inversa estimada Através dos resultados verifica-se que a metodologia utilizada é capaz de caracterizar o comportamento não linear do sistema de secagem de grãos Palavras-chave Relé, Secador de Grãos, Identificação de Sistemas 1 Introdução Quando a não linearidade nos processos é tão acentuada que suas aproximações lineares não são aceitáveis, modelos não lineares devem ser considerados para descrever adequadamente suas dinâmicas Os modelos não lineares de Wiener, Hammerstein e Wiener-Hammerstein podem descrever as dinâmicas de muitos processos químicos, elétricos e biológicos (Park et al, 2006) Dentre os modelos não lineares, neste trabalho utiliza-se o modelo de Wiener que consiste em um subsistema dinâmico linear conectado em série com uma função estática não linear Em (Sung e Lee, 2004) foi desenvolvido um método do relé para identificar processos não lineares do tipo Wiener O problema de identificação da função estática não linear e subsistema linear foi dividido Assim, o procedimento de identificação foi simplificado de forma significativa Devido a separação, a saída não mensurável do subsistema dinâmico linear pode ser obtida de uma maneira simples Porém tal método não é capaz de rejeitar perturbações estáticas Um método do relé para obter um sinal de teste senoidal aproximado na frequência crítica do processo foi proposto em (Sung e Lee, 2006) Através da aplicação deste método para processos não lineares é garantida a saída simétrica do relé quando um estado estacionário cíclico é obtido, independentemente da perturbação estática, enquanto o método do relé original (Åström e Hägglund, 1984) mostra uma saída assimétrica em tais condições Neste artigo, o método do relé sob condições de não linearidade proposto em (Sung e Lee, 2006) é aplicado a um processo térmico de secagem de grãos em escala de laboratório Um sistema de secagem de grãos é utilizado para controle da umidade e no tratamento das sementes armazenadas Seu funcionamento é baseado em um fluxo de ar quente que diminui a umidade das sementes em função da temperatura e da velocidade do fluxo de ar A escolha do sistema de secagem de grãos se deve ao seu comportamento não linear Como resultado da aplicação do método do relé sob condições de não linearidade, a função estática não linear inversa da saída do modelo de Wiener é estimada Além disso, a fim de avaliar a qualidade da estimativa, a função estática não linear é utilizada para compensar a não linearidade do processo Este artigo está organizado como segue: o método do relé sob condições de não linearidade é descrito na Seção 2, a identificação da função estática não linear inversa do modelo de Wiener é apresentada na Seção 3 Na Seção 4 é descrito o sistema de secagem de grãos Na Seção 5 os resultados obtidos são apresentados Na Seção 6 os resultados são analisados Por fim, na Seção 7, são apresentadas as conclusões 1495
2 Método do Relé sob Condições de Não Linearidade e Perturbação Estática O método do relé utilizado foi proposto por (Sung e Lee, 2006) Na Figura 1 é apresentado o diagrama esquemático para o método do relé De acordo com o diagrama u(t) e y(t) são a saída do relé e saída do processo, respectivamente O sinal d representa a perturbação estática e R in é o valor de referência da entrada do relé 1 2 3 d Rin + - u(t) + + Processo y(t) Figura 1: Diagrama esquemático do Método do Relé Na Figura 2, é apresentada a resposta dinâmica típica do método do relé original de um processo não linear simulado sob perturbação estática A perturbação estática ocorre no tempo t = 20s com magnitude de 0, 5 Observa-se que o método do relé original fornece uma saída assimétrica Figura 3: Resposta dinâmica do método do relé modificado com perturbação estática 2 Entra o valor baixo do relé e aguarda por um tempo igual a metade do período anterior Isso força a simetria da saída do relé no estado estacionário cíclico Além disso, após o tempo igual a metade do período anterior é estabelecido R in = y Isto força os dois pontos cruzarem em um período entre a saída do processo e o valor de referência da entrada para convergir para o mesmo valor; 3 Entra o valor superior do relé e aguarda a saída do processo cruzar o valor da referência de entrada (R in ); 4 Repete os passos 2 e 3 até obter um estado estacionário cíclico Figura 2: Resposta dinâmica do método do relé original com perturbação estática Na Figura 3 encontra-se a resposta dinâmica típica do método do relé modificado para uma perturbação estática A perturbação estática (sinal d, Figura 1) ocorre no tempo t = 20s com magnitude de 0, 5 Neste caso, observa-se que o método do relé proposto por (Sung e Lee, 2006) fornece uma saída simétrica do processo não linear, independentemente da perturbação estática, quando o estado estacionário cíclico é atingido O método do relé modificado realiza o seguinte procedimento: 1 Obtém um período de oscilação da mesma forma que o método do relé tradicional proposto por (Åström e Hägglund, 1984); Destacam-se duas características importantes do método do relé utilizado A primeira, é que sempre é garantida a saída simétrica do relé quando o estado estacionário cíclico é obtido, pois o método define exatamente o comprimento de tempo do valor baixo do relé para metade do período anterior Definir o tempo total do valor baixo do relé para a metade do período garante uma saída simétrica do relé no estado estacionário cíclico, porque o período passado e o período presente são os mesmos no estado estacionário cíclico O segundo ponto importante é que o método do relé modificado atualiza R in, a fim de rejeitar os efeitos da perturbação estática 3 Identificação da Função Estática Não Linear Inversa do Modelo de Wiener Nesta seção é apresentada a metodologia para identificação da função estática não linear inversa de um modelo do tipo Wiener A metodologia utiliza o método do relé sob condições de não linearidade A vantagem da abordagem utilizada consiste em não resolver problemas de otimização não lineares iterativos 1496
O modelo de Wiener é composto por um subsistema linear em série com uma função estática não linear Na Figura 4 é representado o diagrama de bloco deste modelo u(t) G( ) z(t) f(z(t)) y(t) Figura 4: Diagrama do Modelo de Wiener Para fins de identificação considere o modelo de Wiener com uma única entrada e uma única saída (SISO) A Equação (1) representa o subsistema dinâmico linear e a Equação (2) representa a função estática não linear da saída As variáveis u(t) e y(t) são, respectivamente, a entrada e saída do modelo A variável intermediária z(t) é a saída do subsistema dinâmico linear e a variável τ d indica o atraso na entrada G(s) = Z(s) U(s) = b 1 s n 1 + b 2 s n 2 + + b n 1 s + b n s n + a 1 s n 1 + + a n 1 s + a n exp( τ d s) (1) z(t) = f 1 (y(t)) = q 1 y(t) + q 2 y 2 (t) + + q r y r (t) (2) O sinal da saída do modelo de Wiener é obtido através do mapeamento do sinal intermediário, z(t), através da função f, ou seja: y(t) = f(z(t)) (3) Como o sinal intermediário não está disponível, pode-se estimá-lo através da inversa da função f (Isermann e Munchhof, 2011) Assim, z(t) = f 1 (y(t)) (4) Portanto, a função f deve ser inversível para que um modelo de Wiener possa ser estimado utilizando o procedimento proposto A metodologia para identificação da função estática não linear do modelo de Wiener é dividida nos seguintes passos: Rin Passo 1 - Obter o sinal intermediário aproximado + - G( ) f(z(t)) ur zr yr O processo não linear do tipo Wiener é excitado pelo sinal do relé modificado, conforme representado na Figura 5 O método do relé utilizado garante uma saída simétrica independente da perturbação estática Logo, a saída do relé (Equação (5)) e a saída do subsistema dinâmico linear (Equação (6)) podem ser descritas através da seguinte expansão em série de Fourier: u(t) = 4u r π sen(ω ct) + 4u r 3π sen(3ω ct) + 4u r 5π sen(5ω ct)+ (5) z(t) = 4ur G(jωc) π sen(ω c t + G(jω c )) + 4u r G(j3ω c) 3π sen(3ω c t + G(j3ω c )) + 4u r G(j5ω c) 5π sen(5ω c t + G(j5ω c )) +, (6) onde u r, ω c e G(jω c ) representam, respectivamente, a amplitude do relé, a frequência crítica e a resposta em frequência do subsistema dinâmico linear Devido às características dinâmicas do sistema de secagem de grãos, os termos harmônicos de alta ordem do relé são relativamente pequenos em comparação ao termo fundamental, ou seja, a dinâmica do secador de grãos atenua muito mais os termos harmônicos de alta ordem Portanto, a saída do relé pode ser representada através da harmônica fundamental da série de Fourier: u(t) 4u r π sen(ω ct) (7) Para identificar a função estática não linear da saída, considera-se apenas os sinais no estado estacionário cíclico Assim, o sinal da saída do subsistema dinâmico linear pode ser aproximado pelo seguinte sinal senoidal: ẑ(t) dg(0) 4u r G(jω c ) sen(ω c t), (8) π onde G(0) e G(jω c ) são, respectivamente, as respostas em frequência do subsistema dinâmico linear na frequência zero e na frequência crítica O sinal d representa a perturbação estática Passo 2 - Obter o modelo inverso da função estática não linear Uma vez definida uma aproximação para o sinal intermediário z(t) o modelo inverso da função estática não linear é obtido a partir das Equações (2) e (8) Assim, Figura 5: Diagrama esquemático do processo de Wiener excitado pelo relé z(t) = q 1 y + q 2 y 2 + q 3 y 3 + + q r y r M 1 sen(ω c t), (9) 1497
u(t) G( ) z(t) f(z(t)/ α) y(t) Figura 6: Diagrama do modelo de Wiener equivalente onde M 1 = dg(0) e = 4ur G(jωc) π A Equação (9) representa o modelo inverso da função estática não linear da saída normalizado pelo fator Assume-se, sem perda de generalidade, que (4u r G(jω c ) )/π = 1 pois é possível compensar a suposição multiplicando 1/α na função estática não linear, tal como representado na Figura 6 Desta forma, a relação entrada-saída permanece inalterada A partir dessa suposição e das Equações (7) e (9) observa-se que a frequência crítica é a frequência do relé e a razão da amplitude é π/4u r, ou seja, a resposta em frequência do subsistema dinâmico linear é dado por: z(t) = ˆq 1 y(t) + ˆq 2 y 2 (t) + + ˆq r y r (t) (15) 4 Descrição do Sistema de Secagem de Grãos O sistema de secagem de grãos é representado na Figura 7 Os grãos são depositados sobre uma tela metálica, conforme indicado na figura O ar, à temperatura ambiente, é forçado para dentro da câmara principal pelo ventilador V 1, onde é aquecido pela resistência elétrica R O ventilador V 2 também força a entrada de ar à temperatura ambiente na câmara principal, e é utilizado como entrada de perturbação do sistema, para estudos de controle Ĝ(jω c ) = (π/4u r ) exp( jπ) (10) Passo 3 - Estimar os parâmetros do modelo da função estática não linear Os parâmetros do modelo na Equação (9) são obtidos analiticamente aplicando o método dos mínimos quadrados (Ljung, 1999), desta forma é obtida a Equação (11) min ˆq N i=0 ( sen(ωc t i ) + ˆq 0 + ˆq 1 y i + ˆq 2 yi 2 + + ˆq ryi r ) 2 (11) A partir da Equação (11), o vetor de parâmetros ˆθ é dado por: onde ˆθ = (Ψ T Ψ)Ψ T Y, (12) Y = ẑ(0) ẑ(1) ẑ(n) (13) e y (1) (0) y (2) (0) y (n) (0) y (1) (1) y (2) (0) y (n) (1) Ψ = y (1) (N) y (2) (N) y (n) (N) (14) Na Equação (11) a variável N é o número de medições no estado estacionário cíclico e os termos ˆq i = 1, 2, 3,, são as estimativas correspondentes a q i /, i = 1, 2, 3,, e ˆq 0 corresponde a M 1 / Portanto, o modelo estimado da função estática não linear da saída, correspondente a z(t)/ é dado por: Figura 7: Sistema de secagem de grãos A medição de temperatura é feita pelo sensor S1 O tempo de resposta do sensor é bastante curto, quando comparado ao tempo de resposta do sistema, de modo que sua influência pode ser desprezada A saída do sistema, P V (Process Variable), é a temperatura na tela metálica medida através do sensor LM35 (S1) A aquisição do dado de temperatura é realizado através de um módulo analógico que disponibiliza esse dado para o Controlador Lógico Programável (CLP) ezap 901 da HI Tecnologia O sinal de controle (MV - Manipulate Variable) é aplicado através do atuador P W M no sistema de secagem de grãos A interface computacional utilizada para a realização dos experimentos foi o software MATLAB Essa interface se comunica com o CLP através do padrão OPC (OLE for Process Control) 5 Resultados Experimentais Considere o ponto de operação do sistema utilizado durante o experimento em 45, 2 C É realizado o experimento com o método do relé sob 1498
u Secador de Grãos z G(s) f() - f -1 () y Figura 9: Diagrama esquemático do sistema de Secagem de Grãos com não linearidade compensada Figura 8: Curvas da resposta dinâmica do método do relé - Secador de grãos condições de não linearidade, as características do sinal são: amplitude do relé igual a 15%, histerese igual a ε = 1 e ε + = +1 O período de amostragem utilizado foi de 0, 1s Com o regime permanente atingido, o experimento é iniciado e os dados da entrada e saída do sistema são coletados Após a coleta, o experimento é finalizado Na Figura 8 é apresentada a resposta dinâmica do sistema de secagem de grãos para o experimento do relé sob condições de não linearidade O ponto de frequência em que a fase é 180 obtido a partir do período de oscilação resultante do experimento do relé é 2, 98rad/s A identificação da função estática não linear da saída é realizada conforme descrito na seção 3 A função estática não linear inversa estimada é dada por: ẑ(t) = f 1 (y(t)) = 0, 0411y 3 (t) 1, 7227y 2 (t) +25, 2290y(t) (16) A ordem do polinômio que representa a função inversa não linear foi determinada empiricamente 6 Análise dos Resultados Devido a indisponibilidade do sinal intermediário do sistema de secagem de grãos real, não é possível validar a função não linear inversa estimada diretamente com o sistema real Portanto, para avaliar a função não linear inversa estimada em (16) utiliza-se o seguinte procedimento: em um primeiro experimento a função estática não linear inversa é usada para compensar a não linearidade do secador de grãos, conforme diagrama esquemático apresentado na Figura 9 Então um conjunto de degraus de igual amplitude é aplicado ao sistema Em um segundo experimento, é aplicado no sistema um conjunto de degraus, mesma amplitude do caso anterior, sem compensar a não linearidade Através deste procedimento, tem-se por objetivo avaliar a compensação da não linearidade estática para diferentes pontos de operação do sistema através da função estática não linear inversa No caso ideal, os ganhos dos modelos identificados para os degraus devem ser iguais, assim a não linearidade seria totalmente compensada Na Figura 10 é apresentado o resultado da aplicação dos degraus ao sistema sem compensar a não linearidade Na Figura 11 é apresentado o resultado da aplicação dos degraus com a não linearidade compensada Na Tabela 1 são apresentados os modelos identificados para cada um dos degraus aplicados ao secador de grãos Os modelos são estimados utilizando o método dos mínimos quadrados (Ljung, 1999) Tabela 1: Modelos identificados para o Secador de Grãos com e sem não linearidade compensada Sem compensação Com compensação Ĝ 1 = 1,3277 85,07s+1 e 2,74s Ĝ 4 = 3,9058 46,88s+1 e 2,43s Ĝ 2 = 1,6721 110,63s+1 e 0s Ĝ 5 = 3,1835 97,73s+1 e 0s Ĝ 3 = 5,6649 109,11s+1 e 0s Ĝ 6 = 3,1485 61,67s+1 e 0s A partir dos modelos identificados, verifica-se que os ganhos estimados para o caso sem a não linearidade compensada são divergentes, o ganho do modelo Ĝ1 é cerca de 4, 6 vezes menor que o ganho do modelo Ĝ3 A variância dos ganhos dos modelos Ĝ1, Ĝ 2 e Ĝ3 é de 5, 8675 Para o caso com a não linearidade compensada, o modelo de maior ganho (Ĝ4) é 1, 24 vezes maior que o ganho do modelo de menor ganho (Ĝ6) Os ganhos dos modelos Ĝ4, Ĝ 5 e Ĝ6 apresentam uma variância de 0, 1827 Portanto, o objetivo de caracterizar a não linearidade estática é alcançado e o procedimento de identificação apresentado é válido para estimar a função estática não linear inversa do secador de grãos 7 Conclusões O método do relé modificado, que garante uma saída simétrica do relé quando um estado estacionário cíclico é atingido, foi utilizado para identificar a função estática não linear inversa de um sistema de secagem de grãos 1499
Ljung, L (1999) System Identification: Theory for the User, 2ed edn, Prentice Hall, Upper Saddle River Park, C H, Sung, W S e Lee, J (2006) Modeling of hammerstein-wiener processes with special test signals, Ind Eng Chem Res 45: 1029 1038 Åström, K e Hägglund, T (1984) Automatic tuning of simple regulators with specifications on phase and amplitude margins, 20:645 edn, Automatica Figura 10: Curvas da resposta dinâmica do Processo sem compensar não linearidade Sung, S e Lee, J (2006) Relay Feedback Method under Nonlinearity and Static Disturbance Conditions, 45 edn, Ind Eng Chem Res Sung, S W e Lee, J (2004) Modeling and control of wiener-type processes, Chem Res Sci 59: 1515 Figura 11: Curvas da resposta dinâmica do Processo com a não linearidade compensada A partir dos resultados experimentais, a metodologia utilizada se mostrou eficiente para caracterizar o comportamento estático não linear do sistema de secagem de grãos Uma das vantagens da utilização da função estática não linear inversa para compensar a não linearidade é a possibilidade de utilizar técnicas de sintonia para processos lineares e assim alcançar melhores desempenhos 8 Agradecimentos Os autores gostariam de agradecer o apoio financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal do Nível Superior (CAPES), que tornou possível o desenvolvimento deste trabalho Referências Isermann, R e Munchhof, M (2011) Identification of Dynamic Systems: An Introduction with Applications, 2 edn, Springer, Germany 1500