ESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais)

Álgebra Linear- 1 o Semestre 2018/19 Cursos: LEIC A Lista 3 (Espaços Lineares) ESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais) Notações: Seja A uma matriz e S um conjunto de vetores Núcleo de A: N(A) Espaço das colunas de A: EC(A) Espaço das linhas de A: EL(A) Espaço gerado por S, ou expansão linear de S: Span(S) Característica de A: car(a) Dimensão de um espaço linear V : dim(v) vetor das coordenadas de x na base ordenada B: x B Matriz de mudança da base B 1 para a base B 2 : M B2 B 1 (A matriz M B2 B 1 satisfaz a igualdade x B2 = M B2 B 1 x B1 ) Subespaços de R n (ou de C n ) 1Exprima os vetores seguintes como combinação linear de u = (2,1,4), v = (1, 1, 3) e w = (3, 2, 5), indicando os coeficientes respectivos a) ( 9, 7, 15) b) (6, 10, 6) c) (0, 0, 0) d) (9, 8, 7) 2Considere os vetores v 1 = (2,1,0,3), v 2 = (3, 1,5,2) e v 3 = ( 1,0,2,1) Verifique quais dos vetores seguintes pertencem a Span{v 1,v 2,v 3 } a) (2,3, 7,3) b) (0,0,0,0) c) (1,1,1, 1) d) ( 4,6, 13,4) 3Considere os vetores u = ( i,1) e v = (1, i) de C 2 Escreva os vetores seguintes como combinação linear de u e v, e indique quais desses vetores pertencem a Span C {u,v} mas não pertencem a Span R {u,v} a) ( 3i 2,3+2i) b) (1 i,i 1) c) (1+i,1+i) d) ( 3i,3)

Álgebra Linear 2 4Justifique se os conjuntos representados na figura são ou não subespaços de R 2 5Na figura seguinte estão indicados os vetores v 1,v 2,v 3 e v 4 Diga quais dos conjuntos seguintes geram R 2 A = {v 1,v 2 }, B = {v 1,v 3 } C = {v 1,v 2,v 4 }, D = {v 2,v 4 }, E = {v 1,v 2,v 3,v 4 } v 2 v 4 v 1 v 3 6Quais dos seguintes conjuntos com as operações usuais de adição vetorial e multiplicação por escalares reais são subespaços lineares de R 3? a) O conjunto de vetores da forma (a,0,0) com a real b) O conjunto de vetores da forma (a,1,1) com a real c) O conjunto de vetores da forma (a,b,c) com b = a+c e a,b,c reais d) O conjunto de vetores da forma (a,b,c) com a,b,c inteiros e) O conjunto de vetores da forma (a,b,c) com b = a+c+1 e a,b,c reais 7 Para cada uma das matrizes, determine dois conjuntos geradores distintos para: (i) o núcleo (ou espaço nulo); (ii) o espaço das colunas; (iii) o espaço das linhas a) A = [ 2 1 2 0 4 2 4 0 ] b) B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 c) C = 2 6 0 2 0 1 2 0 1 3 0 1 Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias

Álgebra Linear 3 8Sempre que b pertencer ao espaço gerado pelas colunas da matriz A, escreva b como combinação linear das colunas de A [ ] [ ] 1 2 2 a) A =, b = 1 6 5 1 1 2 1 b) A = 1 0 3, b = 0 2 1 5 2 1 1 2 1 c) A = 0 1 0, b = 0 1 2 3 1 9Dê um exemplo de uma matriz A, 2 2, e de um vetor b de R 2 tal que b não pertença ao espaço gerado pelas colunas de A 10Construa uma matriz real 3 3, que não esteja em escada, cujas colunas não gerem R 3 11Seja A uma matriz real 4 4 e b um vetor de R 4 para o qual o sistema Ax = b tem solução única Explique por que razão as colunas de A geram R 4 12Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são subespaços lineares a) {(x,y) R 2 : 2x+y = 0} b) {(x,y) R 2 : xy = 0} c) {(x,y,z) R 3 : x+2y z = 0 e x 2y z = 0} d) {(x,y,z,w) R 4 : x+y +z +w = 2} 13 Indique quais dos seguintes conjuntos W é um subespaço linear de R 3? a) W = {(x,y,z) R 3 : x+y = 10} b) W = Span{(1,0,1),(1,1,1)} c) W = Span({(1,0,1)}) {(x,y,z) R 3 : x+y = z} d) W = Span({(1, 1,0)}) {(x,y,z) R 3 : x+y +z = 0} e) W = Span({(1,1,1)}) {(x,y,z) R 3 : x+y z = 0} f) W = Span({(1,1,1)}) {(x,y,z) R 3 : x+y z = 1} 14Diga quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R 3 a) Um plano definido pela equação x+y z = 1 b) Uma recta definida pelas equações { x+z = 2 y +z = 1 Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias

Álgebra Linear 4 c) Uma recta definida pelas equações x = 2+λ y = 1 λ, λ R z = λ Independência linear, bases e dimensão 15 Determine quais dos conjuntos seguintes são linearmente independentes, e encontre uma base para o espaço gerado por esses conjuntos Identifique geometricamente esse espaço linear a) {(1,1,1),(0,0,1)} b) {(2,2,3),(0,0,0),(0,1,1)} c) {(2,3,4),( 4, 6, 8)} d) {(2, 1,3),(4,1,2),(8, 1,8)} e) {(2, 1,3),(4,1,2),(8,2,8)} 16Considere o subespaço linear de R 3 definido por: W = {(x,y,z) R 3 : x 2y +3z = 0} a) Determine uma base ordenada B de W, e indique a dimensão de W b) Verifique que o vetor v = (1,2,1) pertence a W, e determine o vetor das coordenadas de v na base B 17Seja W o subespaço linear de R 4 definido por: W = {(x,y,z,w) R 4 : x y +2z w = 0 e x+z = 0} a) Determine uma base ordenada B para o subespaço W, e indique a dimensão de W b) Verifique que o vetor v = (1,2,1,1) pertence a W, e determine o vetor v B 18Para cada uma das matrizes seguintes, determine uma base e a dimensão: do núcleo; do espaço das linhas; do espaço das colunas a) A = 1 3 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 b) B = [ 2 1 5 6 3 8 ] 19Acrescente um vetor da base canónica de R 3 ao conjunto S = {v 1,v 2 } de modo a produzir uma base de R 3 a) v 1 = (1, 1,2), v 2 = (1, 2,3) b) v 1 = (1, 1,0), v 2 = (2, 2, 2) Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias

Álgebra Linear 5 20Acrescente vetores da base canónica de R 4 ao conjunto S = {v 1,v 2 } de modo a produzir uma base de R 4 v 1 = (1, 4,2, 3), v 2 = ( 3,12, 4,6) 21Seja S = {v 1,v 2,v 3 } uma base de um espaço linear W Mostre que {u 1,u 2,u 3 }, com u 1 = v 1, u 2 = v 1 +v 2 e u 3 = v 1 +v 2 +v 3, também é uma base de W 22Considere a base ordenada B = (u,v,w) de um espaço linear V e x B = (6,2,1) Determine x B1 onde: a) B 1 = (u+v,u v,w) b) B 1 = (u+v +w,v,v w) c) B 1 = (2u,v+w,v w) 23Determine uma base para o subespaço linear R 3 gerado por cada um dos conjuntos seguintes, e descreva esse subespaço através de equações cartesianas a) {(1,1,0),(0,0,1)} b) {(1,2,6),(1,1,1),(2,3,7),(0,1,5)} 24 Determine uma base e equações cartesianas que descrevam o subespaço S = SpanX R 4, onde X = {(1, 1,1,0),(1,0,0,1),(1, 2,2, 1),( 2,10, 10,8),( 1,8, 8,7)} 25Seja B uma base ordenada e x B o vetor das coordenadas de x na base B Determine em cada alínea o vetor x ([ ] [ ]) [ ] 5 1 3 a) B =,, x 1 1 B = 1 1 0 1 3 b) B = 1, 1, 2, x B = 1 4 2 0 1 26Determine o vetor das coordenadas de x na base B [ ([ ] [ ]) 3 5 1 a) x =, B =, 0] 1 1 3 1 0 1 b) x = 0, B = 1, 1, 2 1 4 2 0 27 Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços lineares gerados pelos conjuntos seguintes Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias

Álgebra Linear 6 a) {(1,1,2),(1,2,2),(2,3,4)} b) {( 1,1,1,2),(1,1,0,1),( 2,0,1,1),(3,1, 1,0)} 28Diga qual das afirmações seguintes é verdadeira para V = { (x,y,z) R 3 : 2x+y z = 0 } a) V não é subespaço linear de R 3 b) {(1,2,0),(0,1,1)} é uma base de V c) {(1,2,0),(0,1,1),(1,3,1)} é uma base de V d) {(1,0,2),(0,1,1)} é uma base de V 29 Sejam u, v, w vetores linearmente independentes de um espaço linear real U Então: A dimensão de U é 3 A dimensão de Span({u,v,w,u+v}) é 4 A dimensão de Span({u,v,w,u+v}) é igual à dimensão de Span({u,v,w}) A dimensão de U é inferior a 3 30 Utilize a informação da seguinte tabela para determinar a dimensão do espaço gerado pelas linhas da matriz A, do espaço gerado pelas colunas de A, do núcleo de A (nulidade de A) e do núcleo de A T (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) A 3 3 3 3 3 3 5 9 9 5 4 4 6 2 car A 3 2 1 2 2 0 2 31 Utilize a informação da seguinte tabela para determinar se o correspondente sistema não homogéneo Ax = b é possível Em caso afirmativo, indique o número de variáveis livres da solução geral (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) A 3 3 3 3 3 3 5 9 9 5 4 4 6 2 car A 3 2 1 2 2 0 2 car (A b) 3 3 1 2 3 0 2 32 Determine bases para o núcleo N(A), para o espaço das linhas EL(A) e para o espaço das colunas EC(A) da matriz [ ] 1 i 0 A = i 1 2i Indique ainda a dimensão de cada um desses espaços lineares complexos 33Seja A uma matriz tal que {(1,1,0,0),(1,0,2,1)} é uma base do núcleo N(A) da matriz A Considere as afirmações seguintes: Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias

Álgebra Linear 7 a) O vetor x = ( 5, 2,3, 2) é solução do sistema Ax = 0; b) A dimensão do espaço das colunas EC(A) da matriz A é 2; c) A matriz A tem 4 colunas; d) N(A) = {(x,y,z,w) R 4 : x+2z = y e z = w} A lista completa das afirmações correctas é: A) I, II e III B) II, III e IV C) II e IV D) II e III 34Seja A uma matriz 4 4 Responda às questões seguintes a) Se o espaço das colunas de A não é R 4 que pode dizer a respeito do núcleo de A? b) Se o núcleo de A não é o subespaço {0} que pode dizer a respeito do espaço das colunas de A? c) Se o espaço das colunas de A é R 4 que pode dizer a respeito das soluções do sistema Ax = b para b R 4? d) Se o núcleo de A é {0} que pode dizer a respeito das soluções do sistema Ax = b para b R 4? 35 Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das proposições seguintes, justificando a sua resposta: a) O conjunto das soluções de um sistema homogéneo de n equações lineares a k incógnitas é um subespaço de R n b) O conjunto das soluções de um sistema homogéneo de n equações lineares a k incógnitas é um subespaço de R k c) As colunas de uma matriz real n n, invertível, formam uma base para R n 36Seja A uma matriz n p tal que a dimensão do núcleo de A é 2, a dimensão do núcleo de A T é 1, e a dimensão do espaço das linhas de A é 2 Então n = 4 e p = 5 n = 5 e p = 4 n = 3 e p = 4 n = 4 e p = 3 37Dê exemplos, se existirem, de: a) uma matriz 3 4 tal que dimel(a) = 2; b) uma matriz 4 3 tal que dimn(a) = 2; c) três vetores distintos de R 4 que gerem um subespaço de dimensão 2 38 Seja x = (1, 3, 2) uma solução (particular) do sistema não homogéneo Ax = b Sabendo que a solução geral do sistema homogéneo associado (Ax = 0) é { (x,y,z) R 3 : x = y 4z }, indique a forma vetorial da solução geral de Ax = b Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias

Álgebra Linear 8 39Sejam x p = (2,2,3,1) e y p = (1,1,2,0) soluções do sistema não homogéneo Ax = b, com b = (1,3,4,5) Complete de modo a obter afirmações verdadeiras: a) Um vetor não nulo do núcleo de A é b) Um vetor do espaço das colunas de A é c) Uma solução de Ax = b distinta de x p e de y p é d) Uma solução do sistema A T Ax = 0 é e) O sistema Ax = b é possível e Espaços lineares 40Exprima a matriz [ ] 5 9 0 5 como combinação linear das matrizes seguintes: [ ] [ ] 2 1 1 1,, 0 4 0 3 [ ] 3 2 0 5 41Exprima o polinómio p(x) = 5 + 19x 8x 2 como combinação linear dos polinómios p 1 (x) = 3x x 2 p 2 (x) = 2+4x x 2 p 3 (x) = 1 x+3x 2 42 Determine se os vetores seguintes são ou não linearmente independentes Caso o não sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos a) No espaço dos polinómios de grau menor ou igual a 3, os vetores p 1 (t) = 1, p 2 (t) = 1+t, p 3 (t) = 1+t+t 2 e p 4 (t) = 1+t+t 2 +t 3 b) No espaço das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais, os vetores [ 1 1 1 1 ], [ 1 1 1 0 ] e [ 0 0 0 5 43Seja P 2 o espaço dos polinómios reais de variável real com grau menor ou igual a 2, munido com as operações usuais de adição e multiplicação por um número real a) Indique uma base ordenada de P 2 e calcule o vetor das coordenadas de p(t) = (1 t)(1+t) nessa base b) Considere o subespaço linear S de P 2 gerado por {1 2t, 1+t 2, 1+2t 3t 2, t 2 } Verifique que este conjunto não é uma base de S, e indique uma base ordenada de S ] Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias

Álgebra Linear 9 c) Determine as coordenadas do polinómio p(t) = 5+t 2 nas bases das alíneas a) e b) d) Considere o conjunto W = {p(t) P 2 : p(0) = 0} Mostre que W é um subespaço linear de P 2 e indique a dimensão deste subespaço 44 Determine quais dos conjuntos seguintes são espaços lineares reais, e nesses casos indique a dimensão e encontre uma base a) O subconjunto do espaço linear P 5, dos polinómios de variável real com grau menor ou igual a 5, formado pelos polinómios: p(t) = a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3 +a 4 t 4 +a 5 t 5 com a 0 +a 1 = 0 b) O subconjunto do espaço M 2 2 (R) das matrizes reais quadradas de ordem 2 formado {[ pelas] matrizes invertíveis } a b c) W = M c d 2 2 (R) : a Z d) O subconjunto Span{cos 2 t, cos2t, sen 2 t}, do espaço linear das funções contínuas reais de variável real 45Indique uma base para cada um dos espaços lineares seguintes a) Span ( {1, 1+t, 1+t+t 2, 1+t+t 2 +t 3 } ) P 3 b) Span({A,B,C,D}) M 2 2 (R), com [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 0 0 2 2 A =, B =, C =, D = 1 1 1 0 0 5 2 2 46Seja B = (1,1+t,2t+t 2 ) uma base ordenada para o espaço linear dos polinómios de grau menor ou igual a 2 O vetor das coordenadas de p(t) = 3+t+t 2 na base B é: (8, 3,1) (5, 1,1) (6, 1,1) (4, 1,1) 47 No espaço das matrizes simétricas de segunda ordem, considere base ordenada B = (A 1,A 2,A 3 ), onde [ ] [ ] [ ] 1 0 1 0 0 2 A 1 =, A 0 1 2 =, A 0 1 3 = 2 0 [ ] 3 1 Determine o vetor das coordenadas de X = na base: 1 4 Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias

Álgebra Linear 10 a) B b) B 1 = (A 1 A 3,A 2,A 1 +A 3 ) c) B 2 = (A 1 +A 2,A 2 A 1, 1 2 A 3) 48Considere os subespaços U e V seguintes e determine a dimensão e uma base para U W e U +W Além disso, verifique em cada caso o teorema da dimensão (dim(u + V) = dimu + dimv dim(u V)) e diga se os subespaços U e V decompõem R 4 em soma directa a) U = Span{(1,0,2,0)} e W = {(x,y,z,w) R 4 : y +2z w = 0 e y +3w = 0 e z = 0} b) U = Span{(1,0, 1,0),(0,1,1,0)} e W = {(x,y,z,w) R 4 : x+y 2w = 0 e 2y z = 0} c) U = Span({(0,0,1,0),( 2,0,0, 2)}) W = {(x,y,z,w) R 4 : x+2y z w = 0 e x w = 0} 49 No espaço P 2, dos polinómios de coeficientes reais de grau menor ou igual a 2 considere os conjuntos: U = Span { 1+t,t 2 1 }, V = { bt+ct 2 P 2 : b,c R } a) Complete a descrição de U seguinte e indique a dimensão de U U = { a+bt+ct 2 P 2 : } b) Determine, uma base para U V e determine U +V 50Considere os subespaçosu = Span{(0,0,1,1),(0,1,0,0)} ev k = Span{(1,0,1,0),(1,0,k,1)} Determine para que valores de k se tem dim(u V k ) = 1 Matriz de mudança de base 51Encontre a matriz mudança de base, da base canónica der 2 para a base ordenada B = ((2, 2),(3,4)), e determine o vetor das coordenadas de w = (2,2) na base B 52Seja B = (u 1,u 2,u 3 ) uma base ordenada de R 3, onde u 1 = (2,1,0), u 2 = ( 1,1,1), e u 3 = (1,1,1) a) Determine a matriz de mudança de base, da base canónica de R 3 para a base B b) Use a matriz calculada na alínea anterior, para determinar o o vetor das coordenadas de v = (5, 1, 3) na base B Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias

Álgebra Linear 11 53Determine a matriz de mudança de base M B B, onde os vetores das base ordenadas B = (u 1,u 2,u 3 ) e B = (v 1,v 2,v 3 ) satisfazem v 1 = u 1 +u 2 u 3 v 2 = u 1 u 2 v 3 = u 1 u 3 54Seja P 2 o espaço linear dos polinómios reais de variável real de grau menor ou igual a 2 Encontre a matriz de mudança da base canónica de P 2 para a base ordenada B = (1 t,t 2,1+t+t 2 ) de P 2, e determine o vetor das coordenadas de w = 2 3t+t 2 na base B 55Considere as bases ordenadas B 1 = (1 + t,t) e B 2 = (t 1,t+2) do espaço linear real dos polinómios de coeficientes reais de grau menor ou igual a 1 A matriz de mudança de base, da base B 1 para a base B 2 é: 1 2 3 0 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 ( 1 2 1 1 ) ( 1 0 1 1 56Considere no espaço linear W as bases ordenadas B 1 = (u 1,u 2,u 3 ), B 2 = (v 1,v 2,v 3 ) e B 3 = (w 1,w 2,w 3 ) tais que ) u 1 = v 1 v 2 +v 3 u 2 = v 2 v 3 u 3 = v 1 +v 2 e w 1 = v 1 +v 2 v 3 w 2 = v 2 +v 3 w 3 = v 1 v 3 a) Determine as matrizes de mudança de base M B2 B 1 e M B3 B 2 e M B3 B 1 b) Seja v = 2u 1 + 5u 2 3u 3 Use as matrizes calculadas nas alíneas anteriores para determinar v B1, v B2 e v B3 Editado em 9 de Outubro de 2018 por Esmeralda Sousa Dias