Mateial Didático do Cuso de Engenhaia Mecânica da UniEVANGÉLICA Disciplina: Física III - Eletomagnetísmo Docente(s): Calos Eduado Fenandes Joge Manoel Almacinha Costa Cláudia Gomes de Oliveia Santos Ricado Wobeto Volume 1 18
Cento Univesitaio de Anápolis - UniEVANGÉLICA Associação Educativa Evangélica Conselho de Adiministação Pesitente Enei de oliveia Pina 1º Vice-Pesidente Cicílio Alves de Moaes º Vice-Pesidente Ivan Gonçalves da Rocha 1º Secetáio Gealdo Henique Feeia Espíndola º Secetáio Fancisco Babosa de Alenca 1º Tesoueio Augusto Césa da Rocha Ventua º Tesoueio Djalma Maciel Lima Cento Univesitáio de Anápolis Chancele Enei de Oliveia Pina Reito Calos Hassel Mendes da Silva Pó-Reito Acadêmico - Cistiane Matins Rodigues Benades Pó-Reito de Pós-Gaduação Pesquisa Extensão e Ação Comunitáia - Sando Duta e Silva Coodenadoa da Pesquisa e Inovação - Buno Junio Neves Coodenado de Extensão e Ação Comunitáia - Fábio Fenandes Rodigues Equipe Editoial Dieto - Hélio de Souza Queioz Coodenado de Pesquisa Rosembeg Fotes Nunes Rodigues Coodenado Pedagógico - Wilson de Paula e Silva Coodenado de Planejamento e Inovação - Ricado Wobeto Coodenado de Laboatóios e de Atividades de Extensão - Ségio Mateus Bandão Coodenado de Estágio Supevisionado - Macio José Dias
ELETROMAGNETISMO 1ª Aula : REVISÃO DE ANÁLISE VETORIAL 1_1. Álgeba Vetoial; 1_1.1 Adição de Vetoes; 1_1. Multiplicação po Escala; 1_1. Poduto Escala; 1_1.4 Poduto Vetoial; 1_ Repesentação Vetoial em Temos de Suas Componentes; 1_.1 Soma de Dois Vetoes 1_.Multiplicação de Um Veto po Um Veto Escala; 1_.Poduto Escala; 1_.4Poduto Vetoial 1_1 ÁLGEBRA VETORIAL Até agoa já ouvimos fala de dois tipos de gandeza físicas: as gandeza escalaes e as gandezas vetoiais. Já sabemos po exemplo que a massa caga elética tempeatua e pessão são gandezas escalaes pois é necessáio apenas um númeo (magnitude) além da unidade paa caacteiza-las. Po outo lado paa caacteiza uma gandeza vetoial é necessáio especifica além da magnitude sua dieção e seu sentido como é o caso da velocidade foça aceleação e deslocamento. Paa indica um gandeza vetoial vamos usa uma flecha sobe ela: v a F etc. A magnitude de uma gandeza vetoial seá indicada pela leta sem a flecha ou ente baas veticais: v( v ) a( a ) etc.paa epesenta um veto também são úteis usa flechas tal que o compimento da flecha seja popocional a sua magnitude e aponta da flecha indique a dieção. A gandeza A indique um veto de mesma magnitude que A mas no sentido oposto (fig. 1): Obseve que a eta A pode se epesentado em qualque luga. do espaço desde que epesenta sua dieção e sentido. A A (fig 1.1) 1_1.1.Adição de Vetoes Dados dois vetoes A B sua soma A + B = C é obtida colocando o pé da veto B sobe o veto de A o veto C é a eta que liga o pé de A à ponta de B.(fig. ) Note que: i) A + B = A + B (comutativa) A + B + C = A + B + C (associativa) ii)( ) ( ) ( fig. 1.
1_1. Multiplicação Po Escala Um veto po multiplicado po um escala positivo K poduz um outo veto K A K vezes maio que A e na mesma dieção e sentido de A ; se K fo negativo o sentido do veto C = K A é invetido (fig. ). 1_1. Poduto Escala A A - A fig.1. Definição: Dados A B então A B sendo o (meno) ângulo ente eles. A B = AB cos (fig. 4) é o poduto escala ente Note que AB é um escala daí o nome poduto escala. Note também que: i) A B = B A (comutativa) ii) A ( B + C) = A B + A C (distibutiva) Note que = A e potanto A = A A A A EX. 1: Dados A B pependiculaes ente si calcule C sendo C = A+ B Solução : C = C C = ( A + B) ( A + B) = C C = A A + A B + B A + B C = A + B (Resposta) 1_1.4 Poduto Vetoial Definição: Dados A B define-se o poduto vetoial ente eles como A B = ABsen n sendo n o veto unitáio (magnitude igual a 1) apontando pependiculamente ao ângulo fomado po A e B (o acento cicunflexo ^ sobe o veto seá usado sempe que se tata de um veto unitáio). Como há duas dieções pependiculaes ao ponto de A e B adota-se a ega da mão dieita: com os dedos da mão dieita estendidos ao longo do pimeio veto gie-os no sentido do segundo veto (via meno ângulo) ; o polega indicaá a dieção de n (na fig. 4 n aponta paa dento da página). Note que A Bé também um veto daí o nome de poduto vetoial. É fácil veifica as seguintes popiedades : A( B C) = ( A B) + ( A B) (distibutiva)
A A= A B = ( B A) ( A B) C A( B C) (em geal) 1_. REPRESENTAÇÃO VETORIAL POR MEIO DE SUAS COMPONENTES Até agoa falamos em vetoes e de opeações vetoiais sem faze efeências a um sistema qualque de coodenadas. Na pática é mais fácil estabelece coodenadas catesianas (xyz) e tabalha com as componentes dos vetoes. Seja x y z ( ou i j k ) vetoes paalelos ao eixo x y z espectivamente confome fig. 5a abaixo: fig.1. 5a fig. 1.5b fig. 1.5c Um veto abitáio A pode se escito como uma combinação dos vetoes x y z (fig. 5b): A = Axx + Ay y + Azz ou A = ( Ax Ay Az) de modo que as opeações podem se assim efomuladas. 1_.1 Soma de Vetoes Dados A = Axi + Ay j + Azk e B = Bxi + By j + Bzk a soma A+ B é a soma das componentes isto é C = A + B = ( Ax + Bx) x + ( Ay + By) y + ( Az + Bz) z ou C = ( Ax + Bx Ay + By Az + Bz) em que C = Cxi + Cy j + Czk sendo as componentes de C : Cx = Ax + Bx ; Cy = Ay + By ; Cz = Az + Bz 1_. Multiplicação de Um Veto Po Um Veto Escala Paa multiplica um veto po um escala multiplique cada componente isto é aa = aaxx + aay y + aazz = ( aax aay aaz). 1_. Poduto Escala
Note que: x x = y y = z z = 1 ; x y = x z = y z = então A B = ( Axx + Ay y + Azz) ( Bxx + By y + Bzz) = AxBx + AyBy + AzBz isto é paa calcula o poduto escala multiplique as componentes e adicione-as. EXEMPLO: Calcule A = A A se A = Axi + Ay j + Bzk. Solução: A A = ( Axi + Ay j + Azk) ( Axi + Ay j + Azk) 1_.4 Poduto Vetoial A = A x + A y + A + A z Notando que : x x = y y = z z x y = ( y x) = z y z = ( z y) = x z x = ( x z) = y Essas elações que podem se colocadas da definição de poduto vetoial. Note ainda que essas elações podem se obtidas da ega cíclica (fig. 6). Então: A B = ( Axi + Ay j + Azk) ( Bxi + By j + Bzk) = ( AyBz AzBy) i + ( AzBx AxBz) j + ( AxBy AyBx) k ou seja se C = A B então as componentes de C são: Cx = ( AyBz AzBy) ; Cy = ( AzBx AxBz) ; Cz = ( AxBy AyBx). EX. 1: Moste que: i j k A B = Ax Ay Az Bx By Bz
ELETROMAGNETISMO ª Aula: EXERCÍCIOS (ANÁLISE VETORIAL) _1 Execícios Resolvidos; _ Execícios de Fixação; _1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Nesta aula vamos esolve alguns execícios paa melho fixação do conteúdo ministado na pimeia aula. EX. 1: Dados A = i + j ; B = i 4j + k enconte: a) A B b) A B c) A B d) A Solução:a) A B = ( i + j) (i 4 j + k) = 8 = 5 b) i j k A C = 1 4 1 A B = i + 4k 6k j A B = i j 1k (esp.) c) A B ( ) ( ) = + 1 + 1 = 4 + 1+ 1 = 15 (esp.)
A i + j i + j d) A = = = (esp.) A 5 1 + EX. : Demonste o teoema de Pitágoas usando vetoes. Solução: O teoema de Pitágoas estabelece que a soma do quadado de cada cateto é igual ao quadado da hipotenusa. Da fig. 1 abaixo sendo que C = a + b logo: C C ( a b) ( a b) = + + ou C = a a + a b + b a + b b C = a + b (esp.) EX. : Moste que : Ax Ay Az A( B C) = Bx By Bz Cx Cy Cz e que A( B C) = ( A B) C Solução: Paa mosta a pimeia pate faça pimeio o lado esquedo i j k ( B C) = Bx By Bz = ( ByCz BzCy) i + ( BzCx BxCz) j + ( BxCy ByCx) k Cx Cy Cz A( B C) = ( Axi + Ay j + Azk) ( ByCz BzCy) i + ( BzCx BxCz) j + ( BxCy ByCx) k A( B C) = Ax( Bycz BzCy) + Ay( BzCx BxCz) + Az( BxCy ByCx) I Façamos agoa o lado do deteminante: Ax Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz = AxByCz + AyBzCy CxByAz CyBzAx CzBxAy = Ax( ByCz BzCy) + Ay( BzCx BxCz ) + Az( BxCy ByCx) que demonsta a igualdade ente o lado dieito e esquedo do execício poposto. A demonstação de A( B C) = ( A B) C é feito de maneia análoga e é deixada como execícios. EX. 4: Poceda como execício anteio moste a ega do " BAC CAB": A( B C) = B( AC) C( A B) EX. 5: a)indique gaficamente o veto que pate da oigem e temina no ponto (1); b)enconte o seu módulo; c) enconte o veto unitáio na sua dieção.
Solução: a) Designemos o veto (1) po = i + j + k : (esp.) b) = = 1+ 4 + 9 = 14 (esp.) i j k i + j + k c) = = + + = (esp.) 14 14 14 14 EX. 6 : Sejam dois vetoes que patem da oigem e ligam os pontos A(1) e B(1-1). a)enconte o veto que liga AB aponta de A paa B b) Enconte o veto unitáio na dieção AB e que aponta de B paa A. Solução: a) pimeio analisaemos gaficamente dois vetoes quaisque : z 1 Note que: 1 = 1 é o veto que liga c a 1 e aponta paa. x x y z e aponta paa 1. 1 1 y Note agoa que : 1 = 1 é o veto liga 1 a Chamemos A(1)= A; B(1 1) = B então o veto que liga BA e aponta de A paa B é : = = (1 1) (1 ) = ( 4) ou AB B A = j 4k (esp.) AB
BA = b) Seja BA o veto que aponta de B paa A. Então BA AB = j + 4k e j+ 4k 4 + 16 BA j+ 4k = (esp.) _ Execícios de Fixação 1. Quato vetoes são dados po a = i + j + k b = i + k c = i + 5 j k d = k j. Calcule: a) o módulo dos vetoes a b c e d b) ab c) a b d) a + b c e) os vetoes unitáios nas dieções de a e b f) o ângulo ente a e b. Moste que em coodenadas catesianas a b = axbx + ayby + azbz.. Poduto escala tiplo. O escala A( BC) é chamado de escala tiplo e possui uma intepetação geomética simples. Moste A( BC) que é igual ao volume do paalelepípedo de lados A B C. 4. Enconte o volume de um paalelepípedo cujo lados são a = i + j + k b = i j + k e c = i + j k. 5. Dois vetoes de módulo a e b fazem ente si um ângulo. Moste que o compimento da soma dos dois vetoes é dado po: = a + b + abcos 6. Tabalho em Física é definido como sendo o poduto da foça vezes o deslocamento. Paa uma foça constante se a foça não é paalela ao deslocamento então a componente pependicula ao deslocamento não ealiza tabalho. O tabalho é então a componente da foça paalela ao deslocamento multiplicada pelo deslocamento isto é W = Fd cos = F d :.Calcule: a) o tabalho W ealizado pela foça F = i + 5 j k N sobe um objeto que é deslocado de d = 5i + j + k metos :
b) o módulo do foça F e do deslocamento d. 7. Toque (ou momento)de um foça F ao edo de um ponto O é definido como sendo = F sendo o veto de módulo que liga O ao ponto em que a foça é aplicada. Dados F = i + j k = i + j k m enconte: a) o toque de F ao edo do ponto b) o módulo a dieção e o sento do toque à foça F. 8. Poduto vetoial tiplo. O veto esultante da opeação vetoial A( BC) é chamado de poduto vetoial tiplo. Desenhe ( B C) e veja que A ( B C) é um veto no plano fomado po B e C. Use coodenadas catesianas e moste a seguinte identidade: A( B C) = ( AC) B ( A B) C Esta é uma fómula impotante mas não é necessáio memoizá-la. Note que ( BC) A = ( A C) B + ( A B) C isto é a mudança na odem no poduto vetoial dá oigem a um sinal negativo como já vimos. Aplicações: O momento angula L de um copo de massa m e velocidade angula ao edo de um ponto O é definido como L = mv = m v sendo v=. Potanto L = m ( ). A aceleação centípeta é dada po a ( ) =. Dados: = i + j k e = i + j k enconte paa um copo de massa unitáia: a) o momento angula L e o seu módulo. Especifique a dieção e o sentido de L. b) a aceleação angula a e o seu módulo. Especifique a dieção e o sentido de a.
ELETROMAGNETISMO ª Aula : REVISÃO DE ÁLGEBRA VETORIAL _1 Multiplicação de ; _ Multiplicação de Po Um Campo Vetoial; _.1 Multiplicação Escala : Divegente de A ; _. Multiplicação Vetoial: Rotacional de A ; _ Veto Laplaciano. No Eletomagnetismo feqüentemente faemos o uso de difeenciação e integação de vetoes. Nesta aula faemos uma beve evisão das opeações de deivação de funções escalaes e vetoiais também é chamado de campos escalaes e campos vetoiais espectivamente que comumente apaecem em eletomagnetismo. Começaemos definindo o opeado deivada vetoial ou opeado del :
i + j + k (coodenadas catesianas) x y z Repae a eta sobe o símbolo (nabla) paa efoça o caáte vetoial desse opeado cujo componentes são: x = ; y = ; z =. x y z Como esse opeado toma caáte vetoial podemos faze com eles opeações escalaes e vetoiais. Po exemplo dadas as funções = ( x y z) e A = Ax ( x y z) então a multiplicação deste opeado seá dada pela soma das deivadas paciais na dieção ( i j k ). _1 MULTIPLICAÇÃO DE POR UM CAMPO ESCALAR Multiplicação de pelo campo escala : gadiente logo: = i + j + k. x y z Nota que esceve " " não tem significado. EX. 1: Enconte o gadiente de Solução: = i + j + k x y z = x + y + z. 1 x yk zk = i+ + x + y + z x + y + z x + y + z xi + y j + zk = = x + y + z sendo : = xi + y j + zk EX. : Enconte o gadiente de: a) ( x y z) = x + y + z b) y f ( x y z) = x e ln z _ MULTIPLICAÇÃO DE POR UM CAMPO VETORIAL Multiplicação de po um campo vetoial A( x y z ). Nesse caso podem multiplica escala ou vetoialmente po A : _.1 Multiplicação Escala : Divegente de A :
A = ( i + j + k) ( Ax i + Ay j + Az k) x y z A A x y Az A = + + x y z Note que o divegente de um campo escala não tem significado. EX. : Calcule a divegência do veto posição. Solução: = x + y + z = x + y + z x y z x y z = ou EX. 4: Enconte o gadiente e o divegente de A e B : i) A( x y z) = x i + xyz j + z k ii) B( x y z) = xyi + ( xyz yx ) j _. Multiplicação Vetoial: Rotacional de A : A = ( i + j + k) ( Axi + Ay j + Azk) x y z ou x etc. x i j k Az Ay Ax Az Ay Ax A = x y z = ( ) i + ( ) j + ( ) k y z z x x y Ax Ay Az EX. 5: Calcule o otacional de A = yi x j : Solução: i j k A = x y z = ( x y) k = x y y x EX. 5: Calcule o otacional das funções abaixo: a) f ( x y) = xyi + x y j b) f ( x y) = yx i xy j yz k _ VETOR LAPLACIANO Como é um veto podem faze o escala po ele mesmo esultando no Laplaciano: = ( i + j + k) ( i + j + k) ou x y z x y z
= ( + + ) x y z O Laplaciano pode se aplicado em um escala ou vetoial po exemplo: = ( + + ) = ( + + ) x y z x y z A ( )( Axi Ay j Azk) x y z = + + + + A = A i + A j + A k x y z e A. EX. 6: Dados os campos = x yz e Solução: A x yi j = ( x yz ) + ( x yz ) + ( x yz ) x y z = ( xyz ) + ( x z ) + ( x y z ) x y z = xzy + + 6x yz (esp.) = + enconte o Laplaciano de A = A i + A j + A k x y z A ( A A A ) i ( A A A ) j ( A A A ) k x y z x y z x y z = x + x + x + y + y + y + z + z + z A = yi (esp.) EX. 7: Calcule o Laplaciano de: a) = x + y + z ; b) = x y z ; A = x yi + z j A = x i + y j ELETROMAGNETISMO 4ª Aula : SISTEMAS DE COORDENADAS
4_1. Coodenadas no Espaço; 4_1.1 Dieções i j k ; 4_1. Elemento de Supefície; 4_1. Elemento de Volume; 4_ Coodenadas Cilíndicas ( z ); 4_.1 Elemento de Compimento; 4_.1 Elemento de Supefície; 4_. Elemento de Volume; 4_ Coodenadas Esféicas ( ); 4_.1 Elemento de Compimento; 4_. Elemento de áea; Coodenadas cilíndicas e esféicas são bastante úteis paa a solução de poblemas que envolvem essas simetias como po exemplo no cálculo de campos eléticos ou magnéticos devido a distibuição de caga sobe supefícies ou volumes cilíndicos ou esféicos. Po isso é impotante sabe esceve elementos de caminhos áea e supefície usando difeentes sistemas de coodenadas.. Veto posição = xi $ + y$ j + zk $ = x + y + z $ = 4_1 COODENADAS NO ESPAÇO 4_1.1 Dieções i j k : i j k : xi $ + y$ j + zk $ x + y + z Um elemento de caminho no espaço é obtido somando cada elemento nas dieções dl = dxi + d y j + d z k 4_1. Elemento de Supefície: Um elemento de supefície da pode se obtido do poduto de dois elementos de compimento: dax = dydz ; day = dxdz ; daz = dxdy. O subscito i no elemento de áea dai ( i = x y z) indica que a áea é pependicula ao eixo coodenada i ; po exemplo daz é uma áea pependicula ao eixo z.
4_1. Elemento de Volume: Um elemento de volume é fomado multiplicando os tês elementos de compimento: dv = dxdydz 4_. COORDENADAS CILÍNDRICAS ( z ) x = cos y = sen z = z 4_.1 Elemento de Compimento: Paa enconta um elemento de compimento deem coodenadas cilíndicas é peciso enconta um elemento de compimento nas dieções de cescimento de z. Denominaemos essas dieções po z espectivamente. Da figua: dl = d + d + dz k ; dl = d ; dl = d ; dlz = dz 4_.1 Elemento de Supefície: Como no caso anteio um elemento de supefície é fomado pelo poduto de dois elementos de compimento: da = ddz ; da = d dz ; daz = dd em que po exemplo da indica a áea pependicula à dieção (ve fig4.). Note que d não é um elemento de compimento é centímetos ect.). 4_. O elemento de volume: d que é o compimento (em metos O volume é obtido do poduto dos elementos de compimento: dv = ( d)( d)( dz) = dddz
4_ COORDENADAS ESFÉRICAS ( ) x = sen cos y = sensen z = cos 4_.1 Elemento de Compimento ( ): Denotado po e os vetoes unitáios nas dieções e espectivamente teemos: dl = d ; dl = d ; dl = send e potanto: dl = d + d + sen d 4_. Elemento de áea ( ): da = sen d d ; da sen dd = ; da = dd Ex.: Moste que elemento de volume de uma esfea de aio R é V Solução: V R V = dv = sen ddd R R V = d sen d d ( )( cos )( ) = R R V = (cos cos)( ) = ( )( 1 1) 4 = R. V 4 = R (esp.)
ELETROMAGNETISMO 5ª Aula: ELETROSTÁTICA 5_1 Lei de Coulomb; 5_ Campo elético; 5_.1 Campo devido a N cagas puntuais; 5_ Campo elético de distibuições contínuas de caga. 5_1 LEI DE COULOMB Alei de Coulomb é eminentemente expeimental. Ela desceve a foça de natueza elética ente duas cagas estáticas Q1 e Q : QQ 1 F1 = K 1 Em que 1 = ; 1 = 1 e 9 1 Nm k = = 9 1 ; 4 C 1 C = 885 1 Nm Em palavas a lei de Coulomb estabelece que a foça elética ente duas cagas é dietamente popocional ao poduto das cagas é invesamente popocional ao quadado da distância. Além disso a foça é diigida ao longo da linha que une as cagas e é epulsiva se as cagas tiveem o mesmo sinal e atativa se foem de sinal contáio. A meno unidade de caga elética é igual à caga de um eléton que vale 19 16 1 C. Potanto seiam necessáias ceca de 1 18 elétons paa se te 1 Coulomb (C). Note que o sinal de Q1e Q é fundamental paa defini o sentido da foça. Po exemplo se Q1=-C e Q=C na figua 5.1 então o sentido da foça em Q1 é 1 enquanto que o sentido da foça em Q1 é 1 = 1. 5_ CAMPO ELÉTRICO
Definição: Suponha que uma caga Q esteja fixo e que levemos uma outa caga q chamada caga de teste paa divesos pontos ao edo de Q em cada ponto meçamos a foça expeimentada pela caga q. Esse pocedimento evidenciaá que existe um campo de foças (campo vetoial) potanto ao edo de Q. Assim pela lei de Coulomb temos : Qq F = K em que = (ve fig 5.). Define-se campo elético E em tono de uma caga Q como sendo a azão: F q Qq E = ou Q( ) E = K em que E N volt = = C meto em que e são os vetoes que a pati da oigem localizam as cagas q e Q espectivamente. EX. 1: Calcule o campo ciado po uma caga de 1 C situado na oigem em um ponto P situação em (1-). Solução: Q Q( ) E = K = K Dados: = i j + k = (1 ) = () = i j + k = 1+ 4 + 9 = 14 9 91 ( 1)( i j + k) E = ( 14) 9 91 E = ( i j + k ) 14 9 91 E = ( i j + k ) (esp.) 15 5_.1 Campo devido a N cagas puntuais
Como o campo elético é um veto o campo devido a N cagas em um ponto qualque é a soma de: N Qi( i) E = E1+ E +... EN = Ei com Ei = k i = 1... N ou ainda i= 1 Q1( i ) Q( i ) QN ( i ) Ei = k + k +... k E i = 1 Q ( ) N i i k. i= 1 i i EX. : Quato cagas Q1 = 1 C Q = C Q = 1 C Q4 = C estão situadas nos vétices de um quadado de lado 1 m. Calcule o campo esultante no cento do quadado. 5_.- CAMPO ELÉTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA. Uma distibuição contínua de cagas eléticas em última análise não existe uma 19 vez que a caga é quantizada (múltipla inteia de 16 1 C ). Entetanto quando lidamos com situações macoscópica o que em geal é o caso o caáte quantizado da caga pode ignoado de modo que podemos tatá-los como uma distibuição contínua(lembe-se de que 1C equivale a 1 18 patículas). Esse fato é análogo a tata a massa como sendo uma distibuição contínua mesmo sabendo que ela é múltipla de uma massa atômica ou de uma molécula. Imaginando a caga como uma distibuição contínua podemos defini uma densidade de cagas como sendo caga po unidade de compimento áea ou volume: L = dq ; dq S = ; dq V = em que dl ds e dv dl ds dv são os elementos de compimento áea e volume L S V são as densidades linea supeficial e volumética de caga espectivamente e não deve se confundida com a coodenada cilíndica. Lembando que uma caga infinitesimal deve poduzi um campo ( de) também infinitesimal podemos esceve: dq( ) d E = k Em que é o veto que localiza o elemento de caga dq.fazendo a integação desde um ponto em que até um ponto qualque temos: N i ou
E = k dq( ) Note que a integação se anula onde não houve caga. EX.: Calcule o campo elético em um ponto a uma distância R do cento uma esfea caegada de aio. Solução: ELETROMAGNETISMO 5ª Aula: ELETROSTÁTICA 5_1 Lei de Coulomb; 5_ Campo elético; 5_.1 Campo devido a N cagas puntuais; 5_ Campo elético de distibuições contínuas de caga. 5_1 LEI DE COULOMB Alei de Coulomb é eminentemente expeimental. Ela desceve a foça de natueza elética ente duas cagas estáticas Q1 e Q : QQ 1 F1 = K 1 Em que 1 = ; 1 = 1 e 9 1 Nm k = = 9 1 ; 4 C 1 C = 885 1 Nm Em palavas a lei de Coulomb estabelece que a foça elética ente duas cagas é dietamente popocional ao poduto das cagas é invesamente popocional ao quadado da distância. Além disso a foça é diigida ao longo da linha que une as cagas e é epulsiva se as cagas tiveem o mesmo sinal e atativa se foem de sinal
contáio. A meno unidade de caga elética é igual à caga de um eléton que vale 19 16 1 C. Potanto seiam necessáias ceca de 1 18 elétons paa se te 1 Coulomb (C). Note que o sinal de Q1e Q é fundamental paa defini o sentido da foça. Po exemplo se Q1=-C e Q=C na figua 5.1 então o sentido da foça em Q1 é 1 enquanto que o sentido da foça em Q1 é 1 = 1. 5_ CAMPO ELÉTRICO Definição: Suponha que uma caga Q esteja fixo e que levemos uma outa caga q chamada caga de teste paa divesos pontos ao edo de Q em cada ponto meçamos a foça expeimentada pela caga q. Esse pocedimento evidenciaá que existe um campo de foças (campo vetoial) potanto ao edo de Q. Assim pela lei de Coulomb temos : Qq F = K em que = (ve fig 5.). Define-se campo elético E em tono de uma caga Q como sendo a azão: F q Qq E = ou Q( ) E = K em que E N volt = = C meto em que e são os vetoes que a pati da oigem localizam as cagas q e Q espectivamente. EX. 1: Calcule o campo ciado po uma caga de 1 C situado na oigem em um ponto P situação em (1-). Solução: Q Q( ) E = K = K Dados: = i j + k = (1 )
= () = i j + k = 1+ 4 + 9 = 14 9 91 ( 1)( i j + k) E = ( 14) 9 91 E = ( i j + k ) 14 9 91 E = ( i j + k ) (esp.) 15 5_.1 Campo devido a N cagas puntuais Como o campo elético é um veto o campo devido a N cagas em um ponto qualque é a soma de: N Qi( i) E = E1+ E +... EN = Ei com Ei = k i = 1... N ou ainda i= 1 Q1( i ) Q( i ) QN ( i ) Ei = k + k +... k E i = 1 Q ( ) N i i k. i= 1 i i EX. : Quato cagas Q1 = 1 C Q = C Q = 1 C Q4 = C estão situadas nos vétices de um quadado de lado 1 m. Calcule o campo esultante no cento do quadado. 5_.- CAMPO ELÉTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA. Uma distibuição contínua de cagas eléticas em última análise não existe uma 19 vez que a caga é quantizada (múltipla inteia de 16 1 C ). Entetanto quando lidamos com situações macoscópica o que em geal é o caso o caáte quantizado da caga pode ignoado de modo que podemos tatá-los como uma distibuição contínua(lembe-se de que 1C equivale a 1 18 patículas). Esse fato é análogo a tata a massa como sendo uma distibuição contínua mesmo sabendo que ela é múltipla de uma massa atômica ou de uma molécula. Imaginando a caga como uma distibuição contínua podemos defini uma densidade de cagas como sendo caga po unidade de compimento N i ou
áea ou volume: L = dq ; dq S = ; dq V = em que dl ds e dv dl ds dv são os elementos de compimento áea e volume L S V são as densidades linea supeficial e volumética de caga espectivamente e não deve se confundida com a coodenada cilíndica. Lembando que uma caga infinitesimal deve poduzi um campo ( de) também infinitesimal podemos esceve: dq( ) d E = k qualque temos: Em que é o veto que localiza o elemento de caga dq.fazendo a integação desde um ponto em que até um ponto E = k dq( ) Note que a integação se anula onde não houve caga. EX.: Calcule o campo elético em um ponto a uma distância R do cento uma esfea caegada de aio. Solução: ELETROMAGNETISMO 6ª Aula: EXERCÍCIO RESOLVIDOS (Eletostática) O objetivo desta aula é fixa os conceitos expostos na aula anteio. Vimos po exemplo que o campo E de uma caga puntual é: Q( ) E = k sendo (ve Fig. 6.1) k a constante de Coulomb; Q a caga que gea o campo E ; o veto que pate da oigem até o ponto onde se que calcula E ; o veto que liga a oigem até a caga Q.
Paa váias cagas puntuais temos: E = k N i= 1 Q( ) Em que o índice i se efee à inécia caga. Paa uma distibuição contínua de cagas temos: dq E = k ( ) de áea (supefície). Em que dq é um elemento difeencial de caga de caga elética. Paa uma densidade supeficial de caga elética dq = ds ds elemento S S EX.1: Tês cagas de 9 Q= 1 C são colocadas nos vétices de um quadado de lado l =. Calcule o campo E no vétice em que não existe caga. Solução: ( i ) E = k Qi i= 1 i Da figua 6. (caga na oigem) temos: = i + j = i 1 = = j Q1( 1) paa i = 1 : E1 = k 1 ( ) j ( ) = j = 1 = ; 1 1 9 9 91 1 j E1 = = j 7 Q( ) paa i = : E = k ( ) = (i + j) ; = 9 + 9 = 18 1 = () = 7 = ( 18) = ( ) = 7( )
Nota: 18 = 9 = 9 = 9 9 91 1 (i+ j) 1 E = = ( i + j) 7( ) ( ) Q( ) paa i = : E = k ( ) = i = 7 E 9 9 91 1 i = = i 7 Somando: E = E1 + E + E temos: 1 1 1 E = j + ( i + j) + i = i(1 + ) + j(1 + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 E = ( i + j ) ( ) (esp.) EX. : Enconte o campo E em um ponto que passa pelo eixo de um anel caegado com uma distibuição unifome linea de cagas e aio = R. Solução: Do execício (simetia cilíndica) dq = dl = d = Rd = zk L L L = = R = ( R + z ) Logo: d( ) E = k LR ou d zk dr E = k R{ R } L ( R + z ) ( R + z ) E = k R L d( zk R) ( R + z ) Da simetia do poblema E = Ek e potanto a componente na dieção adial deve se nula: R( ) k E = kl ou Q= ( R) L ( R + z )
E = k Qk ( R + z ) EX. : Enconte E de um plano infinito de cagas. Solução: Podemos imagina um plano infinito como sendo fomado po infinitos anéis concênticos de = R vaiável. Lembando o execício anteio: dq = ds S ds = d d = zk = 1 = = zk = ( z + ) Logo: E = k L S ds( ) S d E = k ( zk ) [ z + ] Como no execício anteio não haveá campo ao longo de logo: d E = k( ) k z S [ z + ] Essa é uma integal que pode se esolvida po substituição tigonomética. Da figua 6.4 podemos foma o tiângulo mostado na figua 6.5 e esceve: = tg = ztg d = z sec d z 1 1+ tg = sec ; sec = cos
ELETROMAGNETISMO 7ª Aula: LEI DE GAUSS NA FORMA INTEGRAL 7_1 Linhas de Campo; 7_ Fluxo de Campo Vetoial; 7..1 Fluxo de Campo Elético e Lei de Gauss; 7_ Fluxo de E e lei de Gauss; 7_4 Aplicações.
7.1 LINHAS DE CAMPO Vimos que o campo elético é dado po(ve figua 7.1) 1 Q( ) E = 4 e paa uma caga elética situada na oigem ( = ) : E Q = ou E = 4 4 Q sendo = o veto unitáio que pate da caga (oigem) em dieção ao ponto P onde se que calcula o campo E (ve figua 7.). Q E 4 Q E = 4 E se E se Paa epesenta o campo E ao edo da caga Q usamos etas ao edo da caga Q apontando adialmente paa foa () se Q e adialmente paa dento ( ) se Q.Note que quanto maio Q maio a quantidade dessa etas chamadas de linhas de foça ou campo de E : Note que as figuas de linha de foça não se cuzaam: se isso ocoesse haveia duas dieções simultâneas paa o campo elético o quê não se veifica expeimentalmente. 7. FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL F Definição : = F d S F S
F Fluxo de campo vetoial F Campo vetoial ds elemento de áea na foma vetoial cujo sentidos é definido pela ega de mão dieita (ve figua 7.4). Nota : Caso S seja fechado é comum utiliza o símbolo 7..1 FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS O fluxo de campo elético E é uma medida da quantidade de linha de foça de E atavessando uma dada áea S (ve figua 6.5). Como o fluxo é popocional ao campo e este é popocional à caga podemos afima que paa uma supefície fechada qualque quanto maio a caga dento dessa supefície tanto maio o fluxo paa dento (Q>) ou paa foa (Q<). Em outas palavas: O Fluxo atavés de uma supefície fechada é popocional à caga envolvida pela supefície. Lei de Gauss S Matematicamente: E Q ou E = bq ou ainda como a supefície é fechada E d S = bq em que indica integal numa supefície fechada; ds é pependicula as e aponta paa foa da supefície fechada po convenção. Paa detemina a constante de popocionalidade vamos detemina E de uma caga puntual Q escolhendo uma supefície fechada (chamada de gaussiana) esféica centada em Q (ve figua 7.6) e aio : Pela lei de Gauss temos: E = E d S = bq Como E é paalelo a ds (ambos aponta adialmente paa foa). Logo: Eds cos = bq
Como E é constante ao longo de ES = 4 : bq E ds = bq ES = bq ou E = compaando com E de uma caga puntual: 4 1 Q 1 E = sendo que b =. Potanto: 4 Q E d S = (Lei de Gauss na foma integal) 7.4 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS EX.1: Calcule E devido a uma distibuição unifome supeficial e infinita de cagas positivas. Solução: Pela simetia o campo E deve se pependicula ao plano. Escolhendo uma supefície etangula que possa po um ponto P onde queemos calcula E ou uma supefície cilíndica (ve figua 7.7) temos: Q E d S =. Escolhendo o cilindo temos que faze tês integais: duas paa as Q tampas uma paa o cilindo: E d S = E d S + E d S E d S S1 + = S S Note que: paa o cilindo S E é pependicula a ds enquanto que paa S 1 e S sendo que E é paalelo a ds. Logo: Q EdS + EdS = S1 S Q ES + ES = ou
Q ES = ou S E = (esp.) ; Q S
ELETROMAGNETISMO 8ª Aula: LEI DE GAUSS NA FORMA DIFERENCIAL 8_1 Intodução: fluxo atavés de um paalelepípedo; 8_ Teoema da Divegência. 8_1 REGIÃO DA GAUSSIANA Paa enconta a lei de Gauss na foma difeencial tomemos um cubo de volume V = xy z numa egião onde exista uma campo E (ve figua 7.1). Pela lei de Gauss: = E d S E ou de foma apoximada E E S em que a igualdade ocoeá S no limite S : d E = E d S. E = E i + E j + E k x y z x y z d S = ds i + ds j + ds k ds ds ds = dydz = dxdz = dxdy x y z Paa calcula E total atavessando esse cubo temos que soma o fluxo E atavés de cada face: = ( ABCD) + ( A B C D ) + E E E ( ABA`B `) + ( DCD`C `) + E ( ADA`D `) + ( BCB`C `) E E E Se o cubo fo suficientemente pequeno podemos apoxima o veto de E( x y z ) na face do cubo pelo valo de E( xc yc z c ) sendo ( xc yc z c) as coodenadas do cento da face do cubo. Natualmente espeamos que quanto meno o cubo melho seá essa apoximação sendo E( x y z) = E( x y z ) no limite em que xyz dxdydz. c c c Comecemos po calcula ( A ` B E ` C ` D `) na face A`B `C `D ` que chamemos de face_1 sendo ( x 1 y 1 z 1 ) as coodenadas do cento desst face. Da definição de fluxo:
( A ` B ` C ` D `) = E d S E ( x y z ) S E A`B`C `D` c1 c c ( A`B`C `D`) [ E ( x y z ) i + E ( x y z ) j + E ( x y z )] x yk E x 1 1 1 y 1 1 1 z 1 1 1 ( A`B `C `D`) E ( x y z ) x y E z 1 1 1 Calculando o fluxo atavés da face oposta ABCD teemos: ( ABCD) E( x y z + z) x yk E Chamando a face ( x y z ) teemos: 1 1 1 ADA`D ` de face- e designando as coodenadas dessa face po ( ADA ` D E `) E ( x y z ) x z ( j ) ou ( ADA`D`) E ( x y z ) x z E y e paa a face DCD`C ` oposta à face- e designando de x y z as coodenadas do seu cento teemos: ( DCD ` C `) E E ( x y z ) yz ( i ) ou E( DCD` C`) Ex( x y z) y z e paa face oposta ABA`B ` teemos: ( ABA`B`) E( x + x y z ) z yi ou E E( ABA` B`) Ex( x + x y z) y z O fluxo total (apoximado) seá potanto: ( ABA` B`) [ E ( x y z + z) E ( x y z )] x y + E z 1 1 1 z 1 1 1 = [ E ( x y + x z ) E ( x y z )] x y + y y = [ Ex( x + x y z) Ex( x y z)] yz Multiplicando e dividindo o 1º temo po z o º temo po y e o º temo po x teemos: [ Ez( x1 y1 z1 + z) Ez( x1 y1 z1)] E xy z + z [ Ey( x y + y z) Ey( x y z)] xy z + y [ Ex( x + x y z) Ex( x y z)] xyz x Tomando o limite de x y e z tendendo a zeo e lembando a definição de deivada pacial teemos: E E x y Ez de = ( + + ) dxdydz ou x y z Supondo a existência de caga elética no inteio do volume difeencial devem te:
d = v ou dq = vdxdydz e potanto pela lei de Gauss: dxdydz dq v d = E Edxdydz dxdydz = ou 8_ TEOREMA DA DIVERGÊNCIA O teoema da divegência pemite o cálculo E atavés de uma integal de supefície ou de volume. Da lei de Gauss na foma integal: E d S Q v = = dv s Substituindo v po E temos:
ELETROMAGNETISMO 9ª Aula: EXERCÍCIO RESOLVIDOS (LEI DE GAUSS) EX. 1: Dada uma distibuição linea unifome e infinita de cagas calcule o campo E : a) usando a definição de campo E ; b) usando a lei de Gauss Solução: a) ( ) E = k dq dq = LdL = + z = + zk = Lk = ( z L) k 1 = [ + ( L z) ] dl[ ( z L) k] E = k L Po azões de simetia E z = ; [ + ( L z) ] E = kl dl ou : [ + ( L z) ] dl E = k L [ + ( L z) ]
Mudança de coodenada: L z = cot g dl = cos se d cos sec d E = kl como [ + ( L z) ] L cos sec E = k sen d kl sen kl kl E = sen d cos = = sen + + ( L z) L ( L z) L ( L z) E = = 4 4 + ( L z) L= L z + 1 ( L z) L E = (esp. a ) + = sen e que se L E aponta adialmente paa foa. Se S1 e S são as tampas da gaussianas e S o lado assim pela lei de Gauss temos: Q E d S = S E d S + E d S E d S S + 1 S = S As integais em S1 e S são nulos pois E ds então: Q E d S = cos S E ds = ou S Q Q ES = E( ) L = Q L ES = E = L( ) L= vetoialmente: (esp. b ) EX. Veifique o teoema da divegência consideando o paalelepípedo x = ; x = 1; y = ; y = ; z = ; z = (ve figua abaixo) e o campo Solução: E = yi + x j.
E E E x y z = yx = x = Pelo teoema da divegência temos: V EdV = E d S Paa veifica esse teoema devemos calcula os dois lados mostados que são iguais. Começando com o lado esquedo: E E x y Ez EdV = ( + + ) dxdydz V x y z 1 1 = (y + + ) dxdydz = dx ydy dz = ( x )( y )( z ) = 14 = 1 (lado esquedo) Paa o lado dieito: E d S = + + + + + S ABCD A B C D ABA B DCD C ADA D BCB C Paa a face ABCD: ABCD E d S = ( yxi + x j) dxdyk = Igualmente paa as outas faces: E d S = A B C D ABA B 1 E d S = ( yxi + x j) ( j) dxdz = x dxdz E d S DCD C x 1 = ( )( z ) = 1 1 = x dxdz = 1 E d S ( yxi x j) idydz yxdydz ADA D + = ; ( x = 1) = () () Finalmente: BCB C = 1 E d S = ( yxi + x ) ( i) dydz = yxdydz = S
pois x = na face BCB C. Somando todas as faces: lado dieito V V que é o significado do teoema. Logo E d S = Ed = 1 ELETROMAGNETISMO 1ª Aula : ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO E POTENCIAL ELÉTRICO. 11_1. Intodução; 11_ Enegia Potencial Elética; 11_ Difeença de Potencial Elético; 11_4 Potencial Elético; 11_5 Apêndice. 11_1 Intodução Emboa os conceitos de enegia potencial difeença de potencial e potencial eléticos estejam inteligados é impotante faze a distinção ente eles. Também é impotante nota que esses tês conceitos só faão sentido se o campo elético fo consevativo que é o caso da eletostática. Po definição um campo é consevativo se o tabalho ealizado na sua pesença paa move um objeto de A até B não depende do pecuso que liga A a B. Equivalentemente se o campo é consevativo o tabalho ealizado em qualque pecuso fechado abitáio é nulo. A pova dessa afimativa é bastante simples: Se F dl = paa todo C então essa integal não depende do pecuso. Pova C (ve figua A_11.1): 5 B F dl = F dl + F dl = C A( C1) B( C) A Invetendo o limite da segunda integal:
B A B A F dl F dl = F dl = F dl A B A B ( C1 ) ( C ) ( C1 ) ( C ) Igualmente se o tabalho não depende do pecuso então o campo é consevativo. Paa mosta isso basta invete a odem da dedução acima. 11_ ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA Façamos uma analogia com a enegia potencial gavitacional. Quando levantamos uma peda o tabalho que ealizamos conta a foça gavitacional é amazenado no sistema Tea + peda sob a foma de enegia potencial gavitacional: se soltamos a peda ela caiá tansfomando sua enegia potencial gavitacional em enegia cinética. No caso de cagas eléticas quando ealizamos um tabalho paa move qualque caga de um ponto a outo póximo de uma segunda caga esse tabalho fica amazenado sob a foma de enegia potencial elética: se soltamos uma das cagas ela seá aceleada paa longe ou paa peto da outa dependendo do sinal de ambas. Como o tabalho que ealizamos paa move a caga é feito conta a foça elética seja paa afasta ou paa apoxima uma caga da outa a meno foça extena F ext que devemos exece sobe a caga q paa movê-la deve se igual em módulo à foça de Coulomb: F ext = F c = qe. A enegia potencial elética é definida como sendo o (meno) tabalho W ealizado po um agente exteno ( F ext ) paa move uma caga de um ponto A a outo ponto B. Matematicamente: W B AB = F dl dl = dxi + dy j + dzk (catesianas) A ext ou dl = d + d + dzk (cilíndicas) dl = d + d + sen d (esféicas) [W] = Joule (J) Impotante: na integal acima q é a caga conduzida de A até B e não a caga que poduz o campo E. 11_ DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO A difeença de potencial elético (DDP) é simplesmente o tabalho WAB po unidade de caga q: W Joules V V V E dl [ VAB ] = Coulombs B AB AB B A q = = = A
Note que se VB = VA isto é se o pecuso fo fechado E dl =. Essa é a condição paa que E seja consevativo e em teoia de cicuitos é conhecida po lei de Kichoff. Compaando W AB e V AB podeíamos intepeta V AB como sendo o tabalho W AB ealizado po um agente exteno paa move uma caga de 1 Coulomb desde A até B. Repae entetanto que a unidade de V AB é Joule/Coulomb sendo potanto gandezas difeentes. 11_4 POTENCIAL ELÉTRICO O potencial elético V() é simplesmente a DDP VA VB tomada em um ponto tal que V B = : VA = V. O ponto V B = é em geal pé-estabelecido ou especificado de antemão. Matematicamente: V o B = E dl O limite infeio denotado po O é uma efeência escolhida tal que V(O) é nulo. Po exemplo paa uma caga puntual V(O) é nulo no infinito já paa um plano infinito O deve se escolhido como sendo a oigem do sistema de coodenadas. Em medidas expeimentais é usual estabelece um potencial nulo no solo (Tea). Paa que esse ponto não fique confuso talvez seja útil ecoe à analogia com o potencial gavitacional. Paa uma peda abandonada de uma ceta altua é mais conveniente escolhe essa altua em elação ao nível com o qual a peda iá se choca (ve figua 11.1) emboa o zeo pudesse se escolhido de foma inteiamente abitáia. Em outas palavas o impotante é a difeença de potencial elético ente os dois pontos quaisque e não o potencial. Po exemplo se A E dl é o potencial no ponto A e o V = então VB VA independe da efeência O. Pova: B E dl é o potencial no ponto B o V = V V = E dl + E dl = ( E dl + E dl ) B A B A B A ; B C C A B. A em que usamos f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx
Fig. 11.1: A efeência O pode se escolhida abitaiamente. Note que consideando mgh constante a escolha de O no infinito leva a W infinito! EX. 1: a) Calcule o potencial elético devido a uma caga Q puntual em um ponto B (escolhe O no infinito); b) Calcule VB VA ente dois pontos A e B quaisque; c) Calcule o tabalho necessáio paa move uma caga q de A paa B; c) V B VB VA e W AB dependeam do caminho? Po que? Solução: a) Paa uma caga puntual: kq( ) E =. Escolhendo = (caga na oigem simetia esféica): kq B E = V ( ) B = E dl B kq VB = ( d + d + sen d) como B kq kq B 1 1 VB = d = [ ] = kq( ) B kq VB = (esp a ) B kq b) Fazendo B A temos: VA = B kq 1 1 VB VA = ( ) (esp b ) B B A WAB c) Como VAB W q( VB VA) q = = ou 1 1 W = kqq( ) (esp. c ) B A
d) Tanto V B quanto VB VA e W AB só dependem da posição final B e 1 1 B A espectivamente. Potanto não dependem do pecuso que leva a esses pontos. Note ainda que se B = A (pecuso fechado) E dl = W V AA = AA =. ELETROMAGNETISMO 11ª Aula : CAMPOS CONSERVATIVOS: O CAMPO COMO O GRADIENTE DO POTENCIAL 1_1 Potencial De Váias Cagas e De Distibuição Contínua De Cagas; 1_ E u Como Gadiente De V. () Intodução Vimos na aula anteio que um campo é consevativo se o tabalho ealizado na sua pesença paa move um objeto de A até B não depende do pecuso que liga A a B.
Equivalentemente se o campo é consevativo o tabalho ealizado em qualque pecuso fechado abitáio é nulo. A pova dessa afimativa é bastante simples: Se F dl = paa todo C então essa integal não depende do pecuso. Pova C (ve figua A_11.1): 5 B F dl = F dl + F dl = C A( C1) B( C) A Invetendo o limite da segunda integal: B A B A F dl F dl = F dl = F dl A B A B ( C1 ) ( C ) ( C1 ) ( C ) Igualmente se o tabalho não depende do pecuso então o campo é consevativo. Paa mosta isso basta invete a odem da dedução acima. 1_1 POTENCIAL DE VÁRIAS CARGAS E DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS Vimos também na aula anteio que o potencial V () em um ponto ( x y z ) qualque em elação a uma efeência O tal que V(O) = é dado po V () = E dl (1) kq1 Paa uma caga puntual vimos também que V() = paa uma caga na oigem ( = ). Paa o caso da caga que gea o potencial não esta na oigem (ve figua 1.1) teemos : kq V() = Como o potencial é um campo escala o potencial esultante em devido a váias cagas puntuais é a soma: V ( ) = V ( ) + V ( ) +... V ( ) = V ( ) ou 1 N N i= 1 N
V ( ) = kq + kq +... kq = kq N 1 N i i 1 1 N = i e paa uma distibuição contínua de cagas: dq V () = k () sendo dq = LdL ou dq S densidade depende de cada ponto ( x y z ) isto é = ds ou dq = V dv confome o caso. Note que em geal a = ( ) ; x = L S v. 1_ E u COMO O GRADIENTE DE V. () De acodo com a Eq.(1) x x V () = - ò u E dl u o que implica dv = - E dl. o Paa veifica essa última equação basta integá-la de O até e compaá-la com a pimeia. Dessa última equação: dv = - ( E $ i + E $ j + E $ k) ( dxi $ + dy$ j + dzk $ ) ou x y z dv = - ( E dx + E dy + E dz) x y z Lembando do cálculo que a difeencial de uma função V( x y z ) é dada po V V V dv = dx + dy + dz x y z V V V igualando () e (4) temos Ex =- ; Ey =- ; Ez =- e potanto: x y z u V V V u E = - $ i- $ j - $ V V V k ou E = - ( $ i + $ j + $ k) ou ainda: x y z x y z () (4) (5) Nota: V 1 V V Ñ V = $ + f$ + $ k (cilíndicas) f z V 1 V 1 V Ñ V = $ + $ q+ f$ (esféicas) q senq f
EX. 1: Na figua abaixo (fig 1.) enconte a) o potencial devido a uma distibuição unifome anela de cagas positivas em um ponto P situado ao longo do eixo do anel cujo aio vale R. b) calcule E u usando a expessão do potencial calculado no item anteio. Solução: a) V () = dq k ò - dq = ( ) dl = dl L = zk $ ; = L $ ; 1 - = ( z + ) \ dl = df = Rdf Rdf V () = k = df \ V () = p L ò L 1 1 ò ( R + z ) 4 pe( R + z ) L( pr) kq ou V() = 1 1 4 pe ( R + z ) ( R + z ) V() = R L 1 e ( R + z ) (esp. a ) u u b) Como E= - Ñ V basta deiva em elação a z que é a única vaiável apaecendo em V isto é V=(z). Isto pode se feito em coodenadas cilíndicas ou catesianas: u u E V ( V V = - Ñ = - $ + f$ + V $ k) f z - 1 u LR LR E = $ k = - ( R + z ) $ k ou 1 z e z e ( R + z )
R - u 1 L E = - (- )( R + z ) zk $ \ 4e u L 1 E = R (esp. b ) 4e ( R + z ) EX. : O potencial de uma caga puntual localizada na oigem ( = ) em um 1 Q u ponto P qualque localizado a uma distância da oigem é V() =. Enconte E () 4pe.. Solução: u V 1 V 1 V Como Ñ V = $ + $ q+ f$ então q senq f u u V 1 Q E = - Ñ V = - $ = - ( ) $ \ 4pe u Q E= $ (esp.) 4pe EX. : Refaça o execício anteio paa ( ¹ ).
ELETROMAGNETISMO 1ª Aula : DENSIDADE DE ENERGIA NO CAMPO ELETRÓSTÁTICO 1_1. Enegia Potencial de N Cagas Eléticas Puntuais; 1_ Enegia de Uma Distibuição Contínua de Caga Elética; 1_ Enegia Amazenada No Campo Elético; 1_5 Execício. 1_1 ENERGIA POTENCIAL DE N CARGAS ELÉTRICAS PUNTUAIS Na aula anteio vimos que a enegia potencial elética de uma caga na pesença de um campo E é o tabalho ealizado (po uma foça extena) paa move essa caga de um ponto a outo. Em temos de potencial V( A) = VA no ponto A o tabalho WA ealizado paa move uma caga q desde O é A WA q E dl ou simplesmente W O A = qva em que V( O) = VO = e VA = V( A) é o potencial no ponto A = ( xa ya za). Paa uma kq caga puntual VA =. A Paa enconta a enegia potencial de uma configuação de cagas situadas numa egião qualque devemos calcula o tabalho ealizado paa move cada uma da cagas eléticas desde o infinito até a posição ocupada na configuação. O tabalho total é a somatóia do tabalho gasto paa posiciona cada caga. Paa cagas puntuais em que V é nulo no infinito começamos calculando o tabalho paa popociona a pimeia caga q1 que é: W1 = qv 1 = pois V = uma vez que não há cagas geando V. Paa posiciona uma caga q em póxima de q1 (onde agoa existe o potencial devido a q1) o tabalho W gasto é (ve figua 1.1): kq1 W = q( ) qv1 1 em que V 1 significa o potencial em devido à caga q1. Paa taze um teceia caga q do infinito e colocá-la em póximo de q 1 e q o tabalho W seá: W = qv 1 + qv em quev 1 indica o potencial em devido a q 1 e V indica o potencial em devido à caga q. Em geal Vij indicaá o potencial em i devido à caga taze uma caga q 4 do infinito e colocá-la em 4 póxima de q1 q q seá: q j. O tabalho W 4 paa
W4 = q4v41 + q4v4 + q4v4 É fácil obte a expessão paa o tabalho gasto paa se taze outas cagas do infinito. A enegia potencial seá o tabalho total: W = W + W + W + W +... ou W = qv1 + qv 1 + qv + q4v41 + q4v4 + q4v4 +... (I) Essa última expessão que muitas vezes é mais pática de se usa paa cagas puntuais pode se eescita obsevando que qv = qv (ve figua 1.): q kq = q kq Desse modo podemos esceve o tabalho total como: W = q1v 1 + q1v 1 + qv + q1v 14 + qv4 + qv 4 +... (II) Somando (I) e (II) temos: W = q [ V + V + V +...] + 1 1 1 14 q [ V + V + V +...] + 1 4 q [ V + V + V +...] +... 1 4 Note que V1 + V1 + V14 +... V ( 1 ) = V1 é o potencial esultante em 1 onde se localiza q 1 devido às demais cagas; V1 + V + V4 +... V ( ) = V é o potencial em onde localiza q devido às demais cagas idem paa V ; V 4 ; etc. Então: 1 W = ( qv 1 1 + qv + qv +...) ou N 1 W = qv i ( i) (III) i= 1 Potanto paa se calcula a enegia potencial elética de N cagas puntuais podemos usa qualque uma das equações III e III acima.
1_ ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA ELÉTRICA A genealização paa o caso de distibuições contínuas de caga pode se feita imediatamente a pati da eq. III fazendo N : N 1 1 W = qv i ( i) W = dqv ( ) (IV) i= 1 Em que na equação IV a integal é feita em toda a egião onde houve cagas. 1_ ENERGIA ARMAZENADA NO CAMPO ELÉTRICO A pati da eq. (IV) podemos obte uma expessão elacionando a enegia potencial com o campo elético poduzido pela distibuição de cagas. Paa faze isso suponhamos uma distibuição volumética de cagas em que dq dv = v W 1 = Vdv V v (5) 1 ( E) W = Vdv Nessa última equação usamos E = V. Usando a identidade ( EV ) = ( E) V + E ( V ) (note a semelhança com a ega do poduto paa deivadas) podemos esceve a Eq.(5) como W 1 1 = ( ) EV dv - E Vdv (6) V v Usando o teoema de divegência e E = V a Eq.(6) fica: W 1 1 = ( ) EV d S + E Edv S v sendo S a supefície que limita o volume v. (7) Essa última expessão pode se simplificada se fizemos o volume tende paa o infinito. De fato como a supefície S que limita o volume v é abitáia poque não escolhê-la como sendo infinitamente gande? Fazendo então o volume v e conseqüentemente a supefície S tende a infinito o integando da pimeia integal se anula pois:
11 lim = EVS EVS e potanto a expessão final paa a enegia amazenada numa distibuição contínua de cagas é (8) Note que enquanto a integal na Eq.(5) é feita na egião onde houve cagas a integal na Eq.(8) deve se feita em toda a egião onde houve campo. EX. 1: Calcule a enegia eletostática de uma esfea de aio R unifomemente caegada de caga com caga Q. Solução: O potencial na supefície da esfea é usando a Eq.(IV): kq V( R) = e potanto de W R 1 = dqv () W 1 KQ S = S ds = kq ds kq Q R R = = R 8 R Outo caminho - usando a Eq.(8): 1 W = sen ddd = send d R kq k Q d ( ) W 1 Q d Q = ( )() (4 ) = 8 R R.
ELETROMAGNETISMO 1ª Aula : CORRENTE ELÉTRICA DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA LEI DE OMH E RESISTÊNCIA ELÉTRICA. 1_1 Coente e Densidade de Coente; 1_ A Equação da Continuidade de coente; 1_ Lei de Ohm na Foma Vetoial; 1_4 Resistência de Um Conduto e Lei de Ohm. 1_1 CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA A coente é definida como sendo a taxa de vaiação das cagas lives (positivas): dq I = (Eq. 1_1) dt Já a densidade de cagas ( J ) é definida como sendo a coente I pela áea A de seção tansvesal de um conduto (figua 1.1): J I = ou I = JA (Eq. 1_) A A coente I em geal é definida como sendo um escala já a densidade J é definida como sendo um veto cujo sentido coincide com o sentido de movimentação da coente. No caso mais geal em que J e ds não coincidem (ve figua 1.) a coente I é obtida como o fluxo J do veto J : I J d S (Eq. 1_) S =
O veto J está elacionado à velocidade v dos potadoes de caga. Considee po exemplo a Figua 1. abaixo na qual um volume elementa se movimenta ao longo do eixo y: dq dxdydz I = = V = vvydxdz dt dt I v ds = V y y z I Logo: Vvy ds como v é um veto: 1_ A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DA CORRENTE ds áea pependicula a z ou J Vvy = ou ainda J = v (Eq. 1_4) A equação da continuidade de coente expessa matematicamente a consevação da caga elética num ponto. Suponha po exemplo um volume qualque do qual uma ceta caga está fluindo (Fig.1.4). Então Q deve diminui isto é: dq I = (Eq. 1_5) dt O sinal negativo indica apenas que Q. Da equação (1-) temos: V I dq = = dt J d S ou como Q V S = dv : d J d S = dv S V Vdv dt = (Eq. 1_6) t v Note que S é a supefície que limita o volume v. Pelo teoema da divegência - J d S = Jdv S - a equação (1-6) pode se escita como: V t V Jdv = (- ) dv V (Eq. 1_7) V V e potanto: J = (Eq. 1_8) t que é a equação da continuidade. Ela indica que a coente que flui paa foa de um ceto volume é igual ao decéscimo da caga em cada ponto dento desse volume.
1_ LEI DE OHM NA FORMA VETORIAL Em um mateial conduto a foça elética sobe uma caga Q é dada po: F = QE (Eq. 1_9) Além disso a velocidade adquiida pela caga é dietamente popocional ao campo elético isto é: v = E (Eq. 1_1) e em que a constante de popocionalidade é a mobilidade do eléton em um dado e mateial. Como J = E ou ( Ve ) V e J = v (veja equação 1-4) então: V (Eq. 1_11) que é a Lei de Ohm na foma vetoial (ou puntual). A constante é a condutividade do 7 1 1 mateial. Paa condutoes típicos (cobe pata ouo etc.) 1 /m ohmmeto 1_4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA E LEI DE OHM Paa um conduto qualque valem as equações: V AB A E dl (Eq. 1_1) B = I J d S (Eq. 1_1) S = A esistência R de um mateial é definida como sendo a azão entev AB e I : R = A E dl B J d S (Eq. 1_14) Paa o caso de um conduto cilíndico de seção tansvesal S (ve figua 1.5) se E é unifome: VAB El l = = = R [ R] = ohm = ou (Eq. 1_15) I JS S
e nesse caso a Eq. 1_15 é chamada de lei de Ohm. Note que a elação VAB sempe sendo V AB e I deteminados nas equações (Eq. 1_1) e (Eq. 1_1). Note = RI é válida também que a lei de Ohm é um caso paticula em que R obedece a uma elação linea ente V AB e I (ve figuas 1.6a e 1.6b): VAB I (esisto ôhmico) VAB I (esisto não-ôhmico) 14ª Aula : CONDUTORES 14_1 Popiedade dos Condutoes: ELETROMAGNETISMO 14-1-1 A Caga elética é nula no inteio de condutoes - A equação da continuidade de coente elética; 14_1- O Campo Elético é nulo no Inteio de um Conduto; 14_1- As cagas eléticas se situam na Supefície do conduto; 14_1-4 O campo elético é pependicula à supefície do conduto; 14_1-5. O conduto é um equipotencial. 14_1 PROPRIEDADE DOS CONDUTORES Um conduto é po definição um mateial no qual um ou mais elétons de cada átomo (conduto metálico) é live paa se move atavés desse mateial. Em condutoes líquidos tal como a água salgada são os íons que se movem. As seguintes popiedades eletostáticas se veificam paa um conduto típico: i) a caga elética no seu inteio é nula; ii) o campo elético no seu inteio é nulo; iii) em um conduto caegado a caga elética se localiza na supefície; iv) o campo elético é sempe pependicula à supefície do conduto; vi) um conduto é um eqüipotencial isto é dois pontos quaisque estão sempe a um mesmo potencial.